Philosophische Bemerkungen |
Et multi ante nos
vitam istam agentes, praestruxerant aerumnosas vias, per quas
transire cogebamur multiplicato labore et dolore filiis
Adam.
(Augustinus)
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Der Satz ist vollkommen
logisch analysiert, dessen Grammatik vollkommen klargelegt
ist. Er mag in welcher Ausdrucksweise immer hingeschrieben
oder ausgesprochen sein. |
Die phänomenologische Sprache oder
“primäre Sprache”, wie ich sie nannte,
schwebt mir jetzt nicht als Ziel vor; ich halte sie jetzt nicht
mehr für nötig. Alles was möglich und
nötig ist, ist das Wesentliche unserer Sprache von
ihrem Unwesentlichen zu sondern. D.h., wenn man quasi die Klasse der Sprachen beschreibt, die ihren Zweck erfüllen, dann hat man damit ihr Wesentliches gezeigt und damit die unmittelbare Erfahrung unmittelbar dargestellt. Jedes Mal, wenn ich sage die und die Darstellung könnte man auch durch diese andere ersetzen, machen wir einen Schritt weiter zu dem Ziele, das Wesen des Dargestellten zu erfassen. |
Eine Erkenntnis
dessen, was unserer Sprache wesentlich und was
¤ ihr zur Darstellung unwesentlich
ist, eine Erkenntnis, welche Teile unserer Sprache leerlaufende
Räder sind, kommt auf die Konstruktion einer
phänomenologischen Sprache hinaus. |
Die Physik
unterscheidet sich von der Phänomenologie dadurch,
daß sie Gesetze feststellen
will. Die Phänomenologie stellt nur die
Möglichkeiten fest. Dann wäre also die
Phänomenologie die Grammatik der Beschreibung
derjenigen Tatsachen, auf denen die Physik ihre Theorien
aufbaut. |
Erklären ist
mehr als beschreiben. Aber jede Erklärung enthält
eine Beschreibung. |
Der Farbenraum wird z.B.
beiläufig dargestellt durch das
Oktaeder, mit den reinen Farben an den
Eckpunkten und diese Darstellung ist eine grammatische, keine
psychologische. Zu sagen, daß
unter den und den Umständen – etwa – ein rotes
Nachbild sichtbar wird, ist dagegen Psychologie (das
kann sein, oder auch nicht, das andere ist a priori,
das Eine kann durch Experimente
festgestellt werden, das Andere nicht.) |
Die
Oktaeder-Darstellung ist eine
übersichtliche Darstellung der grammatischen
Regeln. |
Unserer Grammatik fehlt es vor allem an
Übersichtlichkeit.
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Was
Mach ein Gedankenexperiment
nennt, ist natürlich gar kein Experiment. Im Grunde
ist es eine grammatische Betrachtung. |
Warum ist die Philosophie so
kompliziert? Sie sollte doch ganz einfach
sein. – Die Philosophie löst die Knoten in
unserem Denken auf, die wir unsinnigerweise
hineingemacht haben; dazu muß sie aber
ebenso komplizierte Bewegungen machen, wie diese Knoten
sind. Obwohl also das Resultat der
Philosophie einfach ist, kann es nicht ihre Methode sein, dazu zu
gelangen. Die Komplexität der Philosophie ist nicht die ihrer Materie, sondern, die unseres verknoteten Verstandes. |
Wie seltsam, wenn sich die Logik mit einer
“idealen” Sprache befaßte,
und nicht mit unserer. Denn was sollte
diese ideale Sprache ausdrücken? Doch wohl das,
was wir jetzt in unserer gewöhnlichen Sprache ausdrücken;
dann muß die Logik also diese
untersuchen. Oder etwas anderes: aber wie soll ich
dann überhaupt wissen, was das ist. – Die
logische Analyse ist die Analyse von etwas was wir haben, nicht von
etwas, was wir nicht haben. Sie ist also die Analyse der
Sätze wie sie sind. (Es wäre
seltsam, wenn die menschliche Gesellschaft bis jetzt gesprochen
hätte, ohne einen richtigen Satz zusammenzubringen).
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Wenn das Kind lernt
“Blau ist eine Farbe, Rot ist eine Farbe, Grün, Gelb,
das sind alles Farben”, so lernt es nichts Neues über
die Farben sondern es lernt die Bedeutung einer Variablen in
den Sätzen “das Bild hat schöne
Farben” etc. etc. Jener
Satz gibt ihm die Werte einer Variablen. |
Die Wörter “Farbe”,
“Ton”, “Zahl”,
etc. können in den Kapitelüberschriften
unserer Grammatik erscheinen. In den Kapiteln
müssen sie nicht vorkommen, sondern da wird die Struktur
gegeben. |
Ist nicht die Harmonielehre
wenigstens teilweise Phänomenologie, also Grammatik?
Die Harmonielehre ist nicht Geschmacksache. |
Könnte ich den Zweck der grammatischen
Konventionen dadurch beschreiben, daß ich
sagte, ich müßte sie machen, weil etwa
die Farben gewisse Eigenschaften haben, so wären damit diese
Konventionen überflüssig, denn dann könnte ich
eben das sagen, was die Konventionen gerade
ausschließen. Umgekehrt, wenn die
Konventionen nötig waren, also gewisse
Kombinationen der Wörter als unsinnig ausgeschlossen werden
mußten, dann kann ich eben darum nicht
eine Eigenschaft der Farben angeben, die die Konventionen
nötig machte, denn dann wäre es denkbar,
daß die Farben diese Eigenschaft nicht
hätten und das könnte nur entgegen den Konventionen
ausgedrückt werden. |
Daß es unsinnig ist, von
einer Farbe zu sagen, sie sei eine Terz höher als eine andere,
kann nicht bewiesen werden. Ich kann nur sagen
“wer diese Worte in der Bedeutung verwendet, wie ich es
tue, der kann mit dieser Kombination keinen Sinn verbinden; hat sie
für ihn einen Sinn, so versteht er etwas anderes unter den Worten
als ich.” |
Willkürlichkeit des sprachlichen
Ausdrucks: Könnte man sagen: Das Kind
muß das Sprechen einer bestimmten
Sprache zwar lernen, aber nicht das Denken, d.h.
es würde von selber denken, auch ohne eine Sprache zu
lernen? Ich meine aber, wenn es denkt, so macht es sich eben Bilder und diese sind in einem gewissen Sinne willkürlich, insofern nämlich, als andere Bilder denselben Dienst geleistet hätten. Und andererseits ist ja die Sprache auch natürlich entstanden, d.h., es muß wohl einen ersten Menschen gegeben haben, der einen bestimmten Gedanken zum ersten Mal in gesprochenen Worten ausgedrückt hat. Und übrigens ist das Ganze gleichgültig, weil jedes Kind, das sie Sprache lernt, sie nur in dieser Weise lernt, daß es anfängt in ihr zu denken. Plötzlich anfängt; ich meine: Es gibt kein Vorstadium, in welchem das Kind die Sprache zwar schon gebraucht, sozusagen zur Verständigung gebraucht, aber noch nicht in ihr denkt. |
Gewiß geht das Denken der
gewöhnlichen Menschen in einer Mischung von Symbolen vor sich,
in der vielleicht die eigentlich sprachlichen nur einen geringen Teil
bilden. |
Wenn ich einem Menschen die Bedeutung eines Wortes
“A” erkläre, indem ich sage
“dies ist A” und auf etwas hinzeige, so kann
dieser Ausdruck in zweierlei Weise gemeint sein.
Entweder er ist selber schon ein Satz und kann dann erst verstanden
werden, wenn die Bedeutung von A bereits bekannt ist.
D.h., ich kann es nur dem Schicksal
überlassen, ob der Andere den Satz nun so
auffaßt, wie ich ihn meine, oder
nicht. Oder, der Satz ist eine Definition.
Ich hätte jemanden etwa gesagt “A ist
krank”, er wüßte aber nicht,
wen ich mit A meine und nun zeigte ich auf einen
Menschen und sagte “dies ist A”.
Nun ist der Ausdruck eine Definition, aber diese kann nur
verstanden werden, wenn die Art des Gegenstandes bereits durch den
grammatisch verstandenen Satz “A ist krank”
bekannt war. D.h. aber,
daß jede Art des Verständlichmachens
einer Sprache schon eine Sprache voraussetzt. Und die
Benützung der Sprache in einem gewissen Sinne nicht zu lehren
ist. D.h. nicht durch die Sprache zu
lehren, wie man etwa Klavierspielen durch die Sprache lernen
kann. – D.h. ja nichts anderes
als: Ich kann mit der Sprache nicht aus der Sprache
heraus. |
Die Grammatik ist eine “theory of
logical types”. |
Ich nenne die Regel der Darstellung keine Konvention,
die sich durch Sätze rechtfertigen
läßt, Sätze, welche das
Dargestellte beschreiben und zeigen, daß die
Darstellung
adäquat
ist. Die Konventionen der Grammatik lassen sich nicht durch
eine Beschreibung des Dargestellten rechtfertigen.
Jede solche Beschreibung setzt schon die Regeln der Grammatik
voraus. D.h., was in der zu
rechtfertigenden Grammatik als Unsinn gilt, kann in
der Grammatik der rechtfertigenden Sätze auch nicht als
Sinn gelten, u.u. |
Man kann nicht die Möglichkeit der Evidenz mit
der Sprache überschreiten. |
Die Möglichkeit der Erklärung dieser Dinge
beruht immer darauf, daß der
andere || Andere die
Sprache so gebraucht, wie ich. Behauptet er,
daß eine Zusammenstellung von
Wörtern für ihn Sinn hat, die für mich
keinen besitzt, so kann ich nur annehmen,
daß er die Wörter hier in anderer
Bedeutung gebraucht als ich, oder gedankenlos
redet. |
Kann jemand glauben,
es habe Sinn zu sagen: “Das ist kein Lärm,
sondern eine Farbe”? |
Andererseits kann man
freilich nicht sagen: “Was mich nervös
macht, ist nicht der Lärm, sondern die Farbe” und
hier könnte es scheinen, als ob eine Variable eine Farbe und
einen Lärm als Werte annähme.
(“Laute und Farben können als sprachliche
Ausdrucksmittel dienen”). Es ist klar,
daß jener Satz von der Art ist:
“Wenn du einem Schuß
hörst, oder mich winken siehst, laufe davon”.
Denn dieser Art ist die Vereinbarung, auf der die
Funktion der gehörten oder gesehenen Sprache beruht.
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Auf die Frage, ob die
Philosophen bisher immer Unsinn geredet haben, könnte man
antworten: nein, sie haben nur nicht gemerkt,
daß sie ein Wort in ganz verschiedenen
Bedeutungen gebrauchen. In diesem Sinne ist es nicht
unbedingt Unsinn zu sagen, ein Ding sei so identisch wie das
andere, denn wer das mit Überzeugung sagt,
meint in diesem Augenblick etwas mit dem Wort
“identisch” (vielleicht
“groß”), aber er weiß nicht,
daß er hier das Wort in
anderer Bedeutung gebraucht als es in
2
+ 2 = 4 gebraucht
ist. |
Wenn man die Sätze
als Vorschriften auffaßt, um Modelle zu
bilden, wird ihre
Bildhaftigkeit noch deutlicher.
Denn, damit das Wort meine Hand lenken kann, muß es die Mannigfaltigkeit der gewünschten Tätigkeit haben. Und das muß auch das Wesen des negativen Satzes erklären. So könnte einer z.B. das Verständnis des Satzes “das Buch ist nicht rot” dadurch zeigen, daß er bei der Anfertigung eines Modells die rote Farbe wegwirft. Das und Ähnliches würde auch zeigen, wie der negative Satz die Mannigfaltigkeit des verneinten Satzes hat und nicht der Sätze, die etwa an dessen Statt wahr sein könnten. |
Was
heißt es, zu sagen “ich sehe zwar
kein Rot, aber wenn du mir einen Farbenkasten gibst, so kann
ich es dir darin zeigen”? Wie kann man
wissen, daß man es zeigen
kann, wenn …; daß man es also erkennen
kann, wenn man es sieht?
Was hier gemeint ist, könnte zweierlei Art sein: Es könnte die Erwartung ausgesprochen sein, daß ich es erkennen werde, wenn es mir gezeigt wird, in dem Sinne, wie ich erwarte Kopfschmerzen zu bekommen, wenn ich einen Schlag auf den Kopf erhalte; das ist dann sozusagen eine physikalische Erwartung, mit derselben Basis, wie alle Erwartungen, die sich auf das Eintreffen physikalischer Ereignisse beziehen. – Oder aber es handelt sich gar nicht um die Erwartung eines physikalischen Ereignisses, und daher kann dann auch mein Satz durch das eventuelle Ausbleiben dieses Ereignisses nicht falsifiziert werden. Sondern der Satz sagt gleichsam, daß ich ein Urbild besitze, mit dem ich die Farbe jederzeit vergleichen könnte (und diese Möglichkeit ist eine logische Möglichkeit). |
Nach der ersten Auffassung: Wenn ich nun beim Anblick
einer bestimmten Farbe wirklich ein Wiedererkennungszeichen von
mir gebe, wie weiß ich,
daß es die Farbe ist, die ich
gemeint hatte? |
In
welcher Form aber kann ich denn das Urbild der Farbe in mir
tragen? Ich kann z.B. sagen
“nein die Farbe ist es nicht, aber beinahe; die
Farbe, die ich meine, ist noch etwas dunkler”.
Ich kenne in irgend einem Sinne den Platz der Farbe, die ich
meine, denn ich erkenne eine Näherung an diesem Platz als
solche. |
Die Sätze unserer
Grammatik haben immer die Art physikalischer Sätze und nicht
die “primärer” und vom Unmittelbaren
handelnder Sätze. |
Der negative
Satz zieht dieselbe Grenze wie der positive, deutet sie nur
anders. |
Eine naive Auffassung der
Bedeutung eines Worts ist es, daß man sich
beim Hören oder Lesen des Wortes
dessen Bedeutung “vorstellt”. Und
für dieses Vorstellen gilt auch wirklich die gleiche Frage,
wie für das Bedeuten eines Wortes. Denn wenn man sich
z.B. als Farbe himmelblau vorstellt,
und das Wiedererkennen und Suchen der Farbe, soll sich
auf diese Vorstellung gründen, so muß
man doch sagen, daß die Vorstellung von
der Farbe nicht identisch ist mit der wirklich gesehenen Farbe; und
wie kann nun ein Vergleich vor sich gehen? |
Ganz falsch kann doch die naive
Theorie des
Sich-eine-Vorstellung-Machens
nicht sein. |
Wenn man sagt: Nur
im Satzzusammenhang hat ein Wort Bedeutung, so
heißt das, daß
ein Wort seine Funktion als Wort nur im Satz hat, und das
läßt sich ebensowenig sagen, wie,
daß ein Sessel seine Aufgabe nur im Raum
erfüllt. Oder vielleicht besser: Wie
ein Zahnrad nur im Eingriff in andere Zähne seine Funktion
ausübt. |
Die Sprache muß von der
Mannigfaltigkeit eines Stellwerks sein, das die Handlungen
veranlaßt, die ihren Sätzen
entsprechen. |
Merkwürdigerweise hat das Problem des Verstehens
der Sprache mit dem Problem des Willens zu tun.
Einen Befehl zu verstehen, noch ehe man ihn ausführt, hat eine Verwandtschaft damit, eine Handlung zu wollen, ehe man sie ausführt. |
Wie in
einem Stellwerk mit Handgriffen die verschiedensten Dinge
ausgeführt werden, so mit den Wörtern der Sprache,
die Handgriffen entsprechen. Ein Handgriff ist der einer
Kurbel und diese kann kontinuierlich verstellt werden; einer
gehört zu einem Schalter und kann nur entweder umgelegt oder
aufgestellt werden; ein dritter gehört zu einem Schalter, der
3 oder mehr Stellungen zuläßt;
ein vierter ist der Handgriff einer Pumpe und wirkt nur, wenn er
auf- und abbewegt wird
etc.: aber alle sind Handgriffe, werden mit
der Hand angefaßt.
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Wenn
ich von den Wörtern und ihrer Syntax rede, so geschieht es
“im zweiten System” und ebenso
muß es sein, wenn ich von den
symbolisierenden Beziehungen von Sätzen und Tatsachen
rede. D.h. wir reden hier wieder von
etwas in der Zeit Ausgebreitetem und nicht Momentanem.
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Worte gleichen in gewisser
Beziehung dem Papiergeld: Anweisung auf
… Anweisung, etwa, auf eine Handlung.
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Ein Wort hat nur im
Satzverband Bedeutung: das ist, wie wenn man sagen
würde, ein Stab ist erst in Gebrauch ein Hebel.
Erst die Anwendung macht ihn zum Hebel.
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Jede
Vorschrift kann als Beschreibung, jede Beschreibung als Vorschrift
aufgefaßt werden.
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Was
heißt es einen Satz als ein
Glied eines Systems von Sätzen zu verstehen?
(Es ist, als sollte ich sagen: Die Anwendung eines
Wortes geht nicht in einem Moment vor sich, so wenig wie die eines
Hebels). |
Denken wir uns etwa ein
Schaltwerk, dessen Hebel 4 Stellungen annehmen kann. Nun
kann er die freilich ¤ nur nacheinander annehmen und das
braucht Zeit; und angenommen, er käme nicht
dazu, mehr als eine Stellung einzunehmen, weil das Schaltwerk
darnach || danach
zerstört würde: War es nicht dennoch ein
Schaltwerk mit vier Stellungen? Waren
nicht die vier Stellungen möglich? Wer es gesehen hätte, hätte gesehen, wie kompliziert es ist und seine Komplikation erklärt sich nur durch den beabsichtigten Gebrauch, zu dem es tatsächlich nicht gekommen ist. So möchte ich bei der Sprache sagen: Wozu alle diese Ansätze; sie haben nur dann eine Bedeutung, wenn sie Verwendung finden. |
Man kann sagen: Der
Sinn eines Satzes ist sein Zweck. (Oder von einem Wort
“its meaning is its
purpose”.) |
Die Logik kann aber nicht die
Naturgeschichte des Gebrauchs eines Wortes angehen.
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Wenn ich ein
Ereignis erwarte und es trifft ein || kommt dasjenige,
welches meine Erwartung erfüllt, hat es
dann einen Sinn zu fragen, ob das wirklich das Ereignis ist,
welches ich erwartet habe. D.h., wie
würde ein Satz, der das behauptet, verifiziert
werden?
Es ist klar, daß die einzige Quelle meines Wissens hier der Vergleich des Ausdrucks meiner Erwartung mit dem eingetroffenen Ereignis ist. Wie weiß ich, daß die Farbe dieses Papiers, die ich “weiß” nenne, dieselbe ist, wie die, die ich gestern hier gesehen habe? Dadurch, daß ich sie wiedererkenne; und dieses Wiedererkennen ist meine einzige Quelle für dieses Wissen. Dann bedeutet “daß sie dieselbe ist”, daß ich sie wiedererkenne. Man kann dann auch nicht fragen, ob sie wohl die gleiche ist und ich mich nicht vielleicht täusche (ob sie die gleiche ist und nicht etwa nur scheint.) |
Es wäre freilich auch möglich zu sagen, die
Farbe ist die Gleiche, weil die chemische Untersuchung keine
Änderung ergibt. Wenn
sie mir also nicht die gleiche erscheint, so täusche
ich mich. Aber dann muß doch
wieder etwas unmittelbar wieder erkannt || wiedererkannt werden.
Und die “Farbe”, die ich unmittelbar wiedererkennen kann und die ich durch chemische Untersuchung feststelle, sind zwei verschiedene Dinge. |
Aus derselben Quelle fließt
nur Eines. |
Ist es ein Einwand gegen meine Auffassung,
daß wir oft halb oder gar ganz automatisch
sprechen? Wenn mich jemand fragt “ist der
Vorhang in diesem Zimmer grün” und ich schaue hin und
sage “nein, rot”, so ist es
gewiß nicht nötig,
daß ich grün halluziniere
und es etwa mit dem Vorhang vergleiche. Ja, das Ansehen
des Vorhangs kann jene Antwort sehr wohl automatisch hervorbringen
und doch interessiert diese Antwort die Logik, dagegen
interessiert sie kein Pfiff, den ich etwa auch beim Sehen von
Rot automatisch hervorbringe. Ist es nicht so,
daß sich die Logik für diese Antwort nur
als einen Teil eines Sprachsystems interessiert?
Das System in dem unsere Bücher geschrieben sind.
Kann man sagen, daß die Logik die
Sprache in extenso betrachtet? Also so, wie die
Grammatik.
Kann man denn sagen, da die Logik mit jener Äußerung, wenn sie bloß automatisch war, eben nichts zu tun hat? Soll sich denn die Logik darum kümmern, ob der Satz auch wirklich gründlich gedacht war? Und welches Kriterium hätte man dafür? Doch nicht gar das lebhafte Spiel der Vorstellungen, die das Aussprechen des Satzes begleiten! Es ist klar, wir sind hier in einem Gebiet, das uns gar nichts angeht und aus dem wir schleunigst requirieren sollen. |
Hier kommen
wir zu der scheinbar trivialen Frage, was die
Logik unter einem Wort versteht, ob den
Tintenstrich, die Lautfolge, ob es nötig ist,
daß jemand damit einen Sinn
verbindet, oder verbunden hat, etc.
etc. – Und hier
muß offenbar die roheste
Auffassung die einzig richtige sein.
Ich werde also wieder von “Büchern” reden; hier haben wir Worte; sollte einmal irgend ein Strich vorkommen, der aussieht wie ein Wort, so werde ich sagen: Das ist kein Wort, es schaut nur so aus, es war offenbar nicht beabsichtigt. Man kann das nur vom Standpunkt des gesunden Menschenverstandes behandeln. (Es ist merkwürdig, daß eben darin ein Wandel der Auffassung liegt.) |
Ich glaube
nicht, daß die Logik in einem andern Sinne
von Sätzen reden kann, als wir für gewöhnlich tun,
wenn wir sagen “hier steht ein Satz aufgeschrieben”
oder “nein, das sieht nur aus wie ein Satz, ist aber
keiner” etc. etc.1 |
Die Frage
“was ist ein Wort” ist ganz analog der “was
ist eine Schachfigur”. |
Ist denn nicht
Übereinstimmung und
Nicht-Übereinstimmung das Primäre,
so wie das Wiedererkennen das Primäre und die Identität
das Sekundäre ist? Wenn wir den Satz verifiziert
sehen, an welche andere Instanz können wir dann noch
appellieren, um zu wissen, ob er nun wirklich wahr ist?
|
Die
Übereinstimmung von Satz und
Wirklichkeit ist der Übereinstimmung
zwischen Bild und Abgebildeten nur so weit ähnlich, wie der
Übereinstimmung zwischen einem
Erinnerungsbild und dem gegenwärtigen Gegenstand. |
Man kann
aber das Wiedererkennen, wie das Gedächtnis, auf 2 verschiedene
Weisen auffassen: als Quelle des Begriffs der Vergangenheit
und Gleichheit, oder als Kontrolle dessen, was vergangen ist
und der Gleichheit. |
Wenn ich zwei Farbenflecke nebeneinander sehe und
sage, sie sind von der gleichen Farbe, und wenn ich sage, dieser
Fleck hat dieselbe Farbe wie der, den ich vorhin gesehen habe, so
bedeutet hier die Aussage der Gleichheit etwas anderes, weil sie auf
andere Weise verifiziert wird.
Zu wissen, daß es dieselbe Farbe war, ist etwas anderes, als zu wissen, daß es dieselbe ist. ¤ |
Nach einer Beschreibung kann man einen Plan
Zeichnen. Man kann die Beschreibung in den
Plan übersetzen.
Die Regeln dieser Übersetzung sind nicht wesentlich anders, als die Regeln der Übersetzung aus einer Wortsprache in eine andere. |
Eine falsche Auffassung des
Funktionierens der Sprache zerstört natürlich die
ganze Logik und alles, was mit ihr
zusammenhängt und bringt nicht an
irgend einer Stelle nur eine
kleine Störung hervor. |
Wenn man das Element der Intention aus der Sprache
entfernt, so bricht damit ihre ganze Funktion zusammen.
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Das Wesentliche an der Intention, an der Absicht ist
das Bild. Das Bild des Beabsichtigten. |
Es kann scheinen, als
brächte man mit der Absicht ein unkontrollierbares,
sozusagen metaphysisches Element in unsere Betrachtung.
Der wesentliche Unterschied der
Bild-Auffassung von der Auffassung
Russells,
Ogdens und
Richards's ist aber, daß jene das
Wiedererkennen als das Erkennen einer internen Relation sieht,
während diese das Wiedererkennen für eine externe
Relation hält.
D.h. für mich sind in der Tatsache, daß ein Gedanke wahr ist, nur 2 Dinge involviert, nämlich der Gedanke und die Tatsache; für Russell dagegen drei, nämlich, Gedanke, Tatsache und ein drittes Ereignis, welches, wenn es eintrifft, eben das Wiedererkennen ist. Dieses dritte Ereignis, gleichsam die Stillung des Hungers (die zwei andern sind der Hunger und das Essen einer bestimmten Speise), dieses dritte Ereignis könnte z.B. das Auftreten eines Gefühls der Freude sein. Es ist hier ganz gleichgültig, wie wir dieses dritte Ereignis beschreiben; für das Wesen der Theorie ist das ohne Bedeutung. ¤ |
Die
Kausalität zwischen Sprache und Handlung ist eine externe
Relation, während wir eine interne Relation brauchen.
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Ich glaube, Russells Theorie käme auf Folgendes hinaus:
Wenn ich jemandem einen Befehl gebe und, was er
darauf tut, mir Freude macht, so hat er den Befehl
ausgeführt. (Wenn ich einen Apfel essen wollte und mir einer einen Schlag auf den Magen versetzt, so daß mir die Lust zu essen vergeht, dann war es dieser Schlag, den ich ursprünglich wünschte.) |
Die Schwierigkeit der Darstellung ist hier,
daß, wenn man falsche Annahmen über
das Funktionieren der Sprache macht, und mit dem so Funktionierenden
etwas darstellen will, nicht etwas Falsches, sondern Unsinn sich
ergibt. |
So könnte ich
natürlich nach der
Russell'schen Theorie es gar nicht ausdrücken,
daß der Befehl ausgeführt ist,
wenn, was geschieht, mir Freude macht, weil ich ja
auch die Freude wiedererkennen muß und
dazu ein weiteres Phänomen
auftreten || eintreten
muß, was ich wieder nicht von vornherein
beschreiben kann. |
Wenn man nun sagt: Bilder kämen zwar
vor, aber sie seien nicht das
Regelmäßige; wie seltsam, wenn sie
nun aber einmal da sind und nun ein Widerstreit der beiden
Kriterien von wahr und falsch
entstünde. Zu wessen Gunsten sollte entschieden
werden? |
Es wäre dann natürlich kein Unterschied
zwischen einem Befehl und seinem Gegenbefehl, denn
beide könnten auf die gleiche Weise befolgt werden. |
Wenn beim ersten
Lernen der Sprache gleichsam die Verbindungen zwischen der Sprache
und den Handlungen hergestellt werden –
also die Verbindungen zwischen den Hebeln und der Maschine –
so ist die Frage, können diese Verbindungen vielleicht
reißen; wenn nicht, dann
muß ich jede Handlung als die richtige
hinnehmen; wenn ja, welches Kriterium habe
ich dafür,
daß sie gerissen ist? Denn
welches Mittel habe ich, die ursprüngliche Abmachung mit
der späteren Handlung zu
vergleichen? |
Das Vergleichen ist es, was in der
Russell'schen Theorie nicht vorkommt. Und das
Vergleichen besteht nicht darin, bei der
Konfrontierung der Darstellung mit dem
Dargestellten ein Phänomen zu erleben, das – wie
gesagt – selbst von vornherein nicht beschreibbar
wäre. || war. |
(Ob der Satz wahr oder falsch ist, wird durch die
Erfahrung entschieden, aber nicht sein Sinn). |
Wie ist das Bild
gemeint? Die Intention liegt nie im Bild selbst, denn,
wie immer das Bild beschaffen ist, immer kann es auf verschiedene
Weise gemeint sein. Das sagt aber nicht,
daß, wie das Bild gemeint ist, sich erst
zeigen wird, wenn eine bestimmte Reaktion eingetreten sein wird,
denn die Intention drückt sich schon jetzt darin aus, wie
ich das Bild jetzt mit der Wirklichkeit
vergleiche. |
Man ist in der
Philosophie immer in der Gefahr eine Mythologie des Symbolismus zu
geben, oder der
Psychologie. Statt einfach zu sagen, was jeder
weiß und zugeben
muß. |
Wie wäre es, wenn einer
Schach spielte und wenn er matt gesetzt wäre, sagte
“siehst du, ich habe gewonnen, denn das Ziel
wollte ich erreichen”. Wir würden sagen,
dieser Mensch wollte eben nicht Schach
spielen, sondern ein anderes Spiel, während
Russell sagen
müßte, der hat im Schach gewonnen, der
mit den Figuren spielt und mit dem Ausgang zufrieden ist.
|
Ich erwarte mir,
daß der Stab im selben
Sinne 2 m hoch sein wird, in dem er jetzt
1 m 99 cm hoch ist. |
Die
Erfüllung der Erwartung besteht nicht darin,
daß ein Drittes geschieht, das man
außer eben als “die Erfüllung
der Erwartung” auch noch anders beschreiben könnte,
also z.B. als ein Gefühl der
Befriedigung, oder der Freude, oder wie immer.
Denn die Erwartung, daß p der Fall sein wird, muß das Gleiche sein, wie ¤ die Erwartung der Erfüllung dieser Erwartung; dagegen wäre, wenn ich unrecht habe, die Erwartung, daß p eintreffen wird, verschieden von der Erwartung, daß die Erfüllung dieser Erwartung eintreffen wird.2 |
Ist es nicht so,
daß meine Theorie ganz darin ausgedrückt
ist, daß der Sachverhalt der
die Erwartung von
p befriedigt, durch
den Satz p dargestellt wird? also nicht durch
die Beschreibung eines ganz anderen Ereignisses.
|
Ich möchte sagen: Wenn es nur die
äußere Verbindung gäbe, so
ließe sich gar keine Verbindung
beschreiben, denn wir beschreiben die
äußere Verbindung nur mit Hilfe der
innern. Wenn diese fehlt, so fehlt der Halt, den
wir brauchen, um irgend etwas beschreiben zu
können. Wie wir nichts mit den Händen bewegen
können, wenn wir nicht mit den
Füßen feststehen. |
Die Kausalität
beruht auf einer beobachteten Gleichförmigkeit. Nun
ist zwar nicht gesagt, daß eine bisher
beobachtete Gleichförmigkeit immer so weiter gehen wird, aber,
daß die Ereignisse bisher gleichförmig
waren, muß feststehen; das kann
nicht wieder das unsichere Resultat einer
empirischen Reihe sein, die selbst auch wieder nicht
gegeben ist, sondern von einer ebenso unsicheren abhängt,
u.s.f. ad inf.
|
Wenn ich wünsche,
daß p der Fall ist, so ist ja nicht
p der Fall und in dem
Sachverhalt des Wünschens muß
p vertreten sein, wie ja im Ausdruck des
Wunsches.
Auf die Frage “worauf ist p eine Anweisung” bleibt mir nichts übrig, als es zu sagen, d.h. ein weiteres Zeichen zu geben. Aber kann man nicht dadurch eine Anweisung geben, daß man eine Handlung vormacht? Gewiß; und nun muß man dem Andern mitteilen “jetzt mache es nach”. Man hat vielleicht auch hierfür schon Beispiele gehabt, aber dann muß man ihm sagen, daß jetzt das geschehen soll, was früher geschehen ist. Das heißt doch: Einmal kommt der Sprung vom Zeichen zum Bezeichneten. |
Der Sinn einer Frage
ist die Methode ihrer Beantwortung: Was ist darnach der
Sinn der Frage “meinen zwei Menschen wirklich dasselbe mit
dem Wort
‘weiß’”?
|
Sage mir
wie du suchst und ich werde dir sagen was
du suchst. |
Wenn ich eine Aufforderung verstehe und ihr nicht
Folge leiste, so kann das Verstehen nur in einem Vorgang bestehen,
der die Ausführung vertritt, also in einem
anderen Vorgang als den der Ausführung.
Ich will sagen, daß die Annahme, der vertretende Vorgang sei ein Bild, mir nicht hilft, da auch dadurch der Übergang vom Bild zum Dargestellten nicht wegfällt. |
Wenn man fragen
würde: Erwarte ich denn die Zukunft selbst, oder nur
etwas der Zukunft ähnliches; das
wäre Unsinn. Oder wenn man sagte “wir
können nie sicher sein, daß wir
wirklich das erwartet haben”. |
Die
Vereinbarung von Signalen enthält immer eine
Allgemeinheit, sonst ist die Vereinbarung unnötig.
Es ist eine Vereinbarung, die im besondern Fall verstanden
zu werden hat. |
Wenn ich jemandem sage,
daß morgen schönes Wetter
sein wird, so dokumentiert er sein Verständnis,
indem er nicht jetzt versucht den Satz zu
verifizieren. |
Die Erwartung hängt mit dem
Suchen zusammen. Das Suchen setzt voraus,
daß ich weiß,
wonach ich suche, ohne daß, was ich suche
wirklich existieren muß.
Ich hätte das früher so ausgedrückt, daß das Suchen die Elemente des Komplexes voraussetzt, nicht aber die Kombination, nach der ich suche. Und das ist kein schlechtes Gleichnis. Denn sprachlich drückt sich das so aus, daß der Sinn eines Satzes nur die grammatisch richtige Anwendung gewisser Wörter voraussetzt. |
Wie weiß ich,
daß ich das gefunden habe, was
ich früher gesucht habe?
(Daß das eingetroffen ist, was ich
erwartet habe, etc.)
Ich kann die frühere Erwartung nicht mit dem eintreffenden Ereignis zusammenhalten. Das Ereignis, welches die Erwartung ersetzt, das ist ihre Antwort. Dazu ist es aber nötig, daß ein Ereignis sie ersetzen muß und das heißt ja, daß die Erwartung im gleichen Raum sein muß, wie das Erwartete. Ich rede hier von einer Erwartung nur, als von etwas, was unbedingt entweder erfüllt oder enttäuscht werden muß, also nicht eine Erwartung ins Blaue. |
Das
Ereignis, das die Erwartung ersetzt, beantwortet sie;
d.h., im Ersetzen besteht die
Beantwortung, es kann also keine Frage geben, ob das nun wirklich die
Antwort ist. Eine solche
Frage, hieße, den Sinn eines
Satzes in Frage stellen.
“Ich erwarte einen roten Fleck zu sehen” beschreibt – etwa – meinen gegenwärtigen Geisteszustand. “Ich sehe einen roten Fleck” beschreibt das erwartete Ereignis; ein ganz anderes Ereignis als das erste. Könnte man nun nicht fragen, ob das Wort “rot” im ersten Fall nicht eine andere Bedeutung hat, als im zweiten? Hat es nicht den Anschein, als wäre der erste Satz eine Beschreibung meines Geisteszustandes mit Zuhilfenahme eines fremden unwesentlichen Ereignisses. Etwa so: Ich befinde mich jetzt in einem erwartenden Zustand, den ich durch die Angabe charakterisiere, daß er durch das Ereignis “ich sehe einen roten Fleck” befriedigt wird. Also, wie wenn ich sagte “Ich habe Hunger und weiß aus Erfahrung, daß ihn der Genuß einer bestimmten Speise stillen wird, oder würde.” So ist es nun aber mit der Erwartung nicht! Die Erwartung ist nicht extern durch¤ die Angabe des Erwarteten beschrieben, wie der Hunger durch die Angabe der ihn stillenden Speise – diese kann ja doch schließlich nur vermutet werden. Sondern die Beschreibung der Erwartung durch das, was sie erwartet, ist eine interne Beschreibung. So wird das Wort “rot” gebraucht, daß es in allen diesen Sätzen fungiert: “ich erwarte, einen roten Fleck zu sehen”, “ich erinnere mich an einen roten Fleck”, “ich fürchte mich vor einem roten Fleck”, etc. |
Wenn ich
sage “das ist dasselbe Ereignis, welches ich erwartet
habe” und “das ist dasselbe Ereignis, was auch an
jenem Ort stattgefunden hat”, so bedeutet hier das Wort
“dasselbe” jedesmal etwas anderes.
(Man würde auch normalerweise nicht sagen “das
ist dasselbe, was ich erwartet habe”, sondern “das
ist das, was ich erwartet habe”.) |
Könnten wir uns
aber überhaupt eine Sprache denken, in der die Erwartung,
daß p eintreffen wird, nicht mit
Zuhilfenahme von “p” beschrieben
würde? Ist das nicht ebenso unmöglich, wie eine Sprache, die non-p ohne Zuhilfenahme von “p” ausdrückte? |
Ist es nicht einfach
darum, weil sich die Erwartung desselben Symbols
bedient, wie der Gedanke an ihre Erfüllung.
Denn wenn wir in Zeichen denken, so erwarten und wünschen wir auch in Zeichen. Und beinahe könnte man sagen, daß Einer auf deutsch hoffen und auch englisch fürchten könnte, oder umgekehrt). |
Ein anderer
psychischer Vorgang, der in unsere Gruppe gehört und mit allen
diesen Dingen zusammenhängt, ist die
Absicht. Man könnte sagen, die Sprache
ist wie ein Stellwerk, das mit einer bestimmten
Absicht gehandhabt, oder zu einem bestimmten
Zweck gebaut ist. |
Wenn eine Vorrichtung als Bremse wirken
soll, tatsächlich aber aus
irgendwelchen Ursachen den Gang der Maschine
beschleunigt, so ist die Absicht, der die Vorrichtung
dienen sollte, aus ihr allein nicht zu ersehen.
Wenn man dann etwa sagt “das ist der Bremshebel, er funktioniert aber nicht”, so spricht man von der Absicht. Ebenso ist es, wenn man eine verdorbene Uhr doch eine Uhr nennt. |
(Die psychologischen –
trivialen – Erörterungen über Erwartung,
Assoziation, etc. lassen immer
das eigentlich Merkwürdige aus und man merkt ihnen an,
daß sie herumreden, ohne den vitalen Punkt
zu berühren.) |
Die Erwartung, der
Gedanke, der Wunsch, etc.
daß p eintreffen wird, nenne ich
erst dann so, wenn diese Vorgänge die Multiplizität
haben, die sich in p ausdrückt, erst dann
also, wenn sie artikuliert sind.
Dann aber sind sie
das, was ich die Interpretation von Zeichen
nenne. Gedanken nenne ich erst den artikulierten Vorgang; man könnte also sagen “erst das, was einen artikulierten Ausdruck hat”. (Die Speichelabsonderung im Mund – auch wenn sie noch so genau gemessen ist – ist nicht das, was ich die Erwartung nenne.) |
Vielleicht
muß man
sagen, daß der Ausdruck
“Interpretation von Symbolen”
irreführend ist und man sollte statt dessen sagen
“der Gebrauch von Symbolen”. Denn
“Interpretation” klingt so, als
würde man nun dem Wort “rot” die Farbe Rot
zuordnen (wenn sie
garnicht da ist) u.s.w..
Und es entsteht wieder die Frage: Was ist der
Zusammenhang zwischen Zeichen und Welt. Könnte
ich nach etwas suchen, wenn nicht der Raum da wäre, worin ich
es suche?!
Wo knüpft das Zeichen an die Welt an? |
Etwas suchen ist gewiß ein
Ausdruck der Erwartung. D.h.:
Wie man sucht, drückt irgendwie aus, was
man erwartet. |
Die Idee wäre also, daß
das, was die Erwartung mit der Realität gemeinsam hat, ist,
daß sie sich auf einen andern Punkt im
selben Raum bezieht. (Raum ganz
allgemein verstanden). |
Ich sehe einen Fleck näher und näher an die
Stelle gehen, wo ich ihn
erwartete || erwarte. |
Wenn ich sage
“ich erinnere mich an eine Farbe” – etwa die
Farbe eines bestimmten Buches – so könnte man es als den
Beweis dessen ansehen, daß ich im Stande
wäre, diese Farbe wieder zu mischen, oder zu erkennen, oder
von andern Farben zu sagen, sie seien mehr oder weniger weit von
der erinnerten entfernt. |
Die Erwartung bereitet sozusagen
einen Maßstab vor, womit das eintretende Ereignis
gemessen wird, und zwar so, daß es
unbedingt damit gemessen werden kann, ob es nun mit dem erwarteten
Teilstrich zusammenfällt oder nicht.
Es ist etwa, wie wenn ich die Höhe eines Menschen nach dem Augenmaß schätze und sage “ich glaube, er wird 170 cm hoch sein” und gehe daran, einen Maßstab an ihn anzulegen. Wenn ich auch nicht weiß, wie hoch er ist, so weiß ich doch, daß seine Höhe mit einem Maßstab und nicht mit einer Waage gemessen wird. |
Wenn ich rot zu sehen erwarte, so
bereite ich mich auf
rot vor. |
Ich kann
eine Schachtel vorbereiten, in die ein Stück Holz passen soll,
das ich bekommen soll, und zwar darum, weil das
Stück Holz, wie immer es sein mag Volumen haben
muß. |
Wäre der Akt der Erwartung nicht mit der
Realität verknüpft, so könnte man einen Unsinn
erwarten. |
Die Erwartung von
p und das Eintreffen von
p entsprechen etwa der Hohlform
und der Vollform eines Körpers.
p entspricht dabei der Gestalt
des Volumens und die verschiedenen Arten, wie diese
Gestalt gegeben ist, dem Unterschied von Erwartung und
Eintreffen. |
Wenn ich sage “ich
kann dir das jeden Moment aufzeichnen”,
so setzt das voraus, daß ich im selben
Raum bin in dem jene Tätigkeit vor
sich geht. |
Unsere Erwartung antizipiert das
Ereignis. Sie macht in diesem Sinne ein Modell des
Ereignisses. Wir können aber nur ein Modell von einer Tatsache in der Welt machen, in der wir leben. D.h. das Modell muß in seinem Wesen die Beziehung auf die Welt haben, in der wir leben und zwar gleichgültig, ob es richtig oder falsch ist. Wenn ich sage, die Darstellung muß von meiner Welt handeln, so kann man nicht sagen “weil ich sie sonst nicht verifizieren kann”, sondern, weil sie sonst von vornherein keinen Sinn für mich hat. |
In der Erwartung ist der Teil, der dem
Suchen im Raum entspricht, das Lenken der Aufmerksamkeit.
|
Das Seltsame an der Erwartung ist ja,
daß wir wissen, daß
es eine Erwartung ist. Denn diese Situation
ist z.B. nicht denkbar: Ich habe
irgend ein Vorstellungsbild vor mir und sage “jetzt
weiß ich nicht, ist das eine Erwartung oder
eine Erinnerung, oder nur ein Bild ohne jede Beziehung zur
Wirklichkeit”. Und das zeigt eigentlich, daß die Erwartung mit der Wirklichkeit unmittelbar zusammenhängt. Denn man könnte natürlich nicht sagen, daß auch die Zukunft, von der die Erwartung spricht – ich meine der Begriff der Zukunft – nur die wirkliche Zukunft vertritt! Denn ich erwarte ebenso wirklich, wie ich warte. |
Könnte man auch sagen: Man kann die
Erwartung nicht beschreiben, wenn man die gegenwärtige
Realität nicht beschreiben kann oder, man kann die Erwartung
nicht beschreiben, wenn man nicht eine
vergleichende Beschreibung von Erwartung und
Gegenwart geben kann in der Form: Jetzt sehe
ich hier einen roten Kreis und erwarte mir
später dort ein blaues
Viereck. D.h., der Sprachmaßstab muß an dem Punkt der Gegenwart angelegt werden und deutet dann über ihn hinaus – etwa in der Richtung der Erwartung. |
Es hat nur dann einen Sinn, die Länge eines
Objektes anzugeben, wenn ich eine Methode besitze, dieses Objekt zu
finden – denn sonst kann ich den Maßstab nicht
anlegen. Das, was ich seinerzeit “Gegenstände” genannt habe, das Einfache, ist einfach das, was ich bezeichnen kann, ohne fürchten zu müssen, daß es vielleicht nicht existiert, d.h. das, wofür es Existenz oder Nicht-Existenz nicht gibt und das heißt das, wovon wir reden können, was immer der Fall ist. |
Der visuelle Tisch ist nicht aus Elektronen
zusammengesetzt. |
Wie, wenn mir jemand sagte “ich erwarte 3
Schläge an die Tür” und ich antwortete:
“wie weißt du,
daß es 3
Schläge gibt”. –
Wäre das nicht ganz analog der Frage “wie
weißt du, daß es 6
Fuß gibt” wenn einer etwa gesagt
hätte, ich glaube, daß A 6
Fuß hoch
ist? |
Ist absolute Stille zu verwechseln mit innerer
Taubheit, ich meine der Unbekanntheit mit dem Begriff des
Tones? Wenn das der Fall wäre, so könnte man
den Mangel des Gehörsinnes nicht von dem Mangel eines
andern Sinnes unterscheiden. Ist das aber nicht genau dieselbe Frage wie: Ist der Mann, der jetzt nichts Rotes um sich sieht, in derselben Lage, wie der, der unfähig ist rot zu sehen? Man kann natürlich sagen: Der Eine kann sich rot doch vorstellen, aber das vorgestellte Rot ist ja nicht dasselbe, wie das gesehene. |
Unsere
gewöhnliche Sprache hat kein Mittel um einen bestimmten Farbton,
etwa das Braun meines Tisches zu beschreiben. Sie ist
also unfähig, ein Bild dieser Farbe zu erzeugen.
Wenn ich jemandem mitteilen will, welche Farbe ein Stoff haben soll, so schicke ich ein Muster und offenbar gehört dieses Muster zur Sprache, und ebenso gehört dazu das Gedächtnis oder die Vorstellung einer Farbe, die ich durch ein Wort erwecke. |
Die Erinnerung und die Wirklichkeit müssen in
einem Raum sein. Ich kann auch sagen: Die Vorstellung und die Wirklichkeit sind in einem Raum. |
Wenn ich zwei mir gegenwärtige Farbmuster
miteinander vergleiche und wenn ich ein Farbmuster mit meiner
Vorstellung eines Musters vergleiche, so ist das ähnlich, wie
wenn ich die
Längen zweier
aneinander liegender Stäbe vergleiche, und andererseits die
Längen zweier von einander entfernter Stäbe. Ich
kann dann etwa sagen, sie sind gleich hoch, wenn ich den Blick
horizontal von der einen Spitze zur andern wenden kann. |
Ich habe
tatsächlich nie gesehen, daß ein
schwarzer Fleck nach und nach immer heller wird, bis er
weiß ist und dann immer rötlicher, bis
er rot ist; aber ich weiß,
daß es möglich ist, weil ich es mir
vorstellen kann. D.h. ich
operiere mit meinen Vorstellungen
im Raume der Farben und tue mit ihnen, was mit den Farben möglich
wäre. Und meine Worte nehmen ihren Sinn daher,
daß sie mehr oder weniger vollständig
die Operationen der Vorstellungen widerspiegeln.
Etwa, wie die Notenschrift, die zur Beschreibung eines
gespielten Stücks verwendet werden kann, aber
z.B. die Stärke jedes einzelnen Tones
nicht wiedergibt. |
Die Grammatik gibt
der Sprache den nötigen Freiheitsgrad. |
Das Farbenoktaeder ist Grammatik, denn es sagt,
daß wir von einem rötlichen Blau aber
nicht von einem rötlichen Grün reden können
etc. |
Wenn ich nur etwas Schwarzes
sehe und sage, es ist nicht rot, wie weiß
ich, daß ich nicht Unsinn rede,
d.h. daß es rot sein
kann, daß es rot gibt? Wenn
nicht rot eben ein anderer Teilstrich auf dem Maßstab ist, auf
dem auch schwarz einer ist. Was ist der Unterschied
zwischen “das ist nicht rot” und “das ist
nicht abrakadabra”? Ich
muß offenbar wissen,
daß “schwarz”, welches den
tatsächlichen Zustand beschreibt (oder beschreiben
hilft) das ist, an dessen Stelle in der Beschreibung
“rot” steht. |
Aber was heißt
das? Wie weiß ich,
daß es nicht “weich” ist,
an dessen Stelle “rot” stand? Kann
man etwa sagen, daß rot weniger verschieden
von schwarz ist als von weich? Das
wäre
natürlich Unsinn. |
Inwiefern
kann man die Farben mit den Punkten einer Skala
vergleichen?
Kann man sagen, daß die Richtung, die von schwarz zu rot führt, eine andere ist, als die, in welcher man von schwarz nach blau gehen muß? Denn wenn mir schwarz gegeben ist und ich rot erwarte, so ist es anders, als wenn mir schwarz gegeben ist und ich blau erwarte. Und wenn der Vergleich mit dem Maßstab stimmt, es muß mir das Wort blau sozusagen die Richtung angeben, in der ich von schwarz zu blau gelange; sozusagen die Methode, wie ich zu blau gelange. Könnte man nicht auch so sagen: “Der Satz muß den Ort von Blau konstruieren, den Punkt, an den die Tatsache gelangen muß, wenn das und das blau ist. Damit hängt es zusammen, daß ich sagen kann, diese Farbe kommt meiner Erwartung näher als die andere. |
Wie drücken sich aber diese verschiedenen
Richtungen in der Grammatik aus? Ist das nicht
derselbe Fall, wie: Ich sehe ein Grau und sage
“ich erwarte, daß dieses Grau
dunkler werden wird”. Wie zeigt die Grammatik den
Unterschied zwischen “heller” und
“dunkler”? Oder: Wie kann
ich an dem Grau den Maßstab, der von weiß
nach schwarz führt, in einer bestimmten Richtung
anbringen. Es ist doch, als wäre das Grau nur ein Punkt und wie kann ich in dem die 2 Richtungen sehen. Und das sollte ich doch irgendwie können, um dann in dieser Richtung an einen bestimmten Ort gelangen zu können. |
Das Gefühl ist, als
müßte non-p um
p zu verneinen es erst in
gewissem Sinne wahr machen. Man fragt
“was ist nicht der Fall”.
Dieses muß dargestellt werden, kann
aber doch nicht so dargestellt werden, daß
p wirklich wahrgemacht
wird. |
Der rot-grün Blinde hat ein anderes
Farbensystem als der Normale. Der rot-grün
Blinde wäre ähnlich einem
Menschen, der nicht die Möglichkeit hat, den Kopf zu drehen
und der daher eine andere Art Raum hätte, da es für ihn nur
den Gesichtsraum allein gäbe und also
z.B. kein “hinten”.
Das würde natürlich nicht
heißen, daß für
ihn der euklidische Raum eine
Grenze hätte! Sondern er käme – wenigstens
was das Sehen von Dingen betrifft – nicht zum Begriff des
euklidischen Raums.
Heißt nun die Frage etwa: Kann der, der rot und grün nicht kennt, wirklich das sehen, was wir (oder ich) “blau” und “gelb” nennen? Diese Frage muß natürlich ebenso unsinnig sein wie die, ob der andere normal Sehende wirklich dasselbe sieht, wie ich. |
Das Grau
muß bereits im Raum von dunkler und heller
vorgestellt sein, wenn ich davon reden will,
daß es dunkler oder heller werden
kann.
Man könnte also vielleicht auch sagen: Der Maßstab muß schon angelegt sein, ich kann ihn nicht – willkürlich – anlegen, ich kann nur einen Teilstrich darauf hervorheben. Das kommt auf Folgendes hinaus: Wenn es um mich her vollkommen still ist, so kann ich an diese Stille den Gehörsraum nicht willkürlich anbringen (aufbauen) oder nicht anbringen. D.h. es ist für mich entweder still im Gegensatz zu einen Laut, oder das Wort still hat keine Bedeutung für mich. D.h. ich kann nicht wählen zwischen innerem Gehör und innerer Taubheit. Und ebenso kann ich, wenn ich grau sehe, nicht zwischen normalem inneren Sehen, partieller oder vollkommener Farbenblindheit wählen. |
Angenommen, wir hätten einen Apparat um unsere
Sehtätigkeit völlig auszuschalten,
sodaß wir den Gesichtssinn verlieren
könnten, und angenommen, ich hätte ihn auf solche
Weise ausgeschaltet: Könnte ich in diesem Zustand
sagen “ich sehe einen gelben Fleck auf rotem
Grund”? Könnte diese Rede für mich
Sinn haben? |
Ich will sagen:
Einer Frage entspricht unmittelbar: eine
Methode des Findens.
Oder man könnte sagen: Eine Frage bezeichnet eine Methode des Suchens. |
Suchen kann man nur in einem
Raum. Denn nur im Raum hat man eine
Beziehung zum Dort, wo man nicht ist.
|
Den Sinn eines Satzes verstehen, heißt,
wissen wie die Entscheidung herbeizuführen ist, ob er wahr
oder falsch ist. |
Das Wesen dessen, was wir Willen nennen, hängt
unmittelbar mit der Kontinuität des Gegebenen
zusammen. |
Man
muß von dort, wo man ist, dorthin finden, wo
die Entscheidung liegt. |
Falsch suchen kann
man nicht, man kann nicht mit dem Tastsinn einen
Gesichtseindruck suchen. |
Man kann ein Bild nicht mit der Wirklichkeit
vergleichen, wenn man es nicht als Maßstab an sie anlegen
kann. Man muß den Satz auf die Wirklichkeit auflegen können. Die angeschaute Wirklichkeit tritt an Stelle des Bildes. |
Soll ich konstatieren, ob
2 Punkte eine gewisse Entfernung haben, so
muß ich die Entfernung ins Auge fassen,
die sie haben. |
Wie ist eine
“formally certified proposition”
möglich? Es wäre ein Satz, dem man ansieht,
ob er wahr oder falsch ist. Aber wie kann man durch
Hinsehen auf den Satz oder den Gedanken herausfinden,
daß er wahr ist? Der
Gedanke ist doch etwas ganz anderes als der Sachverhalt,
den der Satz behauptet. |
Die Methode des Messens,
z.B. des räumlichen Messens, verhält
sich zu einer bestimmten Messung genau so, wie der Sinn eines
Satzes zu seiner Wahr- oder Falschheit.
|
Die Anwendung,
Applikation, des Maßstabes setzt keine Länge des zu
messenden Objekts voraus. Ich kann daher messen lernen im Allgemeinen, ohne es an jedem meßbaren Objekt auszuführen. (Das ist nicht einfach eine Analogie, sondern tatsächlich ein Beispiel.) Alles was ich brauche ist: Ich muß sicher sein können, daß ich meinen Maßstab anlegen kann. Wenn ich also sage: “Noch 3 Schritte und ich werde rot sehen”, so setzt das voraus, daß ich den Längen- und den Farben-Maßstab jedenfalls anlegen kann. |
Man kann mir einwenden, der Maßstab mit der Marke
in einer bestimmten Höhe kann sagen,
daß etwas diese Höhe hat, aber
nicht was sie hat.
Ich würde nun etwa antworten, daß alles, was ich tun kann, ist, zu sagen, daß etwas, was von mir in einer bestimmten Richtung 3 m entfernt ist, 2 m hoch ist. |
Ich werde jede
Tatsache, deren Bestehen Voraussetzung für den Sinn eines Satzes
ist, als zur Sprache gehörig rechnen.
|
Daß der
Maßstab im selben Raum sein muß und ist,
wie das gemessene Objekt, ist verständlich. Aber
inwiefern sind die Worte im selben Raum, wie das Objekt,
dessen Länge in Worten beschrieben wird, oder im selben
Raum, wie die Farbe etc.? Es klingt
absurd. |
Die schwarze Farbe kann heller aber nicht lauter
werden. D.h.,
daß sie im
Hell- dunkel-Raum und nicht
im Laut-leise-Raum
ist. – Aber der Gegenstand hört doch eben auf
schwarz zu sein, wenn er heller wird. Aber er war dann
schwarz, und wie ich eine Bewegung sehen kann (im
gewöhnlichen Sinn) kann ich auch eine Farbbewegung
sehen.
(Man könnte aber auch sagen:) Die Einheitsstrecke gehört zum Symbolismus. Sie gehört zur Projektionsmethode. Ihre Länge ist willkürlich, aber sie enthält das spezifisch räumliche Element. Wenn ich also eine Strecke 3 nenne, so bezeichnet hier die 3 mit Hilfe der im Symbolismus vorausgesetzten Einheitsstrecke. Dasselbe kann man auch auf die Zeit anwenden. |
Als ich die Sprache konstruierte, die sich bei der
Darstellung des Sachverhaltes im Raum eines Koordinatensystems
bedient, da habe ich doch damit einen Bestandteil in die Sprache
eingeführt, dessen sie sich sonst nicht bedient.
Dieses Mittel ist gewiß
erlaubt. Und es zeigt den Zusammenhang zwischen
Sprache und Realität. Das geschriebene Zeichen ohne
das Koordinatensystem ist sinnlos.
Muß nun nicht etwas
Ähnliches zur Darstellung der Farben
verwendet werden. |
Wenn ich sage, etwas
ist 3 Fuß lang, so setzt das voraus,
daß mir die
Fußlänge irgendwie gegeben
ist. Sie ist tatsächlich durch eine Beschreibung
gegeben. Dort und dort liegt ein Stab, dessen Länge
ist 1 Fuß. Das
“dort und dort” beschreibt indirekt eine Methode
um an den Ort zu gelangen; tut es das
nicht, so ist die Ortsangabe sinnlos. Die Ortsangabe
“London” hat nur Sinn, wenn es
möglich ist, London zu suchen.
|
Ein Befehl ist nur dann
vollständig, wenn er Sinn hat, was immer der Fall sein
mag. Man könnte auch sagen: Dann ist
er vollständig analysiert. |
Daß uns nichts auffällt, wenn wir uns
umsehen, im Raum herumgehen, unseren eigenen Körper
fühlen etc. etc. das zeigt, wie
natürlich uns eben diese Dinge sind. Wir nehmen
nicht wahr, daß wir den Raum perspektivisch
sehen oder daß das Gesichtsbild gegen den
Rand zu in irgend einem Sinne verschwommen ist. Es
fällt uns nie auf und kann uns nie auffallen, weil es
die Art der Wahrnehmung ist. Wir denken nie
darüber nach, und es ist unmöglich, weil es zu der Form
unserer Welt keinen Gegensatz gibt. |
Ich wollte sagen, es ist
merkwürdig, daß die, die nur den Dingen,
nicht unseren Vorstellungen, Realität zuschreiben, sich in der
Vorstellungswelt so selbstverständlich bewegen und sich nie
aus ihr heraussehnen.
D.h., wie selbstverständlich ist doch das Gegebene. Es müßte mit allen Teufeln zugehen, wenn das das kleine, aus einem schiefen Winkel aufgenommene Bildchen wäre. Dieses Selbstverständliche, das Leben, soll etwas Zufälliges, Nebensächliches sein; dagegen etwas worüber ich mir normalerweise nie den Kopf zerbreche, das Eigentliche! D.h., das, worüber hinaus man nicht gehen kann, noch gehen will, wäre nicht die Welt. Immer wieder ist es der Versuch, die Welt in der Sprache abzugrenzen und hervorzuheben – was aber nicht geht. Die Selbstverständlichkeit der Welt drückt sich eben darin aus, daß die Sprache nur sie bedeutet, und nur sie bedeuten kann. Denn, da die Sprache die Art ihres Bedeutens erst von ihrer Bedeutung, von der Welt, erhält, so ist keine Sprache denkbar, die nicht diese Welt darstellt. |
Wenn die Welt der Daten zeitlos
ist, wie kann man dann überhaupt über sie
reden? |
Der Strom des Lebens, oder der
Strom der Welt fließt dahin, und
unsere Sätze werden, sozusagen, nur in Augenblicken
verifiziert. Unsere Sätze werden nur von der Gegenwart verifiziert. Sie müssen also so gemeint sein, daß sie von ihr verifiziert werden können. Sie müssen das Zeug haben, um von ihr verifiziert werden zu können. Dann haben sie also in irgend einer Weise die Kommensurabilität mit der Gegenwart und diese können sie nicht haben, trotz ihrer raum-zeitlichen Natur, sondern diese muß sich zu jener verhalten, wie die Körperlichkeit eines Maßstabs zu seiner Ausgedehntheit mittels der er mißt. In diesem Falle kann man auch nicht sagen: “Ja, der Maßstab mißt die Länge trotz seiner Körperlichkeit, freilich, ein Maßstab, der nur Länge hätte wäre das Ideal, wäre quasi der reine Maßstab”. Nein, wenn ein Körper Länge hat, so kann es keine Länge ohne einen Körper geben – und wenn ich auch verstehe, daß in einem bestimmten Sinn nur die Länge des Maßstabs mißt, so bleibt doch, was ich in die Tasche stecke, der Maßstab, der Körper, und ist nicht die Länge. |
Vielleicht
beruht diese ganze Schwierigkeit auf der
Übertragung des Zeitbegriffs
der physikalischen Zeit, auf dem Verlauf der
unmittelbaren Erlebnisse. Es ist eine Verwechslung der
Zeit des Filmstreifens mit der Zeit des projizierten
Bildes. Denn “die Zeit” hat eine
andere Bedeutung, wenn wir das Gedächtnis als die Quelle der
Zeit auffassen und wenn wir es als ein aufbewahrtes Bild
des vergangenen Ereignisses auffassen.
Wenn wir das Gedächtnis als ein Bild auffassen, dann ist es ein Bild eines physikalischen Ereignisses. Das Bild verblaßt und ich merke sein Verblassen, wenn ich es mit andern Zeugnissen des Vergangenen vergleiche. Hier ist das Gedächtnis nicht die Quelle der Zeit, sondern mehr oder weniger gute Aufbewahrerin dessen, was “wirklich” gewesen ist, und dieses war eben etwas, wovon wir auch andere Kunde haben können, ein physikalisches Ereignis. – Ganz anders ist es, wenn wir nun das Gedächtnis als Quelle der Zeit betrachten. Es ist hier kein Bild und kann auch nicht verblassen – in dem Sinne, wie ein Bild verblaßt, sodaß es seinen Gegenstand immer weniger getreu darstellt. Beide Ausdrucksweisen sind in Ordnung und gleichberechtigt, aber nicht miteinander vermischbar. Es ist ja klar, daß die Ausdrucksweise vom Gedächtnis als einem Bild, nur ein Bild || Gleichnis ist; genau so, wie die Ausdrucksweise, die die Vorstellungen “Bilder der Gegenstände in unserem Geiste” (oder dergleichen) nennt. Was ein Bild ist, das wissen wir, aber die Vorstellungen sind doch gar keine Bilder. Denn sonst kann ich das Bild sehen und den Gegenstand, dessen Bild es ist; aber hier ist es offenbar ganz anders. Wir haben eben ein Gleichnis gebraucht und nun tyrannisiert uns das Gleichnis. In der Sprache dieses Gleichnisses kann ich mich nicht außerhalb des |
Wenn
die Erinnerung kein Sehen in die Vergangenheit ist, wie
wissen wir dann überhaupt, daß sie
mit Beziehung auf die Vergangenheit zu deuten ist? Wir
könnten uns dann einer Begebenheit erinnern und zweifeln, ob
wir in unserem Erinnerungsbild ein Bild der Vergangenheit oder der
Zukunft haben. Man kann natürlich sagen: Ich sehe nicht die Vergangenheit, sondern nur ein Bild der Vergangenheit. Aber woher weiß ich, daß es ein Bild der Vergangenheit ist, wenn dies nicht im Wesen des Erinnerungsbildes liegt. Haben wir etwa durch die Erfahrung gelernt, diese Bilder als Bilder der Vergangenheit zu deuten? Aber was hieße hier überhaupt “Vergangenheit”? |
Nun widerstreitet es aber allen Begriffen der
physikalischen Zeit, daß ich in die
Vergangenheit wahrnehmen sollte und das scheint wieder nichts anderes
zu bedeuten als daß der
Zeitbegriff im ersten System von dem in der Physik radikal
verschieden sein muß. |
Wenn man frägt:
Welches Erlebnis liegt dem Zeitbegriff, der Annahme einer
Zeit, zu Grunde; wie muß man
antworten? – Es ist die Erinnerung, wenn es eine
punktartige Gegenwart gibt; oder es ist eine
kontinuierliche Wahrnehmung deren einer Endpunkt die
Gegenwart ist, und die man in einem weiteren Sinne auch
Erinnerung nennen kann. |
Ist die Zeit
in der die Erlebnisse des Gesichtsraums vor sich gehen, ohne
Tonerlebnisse denkbar? Es scheint, ja.
Und doch, wie seltsam, daß etwas eine Form
sollte haben können, die auch ohne eben
diesen Inhalt denkbar wäre. Oder lernt
der, dem das Gehör
geschenkt würde, damit auch eine neue Zeit kennen?
Die hergebrachten Fragen taugen zur logischen Untersuchung der Phänomene nicht. Diese schaffen sich ihre eigenen Fragen, oder vielmehr, geben ihre eigenen Antworten. |
Wenn ich
die Tatsachen des ersten Systems
mit den Bildern auf der Leinwand, und die Tatsachen im zweiten
System || der unmittelbaren Erfahrung mit den Bildern auf der
Leinwand, und die Tatsachen der Physik mit den
Bildern auf dem Filmstreifen vergleiche, so gibt es auf dem
Filmstreifen ein gegenwärtiges Bild, vergangene und
zukünftige Bilder; auf der Leinwand aber ist nur
die Gegenwart.
Das eine Charakteristische an diesem Gleichnis ist, daß ich darin die Zukunft als präformiert ansehe. Es hat einen Sinn zu sagen, die zukünftigen Ereignisse seien präformiert, wenn es im Wesen der Zeit liegt, nicht abzureißen. Denn dann kann man sagen: Etwas wird geschehen ich weiß nur nicht, was. Und in der Welt der Physik kann man das sagen. |
Es ist
merkwürdig, daß wir das
Gefühl, daß das Phänomen uns
entschlüpft, den ständigen Fluß
der Erscheinung, im gewöhnlichen Leben nie spüren, sondern
erst, wenn wir philosophieren. Das deutet darauf hin,
daß es sich hier um einen Gedanken
handelt, der uns durch eine falsche Verwendung unserer Sprache
suggeriert wird. |
Das Gefühl ist nämlich,
daß die Gegenwart in die Vergangenheit
schwindet, ohne daß wir es hindern
können. Und hier bedienen wir uns doch offenbar des
Bildes eines Streifens, der sich unaufhörlich an uns
vorbeibewegt und den wir nicht aufhalten können.
Aber es ist natürlich ebenso klar,
daß das Bild
mißbraucht ist.
Daß man nicht sagen kann “die
Zeit fließt” wenn man mit
“Zeit” die Möglichkeit der Veränderung
meint. |
Was wir hier betrachten, ist eigentlich die
Möglichkeit der Bewegung. Also die logische
◇ Form
der Bewegung. |
Dabei kommt es uns vor, als wäre die Erinnerung
eine etwas sekundäre Art der Erfahrung, im
Vergleich zur Erfahrung des Gegenwärtigen. Wir sagen
“daran können wir uns nur
erinnern”. Als wäre in einem primären
Sinn die Erinnerung ein etwas schwaches und unsicheres Bild dessen,
was wir ursprünglich in voller Deutlichkeit vor uns
hatten. In der physikalischen Sprache stimmt das: Ich sage “ich kann mich nur undeutlich an dieses Haus erinnern”. |
Und warum es nicht
dabei sein Bewenden haben lassen? Denn diese
Ausdrucksweise sagt ja doch alles, was wir sagen wollen und was
sich sagen läßt; und das ist
wichtig. Aber wir wollen sagen,
daß es sich auch noch anders
sagen läßt; und das ist wichtig.
In dieser andern Ausdrucksweise wird der Nachdruck gleichsam auf etwas anderes gelegt. Die Worte “scheinen”, “Irrtum”, etc. haben nämlich eine gewisse Gefühlsbetonung, die dem Phänomen nicht wesentlich ist. Sie hängt irgendwie mit dem Willen und nicht bloß mit der Erkenntnis zusammen. Wir reden z.B. von einer optischen Täuschung und verbinden mit diesem Ausdruck die Idee eines Fehlers, obwohl ja nicht wesentlich ein Fehler vorliegt; und wäre im Leben für gewöhnlich das Aussehen wichtiger, als die Resultate der Messung, so würde auch die Sprache zu diesen Phänomenen eine andere Einstellung zeigen. Es gibt nicht – wie ich früher glaubte – eine primäre Sprache im Gegensatz zu unserer gewöhnlichen, der “sekundären”. Aber insofern könnte man im Gegensatz zu unserer Sprache von einer primären reden, als in dieser keine Bevorzugung gewisser Phänomene vor anderen ausgedrückt sein dürfte; sie müßte sozusagen absolut sachlich sein. |
Was zum Wesen der Welt
gehört, kann die Sprache nicht ausdrücken.
Daher kann sie nicht sagen, daß alles fließt. Nur was wir uns auch anders vorstellen können, kann die Sprache sagen. |
Daß alles fließt,
muß in der Anwendung der Sprache
ausgedrückt sein, und zwar nicht in einer
Anwendungsart, im Gegensatz zu einer andern, sondern in
der Anwendung. In dem, was
wir überhaupt die Anwendung der Sprache nennen. |
Unter Anwendung verstehe ich das, was die
Lautverbindungen oder Striche überhaupt
zu einer Sprache macht.
In dem Sinn, in dem es die Anwendung ist, die
den Stab mit Strichen zu einem Maßstab
machen. Das Anlegen der Sprache an die
Wirklichkeit. |
Wir sind in Versuchung, zu
sagen: Nur die Erfahrung des gegenwärtigen
Augenblicks hat Realität. Und da
muß die erste Antwort sein: Im
Gegensatz wozu?
Soll das heißen, daß ich heute früh nicht aufgestanden bin? (Denn dann wäre es bedenklich.) Aber das meinen wir nicht. Heißt es, daß ein Ereignis, dessen ich mich in diesem Augenblick nicht erinnere, nicht stattgefunden hat? Auch nicht. Das Wesen der Sprache aber ist ein Bild des Wesens der Welt und die Philosophie als Verwalterin der Grammatik kann tatsächlich das Wesen der Welt erfassen, nur nicht in Sätzen der Sprache, sondern in Regeln für diese Sprache, die unsinnige Zeichenverbindungen ausschließen. |
Wenn man sagt,
die gegenwärtige Erfahrung nur hat
Realität, so muß hier schon das Wort
“gegenwärtig” überflüssig sein, wie in anderen
Verbindungen das Wort “ich”.
Denn es kann nicht heißen
gegenwärtig im Gegensatz zu vergangen und
zukünftig. – Es muß mit
dem Wort etwas anderes gemeint sein, etwas was nicht in
einem Raum ist, sondern selbst ein Raum.
D.h., nicht angrenzend an Anderes
(daher abgrenzbar davon). Also etwas, was die Sprache
nicht mit Recht herausheben kann. |
Die Gegenwart von der wir hier
reden, ist nicht das Bild des Filmstreifens, das gerade jetzt im
Objektiv der Laterne steht, im Gegensatz zu den Bildern vor und
nach diesen, die noch nicht oder
schon früher dort waren; sondern das Bild auf der Leinwand,
das mit Unrecht gegenwärtig genannt würde, weil
gegenwärtig hier nicht zum Unterschied von vergangen und
zukünftig gebraucht wird. Es ist also ein
bedeutungsloses Beiwort. |
Es gibt allerdings sehr
interessante ganz allgemeine Sätze von
großer Wichtigkeit, Sätze die
also auch eine wirkliche Erfahrung beschreiben, die auch hätte
anders sein können, aber nun einmal so
ist. Z.B.,
daß ich nur einen Körper
habe. Daß meine
Empfindlichkeit || Empfindung
nie über diesen Körper hinausreicht
(außer in Fällen wo einem ein
Glied, z.B. ein Arm amputiert wurde und er doch
Schmerzen in den Fingern spürt).
Das sind merkwürdige und interessante Tatsachen.
Nicht in diese Kategorie gehört es aber, wenn man sagt, daß ich die Zukunft nicht erinnern kann. Denn das heißt nichts und ist, wie sein Gegenteil, eine Undenkbarkeit. Daß ich immer, wenn ich wach bin, aus meinen Augen sehe, ist dagegen eine merkwürdige und interessante Tatsache. Ebenso ist es wichtig, daß mein Gesichtsbild beinahe unausgesetzt in Veränderung begriffen ist. “Ich” bedeutet offenbar meinen Körper, denn ich bin in diesem Zimmer; und “ich” ist wesentlich etwas, was an einem Ort ist und an einem Ort desselben Raumes in dem auch die andern Körper sind. |
“Realismus”,
“Idealismus”, etc. sind schon von vornherein
metaphysische Namen.
D.h. sie
deuten darauf hin, daß ihre Anhänger
glauben, etwas Bestimmtes über das Wesen der Welt
aussagen zu können. |
Wer den Satz, nur die
gegenwärtige Erfahrung sei real, bestreiten will, (was
ebenso falsch ist, wie ihn zu behaupten) wird etwa fragen, ob
denn ein Satz, wie “Julius
Cäsar ging über
die Alpen” nur meinen
gegenwärtigen Geisteszustand, der sich mit dieser Sache
beschäftigt, beschreibt. Und die Antwort ist
natürlich: Nein! Er beschreibt ein
Ereignis, das, wie wir glauben, vor ca. 2000
Jahren geschehen ist. Wenn nämlich das Wort
“beschreibt” so aufgefaßt wird, wie in dem Satz
“der Satz ‘ich
schreibe’ beschreibt, was ich
gegenwärtig tue”. Der
Name Julius Cäsar bezeichnet eine Person. Aber was sagt denn das alles?
Ich scheine mich ja um die eigentliche philosophische Antwort drücken zu wollen!
Sätze, die von Personen handeln,
d.h. Personennamen
|
Alles was, wenn es geschähe,
einen Glauben mit Recht bestärken würde, bestimmt logisch
die Natur dieses Glaubens.
D.h. es zeigt etwas über
das logische Wesen dieses Glaubens. |
Der Satz über
Julius Cäsar
ist eben ein Gerüst (wie der, über jede andere
Person) das die verschiedensten Verifikationen
zuläßt, allerdings nicht alle, die es im
Falle anderer z.B. lebender Personen
zuläßt. |
Ist nicht Alles was ich
meine, daß es zwischen
dem Satz und seiner Verifikation nicht noch
ein Mittelglied gibt, das diese Verifikation
vermittelt? |
Auch unsere gewöhnliche Sprache
muß ja für alle Fälle der
Unsicherheit vorsorgen und wenn wir gegen sie philosophisch etwas
einzuwenden haben, so kann es nur aus dem Grund sein, weil sie in
gewissen Fällen zu Mißdeutungen
Anlaß gibt. |
Eine der am meisten irreführenden Darstellungsweisen
unserer Sprache ist der Gebrauch des Wortes “ich”, besonders
dort, wo sie damit das unmittelbare Erlebnis
darstellt, wie in “ich sehe einen
roten Fleck”.
Es wäre nun lehrreich diese Ausdrucksweise durch eine andere zu ersetzen, in der das unmittelbare Erlebnis nicht mit Hilfe des persönlichen Fürworts dargestellt würde; || – weil man daraus sehen könnte, daß jene Darstellung den Tatsachen nicht wesentlich ist. Nicht, daß die Darstellung in irgend einem Sinne richtiger wäre, als die alte, sondern sie würde nur den Dienst tun, klar zu zeigen, was das logisch Wesentliche der Darstellung ist. Die ärgsten philosophischen Irrtümer entstehen immer, wenn man unsere gewöhnliche – physikalische – Sprache im Gebiet des unmittelbar Gegebenen anwenden will. Wenn man z.B. frägt “existiert der Kasten noch, wenn ich ihn nicht anschaue”, so wäre die einzig richtige Antwort “gewiß, wenn ihn niemand weggetragen oder zerstört hat”. Natürlich wäre der Philosoph von dieser Antwort nicht befriedigt, aber sie würde ganz richtig seine Fragestellung ad absurdum führen. |
Alle unsere Redeformen sind aus der normalen
physikalischen Sprache hergenommen und in der Erkenntnistheorie
oder Phänomenologie nicht zu gebrauchen, ohne schiefe
Lichter auf den Gegenstand zu werfen. |
Die bloße Redensart
“ich nehme x
wahr” ist schon aus der physikalischen
Ausdrucksweise genommen und x soll hier ein
physikalischer Gegenstand – z.B. ein
Körper – sein. Es ist schon falsch, diese
Redeweise in der Phänomenologie zu verwenden, wo dann x
ein Datum bedeuten muß. Denn nun
kann auch “ich” und “nehme
wahr” nicht den Sinn haben, wie
oben. |
Man
könnte folgende Darstellung adoptieren: Wenn ich
L.W.
Zahnschmerzen habe, so wird das durch den Satz “es gibt Zahnschmerzen” ausgedrückt. Ist aber das der Fall, was
jetzt durch den Satz “A hat
Zahnschmerzen” ausgedrückt wird,
so wird gesagt: “A
benimmt sich wie L.W. wenn es Zahnschmerzen gibt.” Analog wird gesagt “es denkt” und
“A benimmt sich wie
L.W. wenn
es denkt”. (Man
könnte sich eine orientalische Despotie denken, in der die
Sprache so gebildet ist, daß der Despot ihr
Zentrum ist und sein Name an Stelle des
L.W.
steht.) Es ist klar, daß diese
Ausdrucksweise, was ihre Eindeutigkeit und
Verständlichkeit anbelangt, mit der Unseren gleichwertig
ist. Es ist aber ebenso klar,
daß diese Sprache
jeden beliebigen als Zentrum haben kann.
Von allen den Sprachen nun, die verschiedene Menschen als Zentrum haben und die ich alle verstehe, hat die, welche mich zum Zentrum hat, eine Sonderstellung. Sie ist besonders adäquat. Wie kann ich das ausdrücken? D.h., wie kann ich ihren Vorzug korrekt in Worten darstellen? Das ist nicht möglich. Denn tu ich's in der Sprache, die mich zum Zentrum hat, dann ist die Ausnahmsstellung der Beschreibung dieser Sprache in ihren eigenen Termini kein Wunder, und in der Ausdrucksweise einer andern Sprache nimmt meine Sprache durchaus keine Sonderstellung ein. – Die Sonderstellung liegt in der Anwendung, und wenn ich diese Anwendung beschreibe, so kommt dadurch die Sonderstellung wieder nicht zum Ausdruck, weil die Beschreibung von der Sprache abhängt, in der sie gegeben wird. Und welche Beschreibung nun das meint, was ich im Sinne habe, hängt wieder von ihrer Anwendung ab. Nur die Anwendung unterscheidet wirklich zwischen den Sprachen, aber von ihr abgesehen sind alle Sprachen gleichwertig. – Alle diese Sprachen stellen doch nur ein Einziges, Unvergleichliches dar und können nichts anderes darstellen. (Die beiden Betrachtungsweisen müssen zu demselben führen: Die eine, daß das Dargestellte nicht eines unter mehreren ist, daß es keines Gegensatzes fähig ist; die andere, daß ich den Vorzug meiner Sprache nicht aussprechen kann). |
Es ist
nicht möglich, etwas zu glauben, was man sich nicht irgendwie
verifiziert denken kann.
Wenn ich sage, ich glaube, daß jemand traurig ist, so sehe ich gleichsam sein Benehmen durch das Medium der Traurigkeit, unter dem Gesichtspunkt der Traurigkeit. Könnte man aber sagen: “Mir scheint ich bin traurig, ich lasse den Kopf so hängen”? |
Nicht nur kümmert sich die
Erkenntnistheorie nicht um die Wahr- und
Falschheit der eigentlichen Sätze, sondern es ist sogar eine
philosophische Methode, gerade die Sätze ins Auge zu fassen,
deren Inhalt uns physikalisch als der aller unmöglichste
erscheint (z.B.,
daß Einer im Zahn eines
Andern Schmerzen hat). Sie betont
damit, daß ihr
Reich alles auch nur Denkbare umfaßt.
|
Hat es einen Sinn zu
sagen, daß zwei Menschen denselben
Körper haben? Das ist eine ungemein wichtige und
interessante Frage. Wenn es keinen Sinn hat,
so ist damit – glaube ich – gesagt,
daß nur unsere Körper das
individualisierende Prinzip sind. Es ist
offenbar vorstellbar,
daß
ich einen Schmerz in der Hand eines anderen Körpers als
¤ meines sogenannten eigenen spüre. Wie
aber wenn nun mein alter Körper ganz unempfindlich und
unbeweglich würde und ich meine Schmerzen nur mehr im anderen
Körper empfände? |
Man könnte
sagen: Die Philosophie sammle fortwährend ein
Material von Sätzen, ohne sich um ihre
Wahr- oder Falschheit zu kümmern; nur im
Falle der Logik und Mathematik hat sie es nur mit den
“wahren” Sätzen zu tun. |
Von Sinnesdaten in
dem Sinne dieses Wortes, in dem es undenkbar ist,
daß der Andere sie hat, kann man eben aus
diesem Grunde auch nicht sagen, daß der
Andere sie
nicht hat. Und aus eben diesem Grund ist es sinnlos zu
sagen, daß ich, im
Gegensatz zum Anderen, sie habe. |
Man sagt “deine Zahnschmerzen
kann ich nicht fühlen”; meint man damit
nur, daß man die Zahnschmerzen des Andern
tatsächlich bis jetzt nie gespürt hat? Und
nicht vielmehr, daß es logisch
unmöglich ist? |
Wie unterscheiden sich seine
Zahnschmerzen von den meinen? Wenn das
Wort “Zahnschmerzen” dieselbe Bedeutung hat in
“ich habe Zahnschmerzen”
und “er hat Zahnschmerzen”,
was heißt es dann zu sagen,
daß er nicht dieselben Zahnschmerzen haben
kann, wie ich?
Wie können sich denn Zahnschmerzen voneinander
unterscheiden? Durch Stärke und ähnliche
Charakteristika und durch die
Lokalisation. Wenn diese aber in beiden Fällen die
gleichen sind? Wenn man aber einwendet, ihr Unterschied
sei eben der, daß in einem Falle
ich sie habe, im andern Fall er; dann ist
also die besitzende Person ein Charakteristikum
der Zahnschmerzen selbst; aber was ist dann mit dem Satz
“ich habe Zahnschmerzen”
(oder dem anderen) ausgesagt? Gar nichts.
Wenn das Wort “Zahnschmerzen” in beiden Fällen die gleiche Bedeutung hat, dann muß man die Zahnschmerzen der beiden miteinander vergleichen können und wenn sie in Stärke etc. miteinander übereinstimmen, so sind sie die gleichen; wie zwei Anzüge, die gleiche Farbe haben, wenn sie in Bezug auf Helligkeit, Sättigung etc. miteinander übereinstimmen. Ebenso ist es Unsinn zu sagen, daß 2 Menschen nicht das gleiche Sinnesdatum besitzen können, wenn mit “Sinnesdatum” wirklich das Primäre gemeint ist. |
Zur
Erklärung des Satzes “er hat Zahnschmerzen”
sagt man etwa: “ganz
einfach, ich
weiß, was es heißt,
daß ich Zahnschmerzen habe, und
wenn ich sage
daß er Zahnschmerzen hat so meine ich,
daß er jetzt das hat, was ich damals
hatte”. Aber was bedeutet
“er” und was bedeutet
“Zahnschmerzen
haben”. Ist das eine
Relation, die die Zahnschmerzen damals zu mir hatten und jetzt
zu ihm? Dann wäre ich
mir also jetzt auch der Zahnschmerzen bewußt, und dessen
daß er sie jetzt hat, wie ich eine
Geldbörse jetzt in seiner Hand sehen kann, die ich früher in
meiner gesehen habe.
Hat es einen Sinn zu sagen “ich habe Schmerzen, ich merke sie aber nicht”? Denn in diesem Satz könnte ich dann allerdings statt “ich habe” “er hat” einsetzen. Und umgekehrt, wenn die Sätze “er hat Schmerzen” und “ich habe Schmerzen” auf der gleichen logischen Stufe stehen, so muß ich im Satz “er hat Schmerzen, die ich nicht fühle” statt “er hat” “ich habe” setzen können. – Ich könnte auch so sagen: Nur insofern ich Schmerzen haben kann, die ich nicht fühle, kann er Schmerzen haben die ich nicht fühle. Es könnte dann noch immer der Fall sein, daß ich tatsächlich die Schmerzen die ich habe immer fühle, aber es muß Sinn haben das zu verneinen. |
Wenn ich sage “ich habe jetzt keine
Schmerzen”, so beschreibe ich damit offenbar meinen
gegenwärtigen Zustand. Und also bezeichnet “keine-Schmerzen” diesen Zustand, dagegen “Schmerzen” einen andern Zustand und die formale Beziehung der beiden Ausdrücke bedeutet eine formale Beziehung der Zustände. |
“Ich habe
keine Schmerzen” heißt: Wenn ich den Satz
“ich habe Schmerzen” mit der
Wirklichkeit vergleiche, so zeigt es sich,
daß er falsch ist. – Ich
muß ihn also mit
dem was tatsächlich der Fall ist,
vergleichen können. Und diese Möglichkeit des
Vergleichs – obwohl er nicht stimmt – ist
es, was wir mit dem Ausdrucke meinen, das
was der Fall ist, müsse sich im gleichen Raum abspielen, wie
das Verneinte; es müsse nur
anders sein. |
Der Begriff der Zahnschmerzen
als eines Gefühlsdatums ist allerdings auf den Zahn des
Anderen ebenso anwendbar, wie auf den meinen, aber nur in dem Sinne,
in dem es ganz wohl möglich wäre, in dem Zahn in eines
andern Menschen Mund Schmerzen zu haben || empfinden. Im Einklang mit der
gegenwärtigen Ausdrucksweise würde man aber
diese Tatsache nicht durch die Worte “ich fühle
seinen Zahnschmerz” ausdrücken, sondern durch
“ich habe in seinem Zahn
Schmerzen”. – Man kann
nun sagen: Freilich hast du nicht seinen Zahnschmerz,
denn es ist auch dann sehr wohl möglich,
daß er sagt “ich fühle in
diesem Zahn nichts”. Und sollte ich
in diesem Fall sagen “du lügst, ich fühle,
wie dein Zahn schmerzt”? |
Wenn ich jemand, der
Zahnschmerzen hat, bemitleide, so setze ich mich in
Gedanken an seine Stelle. Aber ich setze
mich an seine Stelle. |
Die Frage ist, ob es
Sinn hat, zu sagen: “Nur A kann den Satz
‘A hat Schmerzen’ verifizieren, ich
nicht”. Wie aber wäre es, wenn dieser Satz
falsch wäre, wenn ich also den
Satz verifizieren
könnte, || : kann
es etwas anderes heißen, als daß dann ich
Schmerzen fühlen
müßte? Aber wäre das
eine Verifikation? Vergessen wir nicht: es ist
Unsinn, zu sagen, ich
müßte meine
oder seine Schmerzen
fühlen. Man könnte auch so fragen: Was in meiner Erfahrung rechtfertigt das “meine” in “ich fühle meine Schmerzen”. Wo ist die Multiplizität des Gefühls, die dieses Wort rechtfertigt? und es kann nur dann gerechtfertigt sein, wenn an seine Stelle auch ein anderes treten kann. |
“Ich habe Schmerzen” ist, im Falle
ich den Satz gebrauche, ein Zeichen ganz anderer
Art, als es für mich im Munde eines Anderen ist; und zwar darum,
weil es im Munde eines Anderen für mich so lange sinnlos ist, als
ich nicht weiß, welcher Mund es
ausgesprochen hat.
Das Satzzeichen besteht in diesem Falle nicht im Laut allein,
sondern in der Tatsache,
daß dieser Mund den Laut
hervorbringt. Während im Falle ich es sage,
oder denke, das Zeichen der Laut allein
ist. |
Angenommen, ich
hätte stechende Schmerzen im rechten Knie und bei jedem Stich
zuckt mein rechtes Knie || Bein.
Zugleich sehe ich einen anderen Menschen, dessen Bein in
gleicher Weise zuckt und der über stechende Schmerzen
klagt; und zu gleicher Zeit fängt mein linkes Bein ebenso an
zu zucken, obwohl ich im linken Knie keine Schmerzen
fühle. Nun sage ich: mein
Gegenüber hat offenbar in seinem Knie
dieselben Schmerzen, wie ich in meinem rechten Knie. Wie ist es aber
mit meinem linken Knie, ist es nicht in genau dem gleichen Fall,
wie das Knie des Anderen? |
Wenn ich sage “A
hat Zahnschmerzen”, so gebrauche ich die
Vorstellung des Schmerzgefühls in der selben Weise, wie
etwa den Begriff des Fließens, wenn ich vom Fließen des
elektrischen Stromes rede. |
Die zwei Hypothesen,
daß andere Menschen Zahnschmerzen haben, und
die, daß andere Menschen sich genau so
benehmen, wie ich, aber keine Zahnschmerzen haben, können dem
Sinne nach identisch sein. Das heißt, ich würde
z.B., wenn ich die zweite
Ausdrucksweise || Ausdrucksform
gelernt hätte, in bedauerndem Tonfall
von Menschen reden, die keine Zahnschmerzen
haben, sich aber so benehmen wie ich, wenn ich welche habe.
|
Kann ich mir
Schmerzen in der Spitze meines Nagels denken, oder in meinen
Haaren? Sind diese Schmerzen nicht ebenso, und ebenso
wenig, vorstellbar, wie die an irgend einer Stelle des
Körpers, wo ich gerade keine Schmerzen habe und mich an keine
erinnere? |
Hier ist
¤ die Logik unserer
Sprache so schwer zu erfassen: Unsere Sprache
gebraucht den Ausdruck “meine Schmerzen” und
“seine Schmerzen” und auch die
Ausdrücke “ich habe (oder fühle)
Schmerzen” und “er hat (oder fühlt)
Schmerzen”. Ein Ausdruck “ich
fühle meine Schmerzen” oder “ich fühle
seine Schmerzen” ist Unsinn. Und darauf scheint
mir am Ende die ganze Kontroverse über den
Behaviourism zu beruhen. |
Die Erfahrung des Zahnschmerzgefühls ist nicht
die, daß eine Person Ich etwas
hat. |
In
den Schmerzen unterscheide ich eine Intensität, einen Ort,
etc., aber keinen Besitzer.
Wie wären etwa Schmerzen, die gerade niemand hat? Schmerzen, die gerade niemandem gehören? |
Die Schmerzen werden als etwas
dargestellt, das man wahrnehmen kann, im Sinne, in
dem man eine Zündholzschachtel
wahrnimmt. – Das Unangenehme sind dann freilich nicht
die Schmerzen, sondern nur das Wahrnehmen der Schmerzen.
|
Wenn ich
einen Anderen bedauere, weil er Schmerzen
hat, so stelle ich mir wohl die
Schmerzen vor, aber ich stelle mir vor, daß
ich sie habe. |
Soll ich mir auch die Schmerzen eines auf dem Tisch
liegenden Zahnes denken können, oder die Schmerzen eines
Teetopfs? Soll man etwa sagen: es ist nur nicht
wahr, daß der Teetopf Schmerzen hat, aber
ich kann es mir denken?! |
Die beiden Hypothesen, daß die Anderen
Schmerzen haben, und die, daß sie keine
haben, und sich nur so benehmen wie ich, wenn ich welche habe,
müssen ihrem Sinne nach identisch sein, wenn alle
mögliche Erfahrung, die die eine bestätigt,
auch die andere
bestätigt. Wenn also keine Entscheidung zwischen
beiden durch die Erfahrung denkbar ist. |
Zu sagen, daß die Anderen
keine Schmerzen haben, setzt aber voraus, daß
es Sinn hat zu sagen daß sie Schmerzen
haben.
Ich glaube, es ist klar, daß man in dem selben Sinne sagt, daß andere Menschen Schmerzen haben, in welchem man sagt, daß ein Stuhl keine hat. |
Wie wäre es, wenn
ich zwei Körper hätte, d.h. wenn mein
Körper aus zwei getrennten Leibern bestünde?
Hier sieht man – glaube ich – wieder, wie das Ich nicht auf der selber Stufe mit den Andern steht, denn wenn die Andern je zwei Körper hätten, so könnte ich es nicht erkennen. Kann ich mir denn die Erfahrung mit zwei Leibern denken? Die Gesichtserfahrung gewiß nicht. |
Das
Phänomen des Schmerzgefühls in einem Zahn, welches ich
kenne, ist in der Ausdrucksweise der gewöhnlichen Sprache
dargestellt durch “ich habe in dem und
dem Zahn Schmerzen”.
Nicht durch einen Ausdruck von der Art “an diesem Ort ist
ein Schmerzgefühl”. Das ganze
Feld dieser Erfahrung wird in dieser Sprache durch Ausdrücke
von der Form “ich habe …”
beschrieben. Die Sätze von der Form
“N hat Zahnschmerzen” sind für ein
ganz anderes Feld reserviert. Wir können daher nicht
überrascht sein, wenn in den Sätzen “N hat
Zahnschmerzen” nichts mehr auf jene Art mit der
Erfahrung Zusammenhängendes gefunden
wird. |
Die
Philosophen, die glauben, daß man im Denken
die Erfahrung gleichsam ausdehnen kann, sollten daran denken,
daß man durchs Telefon die Rede, aber nicht
die Masern übertragen kann. Ich kann auch nicht die Zeit als begrenzt empfinden, wenn ich will, oder das Gesichtsfeld als homogen etc. |
Gesichtsraum und Retina. Es ist,
wie wenn man eine Kugel orthogonal auf eine Ebene projiziert, etwa
in der Art, wie die beiden Halbkugeln der Erde in einem Atlas
dargestellt werden, und man könnte einer glauben,
daß, was auf der Ebene
außerhalb der beiden Kugelprojektionen vor
sich geht, immerhin noch einer möglichen Ausdehnung dessen
entspricht, was sich auf der Kugel befindet. Hier wird eben
ein kompletter Raum auf einen
Teil eines andern Raumes projiziert; und analog ist
es mit den Grenzen der Sprache im Wörterbuch. |
Wenn man glaubt, sich
einen vierdimensionalen Raum vorstellen zu können,
warum nicht auch vierdimensionale Farben, das sind Farben, die
außer dem Grad der
Sättigung dem Farbton und der Lichtstärke
noch eine vierte Bestimmung zulassen? |
Angenommen
ich hätte ein so gutes Gedächtnis,
daß ich mich meiner
sämtlichen Sinneseindrücke erinnern
könnte. Dann spricht nichts dagegen,
daß ich sie beschriebe. Es
wäre das eine Lebensbeschreibung. Und warum sollte ich
nicht alles Hypothetische aus dieser
Beschreibung fortlassen können? |
Ich könnte ja
z.B. die Gesichtsbilder plastisch darstellen,
etwa in verkleinertem Maßstab durch Gipsfiguren, die ich nur
soweit ausführe, als ich sie wirklich gesehen habe und den
Rest etwa durch eine Färbung oder Ausführungsart als
unwesentlich bezeichne. |
Soweit ginge die
Sache vollkommen gut. Aber wie ist es mit der
Zeit, die ich zu dieser Darstellung brauche? Ich nehme
an, ich wäre im Stande diese Sprache so schnell zu “schreiben” –
die Darstellung zu erzeugen – als meine Erinnerung geht.
Nehmen wir aber an ich läse die Beschreibung dann wieder
durch, ist sie jetzt nicht doch hypothetisch? |
Denken
wir uns so eine Darstellung: Die Körper die ich
scheinbar sehe, werden durch einen Mechanismus so
bewegt, daß sie zwei Augen, die an einer
bestimmten Stelle des Modells angebracht sind, die
darzustellenden Gesichtsbilder geben
müßten. Aus der Lage der
Augen im Modell und aus der Lage und Bewegung der Körper ist dann
das beschriebene Gesichtsbild bestimmt.
Es wäre etwa denkbar den Mechanismus durch Drehen einer Kurbel zu betreiben und die Beschreibung so “herunterzulesen”. |
Ist es nicht klar, daß das
die unmittelbarste Beschreibung wäre, die sich denken
läßt?
D.h., daß alles was
noch unmittelbarer sein wollte aufhören
müßte eine Beschreibung zu
sein? |
Es käme dann
statt einer Beschreibung jener unartikulierte Laut heraus, mit dem
manche Autoren die Philosophie gern anfangen möchten.
(“Ich habe, um mein Wissen
wissend, bewußt etwas”).
Man kann eben nicht vor dem Anfang anfangen. |
Die Sprache selbst gehört zum zweiten
System. Wenn ich eine Sprache beschreibe, beschreibe
ich wesentlich etwas Physikalisches. Wie kann
aber eine physikalische Sprache das Phänomen
beschreiben? |
Ist es nicht so: Das
Phänomen (specious present)
enthält die Zeit, ist aber nicht in der Zeit?
Seine Form ist die Zeit, aber es hat keinen Platz in der Zeit. |
Während die Sprache zeitlich abläuft. |
Was wir unter dem Wort “Sprache”
verstehen, läuft in der homogenen physikalischen Zeit
ab. (Wie das durch den Vergleich mit || mit dem Mechanismus vollkommen klar
wird.) |
Was diesem Mechanismus in der primären Welt
entspricht, nur das könnte die primäre Sprache
sein. |
Ich
meine: Was ich Zeichen nenne, muß
das sein, was man in der Grammatik Zeichen
nennt, etwas auf dem Film, nicht auf der Leinwand. |
“Ich kann nicht wissen, ob
…” hat nur dann Sinn, wenn ich wissen
kann, nicht, wenn es undenkbar ist. –
|
Wir befinden uns mit
unserer Sprache sozusagen nicht im Bereich des
projizierten Bildes, sondern im Bereich des
Films. Und wenn ich zu dem Vorgang auf der Leinwand
Musik machen will, muß das, was sie
hervorruft, sich wieder in der Sphäre des Films
abspielen. |
Es könnte
z.B. einmal praktisch sein meinen
Händen und denen anderer Leute Eigennamen zu geben, um
beim Reden von ihnen nicht immer von ihrer Beziehung zu einem
Menschen reden zu müssen, welche für die Hände
selbst unwesentlich ist und weil die gewöhnliche
Ausdrucksweise den Anschein erwecken könnte, als wäre die
Beziehung zum Besitzer der Hand etwas, was im Wesen der Hand selbst
liegt. |
Der Gesichtsraum hat
wesentlich keinen Besitzer. |
Nehmen wir nun an,
ich sehe immer einen bestimmten Gegenstand mit allen anderen im
Gesichtsraum – nämlich meine Nase –. Ein
anderer sieht diesen Gegenstand natürlich
nicht auf gleiche
Weise. Heißt das nicht
doch, daß der Gesichtsraum von dem ich
rede, mir gehört?
Daß er also subjektiv ist.
Nein. Er ist hier nur subjektiv
aufgefaßt worden und ihm ist ein objektiver
Raum entgegengestellt, der aber nur eine Konstruktion ist mit dem
Gesichtsraum als Basis. In der – sekundären
– Sprache des “objektiven”
– physikalischen – Raumes heißt der
Gesichtsraum subjektiv, oder,
heißt das
subjektiv was in der
Sprache dem Gesichtsraum unmittelbar entspricht. So,
als würde man sagen: In der Sprache der
reellen Zahlen heißt das, was
in ihrem Reich den Kardinalzahlen unmittelbar
entspricht, die “positiven ganzen
Zahlen”. |
In dem
vorhin beschriebenen Modell müssen die beiden Augen, die die
Gegenstände sehen, oder ihr Ort nicht angegeben
sein. Das ist nur eine Art der
Darstellung. Es geht z.B.
ebensogut, wenn der Teil der Gegenstände der “gesehen” ist,
durch einen Anstrich angedeutet ist. Natürlich kann
man aus den Grenzen dieses Anstrichs immer die Lage
zweier Augen bestimmen, aber das entspricht nur der
Übersetzung einer Ausdrucksweise in eine
andere. |
Das Wesentliche ist, daß die
Darstellung des Gesichtsraums ein Objekt darstellt und keine
Andeutung eines Subjekts enthält. |
Angenommen alle Teile meines Körpers
könnten entfernt werden, bis auf einen Augapfel; dieser
würde unbeweglich irgendwo befestigt und behielte die
Fähigkeit zu sehen. Wie würde mir die Welt
erscheinen? Ich könnte keinen Teil meiner selbst
wahrnehmen und angenommen,
daß mein Augapfel für mich
durchsichtig wäre, könnte ich mich auch im Spiegel nicht
sehen. Eine Frage ist nun: Könnte ich mich
durch mein Gesichtsbild lokalisieren? Mich
lokalisieren heißt hier natürlich nur,
eine bestimmte Struktur des Gesichtsraumes feststellen.
|
Zwingt mich nun
irgend etwas zu der Deutung, daß der Baum,
den ich durch mein Fenster sehe,
größer ist als das Fenster?
Wenn ich einen Sinn für die Entfernung der
Objekte vor meinem Auge habe, so ist das eine berechtigte
Deutung. Aber auch dann ist es doch eine Darstellung in
einem andern Raum als dem Gesichtsraum, denn, was dem Baum im
Gesichtsraum entspricht, ist doch offenbar kleiner als das, was dem
Fenster entspricht.
Oder muß ich sagen: Ja das kommt eben darauf an, wie man die Wörter “größer” und “kleiner” anwendet. |
So ist es auch:
Ich kann im Gesichtsraum die Wörter “größer” und “kleiner” in beiden Arten gebrauchen. Und in einem Sinn
ist der Gesichtsberg kleiner im andern
größer als das Gesichtsfenster.
|
Angenommen mein
Augapfel sei hier hinter dem Fenster befestigt,
sodaß ich das meiste durchs Fenster sehen
würde. Dann würde dieses Fenster die Rolle eines
Teiles meines Körpers übernehmen können.
Was nah am Fenster ist, ist mir nahe. (Ich nehme
an, daß ich mit einem Auge dreidimensional
sehe). Außerdem nehme ich an,
daß ich meinen Augapfel im Spiegel zu
sehen im Stande bin und etwa an den Bäumen
draußen ähnliche Augäpfel
wahrnehme.
Wie kann ich nun erkennen, oder zu der Annahme kommen, daß ich die Welt durch die Pupille meines Augapfels sehe? Doch nicht wesentlich anders, als dazu, daß ich sie durch das Fenster sehe, oder etwa durch ein Loch in einem Brett hinter dem unmittelbar mein Auge liegt. |
Ja, wenn mein Auge frei an der Spitze eines Astes
säße, so könnte mir
man || man mir seine Lage dadurch recht klar
machen, daß man einen Ring immer näher
heranbrächte bis ich endlich alles durch ihn
sähe. Ja man könnte auch die alte Umgebung meines
Auges: Jochbogen, Nase, etc. heranbringen und
ich wüßte, wo alles
hingehört. |
Heißt das alles nun aber,
daß das Gesichtsbild doch wesentlich ein
Subjekt enthält oder voraussetzt?
Oder ist es nicht vielmehr so, daß jene Versuche mir nur rein geometrische Aufschlüsse geben. D.h., Aufschlüsse, die immer wieder nur das Objekt betreffen. Objektive Aufschlüsse über die Realität. |
Im Gesichtsraum ist
nicht ein Auge, welches mir gehört und Augen die anderen
gehören. Nur der Raum selbst ist
unsymmetrisch, die Gegenstände in ihm sind
gleichberechtigt. Im physikalischen Raum aber stellt
sich dies so dar, daß eines unter den an
gleichberechtigten Stellen liegenden Augen ausgezeichnet wird und
mein Auge heißt.
|
Ich will wissen, was
hinter mir vorgeht und drehe mich um.
Wäre ich daran verhindert, würde
nicht die Vorstellung bleiben,
daß sich der Raum um mich herum
ausdehnt? Gewiß.
Und daß ich die Gegenstände, die
jetzt hinter mir sind, dadurch zu sehen kriege,
daß ich mich umdrehe.
Also ist es die Möglichkeit des
Michumdrehens die mir zu jener Raumvorstellung
verhilft. Der resultierende Raum um mich
herum ist also ein gemischter Sehraum und
Muskelgefühlsraum. |
Ohne das Gefühl
der Fähigkeit “mich
umzudrehen” wäre meine
Raumvorstellung eine wesentlich andere. |
So hätte das
freisitzende unbewegliche Auge nicht die Vorstellung eines es
umgebenden Raumes. |
Die unmittelbare
Erfahrung kann keinen Widerspruch enthalten. Ist sie
jenseits von allem Sprechen und Widersprechen, dann kann auch kein
Erklärungsbedürfnis auftreten, das Gefühl,
daß sich der Vorgang erklären lassen
muß, weil sonst etwas nicht stimmen
würde. |
Wie ist es denn, wenn man die Augen
schließt: man hört doch nicht auf
zu sehen. Was man aber hier sieht enthält doch
gewiß keine Beziehung zu einem Auge.
Und mit dem Traumbild ist es das Gleiche. Aber auch
im normalen Sehen ist es klar, daß die
Ausnahmsstellung meines Körpers im Gesichtsraum nur von
anderen Gefühlen herrührt, die in meinem Körper
lokalisiert sind und nicht von etwas rein Visuellem. |
Schon das Wort “Gesichtsraum” ist
für unseren Zweck ungeeignet, denn es enthält eine
Anspielung auf ein Sinnesorgan, die für den
Raum ebensowenig wesentlich ist, als es für ein Buch
wesentlich ist, daß es einem bestimmten
Menschen gehört; und es könnte sehr irreführend
sein, wenn es in unserer Sprache so eingerichtet wäre,
daß wir in ihr kein Buch bezeichnen
könnten, außer durch seine Beziehung zu
einem Besitzer. Es könnte zur Ansicht führen,
daß ein Buch nur mit Beziehung auf einen
Menschen existieren kann. |
Wenn nun die
phänomenologische Sprache den Gesichtsraum und was in ihm
vorgeht von allem Anderen isoliert, was macht sie mit der
Zeit? Ist die Zeit der “visuellen”
Phänomene die Zeit unserer gewöhnlichen physikalischen
Ausdrucksweise? |
Es ist klar, daß wir im
Stande sind Zeiträume als gleich zu erkennen. Ich
könnte mir z.B. die Vorgänge im
Gesichtsraum begleitet denken vom Ticken eines Metronoms oder vom
Aufblitzen eines Lichtes in gleichen Zeitabständen.
Ich denke mir der Einfachheit halber die Veränderungen in meinem Gesichtsraum ruckweise und etwa zeitlich mit den Schlägen des Metronoms zusammenfallend. Ich kann dann eine Beschreibung dieser Vorgänge geben (in der die Schläge durch Zahlen bezeichnet sind). |
Angenommen,
diese Beschreibung sei eine Vorhersage und sie soll nun verifiziert
werden. Ich weiß sie etwa
auswendig und vergleiche sie nun mit dem, was wirklich
vorgeht. Hier ist alles Hypothetische vermieden, bis auf
das, was in der Voraussetzung liegt, die Beschreibung sei mir
unabhängig von dem gegeben, was mir von ihr gerade
gegenwärtig ist.
Das Ganze ist ein Sprechfilm und das gesprochene Wort, was mit den Vorgängen auf der Leinwand geht, ist ebenso fliehend, wie diese Vorgänge, und nicht das Gleiche wie der Tonstreifen. Der Tonstreifen begleitet nicht das Spiel auf der Leinwand. |
Hat es nun einen Sinn zu sagen,
ich hätte ja durch einen Kobold betrogen werden können,
und was ich für die Beschreibung will || hielt war gar nicht die Beschreibung,
sondern ein Irrtum meines Gedächtnisses? Nein,
das kann keinen Sinn haben. Ein Irrtum der prinzipiell
nicht entdeckt werden kann, ist kein Irrtum.
Und das heißt nichts anderes, als daß die Zeit meines Gedächtnisses in diesem Fall eben die Zeit ist, die ich beschreibe. Sie ist nicht dieselbe, wie die der gewöhnlichen Auffassung: Für diese gibt es alle möglichen Quellen, etwa die Erzählungen anderer Leute etc. Aber es handelt sich auch hier wieder darum die eine Zeit zu isolieren. |
Wenn in drei Röhren je eine schwarze eine rote und eine gelbe
Flüssigkeit strömen und sich diese an einem
Punkt zu einer braunen vereinigen, so hat diese
resultierende Flüssigkeit nun auch einen eigenen
Strömungszustand, ich aber will nur sagen,
daß jede der einfach
gefärbten Flüssigkeiten auch einen Strömungszustand hat
und will ihn untersuchen, wo die drei noch nicht zusammengeflossen
sind. |
Natürlich ist auch
das Wort “Gegenwart” hier
nicht am Platz. Denn inwiefern kann man von der
Realität sagen, sie sei gegenwärtig? Doch nur,
wenn man sie wieder in eine ihr fremde Zeit einbettet.
An und für sich ist sie nicht gegenwärtig. Im
Gegenteil, sie enthält vielmehr eine Zeit. |
Der erste
Gedanke ist, daß es unverträglich ist,
daß zwei Farben an einem Ort
zugleich sein sollten. Der nächste ist,
daß zwei Farben an einem Ort
sich nur || eben zu einer resultierenden Farbe
ergänzen. Der dritte aber ist der Einwand:
Wie verhält es sich mit
Komplementärfarben?
Wie ergänzen sich rot und grün? Etwa zu
schwarz? Aber sehe ich denn grün in der schwarzen
Farbe? – Aber sogar abgesehen
davon: Wie ist es mit den Mischfarben,
z.B. von rot und blau. Diese
enthalten teils mehr teils weniger rot; was
heißt das? Was es bedeutet,
daß etwas rot ist, ist klar,
aber, daß es mehr oder weniger rot
enthält? – Und
verschiedene Grade von rot sind miteinander
unverträglich. Das könnte man sich etwa so
erklärt denken, daß irgendwie kleine
Quantitäten von Es heißt auch nichts, zu sagen, daß ein Stab, der 3 m lang ist, auch 2 m lang ist, weil er 2 + 1 m lang ist, denn man kann nicht sagen, er ist 2 m lang und er ist 1 m lang. Die Länge von 3 m ist etwas Neues. Und doch kann ich, wenn ich zwei verschiedene rote Blau sehe, sagen: Es gibt ein noch röteres Blau als das rötere dieser Beiden. D.h. ich kann aus dem Gegebenen das Nichtgegebene konstruieren. |
Man könnte sagen, die
Farben haben zueinander eine elementare Verwandtschaft. |
Das läßt es erscheinen,
als könne innerhalb des Elementarsatzes eine Konstruktion
möglich sein. D.h., als
gäbe es eine logische Konstruktion, die nicht mit Hilfe der
Wahrheitsfunktionen arbeitet.
Nun aber scheint es außerdem, daß diese Konstruktionen eine Wirkung auf das logische Folgen eines Satzes aus einem anderen haben. Denn wenn verschiedene Grade einander ausschließen, so folgt aus dem Vorhandensein des einen, daß der andere nicht vorhanden ist. Dann können zwei Elementarsätze einander widersprechen. |
Wie ist es möglich, daß
fa und fb einander widersprechen, wie
es doch der Fall zu sein scheint?
Z.B. wenn ich sage “hier ist jetzt
rot” und “hier ist jetzt
grün”?
Es hängt das mit der Idee der vollständigen Beschreibung zusammen: “Der Fleck ist grün” beschreibt den Fleck vollständig und es ist für eine andere Farbe kein Platz mehr. |
Es hilft auch nichts,
daß rot und grün in der Zeitdimension
gleichsam an einander vorbei können; denn wie, wenn ich
sage, daß während eines gewissen
Zeitraums ein Fleck rot und daß er
grün ist? |
Wenn ich z.B. sage, ein Fleck
ist zugleich hellrot und dunkelrot, so denke ich dabei,
daß der eine Ton den andern deckt.
Hat es dann aber noch einen Sinn zu sagen, der Fleck habe unsichtbaren, verdeckten Farbton? Hat es gar einen Sinn, zu sagen, eine vollkommen schwarze Fläche sei weiß, man sähe nur das Weiß nicht, weil es vom Schwarz gedeckt sei? Und warum deckt das Schwarz da Weiß und nicht Weiß das Schwarz? Wenn ein Fleck eine sichtbare und eine unsichtbare Farbe hat, so hat er diese Farben jedenfalls in ganz verschiedenem Sinne. |
Wenn
f(r) und
f(g) einander
widersprechen, so liegt das daran, daß
r und g das
f vollständig
ausfüllen und nicht beide darin sein können. Das
aber zeigt sich in unseren Zeichen nicht. Es
muß sich aber zeigen, wenn wir nicht das
Zeichen sondern das Symbol betrachten. Denn da dieses
die Form der Gegenstände einbegreift, so
muß sich dort, in dieser Form,
die Unmöglichkeit von frfg zeigen. |
Und doch muß sich
dieser Widerspruch || Der Widerspruch
muß ganz im Symbolismus
zeigen lassen, denn wenn ich von einem Fleck sage,
daß er grün und rot ist, so ist er
ja eines dieser beiden sicher nicht und
der Widerspruch muß im Sinn der
beiden Sätze liegen.
Daß zwei Farben nicht zu gleicher Zeit an den gleichen Ort gehen, muß in ihrer Form und der Form des Raumes liegen. |
Aber die Symbole
enthalten ja die Form der Farbe und des Raumes, und wenn etwa ein
Buchstabe einmal eine Farbe, ein andermal einen Laut bezeichnet, so
ist er jedesmal ein anderes Symbol und das zeigt
sich darin, daß andere Regeln der
Syntax für ihn gelten. |
D.h. natürlich nicht,
daß das Folgern nun nicht nur formell
sondern auch materiell geschehen könnte. – Sinn folgt aus Sinn und daher Form aus
Form. |
“Rot und
grün gehen nicht zusammen an denselben
Ort” heißt nicht, sie sind
tatsächlich nie beisammen, sondern man kann es auch nicht einmal
sagen, daß sie beisammen sind, also
auch nicht, daß sie nie beisammen
sind. |
Das würde aber
heißen, daß ich zwei
bestimmte Sätze zwar anschreiben darf, aber nicht ihr
logisches Produkt. |
Die beiden Sätze
kollidieren im Gegenstand. |
Der Satz
f(g) & f(r) ist nicht
Unsinn, weil ja nicht alle
Wahrheitsmöglichkeiten wegfallen, wenn sie auch alle
abgewiesen werden. Man kann aber sagen,
daß hier das
“ & ” eine andere Bedeutung hat, denn
im allgemeinen bedeutet “x & y”
(WFFF) dagegen hier
(FFF). Und
analoges gilt für x ⌵ y,
etc. |
Der gelbliche Stich ist nicht die Farbe Gelb.
Ich kann gelb und rot nicht eigentlich mischen d.h. nicht wirklich zugleich sehen, denn wenn ich hier gelb sehen will, so muß das Rot von diesem Platze weg und umgekehrt. |
Es ist, wie
gesagt, klar, daß der Satz,
daß eine Farbe 5 Stiche gelb enthält,
nicht sagen kann, sie enthalte den Stich № 1 und sie
enthalte den Stich № 2 etc.
Sondern die Addition der Stiche muß
innerhalb des Elementarsatzes erfolgen. Wie aber wenn
diese Stiche Gegenstände sind, die sich in gewisser
Weise aneinander reihen, wie Glieder einer Kette und
in einem Satz ist nun von 5 solchen Gliedern die Rede, in
einem andern Satz von dreien. Wohl, aber
diese beiden Sätze müssen einander
ausschließen, ohne doch zerlegbar zu
sein. – Müssen denn aber
F5 und F6 einander
ausschließen? Kann ich nicht
sagen, Fn heißt nicht, die
Farbe enthält nur N-Stiche, sondern sie
enthält auch N-Stiche? Sie
enthält nur N-Stiche, würde durch den
Satz
F(n) & non F(n + 1)
ausgedrückt. Aber auch dann sind die
Elementarsätze von einander abhängig, weil aus
F(n) doch jedenfalls
F(n ‒ 1) folgt, und
F(5) non F(4) widerspricht.
Der Satz, der einen gewissen Grad einer Eigenschaft behauptet, widerspricht in der einen Auffassung (nur) jeder andern Angabe des Grades, und folgt in der andern Auffassung (auch) aus der Angabe jedes höheren Grades.¤ |
Auch eine Auffassung, die sich
eines Produktes aRx ∙ xRy ∙ yRb bedient,
genügt nicht, denn ich
muß die Dinge x, y,
etc. unterscheiden können, sonst ergeben sie
keine Distanz. |
Eine Mischfarbe, oder besser, eine Zwischenfarbe von
blau und rot ist dies durch eine interne Relation zu den Strukturen
von Rot und Blau. Aber diese interne Relation ist
elementar. D.h. sie
besteht nicht darin, daß der Satz
“a ist blaurot” ein logisches Produkt von
“a ist blau” und “a ist
rot” darstellt.
Zu sagen, daß eine bestimmte Farbe jetzt an einem Ort ist, heißt diesen Ort vollständig beschreiben. |
Es verhält sich
übrigens mit Farben nicht anders als mit Tönen oder
elektrischen Ladungen.
Es handelt sich immer um die vollständige Beschreibung eines gewissen Zustandes in einem Punkt oder zur selben Zeit. Könnte es nicht folgendes Schema geben: Die Farbe in einem Punkt ist nicht durch die Zuordnung einer Zahl zu einem Punkt beschrieben, sondern durch die Zuordnung mehrerer Zahlen. Eine Mischung dieser Zahlen macht erst die Farbe und um die vollständige Farbe zu beschreiben brauche ich den Satz, daß diese Mischung nun die komplette Mischung ist, also nichts mehr dazukommen kann. Das wäre so, wie wenn ich den Geschmack eines Gerichtes beschriebe, indem ich die Ingredienzien aufzähle; dann muß ich am Schluß den Zusatz machen, daß das nun alle Ingredienzien sind. So könnte man sagen, ist auch die Farbe erst dann fertig beschrieben, wenn alle ihre Ingredienzien angegeben sind, natürlich also mit dem Zusatz, daß es alle sind. Aber wie ist dieser Zusatz zu machen? Wenn in Form eines Satzes, dann müßte auch die unvollständige Beschreibung schon ein Satz sein. Und wenn nicht in Form eines eigenen Satzes, sondern nur durch irgend eine Art der Andeutung im ersten Satz, wie kann ich dann bewirken, daß ein zweiter Satz von derselben Form dem ersten entspricht? || widerspricht? Zwei Elementarsätze können einander ja nicht widersprechen. |
Wie
verhält es sich aber mit allen scheinbar
ähnlichen Aussagen, wie: Ein materieller Punkt
kann nur eine Geschwindigkeit auf einmal haben, in einem
Punkt einer geladenen Oberfläche kann nur
eine Spannung sein, in einem Punkt einer warmen
Fläche nur eine Temperatur zu einer
Zeit, in einem Punkt eines Dampfkessels nur
ein Druck etc.
Niemand kann daran zweifeln,
daß das alles
Selbstverständlichkeiten sind und die gegenteiligen Aussagen
Widersprüche. |
Es ist
so: Die grammatischen Regeln über
“und”, “nicht”,
“oder” etc. sind eben nicht damit
erschöpft, was ich in der
Abhandlung gesagt habe, sondern es
gibt Regeln über die Wahrheitsfunktionen, die auch von dem
elementaren Teil des Satzes handeln. |
Die Sätze werden in diesem Falle noch
ähnlicher Maßstäben, als ich früher geglaubt
habe. – Das Stimmen eines Maßes
schließt automatisch alle andere aus.
Ich sage automatisch: wie alle Teilstriche auf
einem Stab sind, so gehören die Sätze, die
den Teilstrichen entsprechen, zusammen und man kann nicht mit
einem von ihnen messen, ohne zugleich auch mit allen
andern zu messen. – Ich lege nicht den Satz als
Maßstab an die Wirklichkeit an, sondern das
System von Sätzen. |
Man könnte nun die Regel
aufstellen, daß derselbe Maßstab in einem
Satz nur einmal angelegt werden darf. Oder,
daß die Teile, die verschiedenen
Applikationen desselben Maßstabes entsprechen,
zusammengefaßt werden müssen.
|
“Ich
habe keine Magenschmerzen” ist vergleichbar dem Satz
“diese Äpfel kosten
nichts”. Sie kosten nämlich
kein Geld, aber nicht, keinen Schnee oder keine
Mühe. Der Nullpunkt ist der Nullpunkt auf
einer Skala. Und da mir kein Punkt des
Maßstabes gegeben sein kann, ohne den Maßstab, so auch nicht
sein Nullpunkt. “Ich habe keine
Schmerzen” bezeichnet doch nicht einen Zustand, in den
von Schmerzen nicht die Rede sein kann, sondern es
ist von Schmerzen die Rede. Der Satz setzt die
Fähigkeit voraus Schmerzen zu
fühlen und das kann keine “physiologische
Fähigkeit” sein – denn wie
wüßte man sonst, wozu es die
Fähigkeit ist – sondern eine logische Möglichkeit. – Ich beschreibe meinen gegenwärtigen Zustand
durch die Anspielung auf Etwas, was nicht der Fall ist.
Wenn diese Hinweisung zu der Beschreibung nötig ist (und
nicht bloß eine Verzierung), so
muß in meinem gegenwärtigen Zustand
etwas liegen, was diese Erwähnung (Hinweisung)
nötig macht. Ich vergleiche diesen Zustand mit einem
anderen, also muß er mit ihm vergleichbar
sein. Er muß auch im Schmerzraum
liegen, wenn auch an einer andern Stelle. – Sonst
würde mein Satz etwa heißen, mein
gegenwärtiger Zustand hat mit einem schmerzhaften
nichts zu tun; etwa, wie ich sagen würde, die Farbe
dieser Rose hat mit der Eroberung Galliens durch
Cäsar nichts zu
tun. D.h. es ist kein Zusammenhang
vorhanden. Aber ich meine gerade,
daß zwischen meinem jetzigen Zustand und
einem schmerzhaften ein Zusammenhang besteht. |
Ich
beschreibe einen Sachverhalt doch nicht dadurch,
daß ich das erwähne, was mit ihm nichts
zu tun hat, und konstatiere, daß
es mit ihm nichts zu tun hat. Das
wäre keine negative Beschreibung. |
“Der Sinn liegt in der Wiedererkennbarkeit”, aber
dies ist eine logische Möglichkeit. Ich
muß mich in dem Raum befinden, in dem das zu
Erwartende liegt. |
Der Begriff des
“Elementarsatzes” verliert jetzt überhaupt
seine frühere Bedeutung. |
Die Regeln über
“und”, “oder”,
“nicht”, etc. die ich durch die
W-F-Notation dargestellt habe, sind ein Teil
der Grammatik über diese Wörter, aber nicht die
ganze. |
Der Begriff der
unabhängigen Koordinaten der Beschreibung:
Die Sätze, die z.B. durch “und” verbunden werden, sind nicht von einander unabhängig sondern sie bilden ein Bild und lassen sich auf ihre Vereinbarkeit oder Unvereinbarkeit prüfen. |
In
meiner alten Auffassung der Elementarsätze gab es keine
Bestimmung des Wertes einer Koordinate; obwohl meine Bemerkung,
daß ein farbiger Körper in einem
Farbenraum ist etc. mich direkt hätte
dahinbringen können. |
Eine Koordinate der
Wirklichkeit darf nur einmal bestimmt werden.
|
Wenn ich den allgemeinen Standpunkt darstellen
wollte, würde ich sagen: “Man darf eben
über eine Sache nicht einmal das Eine und einmal das Andere
sagen“. Diese Sache aber wäre die
Koordinate, der ich einen Wert geben kann und nicht
mehr. |
Es stellt die Sache falsch dar,
wenn man sagt, man dürfe einem Gegenstand nicht zwei
Attribute beilegen, die miteinander
unvereinbar sind. Denn so scheint es, als müsse man
in jedem Falle erst untersuchen, ob zwei Bestimmungen miteinander
vereinbar seien oder nicht. Die Wahrheit ist,
daß zwei Bestimmungen derselben
Koordinate / ich sollte hier ein
gebräuchliches Wort setzen / unmöglich
sind. |
Unsere Erkenntnis ist
eben, daß wir es mit Maßstäben, und
nicht quasi mit isolierten Teilstrichen zu tun haben.
|
Jede Aussage bestünde dann gleichsam im
Einstellen einer Anzahl von Maßstäben und das Einstellen
eines Maßstabes auf 2 Teilstriche zugleich ist
unmöglich. |
Es müssen übrigens nicht
Maßstäbe sein. Denn eine Scheibe mit 2 Signalen
kann man nicht einen Maßstab nennen. |
Daß alle Sätze die Zeit
in irgend einer Weise enthalten, scheint uns zufällig, im
Vergleich dazu, daß auf alle Sätze die
Wahrheitsfunktionen anwendbar sind. Das scheint mit ihrem Wesen als Sätzen zusammenzuhängen, das andere mit dem Wesen der vorgefundenen Realität. Wahr-Falsch und die Wahrheitsfunktionen hängen mit der Darstellung der Wirklichkeit durch Sätze zusammen. Wenn einer sagte: ja woher weißt du, daß die ganze Wirklichkeit durch Sätze darstellbar ist, so ist die Antwort: Ich weiß nur, daß sie durch Sätze darstellbar ist, soweit sie durch Sätze darstellbar ist, und eine Grenze ziehen zwischen einem Teil der, und einem Teil der nicht so darstellbar ist, kann ich in der Sprache nicht. Sprache heißt die Gesamtheit der Sätze. Man könnte sagen: Satz ist das, worauf sich die Wahrheitsfunktionen anwenden lassen. – Die Wahrheitsfunktionen sind der Sprache wesentlich. |
Die Syntax verbietet eine Bildung wie
“A ist grün und A ist
rot”. (Das erste Gefühl ist,
als geschähe da mit diesem Satz ein Unrecht; als wäre er
dadurch in den Rechten des Satzes verkürzt) aber für
“A ist grün” ist der Satz
“A ist rot” sozusagen gar kein
anderer Satz – und das ist es eigentlich, was die
Syntax festhält – sondern eine andere Form desselben
Satzes. Die Syntax zieht dadurch Sätze zusammen, die eine Bestimmung sind. |
Wenn ich
sage, ich habe heute Nacht nicht geträumt, so
muß ich doch wissen, wo nach dem Traum zu
suchen wäre (d.h., der Satz
“ich habe geträumt” darf, auf
die Situation angewendet, nur falsch, aber nicht unsinnig
sein).
Ich drücke die gegenwärtige Situation durch eine Stellung – die negative – der Signalscheibe “Träume – keine Träume” aus. Ich muß sie aber trotz ihrer negativen Stellung von andern Signalscheiben unterscheiden können. Ich muß wissen, daß ich diese Signalscheibe in der Hand habe. Man könnte nun fragen: Heißt das, daß du doch etwas gespürt hast, sozusagen die Andeutung eines Traums, die dir die Stelle zum Bewußtsein bringt, an der ein Traum gestanden wäre? Oder, wenn ich sage, “ich habe keine Schmerzen im Arm”, heißt das, daß ich eine Art schattenhaftes Gefühl habe, welches die Stelle andeutet, in die der Schmerz eintreten würde? Doch offenbar, nein. |
Inwiefern enthält der
gegenwärtige, schmerzlose, Zustand die Möglichkeit der
Schmerzen?
Wenn einer sagt: “Damit das Wort Schmerzen Bedeutung habe, ist es notwendig, daß man Schmerzen als solche erkennt, wenn sie auftreten”, so kann man antworten: “Es ist nicht notwendiger, als daß man das Fehlen von Schmerzen erkennt”. “Schmerzen” heißt sozusagen der ganze Maßstab und nicht einer seiner Teilstriche. Daß er auf einem bestimmten Teilstrich steht, ist nur durch einen Satz auszudrücken. |
Der allgemeine Satz (ich sehe
einen Kreis auf rotem Grund) scheint einfach ein
Satz zu sein, der Möglichkeiten offen
läßt.
Gleichsam ein unvollständiges Bild. Ein Porträt in dem z.B. die Augen nicht gemalt wurden. Was aber hätte diese Allgemeinheit mit einer Gesamtheit von Gegenständen zu tun? |
Es muß
unvollständige
Elementarsätze geben, von deren Anwendung der Begriff der
Allgemeinheit herrührt.
Dieses unkomplette Bild ist, wenn wir es mit der Wirklichkeit vergleichen, entweder richtig oder falsch. Je nachdem die Wirklichkeit mit dem, was aus dem Bild zu ersehen ist, übereinstimmt oder nicht. |
Die Theorie der
Wahrscheinlichkeit hängt hiermit so zusammen,
daß die allgemeinere, das ist,
unvollständigere, Beschreibung wahrscheinlicher zutrifft, als die
vollständigere. |
Die Allgemeinheit in
diesem Sinne tritt also in die Lehre von den
Elementarsätzen ein und nicht in die Lehre von den
Wahrheitsfunktionen. |
Wenn ich das Gesichtsfeld nicht
vollständig beschreibe sondern nur einen Teil, so
ist es offenbar, daß in der Tatsache
gleichsam eine Lücke ist. Es ist offenbar etwas
ausgelassen.
Wenn ich ein Bild dieses Gesichtsbildes malte, so würde ich die Leinwand an gewissen Stellen durchschauen lassen. Aber die Leinwand hat ja auch eine Farbe und füllt den Raum aus. Nichts könnte ich nicht an der Stelle lassen, wo etwas fehlt. Meine Beschreibung muß also unbedingt den ganzen Gesichtsraum, ja selbst seine Färbigkeit enthalten, auch wenn sie nicht sagt, welche Farbe an jedem Ort ist. D.h. sie muß doch sagen, daß eine Farbe an jedem Ort ist. Heißt das, daß die Beschreibung den Raum, soweit sie ihn nicht mit Konstanten erfüllt, mit Variablen erfüllen muß? |
Man könnte dagegen
einwenden, daß man einen Teil des
Gesichtsfeldes überhaupt nicht abgesondert vom Ganzen
beschreiben kann, da er allein gar nicht denkbar
ist. Aber die Form (die logische Form) des Flecks setzt tatsächlich den ganzen Raum voraus. Und wenn nur das ganze Gesichtsfeld beschrieben werden darf, warum dann nicht nur der ganze Strom des Gesichtserlebnisses, denn ein Gesichtsbild kann nur in der Zeit existieren. |
Die Frage ist: Kann
ich in einem Satz eine Bestimmung offen lassen, ohne
zugleich genau anzugeben, was die offengelassenen Möglichkeiten
sind? |
Unterscheidet sich der Fall des
allgemeinen Satzes “ein roter Kreis befindet
sich im Quadrat”, wesentlich von einer allgemeinen
Aussage der Zahlengleichheit, etwa der “ich habe ebenso
viele Röcke als Hosen”? und ist dieser Satz nicht
wieder ganz analog dem “in diesem
Zimmer stehen
eine Anzahl von Sesseln”?
Freilich, im gewöhnlichen Leben braucht man mit der
Disjunktion der Anzahlen nicht sehr weit gehen. Aber
wie weit immer man geht, einmal muß man Halt
machen. Die Frage ist hier immer: Wie
weiß ich denn so einen Satz?
Kann ich ihn je als unendliche Disjunktion wissen?
Auch wenn der erste Fall so verstanden wird, daß wir die Lage und Größe des Kreises durch Messung feststellen können, auch dann kann der allgemeine Satz nie als Disjunktion verstanden werden (oder wenn, dann eben als endliche). Denn was ist denn das Kriterium dafür (für den allgemeinen Satz) daß der Kreis im Quadrat ist? Entweder überhaupt nichts, was mit einer Mehrheit von Lagen (bezw. Größen) zu tun hat, oder aber etwas, was mit einer endlichen Anzahl solcher Lagen zu tun hat. |
Angenommen, ein
unvollständiges Bild ist: Ein roter Kreis
steht auf einem andersfärbigen Hintergrund von der Farbe
x. Es ist klar, daß dieses
Bild im positiven Sinne als Satz verwendet werden kann, aber auch
im negativen. Im negativen Sinne sagt es, was
Russell durch
non.neg(∃x).Fx ausdrückt.
Gibt es nun in meiner Auffassung auch ein Analogen zu Russells (∃x).nonFx? Das hieße: Es gibt ein x wofür es nicht wahr ist, daß ein roter Kreis auf dem Hintergrund von dieser Farbe steht. Oder mit andern Worten: Es gibt eine Farbe des Hintergrundes, auf der kein roter Kreis steht. Und das ist hier Unsinn! |
Wie ist es aber mit dem Satz “es gibt eine
rote Kugel, die nicht in dem Kasten ist” oder “es
gibt einen roten Kreis, der nicht in dem Quadrat
ist”. Das ist wieder die allgemeine
Beschreibung eines Gesichtsbildes. Hier scheint nun die
Negation in anderer Weise gebraucht zu sein. Denn es
scheint freilich, als könnte ich den Satz “dieser
Kreis ist nicht im Viereck” so ausdrücken,
daß das “nicht”
vor den Satz zu stehen kommt. – Aber das
scheint eine Täuschung zu sein. Wenn man
mit dem Wort “dieser Kreis”
meint:
“der Kreis auf den ich zeige”, so stimmt es
allerdings, denn dann sagt der Satz “es ist nicht wahr,
daß ich auf einen Kreis zeige, der im Viereck
ist”, er sagt aber nicht, daß ich
auf einen Kreis zeige, der außerhalb des
Vierecks ist. |
Das hängt damit zusammen,
daß es Unsinn ist, einem Kreis einen Namen zu
geben. Ich kann nämlich nicht sagen “der
Kreis A ist nicht im Viereck”. Denn das
hätte nur dann einen Sinn, wenn es einen Sinn hätte zu
sagen “der Kreis A ist im Viereck” auch
wenn er nicht darin ist. |
Wenn sich die
Allgemeinheit mit den Wahrheitsfunktionen nicht mehr zu einem
homogenen Ganzen verbindet, dann kann keine Negation
unter einer
Allgemeinheitsbezeichnung stehen.
Freilich könnte ich sagen: “Es gibt einen roten Kreis außerhalb des Vierecks” heißt “es ist nicht wahr, daß alle roten Kreise im Viereck sind”. Aber welche alle? |
“Alle Kreise
sind im Quadrat” kann nur entweder
heißen “eine gewisse Anzahl von
Kreisen ist im Quadrat” oder “es ist kein Kreis
außerhalb”. Der Satz
“es ist kein Kreis
außerhalb” ist aber wieder die
Verneinung einer Allgemeinheit und nicht die Verallgemeinerung
einer Verneinung. |
Wenn uns vorgehalten wird, daß die Sprache
alles mit Hilfe von Substantiven, Adjektiven und Verben
ausdrücken kann, so müssen wir sagen,
daß es dann jedenfalls nötig ist,
zwischen ganz verschiedenen Arten von Substantiven
etc. zu unterscheiden, da verschiedene
grammatikalische Regeln von ihnen gelten.
Dies zeigt sich darin, daß es nicht
erlaubt ist, sie für einander einzusetzen. Es zeigt
sich dadurch, daß ihr substantivischer
Charakter nur eine
Äußerlichkeit war
und daß wir es wirklich mit ganz
verschiedenen Wortgattungen zu tun haben. Die
Wortgattung wird nur || (erst) durch alle
grammatischen Regeln bestimmt, die von einem Wort gelten,
und so betrachtet, hat unsere Sprache eine Unmenge verschiedener
Wortarten. |
Wenn man einem
Körper einen Namen gibt, so kann man nicht in demselben Sinne
seiner Farbe, seiner Gestalt, seiner Lage, seiner Oberfläche,
Namen geben. Und umgekehrt.
“A” ist der Name einer Gestalt, nicht einer Gruppe von Graphitteilchen. Die verschiedenen Arten des Gebrauchs von Namen entsprechen ganz den verschiedenen Gebrauchsweisen des hinweisenden Fürworts. Wenn ich sage “das ist ein Sessel”, “das ist der Ort, wo er gestanden ist”, “das ist die Farbe, die er hatte”, so ist das Wort “das” in soviel verschiedenen Arten und Weisen gebraucht. (Ich kann nicht im gleichen Sinn auf einen Ort, eine Farbe, etc. hinweisen.) |
Denken wir uns zwei Ebenen, auf der Ebene I seien Figuren,
die wir auf die Ebene II durch irgendwelche
Projektionsmethoden abbilden wollen.
Wir haben dann die Möglichkeit
eine Projektionsmethode (etwa die der orthogonalen Projektion)
festzulegen und dann die Bilder auf der zweiten Ebene dieser
Methode der Abbildung entsprechend zu deuten. Wir
können aber auch einen ganz andern Weg einschlagen:
Wir bestimmen etwa aus irgendwelchen Gründen,
daß die Bilder in der zweiten Ebene
sämtlich Kreise sein sollen, was immer die Figuren
der || in der ersten Ebene sein
mögen. D.h. verschiedene
Figuren der ersten Ebene werden durch verschiedene Projektionsmethoden
in die zweite Ebene abgebildet. Um
dann die Kreise in II als Bilder zu verstehen, werde ich zu
jedem Kreis sagen müssen, welche Projektionsmethode zu ihm
gehört. Die bloße Tatsache
aber, daß sich eine Figur in II als
Kreis darstellt, wird noch gar nichts sagen. – So
geht es mit der Wirklichkeit, wenn wir sie in
Subjekt-Prädikat-Sätze
abbilden. Daß wir
Subjekt-Prädikat-Sätze
gebrauchen, ist nur eine Angelegenheit unserer
Zeichengebung. Die
Subjekt-Prädikatform ist an sich
noch keine logische Form und sie ist Ausdrucksmittel
unzähliger grundverschiedener logischer Formen, wie die Kreise auf der Ebene II.
Sätze: “Der
Teller ist rund”, “der Mann ist
groß”,
“der Fleck ist rot” haben in ihrer Form nichts gemeinsames. |
Eine
Schwierigkeit der Frege'schen Theorie ist die Allgemeinheit der Worte
“Begriff” und “Gegenstand”. Denn da man Tische und Töne und
Schwingungen und Gedanken zählen kann, so ist es schwer,
sie alle unter einen Hut zu bringen.
Begriff und Gegenstand, das ist aber Prädikat und Subjekt. Und wir haben gerade gesagt, daß Subjekt-Prädikat nicht eine logische Form ist. |
Es ist
nämlich klar, daß, wenn man einmal mit
der Arithmetik angefangen hat, man sich nicht mehr um Funktionen
und Gegenstände kümmert. Ja auch wenn man sich
entschlossen hat, nur mit Extensionen
zu arbeiten, bleibt noch das Sonderbare,
daß man auch auf die Form von
Gegenständen keinerlei Rücksicht nimmt. |
Ein
Gegenstand darf sich in gewissem Sinne nicht beschreiben
lassen. D.h. die Beschreibung darf ihm keine Eigenschaften zuschreiben, deren Fehlen die Existenz des Gegenstandes selbst zu nichte machen würde. D.h. die Beschreibung darf nicht aussagen, was für die Existenz des Gegenstandes wesentlich wäre. |
Ich sehe 3
Kreise in bestimmter Lage; ich schließe die
Augen, öffne sie wieder und sehe 3 ebenso
große Kreise in anderen Lagen. Hat
es einen Sinn zu fragen, ob es dieselben sind und welcher welcher
ist? Gewiß nicht.
Aber jetzt während ich sie sehe, kann ich sie
identifizieren. (Sogar wenn sie sich vor meinen Augen
bewegen, kann ich die Kreise in neuen Lagen mit denen in den
früheren identifizieren). Wenn ich ihnen
Eigennamen gebe und schließe die Augen und
öffne sie wieder und sehe, daß die
Kreise in der gleichen Lage sind, so kann ich jedem wieder seinen
Namen geben. (Man kann die
Überlegung auch
durchführen, wenn sie durch Bewegung ihre Plätze
vertauscht haben). Jedenfalls benenne ich immer
(direkt oder indirekt) einen Platz. |
Wäre es möglich, eine neue
Farbe zu entdecken? (Denn der Farbenblinde ist ja
in derselben Lage, wie wir, seine Farben bilden ein ebenso
komplettes System, wie die unsern; er sieht keine Lücke, wo
die übrigen Farben noch hinein gehörten).
(Vergleich mit der Mathematik.) |
Wenn man sagt, die Substanz ist unzerstörbar, so
meint man, es ist sinnlos, in irgend einem
Zusammenhang – bejahend oder verneinend – von dem
“Zerstören einer Substanz” zu reden.
|
Das
Charakteristische der Sätze von der Art “dies ist
…” ist nur, daß in das
Symbol irgendwie die Realität außerhalb
des sogenannten Zeichensystems eintritt. |
Russell und
Frege fassen den Begriff
gleichsam als Eigenschaft eines Dings auf. Aber es ist
sehr unnatürlich, die Worte Mensch, Baum, Abhandlung,
Kreis, als Eigenschaften eines Substrats
aufzufassen. |
Wenn ein Tisch braun angestrichen ist, so ist es
leicht, sich das Holz als den Träger der Eigenschaft
braun zu denken, und man kann sich das vorstellen,
was bleibt, wenn die Farbe wechselt. Ja, auch
im Falle eines bestimmten Kreises, der einmal rot,
einmal blau erscheint. Es ist also leicht, sich
vorzustellen, was rot ist, aber schwer, was
kreisförmig ist. Was bleibt hier, wenn
Form und Farbe wechseln? Denn die Lage ist ein Teil
der Form und es ist willkürlich, wenn ich festsetze, der
Mittelpunkt soll fest bleiben und die Form sich nur durch den
Radius ändern.
Wir werden uns wieder an die gewöhnliche Sprache halten müssen, und die sagt, daß ein Fleck kreisförmig ist. Es ist klar, daß hier das Wort “Träger der Eigenschaft” eine ganz falsche – unmögliche – Vorstellung gibt. – Wenn ich einen Klumpen Ton habe, so kann ich mir den als Träger einer Form denken und daher, ungefähr, kommt auch diese Vorstellung. “Der Fleck ändert seine Form” und “der Tonklumpen ändert seine Form” sind eben grundverschiedene Satzformen. |
Man kann sagen
“miß nach, ob das ein
Kreis ist” oder “sieh nach, ob das,
was dort liegt ein Hut ist”. Man kann auch sagen
“miß nach, ob das ein
Kreis ist oder eine Ellipse”, aber nicht
“… ob das ein Kreis ist oder ein Hut” auch
nicht “sieh nach, ob das ein Hut ist oder
rot”. |
Wenn ich auf eine Linie
zeige und sage “das ist ein Kreis” so kann man
einwenden, daß, wenn es kein Kreis
wäre, es nicht mehr das wäre.
D.h.: was ich mit dem Wort
“das” meine, muß
unabhängig von dem sein, was davon ausgesagt wird.
(“War das Donner, oder ein Schuß?” Man kann aber in diesem Falle nicht fragen “war das ein Lärm”.) |
Beiläufig gesprochen ist die
Gleichung eines Kreises das Zeichen für den
Begriff Kreis, wenn keine bestimmten Werte für die
Mittelpunktskoordinaten und den Radius eingesetzt sind, oder
auch, wenn diese nur als in gewissen Intervallen liegend gegeben
sind. Der Gegenstand, der unter den Begriff fällt,
ist dann der nach Lage und Größe
bestimmt gegebene Kreis. |
Worin unterscheiden
sich 2 gleichgroße rote Kreise?
Diese Frage klingt so, als wären sie ja doch
ungefähr Eines, und nur durch eine Kleinigkeit
unterschieden.
In der Darstellungsart durch Gleichungen drückt sich das Gemeinsame durch die Form der Gleichung aus und die Verschiedenheit durch die Verschiedenheit der Mittelpunktskoordinaten. So ist es, als ob hier die Mittelpunktskoordinaten das wären, was den unter den Begriff fallenden Gegenständen entspräche. Könnte man denn nicht statt “dies ist ein Kreis” sagen, “dieser Punkt ist Mittelpunkt eines Kreises”? Denn, Mittelpunkt eines Kreises zu sein, ist eine externe Eigenschaft des Punktes. In Wahrheit ist ja das Zahlenpaar, das die Mittelpunktskoordinaten darstellt, nicht irgend ein Ding, ebensowenig wie der Mittelpunkt, sondern das Zahlenpaar charakterisiert eben dasjenige am Symbol, was die “Verschiedenheit” der Kreise ausmacht. |
Was braucht
es zu einer Beschreibung, daß – sagen
wir – ein Buch an einer bestimmten Stelle ist?
Die interne Beschreibung des Buches, d.i. des
Begriffes und die Beschreibung seiner Lage, und die wäre durch
Angabe der Koordinaten dreier Punkte möglich.
Der Satz “ein solches Buch ist
hier” würde dann
heißen, es hat diese 3
Trippel von Bestimmungskoordinaten. Denn die Angabe des
Hier darf eben nicht präjudizieren was
hier ist.
Ist es nun aber nicht dasselbe, ob ich sage “dies ist ein Buch” und “hier ist ein Buch”? Der Satz würde dann etwa darauf hinauskommen, zu sagen, “das sind 3 (bestimmte) Punkte || Eckpunkte eines solchen Buches”. Man kann ähnlich auch sagen “dieser Kreis ist die Projektion einer Kugel” oder “dies ist die Erscheinung eines Menschen”. Alles was ich sage kommt darauf hinaus, daß F(x) eine externe Beschreibung von x sein muß. Wenn ich nun in diesem Sinne im dreidimensionalen Raum sage “hier ist ein Kreis” und ein andermal “hier ist eine Kugel” sind die beiden Hier von gleicher Art? Beide könnten doch die 3 Koordinaten des betreffenden Mittelpunkts sein. Aber die Lage des Kreises im dreidimensionalen Raum ist ja durch seine Mittelpunktskoordinaten nicht bestimmt. |
Angenommen, mein Gesichtsbild
besteht aus zwei gleichgroßen roten
Kreisen auf blauem Grund: Was ist hier in zweifacher
Zahl vorhanden und was einmal? Und was bedeutet diese
Frage überhaupt? Man könnte sagen, wir || Wir haben hier eine Farbe aber zwei Örtlichkeiten. |
Man kann fragen, hat
denn die Zahl wesentlich etwas mit einem Begriff zu
tun? Ich glaube das kommt darauf hinaus zu fragen, ob
es einen Sinn hat, von einer Anzahl von Gegenständen zu
reden, die nicht unter einen Begriff gebracht
sind. Heißt es
z.B. etwas zu sagen: “a und b und c sind 3
Gegenstände”? Ich
glaube offenbar, nein. Es ist allerdings ein Gefühl
vorhanden, das uns sagt: Wozu von Begriffen reden;
die Zahl hängt ja nur vom Umfang des Begriffes ab
und wenn der einmal bestimmt ist, so kann der Begriff sozusagen
abtreten. Der Begriff ist nur eine Methode um einen
Umfang zu bestimmen, der Umfang
aber ist selbständig und in seinem Wesen unabhängig
vom Begriff; denn es kommt ja auch nicht darauf an durch
welchen Begriff wir den Umfang bestimmt haben. Das ist
das Argument für die extensionale
Auffassung. Dagegen kann man zuerst sagen: Wenn
der Begriff wirklich nur ein Hilfsmittel ist, um zum Umfang zu
gelangen, dann hat der Begriff in der Arithmetik nichts zu suchen;
dann muß man eben die Klasse
gänzlich mit || von dem zufällig mit ihr
verknüpften |
Wie ist es mit dem Satz
“(∃x,y,z).aRx
& xRy & yRz & zRb . ⌵ .
aRy & yRx & xRz &
zRb. ⌵ .
etc.” (Es
folgen alle Kombinationen)? Kann
ich ihn nicht verständlich in der Form
schreiben: “(∃3)x.aRxRb” etwa “zwischen a und
b sind 3 Glieder
eingeschaltet”. Hier
haben wir den Begriff gebildet “Glied
zwischen a und b”.
(Dinge zwischen diesen Wänden.) |
Wenn ich zwei Gegenstände habe, so kann ich diese freilich,
wenigstens hypothetisch, unter einen Hut bringen, aber das
Charakteristische an dem || für den
Begriffsumfang ist doch die Klasse, und der Begriff, der sie
umfaßt, war doch nur ein Notbehelf, eine
Ausrede. |
Die Zahlen sind Bilder
der Begriffsumfänge. |
Man
könnte nun den Begriffsumfang wie einen Gegenstand betrachten,
dessen Name ja auch nur im Satzzusammenhang Sinn hat.
“a und b und
c” hat
allerdings keinen
Sinn, das ist kein Satz. Aber “a” ist ja
auch kein Satz. |
(∃1)xFx &
(∃1)xGx &
(x).non (Fx &
Gx) . ⊃ . (∃2)x.Fx . ⌵ . Gx
Wenn hier F und G die Formen x = a . ⌵ . x = b, etc. sind, dann ist der ganze Satz eine Vorrichtung geworden, die dafür sorgt, daß richtig addiert wird. |
Im Symbolismus wird
tatsächlich zugeordnet, während in der Bedeutung nur von
der Möglichkeit der Zuordnung die Rede ist.
|
Das Problem ist: Wie
kann man Vorbereitungen zum Empfang von etwas eventuell
Existierendem treffen? |
Das Axiom
of infinity ist schon darum ein Unsinn, weil die
Möglichkeit, es auszusprechen, unendlich viele Dinge
– also, was es behaupten will –
voraussetzt || voraussetzen
würde. Von den logischen Begriffen,
z.B. von der Unendlichkeit, kann man sagen,
daß ihre Essenz ihre Existenz
beweist. |
(3)xFx & (4)xGx &
non (∃x)Fx & Gx
. ⊃ . (3
+ 4)x.Fx
. ⌵ . Gx Dieser Ausdruck ist nicht dasselbe wie die Ersetzungsregel 3 + 4 = 7. |
Man
könnte auch so fragen: Angenommen, ich
habe 4 Gegenstände die eine Funktion befriedigen, hat es in
jedem Fall einen Sinn, zu sagen, diese 4 Gegenstände seien
2 + 2
Gegenstände? Ich weiß ja
nicht, ob es Funktionen gibt, die 2 und 2 von ihnen unter
einen (je einen) Hut bringen. Hat
es einen Sinn von irgend 4 Gegenständen zu sagen, sie
bestünden aus 2 Gegenständen und 2
Gegenständen?
Die Schreibweise, die ich oben verwendete “(3 + 4)x etc.” enthält bereits die Annahme, daß es einen Sinn hat, 7 immer als 3 + 4 aufzufassen, denn auf der rechten Seite vom “. ⊃ . ” habe ich sozusagen schon vergessen, woher diese 3 und 4 rühren. Andererseits: Im Zeichen 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 kann ich doch auf jeden Fall 3 und 4 unterscheiden. Liegt hier vielleicht die Auflösung? Wie wäre es, wenn ich ein Zeichen für die 7 hätte, worin ich 3 und 4 nicht absondern könnte? Ist ein solches Zeichen denkbar? |
Hat es einen
Sinn zu sagen, daß eine Relation 2
Gegenstände miteinander verbindet, auch wenn diese im
Übrigen unter keinen Begriff
fallen?
|
Ich will sagen, die Zahlen
können nur definiert werden aus Satzformen
unabhängig davon, welche Sätze wahr oder falsch
sind. |
Von den Dingen a, b, c, d haben 3 die Eigenschaft
F. Das kann durch eine Disjunktion
ausgedrückt werden. Offenbar auch ein Fall, wo eine
Zahlenangabe sich nicht auf einen Begriff bezieht (obwohl man es
mittels des “ = ” auch so erscheinen lassen kann.) |
Wenn ich sage: Wenn 4 Äpfel
auf dem Tisch liegen, so liegen
2 + 2
Äpfel auf ihm, so
heißt das nur, daß
mit den 4 Äpfeln schon die Möglichkeit
gegeben ist, sie zu zwei und zwei zusammen zu fassen und
ich brauche nicht auf die wirkliche Zusammenfassung durch einen
Begriff zu warten. Diese “Möglichkeit” bezieht sich auf den Sinn, nicht auf die Wahrheit
eines Satzes.
2 + 2
= 4 kann heißen “wo immer ich 4 Gegenstände habe, besteht
die Möglichkeit, sie zu 2 || zwei und zwei zusammen
zu fassen”. |
Wie kann ich wissen,
daß
❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘
und
❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘
dasselbe Zeichen sind? Es genügt
doch nicht, daß sie
ähnlich ausschauen. Denn es ist nicht
die ungefähre Gleichheit der Gestalt, was die Identität
der Zeichen ausmachen darf, sondern gerade eben die
Zahlengleichheit. |
Wenn man schreibt
(∃❘ ❘ ❘ ❘ ❘)
etc. & (∃❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘)
etc. . ⊃ .
(∃❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘)
etc., so kann man im Zweifel sein, wie
ich denn das Zahlzeichen in der rechten Klammer erhalten habe,
wenn man nicht weiß,
daß es durch Addition der beiden linken
Zahlzeichen entstanden ist. Ich glaube, das macht
klar, daß dieser Ausdruck nur eine
Anwendung von
5 + 7
= 12, aber nicht diese Gleichung selbst
darstellt. |
Wenn man fragt: Was
heißt denn dann aber “5 + 7
= 12” – was für
ein Sinn oder Zweck bleibt dann noch für diesen Ausdruck
– so ist die Antwort: Diese Gleichung ist eine
Zeichenregel, die angibt, welches Zeichen entsteht, wenn man eine
bestimmte Operation (die Addition) auf 2 andere bestimmte
Zeichen anwendet. Der Inhalt von
5 + 7
= 12 ist (wenn einer es nicht
wüßte) genau das, was den Kindern
Schwierigkeiten macht, wenn sie diesen Satz im Rechenunterricht
lernen. |
Man kann ganz von der speziellen Beschaffenheit des
Satzes A absehen und bloß auf das
Verhältnis, die Beziehung, der Zahlzeichen in ihm achten.
Das zeigt, daß diese Beziehung
unabhängig von diesem Satz besteht. Nämlich von
den andern Zügen seiner Struktur, die ihn zur Tautologie
machen. |
Denn wenn ich ihn als Tautologie betrachte, so nehme
ich ja bloß Eigenschaften seiner
Struktur wahr und das Additionstheorem kann ich nun in
ihnen wahrnehmen, ohne auf andere dem Satz wesentliche Charaktere
zu achten.3 |
Das
Additionstheorem ist also in ihm (unter anderem) zu erkennen,
nicht durch ihn. Diese Überlegung wäre natürlich unsinnig, wenn es sich hier um den Sinn 70
eines Satzes
handelte und nicht um die || das
strukturelle Arbeiten
einer Tautologie. |
Darauf könnte
man sagen: Was ich am Zeichen A wahrnehme
und die Beziehung der Zahlzeichen nenne, ist wieder nur das
Zusammenfassen von Begriffsumfängen: Ich vereinige
die 5 ersten Striche der rechten Klammer, die in einer 1-1-Beziehung zu den 5 in der einen
linken Klammer stehen und die folgenden 7 Striche der
rechten Klammer, die in einer
1-1-Beziehung zu den 7 in der anderen linken Klammer
stehen, zu 12 Strichen,
die das Eine oder das Andere tun. Aber auch, wenn ich
diesen Gedankenprozeß durchginge, so
bliebe das als fundamentale Einsicht, daß
sich die 5 Striche und die 7 gerade zu 12 vereinigen
(also etwa zu derselben Struktur, wie auch 4 und 4 und
4). – Was uns das lehrt, ist
immer nur die Einsicht in die
interne Beziehung der Strukturen und nicht irgend ein Satz oder eine
Überlegung der Logik. Und
zwar ist für diese Einsicht alles an der Tautologie
außer den Zahlstrukturen nur Beiwerk; nur
auf diese kommt es für den arithmetischen Satz an.
(Alles andere gehört zur Anwendung des
arithmetischen Satzes). |
Ich will also
sagen: das Arithmetische ist nicht der
Anlaß, 5 und 7 zusammenzugeben,
sondern der Vorgang und was dabei herauskommt. |
Angenommen, ich
schriebe den Satz A hin, setzte aber in der rechten Klammer
die falsche Anzahl von Strichen, so könnte und würde man
auf diesen Fehler nur durch Vergleichung der Strukturen, nicht
durch Anwendung von logischen Lehrsätzen kommen. |
Ja, wenn man
frägt: Woher weißt du denn,
daß gerade diese Zahl von Strichen in der
rechten Klammer die richtige ist, so kann ich es nur durch eine
Vergleichung der Strukturen rechtfertigen. |
Es würde
sich also herausstellen, daß, was
Frege den “Pfeffernuß-Standpunkt” in der Arithmetik nannte, doch einer
Rechtfertigung fähig wäre. |
Und jetzt zeigt sich auch – glaube ich –
klar, die Beziehung zwischen der extensiven Auffassung der
Klassen und der Auffassung der Zahl als Merkmal einer logischen
Struktur: Eine Extension ist eine
Charakteristik des Sinnes eines Satzes. |
Wenn nun der Übergang in
A die einzige Anwendung dieses arithmetischen
Schemas wäre, könnte oder
müßte man es da nicht eben durch die
Tautologie ersetzen, oder definieren? |
D.h.: Wie wäre es wenn
A die allgemeinste Form der Anwendung des
arithmetischen Schemas wäre?
|
Wäre A die
einzige – also wesentlich die einzige –
Anwendung des Schemas, dann könnte das Schema ganz von selbst
nichts anderes bedeuten, als eben die Tautologie. |
Oder: dann müßte
das Schema selbst die Tautologie sein, und die Tautologie nichts
anderes als das Schema. |
Dann könnte man auch nicht mehr sagen, A
sei eine Anwendung des Schemas, sondern A wäre das
Schema, nur gleichsam nicht das Werkzeug allein, sondern das
Werkzeug mit seinem Griff,
ohne || ohne den es ja doch nicht zu
brauchen ist. |
Das, was A außer dem
Schema enthält, darf dann nur das sein, was zur
Applikation des arithmetischen Schemas notwendig
ist.
Notwendig ist aber gar nichts, denn wir verstehen und wenden die arithmetischen Sätze sehr wohl an, ohne irgend einen Zusatz zu ihnen. Dazu gehört aber vor allem nicht die Bildung einer Tautologie, wie wir in jener Tautologie selbst sehr gut sehen, denn sonst müßten wir, um sie als Tautologie zu erkennen, wieder eine andere als Tautologie erkennen und so fort. |
Die
arithmetischen Sätze dienen, wie Multiplikationstabellen und
dergleichen, oder auch wie Definitionen, auf deren beiden Seiten
nicht ganze Sätze stehen, zur Anwendung auf die
Sätze. Und auf etwas Anderes kann ich sie ja sowieso nicht anwenden. (Ich brauche
also nicht erst irgendwelche Beschreibung ihrer
Anwendung.) |
Keine Untersuchung der Begriffe, nur
die direkte Einsicht kann vermitteln,
daß
3 + 2
= 5. Das ist es, was sich in uns auflehnt gegen die Annahme, daß A der Satz 3 + 2 = 5 sein könnte. Denn das, wodurch wir diesen Ausdruck als Tautologie erkennen, kann sich selbst nicht aus einer Betrachtung von Begriffen ergeben, sondern muß unmittelbar sichtbar sein. |
Und wenn wir sagen,
die Zahlen seien Strukturen, so meinen wir, sie müssen immer
von der Art dessen sein, wodurch wir sie darstellen. |
Ich
meine: Die Zahlen sind das, was ich in meiner Sprache
durch die Zahlenschemata darstelle.
D.h. ich nehme (sozusagen) als das mir Bekannte die Zahlenschemata der Sprache, und sage: Die Zahlen sind das, was diese darstellen. Das entspricht dem, was ich seinerzeit meinte, als ich sagte: Die Zahlen treten mit dem Kalkül in die Logik ein. |
Was ich
früher über das Wesen der arithmetischen Gleichung gesagt
habe und darüber, daß eine Gleichung
nicht durch eine Tautologie zu ersetzen ist, erklärt,
– glaube ich – was Kant meinte, wenn er darauf dringt
5 + 7 =
12 sei kein analytischer Satz sondern synthetisch a
priori. |
Sind es dieselben Zahlen mit denen ich die Pferde in einem Stall und die verschiedenen Tierarten im Stall zähle? Mit denen ich die Striche auf der Zeile und die Arten von Gruppen (auch den verschiedenen Strichzahlen) zähle? Ob es im gleichen Sinne Kardinalzahlen sind, hängt davon ab, ob die gleichen syntaktischen Regeln für sie gelten. (Daß in einem Zimmer kein Mensch ist, ist denkbar, aber nicht, daß ein Mensch keiner Rasse darin ist.) |
Die Arithmetik ist die Grammatik
der Zahlen. Zahlenarten können sich nur durch
die sich auf sie beziehenden arithmetischen Regeln
unterscheiden. |
Man
empfindet immer eine Scheu, die Arithmetik zu begründen, indem
man etwas über ihre
Anwendung ausspricht. Sie scheint fest genug in sich selbst
begründet zu sein. Und das kommt natürlich
daher, daß die Arithmetik ihre eigene
Anwendung ist. |
Die
Arithmetik redet nicht von Zahlen, sondern sie arbeitet mit
Zahlen. |
Der
Kalkül setzt den
Kalkül voraus.
|
Sind nicht die Zahlen eine logische
Eigentümlichkeit des Raumes und der Zeit?
Der Kalkül selbst besteht nur im Raum und der Zeit. |
Jede Rechnung der Mathematik
ist eine Anwendung ihrer selbst und hat nur als solche
Sinn. Darum ist es nicht nötig, bei der
Begründung der Arithmetik von der allgemeinen Form der
logischen Operation zu reden. |
Die Kardinalzahl ist auf die
Subjekt-Prädikat-Form anzuwenden, aber nicht auf jede
Abart dieser Form. Und soweit sie anwendbar ist,
charakterisiert sie eben die Subjekt-Prädikat-Form. |
Einerseits, kommt es mir vor, kann man die Arithmetik
ganz selbständig entwickeln und ihre Anwendung sorgt für
sich selbst, denn wo immer sie anwendbar ist, dort darf man sie
auch anwenden. Anderseits
kann eine nebulose Einführung des Zahlbegriffes mit Hilfe einer allgemeinen Operationsform –
wie ich es machte – nicht nötig sein. |
Man
könnte sagen: Die Arithmetik ist eine Art
Geometrie: d.h. was in der Geometrie
die Konstruktionen auf dem Papier sind, sind in der Arithmetik die
Rechnungen (auf dem Papier). – Man
könnte sagen, sie ist eine allgemeinere Geometrie. |
Und kann ich
nicht sagen, daß in diesem Sinne auch das
Schachspiel (oder jedes andere) eine Art Geometrie
ist?
Dann muß aber eine Anwendung des Schachspiels ganz analog der der Arithmetik ausgedacht werden können. |
Man könnte sagen: Wozu die Anwendung
der Arithmetik einschränken, sie sorgt für sich
selbst. (Ich kann ein Messer herstellen ohne
Rücksicht darauf, welche Klasse von Stoffen sich damit werden
schneiden lassen; das wird sich dann schon
zeigen.)
Gegen die Abgrenzung des Anwendungsgebiets spricht nämlich das Gefühl, daß wir die Arithmetik verstehen können, ohne ein solches Gebiet im Auge zu haben. Oder sagen wir so: Der Instinkt sträubt sich gegen alles, was nicht bloß eine Analyse der schon vorhandenen Gedanken ist. |
Man wundert sich gleichsam, daß die Ziffern, losgelöst von ihren Definitionen so richtig funktionieren. Oder vielmehr: daß die Ziffernregeln so richtig arbeiten (wenn sie nicht von den Definitionen kontrolliert werden.) Das hängt (seltsamerweise) mit der inneren Widerspruchslosigkeit der Geometrie zusammen. Man kann nämlich sagen, daß die Ziffernregeln die Definitionen immer voraussetzen. Aber in welchem Sinne? Was heißt es, daß ein Zeichen ein anderes voraussetzt; was eigentlich gar nicht da ist? Es setzt seine Möglichkeit voraus; die Möglichkeit im Zeichen-Raum (im grammatischen Raum). |
Es handelt sich immer darum, ob und wie es
möglich ist, die allgemeinste Form der Anwendung der
Arithmetik darzustellen. Und hier ist eben das Seltsame,
daß das in gewissem Sinne nicht
nötig zu sein scheint. Und wenn es wirklich nicht
nötig ist, dann ist es auch unmöglich. |
Es scheint nämlich die allgemeine Form ihrer
Anwendung dadurch dargestellt zu sein, daß
nichts über sie ausgesagt wird. (Und
ist das eine mögliche Darstellung, so ist es auch
die
richtige.) |
Das Charakteristische an der Zahlangabe ist,
daß man statt der einen Zahl jede andere
einsetzen kann und der Satz immer sinnvoll bleiben
muß; also die unendliche Formenreihe von
Sätzen. |
Der Sinn der Bemerkung, daß
die Arithmetik eine Art Geometrie sei, ist eben,
daß die arithmetischen Konstruktionen
autonom sind, wie die geometrischen, und daher sozusagen ihre
Anwendbarkeit selbst garantieren. Denn auch von der Geometrie muß man sagen können, sie sei ihre eigene Anwendung. |
Angenommen,
mit dieser Rechnung wollte ich folgende Aufgabe lösen:
Wenn ich 11 Äpfel habe und Leute
mit je 3 Äpfeln beteilen will,
wieviele Leute kann ich beteilen? Die Rechnung liefert
mir die Lösung 3. Angenommen nun, ich vollzöge
alle Handlungen des Beteilens und am Ende hätten 4
Personen je 3 Äpfel in der
Hand. Würde ich nun sagen, die Ausrechnung hat ein
falsches Resultat ergeben? Natürlich nicht.
Und das heißt ja nur,
daß die Ausrechnung kein Experiment
war. Es könnte scheinen, als berechtigte uns die mathematische Ausrechnung zu einer Vorhersagung, etwa, daß ich 3 Personen werde beteilen können und 2 Äpfel übrigbleiben werden. So ist es aber nicht. Zu dieser Vorhersagung berechtigt uns eine physikalische Hypothese, die außerhalb der Rechnung steht. Die Rechnung ist nur eine Betrachtung der logischen Formen, der Strukturen, und kann an sich nichts Neues liefern. |
So verschieden Striche und
Gerichtsverhandlungen sind, so kann man doch
Gerichtsverhandlungen durch
Striche in einem Kalender darstellen. Und kann die einen
statt der anderen zählen.
Es ist nicht so, wenn ich etwa Hutgrößen Zählen will. Drei Hutgrößen durch 3 Striche zu repräsentieren wäre nicht natürlich. Ebenso, wie wenn ich eine Maßzahl, 3 m, durch 3 Striche darstellen wollte. Man kann das ja tun, nur stellt dann “❘ ❘ ❘” auf eine andere Weise dar. |
Wenn 3
Striche auf dem Papier das Zeichen für die 3 sind, dann kann man
sagen, die 3 ist so anzuwenden, wie sich 3 Striche anwenden
lassen. |
Wovon drei Striche ein Bild
sind, als dessen Bild können sie dienen. |
Die Anzahlen
sind eine in der Wirklichkeit durch die Dinge gegebene Form, so wie
die Rationalzahlen durch Ausdehnungen etc. Ich
meine, durch wirkliche Formen. So sind die
komplexen Zahlen durch wirkliche
Mannigfaltigkeiten gegeben. (Die Symbole sind ja
wirklich.) |
Worin liegt der Unterschied zwischen der Zahlangabe
über den Umfang eines Begriffs und der Zahlangabe über
den Umfang einer Variablen? Die Erste ist ein Satz,
die Zweite keiner. Denn die Zahlangabe über eine
Variable kann ich aus dieser selbst ableiten. (Sie
muß sich zeigen.)
Kann ich aber nicht eine Variable dadurch geben, daß ich sage, ihre Werte sollen alle Gegenstände sein, die eine bestimmte materielle Funktion befriedigen? Dann ist die Variable keine Form! Und dann hängt der Sinn eines Satzes davon ab, ob ein anderer wahr oder falsch ist. |
Die Zahlangabe über eine Variable besteht in
einer Transformation der Variablen, die die Anzahl ihrer Werte
sichtbar macht. |
Welcher Art ist der Satz “zwischen 5 und 8 gibt es eine
Primzahl”? Ich
würde sagen: “Das
zeigt sich”.
Und das ist richtig; aber kann man nicht die Aufmerksamkeit auf
diesen internen Sachverhalt lenken? Man könnte doch
sagen: Untersuche das Intervall von 10 bis 20 auf
Primzahlen. Wieviel gibt es? Wäre das
nicht eine klare Aufgabe? Und wie wäre ihre
Lösung richtig auszudrücken oder
darzustellen? Was bedeutet der
Satz: “Zwischen 10 und 20
gibt es 4 Primzahlen”?
Dieser Satz scheint unsere Aufmerksamkeit auf einen gewissen Aspekt der Sache zu lenken. |
Wenn ich jemanden frage “Wieviele Primzahlen gibt es zwischen zehn
und zwanzig”, so wird er sagen,
ich weiß es nicht im Augenblick aber ich kann
es jederzeit feststellen. Denn es ist ja gleichsam schon
irgendwo aufgeschrieben. |
Wenn man wissen will, was ein Satz bedeutet, so kann
man immer fragen “wie weiß ich
das”. Weiß ich,
daß es 6 Permutationen von 3 Elementen gibt
auf die gleiche Weise, wie, daß 6 Personen
im Zimmer sind? Nein. Darum ist jener Satz von
anderer Art als dieser. |
Eine andere ebenso nützliche
Frage ist “wie wird dieser Satz in praxi wirklich
angewandt” und da wird jener Satz der
Kombinationslehre natürlich als
Schlußgesetz angewandt, zum
Übergang von einem Satz zum
andern, deren jeder eine Wirklichkeit, keine
Möglichkeit, beschreibt. |
Man kann wohl überhaupt sagen, daß
die Verwendung der scheinbaren Sätze über
Möglichkeiten – und Unmöglichkeiten – immer
der Übergang von einem wirklichen
Satz zum andern ist.
So kann ich z.B. aus dem Satz “ich bezeichne 7 Felder durch Permutationen von a, b, c” schließen, daß zum mindesten eine mit Wiederholung unter ihnen ist. – Und aus dem Satz “ich verteile 5 Löffel auf 4 Tassen” folgt, daß eine Tasse 2 Löffel kriegt, usw. |
Wenn jemand mit uns
über die Anzahl der Menschen in diesem Zimmer nicht
übereinstimmt und behauptet, es seien 7, während wir nur
6 sehen, so können wir ihn verstehen, obwohl wir nicht mit ihm
übereinstimmen. Behauptet er aber,
für ihn gäbe es 5 reine Farben, dann verstehen wir ihn
nicht, oder wir müssen annehmen, daß wir
einander gänzlich
mißverstehen. Diese Zahl
wird im Wörterbuch und der Grammatik abgegrenzt
und nicht innerhalb der Sprache. |
Die
Zahlangabe enthält nicht immer eine Verallgemeinerung oder
Unbestimmtheit: “Die Strecke A B ist in
zwei (3, 4, etc.) gleiche Teile
geteilt”. |
Nicht einmal eine gewisse Allgemeinheit ist der
Zahlangabe wesentlich. Wenn ich
z.B. sage “ich
sehe 3 gleichgroße Kreise in gleichen
Abständen angeordnet”.
Wenn ich eine richtige Beschreibung des Gesichtsfeldes gebe, in dem 3 rote Kreise auf blauem Grund stehen, so wird da gewiß nicht der Ausdruck vorkommen “(∃x,y,z):x ist kreisförmig und rot und y ist kreisförmig und rot etc. etc.” |
Freilich
könnte man so schreiben: Es gibt 3 Kreise, die die
Eigenschaft haben rot zu sein. Aber hier tritt der
Unterschied zu Tage zwischen den uneigentlichen
Gegenständen, Farbflecken im Gesichtsfeld, Tönen,
etc. und den Elementen der Erkenntnis,
¤
den
eigentlichen Gegenständen.
Es fällt auf, daß der Satz von den 3 Kreisen nicht die Allgemeinheit, oder Unbestimmtheit hat, die ein Satz der Form (∃x,y,z).Fx & Fy & Fz besitzt. In diesem Fall kann man nämlich sagen: Ich weiß zwar, daß 3 Dinge die Eigenschaft F haben, weiß aber nicht, welche. Im Fall von den drei Kreisen kann man das nicht sagen. “Es sind jetzt 3 rote Kreise von der und der Größe und Lage in einem Gesichtsfeld” bestimmt die Tatsache vollständig und es wäre unsinnig zu sagen, ich wisse noch nicht, welche Kreise es sind. |
Denken wir an “Gegenstände”
wie: Ein Blitzschlag, das gleichzeitige Eintreffen
zweier Ereignisse, die Schnittpunkte einer Geraden mit einem Kreis,
etc. für alle diese Fälle sind die 3
Kreise im Gesichtsfeld ein Beispiel. |
Man kann natürlich die
Subjekt-Prädikat- oder
was dasselbe ist die Argument-Funktion-Form als eine Norm
der Darstellung auffassen und dann ist es allerdings wichtig
und charakteristisch, daß sich in
jedem Fall, wenn wir Zahlen anwenden, die Zahl als
Eigenschaft eines Prädikates darstellen
läßt. Nur müssen wir uns
darüber |
Das würde sagen, daß
die Frege'sche Theorie der Zahl so lange anwendbar wäre, als
wir nicht eine Analyse der Sätze beabsichtigen. Diese
Theorie erklärt den Zahlbegriff für die
Ausdrucksform der
Umgangssprache.
Frege hätte
allerdings gesagt (ich erinnere mich an eine
Unterredung) daß das
Zusammentreffen einer Mondesfinsternis und einer
Gerichtsverhandlung ein Gegenstand sei. Und was ist dagegen
einzuwenden? Nur, daß wir
das Wort “Gegenstand” dann
in zweideutiger Weise verwenden und so die Resultate der logischen
Analyse verwirren. |
Wenn ich sage “in
diesem Zimmer sind 4 Menschen”, so
scheint allerdings eine Disjunktion hineinzuspielen, da nicht
gesagt ist, welche Menschen. Aber das ist
ganz unwesentlich. Wir könnten uns
denken, daß alle Menschen einander gleich
wären, abgesehen vom Ort, an dem sie sich befinden
(daß es sich also bei ihnen um
Menschlichkeit an einem bestimmten räumlichen Ort handelte)
und dann fiele jede Unbestimmtheit fort. |
Wenn ich
recht habe, so gibt es keinen Begriff “reine Farbe”;
der Satz “A hat eine reine Farbe”
heißt einfach “A ist rot, oder
gelb, oder blau, oder grün”.
“Dieser Hut gehört entweder A oder
B oder C” ist nicht derselbe Satz wie
“dieser Hut gehört einem Menschen in diesem
Zimmer”, selbst wenn tatsächlich nur A, B, C im
Zimmer sind, denn das muß erst dazugesagt
werden. – Auf dieser Fläche sind zwei reine
Farben, heißt:
Auf dieser Fläche sind rot und gelb, oder rot und blau,
oder rot und grün, oder etc.
Wenn ich nun nicht sagen kann “es gibt 4 reine Farben”, so sind die reinen Farben und die Zahl 4 doch irgendwie miteinander verbunden und das muß sich auch irgendwie ausdrücken. – Z.B. wenn ich sage “auf dieser Fläche sehe ich 4 Farben: gelb, blau, rot, grün”. |
Ganz analog
muß es sich nun mit den Permutationen
verhalten. Die Permutationen (ohne
Wiederholung) von A B sind A
B, B A. Sie sind nicht die Extension
eines Begriffs, sondern sie allein sind der Begriff.
Dann kann man aber von ihnen nicht sagen,
daß ihrer Zwei sind. Und doch tut
man das scheinbar in der
Kombinatorik. Es ist mir,
als handle es sich da um eine ähnliche Zuordnung,
wie die zwischen der Algebra und den Induktionen der
Arithmetik. Oder ist die Verbindung die von Geometrie und
Arithmetik? Der Satz, daß
es 2 Permutationen von A B gibt, ist wirklich ganz analog dem,
daß die Gerade dem Kreis in 2 Punkten
schneidet. Oder, daß eine
Gleichung zweiten Grades zwei Wurzeln hat. |
Wenn man
sagt, A B lasse 2 Permutationen zu, so klingt das, als mache man
eine allgemeine Aussage, analog der “in dem
Zimmer sind 2 Menschen”, wobei über die Menschen noch
nichts weiter gesagt ist und bekannt sein braucht. Das ist
aber im Falle A B nicht so. Ich kann A B, B
A nicht allgemeiner beschreiben und daher kann der Satz, es
seien 2 Permutationen möglich, nicht weniger sagen, als, es sind
die Permutationen A B und B A möglich.
Zu sagen, es sind 6 Permutationen von 3 Elementen möglich
kann nicht weniger, d.h. etwas allgemeineres
sagen, als das Schema zeigt:
|
Eine
Kombinationsrechenmaschine ist denkbar ganz
analog der Russischen. |
Es ist klar, daß es eine
mathematische Frage gibt; “wieviele Permutationen
von – z.B. – 4 Elementen gibt
es”, eine Frage von genau derselben Art, wie die
“wieviel ist
25 ×
18”. Denn es gibt eine allgemeine
Methode zur Lösung beider. Aber die Frage gibt es auch nur mit Bezug auf diese Methode. |
Der Satz, es
gibt 6 Permutationen von 3 Elementen, ist identisch mit dem
Permutationsschema und darum gibt es hier keinen Satz
“es gibt 7 Permutationen von 3 Elementen”, denn
dem entspricht kein solches Schema. |
Man kann auch sagen, der Satz “es gibt 6
Permutationen von 3 Elementen” verhält sich genau so
zum Satz “es sind 6 Leute im Zimmer”, wie der Satz
3
+ 3 = 6, den man auch in
der Form “es gibt 6 Einheiten in
3
+ 3” aussprechen
könnte. Und wie ich in dem einen Fall die Reihen im
Permutationsschema zähle, so kann ich im andern die Striche im
|
Wie ich
4 × 3 =
12 durch das Schema beweisen kann:
|
Zu sagen, daß ich so viele Löffel
habe, daß sie 1–1 auf ein Dutzend
Schalen verteilt werden können, was
heißt es?
Entweder setzt dieser Satz voraus, daß ich 12 Löffel habe, dann kann ich nicht sagen, daß sie den 12 Schalen zugeordnet werden können, denn das Gegenteil wäre unmöglich; oder aber, der Satz setzt nicht voraus, daß ich 12 Löffel habe, dann sagt er, daß ich 12 Löffel haben kann und das ist selbstverständlich und läßt sich wieder nicht sagen. Man könnte auch so fragen: Sagt jener Satz weniger, als daß ich 12 Löffel habe? Sagt er etwas, woraus erst mit Hilfe eines weiteren Satzes folgt, daß ich 12 Löffel habe? Wenn p aus q allein folgt, so sagt q bereits p. Ein scheinbarer gedanklicher Prozeß, der den Übergang macht, gilt nicht. |
Das Symbol
für eine Klasse ist eine Liste. |
Kann ich wissen,
daß auf diesem Tisch gleichviel
Äpfel und Birnen liegen und nicht
wissen, wieviel? Und was heißt
es, nicht zu wissen wieviel? Und wie kann ich es
herausfinden? Wohl durch
zählen. Es ist offenbar, daß
man die Gleichzahligkeit durch Zuordnung erkennen kann, ohne die
Klassen zu zählen. ❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘ |
In Russells Theorie kann
nur die wirkliche Zuordnung die
“Ähnlichkeit” zweier
Klassen zeigen. Nicht die Möglichkeit
der Zuordnung, denn diese besteht eben in der Gleichheit der
Zahlen. Die Möglichkeit muß
ja eine interne Relation der Begriffsumfänge
sein, diese interne Relation aber ist eben nur durch die Gleichheit
der beiden Zahlen gegeben. |
Die Kardinalzahl ist eine
interne Eigenschaft einer Liste. |
Wir sondern die Evidenz für das Eintreten eines
physikalischen Ereignisses nach den verschiedenen Arten solcher
Evidenz in gehörte, gesehene, gemessene etc., und
sehen, daß in jeder dieser
einzelnen ein formelles Element der Ordnung ist,
welches wir Raum nennen können. |
Daß die 1–1 Zuordnung möglich
ist, zeigt sich darin, daß ein sinnvoller
Satz sie – wahr oder falsch – als bestehend
behauptet. Und daß die obige
Zuordnung nicht möglich ist, zeigt sich darin,
daß wir sie nicht beschreiben
können. |
Wir können sagen, es sind 2 Kreise in diesem
Viereck, obwohl in Wirklichkeit ihrer 3 sind und das
ist || dieser Satz ist nur falsch. Ich kann aber
nicht sagen, diese Gruppe von Kreisen besteht aus 2 Kreisen und
ebensowenig, sie besteht aus 3 Kreisen, weil ich da eine
interne Eigenschaft aussagen würde. |
Von einer
Extension zu sagen, sie habe diese und diese Zahl, ist Unsinn, denn
die Zahl ist eine interne
Eigenschaft der Extension. Wohl aber kann man die Zahl
von dem Begriff aussagen, der die Extension unter einen Hut bringt
(ebenso, wie man sagen kann, daß
diese Extension dem Begriff genügt || den Begriff
befriedigt). |
Es ist merkwürdig,
daß man im Fall der Tautologien und
Kontradiktion wirklich von Sinn und
Bedeutung im Sinne Freges
reden könnte. Wenn man die Bedeutung der Tautologie ihre Eigenschaft eine Tautologie zu sein nennt, dann kann man den Sinn der Tautologie die Art und Weise nennen, wie hier die Tautologie zu Stande kommt. Das gleiche für die Kontradiktion. |
Wenn man, wie
Ramsey
vorschlägt, das Zeichen “ = ” so erklärt, daß
x =
x, eine Tautologie, x = y eine
Kontradiktion ist,
dann kann man sagen, daß hier die
Tautologie und die
Kontradiktion keinen “Sinn”
haben. |
Wenn also die
Tautologie dadurch etwas zeigt, daß gerade
dieser Sinn diese Bedeutung ergibt, so
zeigt die Tautologie bei Ramsey nichts, denn sie ist Tautologie
ex
definitione || durch Definition. |
Welche Beziehung besteht denn zwischen dem Zeichen
“≝” und jenem
Gleichheitszeichen welches
durch Tautologie und Kontradiktion erklärt
wird? Ist für dieses Gleichheitszeichen “p & q = non(nonp ⌵ nonq)” eine Tautologie? Man könnte sagen: “p & q = p & q” ist Taut. und da man das eine Zeichen “p & q” hier der Definition entsprechend durch “non(nonp & nonq)” ersetzen darf, so ist auch der obere Ausdruck Taut. |
Man dürfte also die Erklärung des
Gleichheitszeichens nicht so schreiben:
x = x ist
Taut. x = y Kont. sondern man müßte sagen: Wenn, und nur wenn, “x” und “y” den Zeichenregeln zufolge die gleiche Bedeutung haben, dann ist „x = y” Taut.; wenn „x” und “y” den Zeichenregeln zufolge nicht dieselbe Bedeutung haben, dann ist „x = y” Kont.. Es wäre dann zweckmäßig, das so erklärte Gleichheitszeichen anders zu schreiben zum Unterschied von “x = y” welches eine Zeichenregel darstellt und besagt, daß wir x durch y ersetzen dürfen. Das nämlich kann ich aus dem oben erklärten Zeichen nicht ersehen, sondern nur daraus daß es eine Tautologie ist, aber auch das weiß ich ja erst, wenn ich schon die Ersetzungsregeln kenne. |
Die
Gleichungen der Mathematik kann man, so scheint es mir, nur mit
sinnvollen Sätzen vergleichen, nicht mit Tautologien.
Denn die Gleichung enthält eben dieses aussagende Element
– das Gleichheitszeichen – das nicht dazu bestimmt ist,
etwas zu zeigen. Denn was sich zeigt, das zeigt sich
ohne das Gleichheitszeichen. Das Gleichheitszeichen
entspricht nicht dem “. ⊃ .” in “p & (p ⊃ q) . ⊃ .
q” denn das “. ⊃ .” ist nur ein Bestandteil unter anderen, die
zur Bildung der Tautologie gehören. Es
fällt nicht aus dem Zusammenhang heraus,
sondern gehört zum Satz, wie das “ & ” oder “ ⊃ ”. Das “ = ” aber ist eine Kopula, die allein die
Gleichung zu etwas Satzartigem macht. Die
Tautologie zeigt etwas, die Gleichung zeigt nichts, sondern
weist darauf hin, daß ihre
Glieder etwas zeigen. |
Eine Gleichung ist eine syntaktische Regel.
|
Erklärt das nicht,
daß wir in der Mathematik nicht prinzipiell
unbeantwortbare Fragen haben können? Denn wenn
die Regeln der Syntax nicht verständlich sind, dann taugen sie
nichts. Und ebenso erklärt es,
daß nicht eine Unendlichkeit in diese
Regeln eingehen kann, die unser Fassungsvermögen
übersteigt. Und es macht auch die Versuche der
Formalisten begreiflich, die in der Mathematik ein Spiel mit
Zeichen sehen. |
Zeichenregeln,
z.B. Definitionen kann man zwar als Sätze,
die von Zeichen handeln, auffassen, aber man
muß sie gar nicht als
Sätze auffassen. Sie sind Hilfsmittel der
Sprache. Hilfsmittel anderer Art, als die Sätze
der Sprache. |
Die Theorie der Identität
bei Ramsey macht den
Fehler, den man machen würde, wenn man sagte, ein gemaltes
Bild könne man auch als Spiegel benutzen, wenn auch nur
für eine einzige Stellung, wo dann übersehen wird,
daß das Wesentliche am Spiegel gerade
das ist, daß man aus ihm die Stellung des
Körpers vor dem Spiegel schließen
kann, während man im Fall des gemalten Bildes erst wissen
muß, daß die
Stellungen übereinstimmen, ehe man das Bild als Spiegelbild
auffassen kann. |
Weyls
Widerspruch “Heterologisch”: nonf(“f”) ◇ “f” ist heterologisch = F(“f”) ≝. F(“F”) = nonF(“F”) = ◇ non[non (nonf̂(“f̂”)) (“nonf̂ (“f̂”)”)] |
Den
mathematischen Satz kann man sich vorstellen als ein Lebewesen, das
selbst weiß, ob es wahr oder falsch
ist. (Zum Unterschied von den eigentlichen
Sätzen.) Der mathematische Satz weiß selbst, daß er wahr oder daß er falsch ist. Wenn er von allen Zahlen handelt, so muß er auch schon alle Zahlen übersehen. Wie der Sinn, so muß auch seine Wahrheit oder Falschheit in ihm liegen. |
Es ist, als
wäre die Allgemeinheit eines Satzes wie “(n)non
chromatisch
n” nur eine Anweisung
auf die eigentliche, wirkliche, mathematische Allgemeinheit eines
Satzes. Gleichsam nur eine Beschreibung der
Allgemeinheit, nicht diese selbst. Als bilde der Satz
nur auf rein äußerliche Weise ein
Zeichen, dem man erst von innen Sinn geben
muß. |
Wir
fühlen: Die Allgemeinheit, die die mathematische
Behauptung hat, ist anders, als die Allgemeinheit des Satzes der
bewiesen ist. |
In welchem
Verhältnis steht ein Problem der Mathematik zu seiner
Beantwortung? |
Man könnte sagen: Ein mathematischer
Satz ist der Hinweis auf einen Beweis. |
Eine Allgemeinheit kann nicht zugleich empirisch und
beweisbar sein. |
Wenn ein Satz einen
bestimmten Sinn haben soll (und sonst ist er unsinnig) so
muß er seinen Sinn ganz erfassen – ganz
übersehen; die Allgemeinheit hat nur dann
einen Sinn, wenn sie – d.h. alle Werte der
Variablen – völlig bestimmt ist. |
◇◇◇
Wenn ich auf einer
endlosen Strecke nur durch Probieren
weiterkomme, warum soll es bei einer unendlichen anders
sein? Und dann kann ich natürlich nie ans Ziel
kommen.
Aber wenn ich auf der unendlichen Strecke nur schrittweise weitergehe, so kann ich die unendliche Strecke ja überhaupt nicht erfassen. Ich erfasse sie also auf andere Weise; und wenn ich sie erfaßt habe, so kann der Satz über sie nur so verifiziert werden, wie er sie aufgefaßt hat. |
Er kann jetzt also nicht durch ein endlos gedachtes Schreiten
verifiziert werden, denn auch ein solches würde nicht zu einem
Ziel gelangen, da ja der Satz |
Man kann auch sagen: Es gibt keinen Weg
zur Unendlichkeit, auch nicht den endlosen.
|
Es wäre etwa so: Wir haben eine
unendlich lange Baumreihe und ich mache, um sie zu inspizieren ihr
entlang einen Weg. Sehr gut, so
muß dieser Weg endlos sein.
Aber wenn er endlos ist, so heißt das
eben, daß man ihn nicht zu Ende gehen
kann. D.h. er bringt mich
nicht dazu, die Reihe zu übersehen.
(Eingestandenermaßen nicht)
Der endlose Weg hat nämlich nicht ein “unendlich fernes” Ende, sondern kein Ende. |
Es ist nicht etwa nur “für uns Menschen” unmöglich, alle Zahlen
sukzessive zu erfassen, sondern es ist
unmöglich, es heißt nichts.
|
Man kann auch nicht sagen:
“Der Satz kann alle Zahlen
nicht sukzessive erfassen, so
muß er sie durch den Begriff
fassen¤”, als ob das
faute de mieux so wäre: “Weil er es so nicht kann,
muß er es auf die andere Art
tun”. Aber so ist es
nicht: Ein sukzessives Erfassen
ist schon möglich, nur führt es eben nicht
zur Gesamtheit. Die Gesamtheit aber ist nur als Begriff
vorhanden. |
Gegen den Einwand:
“Wenn ich die Zahlenreihe
durchlaufe, so komme ich entweder einmal zu der Zahl
von der gewünschten Eigenschaft, oder nie” ist nur zu antworten, daß es
keinen Sinn hat zu sagen, man kommt einmal zu der
Zahl, und ebensowenig, man kommt nie
dahin. Wohl ist es richtig, zu sagen, die Zahl
101 ist jene Zahl, oder sie ist es nicht. Aber von
allen Zahlen kann man nicht reden, weil es nicht
alle Zahlen gibt. |
Kann man sagen:
Daß
6 ‒ 4 gerade
2 ist, konnte man nicht voraussehen, sondern man kann es nur sehen,
wenn man dahin kommt. |
Schon,
daß mit dem logischen Begriff
[1, ‒ , ‒ + 1] die
Existenz seiner Gegenstände bereits gegeben ist, zeigt,
daß er sie bestimmt. |
Das
ist übrigens ganz klar: Jede Zahl hat ihre
nichtreduzierbare Individualität. Und wenn ich irgend eine
Eigenschaft einer Zahl beweisen will, muß ich
sie immer selbst irgendwie hineinbringen. |
Man kann insofern
sagen, daß die Eigenschaften einer bestimmten
Zahl nicht vorauszusehen sind. Man sieht
sie erst, wenn man dort ist. Man könnte sagen: Kann ich nicht etwas über die Zahl 3¹⁰ beweisen, obwohl ich sie nicht anschreiben kann? Wohl, aber 3¹⁰ ist schon die Zahl, nur auf andere Weise angeschrieben. |
Das
Fundamentale ist nur die Wiederholung einer Operation.
Jedes Stadium dieser Wiederholung hat seine
Individualität. |
Nun ist es
nicht etwa so, daß ich durch die Operation
von einer Individualität zur andern fortschreite.
So daß die Operation das Mittel wäre,
um von einer zur andern zu kommen. Etwa das Vehikel, das bei
jeder Zahl anhält, die man nun betrachten kann.
Sondern die dreimalige Operation + 1
erzeugt und ist die Zahl 3. |
Ein “unendlich
kompliziertes
Gesetz” heißt,
kein Gesetz. Wie könnte man wissen,
daß es unendlich kompliziert ist?
Nur so, indem es gleichsam unendlich viele
Näherungswerte zu diesem Gesetz gäbe. Aber
bedingt das nicht, daß sie sich wirklich
einem Ziel nähern? Oder kann
man die unendlich vielen
Beschreibungen von Strecken der Primzahlenreihe
solche Näherungswerte des Gesetzes nennen? Nein,
denn keine Beschreibung einer endlichen Strecke bringt uns dem
Ziele einer Gesamtbeschreibung näher.
Wie unterscheidet sich denn ein unendlich kompliziertes Gesetz in diesem Sinne von gar keinem Gesetz? Das Gesetz würde dann höchstens lauten “es ist alles, wie es ist”. |
Es scheint
jetzt doch, daß die Allgemeinheitsbezeichnung
für Zahlen keinen Sinn hat. Ich meine:
Man kann nicht sagen “(n)Fn” weil eben
“alle natürlichen Zahlen” kein begrenzter
Begriff ist. Dann darf man aber auch nicht sagen,
daß aus einer
Aussage über das Wesen der Zahl
eine allgemeine Aussage folgt. |
Dann aber
scheint es mir, als könne man die Allgemeinheit –
alle, etc. – in der Mathematik überhaupt
nicht verwenden. Alle Zahlen gibt es nicht, eben weil
unendlich viele da sind. Und weil es sich hier
nicht um das amorphe “alle” handelt,
wie im Satz “alle
Äpfel sind reif”, wo die Menge durch eine
äußere Beschreibung gegeben ist,
sondern um die Gesamtheit von Strukturen, die eben als
solche gegeben werden müssen. |
Es geht sozusagen die Logik
nichts an, wieviel Äpfel vorhanden sind,
wenn von allen
Äpfeln geredet
wird. Dagegen ist es anders bei den Zahlen, für die
ist sie einzeln verantwortlich. |
Was bedeutet
ein mathematischer Satz von der Art “(∃n).4 + n
= 7”? Es
wäre eine Disjunktion
4 + 0 = 7
. ⌵ . 4 + 1 = 7
. ⌵ . etc. ad inf.. Was aber bedeutet
das? Ich kann einen Satz
verstehen, der einen Anfang und ein Ende hat. Kann man aber
auch einen Satz verstehen, der kein Ende hat? Ich verstehe auch, daß man eine unendliche Regel angeben kann, nach der unendlich viele endliche Sätze gebildet werden können. Was aber bedeutet ein endloser Satz? |
Wenn der Satz durch kein endliches Produkt wahr
gemacht wird, so heißt das: Er
wird durch kein Produkt wahr gemacht. Und
darum ist er kein logisches Produkt. |
Aber kann ich denn nicht von
einer Gleichung sagen: “Ich weiß, sie
stimmt für einige – ich erinnere mich nicht mehr,
welche – Substitutionen nicht; ob sie aber
allgemein nicht stimmt,
weiß ich
nicht”? Hat das nicht
einen guten Sinn, und ist es nicht mit der Allgemeinheit der
Ungleichung verträglich? |
Soll ich
darauf antworten: “Wenn
man weiß, daß die
Ungleichung für einige Substitutionen stimmt, so
kann das nie heißen “für einige (beliebige) unter der
unendlichen Reihe der Zahlen”,
sondern ich weiß immer auch,
daß diese Zahl zwischen 1 und
10⁷ liegt, oder sonst welchen
Grenzen”?
|
Kann ich wissen,
daß eine Zahl der Gleichung
genügt, ohne daß irgend ein endlicher
Bereich für ihr Vorkommen in der unendlichen Reihe abgegrenzt
ist? Nein. |
Es wäre eine gute Frage für
die Scholastiker gewesen: “Kann
Gott alle Stellen von
π kennen?”
Die Antwort lautet in allen solchen Fällen: Die
Frage ist sinnlos. |
“Alle Helligkeitsgrade unter diesem tun meinen
Augen nicht
weh”. Das
heißt, ich habe beobachtet,
daß die bisherigen Erfahrungen einem
formellen Gesetz entsprechen.
|
Ein Satz,
der von allen Sätzen, oder allen Funktionen handelt, ist von vorn
herein eine Unmöglichkeit: Was durch einen solchen
ausgedrückt werden sollte, müßte
durch eine Induktion gezeigt werden.
(Z.B. daß
alle Sätze nonnp
dasselbe sagen.) Diese Induktion ist selbst kein Satz und deshalb ist ein circulus vitiosus ausgeschlossen. |
Wenn wir den Begriff “Satz” bilden, wovon wollen wir die Sätze unterscheiden? Ist es nicht so, daß wir den Satz nur äußerlich allgemein beschreiben können. Ebenso, wenn wir fragen: Gibt es eine allgemeine Form des Gesetzes? Im Gegensatz, wozu? Die Gesetze müssen ja den ganzen logischen Raum füllen, ich kann sie also nicht mehr begrenzen. |
Die Allgemeinheit in der Arithmetik
wird durch die Induktion dargestellt.
Die Induktion ist der Ausdruck für die arithmetische Allgemeinheit. |
Angenommen in einem Spiel lautete eine
Spielregel: “Man schreibe
einen Bruch auf, der zwischen 0 und 1 liegt”. Ist diese Regel nicht
verständlich? Braucht hier eine Grenze gegeben zu
werden? Und wie wäre es mit der Regel:
“Man schreibe eine Zahl auf
größer als 100”? Beide scheinen ganz und gar
verständlich. |
Ich habe immer gesagt: Von
allen Zahlen könne man nicht reden, weil es
alle Zahlen nicht gibt. Aber das ist nur der
Ausdruck eines Gefühls. Eigentlich
müßte man sagen “von allen Zahlen ist
in der Arithmetik nie die Rede” und wenn man trotzdem so spricht, so dichtet man
sozusagen, zu den arithmetischen Fakten etwas – Unsinniges
– hinzu. (Was man zur Logik
hinzudichtet, muß natürlich
unsinnig sein). |
Es ist schwer sich von der
extensiven Auffassung ganz frei zu machen: So denkt man
immer: “Ja, aber es
muß doch eine interne Beziehung zwischen
x³ +
y³ und z³ bestehen, da doch die
Extension, wenn ich sie nur kennte, das Resultat
einer solchen Beziehung darstellen
müßte”. Etwa: “Es müssen doch entweder
wesentlich alle n die Eigenschaft
haben oder nicht, da doch alle
n die Eigenschaft
haben oder nicht, wenn ich das auch nicht wissen
kann.” |
Wenn ich
(∃x).x² = 2x
schreibe und (∃x) nicht extensiv verstehe,
so kann es nur behaupten: “Wenn ich die Regeln der Lösung
anwende, so komme ich zu einer bestimmten Zahl, im Gegensatz zu
dem Falle, wo ich zu einer Identität oder einer verbotenen
Gleichung komme”.
|
Der Fehler (Zirkel) in der
Dedekind'schen Erklärung des Unendlichkeitsbegriffes liegt in
der Anwendung des Begriffs “alle” in
der formalen Implikation. Es scheint nämlich
eine formale Implikation zu geben, die – wenn man so sagen
dürfte – unabhängig davon gilt, ob unter ihre
Begriffe eine endliche oder unendliche Zahl von Gegenständen
fällt.
Sie sagt einfach: Wenn
das Eine von einem Gegenstand gilt, so gilt auch das Andere.
Sie sieht die Gesamtheit der Gegenstände gar nicht an,
sondern sagt nur etwas von dem Gegenstand aus, der ihr gerade
vorgelegt wird, und ihre Anwendung ist
endlich oder unendlich, je nachdem.
Wie könnten wir aber einen solchen Satz wissen? – Wie wird der verifiziert? Was dem, was wir meinen, wirklich entspricht ist gar kein Satz, sondern der Schluß von Fx auf ψx, wenn dieser Schluß gestattet ist – aber der wird nicht durch einen Satz ausgedrückt. |
Was
heißt es: Man kann eine
gerade Strecke beliebig verlängern?
Gibt es hier nicht ein “und so
weiter ad inf.” das
ganz verschieden ist von dem der mathematischen
Induktion? Nach dem Bisherigen
bestünde der Ausdruck für die Möglichkeit des
Verlängerns, im Sinn der Beschreibung des verlängerten
Stückes, oder des Verlängerns. Hier scheint es
sich nun zunächst gar nicht um Zahlen zu handeln.
Ich kann mir denken, daß der Bleistift,
der die Strecke zeichnet, seine
Bewegung fortsetzt und nun immer so weiter geht. Ist es
aber auch denkbar, daß die
Möglichkeit nicht besteht, diesen Vorgang mit einem
zählbaren Vorgang zu begleiten? Ich glaube
nicht. |
Allgemeinheit der euklidischen Beweise. Man sagt, die Demonstration wird
an einem Dreieck durchgeführt, der Beweis gilt
aber für alle Dreiecke – oder für jedes beliebige
Dreieck. Erstens ist es sonderbar,
daß, was für ein Dreieck gilt, darum
für alle andern gelten sollte. Es wäre doch
nicht möglich, daß ein
Arzt einen Menschen untersucht und nun
schließt, daß, was
er bei diesem konstatiert, auch für alle andern
wahr sein
muß. Und wenn ich nun die Winkel
in einem Dreieck messe und addiere, so kann ich auch wirklich nicht
schließen, daß
sie || die Winkelsumme nun bei jedem andern Dreieck
ebenso groß
sein
wird. Es ist ja klar, daß der
euklidische Beweis nichts über
eine Gesamtheit von Dreiecken aussagen kann. Ein Beweis
kann nicht über sich selbst hinausgehen. Die Konstruktion des Beweises ist aber wieder kein Experiment, und wäre sie es, so könnte das Resultat nichts für andere Fälle beweisen. Es ist darum auch gar nicht nötig, die Konstruktion mit Papier und Bleistift wirklich auszuführen, sondern die Beschreibung der Konstruktion muß genügen, um aus ihr alles Wesentliche zu ersehen. (Die Beschreibung eines Experiments genügt nicht, um aus ihr das Resultat des Experiments zu entnehmen, sondern das Experiment muß wirklich ausgeführt werden.) Die Konstruktion im euklidischen Beweis ist genau analog dem Beweise, daß 2 + 2 = 4 mittels der russischen Rechenmaschine. |
Und ist dies
nicht auch die Art der Allgemeinheit der Tautologien der Logik, die
für p, q, r etc.
demonstriert werden? |
Das Wesentliche ist
in allen diesen Fällen, daß, was
demonstriert wird, nicht durch einen Satz ausgedrückt werden
kann. |
Wenn ich sage
“einmal wird die Welt untergehen” so
sagt das gar nichts, wenn dabei die Zeit unbegrenzt offen gelassen
ist. Denn mit dieser Angabe ist es verträglich,
daß sie an jedem angegebenen Tag noch
existiert. – Unendlich ist die
Möglichkeit der Zahlen in den Sätzen von der
Form “in n Tagen wird die
Welt untergehen”. |
Um den Sinn einer Frage zu verstehen, bedenken
wir: Wie sieht denn die Antwort auf diese Frage
aus. Auf die Frage “ist A mein Ahne” kann ich mir nur die Antworten denken “A findet sich in meiner Ahnengalerie” oder “A findet sich nicht in meiner Ahnengalerie” (wo ich unter Ahnengalerie die Gesamtheit aller Arten von Nachrichten über meine Vorfahren verstehe). Dann konnte aber auch die Frage nur dasselbe heißen wie die: “Findet sich A in meiner Ahnengalerie”. (Eine Ahnengalerie hat ein Ende: das ist ein Satz der Syntax.) Wenn mir ein Gott offenbarte, A sei mein Ahne, aber nicht, der wievielte, so könnte auch diese Offenbarung für mich nur den Sinn haben, ich werde A unter meinen Ahnen finden, wenn ich nur lang genug suche; da ich aber die Zahl N von Ahnen durchsuchen werde, so muß die Offenbarung bedeuten, A sei unter jenen N Ahnen. |
Frage ich, wieviele 9 folgen unmittelbar nacheinander
auf 3,1415 in der Entwicklung von
π,
und soll sich die Frage auf die Extension beziehen, so lautet die
Antwort entweder, daß man bei der
Entwicklung der Extension bis zur letztentwickelten
(N-ten) Stelle über die 9-Reihe
hinausgekommen ist, oder, daß bis zur
N-ten Stelle 9 aufeinander folgen. Dann
aber konnte auch die Frage keinen andern Sinn haben, als den “sind die ersten N-5 Stellen von
π
lauter 9 oder nicht?” –
Das ist aber freilich nicht die Frage, die uns
interessiert. |
Es handelt sich in der
Philosophie immer um die Anwendung einer Reihe
äußerst einfacher Grundsätze,
die jedes Kind weiß, und die – enorme
– Schwierigkeit ist nur, sie in der Verwirrung, die unsere
Sprache schafft, anzuwenden. Es handelt sich nie um die
neuesten Ergebnisse der Experimente mit exotischen Fischen, oder der
Mathematik. Die Schwierigkeit aber, die einfachen
Grundsätze anzuwenden, macht einen an diesen Grundsätzen
selbst irre. |
Was für
eine Art Satz ist: “Auf
diesem Streifen sind alle Schattierungen von Grau zwischen
Schwarz und Weiß zu
sehen”? Hier scheint es
auf den ersten Blick, daß von
unendlich vielen Schattierungen die Rede ist.
Ja wir haben hier scheinbar das Paradox, daß wir zwar nur endlich viele Schattierungen von einander unterscheiden können und der Unterschied zwischen ihnen natürlich nicht ein unendlich kleiner ist und wir dennoch einen kontinuierlichen Übergang sehen. |
Man kann ein bestimmtes Grau ebensowenig als eines
der unendlich vielen Grau zwischen Schwarz und
Weiß auffassen, wie man eine Tangente t
als eines der unendlich vielen
Übergangsstadien von t' nach
t'' auffassen kann. Wenn ich etwa ein
Lineal sich von t' nach
t'' am Kreis abrollen sehe, so sehe
ich – wenn es sich kontinuierlich bewegt – keine
einzige der Zwischenlagen in dem Sinne, in welchem ich t
sehe, wenn die Tangente ruht; oder aber ich sehe nur eine endliche
Anzahl von Zwischenlagen. Wenn ich aber in so einem
Fall scheinbar von einem allgemeinen Satz auf einen
Spezialfall schließe, so ist die Quelle
dieses allgemeinen Satzes nie die Erfahrung und der Satz wirklich
kein Satz. Wenn ich z.B. sage: “Ich habe das Lineal sich von t' |
Ramsey
schlägt || schlug vor,
den Satz, daß unendlich viele
Gegenstände eine Funktion befriedigen dadurch
auszudrücken, daß er alle Sätze
verneint von der Form: non(∃x)fx (∃x)fx & non(∃x,y)fx & fy etc. Aber nehmen wir nun an, daß es nur drei Gegenstände gibt, d.h. daß nur drei Namen Bedeutung haben. Dann können wir den vierten Satz der Reihe gar nicht mehr hinschreiben, denn es hat dann keinen Sinn zu schreiben: non(∃x,y,z,u) fx & fy&fz&fu. Durch die Verneinung aller Sätze jener Reihe komme ich also nicht zum Unendlichen. |
“Wir kennen die Unendlichkeit aus der
Beschreibung”. Dann gibt || Nun dann gibt es eben nur diese Beschreibung und nichts
sonst. |
Inwiefern setzt
die || eine Notation für das Unendliche
den unendlichen Raum oder die unendliche Zeit voraus?
Ein unendlich großes Stück Papier wird natürlich nicht vorausgesetzt. Wohl aber seine Möglichkeit? |
Wir
können uns doch eine Notation denken, die statt im
Raum, in der Zeit fortschreitet. Etwa die
Rede. Auch hier können wir uns doch offenbar das
Unendliche dargestellt denken und dabei machen wir doch
gewiß keine
Hypothese über die Zeit. Sie
erscheint uns essentiell als unendliche
Möglichkeit. Und zwar offenbar unendlich, nachdem, was wir über ihre Struktur wissen. |
Es ist doch
gewiß unmöglich,
daß die Mathematik von einer Hypothese
über den physikalischen Raum abhängen sollte.
Und der Gesichtsraum ist doch in diesem Sinne
nicht unendlich. Und wenn es sich nicht um die Wirklichkeit, sondern nur um die Möglichkeit der Hypothese vom unendlichen Raum handelt, so muß doch diese Möglichkeit irgendwo vorgebildet sein. Hier stoßen wir auf das Problem, das auch in der Ausdehnung des Gesichtsraumes auftritt, nämlich des kleinsten sichtbaren Unterschieds. Die Existenz eines kleinsten sichtbaren Unterschieds widerspricht der Kontinuität und andererseits müssen sie sich miteinander vereinbaren lassen. |
Wenn ich eine Reihe von Flecken
habe, die abwechselnd schwarz und
weiß sind, wie die Figur zeigt
so werde ich bei weiterer Unterteilung bald zu einer Grenze kommen, wo ich die schwarzen und weißen Flecke nicht mehr unterscheiden kann, wo ich also etwa den Eindruck eines grauen Streifens habe. Heißt das aber nicht, daß ich die Strecke in meinem Gesichtsfeld nicht beliebig unterteilen kann; und doch sehe ich keine Diskontinuität und auch das ist ja selbstverständlich, weil ich eine Diskontinuität nur sehen könnte, wenn ich noch nicht an der Grenze des Unterscheidbaren angelangt wäre. Das sieht sehr paradox aus. |
Aber wie
ist es denn mit der Stätigkeit zwischen den
einzelnen Reihen? Wir haben offenbar eine
vorletzte Reihe von unterscheidbaren Flecken und dann die
letzte einfärbig graue Reihe; ist es denn dieser letzten Reihe
anzusehen, daß sie wirklich durch
Unterteilung der vorletzten entstanden ist? Offenbar
nicht. Andererseits: Ist es aber der
sogenannten vorletzten Reihe anzusehen, daß
sie nicht mehr sichtbar unterteilt werden kann? Es
scheint mir, ebensowenig. Dann gäbe es also doch keine
letzte sichtbar unterteilte Reihe!
Wenn ich die Strecke nicht mehr sichtbar unterteilen kann, so kann ich aber auch nicht den Versuch dieser Unterteilung machen, kann also auch nicht das Mißlingen eines solchen Versuches sehen. (Es ist hier wie mit der Grenzenlosigkeit des Gesichtsraums.) Dasselbe würde natürlich auch von den Farbenunterschieden gelten. |
Die
Kontinuität in unserm Gesichtsfeld besteht darin,
daß wir keine Diskontinuität
sehen. |
Aber wenn ich immer nur endlich
viele Dinge, Teilungen, Farben, etc. sehe, dann
gibt es eben überhaupt keine Unendlichkeit; in keinem
Sinne. Das Gefühl ist hier: Wenn ich
immer nur so wenige sehe, so gibt es überhaupt nicht
mehr. Wie wenn der Fall der wäre: Wenn
ich nur 4 sehe, so gibt es eben nicht 100. Aber die
Unendlichkeit hat nicht den Platz einer Zahl. Es ist
ganz richtig: Wenn ich nur 4 sehe, so gibt es nicht 100
und auch nicht 5. Aber es gibt die unendliche
Möglichkeit, die von einer kleinen Zahl ebensowenig
ausgefüllt wird, wie von einer
großen. Und zwar
tatsächlich darum, weil sie selbst keine
Größe ist. |
Wir wissen natürlich alle, was es
heißt, daß es eine
unendliche Möglichkeit und eine endliche Wirklichkeit gibt,
denn wir sagen, die Zeit und der physikalische Raum seien unendlich
aber wir könnten immer nur endliche Stücke von ihnen sehen
oder durchleben.
Aber woher weiß ich dann überhaupt
etwas vom Unendlichen? Ich muß
also in irgendeinem Sinne zweierlei Erfahrungen haben:
Eine des Endlichen, die es nicht übersteigen kann
(diese Idee des Übersteigens ist an sich
schon unsinnig) und eine des Unendlichen. Und so ist
es auch. Die Erfahrung als Erleben der Tatsachen
gibt mir das Endliche; die Gegenstände
enthalten das Unendliche. Natürlich
nicht als eine mit der endlichen Erfahrung konkurrierende
Größe, sondern
intensional.
Nicht als ob ich den Raum
sähe, der beinahe ganz leer ist und nur mit einer ganz kleinen
endlichen Erfahrung in ihm. Sondern ich sehe im
Raum die Möglichkeit für jede endliche Erfahrung.
D.h., keine Erfahrung kann für ihn zu
groß sein, oder ihn gerade
ausfüllen. Und zwar nicht etwa, weil wir alle
Erfahrungen ihrer Größe nach kennen
und wissen, daß der Raum
größer ist als sie, sondern wir
verstehen, daß das im Wesen des Raumes
liegt. – Dieses unendliche Wesen des Raumes erkennen
wir im kleinsten Stück. Das Unsinnige ist schon, daß man so oft denkt, es wäre eine große Zahl dem Unendlichen doch näher als eine kleine. Das Unendliche – wie gesagt – konkurriert mit dem Endlichen nicht. Es ist das, was wesentlich kein Endliches ausschließt. In diesem Satze haben wir das Wort “kein” und das darf wieder nicht als Ausdruck einer unendlichen Konjunktion verstanden werden, sondern “wesentlich kein” gehört zusammen. Es ist kein Wunder, daß ich die Unendlichkeit immer wieder nur durch sich selbst erklären kann, d.h. nicht erklären kann. |
Der Raum hat
keine Ausdehnung, nur die räumlichen Gegenstände sind
ausgedehnt, aber die Unendlichkeit ist eine Eigenschaft des
Raumes. (Das schon zeigt, daß sie keine unendliche Ausdehnung ist). Und dasselbe gilt von der Zeit. |
Wie ist es mit der unendlichen
Teilbarkeit? Denken wir daran,
daß es einen Sinn hat, zu
sagen, daß jede
endliche Zahl von Teilen denkbar ist, aber keine
unendliche; daß aber eben darin die
unendliche Teilbarkeit besteht.
Hier aber heißt nun “jede” nicht, daß die Gesamtheit aller Teilungen denkbar ist, (die ist es nicht, denn die gibt es nicht). Sondern die Variable “Teilbarkeit” (d.i. den Begriff der Teilbarkeit) gibt es, die der wirklichen Teilbarkeit keine Grenzen zieht; und darin besteht ihre Unendlichkeit. |
Wie aber konstruieren wir eine unendliche Hypothese,
etwa die, unendlich vieler Fixsterne
(daß sie
schließlich nur einer endlichen
Realität entsprechen kann, ist klar)
–? Sie kann wieder nur durch ein Gesetz gegeben
sein. Denken wir an die unendliche Reihe roter Kugeln. – Denken wir an einen unendlichen
Filmstreifen. (Er gäbe die Möglichkeit
für alles Endliche was auf der Leinwand
geschieht.) Er ist der typische Fall einer ins
Unendliche greifenden Hypothese. Es ist uns
klar, daß ihm keine Erfahrung
entspricht. Er existiert nur im “zweiten System”, also in der Sprache; wie aber ist er hier
ausgedrückt? (Wenn sich ein Mensch einen
unendlichen Streifen vorstellen kann, dann gibt es
die unendliche Realität für ihn und auch das “eigentlich Unendliche” in der Mathematik). Er ist
ausgedrückt durch einen Satz der Art “(n):(∃nx).Fx”.
Alles was sich auf die unendliche Möglichkeit bezieht, also
alle unendlichen Aussagen über den Film, sind im Ausdruck der
ersten Klammer wiedergegeben und die Wirklichkeit die diese
Möglichkeit einschränkt, in der zweiten
Klammer. |
Was aber hat
dann die Teilbarkeit mit dem Geteiltsein zu tun, wenn etwas
teilbar sein kann, was nie geteilt
ist? Ja, was heißt in dem primären Gegebenen überhaupt Teilbarkeit? Wie kann man hier zwischen Möglichkeit und Wirklichkeit unterscheiden? Es muß falsch sein, wie ich es tue, von der Einschränkung der unendlichen Möglichkeit auf das Endliche zu reden. Denn so scheint es, als wäre eine unendliche Wirklichkeit denkbar – wenn auch nicht vorhanden, also doch wieder, als handelte es sich um eine mögliche unendliche Extension und eine wirkliche endliche. Als wäre die unendliche Möglichkeit die Möglichkeit einer unendlichen Anzahl. Und das zeigt wieder, daß wir es mit zwei verschiedenen Bedeutungen des Wortes “möglich” zu tun haben, wenn ich sage “die Strecke kann in 3 Teile geteilt werden” und andererseits “die Strecke ist unendlich teilbar”. (Darauf weist auch der obere Satz der bezweifelt, ob es im Gesichtsraum wirklich und möglich gibt.) Was besagt es, daß ein Fleck im Gesichtsraum in 3 Teile geteilt werden kann? Es kann doch nur heißen, daß ein Satz, welcher einen derart geteilten Fleck beschreibt, Sinn hat. (Wenn es sich nicht um eine Verwechslung der Teilbarkeit physischer Objekte mit der eines Flecks im Gesichtsraum handelt). Dagegen bedeutet die unendliche – oder besser unbegrenzte – Teilbarkeit nicht, daß es einen Satz gibt, der eine in unendlich viele Teile geteilte Strecke beschreibt, denn diesen Satz gibt es nicht. Diese Möglichkeit wird also nicht durch eine Wirklichkeit der Zeichen angezeigt, sondern durch eine Möglichkeit anderer Art der Zeichen selbst. |
Wenn man sagt: Der Raum ist unendlich teilbar, so
heißt das eigentlich: Der Raum
besteht nicht aus einzelnen Dingen (Teilen). |
Die unendliche Teilbarkeit bedeutet in gewissem Sinne,
daß der Raum unteilbar ist,
daß eine Teilung ihn nicht
tangiert. Daß er damit nichts zu
tun hat: Er besteht nicht aus
Teilen. Er sagt gleichsam zur Wirklichkeit: Du
kannst in mir machen was Du willst. (Du kannst in mir
so oft geteilt sein als du willst).
Der Raum gibt der Wirklichkeit eine unendliche Gelegenheit der Teilung. |
Und darum steht in
der ersten Klammer
bloß ein Buchstabe.
Offenbar nur eine Gelegenheit, nichts anderes. |
Ist die primäre Zeit
unendlich? D.h. ist sie eine
unendliche Möglichkeit? Auch wenn sie
nur so weit erfüllt ist, als die Erinnerung reicht, so sagt das
keineswegs, daß sie endlich
ist. Sie ist in demselben Sinne unendlich, in dem der
dreidimensionale
Gesichtsraum || Gesichts- &
Bewegungsraum … das || es ist, auch wenn ich tatsächlich nur bis zu
den Wänden meines Zimmers sehen kann. Denn was ich
sehe, präsupponiert die Möglichkeit eines
Sehens in größere Entfernung.
D.h., ich könnte, was ich sehe, korrekt
nur durch eine unendliche Form darstellen.
Ist es möglich sich die Zeit mit einem Ende zu denken oder mit zwei Enden? |
Was
jetzt geschehen kann, hätte auch früher
geschehen können und wird immer in der Zukunft geschehen
können, wenn die Zeit bleibt, wie sie ist. Aber
das hängt nicht von einer zukünftigen
Erfahrung ab. Die Möglichkeit
aller Zukunft hat die Zeit
jetzt in sich. Aber das alles heißt schon, daß die Zeit nicht im Sinne der primitiven Auffassung der unendlichen Menge unendlich ist. Und dasselbe gilt vom Raum. Wenn ich sage, daß ich mir einen Zylinder unendlich verlängert denken kann, so liegt das schon in seinem Wesen. Wieder im Wesen der Homogenität des Zylinders und des Raums in dem er ist, – und der eine setzt ja den andern voraus, – und diese Homogenität ist in dem endlichen Stück, das ich sehe. |
Der menschliche Bewegungsraum
ist unendlich, wie die Zeit. |
Die Regeln über das Zahlensystem – etwa das
Dezimalsystem – enthalten alles, was an den Zahlen unendlich
ist. Daß diese Regeln
z.B. die Zahlzeichen nach rechts und
links nicht beschränken, darin liegt die
Unendlichkeit ausgedrückt. Man könnte vielleicht sagen: Ja, aber die Zahlzeichen sind doch durch den Gebrauch von Papier und Schreibmaterial und andere Umstände beschränkt. Sehr wohl || Wohl, aber das ist nicht in den Regeln über ihren Gebrauch ausgedrückt und nur in diesen liegt ihr eigentliches Wesen ausgesprochen. |
Ordnet die Beziehung
m =
2n die Klasse aller Zahlen einer ihrer Teilklassen
zu? Nein. Sie ordnet jeder
beliebigen Zahl eine andere zu und wir bekommen auf diese
Weise unendlich viele Klassenpaare, deren eine Klasse der
anderen zugeordnet ist, die aber nie im
Verhältnis von Klasse und
Subklasse stehen. Noch ist dieser unendliche
Prozeß selbst in irgend einem Sinne ein
solches Klassenpaar. Wir haben es bei dem Aberglauben, daß, m = 2n eine Klasse ihrer Teilklasse zuordnet wieder nur mit zweideutiger Grammatik zu tun. |
Und zwar hängt alles an der
Syntax der Wirklichkeit und Möglichkeit.
m = 2n enthält die
Möglichkeit der Zuordnung jeder Zahl
zu einer andern, aber es
ordnet nicht alle Zahlen anderen
zu. |
Das Wort Möglichkeit ist
natürlich irreführend, denn was möglich ist, wird
man sagen, soll eben nun wirklich werden. Auch denkt man
dabei immer an zeitliche Prozesse und
schließt daraus, daß
die Mathematik nichts mit der Zeit zu tun hat,
daß die Möglichkeit in ihr
(bereits) Wirklichkeit ist. |
(In Wahrheit ist
es aber umgekehrt, und was in der Mathematik Möglichkeit
genannt wird, ist eben dasselbe, was es auch in der
Zeit ist.) |
m = 2n
weist der
Zahlenreihe entlang und wenn wir dazusetzen
“ins Unendliche” so heißt das nichts anderes,
als daß es nicht auf
einen Gegenstand in bestimmter Entfernung
weist. |
Die unendliche Zahlenreihe selbst ist nur eine solche
Möglichkeit – wie klar aus dem einzigen Symbol für
sie “(1,
x, x
+ 1)” hervorgeht. Dieses Symbol selbst ist ein
Pfeil, und es ist die erste “1” die Feder des
Pfeiles und “x + 1”
seine Spitze, und das Charakteristische,
daß, wie die Länge eines Pfeiles
unwesentlich ist, hier das variable
x anzeigt,
daß es gleichgültig ist, in welcher
Entfernung von der Feder die Pfeilspitze liegt. |
Es ist
möglich von Dingen zu reden, die in der Richtung des Pfeiles
liegen, aber unsinnig, von allen möglichen Lagen der Dinge in
der Pfeilrichtung als einem
Äquivalent dieser Richtung selbst zu
reden. |
Wenn ein Scheinwerfer
Licht in den unendlichen Raum wirft, so beleuchtet er
allerdings alles, was in seiner Richtung liegt, aber man
kann nicht sagen, er beleuchtet die Unendlichkeit. |
Man kann es
auch so sagen: Es hat einen Sinn zu sagen,
daß in einer Richtung unendlich viele Dinge liegen
können, aber keinen Sinn, daß unendlich
viele Dinge dort liegen. Und das steht im Gegensatz zu
der gewöhnlichen Art der Anwendung des Wortes “können”. Denn hat es Sinn, zu sagen,
daß ein Buch auf diesem Tisch liegen kann,
so hat es auch Sinn zu sagen, daß es da
liegt. Aber hier
führt uns die Sprache
irre. Das “unendlich viele”
ist sozusagen adverbial gebraucht und so
aufzufassen. |
D.h., die Sätze “in dieser Richtung können 3 Dinge
liegen” und “in dieser
Richtung
können
unendlich viele Dinge
liegen” sind nur scheinbar gleich
gebaut; in Wirklichkeit aber verschiedener Struktur. Und
zwar spielt das “unendlich
viele” im zweiten Satz nicht die
Rolle der “3” im ersten Satz. |
Es ist auch nur
durch die Vieldeutigkeit unserer Sprache,
daß
es scheint, als kämen
die Zahlwörter und das Wort “unendlich” auf
die gleiche Frage zur Antwort. Während in
Wirklichkeit die Fragen, auf die jene Wörter antworten,
grundverschieden sind. |
(Die gewöhnliche Auffassung kommt
wirklich darauf hinaus, daß der Mangel
einer Grenze auch eine Grenze ist. Wenn sie auch nicht
so klar ausgedrückt wird.) |
Wenn zwei Pfeile in derselben
Richtung zeigen, ist es dann nicht absurd diese Richtungen gleich
lang zu nennen, weil, was in der
Richtung des einen Pfeiles
liegt, auch in der des andern liegt. |
Die Allgemeinheit in der
Mathematik ist eine Richtung, ein Pfeil, der der
Operationsreihe entlang weist. Und zwar kann man
sagen, der Pfeil weist ins Unendliche; aber
heißt das, daß es
ein Etwas, das Unendliche, gibt, auf das er – wie auf ein Ding
– hinweist? Wenn man es so
auffaßt, muß das
natürlich zu endlosem Unsinn führen. |
Der Pfeil bezeichnet
gleichsam die Möglichkeit der Lage in seiner Richtung.
|
Inwiefern
ist die endlose Zeit eine Möglichkeit und keine
Realität? Denn man könnte gegen mich
einwenden, daß doch die Zeit ebenso eine
Realität sein muß, wie etwa die
Farbe. |
Aber ist nicht die
Farbe allein auch nur eine Möglichkeit, solange sie nicht zu
einer bestimmten Zeit an einem bestimmten Ort besteht?
Die leere unendliche Zeit ist nur die Möglichkeit von
Tatsachen, die erst die Realitäten sind.
Aber ist nicht die unendliche Vergangenheit erfüllt zu denken, und gibt das nicht eine unendliche Realität? Und wenn es eine unendliche Realität gibt, dann gibt es auch den Zufall im Unendlichen. ¤ Also z.B. auch die unendliche Dezimalzahl, die durch kein Gesetz gegeben ist. Damit steht und fällt alles in der Ramsey'schen Auffassung. |
Daß wir die Zeit nicht als unendliche
Realität sondern
intensional unendlich
auffassen, zeigt sich so, indem wir uns
einerseits einen unendlichen Zeitraum nicht denken können,
aber doch sehen, daß kein Tag der letzte sein
kann, die Zeit also kein Ende haben kann. |
Man
könnte auch sagen: Die Unendlichkeit liegt in der
Natur der Zeit, sie ist nicht ihre
zufällige Ausdehnung. |
Wir
kennen ja die Zeit nur – gleichsam – von dem
Stück Zeit her, was vor unsern Augen liegt. Es
wäre sonderbar, wenn wir so ihre unendliche Ausdehnung erfassen
könnten (in dem Sinn nämlich, wie wir sie erfassen
würden, wenn wir selbst unendlich lang ihr Zeitgenosse
wären). |
Es geht uns mit der
Zeit tatsächlich wie mit dem Raum. Die erfüllte
Zeit, die wir kennen, ist begrenzt
(endlich). Die Unendlichkeit ist eine innere
Qualität der Zeitform. |
Die unendliche Zahlenreihe ist
nur die unendliche Möglichkeit von endlichen
Zahlenreihen. Es ist sinnlos von der
ganzen unendlichen Zahlenreihe zu
reden, als wäre auch sie eine Extension. |
Die unendliche Möglichkeit wird
durch die unendliche Möglichkeit
wiedergegeben. In den Zeichen selbst liegt nur die
Möglichkeit und nicht die Wirklichkeit der Wiederholung.
|
Heißt es nicht:
Die Tatsachen sind endlich, die unendliche Möglichkeit der
Tatsachen liegt in den Gegenständen. Darum wird
sie gezeigt, nicht beschrieben. |
Und
dem entspricht, daß die Zahlen – die ja
die Tatsachen beschreiben – endlich sind, dagegen ihre
Möglichkeit, die der Möglichkeit der Tatsachen
entspricht, unendlich ist. Sie drückt
sich, wie gesagt, in den Möglichkeiten des
Symbolismus aus. |
Das Gefühl ist: In der Mathematik
kann es nicht Wirklichkeit und Möglichkeit geben.
Alles ist auf einer Stufe. Und zwar in
gewissem Sinne wirklich. Und das ist richtig. Denn was die Mathematik mit ihren Zeichen ausdrückt, ist alles auf einer Stufe; d.h.: Sie redet nicht, einmal von ihrer Wirklichkeit, und einmal von ihrer Möglichkeit. Sondern sie darf gar nicht versuchen, von ihrer Möglichkeit zu reden. Wohl aber liegt in ihren Zeichen eine Möglichkeit, dieselbe nämlich, die in den eigentlichen Sätzen liegt, in denen die Mathematik angewandt wird. Und wenn sie versucht (wie in der Mengenlehre) ihre Möglichkeiten auszusprechen, d.h., wenn sie sie mit ihrer Wirklichkeit verwechselt, dann darf man sie in ihre Grenzen zurückweisen. |
Wir denken viel zu wenig daran,
daß das Zeichen wirklich nicht mehr
bedeuten kann, als es ist. |
Die unendliche
Möglichkeit im Symbol bezieht sich –
d.h. deutet – nur auf das Wesen der
endlichen Extension und läßt
eben dadurch ihre Größe
offen. |
Wenn ich sage: “Wenn wir eine unendliche Extension
kennten, so wäre es in Ordnung über das eigentlich
Unendliche zu reden”, ist das wirklich
so, wie wenn ich sagte “wenn es
den Sinn Abrakadabra gibt, dann ist es in Ordnung von
abrakadabrischen Sinneswahrnehmungen zu
reden”. |
Wir sehen
einen kontinuierlichen Farbübergang und eine kontinuierliche
Bewegung, aber dann sehen wir eben keine Teile,
keine Sprünge (nicht unendlich
viele). |
Was ist eine regellose unendliche
Dezimalzahl? Kann man eine unendliche Ziffernfolge
statt durch ein Gesetz auch durch eine
nichtmathematische – also
äußere – Beschreibung
geben? (Sehr seltsam, daß es
eine doppelte Art des Erfassens geben soll). |
“Die Zahl die herauskommt, wenn der Mann endlos
würfelt” scheint unsinnig zu
sein weil keine unendliche Zahl
herauskommt. |
Warum ist aber ein endloses
Leben eher denkbar als eine endlose räumliche Reihe?
Irgendwie darum, weil wir das endlose Leben eben nie als
abgeschlossen empfinden, während die
unendliche räumliche Reihe als Ganzes schon vorhanden sein
müßte. |
Stellen wir uns einen Mann vor,
der seit unendlicher Zeit lebt und der uns sagt: “Jetzt schreibe ich die letzte
Ziffer von π
hin nämlich die 3 || 2”. Er hat an jedem Tag seines Lebens eine
Ziffer hingeschrieben und hat niemals damit angefangen; jetzt ist
er fertig geworden. Das scheint völliger Unsinn und eine Ad-absurdum-Führung des Begriffes einer unendlichen Totalität. |
Angenommen, wir wandern auf einer Geraden in
den euklidischen Raum hinaus
und sagen, wir begegnen alle 10 Meter einer
eisernen Kugel von gewissem Durchmesser, ad
infinitum; ist das eine
Konstruktion? Es scheint ja. Das
Merkwürdige ist, daß man einen
solchen unendlichen Komplex von Kugeln auffassen kann, als das endlose
Wiederkehren derselben Kugel nach einem gewissen
Gesetz. Daß aber im selben
Augenblick, wenn man eine individuelle Verschiedenheit der Kugeln
denkt, ihre unendliche Anzahl Unsinn zu werden scheint.
|
Denken wir uns eine unendliche
Baumreihe, alle verschieden hoch zwischen 3 und
4 m. Wenn ein Gesetz gegeben ist, nach welchem die
Höhe wechselt, so ist die Reihe durch das Gesetz bestimmt und
vorstellbar (ich nehme an, die Bäume unterschieden sich
durch nichts als ihre Höhe¤). Wie
aber, wenn die Höhen regellos wechseln, dann –
muß man sagen – gibt es nur eine
unendlich lange, eine endlose Beschreibung. Aber das ist
doch keine Beschreibung! Ich kann mir denken,
daß es unendlich viele Beschreibungen
der unendlich vielen endlichen Strecken der
unendlichen Baumreihe gibt, aber dann muß
ich diese unendlich vielen Beschreibungen durch ein Gesetz
kennen, dem sie der Reihe nach gehorchen. Oder wenn
es kein solches Gesetz gibt, brauche ich wieder eine unendliche
Beschreibung dieser Beschreibungen. Und das würde
mich wieder zu nichts führen. |
Nun könnte ich
ja sagen: Es ist mir das Gesetz bekannt,
daß jeder Baum eine andere Höhe haben
muß, als alle vorhergehenden. Das
ist allerdings ein Gesetz, aber es bestimmt die Reihe noch
nicht. Wenn ich nun annehme, daß
es eine regellose Reihe geben kann, so ist das eine Reihe über
die mir ihrem Wesen nach nichts anderes bekannt sein kann, als
daß ich sie nicht kennen kann.
Oder besser, daß sie nicht gekannt
werden kann. Denn ist es etwa ein Fall,
wo “der menschliche Intellekt
nicht ausreicht, aber ein höherer
es leisten könnte”?
Und wie kommt der menschliche Verstand dann überhaupt zu
jener Frage, in jene Gasse, die er nicht zu Ende gehen
kann?
An der Endlosigkeit ist eben nur die Endlosigkeit unendlich. |
Woher bezieht das
mult. ax. seine
Wahrscheinlichkeit? Doch daher,
daß man im Falle einer endlichen Klasse
von Klassen eine Selektion tatsächlich herstellen kann.
Wie ist es aber bei unendlich vielen Teilklassen?
Es ist offenbar, daß ich hier nur das
Gesetz der Bildung einer Selektion kennen kann.
Aus einer endlichen Klasse von Klassen kann ich nun etwas wie eine willkürliche Selektion bilden. Ist das bei einer unendlichen Klasse von Klassen denkbar? Es scheint mir unsinnig zu sein. |
Denken wir uns ein
endloses Leben, und der es lebt, wählt nach einander aus den
Brüchen zwischen 1 und 2, 2 und 3 usw. ad
inf. einen beliebigen Bruch aus. Erhalten wir
so eine Selektion aus allen jenen Intervallen? Nein, denn
er wird nicht fertig. Kann ich aber
nicht sagen, daß doch alle jene Intervalle
darankommen müssen, weil ich
keines nennen kann, das er nicht einmal erreichen
würde? Aber daraus, daß
er jedes Intervall einmal
erreichen wird, folgt nicht, daß er alle
einmal erreicht haben wird. |
Aber haben wir nun nicht doch
die Beschreibung eines Vorganges durch den ohne Ende Selektionen
erzeugt werden und heißt das nicht eben,
daß eine unendliche Selektion gebildet
wird? Aber hier ist eben das Unendliche nur in der
Vorschrift enthalten. |
Angenommen die Hypothese wäre: Es
gibt im Raum eine unendliche Reihe roter Kugeln, die in
Abständen von 1 m hintereinander liegen.
Welcher denkbaren Erfahrung könnte diese
Hypothese entsprechen? Ich denke etwa,
daß ich dieser Reihe entlang reise und
täglich an einer gewissen Anzahl n von roten Kugeln
vorbeikomme. Dann sollte meine Erfahrung darin
bestehen, daß ich an jedem
zukünftigen Tag, den es geben kann, n neue
Kugeln sehe. Wann aber werde ich diese Erfahrung
gemacht haben? Niemals! |
Auf den
Einwand: “Wenn es aber
doch unendlich viele Dinge gibt”, kann
man nur antworten: “Es gibt sie aber nicht”. Und was uns glauben macht,
daß es sie vielleicht gibt, ist nur,
daß wir die Dinge der Physik mit den
Elementen der Erkenntnis verwechseln. |
Wir können darum auch nicht einen hypothetischen unendlichen
Gesichtsraum annehmen in dem eine unendliche Reihe von roten
Flecken sichtbar ist. Was wir uns im physikalischen Raum denken, ist nicht das Primäre, das wir nur mehr oder weniger erkennen können; sondern, was vom physikalischen Raum wir erkennen können, das zeigt uns, wie weit das Primäre geht und wie wir den physikalischen Raum zu deuten haben. |
Wie ist aber die Analyse eines Satzes von der
Form: “Der rote Fleck
a liegt irgendwo zwischen b und
c”? Hier heißt es nicht
“dem Fleck a entspricht eine
der unendlich vielen Zahlen zwischen den Zahlen von b und von
c” (es handelt sich nicht
um eine Disjunktion). Es ist klar,
daß die unendliche Möglichkeit der Lagen
von a zwischen b und c in dem Satz nicht
ausgesprochen wird. Wie auch in dem Satze “ich habe ihn im Zimmer
eingesperrt” nicht irgendwie die
unendlich vielen Möglichkeiten der Stellung des Eingesperrten
im Zimmer eine Rolle spielt. |
“Jedes Ding hat einen und nur einen
Vorgänger; a hat keinen Nachkommer;
alle Dinge außer a haben einen und
nur einen Nachkommer.” Diese Sätze scheinen eine unendliche Reihe zu
beschreiben (und daher auch zu sagen, daß
es unendlich viele Dinge gibt. Aber dies Letztere
wäre Voraussetzung dafür, daß die
Sätze Sinn hätten). Sie scheinen eine
Struktur amorph zu beschreiben. Wir
können nach diesen Sätzen eine Struktur aufzeichnen, die
sie eindeutig beschreiben. Aber wo ist diese
Struktur in ihnen zu finden? –
(Der Satz muß, wenn es nur
endlich viele Dinge gibt, zu einem Widerspruch führen.
Wie kommt der zustande? Jedenfalls, wenn wir von
dem allgemeinen Satz auf seine Spezialfälle
schließen.)
|
Kann man aber nicht die obigen Sätze einfach als
Sätze der Physik auffassen, die eine wissenschaftliche
Hypothese darstellen? Dann
müßten sie unanfechtbar sein.
Wie wäre es, wenn die Physiologie eine Tierart fände,
in der jedes Individuum von einem
früheren herzurühren scheint, und das als Hypothese
ausspricht? |
Werden wir da durch
den Schein irregeführt, als wären die Stücke der
Materie – also hier etwa die Individuen der Tiergattung –
die einfachen Gegenstände? D.h., ist das, was man sich ins Unendliche vermehrt denken kann, nicht die Kombinationen der Dinge nach ihren unendlichen Möglichkeiten, aber nie die Dinge selbst? |
Die Dinge selbst sind vielleicht die 4 Grundfarben, der Raum, die
Zeit, und solches Gegebene mehr. |
Wie ist es also etwa mit einer Reihe von Fixsternen, in der jeder einen Vorgänger (in einer bestimmten Richtung des Raumes) hat? Und diese Hypothese käme auf dasselbe hinaus, wie die eines endlosen Lebens. Diese scheint mir sinnvoll zu sein und zwar darum, weil sie nicht der Einsicht widerspricht, daß man keine Hypothese über die Zahl der Gegenstände (Elemente der Tatsachen) machen kann. Ihre Analyse setzt nur die unendliche Möglichkeit des Raumes und der Zeit voraus und eine endliche Anzahl von Erfahrungselementen. |
Man könnte auch fragen: Wie geht
denn jener Prozeß vor sich, wenn
wir noch gar keine Ahnung haben, wie ein gewisser Satz zu beweisen
ist und nun doch fragen: “Läßt er
sich beweisen, oder nicht” und nach dem
Beweis für ihn ausschauen. Wenn wir “versuchen ihn zu
beweisen”, was tun wir da?
Ist es wesentlich ein Suchen ohne jedes innere System, also
eigentlich kein Suchen, oder kann irgend ein Plan
vorhanden sein? Die Antwort auf diese Frage ist
ein Fingerzeig dafür, ob der noch
unbewiesene – oder noch unbeweisbare – Satz sinnlos
ist oder nicht. Denn in einem sehr bedeutungsvollen
Sinn muß jeder sinnvolle Satz durch seinen
Sinn uns anweisen, wie wir uns davon überzeugen sollen, ob er
wahr oder falsch ist. “Jeder Satz sagt, was der Fall
ist, wenn er wahr ist”. Und dieses “was der Fall ist”
muß sich beim
mathematischen Satz auf die Art und Weise seines
Beweises beziehen. Dagegen nämlich kann man nicht
den Sinn, den man nicht kennt, logisch planvoll
suchen. Der Sinn müßte
einem sozusagen geoffenbart werden und
zwar von außen, – da er aus dem
Satzzeichen allein nicht zu entnehmen ist – im Gegensatz zur
Wahrheit, die uns der Satz selbst suchen, und mit ihm
vergleichen lehrt. |
Das
kommt darauf hinaus zu fragen: Ist durch
den allgemeinen mathematischen Satz etwas bis auf Ja und
Nein festgelegt? (Nämlich eben ein
Sinn). |
Wo man fragen kann, kann man auch suchen und wo man
nicht suchen kann, kann man auch nicht fragen. Und
natürlich auch nicht antworten. |
Meine Erklärung darf
nicht das mathematische Problem aus der Welt schaffen.
D.h. es ist nicht so,
daß ein mathematischer Satz erst dann
gewiß einen Sinn hat, wenn er (oder sein Gegenteil) bewiesen worden
ist. (In diesem Falle hätte
nämlich sein Gegenteil nie Sinn (Weyl)) andererseits könnte es sein,
daß gewisse scheinbare Probleme den
Charakter des Problems – der Frage nach Ja und Nein
– verlieren. |
Ist es so,
daß ich zu jedem Schritt eines Beweises eine
frische Intuition brauche? Das
hängt mit der Frage der
Individualität der Zahlen zusammen. Es
wäre etwa so:
Angenommen eine gewisse allgemeine Regel, in der also eine
Variable vorkommt, so muß ich immer von
neuem erkennen, daß diese Regel
hier angewendet werden kann. Kein Akt der
Voraussicht kann mir diesen Akt der Einsicht
ersparen. Denn tatsächlich ist die Form, auf die
die Regel angewandt wird, bei jedem Schritte eine andere.
|
Der Beweis der
Relevanz wäre ein Beweis der noch
nicht den Satz ergeben würde.
Und eben das könnte so einen Beweis
möglich machen. Er würde die Leiter nicht
hinaufsteigen, denn dazu muß
man jede Stufe nehmen; sondern nur zeigen,
daß die Leiter in dieser Richtung
führt. D.h.: Es gibt
keinen Ersatz für das Durchlaufen jeder Stufe, und was dem
äquivalent ist, muß wieder dieselbe
Mannigfaltigkeit haben. (In der Logik gibt es
kein Surrogat.) Es ist auch der Pfeil kein Surrogat
des Durchschreitens aller Stufen bis zum bestimmten Ziel.
Das hängt auch mit der
Unmöglichkeit einer Hierarchie von Beweisen
zusammen. |
Würde nicht der
Gedanke einer Hierarchie besagen, daß der
bloßen Fragestellung schon ein Beweis vorhergehen
muß, nämlich der Beweis des
Sinnes. Dann aber, sage ich,
muß der Beweis des Sinnes radikal
verschiedener Natur vom Beweis der Wahrheit sein, sonst setzt dieser Beweis wieder
einen voraus und wir kommen in einen endlosen
Regreß. |
Hat die Frage nach der Relevanz einen Sinn? Wenn ja,
so muß man immer sagen können, die
Grundgesetze sind für diesen Satz relevant oder nicht, und dann
muß sich diese Frage immer entscheiden
lassen. Läßt sich aber diese
Frage entscheiden, so ist damit schon eine Frage der
ersten Type entschieden. Und
läßt sie sich nicht entscheiden, dann
ist sie überhaupt sinnlos. |
Was uns,
abgesehen vom angeblichen Beweis
Fermat's,
dazu treibt, uns mit der Formel
xn
+ yn = zn
…(F) zu beschäftigen, ist die Tatsache,
daß man nie auf
Kardinalzahlen
gestoßen ist, die der Gleichung genügen;
aber das gibt dem allgemeinen Satz keinerlei Stütze
(Wahrscheinlichkeit) und ist also kein guter Grund zur
Beschäftigung mit dieser Formel. Wohl aber kann
man sie einfach als Schreibweise einer bestimmten allgemeinen Form
ansehen und sich fragen, ob sich die Syntax in irgend
einer Weise mit dieser Form beschäftigt. |
Ich
sagte: Wo man nicht suchen kann, da kann man auch nicht
fragen, und d.h.: Wo es keine
logische Methode des Findens gibt, da kann auch die
Frage keinen Sinn haben. |
Nur wo eine Methode der Lösung ist, ist ein
Problem (d.h. natürlich nicht “nur wo die Lösung gefunden ist, ist
ein Problem”). |
D.h. dort wo die Lösung nur von einer
Art Offenbarung erwartet werden kann, ist auch kein
Problem. Einer Offenbarung entspricht keine Frage.
|
Das ist || wäre so, wie wenn man nach den Erfahrungen eines
Sinnes fragen wollte, den man noch nicht hat. Uns einen
neuen Sinn geben, das würde ich Offenbarung nennen. |
Man kann auch nicht
nach einem neuen Sinn (Sinneswahrnehmung)
suchen. |
Die Frage taucht wieder
auf: Inwiefern kann man einen mathematischen Satz
behaupten? Das
hieße nämlich nichts,
daß ich ihn nur dann behaupten kann, wenn
er richtig ist. – Sondern behaupten
können muß ich auf den Sinn hin, nicht
auf die Wahrheit hin. Es scheint mir, wie schon gesagt,
klar zu sein, daß ich den allgemeinen
Satz so sehr oder so wenig behaupten kann, wie die Gleichung
3 × 3 =
9 oder auch
3 × 3 =
11. |
Es ist beinahe unglaublich, wie
ein Problem durch die falschen Ausdrucksweisen, die Generation auf
Generation rundherum stellt, gänzlich, auf Meilen, blockiert
wird, sodaß es beinahe unmöglich
wird, dazuzukommen. |
Was das
Verständnis erschwert, ist die falsche Auffassung, als wäre
die allgemeine Lösungsmethode nur ein –
nebensächliches – Hilfsmittel zum Erhalten von Zahlen,
die die Gleichung befriedigen. Während sie an sich
ein Aufschluß über das Wesen (die
Natur) der Gleichung ist. Sie ist – wieder –
kein nebensächliches Hilfsmittel zum Finden einer Extension,
sondern Selbstzweck. |
Welche Fragen kann man
bezüglich einer Form z.B.
Fx =
G stellen? –
Ist Fx = G
(x als allgemeine Konstante) oder
nicht? Führen die Regeln zu einer Lösung der
Gleichung (x als
Unbekannte) oder nicht? Verbieten die Regeln die Form
Fx =
G (x als leere
Stelle aufgefaßt) oder nicht?
Keiner dieser Fälle darf sich empirisch, also extensiv, prüfen lassen. |
Auch die zwei letzten nicht, denn, daß
z.B. “x² =
4” erlaubt, sehe ich aus
7² = 4
nicht weniger als aus
2² = 4,
und, daß
x² =
‒ 4 verboten ist, zeigt
mir 2² ≠
‒ 4 nicht anders als
8² ≠
‒ 4. D.h. ich sehe hier
im Einzelfall doch wieder nur die Regel. |
Die Frage:
“Wird die Gleichung von
irgendwelchen Zahlen
befriedigt?” hat
keinen Sinn, ebensowenig wie der Satz “sie wird von Zahlen
befriedigt” und ebensowenig,
natürlich, wie die Behauptung “sie wird von allen Zahlen – oder von keiner
Zahl – befriedigt”.
|
Das Wichtige ist, daß ich
auch dann, wenn mir
3²
+ 4² = 5² gegeben
ist, nicht sagen darf “(∃x,y,z, n).xn
+ yn =
zn”, denn
extensiv heißt es nichts und
intensional
ist es dadurch nicht bewiesen. Sondern ich darf dann eben
nur die erste Gleichung
aussprechen. |
Es ist klar, ich kann nur dort den allgemeinen Satz
(mit der allgemeinen Konstante) hinschreiben, wo er
dem Satz
25 × 25 =
625 analog ist und das ist, wo ich die
Rechnungsregeln für a und b ebenso kenne, wie
die Rechnungsregeln für 6, 2, und 5. Das
illustriert ganz was es heißt,
daß a und b hier Konstante
sind. Konstante Formen nämlich. |
Ist es so: Ich
kann das Wort “ergibt” nicht anwenden, so lange ich keine Methode
der Lösung
kenne, weil ergibt eine Struktur bedeutet die ich nicht,
ohne sie zu kennen, bezeichnen kann. Weil die Struktur
dargestellt werden muß. |
Ich habe hier
nichts anderes als den alten Fall, daß ich
nicht sagen kann, 2 Komplexe stünden in
einer Relation, ohne die Relation logisch abzubilden. |
“Die Gleichung ergibt
a”
heißt, wenn ich die Gleichung nach gewissen
Regeln transformiere, erhalte ich a, so wie die Gleichung
25 × 25 =
620 besagt, daß ich 620
erhalte, wenn ich auf
25 ×
25 die Multiplikationsregeln anwende. Aber
diese Regeln müssen mir schon gegeben sein, ehe das Wort
“ergibt” Bedeutung hat und ehe die Frage einen Sinn hat, ob die
Gleichung a ergibt. |
Der
Fermat'sche Satz hat also keinen Sinn, solange ich nach
der Auflösung der Gleichung durch
Kardinalzahlen nicht suchen
kann. Und “suchen” muß immer heißen: Systematisch suchen. Es ist kein suchen, wenn ich im unendlichen Raum nach einem Goldring umherirre. |
Jeder Satz ist die Anweisung auf eine
Verifikation. |
Wenn
ich das Wort “ergibt”
wesentlich intensional auffasse, so
heißt der Satz “die Gleichung G ergibt die Lösung
a” solange nichts, als das Wort
“ergibt” nicht für eine
bestimmte Methode steht. Denn gerade die ist es ja, die ich
bezeichnen will. |
Suchen kann man nur in einem
System: Also gibt es unbedingt etwas, was man
nicht suchen kann. |
Nur dort kann man in der
Mathematik fragen (oder vermuten) wo die
Antwort lautet “Ich
muß es ausrechnen”.
Kann ich das denn aber nicht auch im Fall 1 : 3 = 0,3̇ sagen, wenn auch das Resultat keine Extension sondern die Entstehung jener Induktionsbeziehung ist? Wohl aber müssen wir dazu von dieser Induktionsbeziehung eine klare Vorstellung haben, wenn wir sie erwarten wollen. D.h., wir können doch auch hier nicht ins Blaue vermuten oder erwarten. |
Das, was die “mathematische
Frage” mit der eigentlichen Frage
gemein hat, ist eben die
Beantwortbarkeit. |
Wenn das
3̇
in
1 : 3 =
0,3̇
auf eine bestimmte Methode
hindeutet, so bedeutet 0,110̇
in
Verbindung mit F nichts, da hier eine Methode nicht
vorliegt. |
Ein Gesetz,
das ich nicht kenne, ist kein Gesetz. |
Die
mathematische Frage muß so exakt sein, wie
der mathematische Satz. |
Die
Frage, “wieviele Lösungen hat diese
Gleichung” ist das
In-Bereitschaft-Halten
der allgemeinen Methode zu ihrer Lösung. Und das ist
überhaupt, was eine Frage in der Mathematik ist:
Das Bereithalten einer allgemeinen
Methode. |
Ich brauche
kaum zu sagen, daß
dort, wo der Satz des ausgeschlossenen Dritten nicht gilt, auch
kein anderer Satz der Logik gilt, weil wir es dort nicht mit
Sätzen der Mathematik zu tun haben. (Dagegen
Weyl und
Brouwer)
|
Würde denn aus dem Allen nicht
das Paradox folgen: daß es in der
Mathematik keine schweren Probleme gibt, weil, was schwer ist,
kein Problem ist?
Ganz so || So ist es aber nicht: Die schwierigen Probleme der Mathematik sind die, für deren Lösung wir noch kein geschriebenes System besitzen. Der suchende Mathematiker hat dann ein System in irgendwelchen psychischen Symbolen, Vorstellungen, “im Kopf” und trachtet es aufs Papier zu bringen. Hat er das getan, so ist das Übrige leicht. Hat er aber kein System, weder in geschriebenen noch in ungeschriebenen Symbolen, dann kann er auch nicht nach einer Lösung suchen, sondern höchstens herumtappen. – Nun kann man allerdings auch durch planloses Tasten etwas finden. Dann hat man es aber nicht gesucht und das Verfahren, logisch betrachtet, war synthetisch; während Suchen ein analytischer Prozeß ist. |
Was man anfassen kann, ist ein
Problem. |
Nur wo ein Problem sein kann,
kann etwas behauptet werden! |
Kenne ich die Regeln der elementaren Trigonometrie, so kann ich den
Satz sin 2x =
2sinx.cos x kontrollieren aber nicht den
Satz sin x =
1 ‒
|
Die beiden
Sätze stehen gleichsam auf 2 verschiedenen Ebenen. In
der ersten kann ich mich bewegen so weit ich will, ich werde nie zu
dem Satz der höheren Trigonometrie kommen. |
Ist es nun eine richtige Frage,
ob die Dreiteilung des Winkels möglich ist? Und
welcher Art ist der Satz und sein Beweis, daß
sie mit Zirkel und Lineal nicht möglich
ist? |
Man könnte sagen:
Da sie nicht möglich ist, konnte man auch nie nach ihr
suchen. |
Solange ich nicht das
große System sehe, das beide
umfaßt, kann ich das höhere Problem
nicht zu lösen trachten. |
Ich kann erst
dann fragen, ob der Winkel mit Lineal und Zirkel dreigeteilt werden kann, wenn ich das System
“Zirkel und Lineal” in ein größeres eingebettet
sehe, worin das Problem lösbar ist; oder vielmehr, worin
das Problem ein Problem ist, worin diese Frage einen Sinn
hat. |
Das zeigt sich auch darin,
daß man zum Beweis der Unmöglichkeit aus
dem euklidischen System heraustreten
muß. |
Ein System ist sozusagen eine Welt. |
Ein System kann man also nicht suchen. Wohl aber den
Ausdruck für ein System, das mir in ungeschriebenen Symbolen
gegeben ist. |
Der
Schüler dem das Rüstzeug der elementaren
Trigonometrie zur Verfügung stünde und von dem die
Überprüfung der Gleichung
sin x = 1
etc. verlangt würde, fände
das, was er zur Bewältigung dieser Aufgabe braucht eben nicht
vor. Wenn der Lehrer dennoch die Lösung von ihm
erwartet, so setzt er voraus,
daß die Mannigfaltigkeit der
Syntax, die diese Lösung voraussetzt, irgendwie
in anderer Form im Kopf des Schülers vorhanden ist.
Und zwar so, daß der Schüler den
Symbolismus der elementaren Trigonometrie als einen Teil jenes
Ungeschriebenen sieht und nun das
Übrige aus dem ungeschriebenen in
einen geschriebenen übersetzt. |
Das System von Regeln, welche
einen Kalkül bestimmen,
bestimmt damit auch die “Bedeutung” seiner
Zeichen. Richtiger ausgedrückt: Die Form
und die syntaktischen Regeln sind
äquivalent. Ändere
ich also die Regeln – ergänze ich sie etwa scheinbar
– so ändere ich die Form, die Bedeutung. |
Die Grenzen
meiner Welt kann ich nicht ziehen, wohl aber Grenzen innerhalb
meiner Welt. Ich kann nicht fragen, ob der Satz
p zum System S
gehört, wohl aber ob er zum Teil s von S
gehört. Ich kann also dem Problem der Dreiteilung des
Winkels im großen System seinen Platz
bestimmen, aber nicht im euklidischen
System darnach fragen, ob es lösbar ist.
In welcher Sprache sollte ich denn darnach
fragen? In der euklidischen? Und ebensowenig kann ich in der
euklidischen Sprache nach der
Möglichkeit der Zweiteilung des Winkels im
euklidischen System fragen.
Denn das würde in dieser Sprache auf eine Frage nach
der Möglichkeit schlechthin hinauslaufen und diese Frage ist
immer Unsinn. |
Hier liegt
aber nichts vor, was wir als eine Hierarchie von Typen
bezeichnen dürften. |
Man kann in
der Mathematik nicht allgemein von Systemen, sondern nur
in Systemen reden. Sie sind
gerade das, wovon man nicht reden kann. Also auch das, was
man nicht suchen kann. |
Der Schüler, der den Apparat zur Beantwortung
der zweiten Frage nicht hat, kann sie nicht nur, nicht beantworten,
sondern er kann sie auch nicht verstehen.
(Das
wäre ähnlich wie die Aufgabe, die der Fürst im
Märchen dem Schmied stellt, ihm einen
“Klamank” zu
bringen). |
Jeder rechtmäßige Satz
der Mathematik muß wie der
Satz 12 × 13
= 137 an sein Problem die Leiter anlegen – die
ich dann hinaufsteigen kann, wenn ich will.
Das gilt von Sätzen aller Art der Allgemeinheit. (N.B. Eine Leiter mit “unendlich vielen” Sprossen gibt es nicht). |
Angenommen nun, ich habe 2
Systeme, so kann man nicht nach einem System fragen, das
sie beide umfaßt, denn nicht nur kann ich
dieses System jetzt nicht suchen, sondern auch, im
Falle sich einmal eines zeigt, das zwei den ersten analoge Systeme
umfaßt, sehe ich,
daß ich es nie hätte suchen
können. |
Beweise,
die dasselbe beweisen sind ineinander übersetzbar und insofern
derselbe Beweis. Das gilt nur für solche
Beweise nicht, wie etwa:
“Daß er zu Hause ist,
ersehe ich aus zwei Tatsachen; erstens hängt sein Rock im
Vorzimmer und zweitens höre ich ihn pfeifen”.
Hier haben wir zwei unabhängige Quellen der
Erkenntnis. Der Beweis bedarf eben von
außen kommende Gründe, während ein
Beweis der Mathematik die Analyse des mathematischen Satzes
ist. |
Was ist der Beweis der Beweisbarkeit? Er
ist ein anderer als der Beweis des Satzes.
Und ist etwa der Beweis der Beweisbarkeit der Beweis, daß der Satz Sinn hat? Dann aber müßte dieser Beweis auf ganz anderen Prinzipien beruhen, als der Beweis des Satzes. Es kann keine Hierarchie der Beweise geben? |
Andererseits kann es in keinem wesentlichen Sinne
eine Metamathematik geben. Alles
muß in einer Type (oder also in keiner
Type) liegen. |
Ist es nun möglich, zu zeigen,
daß die Grundregeln für einen Satz
relevant sind (d.h. ihn oder sein
Gegenteil beweisen) ohne sie wirklich bis an ihn heranzubringen.
D.h., wissen wir es erst, wenn wir dort sind
oder ist es möglich es schon früher zu wissen.
Und ist dafür die Möglichkeit der
Überprüfung von
36 × 47 =
128 ein Beweis? Es hat offenbar einen Sinn zu
sagen: “Ich
weiß, wie man das
überprüft” noch ehe man es
überprüft hat. |
Es genügt also nicht zu
sagen p ist beweisbar, sondern es
muß heißen:
Beweisbar nach einem bestimmten System. |
Und zwar behauptet der Satz nicht,
p sei beweisbar nach dem System
S, sondern nach seinem System,
dem System von p.
Daß p dem System S
angehört, das läßt sich nicht
behaupten, das muß sich zeigen. |
Man kann nicht sagen p gehört zum System
S; man kann nicht fragen, zu welchem
System p
gehört; man kann nicht das System von
p suchen.
p verstehen
heißt, sein System verstehen.
Tritt p scheinbar von einem System in
das andere über, so hat in Wirklichkeit
p seinen Sinn
gewechselt. |
Ramsey meinte, daß das, was
ich das Erkennen des Systems nenne, weiter nichts ist,
als die – vielleicht
unbewußte – Anwendung eines allgemeinen
mathematischen Satzes.
So, wenn ich wisse, daß sich die Frage
nach der Richtigkeit von
sin 3x = 5 cos
x entscheidbar sei, folgere ich das eben nur aus dem
Gesetz für sin
x + y etc.
Aber das ist nicht wahr, sondern ich folgere es daraus,
daß es so ein Gesetz gibt, nicht
daraus, wie es lautet. |
Ich könnte Zahlengleichungen
und Buchstabengleichungen dahin zusammenfassen: Die
Transformation der linken Seite nach den Regeln
liefert die rechte Seite, oder nicht.
Dazu müssen aber die beiden Seiten der Gleichung
(N.B. der
allgemeinen) sozusagen
kommensurabel sein. |
Weil die
Zahlengleichung F (5) = G
(3) kommensurable Seiten hat,
folgt nicht, daß
F (a) = G
(b) kommensurable Seiten haben
muß. Denn für a und
b gelten andere Rechnungsregeln, als für 3 und
5. |
Die
Klassifikationen die
Philosophen und Psychologen machen
sind so, wie wenn man Wolken nach ihrer Gestalt
klassifizieren wollte. |
Ein mathematischer Satz sagt
immer das, was sein Beweis beweist.
D.h. er sagt nie mehr, als sein Beweis
beweist. |
Hätte ich eine Methode,
Gleichungen die eine Lösung haben von solchen zu scheiden,
die keine haben, dann hätte mit Bezug auf diese Methode der
Ausdruck ¤ “(∃x).x² =
2x” Sinn. |
¤
Ich kann fragen “welche Lösung hat die Gleichung
x² =
2x”, aber ich
kann nicht fragen “hat sie eine
Lösung”. Denn wie
würde das aussehen, wenn sie keine hätte?
Erst wenn ich weiß, was der Fall ist, wenn
ein Satz falsch ist, hat er einen Sinn. – Wenn nun
aber jener andere Fall, etwa der der Gleichung
“(∃x).
x² ‒ 2x ‒ x(x ‒ 2) =
0” wäre?
Dann hätte der Satz (∃x).x² =
2x allerdings Sinn und sein Beweis wäre,
daß die Regeln es nicht gestatten, die
Seiten gegeneinander zu kürzen. Auf die Frage
“gibt
es eine Lösung der Gleichung
xn
+ axⁿ⁻¹
+ … + z
= 0?” kann man
immer fragen “im Gegensatz
wozu?”. |
25 × 25
= 625 Worin besteht hier das System, das mir die
Kommensurabilität zeigt?
Doch wohl darin, daß mir die Multiplikation zweier in dieser Form hingeschriebener Zahlen nach der Regel immer wieder eine Zahl in derselben Form liefert, und eine Regel für zwei Zahlzeichen dieser Form entscheidet, ob sie dieselbe oder verschiedene Zahlen bezeichnen. |
Man könnte diese
Auffassung auch so charakterisieren: Es ist unmöglich
Entdeckungen neuartiger Regeln zu machen, die von einer uns
bekannten Form gelten. Sind es neue Regeln, so ist es
nicht die alte Form. Das Gebäude der Regeln
muß
¤ vollständig sein,
wenn wir überhaupt mit einem Begriff arbeiten wollen. – Man kann keine Entdeckungen in der Syntax
machen. – Denn erst die Gruppe von
Regeln bestimmt den Sinn unserer Zeichen und jede
Änderung (z.B.
Ergänzung) der Regeln bedeutet eine
Änderung des Sinnes.
Ebenso wie man die Merkmale eines Begriffes nicht ändern kann, ohne ihn zu ändern. (Frege) |
Ein System ist eine Formenreihe und die
Iterationen, die
sukzessive ihre Glieder erzeugen, sind eben
in den Regeln beschrieben. |
Der Gegensatz
zu “es ist notwendig,
daß p für alle Zahlen
gilt” ist allerdings “es ist nicht notwendig,
daß …”
und nicht “es ist notwendig,
daß nicht …”.
Aber nun denkt man: Wenn es nicht
notwendig ist, daß es für
alle Zahlen gilt, so ist es doch möglich. Aber hier
liegt der Fehler, denn man sieht nicht,
daß man in
die extensive Auffassung geraten ist: Der Satz “es ist möglich – wenn auch nicht
notwendig – daß
p für alle Zahlen
gilt” ist unsinnig. Denn
“notwendig” und “alle” gehören in der Mathematik zusammen.
(Solange man diese Ausdrucksweise nicht
überhaupt durch eine weniger irreführende
ersetzt.) |
Welcher Art ist z.B. die Entdeckung
Scheffers,
daß man die Wahrheitsfunktionen alle auf
p ∣ q zurückführen kann? Oder
die Entdeckung der Methode, die Kubikwurzel zu ziehen?
Wie ist es, wenn man in der Mathematik einen Trick anwenden
muß? (Wie beim Lösen
einer Gleichung oder beim Integrieren). Hier ist es, wie
beim Lösen eines Knotens. Ich kann auf gut
Glück den einen oder andern Weg probieren, und es kann sein,
daß sich der Knoten noch mehr verknüpft,
oder, daß er sich löst.
(Jedenfalls ist jede Operation eine erlaubte Operation und
führt irgend wohin). |
Ich will
sagen, daß das Finden eines Systems zur
Lösung von Problemen, die man früher nur einzeln durch
separate Methoden lösen konnte, nicht
bloß die Auffindung eines bequemeren
Vehikels ist, sondern einer ganz neuen Sache, die man früher
überhaupt nicht hatte. Die einheitliche Methode ist
eben nicht nur die Methode der Herstellung
D.h.: Ich glaube, man kann in der Mathematik keinen Weg finden, der nicht eben ein Ziel ist. Man kann nicht sagen: Alle diese Resultate hatte ich schon, ich finde jetzt nur noch einen bessern Weg, der zu allem hinführt. Sondern dieser Weg ist ein neuer Ort, den man bisher noch nicht hatte. Der neue Weg macht ein neues System aus. |
Soll das nicht
heißen, daß man in
der Mathematik nichts Neues über einen Gegenstand erfahren
kann, weil es dann ein neuer Gegenstand ist? |
Das kommt auch darauf
hinaus: Wenn ich einen Satz z.B. der
Zahlentheorie höre, aber seinen Beweis nicht kenne, so
verstehe ich auch den Satz nicht. Das klingt sehr
paradox. Ich verstehe – heißt
das – also den Satz nicht, daß es
unendlich viele Primzahlen gibt, ehe ich seinen sogenannten Beweis
nicht kenne. Wenn ich den Beweis kennen
lerne, so lerne ich also etwas ganz
Neues kennen, nicht nur den Weg zu einem mir schon bekannten
Ziel. Dann ist es aber unbegreiflich, daß ich, wenn der Beweis geliefert ist, zugebe, daß es der Beweis eben dieses Satzes ist, oder die Induktion, die mit diesem Satz gemeint ist. |
Ich will sagen, daß ein
mathematischer Satz nicht die Prosa ist, sondern der exakte
Ausdruck. |
Es kann nicht zwei unabhängige Beweise eines
mathematischen Satzes geben. |
Das Knoten-Auflösen in der Mathematik:
Kann man versuchen einen Knoten aufzulösen,
von dem einmal bewiesen wird, daß er nicht
auflösbar ist? Die Auflösung der Gleichung
dritten Grades ist gelungen, die Dreiteilung des
Winkels mit Lineal und Zirkel konnte nicht
gelingen; an beiden hat man sich versucht, lang ehe man die
Lösung der einen Aufgabe und die Unlösbarkeit der andern
wußte. |
Denken wir uns einen
scheinbaren Knoten, der in Wirklichkeit aus vielen in sich
zurücklaufenden Fadenstücken besteht und etwa auch aus
einigen nicht geschlossenen.
Ich stelle nun jemandem die Aufgabe
den Knoten aufzulösen. Sieht er den Verlauf der
Schnurstücke klar, so wird er sagen, das ist kein Knoten und es
gibt daher keine Auflösung. Sieht er nur ein
Gewirr von Schnüren, so wird er vielleicht versuchen, es zu
lösen, indem er aufs Geratewohl an verschiedenen Enden zieht oder
wirklich einige Transformationen vornimmt, die daraus entspringen,
daß er ja wirklich einige Teile des
Knotens klar sieht, wenn auch nicht seine ganze Struktur.
|
Ich würde nun sagen, von
einem eigentlichen Versuch der Lösung kann man nur
insoweit sprechen, als die Struktur des Knotens klar
gesehen ist. Sofern sie nicht klar gesehen wird, ist
alles ein Tappen im Dunklen, denn es kann ja sein,
daß, was mir als Knoten erscheint, gar kein
Knoten ist; der beste Beweis dafür,
daß ich wirklich keine Methode hatte, nach
einer Lösung zu suchen. Dieser
Prozeß ist nicht mit dem zu vergleichen,
wenn ich z.B. in einem Zimmer
methodisch nach einem Gegenstand suche, und eben dadurch
herausfinde, daß er gar nicht im Zimmer
ist. Denn hier suche ich nach einem möglichen
Sachverhalt und nicht nach einem unmöglichen. |
Ich will aber nun sagen, daß
das Gleichnis mit dem Knoten hinkt, da ich einen Knoten haben und
ihn immer besser kennen lernen kann, während ich sagen will,
daß ich in
der Mathematik nicht etwas, mir schon in meinen Zeichen
Gegebenes, immer besser kennenlernen kann, sondern immer
Neues kennen lerne und bezeichne.
Ich sehe nicht ein, wie die Zeichen, die wir uns selbst gemacht haben um Gewisses auszudrücken, uns Probleme aufgeben sollten. |
Es ist eher so, als ob ein Knoten oder
Knäuel uns nach und nach gezeigt würde und wir uns
fortlaufend Bilder von ihm machten, soweit wir ihn sehen.
Was von dem Knoten uns noch nicht geoffenbart ist, davon haben
wir keine Ahnung und können darüber in
keiner Weise Konjekturen anstellen (indem wir etwa die Bilder des
bekannten Teils einer Untersuchung unterziehen). |
Was hat man denn damals gefunden, als man fand,
daß es unendlich viele
Primzahlen gibt? Was hat man denn gefunden, wie
man eingesehen hat, daß es unendlich viele
Kardinalzahlen gibt? – Ist es
nicht ganz analog der Erkenntnis – wenn es eine ist –
daß der euklidische Raum unendlich ist, nachdem wir schon längst
Sätze über die
Gegenstände in diesem Raum gebildet haben.
Was bedeutet denn eine Untersuchung des Raumes? – Denn jede mathematische Untersuchung ist quasi eine Untersuchung des Raumes. Daß man die Dinge im Raum untersuchen kann, ist klar. Aber || , aber den Raum! (Geometrie und Grammatik entsprechen einander immer.) Erinnern wir uns, daß in der Mathematik die Zeichen selbst Mathematik machen, nicht Mathematik beschreiben. Die mathematischen Zeichen sind ja wie die Kugeln einer Rechenmaschine. Und die Kugeln sind im Raum und eine Untersuchung an der Rechenmaschine ist eine Untersuchung des Raumes. |
Was nicht vorhergesehen wurde,
war nicht vorhersehbar; denn man hatte das System nicht, in welchem
es vorhergesehen werden konnte. (Und vorhergesehen
worden wäre.) |
Man kann
Mathematik nicht schreiben sondern nur machen. (Eben
darum kann man in der Mathematik
nicht mit diesen Zeichen “schmusen”.) |
Angenommen, ich wollte ein
regelmäßiges Fünfeck konstruieren,
wüßte aber nicht wie, und würde
nun herumprobieren und käme endlich durch Zufall auf die richtige
Konstruktion: Haben wir hier nicht wirklich den
Fall des Knotens, der durch Probieren aufgelöst
wurde? Nein, denn wenn ich
diese Konstruktion nicht verstehe, so ist sie für mich noch
gar nicht die Fünfeck-Konstruktion.
Ich kann schon durch Zufall die Auflösung der Gleichungen zweiten Grades hinschreiben, aber nicht sie durch Zufall verstehen. In dem, was ich verstehe, verschwindet dann die Art, wie ich dazugekommen bin. Ich verstehe dann, was ich verstehe. D.h. der Zufall kann sich nur auf ein Äußerliches beziehen, wie etwa, wenn man sagt: “das habe ich herausgefunden, nachdem ich starken Kaffee getrunken hatte”. Der Kaffee ist in dem, was ich entdeckt habe nicht mehr enthalten. |
Die
Entdeckung des Zusammenhangs zweier Systeme war nicht in
einem Raum mit jenen beiden Systemen, und wäre sie
in demselben Raum gewesen, so wäre es keine Entdeckung
gewesen (sondern die Lösung einer
Schulaufgabe). |
Wo jetzt ein
Zusammenhang bekannt ist, der früher nicht bekannt war,
dort war früher nicht eine offene Stelle, eine
Unvollständigkeit, die jetzt ausgefüllt ist. –
(Man konnte damals nicht sagen “so weit kenne ich die Sache, von hier an ist sie
mir nicht mehr bekannt”).
|
Ich habe also gesagt:
Die Mathematik hat keine offenen Stellen.
Das widerspricht der gewöhnlichen Auffassung. |
In der Mathematik gibt
es kein “noch
nicht” und kein “bis auf weiteres”
(außer in dem
trivialen Sinne, daß man
noch nicht 1000-stellige Zahlen mit einander multipliziert
hat). |
Die Induktion hat manches mit der Multiplizität
einer (natürlich endlichen) Klasse
gemeinsam. Andererseits ist sie doch keine,
und nun nennt man sie eine unendliche Klasse. –
Wenn ich z.B. sage “wenn ich eine Windung kenne, so kenne ich die ganze Spirale”, so bedeutet das eigentlich: Wenn ich das Gesetz der Spirale kenne, so ist das in vieler Beziehung analog dem Fall, in dem ich eine Gesamtheit von Windungen kenne. – Natürlich aber eine “endliche” Gesamtheit, denn etwas anderes gibt es ja nicht –. Man kann nun nicht sagen: Ja, einer endlichen Gesamtheit ist sie in vieler Hinsicht analog, aber doch nicht ganz analog, dagegen einer unendlichen ganz, sondern, daß die Induktion sich einer Gesamtheit nicht ganz analog benimmt, ist eben alles, was wir sagen können. |
Die Mathematik kann nicht
unvollständig sein; wie ein Sinn nicht
unvollständig sein kann. Was ich verstehen
kann, muß ich ganz verstehen. Das
hängt damit zusammen, daß meine
Sprache, so wie sie ist, in Ordnung ist und
daß die logische Analyse um zu
vollkommener Klarheit zu gelangen nichts zu dem vorhandenen Sinn
meiner Sätze dazufügen
muß.
Sodaß der unklarst scheinende Satz nach
der Analyse seinen bisherigen Inhalt unberührt behält
und nur seine Grammatik geklärt wird. |
Muß es aber denn nicht eine
Frage sein, ob es eine endliche Zahl aller
Primzahlen gibt oder nicht; wenn || ?
Wenn man einmal überhaupt zu diesem Begriff
gekommen ist. Denn es scheint doch,
daß ich, wenn mir der Begriff Primzahl
gegeben ist, unmittelbar fragen kann “wieviele Primzahlen
gibt
es?”. Wie ich,
wenn mir der Begriff “Mensch in diesem
Zimmer” gegeben ist ohne weiteres die Frage bilden
kann “wieviele Menschen sind in
diesem Zimmer?” |
Wenn diese Analogie
mich irreleitet, so kann es nur dadurch sein,
daß der “Begriff Primzahl”
mir in ganz anderer Weise gegeben ist, als ein eigentlicher
Begriff. Denn, wie ist denn der strenge
Ausdruck für den Satz “7 ist
eine Primzahl”?
Offenbar ist es nur der, daß die
Division der 7 durch kleinere Zahlen einen Rest ergibt.
Einen anderen Ausdruck kann es dafür nicht geben, da wir
Mathematik nicht beschreiben, sondern nur treiben
können. (Und schon das vernichtet jede “Mengenlehre”.) |
Wenn ich also einmal die allgemeine Form der Primzahl
hinschreiben kann, d.h. einen
Ausdruck, in
dem überhaupt etwas der “Zahl
der Primzahlen” Analoges
enthalten ist, dann ist auch keine
Frage mehr “wieviel”
Primzahlen es gibt, und vorher kann ich diese Frage auch nicht
stellen. Denn ich kann nicht fragen “hört die Reihe der Primzahlen
einmal auf”, und auch nicht “kommt
nach der 7 noch jemals eine Primzahl”. |
Denn, da wir in der gewöhnlichen Sprache das
Wort Primzahl haben konnten, noch ehe der strenge Ausdruck
vorhanden war, der quasi eine Zahlangabe
zuläßt, so konnte man auch vorher
schon die Frage fälschlich bilden, wieviele Primzahlen es
gäbe. Dadurch gewinnt es den Anschein, als sei das
Problem früher schon vorhanden gewesen und jetzt gelöst
worden. Die Wortsprache schien diese Frage
nach wie vor zuzulassen und das erzeugte den Schein, als sei
ein echtes Problem vorhanden gewesen und eine echte Lösung
erfolgt. In der exakten Sprache dagegen hatte man
ursprünglich nichts, wovon man nach der Anzahl hätte
fragen können, und später einen Ausdruck, an dem man die
Mannigfaltigkeit unmittelbar ablesen konnte. |
Ich will also sagen: Nur in unserer
Wortsprache (die hier zu einem Mißverständnis der
logischen Form führt) gibt es in der Mathematik “noch ungelöste” Probleme und das Problem der endlichen “Lösbarkeit aller mathematischer
Fragen”. |
Es scheint mir, daß die Idee
der Widerspruchsfreiheit in den Axiomen der Mathematik, die
jetzt so viel in den Köpfen der Mathematiker herumspukt, auf
einem Mißverständnis beruht. |
Das hängt damit zusammen,
daß sie die mathematischen Axiome
nicht für das ansehen, was sie sind, nämlich für
Sätze der Syntax. |
Eine Frage nach der Beweisbarkeit gibt es nicht, und
in sofern auch keinen Beweis der
Beweisbarkeit. Der sogenannte Beweis der Beweisbarkeit
ist eine Induktion, deren Erkenntnis die Erkenntnis eines neuen
Systems ist. |
Ein Beweis der Widerspruchsfreiheit kann nicht
wesentlich sein für die Anwendung der Axiome. |
Ein Postulat
gibt es nur für die Ausdrucksweise. Die “Axiome” sind
Postulate der Ausdrucksweise. |
Vergleich zwischen einer mathematischen Expedition und einer
Polarexpedition. Diesen Vergleich
anzustellen hat Sinn und ist sehr nützlich. |
Wie seltsam wäre es, wenn eine
geographische Expedition nicht sicher
wüßte, ob sie ein Ziel, also auch ob
sie überhaupt einen Weg hat. Das können wir uns
nicht denken, es gibt Unsinn. Aber in der mathematischen
Expedition verhält es sich geradeso. Also wird es
vielleicht am besten sein, den Vergleich ganz fallen zu
lassen. Es wäre wie eine Expedition, die des Raumes nicht sicher wäre! |
Wie kann es in der Mathematik Vermutungen
geben? Oder vielmehr: Welcher Natur ist
das, was in der Mathematik wie eine Vermutung aussieht?
Wenn ich also etwa Vermutungen über die Verteilung der
Primzahlen anstelle.
Ich könnte mir z.B. denken, daß jemand in meiner Gegenwart Primzahlen der Reihe nach hinschriebe, ich wüßte nicht, daß es die Primzahlen sind – ich könnte etwa glauben, es seien Zahlen, wie sie ihm eben einfielen – und nun versuchte ich irgend ein Gesetz in ihnen zu finden. Ich könnte nun geradezu eine Hypothese über diese Zahlenfolge aufstellen, wie über jede andere, die ein physikalisches Experiment ergibt. In welchem Sinne habe ich nun hiedurch eine Hypothese über die Verteilung der Primzahlen aufgestellt? |
Man
könnte sagen, eine Hypothese in der Mathematik hat den Wert,
daß sie die Gedanken an einen bestimmten
Gegenstand – ich meine ein bestimmtes Gebiet – heftet und
man könnte sagen “wir werden
gewiß etwas Interessantes über
diese Dinge herausfinden”.
|
Das
Unglück ist, daß unsere Sprache so
grundverschiedene Dinge mit jedem der Worte “Frage”, “Problem”,
“Untersuchung”, “Entdeckung”
bezeichnet. Ebenso mit den Worten “Schluß”, “Satz”, “Beweis”. |
Es frägt
sich wieder, welche Art der Verifikation lasse ich für meine
Hypothese gelten? Oder kann ich vorläufig –
faute de mieux – die empirische gelten lassen, solange
ich noch keinen “strengen
Beweis” habe?
Nein. Solange ein solcher Beweis nicht besteht,
besteht gar keine Verbindung
zwischen meiner Hypothese und dem “Begriff”
der Primzahl. |
Der Begriff der Primzahl ist das
allgemeine Gesetz, wonach ich prüfe, ob eine Zahl eine
Primzahl ist oder nicht. |
Erst der sogenannte Beweis verbindet die Hypothese
überhaupt mit den Primzahlen als
solchen. Und das zeigt sich daran,
daß – wie gesagt – bis dahin die
Hypothese als eine
rein physikalische aufgefaßt werden
kann. – Ist andererseits der Beweis geliefert, so
beweist er gar nicht, was vermutet worden war, denn in die
Unendlichkeit hinein kann ich nicht vermuten. Ich kann
nur vermuten, was bestätigt werden kann, aber
durch die Erfahrung kann nur eine
endliche Zahl von Vermutungen bestätigt werden, und
den Beweis kann man nicht vermuten, solange man ihn nicht hat, und
dann auch nicht. |
Der
Begriff “Primzahl” ist die allgemeine Form der
Untersuchung einer Zahl auf die betreffende Eigenschaft hin; der
Begriff
“teilbar” die allgemeine Form der Untersuchung
auf die Teilbarkeit u.s.f. |
Welcher Art war Scheffers Entdeckung, daß
p. ⌵ .q und
non-p
sich durch p ∣ q
ausdrücken lassen? – Man hatte keine Methode
nach p ∣ q zu suchen
und wenn man heute eine fände, so könnte
das keinen Unterschied machen.
Was war es, was wir vor der Entdeckung nicht wußten? Es war nichts, was wir nicht wußten, sondern etwas, was wir nicht kannten. Das sieht man sehr deutlich, wenn man sich den Einspruch erhoben denkt, p ∣ p sei gar nicht das, was non-p sagt. Die Antwort ist natürlich, daß es sich nur darum handelt, daß das System p ∣ q etc. die nötige Multiplizität hat. Scheffer hat also ein symbolisches System gefunden, das die nötige Multiplizität hat. Ist es ein Suchen, wenn ich das System Scheffers nicht kenne und sage, ich möchte ein System mit nur einer logischen Konstante konstruieren. Nein! Die Systeme sind ja gar nicht in einem Raum, so daß ich sagen könnte: Es gibt Systeme mit 3 und 2 logischen Konstanten und nun suche ich die Zahl der Konstanten in derselben || der selben Weise zu vermindern. Es gibt hier keine selbe Weise. |
Man könnte das auch so sagen: Der völlig
analysierte mathematische Satz ist sein eigener Beweis.
Oder auch so: der mathematische Satz ist nur die unmittelbar sichtbare Oberfläche des ganzen Beweiskörpers, den sie vorne begrenzt. Der mathematische Satz ist – im Gegensatz zu einem eigentlichen Satze – wesentlich das letzte Glied einer Demonstration, die ihn als richtig oder unrichtig sichtbar macht. |
Man kann sich eine Notation denken, in der jeder Satz als Resultat
gewisser Operationen –
Übergänge – auf der Basis
bestimmter “Axiome” dargestellt wird. (Etwa
analog der Darstellung einer chemischen
Verbindung durch den chemischen Namen “Trimethylamido …” etc.). |
Aus den Anweisungen, die Russell und Whitehead den Sätzen der Principia
Mathematica voraussetzen,
ließe sich durch einige Modifikationen eine
solche Notation herstellen. |
Der mathematische Satz verhält sich dann zu seinem Beweis wie
die eine oberste Fläche eines Körpers zu diesem
selbst. Man könnte vom Beweiskörper des Satzes
reden. Nur unter der Voraussetzung, daß ein Körper hinter der Fläche steht, hat der Satz für uns Bedeutung. Man sagt auch: Der mathematische Satz ist (nur) das letzte Glied einer Beweiskette. |
“a
+ (b + c) =
(a + b) + c” … A(c) kann als Grundregel
eines Systems aufgefaßt werden, als solche
kann man es nur vorschreiben, aber nicht behaupten, oder
verneinen (also kein Gesetz des ausgeschlossenen
Dritten). Nun kann ich den Satz aber scheinbar
auch als Resultat eines Beweises ansehen. Hat dieser Beweis
eine Frage beantwortet und welche? Hat er eine
Behauptung als wahr erwiesen und also ihr Gegenteil als
falsch? Da scheint es nun aber, daß ich den Satz, in dem Sinne, in dem er Grundregel eines Systems ist, gar nicht beweisen kann. Ich beweise vielmehr etwas über ihn. |
Das hängt mit der Frage zusammen,
ob man 2 = 2
verneinen kann, wie 2
× 35 = 70, und warum man eine Definition
nicht verneinen kann. |
Die Kinder lernen in der Schule wohl
2 × 2 =
4, aber nicht
2 =
2. |
Wenn
wir sehen wollen, was bewiesen worden ist, dürfen wir auf nichts
anderes schauen als den Beweis. |
Wir dürfen nicht die unendliche Möglichkeit der Anwendung
mit dem verwechseln, was wirklich bewiesen ist. Die
unendliche Möglichkeit der Anwendung ist nicht
bewiesen! |
Das was am
Beweis durch Rekursion auffällt, ist vor
allem, daß das nicht herauskommt, was
er zu beweisen vorgibt. |
Der Beweis zeigt, daß aus
der Form 1) “A(c)” mittels der Regel 2) “A(1)” die Form “A(c + 1)” folgt. Oder, was dasselbe
heißt, die Form
läßt sich mit
Hilfe der Regeln 1) und 2) in “(a + b) + (c + 1)” überführen. “a + (b) + (c + 1))” Das ist die ganze Wirklichkeit des Beweises. Alles andere und die ganze gewöhnliche Interpretation liegt in der Möglichkeit seiner Anwendung. Und der gewöhnliche Fehler, liegt darin, die Extension seiner Anwendung mit dem zu verwechseln, was er eigentlich enthält. |
Eine Definition kann ich natürlich nicht verneinen.
Sie hat daher auch keinen Sinn. Sie ist eine Regel
nach der ich vorgehen kann (oder vorzugehen habe). |
Die Grundregeln eines Systems kann ich nicht negieren
– außer als Folge ihrer
selbst. |
Das “c” im
Skolem'schen
Beweis hat im Beweis noch keine Bedeutung, es steht
für 1 oder was sich etwa aus dem Beweise noch ergeben mag, und
nach dem Beweis sind wir berechtigt es als irgendeine
Zahl aufzufassen. Aber etwas muß
es doch schon im Beweis geheißen
haben. Wenn 1, warum schrieben wir dann nicht “1” statt
“c”? Und wenn etwas anderes, was?
|
Nehmen wir nun an, ich will den
Satz auf 5, 6, 7, anwenden, so sagt mir der
Beweis, daß ich das bestimmt
darf. Wenn ich nämlich diese Ziffern in der
Form
((1 + 1)
+ 1) etc.
schreibe, so kann ich erkennen, daß der Satz
ein Glied jener Satzreihe ist, die mir der letzte Satz der
Skolem'schen
Beweiskette darstellt. Dieses Erkennen ist wieder nicht
beweisbar sondern intuitiv. |
“Every symbol is what it is and
not another symbol”. |
Kann es
keinen Beweis geben, der bloß
zeigt, daß jede Multiplikation im
Dezimalsystem nach den Regeln eine Zahl des Dezimalsystems
liefern muß?
(Sodaß also das Erkennen des
gleichen Systems doch auf der Erkenntnis der Wahrheit eines
mathematischen Satzes beruhen würde.) |
Er müßte analog sein
einem Beweis dafür, daß durch Addition
von Formen
(1 + 1) + 1)
etc. immer wieder Ziffern dieser Form
entstehen. Kann man das nun beweisen? Der
Beweis liegt offenbar in der Regel der Addition solcher
Ausdrücke, d.h. in der Definition und in
nichts anderem.
Man könnte ja auf die Frage, auf welche dieser Beweis die Antwort geben soll auch sagen: Ja was soll die Addition denn ergeben? |
Ein
rekurrierender Beweis ist nur eine allgemeine
Anweisung auf beliebige spezielle Beweise. Ein
Wegweiser der alle Sätze einer bestimmten Form auf einem
bestimmten Wege heimweist. Er sagt zum Satz
2 + (3 + 4)
=
(2 + 3) + 4:
“Geh in dieser
Richtung (durchlaufe diese Spirale) dann kommst du nach
Hause.” |
Inwiefern kann man nun
so eine Anweisung auf Beweise, den Beweis eines allgemeinen
Satzes nennen? (Ist das nicht, als wollte man fragen
“inwiefern kann man einen
Wegweiser einen Weg nennen”?)
Aber er rechtfertigt doch die Anwendung von A(c) auf Zahlen. Muß es also nicht doch einen legitimen Übergang von dem Beweisschema zu diesem Ausdruck geben? |
Ich kenne einen Beweis mit
endloser Möglichkeit, der z.B. mit
“A(1)” anfängt und weiterläuft über “A(2)” etc. etc. Der
“rekurrierende
Beweis” ist die allgemeine Form des
Fortschreitens in dieser Reihe. Aber er
muß doch selbst etwas beweisen, denn er
erspart mir tatsächlich den Beweis eines jeden Satzes von der
Form “A(7)”. Aber wie konnte er diesen Satz
beweisen? Er weist offenbar jener Reihe von Beweisen
entlang.
Das ist ein Stück der Spirale aus der Mitte heraus. x hält den Platz offen für das, was erst bei der Entwicklung entsteht. |
Wenn ich diese
Reihe ansehe, kann mir auffallen, daß sie mit
der Definition A(1) verwandt ist;
daß, wenn ich für “c”
“1”
und für “d”
“1”
setze, die beiden Systeme gleich werden. |
Im Beweis ist jedenfalls das zu Beweisende nicht das
Ende der Gleichungskette. |
Der Beweis zeigt die Spiralform
des Gesetzes.
Aber nicht so, daß sie als Resultat der Schlußkette herauskommt. |
Wir können uns den Beweis ganz gut auch populär mit 1 ausgeführt denken und etwa Pünktchen darnach um anzudeuten, worauf wir sehen sollen. Er wäre nicht wesentlich weniger streng (hier wird nämlich die Andersartigkeit des Beweises noch deutlicher). Denken wir uns ihn so. Wie rechtfertigt er dann den Satz A(c)? |
Wenn man den Beweis ansieht als
einen von der Art der Ableitung von (x + y)²
= x² + 2xy
+ y², so beweist er den
Satz “A(c + I)” (unter der Annahme von “A(c)”, also des Satzes, den ich eigentlich beweisen
wollte). Und rechtfertigt – unter
dieser Voraussetzung –
Spezialfälle, wie
3 + (5 + (4 + 1))
=
(3 + 5) + (4 + 1).
Er hat auch eine Allgemeinheit, aber nicht die
gewünschte. Diese Allgemeinheit liegt vielmehr
nicht in den Buchstaben, sondern ebensogut in bestimmten Zahlen und
besteht darin, daß man den Beweis
wiederholen kann. |
Wie kann ich
aber durch das Zeichen “F(a)” das anzeigen, was ich im
Übergang von
F(1) auf
F(2) sehe? (Nämlich
die Möglichkeit der Wiederholung.) |
Daß
a + (b + 1)
=
(a + b) + 1
ein Spezialfall von a + (b + c)
=
(a + b) + c
ist, kann ich auch nicht beweisen, sondern
muß es sehen. (Auch keine Regel
kann mir da helfen, denn ich muß doch
wieder wissen, welches ein Spezialfall der allgemeinen Regel
ist.) |
Das ist die unüberbrückbare
Kluft zwischen Regel und Anwendung, oder Gesetz und
Spezialfall. |
A(c) ist eine Definition,
eine Regel für das
algebraische Rechnen. Sie ist so
gewählt, daß dieses
Rechnen mit dem Zahlenrechnen übereinstimmt. Sie
erlaubt den selben Übergang im
algebraischen Rechnen der, wie sich im rekursiven Beweis zeigt,
für Kardinalzahlen gilt.
A(c) ist also nicht das
Resultat dieses Beweises, sondern läuft mit ihm quasi
parallel. Das was wir aus jenem Beweis entnehmen, kann man überhaupt nicht in einem Satz darstellen und ebendadurch allerdings auch nicht verneinen. |
Wie ist es aber mit einer Definition, wie
A(1). Dies ist nicht als
Regel zum algebraischen Rechnen gemeint, sondern als
Hilfsmittel zur Erklärung von arithmetischen
Ausdrücken. Sie stellt eine
Operation dar, die ich auf jedes beliebige
Zahlenpaar anwenden kann. |
Der richtige Ausdruck
des assoziativen Gesetzes ist kein Satz, sondern
gerade sein “Beweis”, der
allerdings das Gesetz nicht behauptet sondern zeigt. Und
hier wird es klar, daß man dieses Gesetz
nun nicht verneinen kann, weil es gar nicht in Form
eines Satzes auftritt.
Die einzelnen Gleichungen des Beweises könnte man freilich
verneinen, aber dadurch wäre das Gesetz nicht verneint.
Dieses entgeht der Bejahung und
Verneinung. |
Wissen,
daß man etwas beweisen kann, ist, es bewiesen
haben. |
7 + (8 + 9)
=
(7 + 8) + 9
Wie weiß ich, daß
das so ist ohne es besonders bewiesen zu haben? Und
weiß ich es
ebensogut, als hätte ich es vollständig
abgeleitet? Ja! – Dann ist es
also wirklich bewiesen. Und zwar kann es dann nicht noch
besser bewiesen werden; etwa dadurch,
daß ich die Ableitung bis zu diesem Satz
selbst führe. Ich muß also
nach Durchlaufung einer Spiralwindung sagen können “halt! ich brauche nicht mehr, ich sehe
schon, wie es weitergeht” und alles
höhere Steigen müßte dann
einfach überflüssig sein und nicht doch die Sache deutlicher
machen. Wenn ich alle Windungen der Spirale bis zu
meinem Punkt zeichne, so kann ich also nicht besser sehen,
daß sie zu ihm führt, als wenn ich nur
eine Windung zeichne. Ist das aber
so? Ich glaube, ja. Nur zeigen beide
dasselbe in verschiedener Form. Ich kann sozusagen der
vollständig gezeichneten Spirale stupid folgen und
komme zu meinem Punkt, während ich
die eine gezeichnete Windung auf bestimmte Weise
interpretieren muß, um aus ihr zu
entnehmen, daß sie verlängert zum Punkte
A führt.
D.h.: Aus dem vollständig durchgerechneten Beweis für 6 + (7 + 8) = (6 + 7) + 8 kann ich dasselbe entnehmen, wie aus dem, der nur eine “Windung” beschreibt, nur auf andere Weise. Und jedenfalls ist die eine Windung zusammen mit den Zahlformen der gegebenen Gleichung ein vollständiger Beweis dieser Gleichung. Es ist, wie wenn ich sage: “Du willst zum Punkt A kommen? Ja, den kannst du mit dieser Spirale erreichen.” |
Wenn man den Menschen lehrt,
einen Schritt zu machen, so gibt man ihm damit die Möglichkeit
irgend eine Strecke zu gehen. |
Was das unmittelbare Datum zu einem Satz der
gewöhnlichen Sprache ist, den es verifiziert, das ist die
gesehene arithmetische Beziehung der Struktur zu der Gleichung, die
sie verifiziert. Es ist das Eigentliche, kein Ausdruck eines Andern, der sich auch durch einen andern Ausdruck ersetzen läßt. D.h., nicht ein Symptom von etwas Anderem, sondern die Sache selbst. Denn so (nämlich falsch) wird es gewöhnlich aufgefaßt. Man sagt, die Induktion ist ein Zeichen, daß das und das für alle Zahlen gilt. Aber die Induktion ist kein Zeichen für irgend etwas Anderes als sich selbst. Gäbe es außer der Induktion noch etwas, wofür sie nur ein Zeichen ist, so müßte dieses Etwas seinen spezifischen Ausdruck haben, der nichts anderes wäre, als der vollständige Ausdruck dieses Etwas. |
Und diese
Auffassung geht dann weiter dahin, daß die
algebraische Gleichung das erzählt, was wir in der
arithmetischen Induktion sehen. Dazu
müßte sie die selbe Mannigfaltigkeit
haben, wie das, was sie beschreibt. |
Wie ein Satz
verifiziert wird, das sagt er. Vergleiche die Allgemeinheit
der eigentlichen Sätze mit der Allgemeinheit in der
Arithmetik. Sie wird anders verifiziert und ist darum
eine andere. |
Die Verifikation ist nicht ein
Anzeichen der Wahrheit, sondern der Sinn des
Satzes. (Einstein: Wie eine
Größe gemessen wird, das ist
sie.) |
Eigentlich hat ja
schon Russell durch seine
Theorie der Deskriptionen gezeigt,
daß man sich nicht eine Kenntnis der Dinge
von hinten herum erschleichen kann und daß
es nur scheinen kann, als
wüßten wir von den Dingen
mehr, als sie uns auf geradem Weg geoffenbart haben.
Aber er hat durch das Wort “indirect knowledge” wieder alles verhüllt. |
Das algebraische Schema erhält seinen Sinn durch
die Art seiner Anwendung. Diese
muß also immer hinter ihm stehen.
Daher aber der Induktionsbeweis, denn der rechtfertigt die
Anwendung. |
Der algebraische Satz ist so gut eine Gleichung, wie
2 × 2 =
4, er || sie wird nur anders
angewendet. Ihre Beziehung zur Arithmetik ist
anders. Sie handelt von der Ersetzbarkeit anderer
Redeteile. |
D.h. die algebraische Gleichung, also die
Gleichung zwischen reellen Zahlen, ist wohl eine
arithmetische Gleichung, denn es steht
etwas Arithmetisches hinter ihr. Es steht nur anders
hinter ihr, als hinter
1
+ 1 = 2. |
Die Induktion beweist den algebraischen Satz nicht;
weil nur eine Gleichung eine Gleichung beweisen kann.
Aber sie rechtfertigt die Bildung || Aufstellung der
algebraischen Gleichungen vom Standpunkte der Anwendung auf die
Arithmetik. |
D.h. sie erhalten durch die Induktion erst
ihren Sinn, nicht ihre Wahrheit. |
Daher ist das, was
nicht mehr auf andere Gleichungen zurückführbar ist und nur
durch die Induktion zu rechtfertigen, eine
Festsetzung. Was damit zusammenhängt, daß ich mich bei der Anwendung dieses algebraischen Satzes nicht auf ihn, sondern doch nur wieder auf die Induktion berufen kann. Daher lassen sich diese letzten Gleichungen nicht verneinen. D.h. ihrer Verneinung entspricht kein arithmetischer Inhalt. Durch sie wird das algebraische System erst auf Zahlen anwendbar. Sie sind daher wohl in einem bestimmten Sinne der Ausdruck von etwas Arithmetischem, aber quasi der Ausdruck einer arithmetischen Existenz. |
Sie machen
die Algebra erst zu einem Kleid für die Arithmetik. – Und sind daher insofern willkürlich, als uns ja
niemand zwingt, die Algebra dazu zu machen. Sie
passen die Algebra der Arithmetik an.
Und wenn sie das Kleid anhat, dann kann sie sich mit ihm bewegen. |
Sie sind nicht der
Ausdruck von etwas Ausrechenbarem und insofern Festsetzungen.
|
Kann der, der diese Festsetzungen sieht, durch sie
etwas in der Arithmetik lernen? Und was? – Kann ich einen arithmetischen Sachverhalt lernen, und
welchen?
Die Festsetzung ist mehr wie ein Name, als, wie ein Satz. |
Beweisen kann man nur den Satz, nach dessen Wahrheit
man fragen kann. “Ist es so oder
anders?” “Ich werde dir beweisen,
daß es so
ist.” |
Die
Induktion verhält sich zum algebraischen Satz nicht wie der
Beweis zum Bewiesenen, sondern wie das Bezeichnete zum
Zeichen. |
Das System von algebraischen Sätzen entspricht
einem System von Induktionen. |
Der Induktionsbeweis wäre, wenn er ein
Beweis wäre, ein Beweis der Allgemeinheit, nicht ein Beweis
einer gewissen Eigenschaft aller Zahlen. |
Fragen kann man nur von einem Standpunkt, von dem aus noch eine
Frage möglich ist. Von wo aus ein
Zweifel möglich ist.
Wollte man nach A(c) fragen, so würde uns die Induktion eigentlich nicht darauf antworten, sondern das beschämende Gefühl, daß wir ja nur durch die Induktion auf den Gedanken dieser Gleichung kommen können. |
Wenn wir fragen “ist
A(c)?” was können wir meinen? Rein algebraisch
aufgefaßt,
heißt die Frage nichts, denn die Antwort
wäre “wie du willst, wie du es
bestimmst”. “Gilt das für alle Zahlen” kann die Frage auch nicht
heißen, sie kann darnach fragen, was die
Induktion sagt, die sagt uns aber gar nichts. |
Man kann
nicht nach dem Ersten fragen, was jede Frage überhaupt erst
möglich macht. Nicht nach dem, was das System erst gründet. Daß so etwas vorhanden sein muß, ist klar. Und es ist auch einleuchtend, daß sich dieses Erste in der Algebra als Rechnungsregel darstellen muß mit deren Hilfe man dann die andern Sätze prüft. |
Der
algebraische Satz gewinnt immer nur arithmetische Bedeutung, wenn wir
statt der Buchstaben Ziffern in ihn einsetzen und dann immer nur
spezielle arithmetische Bedeutung.
Seine Allgemeinheit liegt nicht in ihm selbst, sondern in der Möglichkeit seiner richtigen Anwendung. Und für die muß er immer wieder auf die Induktion verweisen. D.h., er sagt seine Allgemeinheit nicht, er spricht sie nicht aus, sondern sie zeigt sich in der formellen Beziehung zu der Substitution, die sich als Glied der Induktionsreihe erweist. |
(Е
24x).Fx & (Е
18x).Gx &
Ind: ⊃ : (Е
24 + 18x).Fx. ⌵ .Gx
Wie weiß ich, daß
das so ist, wenn ich nicht den Begriff der Addition in Verbindung
mit dieser Anwendung eingeführt habe? Ich
kann zu diesem Satz nur durch Induktion kommen.
D.h. dem allgemeinen Satz – vielmehr,
der Tautologie – (Еnx).Fx &
(Еmx).Gx & Ind
: ⊃ : (Е
n + m
x).Fx. ⌵ .Gx entspricht
eine Induktion und diese Induktion ist der Beweis des oberen Satzes
“(Е
24x). etc.” noch ehe wir
24 + 18
wirklich ausgerechnet, und versucht haben, ob das eine
Tautologie ist. |
Den Goldbach'schen Satz glauben,
hieße, einen Beweis für ihn zu haben
glauben, denn ihn quasi in extenso glauben kann man
nicht, weil das nichts heißt, und eine
Induktion der er entspricht, kann man sich nicht vorstellen, bis man
sie hat. |
Wenn der Beweis,
daß jede Gleichung eine Wurzel hat ein
rekursiver Beweis ist, so
heißt das, daß der
Hauptsatz der Algebra kein eigentlicher mathematischer
Satz ist. |
Wenn ich
wissen will, was “1 : 3 =
0,3̇
”
heißt, so ist es eine relevante Frage:
“Wie kann ich das
wissen?” Denn auf dieses
“wie”
kommt der Beweis zur Antwort, und mehr als dieser zeigt,
weiß ich ja nicht. |
Es ist klar, daß jede Multiplikation im
Dezimalsystem eine Lösung hat und daß
man also jede arithmetische Gleichung von der Form
a × b
= c beweisen, oder ihr Gegenteil beweisen
kann. Wie sieht nun ein Beweis dieser Beweisbarkeit
aus? Er ist offenbar weiter nichts, als eine
Klärung des Symbolismus und das Aufzeigen einer Induktion, die
erkennen läßt, welcher Art die
Sätze sind, zu denen die Leiter führt. |
Die Allgemeinheit
der allgemeinen arithmetischen Sätze kann ich nicht
verneinen. |
Ist es nicht sie allein, die ich im algebraischen
Satz nicht wiederspiegeln kann? |
Eine Gleichung
läßt sich nur beweisen, indem man sie
auf Gleichungen zurückführt.
Die letzten Gleichungen in diesem Prozeß sind Definitionen. Ist eine Gleichung nicht auf andere Gleichungen zurückführbar, so ist sie eine Definition. Eine Induktion kann eine Gleichung nicht rechtfertigen. Daher kann sich z.B. die Einführung der Notation 3̇ nicht auf die Induktion beziehen, deren Zeichen sie zu sein scheint. Es muß ähnlich sein, wie das Verhältnis von “A(c)” zu seinem Induktionsbeweis. Oder vielmehr, er bezieht sich wohl auf die bloßen Tatsachen der Induktion aber nicht auf die Allgemeinheit, die ihr eigentlicher Sinn ist. |
Die Theorie der Aggregate sucht das Unendliche auf
eine allgemeinere Art zu fassen als die Theorie der
Vorschriften. Sie sagt, daß das
wirklich Unendliche mit dem arithmetischen Symbolismus
überhaupt nicht zu fassen ist und daß es
also nur beschrieben und nicht dargestellt werden kann.
Die Beschreibung würde es etwa so erfassen,
wie man eine Menge Dinge, die man nicht alle in den
Händen halten kann, in einer Kiste
verpackt trägt. Sie sind dann unsichtbar und doch
wissen wir, daß wir sie tragen
(sozusagen indirekt). Die Theorie der Aggregate kauft
gleichsam die Katze im Sack. Soll sich's das
Unendliche in ihrer || dieser Kiste
einrichten wie es will. |
Darauf beruht
auch die Idee, daß man logische Formen mit
der Sprache beschreiben kann. In so einer Beschreibung
werden die Strukturen und etwa zuordnende Relationen
etc. in verpacktem Zustand präsentiert und so
sieht es allerdings aus, als könne man von
einer Struktur reden, ohne sie in dem Satz selber
wiederzugeben. Derart verpackte, also ihrer
Struktur nach unkenntliche Begriffe dürfen wir
allerdings verwenden, aber sie haben ihre Bedeutung immer
über Definitionen die eben die Begriffe solchermaßen
einpacken; und gehen wir nun rückwärts durch diese
Definitionen, so werden die Begriffe wieder ausgepackt und sind so
in ihrer Struktur vorhanden. |
So macht es Russell mit
R*, er wickelt den Begriff
ein so daß seine Form
verschwindet. |
Der Sinn dieser Methode ist, alles
amorph zu machen und so zu
behandeln. |
Wenn in der Logik eine Frage 1.) allgemein und
2.) im besondern beantwortet werden kann, dann
muß sich die besondere Beantwortung immer als
ein Sonderfall der allgemeinen ausweisen; oder anders:
Der allgemeine Fall muß immer schon den
besonderen als Möglichkeit in sich tragen.
Ein Fall hievon ist die Berechnung des Limes mit δ und ν, die das Zahlensystem der besonderen Ausrechnung in sich tragen muß. Die allgemeine und die besondere Form müssen auf bestimmte Weise ineinander übersetzbar sein. |
Alle Beweise
der Stetigkeit einer Funktion müssen sich auf
eine Leiter – ein Zahlensystem –
beziehen. |
Denn wenn
ich sage “für jedes
ν
gibt es ein δ,
das
die Funktion kleiner macht als ν” so muß ich
mich auf ein allgemeines arithmetisches
Kriterium beziehen, das anzeigt,
wann φ(δ)
kleiner ist als ν.
|
Es ist unmöglich,
daß, was bei der Ausrechnung der Funktion
wesentlich zu Tage tritt, nämlich die Zahlenleiter, in der
allgemeinen Betrachtung verschwinden dürfte. |
Wenn das Zahlensystem
zum Wesen der Zahl gehört, dann kann es die allgemeine
Betrachtung nicht ausschalten. |
Und wenn also die
Notation des Zahlensystems das Wesen der Zahl spiegelt, so
muß dieses Wesentliche auch in die
allgemeine Notation eingehen. Damit erhält die
allgemeine Notation die Struktur der Zahlen. |
Wenn ich wesentlich
keine Zahl hinschreiben kann ohne ein Zahlensystem, so
muß sich das (auch) in der
allgemeinen Behandlung der Zahl wiederzeigen. |
Das Zahlensystem ist
nicht etwas Minderwertiges – wie eine russische
Rechenmaschine – das nur für Volksschüler
Interesse hat, während die höhere, allgemeine
Betrachtung davon absehen kann. |
Der Widerspruch des Kretischen Lügners könnte
auch so hervorgerufen werden, daß man den
Satz hinschreibt: “Dieser
Satz ist falsch”. – Das
hinweisende Fürwort spielt hier die Rolle des “ich” in “ich lüge”. Der fundamentale Fehler liegt, wie in der
früheren Philosophie der Logik darin,
daß man annimmt, ein Wort könne auf
seinen Gegenstand gleichsam anspielen (aus der Entfernung auf
ihn hindeuten) ohne ihn vertreten zu
müssen. |
Die Frage wäre dann eigentlich:
Läßt sich das Kontinuum
beschreiben? Wie es Cantor und andere versucht haben. |
Eine Form kann nicht beschrieben sondern nur dargestellt
werden. |
Es ist auch die Dedekind'sche Definition einer unendlichen Menge
eine solche, die das Unendliche beschreiben will,
ohne es darzustellen.
Es wäre so, wie wenn man eine Krankheit durch ihre äußern Symptome beschreibt von denen man weiß, daß sie immer mit der Krankheit zusammen auftreten. Nur gibt es eben in diesem Fall eine Verbindung, die nicht formaler Natur ist. |
“Der höchste Punkt einer
Kurve” bedeutet nicht “der höchste Punkt unter allen Punkten
der Kurve” – die sehen wir ja
nicht, sondern es ist ein bestimmter Punkt, den die Kurve
erzeugt. Ebenso ist das Maximum einer Funktion nicht der
größte Wert unter allen Werten
(das ist Unsinn, außer im Fall endlich
vieler, diskreter Punkte)
sondern ein, durch ein Gesetz und eine Bedingung erzeugter Punkt; der
allerdings höher liegt als jeder andere beliebig
mögliche || herausgegriffene Punkt
(Möglichkeit, nicht
Wirklichkeit). Ebenso ist der Schnittpunkt
zweier Linien nicht das gemeinsame Glied zweier Klassen von
Punkten, sondern der Durchschnitt zweier Gesetze. Wie es
auch in der analytischen Geometrie klar zu Tage liegt. |
Das Maximum einer Funktion ist einer intentionalen
Erklärung fähig.
Der höchste Punkt einer Kurve ist zwar höher als ein
beliebig herausgegriffener anderer Punkt, aber ich finde ihn nicht
dadurch, daß ich die Punkt der Kurve
einzeln durchgehe und sehe, ob einer noch höher ist.
|
Hier ist es wieder die Grammatik,
die wie immer im Bereich des Unendlichen uns einen Streich
spielt. Wir sagen “der höchste Punkt der Kurve”. Das kann aber nicht heißen “der höchste Punkt unter allen Punkten der Kurve” in dem Sinn, in dem man vom größten dieser drei Äpfel redet, denn wir haben ja nicht alle Punkte der Kurve vor uns, ja dieser Ausdruck ist unsinnig. Es ist derselbe Fehler unserer Syntax, der die Sätze || den Satz “der Apfel läßt sich in zwei Teile teilen” als die gleiche Form darstellt, wie “eine Strecke ist unbegrenzt teilbar”, so daß man scheinbar in beiden Fällen sagen kann “nehmen wir an die mögliche Teilung sei ausgeführt”. In Wahrheit haben aber die Ausdrücke “in zwei Teile teilbar” und “unbegrenzt teilbar” ganz verschiedene Formen. Es ist das natürlich derselbe Fall, wie der, daß man mit dem Worte “unendlich” wie mit einem Zahlwort operiert; weil beide in der Umgangssprache auf die Frage “wieviel” zur Antwort kommen. |
Die Kurve ist
da, unabhängig von einzelnen ihrer Punkte. Das
drückt sich auch dadurch aus,
daß ich den höchsten Punkt
konstruieren kann. D.h.
ihn aus einem Gesetz erhalte und nicht durch Untersuchung einzelner
Punkte. |
Es heißt
nicht “unter allen Punkten gibt es nur einen
worin sie die Gerade schneidet”, sondern es ist nur von
einem Punkt die Rede.
Sozusagen von einem, der die Gerade entlang läuft, aber nicht von einem unter allen Punkten der Geraden. Die Gerade besteht nicht aus Punkten. |
Wie ist es dann aber mit einer richtigen –
nicht amorphen – Erklärung des
R*?
Hier brauche ich doch “(n)
…”. In
diesem Falle scheint dieser Ausdruck erlaubt zu sein.
Ist er es also nur dort nicht, wo wir es nicht mit eigentlichen
Sätzen sondern mit Gleichungen zu tun haben?
Es sagt ja aber “(∃x).Fx” auch “es gibt eine Anzahl von x die Fx genügen” und doch darf der Ausdruck “(∃x).Fx” nicht die Gesamtheit der Zahlen voraussetzen. |
Auch
Ramsey's Erklärung der Unendlichkeit ist aus eben diesem
Grunde unsinnig, denn “(n):(∃nx).Fx” würde die tatsächliche Unendlichkeit als
gegeben voraussetzen und nicht bloß die
unbegrenzte Möglichkeit des Fortschreitens. |
Aber ist es undenkbar, daß
ich weiß, daß jemand
mein Ahne ist, aber gar keinen Begriff davon habe, der wievielte,
sodaß die Zahl der Zwischenglieder
unbeschränkt wäre? |
Wie lautet aber der Satz “F wird von ebensovielen
Gegenständen befriedigt wie
ψ”?
Man würde meinen: “(∃n):(Е
nx).Fx.(Е
nx) ψx”.
|
Brouwer hat Recht,
wenn er sagt, daß die Eigenschaften seiner
Pendelzahl sich nicht mit
dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten vertragen. Nur ist
damit keine Besonderheit der Sätze von den unendlichen
Aggregaten aufgedeckt. Dem liegt vielmehr zugrunde,
daß die Logik zur Voraussetzung hat,
daß es nicht a priori – also
logisch – unmöglich sein darf, zu erkennen, ob ein Satz
wahr oder falsch ist. Ist nämlich die Frage nach der
Wahr- oder Falschheit eines Satzes a
priori unentscheidbar, dann verliert der Satz dadurch
seinen Sinn und eben dadurch verlieren für ihn die Sätze
der Logik ihre Geltung. |
Wie
überhaupt die ganze Betrachtungsweise,
daß ein Satz, weil er für ein Gebiet
in der Mathematik gilt nicht notwendig auch für ein anderes
gelten müsse, in der Mathematik gar nicht am Platz, ihrem
Wesen ganz entgegen ist. Obwohl die Autoren gerade
das für besonders subtil halten und entgegen den
Vorurteilen. |
Die
Mathematik ist ganz durch die
perniziöse
mengentheoretische Ausdrucksweise verseucht.
Ein Beispiel dafür ist es,
daß man sagt, die Gerade
bestehe aus Punkten. Die Gerade ist ein Gesetz und
besteht aus gar nichts. Die Gerade als farbiger Strich
im visuellen Raum kann aus kürzeren farbigen Strichen bestehen
(aber natürlich nicht aus Punkten). Und dann
wundert man sich z.B. darüber,
daß “zwischen den überall
dicht liegenden rationalen
Punkten” noch die irrationalen Platz
haben! Was zeigt eine Konstruktion, wie die des
Punktes √2?
Zeigt sie diesen Punkt, wie er doch noch zwischen allen
rationalen Punkten Platz hat? Sie zeigt einfach,
daß der durch die Konstruktion
erzeugte Punkt nicht rational ist.
Und was entspricht dieser Konstruktion und diesem Punkt in der Arithmetik? Etwa eine Zahl, die sich doch noch zwischen die rationalen Zahlen hineinzwängt? Ein Gesetz, das nicht vom Wesen der rationalen Zahl ist. |
Die Erklärung des
Dedekind'schen Schnittes tut so, als wäre sie
anschaulich, wenn nämlich gesagt wird: Es gibt nur
3 Fälle: entweder hat R ein letztes Glied, und
L kein erstes oder etc.. In
Wahrheit läßt sich keiner dieser
Fälle denken (oder vorstellen). |
Die Mengenlehre ist darum falsch, weil sie scheinbar
einen Symbolismus voraussetzt, den es nicht gibt, statt dessen
den es gibt (der allein möglich ist). Sie
baut auf einem fiktiven Symbolismus auf, also auf
Unsinn. |
Es gibt keine logische
Hypothese. |
Wenn man sagt “die Menge
aller transzendenten Zahlen ist größer
als die
der algebraischen”, so ist das ein Unsinn, sie
ist von anderer Natur. Sie ist nicht “nicht
mehr” abzählbar, sondern einfach nicht
abzählbar! |
Die Verteilung der Primzahlen wäre dann einmal etwas in der
Logik, was ein Gott wissen könnte und wir nicht.
D.h. es gäbe etwas in der Logik, was wir
nicht wissen könnten, was aber gewußt
werden kann. |
Daß es einen
Prozeß der Lösung gibt, kann man nicht
behaupten. Denn gäbe es den nicht, so wäre die
Gleichung als allgemeiner Satz unsinnig.
Man kann alles behaupten, was sich durch die Tat kontrollieren läßt. |
Es handelt sich um die Möglichkeit der
Kontrolle. |
Wenn man sagt (wie Brouwer) daß es im Falle
(x).Fx = Gx
außer dem Ja und Nein noch den
Fall der Unentscheidbarkeit gibt, so heißt
das, daß “(x) …” extensiv gemeint ist und man von dem Falle reden kann,
wenn alle x eine Eigenschaft
zufälligerweise besitzen. In Wahrheit aber
läßt sich von diesem Falle
überhaupt nicht reden und das “(x) …”
in der Arithmetik sich nicht extensiv auffassen. |
Man könnte sagen “der
mathematische Satz ist eine Anweisung auf eine
Einsicht”. Die
Annahme, daß ihm keine Einsicht entspricht,
würde ihn zu einem vollkommenen Unsinn machen.
Wir können eine Gleichung nicht verstehen, wenn wir die Verbindung ihrer beiden Seiten nicht einsehen. |
Die
Unentscheidbarkeit setzt voraus,
daß zwischen den beiden Seiten, sozusagen,
eine unterirdische Verbindung besteht; daß
die Brücke nicht in Symbolen geschlagen werden
kann. Aber dennoch besteht: Denn sonst
wäre die Gleichung sinnlos. Denn die Gleichung
deutet eine Brücke an, die zwischen den Symbolen
geschlagen werden kann. |
Eine Verbindung zwischen Symbolen, die besteht, sich aber nicht
durch symbolische Übergänge
darstellen läßt, ist ein Gedanke, der
sich nicht denken läßt. Ist
die Verbindung da, so muß sie sich
einsehen lassen. |
Denn sie
besteht wie die Verbindung von Teilen des
Gesichtsraumes. Sie ist keine kausale
Verkettung. Der Übergang ist
nicht durch eine dunkle Spekulation hergestellt von anderer Art als
das, was er verbindet. (Wie ein dunkler Gang zwischen
zwei lichten Orten). |
Wäre
freilich die Mathematik die Erfahrungswissenschaft von den unendlichen
Extensionen, die man nie ganz kennen kann, so wäre sehr
wohl eine prinzipiell unentscheidbare Frage denkbar.
|
Hat es einen
Sinn zu sagen: “Ich habe
so viele Schuhe als eine Wurzel der Gleichung
x³ + 2x ‒ 3 =
0 beträgt”?
Selbst dann, wenn die Lösung eine positive ganze Zahl
ergeben sollte?
Nach meiner Auffassung hätten wir hier nämlich eine Notation, der man nicht unmittelbar ansehen kann, ob sie unsinnig ist oder nicht. |
Wenn man den
Ausdruck “die Wurzel der Gleichung
Fx = 0” im
Russell'schen Sinne als eine Beschreibung ansieht, dann
müßte ein Satz, der von der von der
Wurzel der Gleichung x + 2 =
6 handelt, einen andern Sinn haben, als einer, der das
Gleiche von 4 aussagt. |
Ich kann
einen Satz nicht gebrauchen, ehe ich weiß ob
er Sinn hat, ob er ein Satz ist. Und das
weiß ich im obigen Falle einer
ungelösten Gleichung nicht, denn
ich weiß nicht,
ob den Wurzeln Kardinalzahlen in der
festgesetzten Weise entsprechen. Daß der Satz im
gegebenen Fall unsinnig und nicht falsch wird (auch
keine Kontradiktion) ist klar, denn
“ich habe n Schuhe und n² = 2”
heißt offenbar dasselbe wie “ich
habe √2
Schuhe”. |
Aber das kann ich doch –
oder es läßt sich doch –
feststellen, wenn man nur die Zeichen ansieht. Aber auf
gut Glück darf ich die Gleichung nicht in den Satz nehmen,
sondern nur, wenn ich weiß,
daß sie eine
Kardinalzahl bestimmt, denn dann ist sie
einfach eine andere Schreibweise für die
Kardinalzahl. Sonst aber ist es
eben so, wie wenn ich auf gut Glück Zeichen durcheinander
würfelte und es dem Zufall überlasse, ob sie einen
Sinn ergeben oder nicht. |
(x + y)²
=
x² + y² + 2xy.
Ist in demselben Sinne richtig wie
2 × 2 =
4. Und 2 + n = 1 (wo n eine Kardinalzahl ist) ebenso falsch, wie 2 + 3 = 1 und 2 + n ≠ 1 richtig, wie das obere. |
Was Einen an der bloß
internen Allgemeinheit zweifeln
macht ist die Tatsache, daß
sie durch das Vorkommen eines einzelnen Falles (also von etwas
Extensionalem) widerlegt werden kann.
Aber wie ist hier die Kollision zwischen dem allgemeinen und dem speziellen Satz? Der besondere Fall widerlegt den allgemeinen Satz von innen heraus, nicht auf externe Weise. Er wendet sich gegen den internen Beweis des Satzes und widerlegt ihn, nicht, wie die Existenz eines einäugigen Menschen, den Satz “alle Menschen haben zwei Augen” widerlegt. |
“(x).x² =
x + x” scheint falsch zu sein, weil die Untersuchung der
Gleichung ergibt, daß
x =
(
|
Wenn die Gleichung
x² + 2x + 2
= 0 nach den algebraischen Regeln
x =
‒ 1 ± √‒1 ergibt, so ist das ganz in
Ordnung, solange wir nicht wollen, daß die
Regeln für x im Einklang sind, mit den Regeln für
die reellen Zahlen. In diesem Falle bedeutet das
Ergebnis der algebraischen Ausrechnung, daß
die Gleichung keine Lösung hat. |
Meine Schwierigkeit ist
die: Wenn ich im Gebiet der reellen, rationalen,
oder ganzen Zahlen Gleichungen nach den Regeln löse, so komme
ich in gewissen Fällen auf scheinbaren Unsinn. Wenn
das nun eintritt: Soll ich sagen, es ist
damit bewiesen, daß die ursprüngliche
Gleichung unsinnig war? So daß
ich also erst nach beendeter Anwendung der Regeln sehen
könnte, ob sie unsinnig war oder Sinn hatte?!
Muß es nicht vielmehr so
heißen: Das Resultat
der scheinbar unsinnigen Gleichung zeigt doch etwas über die
allgemeine Form und bringt die verbotene Gleichung mit solchen
die eine normale Lösung haben sehr wohl in
Verbindung. Die Lösung zeigt doch immer die Distanz
der abnormalen zur normalen Lösung. Wenn
z.B. √‒1 herauskommt,
so weiß ich,
daß √‒1 ÷ 1
schon eine normale Wurzel wäre. Die Kontinuität,
die Verbindung mit der normalen Lösung, ist nicht
abgebrochen. Würde das bedeuten,
daß im Begriff
der reellen Zahlen, wie wir ihn durch unseren Symbolismus und seine
Regeln darstellen, der Begriff der imaginären
bereits präsupponiert ist?
Das käme etwa darauf hinaus von der Geraden g zu sagen, sie ist vom Schnitt mit dem Kreis um a entfernt, statt einfach zu sagen, sie schneidet ihn nicht. Man könnte sagen “sie schneidet ihn um einen gewissen Betrag nicht” und würde dadurch die Kontinuität mit dem normalen Schnitt darstellen. “Sie verfehlt ihn um einen bestimmten Betrag”. |
Der Unterschied zwischen den beiden Gleichungen
x² =
x ∙ x und x² = 2x ist
nicht einer der Extension ihrer Richtigkeit.
|
m
größer als
n kann ich allerdings
definieren (∃x).n + x
= m, aber ob nun x
= m ‒ n eine Zahl ergibt,
weiß ich nur, wenn ich die Subtraktionsregel
kenne und diese vertritt hier die Regel der Bestimmung von
größer und kleiner. Diese
Regel heißt, so formuliert:
m ist
größer als
n, wenn
m ‒ n nach der
Subtraktionsregel eine Zahl ergibt. |
Wie zeigt es sich,
daß der Raum keine Kollektion von Punkten,
sondern die Realisierung eines Gesetzes
ist.
|
Es scheint, als müßte man erst die
ganze Raumstruktur ohne Sätze aufbauen; und dann kann man in
ihr alle korrekten Sätze bilden. |
Man braucht – so kommt es mir vor – um den Raum
darzustellen gleichsam ein dehnbares Zeichen.
Vielleicht || Ein Zeichen, das eine Interpolation erlaubt, analog dem Dezimalsystem. Das Zeichen muß die Mannigfaltigkeit und Eigenschaften des Raumes haben. |
Die Axiome einer Geometrie dürfen keine Wahrheiten
enthalten. |
Man bekommt sicher die richtige Mannigfaltigkeit der Bezeichnungen,
wenn man sich der analytischen Geometrie bedient.
Daß ein Punkt in der Ebene durch ein Zahlenpaar, im dreidimensionalen Raum durch ein Zahlentrippel dargestellt wird, zeigt schon, daß der dargestellte Gegenstand gar nicht der Punkt, sondern das Punktgewebe ist. |
Die Geometrie des
Gesichtsraums ist die Syntax der Sätze, die von den
Gegenständen im Gesichtsraum handeln. |
Die Axiome – z.B. – der
euklidischen Geometrie sind
verkappte Regeln einer Syntax. Das wird
sehr klar, wenn man zusieht, was ihnen in der analytischen
Geometrie entspricht. |
Man könnte sich die
Konstruktionen der euklidischen
Geometrie tatsächlich ausgeführt denken, etwa indem
man als Gerade die Kanten und als Ebenen die Oberflächen von
Körpern benützt. Das Axiom –
z.B. – daß durch
je 2 Punkte sich eine Gerade ziehen
läßt, hat hier den klaren Sinn,
daß zwar nicht durch je 2 beliebige Punkte
eine Gerade gezogen ist, aber
daß es möglich ist eine zu
ziehen und d.h. nur,
daß der Satz “eine Gerade geht durch
diese Punkte” Sinn hat.
D.h. die
euklidische Geometrie ist die
Syntax der Aussagen über Gegenstände im
euklidischen Raum. Und
diese Gegenstände sind nicht Gerade, Ebenen und
Punkte, sondern Körper. |
Wie hängen die Gleichungen
der Analysis mit den Resultaten von Messungen im Raum
zusammen. Ich glaube so, daß sie
– die Gleichungen – bestimmen, was als genaue Messung,
was als Fehler gelten soll. |
¤ |
Man könnte beinahe von einer
externen und einer internen Geometrie reden. Das, was im
Gesichtsraum angeordnet ist, steht in dieser Art von Ordnung
a priori, d.h. seiner logischen
Natur nach und die Geometrie ist hier einfach
Grammatik. Was der Physiker in der Geometrie des
physikalischen Raumes in Beziehung zu einander setzt, sind
Instrumentablesungen, die ihrer internen Natur nach
nicht anders sind, ob wir in einem geraden oder sphärischen
physikalischen Raum leben. D.h.,
nicht eine Untersuchung der logischen Eigenschaften dieser
Ablesungen führt den Physiker zu einer Annahme über die
Art des physikalischen Raumes, sondern die abgelesenen
Tatsachen. |
Die Geometrie der Physik hat es in diesem Sinn nicht
mit der Möglichkeit, sondern mit den Tatsachen zu tun.
Sie wird von Tatsachen bestätigt; in dem Sinne nämlich,
in dem ein Teil einer Hypothese bestätigt
wird. |
Vergleich des Arbeitens an der Rechenmaschine
mit dem Messen geometrischer Gebilde. Machen wir bei
dieser Messung ein Experiment, oder verhält
es sich so, wie im Falle der Rechenmaschine,
daß wir nur interne Relationen feststellen
und das physikalische Resultat unserer Operationen nichts
beweist? |
Im Gesichtsraum gibt es natürlich kein
geometrisches Experiment. |
Ich glaube, daß hier der
Hauptpunkt des Mißverständnisses
über das a priori und a posteriori der
Geometrie liegt. |
Die Frage ist die, in welchem Sinne die Resultate von
Messungen uns etwas über dasjenige sagen
können, was wir auch sehen. |
Wie ist es mit dem Satz “die Winkelsumme im Dreieck ist 180
Grad”? Dem sieht man es
jedenfalls nicht an, daß er ein Satz der
Syntax ist. Der Satz “Gegenwinkel sind gleich” heißt, ich werde, wenn sie sich bei der Messung nicht als gleich erweisen, die Messung für falsch erklären und “die Winkelsumme im Dreieck ist 180 Grad” heißt, ich werde, wenn sie sich bei einer Messung nicht als 180 Grad erweist, einen Messungsfehler annehmen. Der Satz ist also ein Postulat über die Art und Weise der Beschreibung der Tatsachen. Also ein Satz der Syntax. |
¤
Es gibt offenbar eine
Methode, ein gerades Lineal anzufertigen. Diese Methode
schließt ein Ideal ein, ich meine, ein
Näherungsverfahren mit unbegrenzter
Möglichkeit, denn eben dieses Verfahren
ist das Ideal. Oder vielmehr: Nur, wenn es ein Näherungsverfahren mit unbegrenzter Möglichkeit ist, kann (nicht muß) die Geometrie dieses Verfahrens die euklidische sein. |
Die euklidische Geometrie setzt
keine Meßmethode der Winkel
und Strecken voraus, sie sagt ebensowenig in welchen Fällen
zwei Winkel als gleich zu gelten haben, wie die
Wahrscheinlichkeitsrechnung sagt, in welchen Fällen
zwei Wahrscheinlichkeiten gleich gelten sollen. Ist
dann eine bestimmte Meßmethode angenommen,
etwa eine mit eisernen Maßstäben, dann frägt es sich, ob
die Resultate der so ausgeführten Messungen
euklidische Resultate
liefern. |
Denken wir
uns, wir würfelten mit einem zweiseitigen Würfel, also
etwa mit einer Münze. Ich will nun durch
fortgesetztes Würfeln einen Punkt der Strecke A B
bestimmen, indem ich immer diejenige Halbierung vornehme, die der Wurf
vorschreibt; wenn etwa Kopf bedeutet, daß
ich das rechte, Adler, daß ich das linke
Stück halbieren soll.
|
Beschreibt
es nun die Lage eines Punktes der Strecke, wenn ich sage “es ist der, dem sich bei
endlosem Würfeln die Halbierung unbegrenzt
nähert”? |
So kann ich mich jedem Punkt einer
Strecke durch fortgesetzte Bisektion unbegrenzt nähern und
mit unendlich feinen Augen und Werkzeugen wäre
jeder Schritt der Bisektion bestimmt.
(Die unendliche Schärfe der Augen gibt keinen
Circulus
vitiosus). |
Könnte man nun eine auf diese
Weise bestimmte Ziffernfolge einen unendlichen Dezimalbruch
nennen? D.h., bestimmt dieses
geometrische Verfahren nun eine Zahl? |
Das
geometrische Verfahren enthält darum keinen
Circulus vitiosus, weil in
ihm nur die unendliche Möglichkeit vorausgesetzt wird,
keine
unendliche Wirklichkeit. (Linien und Punkte sind
durch die Grenzlinien von Farbflächen gegeben.)
|
In
wiefern kann man sagen,
daß ich dadurch die rationalen Zahlen
wirklich in zwei Klassen geteilt habe?
Tatsächlich kommt ja diese Teilung nie zu
Stande. Aber ich habe ein
Verfahren, mit dem ich mich dieser Teilung unbegrenzt
nähere? Ich habe ein unbegrenztes Verfahren,
dessen Resultate als solche mich nicht zum Ziele führen,
dessen grenzenlose Möglichkeit aber eben das Ziel ist.
Worin besteht aber diese Grenzenlosigkeit?
haben wir hier nicht wieder bloß eine
Operation und das ad infinitum?
Gewiß. Aber die Operation ist
keine arithmetische. (Und jenen Punkt der mir als Hilfsmittel meiner endlosen Konstruktion dient, kann ich arithmetisch gar nicht geben.) |
Hier
würden nun viele sagen:
Daß die Methode eine
geometrische war, macht nichts, es ist eben nur die
resultierende Extension, die unser Ziel ist.
Aber habe ich denn die? |
Was ist das Analoge zu dem geometrischen
Prozeß der Bisektion in der
Arithmetik? Es muß der
umgekehrte Vorgang sein, der, einen Punkt durch ein Gesetz zu
bestimmen. (Statt das Gesetz durch einen
Punkt).4 |
Und zwar entspräche es dem endlosen Vorgang
des Wählens zwischen 0 und 1 in
einem unendlichen Dualbruch
0˙
|
Das heißt aber nicht,
daß dadurch ein Gesetz gegeben
wäre, daß ich sage: “Wirf für jeden Fall Kopf oder
Adler”. Dadurch
müßte ich freilich einen Spezialfall
jenes allgemeinen Gesetzes erhalten,
wüßte aber von vornherein nicht,
welchen. Durch die Vorschrift zu würfeln ist
kein Gesetz der Folge beschrieben. |
Das, was am Vorgang des Würfelns arithmetisch ist, ist nicht
das tatsächliche Resultat, sondern die unendliche
Unentschiedenheit. Aber die bestimmt eben
keine Zahl. |
Wenn ich ein
Gesetz so andeute “0˙001001001 … ad
inf.”, so ist nicht
die endliche Reihe als Spezimen des
Stücks einer unendlichen, was ich zeigen will, sondern die
aus ihm entnehmbare Art der
Gesetzmäßigkeit. Aus
0˙
|
Die Kombinationsregeln von 0 und
1 ergeben die Gesamtheit aller endlicher
Brüche. Das wäre eine unendliche Extension, in
dieser müßte sich auch die
unendliche Extension der Brüche
0˙1,
0˙101,
0˙10101,
etc. ad inf. vorfinden und
überhaupt alle Irrationalzahlen. (﹖) |
Wie ist es, wenn man die verschiedenen Gesetze durch die Menge der
endlichen Kombinationen sozusagen
kontrolliert. Die Resultate eines Gesetzes durchlaufen die endlichen Kombinationen und die Gesetze sind daher, was ihre Extensionen anlangt, komplett, wenn alle endlichen Kombinationen durchlaufen werden. |
Man kann auch nicht sagen: Zwei Gesetze
sind dann identisch, wenn sie in jeder Stufe das gleiche Resultat
ergeben. Sondern sie sind identisch, wenn sie wesentlich
das gleiche Resultat ergeben, d.h. wenn sie
identisch sind. |
Wenn eine
amorphe Theorie der unendlichen Aggregate
möglich ist, so muß sie nur das Amorphe an diesen Aggregaten beschreiben und
darstellen. Sie müßte dann wirklich die Gesetze als bloße unwesentliche Mittel der Darstellung eines Aggregats auffassen. Und von diesem Unwesentlichen abstrahieren und nur auf das Wesentliche schauen. Aber worauf? Ist es möglich im Gesetz vom Gesetz zu abstrahieren und die Extension als Wesentliches dargestellt zu sehen? |
Soviel ist
allerdings klar, daß es nicht die
Dualität: Gesetz und unendliche Reihe die ihm folgt,
gibt; d.h. nicht etwas in der Logik
wie Beschreibung und Wirklichkeit. |
Angenommen, ich schneide dort, wo keine rationale Zahl ist.
Dann muß es doch
Näherungswerte zu diesem Schnitt geben. Aber was
heißt hier “näher”? Näher wem?
Vorläufig habe ich ja im Gebiete der Zahl nichts, dem ich mich
nähern kann. Wohl aber auf der
geometrischen Strecke. Hier ist es klar,
daß ich jedem nichtrationalen Schnitt
beliebig nahe kommen kann. – Und es ist auch klar,
daß dieser Prozeß
kein Ende nimmt und ich durch die räumliche Tatsache
unzweideutig weitergeführt werde. |
Wieder ist es nur die unendliche Möglichkeit,
aber jetzt ist das Gesetz auf andere Weise gegeben.
|
Kann ich aber zweifelhaft sein, ob alle Punkte einer Strecke
wirklich durch arithmetische Vorschriften dargestellt werden
können? Kann ich denn je einen Punkt finden,
für den ich zeigen kann, daß das nicht
der Fall ist? Ist er durch eine Konstruktion gegeben,
dann kann ich diese in eine arithmetische Vorschrift
übersetzen und ist er durch Zufall gegeben, dann gibt es,
soweit ich auch die Annäherung fortsetze, immer einen
arithmetisch bestimmten Dezimalbruch, der sie begleitet.
Es ist klar, daß ein Punkt einer Vorschrift entspricht. |
Wie
verhält es sich mit den Typen der Vorschriften und hat es einen
Sinn von allen Vorschriften, also von allen Punkten zu
reden? In irgend einem Sinne kann es nicht irrationale Zahlen verschiedener Typen geben. Dabei ist mein Gefühl folgendes: Wie immer die Vorschrift lauten mag, stets bekomme ich doch weiter nichts als eine endlose Reihe rationaler Zahlen. Man kann auch so sagen: Wie immer die Vorschrift lautet, wenn ich sie in die geometrische Notation übertrage, ist alles von der gleichen Type. |
Beim Approximieren
durch fortgesetzte Zweiteilung nähert man sich
jedem Punkt durch rationale
Zahlen. Es gibt keinen Punkt, dem man sich nur mit
irrationalen Zahlen einer bestimmten Type nähern
könnte. |
Es ist schon möglich,
daß ich bei der Bestimmung eines Maximums auf
eine neue Vorschrift stoße, aber diese hat
nichts Wesentliches mit der Bestimmung des
Maximums zu tun; sie bezieht sich nicht
ausdrücklich auf eine Gesamtheit von reellen
Zahlen. |
Die Frage wäre: Welches
Kriterium gibt es dafür,
daß die irrationalen Zahlen
komplett sind? |
Sehen wir uns eine
irrationale Zahl an: Sie läuft entlang einer
Reihe rationaler Näherungswerte. Wann
verläßt sie diese Reihe?
Niemals. Aber sie kommt allerdings auch
niemals zu einem Ende. Angenommen wir hätten die Gesamtheit aller irrationalen Zahlen mit Ausnahme einer einzigen. Wie würde uns diese eine abgehen? Und wie würde sie nun – wenn sie dazu käme – die Lücke füllen? – Angenommen es wäre π. Wenn die irrationale Zahl durch die Gesamtheit ihrer Näherungswerte gegeben ist, so gäbe es bis zu jedem beliebigen Punkt eine Reihe, die mit der von π übereinstimmt. Allerdings kommt für jede solche Reihe ein Punkt der Trennung. Aber dieser Punkt kann beliebig weit “draußen” liegen. So daß ich zu jeder Reihe, die π begleitet, eine finden kann, die es weiterbegleitet. Wenn ich also die Gesamtheit aller irrationalen Zahlen habe außer π, und nun π einsetze, so kann ich keinen Punkt angeben, an dem π nun wirklich nötig wird, es hat an jedem Punkt einen Begleiter, der es vom Anfang an begleitet. |
Das zeigt klar,
daß die irrationale Zahl nicht die Extension
eines unendlichen Dezimalbruchs sondern ein Gesetz ist.
|
Daraus
scheint irgendwie hervorzugehen – was mir sehr einleuchtet –
daß die Unendlichkeit der Länge keine
Größe der Länge ist. |
Auf die obige Frage
müßte man antworten: “π, wenn es
eine Extension wäre, würde uns niemals
abgehen”.
D.h. wir könnten niemals eine Lücke
bemerken. Wenn man uns fragen würde “aber hast Du auch einen unendlichen
Dezimalbruch, der m an der
r-ten Stelle hat und n an der
s-ten” etc.
so könnten wir ihm immer dienen. |
Nehmen wir nun
an, wir hätten alle irrationalen Zahlen gegeben, die sich
durch Gesetze darstellen lassen, das seien aber nicht alle, und
wird mir ein Schnitt gegeben der eine in dieser ersten Klasse
nicht enthaltene Zahl darstellt: Wie kann ich erkennen,
daß das der Fall ist? Es ist
unmöglich, denn wie weit ich auch mit meinen Werten
fortschreite, immer wird sich ein entsprechender Bruch finden.
Man kann also nicht sagen, daß die gesetzmäßig fortschreitenden unendlichen Dezimalbrüche noch ergänzungsbedürftig sind durch eine unendliche Menge ungeordneter unendlicher Dezimalbrüche, die “unter den Tisch fielen” wenn wir uns auf die gesetzmäßig erzeugten beschränken würden. Wo ist so ein ungesetzmäßig erzeugter unendlicher Bruch? Und wie können wir ihn vermissen? Wo ist die Lücke, die er auszufüllen hätte? |
Wenn von vornherein nur die
Gesetze ins Unendliche reichen, so könnte die Frage, ob die
Gesamtheit der Gesetze die Gesamtheit der unendlichen
Dezimalbrüche erschöpft, gar keinen Sinn haben.
|
Die gewöhnliche Auffassung ist etwa die,
daß zwar die reellen Zahlen eine
andere Mannigfaltigkeit haben als die rationalen, man aber
beide Reihen zuerst nebeneinander hinschreiben kann und die der
reellen Zahlen die andere irgendwo hinter sich
läßt und unendlich
weiterläuft. |
Meine Auffassung aber ist: Man kann
überhaupt nur endliche Reihen nebeneinander legen und miteinander
so vergleichen; nach diesen endlichen Stücken Punkte zu setzen
(als Zeichen daß die Reihe ins Unendliche
fortläuft) hat keinen Sinn. Ferner kann man
ein Gesetz mit einem Gesetz vergleichen, aber nicht ein Gesetz mit
keinem Gesetz. |
|
Es ist also so, als
wären die Ziffern tote Exkretionen des
lebenden Wesens der Wurzel. Wie wenn eine Schnecke durch
ihren Lebensprozeß Kalk
absondert und ihr Haus weiterbaut. |
Die Ziffernregeln müssen erst da sein, dann
drückt sich in ihnen – z.B. –
eine Wurzel aus. Aber dieser Ausdruck der
Ziffernfolge ist nur dadurch von Bedeutung,
daß er der Ausdruck einer reellen Zahl
ist. Wenn man ihn nachträglich ändert, so hat
man damit nur den Ausdruck gestört, aber nicht eine neue Zahl
gewonnen. |
Die
Ziffernregeln gehören an den Anfang, als Vorbereitung zum
Ausdruck. Zum Bau des Systems, in dem sich das Gesetz auslebt. |
Ich
würde also sagen: Wenn √2' überhaupt etwas ist, dann dasselbe,
wie die √2, nur
ein anderer Ausdruck; der Ausdruck in einem andern System.
|
Man
könnte es dann auch ganz naiv so sagen: Was
√2' heißt, verstehe
ich, nicht aber √2', weil ja die
√2 gar
keine Stellen hat, ich also auch keine durch andere ersetzen
kann. |
Wie ist es mit
|
Dem Gesetz
0,1010010001 …
greift der Zusatz “(1–3)” sozusagen ins Herz. Es ist im Gesetz von
einer 1 die Rede und die wird durch 5 ersetzt. |
Könnte man etwa so sagen, die √2' mißt nicht, ehe
sie in einem System ist. |
Es ist, als ob man zur
Durchführung der Regel √2' einen Menschen brauchte.
Quasi: Die Regel, um eine arithmetische
Angelegenheit zu sein, muß sich
selbst verstehen. Die Regel
√2' tut das nicht, sie ist aus
zwei heterogenen Bestandteilen
zusammengesetzt. Der Mensch, der sie anwendet, vereinigt
diese Bestandteile miteinander. |
Heißt das, daß
der Regel √2' etwas abgeht, nämlich die
Verbindung des Systems der Wurzel mit dem System der
Ziffernfolge? |
Man würde von der
Regel √2' ebensowenig je sagen, sie sei eine
Grenze, der die Werte der Reihe zustreben, wie man es von der
Vorschrift zu würfeln sagen würde. |
Wie weit muß man die
√2
entwickeln, um sie einigermaßen zu
kennen? Das heißt
natürlich nichts. Wir kennen sie also schon, ohne sie
überhaupt zu entwickeln. Dann aber bedeutet
√2' überhaupt nichts. |
Die Idee der
√2 ist
die: Wir suchen eine rationale Zahl, die mit sich
selbst multipliziert 2 ergibt. Die gibt es
nicht. Aber es gibt welche, die der 2 auf diese
Weise nahe kommen und immer solche, die der 2 näher
kommen. Es gibt ein Verfahren, das mir erlaubt der 2
unbegrenzt näher zu kommen. Dieses Verfahren ist
auch etwas. Und ich nenne es eine reelle Zahl.
Es drückt sich dadurch aus, daß es immer weiter rechts liegende Dezimalstellen eines Dezimalbruches liefert. |
Nur, was an der
Ziffernfolge vorauszusehen ist, ist für die reelle Zahl
wesentlich. |
Daß man das Gesetz anwenden
kann, gilt auch von dem Gesetz die Ziffern zu
würfeln. |
Und das was π'
davon unterscheidet, kann nur die arithmetische Bestimmtheit
sein. Besteht die aber nicht darin,
daß wir wissen, es
muß ein Gesetz geben, nach dem
die Ziffern 7 in π
auftreten, wenn wir dieses Gesetz auch noch nicht kennen?
|
Man könnte also
auch so sagen: π'
spielt auf ein noch unbekanntes Gesetz an.
(
|
Könnte man nun aber nicht sagen:
π'
enthält die Beschreibung eines Gesetzes.
Nämlich “das Gesetz
nach welchem 7 in der Entwicklung von π
vorkommt”. Oder hätte
diese Anspielung nur dann einen Sinn, wenn wir wissen, wie wir
dieses Gesetz erhalten können.
(Lösung eines mathematischen Problems).
|
Dann kann ich eben
dieses Gesetz ex confesso nicht aus
dieser Vorschrift herauslesen und daher ist
das Gesetz in ihr in einer mir nicht lesbaren
Sprache enthalten. Ich verstehe also in diesem Sinne
auch π'
nicht. |
Wie ist es denn aber mit der Lösbarkeit des
Problems, dieses Gesetz zu finden? Ist denn das nicht
nur insoweit ein Problem, als die Methode seiner Lösung
bekannt ist?
Und ist sie bekannt, so bekommt eben π' dadurch seinen Sinn, und wenn unbekannt, so können wir von dem Gesetz, das wir noch nicht kennen, nicht reden, und π' verliert allen Sinn. Denn liegt kein Gesetz vor, so wird das π' der Vorschrift des Würfelns analog. |
Die reelle Zahl lebt in dem Substrat der Operationen
aus dem sie geboren ist. |
Man
könnte auch sagen: “√2” heißt die Approximationsmethode
eines x² an 2. |
Nur ein Weg
nähert sich einem Ziel, nicht Orte. Und nur ein Gesetz
nähert sich einem Wert. |
Die
Annäherung von x² an 2 nennen wir die
Annäherung von x an √2.
|
Der
Buchstabe π steht
für ein Gesetz. Das Zeichen π'
heißt nichts, wenn in dem Gesetz des
π von
keiner 7 die Rede ist, die man durch eine 3 ersetzen kann.
Analoges gilt für
3→5√2. (Dagegen
könnte
2→5√2 bedeuten
√5.)
|
Eine reelle Zahl
liefert Extensionen, sie ist keine Extension.
Die reelle Zahl ist: Ein arithmetisches Gesetz, welches endlos die Stellen eines Dezimalbruchs liefert. Dieses Gesetz hat seinen Ort im arithmetischen Raum. Oder man könnte auch sagen: im algebraischen Raum. Während π' sich nicht der arithmetischen Ausdrucksweise bedient und dem Gesetz darum keinen Platz in diesem Raum anweist. Es fehlt quasi das arithmetische Lebewesen, das diese Exkretionen produziert. Die Unvergleichbarkeit der Größen von π und π' hängt mit dieser Heimatlosigkeit von π' zusammen. |
Man kann nicht sagen:
Zwei reelle Zahlen sind identisch, wenn sie in allen
Stellen übereinstimmen. Man kann nicht
sagen: Sie sind verschieden, wenn sie an einer Stelle
ihrer Entwicklung nicht übereinstimmen. Man kann
ebensowenig sagen, die eine sei
größer als die andere, wenn
die erste || ihre erste nicht
übereinstimmende Stelle größer
sei als die entsprechende der andern. |
Es ist klar, daß, wenn ich x' anwenden
könnte, alle Zweifel über die Berechtigung behoben
wären. Denn die Möglichkeit der Anwendung ist das
eigentliche Kriterium
für die arithmetische Wirklichkeit. |
Angenommen, es erfände
jemand eine neue arithmetische Operation, die die normale
Multiplikation wäre, nur mit der Abänderung,
daß er im Produkt statt jeder 7 eine 3
setzte. Dann hätte auch diese Operation
x' das Unverstandene an
sich, solange das Auftreten der 7 im Produkt nicht allgemein durch
ein Gesetz verstanden wäre. |
Es ist das,
als sollte ich einen Weg gehen, der aus einzelnen Stücken
besteht, die zwar zusammenhängen, deren relative Richtungen
mir aber verhüllt wären. |
Hier wäre eben das
Merkwürdige, daß mein Symbolismus etwas
ausdrückte, was ich nicht verstehe.
(Das gibt es aber nicht). |
Auch wenn mir die
Bildungsvorschriften || Bildungsvorschrift
der √2
nicht bereits bekannt wäre und ich mir √'2 ||
|
Geometrisch
gesprochen: Es genügt nicht,
daß man den Punkt durch Verkleinerung
seines Aufenthaltsortes – angeblich – mehr und mehr
bestimmt, sondern man muß
ihn konstruieren können.
Fortgesetztes Würfeln schränkt zwar den möglichen Aufenthalt des Punktes unbeschränkt ein, aber es bestimmt keinen Punkt. Der Punkt ist nach jedem Wurf noch unendlich unbestimmt. |
Freilich, auch im
Verlauf des normalen Wurzelziehens müssen immer wieder die,
gerade passenden, Regeln des Einmaleins angewendet werden, und man hat
ihre Anwendung auch nicht vorhergesehen. Aber es ist
auch von ihnen und ihrer Anwendung im Prinzip der
√2
nicht die Rede. |
(Zahl
ist nur das, wofür ich “größer”, “kleiner”,
etc. definiert habe).
Eine Zahl muß messen. Und zwar nicht nur: Werte ihrer Entwicklung müssen messen. Denn, von allen Werten kann nicht geredet werden, und, daß rationale Zahlen (die ich nach irgend einer Vorschrift gebildet habe) messen, ist selbstverständlich. |
Was ich meine, könnte man so ausdrücken,
daß zu einer reellen Zahl eine
Konstruktion und nicht bloß eine
Approximation denkbar sein muß. – Die Konstruktion entspricht der Einheit des
Gesetzes. |
|
Das Verständnis der Vorschrift und ihrer praktischen
Ausführung hilft uns immer nur über endliche
Strecken. Um eine reelle Zahl zu bestimmen,
muß sie in sich vollkommen
verständlich sein. D.h., es darf
nicht wesentlich unentschieden sein, ob ein Teil von ihr zu
entbehren wäre. |
Denn dann ist sie eben nicht
klar gegeben, denn eine Extension, die ihr
äquivalent
wäre, gibt es nicht und in sich ist sie unbestimmt.
π'
ginge dann auf Abenteuer aus in dem unendlichen
Raum. |
Gewiß,
wenn a und b an der vierten Stelle zum ersten Mal nicht
übereinstimmen, so kann man sagen,
daß sie darum ungleich sind. Diese
vierte Stelle gehört eben zu den beiden Zahlen; aber nicht die
n-te unbestimmte im unendlichen Verlauf. |
Man kann daher die Verschiedenheit von
π und
e wohl daran erkennen,
daß ihre erste Stelle
verschieden ist. Aber man kann nicht sagen, sie wären
gleich, wenn alle ihre Stellen gleich wären. |
Stimmen die
Extensionen zweier Gesetze bis auf weiteres überein und kann ich
die Gesetze als solche nicht vergleichen, so sind die definierten
Zahlen, wenn ich ein Recht habe von solchen Zahlen zu reden,
unvergleichbar, und die Frage, welche
größer ist, oder ob sie einander
gleich sind, ist unsinnig. Ja, eine Gleichung, die die
beiden einander gleichsetzt, muß unsinnig
sein! Und das gibt zu denken. Und es ist
wahr, wir können nichts damit meinen, sie einander
gleichzusetzen, wenn zwischen ihnen keine innere Verbindung
besteht; wenn sie verschiedenen Systemen
angehören. (Und die Extension kann uns nicht
helfen.) |
Aber sind
das denn wirklich zwei Zahlen, die miteinander
unvergleichbar sind? Widerspricht das nicht der einfachen Vorstellung von der Zahlengeraden? |
Es gibt
keine Zahl außerhalb eines
Systems. |
Die Entwicklung von
π ist
zugleich ein Ausdruck des Wesens von π und
des Wesens des Dezimalsystems. |
Die arithmetischen Operationen
gebrauchen das Dezimalsystem nur als Mittel zum Zweck; die
Operationsregeln sind also solcher Art, daß
sie sich in die Sprache jedes anderen Zahlensystems übersetzen
lassen und keines von ihnen zu ihrem Gegenstand
haben. Die Entwicklung von π ist zwar ein Ausdruck sowohl des Wesens von π als auch der Dezimalnotation, aber unser Interesse gehört, für gewöhnlich, ausschließlich dem für π Wesentlichen, und um das andere kümmern wir uns nicht. Das ist ein Diener, den wir nur als Werkzeug betrachten, und nicht als selbstberechtigtes Wesen. Betrachten wir ihn aber nun als Teil der Gesellschaft, so hat sich die Gesellschaft damit verändert. |
Eine allgemeine Operationsregel
hat ihre Allgemeinheit durch die Allgemeinheit der
Veränderung, die sie an den Zahlen hervorbringt. Darum
taugt x' nicht als
allgemeine Operationsregel, weil das Resultat von
a x'b nicht
bloß vom Wesen der Zahlen
a und b abhängt
sondern außerdem das Dezimalsystem
hineinspielt. Nun würde es freilich
nichts machen, wenn dieses System als eine weitere
Konstante der Operation zu Grunde läge (Σ
|
Genau so macht π'
das Dezimalsystem zu seinem Gegenstand (oder
müßte es machen, wenn es richtig
wäre) daher genügt jetzt nicht mehr,
daß man die Regel bei der Bildung der
Extension anwenden kann. Denn diese Anwendung ist jetzt
nicht mehr das Kriterium dafür,
daß die Regel in Ordnung ist, denn
sie ist gar nicht der Ausdruck des
arithmetischen Gesetzes, sondern ändert nur
äußerlich an der Sprache. |
Wenn es also nicht
mehr Diener sein soll, dann muß es sich in
aller Form zu den andern an die Tafel setzen und
muß daher das Bedienen lassen, denn
beides zugleich kann es nicht tun. |
Es ist
so: Die Zahl π ist im
Dezimalsystem dargestellt. Eine Modifikation dieses
Gesetzes kann man nicht dadurch erzeugen, daß
man an den spezifischen Ausdruck des Dezimalsystems
anknüpft. Was man so
beeinflußt, ist gar nicht das Gesetz,
sondern sein zufälliger Ausdruck. Diese
Beeinflussung dringt ja gar nicht bis zum Gesetz. Sie
steht ja abgesondert von ihm auf der andern Seite. Es ist,
wie wenn man ein Lebewesen beeinflussen wollte, indem man
auf die bereits abgeschiedene Sekretion
einwirkt. |
Wie ist es
aber mit einem Gesetz Σ
|
Ich sage: Der sogenannte “Fermat'sche Satz” ist
kein Satz. (Auch nicht im Sinne der
Arithmetik). Ihm entspräche vielmehr ein
Induktionsbeweis. Wenn es nun aber eine Zahl F
gibt 0,11000 etc.
und jener Beweis gelingt, dann wäre doch damit bewiesen,
daß F =
0,11 und das ist doch nun ein Satz!
Oder: Es ist dann ein Satz, wenn das Gesetz
F eine Zahl ist. |
Ein Beweis
beweist, was er beweist, und nicht mehr. |
Die
Zahl F will die Spirale Σ
Wenn ich mir Windungen der Spirale
|
So entsteht auch das Paradox,
daß es unsinnig wird zu fragen, ob
F = 0,11
ist. Denn die Annahme von F beruht ja doch auf
der Annahme eines Gesetzes, eines unendlichen Gesetzes, wonach
sich die Zahlen in der Fermat'schen Formel verhalten. – Was
bedeutet || bezeichnet uns aber die Unendlichkeit
des Gesetzes? Nur die Induktion. Und wo liegt
die hier? In der unendlichen Möglichkeit des
Exponenten n in xn + yn
= zn, also, in der unendlichen
Möglichkeit der Versuche. Die hat aber für uns
keinen anderen Wert, als die unendliche Möglichkeit des
Würfelns, da wir kein Gesetz kennen, dem die
Resultate dieser Versuche entsprechen.
|
Es ist schon ein Gesetz da (und dabei auch ein arithmetisches
Interesse) aber das bezieht sich nicht
unmittelbar auf die Zahl. Die Zahl ist gleichsam ein
ungesetzmäßiges Nebenprodukt des
Gesetzes. Wie wenn einer eine
Straße entlanggeht, in
gesetzmäßigem Schritt und nun bei
jedem Schritt würfelt und je nach dem Ausfall des
Würfelns einen Pflock in die Erde steckte oder nicht; dann
würden diese Pflöcke nicht
gesetzmäßig stehen.
Oder vielmehr, das Gesetz, worin sie stehen würden, wäre nur das des Schreitens und kein anderes. |
Hat es also keinen Sinn auch dann, wenn der
Fermat'sche Satz bewiesen ist, zu sagen,
daß F =
0,110̇
? (Wenn ich
etwa in der Zeitung davon
läse) |
Das eigentliche Wesen der reellen Zahl muß
die Induktion sein. Was ich an der reellen Zahl sehen
muß, ihr Zeichen, ist die Induktion. – Das So von dem man sagen kann
“und so weiter”. Wenn das Gesetz, die Spiralwindung, eine Zahl ist, dann muß sie ihrer Lage nach (auf der Zahlengeraden) mit allen anderen vergleichbar sein. Ich bestimme ja die Lage nach nichts anderem als dem Gesetz. |
Nur was ich sehe, ist ein Gesetz; nicht was ich
beschreibe. Ich glaube, nur das hindert mich, mehr in meinen Zeichen auszudrücken, als ich verstehen kann. |
Es tritt uns hier immer wieder
etwas entgegen, was man “arithmetisches
Experiment” nennen könnte. Was
herauskommt, ist zwar durch das Gegebene bestimmt, aber ich kann
nicht erkennen, wie es dadurch bestimmt ist.
(Ähnlich, wie es
z.B. mit dem Auftreten der 7 in
π
geht). So kommen auch die Primzahlen bei der Methode sie
zu suchen heraus, als Resultate eines Experiments. Ich
kann mich zwar davon überzeugen, daß
7 eine Primzahl ist, aber ich sehe den Zusammenhang nicht zwischen
ihr und der Bedingung der sie entspricht. – Ich
habe sie nur gefunden und nicht erzeugt.
Ich suche sie, aber ich erzeuge sie nicht. Ich sehe wohl ein Gesetz in der Vorschrift, die mich lehrt die Primzahlen zu finden, aber nicht in den Zahlen, die dabei herauskommen. Es ist also nicht wie in, +
|
Ich muß ein Stück der
Reihe anschreiben können, so daß man das
Gesetz erkennt.
D.h., in diesem Angeschriebenen darf keine Beschreibung vorkommen, sondern alles muß dargestellt sein. |
Die Näherungswerte müssen selbst eine
offenbare Reihe bilden.
D.h. die Näherungswerte selbst müssen sich in einem Gesetz bewegen. |
Kann man denn sagen,
daß, wenn ich nicht die geometrische
Darstellung von π und
√2
kennte, mir diese Zahlen nur näherungsweise bekannt
wären? Gewiß nicht.
|
Die Zahl muß an und für sich
messen. Das scheint mir quasi ihr Amt. Tut sie das nicht, überläßt sie das den rationalen Zahlen, so brauchen wir sie nicht. |
Das scheint eine gute Regel zu sein, daß
ich das eine Zahl nenne, was mit jeder beliebigen rationalen Zahl
vergleichbar ist. D.h. wofür
sich feststellen läßt, ob es
größer, kleiner oder gleich ist als
einer rationalen Zahl. |
Das
heißt, es hat Sinn nach Analogie ein Gebilde
Zahl zu nennen, welches zu den rationalen Zahlen Beziehungen hat,
die denen von größer, kleiner und gleich
analog (von der gleichen Multiplizität)
sind. ¤ |
Reelle Zahl ist das, was mit den Rationalzahlen vergleichbar
ist. |
Wenn ich sage, ich nenne irrationale Zahlen
nur, was mit den rationalen Zahlen vergleichbar ist, so will
ich damit nicht die Festsetzung einer bloßen
Benennung überschätzen.
Ich will sagen, daß es gerade das ist, was
unter dem Namen “irrationale
Zahl” gemeint oder gesucht worden
ist. |
Ja, die Art, wie die
irrationalen Zahlen in den Lehrbüchern eingeführt werden,
klingt immer so, als sollte gesagt werden: Seht ihr, es
ist da keine rationale Zahl, aber es ist
doch eine Zahl da. Aber warum nennen wir denn das, was da
ist, doch “eine
Zahl”? Und die Antwort
muß sein: Weil es in bestimmter
Weise mit den Rationalzahlen vergleichbar ist. |
“Der Prozeß würde erst, wenn
er zu Ende ist, eine Zahl bestimmen, da er aber ins Unendliche
läuft und nie fertig wird, so bestimmt er keine
Zahl.”
Der Prozeß muß unendlich vorausschauen, sonst bestimmt er keine Zahl. Es darf kein “ich weiß es noch nicht” geben, denn es gibt kein noch im Unendlichen. |
Jede
rationale Zahl muß in einem sichtbaren
Verhältnis zu dem Gesetz, das eine Zahl ist, stehen.
|
Die eigentliche Entwicklung ist
eben die Methode des Vergleichs mit den Rationalzahlen.
Die eigentliche Entwicklung der Zahl ist die, die den unmittelbaren Vergleich mit den Rationalzahlen erlaubt. Wenn man dem Gesetz eine Rationalzahl in die Nähe bringt, so muß es darauf in einer bestimmten Weise reagieren. Auf die Frage “ist es die” muß es antworten. Ich möchte so sagen: Die eigentliche Entwicklung ist das, was der Vergleich mit einer rationalen Zahl aus dem Gesetz hervorruft. Das Zusammenziehen des Intervalls dient ja dem Vergleich dadurch, daß dadurch jede Zahl rechts oder links zu liegen kommt. Das geht nur dann, wenn der Vergleich mit einer gegebenen Rationalzahl das Gesetz zwingt, sich im Vergleich zu dieser Zahl auszusprechen. |
Die reelle
Zahl ist mit der Fiktion einer unendlichen Spirale vergleichbar,
Gebilde wie F, P, oder π'
dagegen nur mit endlichen Stücken einer Spirale.
Denn, daß ich nicht feststellen kann, wie sie an einem Punkt vorbeikommt heißt eben, daß es absurd ist, sie mit einer vollkommenen (ganzen) Spirale zu vergleichen, denn bei der würde ich sehen, wie sie den Punkt liegen läßt. Im Hintergrunde der Gedanken ist nämlich dann immer noch die Idee, daß ich zwar die Spirale nicht ganz kenne, daher nicht weiß, wie sie an dieser Stelle läuft, aber, daß das was ich nicht kenne, doch so oder so tatsächlich der Fall ist. |
Wenn ich
sage (n√2)² nähert sich der
2 und erreicht also einmal die Zahlen
1,9, 1,99,
1,999 so ist das unsinnig, wenn ich nicht angeben
kann, binnen wieviel Schritten diese Werte erreicht werden, denn
“einmal” heißt nichts. |
Um die Rationalzahlen mit
√2 zu
vergleichen, muß ich sie quadrieren. – Sie nehmen dann die Form √a an
und √a ist
hier eine arithmetische Operation. In diesem System hingeschrieben sind sie mit √2 vergleichbar und es ist mir, als wäre hier die “Spirale” der irrationalen Zahl zu einem Punkt zusammengeschrumpft. |
Wir verstehen die 4 an der dritten Dezimalstelle der
√2
nicht, aber wir brauchen sie auch nicht zu
verstehen. – Denn dieses Unverständnis wird
durch den weiteren (einheitlichen) Gebrauch des
Dezimalsystems aufgehoben. |
Das Dezimalsystem tritt ja endlich als Ganzes
zurück und dann bleibt in der Rechnung nur, was der
√2
wesentlich ist. |
Ist ein
arithmetisches Experiment noch möglich, wo eine Definition durch
Rekursion statt hat? Ich
glaube offenbar nein; weil durch die Rekursion
jede Stufe arithmetisch verständlich wird. |
Und zwar
wird rekurriert, nicht wieder auf eine
Allgemeinheit sondern auf einen bestimmten arithmetischen
Fall. Die rekurrierende Definition vermittelt das Verständnis dadurch, daß sie auf einem bestimmten Fall, der keine Allgemeinheit voraussetzt, aufbaut. |
Wohl kann
ich im Fall χ, F, P
die Vorschrift der Untersuchung der Zahlen
rekursiv erklären, aber nicht ihr
Resultat. Ich kann das Resultat nicht aufbauen. |
“𝔭↣ 4” soll bedeuten: “Die vierte
Primzahl”. Kann
𝔭↣ 4 = 5 als arithmetische
Operation aufgefaßt werden mit der Basis
4? So daß also
𝔭↣ 4 = 5 eine arithmetische
Gleichung ist, wie
4² =
16? Oder ist es so, daß man 𝔭↣ 4 “nur suchen, aber nicht aufbauen” kann? |
Ist es
möglich, zu beweisen, daß a
größer ist als b, ohne beweisen zu
können, an welcher Stelle der Unterschied zu Tage treten
wird? Ich glaube nicht! |
Wieviele
Nullen können in e nacheinander auftreten?
bleibt nach n + r
Schritten die n-te Dezimalstelle stehen und geht ihr eine
0 vorher, so muß die zugleich mit der
n-ten Stelle stehen bleiben, denn eine Null kann aus einer
andern Ziffer nur werden, wenn sich auch die nächste Stelle
noch ändert. So ist die Zahl der Nullen
beschränkt. |
Man kann
und muß zeigen, daß
die Dezimalstellen nach einer bestimmten Anzahl von
Schritten stehenbleiben. |
Wenn ich nicht weiß,
wieviele Neuner auf 3,1415 folgen
können, so kann ich also keine Distanz angeben, die kleiner
ist, als der Unterschied zwischen π und
3,1416 und
d.h., glaube ich, daß
π nicht
einem Punkt auf der Zahlengeraden entspricht, denn,
entspricht es einem Punkt, dann muß
sich eine Strecke angeben lassen, die kleiner ist, als die Strecke
von diesem Punkt zum Punkt 3,1416. |
Wenn die Rationalzahl, mit der
ich meine reelle Zahl vergleichen will, in der Dezimalnotation
gegeben ist, dann muß mir zur
Durchführung des Vergleichs eine Beziehung zwischen dem Gesetz
der reellen Zahl und der Dezimalnotation gegeben
sein. |
1,4,
ist das die Wurzel 2? Nein, denn es ist die Wurzel aus
1,96.
D.h., ich kann es sofort als einen
Näherungswert von √2
hinschreiben; und natürlich sehen, ob es ein oberer oder
unterer Näherungswert ist. |
Was ist ein
Näherungswert? (Alle rationalen Zahlen sind doch
entweder ober- oder unterhalb der
Irrationalzahl.)
Näherungswert ist eine Rationalzahl, so
hingeschrieben, daß wir sie mit der
Irrationalzahl vergleichen können. |
(Analog dem Oberen: “Ist 3,14 der Umfang des
Einheits-Kreises? Nein, denn es ist der Umfang des
‒ ‒ ‒ Ecks.”) |
Die Dezimalentwicklung ist dann eine Methode des
Vergleichs mit den Rationalzahlen, wenn es von vornherein bestimmt ist, wieviele Stellen
ich entwickeln muß, um eine
Entscheidung herbeizuführen. |
Die Zahl, als Resultat eines
arithmetischen Experiments, also das Experiment als die
Beschreibung einer Zahl ist ein Unding.
Das Experiment wäre die Beschreibung, nicht die Darstellung einer Zahl. |
Ich kann F mit
|
Das zeigt nämlich, daß
F gar keine Spirale ist. Denn der Witz der Spirale
ist, daß ich an jedem beliebigen Punkt mit
ihr oben oder unten muß vorbeikommen
können. |
Wenn die reelle Zahl eine
rationale Zahl a ist, so muß der
Vergleich ihres Gesetzes mit a das ergeben. Das
heißt, das Gesetz
muß so beschaffen sein,
daß es gleichsam in die rationale Zahl
einschnappt, wenn es an die entsprechende Stelle (dieser
Zahl) kommt. |
Es ginge z.B. nicht an,
daß man nicht sicher sein könnte, ob
√25
wirklich bei 5 abbricht (oder ob vielleicht noch etwas
nachkommt). |
Man
könnte das auch so sagen: Das Gesetz müsse so
sein, daß sich jede rationale Zahl darin
einsetzen und probieren läßt.
|
Wie ist es aber dann mit der
Zahl P = 0,1110101
etc.¤ Angenommen einer behauptete,
sie würde periodisch und es hätte auch an irgend einer Stelle den Anschein, dann
müßte ich die angenommene Zahl
unmittelbar im Gesetz probieren können, wie ich unmittelbar
durch Multiplikation sehen kann, ob 1,414̇
die
√2
ist. Das ist aber nicht möglich. |
Das Charakteristische für das arithmetische
Experiment ist, daß etwas daran
undurchsichtig ist. |
Der nachträgliche Beweis der
Konvergenz kann nicht die Auffassung als Zahl
rechtfertigen. Wo sich die Konvergenz zeigt, da müßte die Zahl zu suchen sein. |
Der Beweis, der zeigt, daß etwas die,
einer Zahl nötigen, Eigenschaften hat,
muß diese Zahl zeigen.
D.h. er ist eben das, was die Zahl
aufzeigt. |
Ist F
nicht auch eine unendliche Einschränkung eines
Intervalls?
Wie kann ich wissen, daß, oder ob, sich die Spirale nicht in diesem Punkt zusammenziehen wird? Im Falle der √2 weiß ich es. Kann ich nun eine solche Spirale auch eine Zahl nennen? Eine Spirale, die for all I know, an einem rationalen Punkt stehen bleiben kann. Aber das kann es auch nicht sein: Es ist das Fehlen einer Methode des Vergleichs mit den Rationalzahlen. Denn: das Entwickeln der Extension ist keine solche Methode, da ich nie wissen kann, ob oder wann, es zu einer Entscheidung führen wird. Es ist keine Methode ins Unbestimmte hinein zu entwickeln, wenn auch dieses Entwickeln zu einem Resultat des Vergleichs führt. Dagegen ist es eine Methode, a zu quadratieren und zu sehen, ob das Quadrat größer oder kleiner als 2 ist. |
Könnte man sagen: die
allgemeine Methode des Vergleichs mit den
Rationalzahlen, das ist die reelle Zahl. |
Die Frage
muß Sinn haben: “Kann diese Zahl π
sein?” |
F ist nicht das Intervall
0 –
0,1̇
, denn eine gewisse
Entscheidung kann ich auch innerhalb dieses
Intervalls treffen, aber eine Zahl in diesem
Intervall ist es nicht, denn die Entscheidungen, die
dazu nötig wären, können wir nicht
fällen.
Könnte man also sagen: F ist wohl ein arithmetisches Gebilde, nur keine Zahl (auch kein Intervall). D.h. ich kann F nicht einem Punkt vergleichen und auch keiner Strecke. Gibt es ein geometrisches Gebilde, dem es entspricht? Das Gesetz d.i. die Vergleichsmethode sagt nur, daß sie entweder die Antworten “kleiner, größer oder gleich” oder “größer” (aber nicht gleich) liefern wird. Ähnlich, wenn ich in einem finstern Raum gehe und sage: Ich kann nur konstatieren ob er niedriger als ich oder gleich – oder – höher ist. Und hier könnte man sagen: Eine Höhe kannst du also nicht konstatieren; was ist es also, was du konstatieren kannst. Der Vergleich hinkt nur darum, weil ich ja im Falle des Anstoßens doch die Höhe bestimmen kann, während ich im Falle des F prinzipiell nicht fragen kann “ist es dieser Punkt”. Ich kenne keine Methode um zu bestimmen, ob es dieser Punkt ist, also ist es kein Punkt. Wenn die Frage nach dem Vergleich von F mit einer Rationalzahl keinen Sinn hat, weil alle Entwicklung uns die Antwort noch nicht gegeben hat, dann hat diese Frage auch keinen Sinn, ehe man aufs Geratewohl die Sache durch die Extension zu entscheiden versucht hat. Wenn es jetzt keinen Sinn hat zu fragen “ist F = 0,11”, dann hatte es auch keinen Sinn, ehe man 100 Stellen der Extension untersucht hatte, also auch, ehe man nur eine untersucht hatte. Dann hätte es aber überhaupt keinen Sinn in diesem Fall zu fragen, ob die Zahl irgend einer Rationalzahl gleich ist. Solange man nämlich keine Methode besitzt, die es unbedingt entscheidet. → Soviel weiß ich bis jetzt von der „Zahl” Die gegebene Rationalzahl ist entweder gleich, kleiner, oder größer als das bisher errechnete Intervall. Im ersten Fall bildet der Punkt die untere Grenze des Intervalls, in zweiten liegt er unter, im dritten oberhalb des Intervalls. In keinem ist vom Vergleich der Lage zweier Punkte die Rede. |
0,3̇
ist
nicht im selben Sinne ein Resultat von
1 : 3
wie etwa
0,25 von
1 : 4;
es deutet auf eine andere arithmetische Tatsache hin. |
Angenommen, die
Division lieferte fortdauernd die gleiche Ziffer 3, ohne
daß man aber in ihr die Notwendigkeit dazu
sehen würde, hätte es dann einen Sinn, die Vermutung
auszusprechen, daß das Resultat
0,3̇
sein
werde?
D.h. bezeichnet 0,3̇ nicht eben nur eine gesehene Induktion und nicht – eine Extension. |
Man muß immer die
Größenordnung bestimmen
können. Angenommen, es spricht nichts dagegen
(in meiner Notation), daß in
e an einer bestimmten Stelle
hundert Dreier nacheinander stehen,
so spricht etwas dagegen,
daß
10¹⁰⁰
Dreier nacheinander auftreten. (Im Dezimalsystem
muß vieles offenbleiben, was im
Dualsystem bestimmt ist). |
Es ist nicht nur
notwendig sagen zu können, ob eine gegebene rationale Zahl die
reelle Zahl ist, sondern auch, wie nahe sie ihr möglicherweise
kommen kann. D.h. es genügt
nicht sagen zu können, daß die Spirale
durch diesen Punkt nicht geht und unterhalb vorbei, sondern wir
müssen auch Grenzen wissen, innerhalb deren der Abstand von
dem Punkt liegt. Wir müssen eine
Größenordnung des Abstandes
kennen. |
Die Entwicklung im Dezimalsystem gibt mir diese
nicht, da ich nicht wissen kann, wieviele Neuner,
z.B., einer entwickelten Stelle folgen
werden. |
Die Frage “ist
e
2,73̇
”
ist unsinnig, denn sie fragt nicht nach einer Extension sondern
nach einem Gesetz, nämlich nach einer Induktion, von der wir aber
hier keine Vorstellung haben. Für die Division
kann man diese Frage stellen; nur darum, weil
wir die Induktionsform kennen, die wir 3̇
nennen.
|
Die Frage “bleiben
die Dezimalstellen von e
einmal stehen” und die Antwort
“sie bleiben einmal
stehen” sind beide Unsinn.
Die Frage heißt: Nach wieviel
Schritten müssen die Stellen stehen bleiben. |
Kann man
sagen: “e ist nicht diese
Zahl” heißt
nichts, sondern man muß sagen, es ist
mindestens um dieses Intervall von ihr entfernt.
Ich glaube so ist es. Das hieße aber, sie könnte auch gar nicht beantwortet werden ohne daß zugleich ein Begriff über den Abstand gegeben würde. |
Unser Interesse an der Negation
in der Arithmetik scheint auf eine eigentümliche Weise
beschränkt zu sein. Und zwar scheint es
mir so, als sei eine gewisse Allgemeinheit
nötig, um uns die Negation interessant zu machen. |
Man kann
aber die Unteilbarkeit augenfällig
darstellen (z.B. im “Sieb”). Man sieht wie alle teilbaren
Zahlen ober- oder unterhalb der
betrachteten Zahl liegen. Die Negation in der
Arithmetik wird hier durch die Negation im Raum, das “wo anders”
dargestellt. |
Was
weiß ich, wenn ich eine
mathematische Ungleichung weiß?
Ist es möglich nur eine Ungleichung zu wissen, ohne ein
positives Wissen? |
Daß die Negation in der Arithmetik etwas
anderes bedeutet, als in der übrigen Sprache, scheint
klar. Wenn ich sage, 7 ist durch 3 nicht teilbar, so kann
ich davon auch kein Bild machen, ich kann mir nicht vorstellen, wie
es wäre, wenn 7 durch 3 teilbar wäre. Das
alles folgt natürlich
daraus, daß mathematische Gleichungen
keine Sätze sind. |
Es ist sehr
seltsam, daß man zur Darstellung der
Mathematik auch falsche Gleichungen sollte gebrauchen
müssen. Denn darauf läuft das alles
hinaus. Ist die Negation oder Disjunktion im
gewöhnlichen Sinne in der Arithmetik notwendig, dann sind falsche
Gleichungen ein wesentlicher Bestandteil ihrer Darstellung.
|
Was
heißt es
“non(5 × 5 =
30)”? Es kommt mir vor, als
dürfte man es nicht so schreiben, sondern
“5 × 5
≠ 30”; und zwar, weil ich nichts negieren,
sondern eine, wenn auch unbestimmte, Beziehung zwischen
5 × 5
und 30 feststellen will (also etwas Positives). – Man könnte allerdings sagen: Wohl, aber
diese Beziehung ist doch jedenfalls unverträglich mit
5 × 5 =
30”. – Und so ist die Beziehung
der Unteilbarkeit zur Beziehung der
Teilbarkeit! Es ist ganz klar,
daß, wenn ich die Teilbarkeit
ausschließe, das in diesem logischen System äquivalent
ist mit dem Feststellen der Beziehung der Unteilbarkeit. – Und ist das nicht derselbe Fall, wie der einer Zahl,
die kleiner als 5 ist, wenn sie nicht gleich oder
größer ist? |
Es sträubt sich nun etwas
gegen die Anwendung des Satzes vom
ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik.
¤Freilich ist schon der Name dieses Satzes irreleitend. Denn er klingt immer, als handle es sich in ihm um einen Fall, ähnlich dem: ein Frosch ist entweder braun, oder grün, ein Drittes gibt es nicht. |
Man kann durch Induktion zeigen,
daß, wenn man von einer Zahl
sukzessive 3 subtrahiert bis es nicht
mehr geht, wird nur entweder 0, oder 1, oder 2 als Rest
bleiben können. Die Fälle der ersten
Klasse nennt man die, in denen die Division aufgeht. |
Das Suchen
nach einem Gesetz der Verteilung der Primzahlen ist einfach das
Bestreben, das negative Kriterium der
Primzahl durch ein positives zu ersetzen. Oder
richtiger, das unbestimmte durch ein
bestimmtes. |
Ich glaube, die Negation ist hier nicht, was sie in
der Logik ist, sondern eine Unbestimmtheit. Denn wie
erkenne, verifiziere, ich das Negative? Durch ein
Unbestimmtes aber Positives. |
Eine Ungleichung, wie eine
Gleichung muß entweder das Resultat einer
Ausrechnung, oder eine Festsetzung sein. |
So wie die
Gleichungen als Zeichenregeln, im Gegensatze zu Sätzen,
aufgefaßt werden können, so
muß es auch bei den Ungleichungen geschehen
können. |
Wie kann man
denn eine Ungleichung gebrauchen? Das führt zu dem
Gedanken, daß es in der Logik auch die
interne Beziehung des Nicht-Folgens gibt und es kann wichtig
sein zu erkennen, daß ein Satz aus einem
anderen nicht folgt. |
Die Verneinung der Gleichung ist so ähnlich und so verschieden
von der Verneinung eines Satzes, wie die Bejahung der Gleichung von
der Bejahung eines Satzes. |
Es ist ganz klar,
daß die Negation in der Arithmetik
gänzlich verschieden ist von der eigentlichen Negation von
Sätzen. (Ich glaube, sie entspricht immer einer gewissen Disjunktion von Fällen.) Und es ist ja klar, daß dort, wo sie wesentlich – aus den logischen Verhältnissen heraus – einer Disjunktion entspricht, oder einer Ausschließung eines Teiles einer logischen Reihe zu Gunsten eines anderen – daß sie dort eine ganz andere Bedeutung haben muß. Sie muß ja eins sein mit jenen logischen Formen und also nur scheinbar eine Negation. Wenn “nicht-gleich” größer oder kleiner bedeutet, so kann das für das “nicht” nicht, sozusagen, ein Zufall sein. |
Ein mathematischer
Satz kann nur, entweder eine Festsetzung sein, oder
ein nach einer bestimmten Methode aus Festsetzungen errechnetes
Resultat. Und das muß für
“9 ist durch 3
teilbar” oder “9 ist durch 3 nicht teilbar” gelten. |
Wie
errechnet man 2
× 2 ≠ 5? Anders als
2 × 2 =
4? Wenn überhaupt, dann mit
2 × 2 =
4 und 4
≠ 5. |
Und wie
errechnet man “9 ist durch 3
teilbar”? Man könnte
es als eine Disjunktion auffassen und erst rechnen
9 : 3 =
3 und dann statt dieses bestimmten Satzes die
Disjunktion nach einer
Schlußregel ableiten. |
Hilft uns hier nicht die Bemerkung, daß
die Negation in der Arithmetik immer nur in Verbindung mit der
Allgemeinheit von Wichtigkeit ist: Die Allgemeinheit wird
aber durch eine Induktion ausgedrückt. |
Es ist mir klar,
daß die Arithmetik nicht falsche Gleichungen
zu ihrem Aufbau braucht, aber es scheint mir,
daß man wohl sagen kann “zwischen 11
und 17 liegt eine Primzahl” ohne sich dabei auf falsche
Gleichungen zu beziehen. |
(Zu dem
vorletzten Satz) Und dadurch wird es möglich,
daß Negation und Disjunktion, die im
Einzelfall als überflüssige Unbestimmtheiten wirken, im
allgemeinen “Satz”,
d.h. in der Induktion, der Arithmetik
wesentlich werden. |
Ist nicht eine Ungleichung eine
völlig verständliche Zeichenregel, wie eine
Gleichung? Die eine erlaubt eine
Ersetzung, die andere verbietet eine Ersetzung.
√( ) = √² ( ), √( ) ≠ √² ( ) |
Wesentlich
ist vielleicht nur, daß man einsieht,
daß, was sich durch Ungleichungen
ausdrückt wesentlich verschieden ist von dem durch
Gleichungen Ausgedrückten. Und
so kann man ein Gesetz, das die Stellen eines Dezimalbruchs
liefert und mit Ungleichungen arbeitet, gar nicht unmittelbar mit
einem vergleichen, welches mit Gleichungen arbeitet. Wir
haben hier ganz verschiedene Methoden vor uns, und daher
verschiedene Arten arithmetischer Gebilde. |
D.h. man kann nicht in der
Arithmetik Gleichungen und etwas Anderes (etwa
Ungleichungen) ohne weiteres auf eine Stufe
stellen, als wären es etwa verschiedene Tiergattungen.
Sondern die beiden Methoden werden dann kategorisch
verschieden sein und, mit einander unvergleichbare,
Gebilde bestimmen || (definieren). |
Die Negation in der
Arithmetik kann nicht das Gleiche sein, wie die Negation von
Sätzen, denn sonst müßte ich mir in
2 × 2
≠ 5 ein Bild machen, wie es wäre, wenn
2 × 2 =
5 wäre. |
“ =
5”, “durch 5 teilbar”,
“nicht durch 5
teilbar”, “prim” könnte
man arithmetische Prädikate nennen und sagen: Die
arithmetischen Prädikate entsprechen immer der Anwendung
einer bestimmten allgemein definierten Methode. Man kann
ein Prädikat auch so definieren (n × 3 = 25) =
F(n) Def. |
Arithmetische
Prädikate, die im besonderen Fall unwichtig sind – weil die
bestimmte Form die unbestimmte überflüssig
macht – werden im allgemeinen Gesetz,
d.h. in der Induktion bedeutungsvoll.
Denn hier werden sie nicht durch eine bestimmte Form –
sozusagen – überholt. Oder vielmehr:
Sie sind im allgemeinen Gesetz gar nicht
unbestimmt. |
Könnte es bei den
Berechnungen eines Ingenieurs herauskommen,
daß, sagen wir, gewisse Maschinenteile
wesentlich die Längen haben müssen, die der Reihe der
Primzahlen entsprechen? Nein. |
Kann man mit Hilfe der Primzahlen eine Irrationalzahl
konstruieren? Die Antwort ist immer:
Soweit man die Primzahlen voraussehen kann, ja, und weiter
nicht. Wenn es voraussehbar ist, daß in diesem Intervall eine Primzahl stehen muß, dann ist dieses Intervall das Voraussehbare und Konstruierbare und es kann daher glaube ich in der Konstruktion einer Irrationalzahl eine Rolle spielen. |
Kann man sagen,
daß der kleinere Fleck einfacher ist als der
größere?
Nehmen wir an sie seien einfärbige Kreise, worin soll die größere Einfachheit des kleineren Kreises bestehen? Man könnte sagen, der größere kann zwar aus dem kleineren und noch einem Teil bestehen, aber nicht vice versa. Aber warum soll ich nicht den kleineren als die Differenz des größeren und des Ringes darstellen? Es scheint mir also, der kleinere Fleck ist nicht einfacher als der größere. |
Es scheint als
könne man einen einfärbigen Fleck nicht zusammengesetzt
sehen, außer wenn man ihn sich
nicht einfärbig vorstellt. Die Vorstellung
einer Trennungslinie macht den Fleck mehrfärbig, denn die
Trennungslinie muß eine andere Farbe
haben als der übrige Fleck. |
Kann man sagen: Wenn
man im Gesichtsfeld eine Figur, etwa ein
rotes Dreieck sieht, so kann man sie nicht dadurch
beschreiben, daß man etwa eine Hälfte
des Dreiecks in einem Satz, die andere Hälfte in einem anderen
Satz beschreibt.
D.h. man kann
sagen, daß es in gewissem Sinne eine
Hälfte dieses Dreiecks gar nicht gibt.
Man kann von dem Dreieck überhaupt nur reden, wenn seine
Grenzlinien die Grenzen zweier Farben sind. |
¤ |
Ob es einen
Sinn hat zu sagen “dieser Teil einer
roten Fläche (der durch keine sichtbare Grenze abgegrenzt
ist) ist rot” hängt
davon ab, ob es einen absoluten Ort gibt. Denn
wenn im Gesichtsraum von einem absoluten Ort die Rede sein
kann, dann kann ich auch diesem absoluten Ort eine Farbe
zuschreiben, wenn seine Umgebung gleichfärbig ist.
|
Ich sehe etwa ein gleichförmig gelbes Gesichtsfeld und
sage: “Die Mitte meines
Gesichtsfeldes ist gelb”.
Kann ich dann aber eine Gestalt auf diese Weise
beschreiben? |
Ein scheinbarer Ausweg wäre
(natürlich) der, zu sagen, rot,
und kreisförmig, sind Eigenschaften
(externe) von zwei Gegenständen, die
man etwa Flecke nennen könnte und diese Flecke stehen
außerdem in gewissen räumlichen
Beziehungen zu einander; aber das ist Unsinn. |
Es ist offenbar möglich, die Identität
eines Ortes im Gesichtsfeld festzustellen, denn sonst
könnte man nicht unterscheiden, ob ein Fleck immer im
gleichen Ort bleibt oder ob er seinen
Ort ändert. Denken wir uns einen Fleck, der
verschwindet, und wieder auftaucht, so können wir doch
sagen, ob er am gleichen Ort wieder erscheint, oder an einem anderen.
(Physiologisch könnte man das so
erklären, daß die einzelnen Punkte
der Retina lokale Merkmale haben.)
Man kann also wirklich von gewissen Orten im Gesichtsfelde sprechen und zwar mit demselben Recht, wie man von verschiedenen Orten auf der Netzhaut spricht. Wäre ein solcher Raum mit einer Fläche zu vergleichen, die in jedem ihrer Punkte eine andere Krümmung hätte, so daß jeder Punkt ein ausgezeichneter Punkt ist? |
Man kann auch sagen, der Gesichtsraum ist ein
gerichteter Raum, ein Raum, in dem es ein Oben und Unten, und ein
Rechts und Links gibt. Und dieses Oben und Unten, Rechts und Links hat nichts mit der Schwerkraft oder der rechten und linken Hand zu tun. Es würde z.B. auch dann seinen Sinn beibehalten, wenn wir unser ganzes Leben lang durch ein Teleskop nach den Sternen sehen || sähen. |
Angenommen,
wir sähen durch ein Fernrohr nach dem
Sternhimmel, dann wäre unser Gesichtsfeld gänzlich
dunkel mit einem helleren Kreis und in diesem Kreis wären
Lichtpunkte. Nehmen wir ferner an, wir
hätten unsern Körper nie gesehen, sondern immer nur
dieses Bild, wir könnten also nicht die Lage eines Sterns mit der
unseres Kopfes oder unserer Füße vergleichen.
Was zeigt mir dann, daß mein Raum ein Oben
und Unten etc. hat, oder einfach,
daß er gerichtet ist? Ich kann
jedenfalls wahrnehmen, daß sich das ganze
Sternbild im lichten Kreis dreht und
d.h., ich kann verschiedene Richtungen des
Sternbilds wahrnehmen. Wenn ich ein
Buch verkehrt halte, so kann ich die Buchstaben nicht oder schwer
lesen. Dieser Sachverhalt ist nicht vielleicht dadurch erklärt, daß man sagt: Die Retina hat eben ein Oben und Unten etc. und so ist es leicht verständlich, daß es das Analoge im Gesichtsfeld gibt. Vielmehr ist eben das nur eine Darstellung des Sachverhalts auf dem Umweg über die Verhältnisse in der Retina. |
Wir können auch sagen, es
verhält sich in unserem Gesichtsfeld immer als sähen wir
mit allem Übrigen ein gerichtetes
Koordinatensystem, wonach wir alle Richtungen fixieren
können. – Aber auch das ist keine richtige
Darstellung, denn sähen wir wirklich ein solches
Koordinatenkreuz (etwa mit Pfeilen) so wären wir
tatsächlich im Stande nicht nur die relativen Richtungen der
Objekte gegen dieses Kreuz zu fixieren, sondern auch die Lage des
Kreuzes selbst im Raum, gleichsam gegen ein
ungesehenes im Wesen dieses Raumes enthaltenes
Koordinatensystem. |
Wie
müßte es sich mit unserem Gesichtsfeld
verhalten, wenn das nicht so wäre? Ich
könnte dann natürlich relative Lagen und
Lageänderungen sehen, aber nicht absolute.
D.h. aber z.B. es
hätte keinen Sinn von einer Drehung des ganzen
Gesichtsfelds zu reden. So weit ist es vielleicht
noch verständlich. Nehmen wir nun aber
an wir sähen mit
unserem Fernrohr etwa nur einen Stern in einer gewissen Entfernung
vom schwarzen Rand. Dieser Stern würde verschwinden
und wieder in der gleichen Entfernung vom Rand auftauchen.
Dann könnten wir nicht wissen ob er an der gleichen Stelle
auftaucht oder an einer andern. Oder es würden zwei
Sterne abwechselnd in gleicher Entfernung vom Rand kommen und
verschwinden, dann könnten wir nicht sagen, ob – oder
daß – es der gleiche oder verschiedene
Sterne sind. |
Wir könnten nicht nur “nicht wissen ob”,
sondern es hätte keinen Sinn in diesem
Zusammenhange vom gleichen oder von verschiedenen Orten zu
reden. Und da es in Wirklichkeit Sinn hat, so hat
unser Gesichtsfeld nicht diese Struktur.
Es ist eben das eigentliche Kriterium der
Struktur, welche Sätze für sie Sinn haben – nicht,
welche wahr sind. Das zu suchen ist die
Methode der Philosophie. |
Wir können das auch so
darstellen: Nehmen wir an,
daß einmal für ein paar
Augenblicke ein gerichtetes Koordinatenkreuz in unserem
Gesichtsfeld aufgeflammt sei und wieder || dann
verschwunden, so könnten wir bei genügendem Gedächtnis
die Richtung jedes später eintretenden
Bildes nach der Erinnerung an das Kreuz fixieren.
Gäbe es keine absolute Richtung, so wäre das logisch
unmöglich. |
D.h. aber, wir haben die
Möglichkeit, eine mögliche Lage –
d.h. also eine Stelle – im Gesichtsfeld
zu beschreiben ohne uns auf etwas zu beziehen, was sich eben dort
befindet. Wir können also z.B.
sagen, etwas kann oben rechts sein usw.
(Die Analogie mit der gekrümmten Fläche wäre etwa, zu sagen: ein Fleck auf einem Ei kann sich nahe am stumpfen Ende befinden.) |
Ich kann
offenbar das Zeichen V einmal als ein v, einmal als ein
A, als das Zeichen für
größer oder für kleiner
sehen auch wenn ich es durch ein Fernrohr sähe und seine Lage
nicht mit der Lage meines Körpers vergleichen kann.
Vielleicht wird man sagen, daß ich die Lage meines Körpers fühle ohne ihn zu sehen. Aber die Lage im Gefühlsraum (wie ich ihn einmal nennen will) hat mit der Lage im Gesichtsraum nichts zu tun, die beiden sind von einander unabhängig und gäbe es im Gesichtsraum keine absolute Richtung, so könnte man die Richtung im Gefühlsraum ihr gar nicht zuordnen. |
Kann ich nun etwa
sagen: Die obere Hälfte meines
Gesichtsfeldes ist rot? Und was bedeutet
das? Kann es sagen, daß ein
Gegenstand (die obere Hälfte) die
Eigenschaft rot hat? Man muß sich daran erinnern, daß jeder Teil des Gesichtsraumes eine Farbe haben muß und daß jede Farbe einen Teil des Gesichtsraumes einnehmen muß. Die Formen Farbe und Gesichtsraum durchdringen einander. |
Es ist klar,
daß es keine Relation des “Sich-Befindens”
gibt, die zwischen einer Farbe und einem Ort bestünde, in dem
sie “sich befindet”. Es gibt kein Zwischenglied zwischen
Farbe und Raum.
Farbe und Raum sättigen einander. Und die Art, wie sie einander durchdringen, macht das Gesichtsfeld. |
Im Gesichtsraum gibt es absolute Lage und daher auch
absolute Bewegung. Man denke sich das Bild zweier Sterne
in stockfinsterer Nacht, in der ich nichts anderes sehen kann
als diese und diese bewegen sich im Kreise umeinander. |
Es scheint mir,
daß der Begriff der Distanz in der Struktur
des Gesichtsraumes unmittelbar
gegeben ist. Wenn das nicht so wäre und der Begriff
der Distanz nur durch eine Korrelation eines distanzlosen
Gesichtsraumes mit einer andern distanzhältigen Struktur mit
dem Gesichtsraum assoziiert ist, dann
ist der Fall denkbar, daß durch eine
Änderung dieser
Assoziation z.B. die Strecke a
größer erscheint als die Strecke
b, obwohl wir den Punkt B noch immer zwischen A und
C gewahren. (Siehe Figur)
|
Wie ist es, wenn man an ein Objekt des
Gesichtsraumes einen Maßstab
zeitweilig anlegt. Ist es
auch dann gemessen, wenn der Maßstab nicht da ist?
Ja, wenn die Identität des Gemessenen mit dem Nichtgemessenen überhaupt mit Sinn festgestellt werden kann. |
Wenn ich sagen
kann: “Diese Strecke
habe ich gemessen und sie war dreimal so
lang als jene”,
dann hat es einen Sinn und ist richtig zu sagen,
daß die Strecken auch jetzt im selben
Verhältnis zu einander stehen.
|
|
Oder soll ich nun sagen, daß eben doch auch im Gesichtsraum etwas anders scheinen kann, als es ist? Gewiß nicht! Oder, daß n-mal eine Strecke und n + 1 mal dieselbe Strecke im Gesichtsraum eben das Gleiche ergeben können? Ebensowenig! Es sei denn, daß es überhaupt keinen Sinn hat, von Strecken im Gesichtsraum auszusagen, daß sie gleich sind. Daß es also auch für den Gesichtsraum allein einen Sinn hätte von einem “Scheinen” zu reden und dieser Ausdruck nicht nur das Verhältnis zweier unabhängiger Erfahrungen beträfe. Daß es also ein absolutes Scheinen gäbe. Also vielleicht auch eine absolute Verschwommenheit, oder eine absolute Unklarheit. (Während meine Auffassung ist, daß etwas nur gegen etwas von uns als Ziel der Klarheit Gesetztes verschwommen oder unklar sein kann; also relativ.) |
Kann
ich mich denn – im ersten Fall – wenn ich die Zahl nicht
“mit einem Blick” erfassen kann, nicht beim Bestimmen dieser Zahl
irren? Oder: besteht dann a und b
überhaupt aus einer Zahl von Teilen – im
gewöhnlichen Sinn – wenn ich diese Zahl nicht in a
und b sehe? Es scheint mir
nämlich, als ob ich allerdings auch nicht das Recht
hätte, etwa zu schließen,
daß von den c und d die gleiche
Anzahl vorhanden sein müssen. Und zwar auch
dann nicht, wenn die Zählung wirklich die gleiche Zahl
ergibt! Ich meine: Auch dann nicht, wenn
es nie vorkäme, daß
bei gleichem a und b
etc. die Zählung verschiedene Resultate
liefert.
(Das zeigt übrigens, wie schwer es ist, das wirklich Gesehene zu beschreiben.) Angenommen aber, wir hätten das Recht, von einer Zahl von Teilen – wohl gemerkt, immer im rein Gesehenen – zu reden, auch wenn wir die Anzahl nicht unmittelbar sehen; dann käme die Frage: Kann ich denn sicher sein, daß das was ich zähle wirklich die Zahl ist, die ich sehe, oder vielmehr, deren visuelles Resultat ich sehe. Könnte ich |
Wenn ich
a =
b und c = d sehe und ein anderer
zählt die Teile und findet gleichviel, so werde ich das
jedenfalls nicht als meinem Gesehenen widersprechend empfinden. Es
ist mir aber auch bekannt, daß ich das
Gleiche sehen kann, wenn in a 25c und in
b
24d sind. Daraus kann ich
schließen, daß ich
das Mehr oder Weniger eines Teils
nicht bemerke und also auch nicht bemerken kann, wenn die Anzahl der
Teile in b zwischen 24 und 25 wechselt.
|
Wenn man aber
nicht sagen kann, daß in a und b
eine bestimmte Anzahl von Teilen ist, wie soll ich das
Gesichtsbild dann beschreiben? Es zeigt sich –
glaube ich – hier, daß das
Gesichtsbild viel komplizierter ist, als es auf
den ersten Blick zu sein scheint. Was es so viel
komplizierter macht, ist
z.B. der Faktor, der die Bewegung des
Auges erzeugt.
Wenn ich etwa das auf einen Blick Gesehene statt durch die Wortsprache durch ein gemaltes Bild beschreiben sollte, so dürfte ich nicht alle Teile c und d wirklich malen. Statt dessen müßte ich an manchen Stellen etwas “Verschwommenes”, also etwa eine graue Partie malen. |
“Verschwommen” und “unklar” sind
relative Ausdrücke. Wenn es oft nicht so scheint so
kommt es daher, daß wir die gegebenen
Phänomene noch zu wenig in ihrer wirklichen Beschaffenheit
erkennen, daß wir sie uns primitiver denken,
als sie sind. So ist es z.B.
möglich, daß kein wie immer geartetes
färbiges Bild im Stande ist, den
Eindruck der “Verschwommenheit”
richtig darzustellen. Daraus folgt aber nicht,
daß eben das Gesichtsbild an und für
sich verschwommen ist und darum nicht durch ein wie immer
geartetes bestimmtes Bild dargestellt werden kann.
Sondern es würde das nur darauf hindeuten,
daß – etwa durch die Bewegung der Augen
– ein Faktor in das Gesichtsfeld eintritt, den das gemalte
Bild allerdings nicht wiedergeben kann, der aber an sich so
“bestimmt” ist, wie jeder andere. Man könnte dann
sagen, das wirklich Gegebene sei relativ zu dem
gemalten Bild noch immer unbestimmt oder verschwommen, aber eben
nur, weil wir das gemalte Bild dann willkürlich zum Standard
für das Gegebene setzen, das eine
größere Mannigfaltigkeit hat, als die
malerische Darstellung. |
Wenn wir
wirklich 24 und 25 Teile in a und b sähen,
dann könnten wir a und b nicht als gleich
sehen. Ist dies falsch, so muß Folgendes möglich sein: Es müßte möglich sein unmittelbar zwischen den Fällen zu unterscheiden, wenn a und b beide gleich 24 sind und wenn a 24 und b 25 ist, aber es wäre nur möglich, die Zahlen der Teile zu unterscheiden, nicht aber die resultierende Länge von a und b. |
Man könnte das einfacher
auch so sagen: Es
müßte dann möglich sein
unmittelbar zu sehen, daß eine Strecke
aus 24 Teilen, die andere aus 25 ebenso
großen Teilen zusammengesetzt ist, ohne
daß es möglich wäre, zwischen den
resultierenden Längen zu unterscheiden. – Ich
glaube, daß das Wort “gleich” auch
für den Gesichtsraum eine Bedeutung hat, die dies zum
Widerspruch stempelt. |
¤
Erkenne ich 2 Strecken des Gesichtsraums dadurch als gleich, daß ich sie nicht als ungleich erkenne? Das ist eine sehr weittragende Frage. Könnte ich nicht nach einander zwei Eindrücke haben: In einem eine Strecke, die sichtbar in 5 Teile, das andere Mal eine Strecke, die ebenso in 6 Teile geteilt wäre Würde ich gefragt: “Waren die Strecken verschieden lang oder gleich lang”, so könnte ich nicht antworten “ich habe sie verschieden lang gesehen”, denn es ist mir, sozusagen, kein Längenunterschied “aufgefallen”. Und doch könnte ich – glaube ich – nicht sagen ich habe sie als gleichlang gesehen. Andererseits könnte ich aber doch nicht sagen: “Ich weiß nicht, ob sie gleich oder verschieden waren” (außer das Gedächtnis hätte mich verlassen), denn das heißt nichts, solange ich nur vom unmittelbar Gegebenen rede. |
Es kommt darauf an, gewisse Widersprüche zu
erklären, wenn wir auf den Gesichtsraum die
Schlußweisen des
euklidischen Raumes anwenden.
Ich meine: Es ist möglich im Gesichtsraum einer Konstruktion (also einer Schlußkette) zu folgen, deren sämtliche Schritte (Übergänge) wir einsehen, deren Resultat aber unsern geometrischen Begriffen widerspricht. |
Ich glaube nun, das kommt immer daher,
daß wir die Konstruktion nur
gliedweise, aber nicht als Eines sehen können.
Diese Erklärung wäre also, daß
es gar keine visuelle Konstruktion gibt, die aus diesen einzelnen
visuellen Stücken zusammengesetzt wäre.
Das wäre etwa so, wie wenn ich jemandem
einen kleinen Ausschnitt einer großen
Kugelfläche zeigte und ihn fragte, ob er den darauf
sichtbaren größten Kreis als
Gerade anerkennt, und wenn er das getan hätte, so drehte ich die
Kugel und würde ihm zeigen, daß
er wieder zur selben Stelle des Kreises zurückkäme.
Ich habe ihm aber auf diese Weise doch nicht bewiesen,
daß etwa eine Gerade des Gesichtsraumes in
sich selbst zurückläuft. |
Diese Erklärung
wäre also: Das sind visuelle
Stücke, die sich aber nicht zu einem visuellen
Ganzen zusammensetzen, oder jedenfalls nicht zu dem Ganzen, dessen
letztes Resultat ich am Schluß zu sehen
glaube. |
Die einfachste Konstruktion dieser Art wäre ja
die obere zweier gleichlanger
Strecken, in deren einer ein Stück n-mal abzutragen geht und
in der anderen n + 1
mal. Die Schritte der Konstruktion wären das
Fortschreiten von einem Teilstück zum anderen und das
Konstatieren der Gleichheit dieser Stücke.
Hier könnte man erklären, daß ich durch dieses Fortschreiten nicht wirklich das ursprüngliche Gesichtsfeld mit den gleichlangen Strecken untersuche. Sondern sich der Untersuchung etwas Anderes vorschiebt, das dann zu dem verblüffenden Resultat führt. |
Gegen diese
Erklärung gibt es aber einen Einwand. Man könnte
sagen: Wir haben dir ja, als du die einzelnen Teile
prüftest, nicht einen Teil der Konstruktion
zugehalten. Du konntest also sehen, ob sich
inzwischen am Übrigen etwas verändert,
verschoben, hat. Ist das nicht geschehen, so
konntest du ja doch sehen, daß alles mit
rechten Dingen zuging. |
Von der Teilbarkeit im Gesichtsraum zu reden hat
einen Sinn, denn es muß sich
in einer Beschreibung ein ungeteiltes Stück durch ein
geteiltes ersetzen lassen. Und dann ist es klar, was
nach dem, was ich früher ausgeführt habe, die unendliche
Teilbarkeit dieses Raumes bedeutet. |
Sobald man
exakte Begriffe der Messung auf die unmittelbare Erfahrung anwenden
will, stößt man auf eine
eigentümliche Verschwommenheit in dieser Erfahrung.
D.h. aber nur eine Verschwommenheit
relativ zu jenen Maßbegriffen. Und es scheint mir
nun, daß diese Verschwommenheit nicht
etwas Vorläufiges ist, das genauere
Kenntnis später eliminieren wird, sondern eine
charakteristische logische Eigentümlichkeit. Wenn
ich z.B. sage, “ich sehe jetzt einen
roten Kreis auf blauem Grund und erinnere mich einen vor ein paar
Minuten gesehen zu haben, der gleich groß,
oder vielleicht etwas kleiner war und ein wenig lichter”
so ist diese Erfahrung nicht exakter zu
beschreiben.
Die Wörter “ungefähr”, “beiläufig”, etc. haben freilich nur relativen Sinn, aber sie sind doch nötig und sie charakterisieren die Natur unserer Erfahrung; nicht als an sich beiläufig, oder verschwommen, aber doch als beiläufig und verschwommen in Relation zu den Mitteln unserer Darstellung. |
Das alles hängt mit dem
Problem zusammen “wieviel
Sandkörner geben einen Haufen”. Man könnte sagen: Ein Haufen ist jede Gruppe von mehr als 100 Körnern und weniger als 10 Körner sind kein Haufen: Das muß aber so verstanden werden, daß nicht vielleicht hundert und zehn Grenzen sind, die dem Begriff Haufen wesentlich wären. Und das ist dasselbe Problem wie das, anzugeben, bei welchem der vertikalen Striche man zuerst einen Längenunterschied gegen den ersten bemerkt. Figur.
|
Das was dem
Gesichtskreis in der euklidischen
Geometrie entspricht, ist nicht ein Kreis, sondern eine Klasse von
Figuren, unter denen auch der Kreis ist, aber etwa auch das
100-Eck etc. Das Merkmal dieser Klasse
könnte etwa sein, daß es alle die
Figuren sind, die innerhalb eines Streifens liegen, der durch
Vibration eines Kreises entsteht. –
Aber auch das ist falsch: Denn warum soll ich gerade
den Streifen nehmen, der durch Vibration eines Kreises, und nicht
den, der durch Vibration des 100-Ecks entsteht?
Und hier stoße ich auf die Hauptschwierigkeit, denn es scheint, als wäre auch die exakte Begrenzung der Unexaktheit unmöglich. Die Begrenzung ist nämlich willkürlich, denn wie unterscheidet sich das, was dem vibrierenden Kreis entspricht, von dem, was dem vibrierenden 100-Eck entspricht? |
Etwas zieht zu
folgender Erklärung hin: Alles was innerhalb a a
ist, erscheint als der Gesichtskreis K, alles was
außerhalb bb ist, erscheint nicht als
K. Das wäre dann der Fall des Wortes
“Haufen”. Es wäre eine unbestimmte Zone
offengelassen und die Grenzen a und b sind für
den definierten Begriff nicht wesentlich. – Die
Grenzen a und b sind sozusagen doch nur die Mauern der
Vorhöfe. Sie sind willkürlich dort
gezogen, wo man noch etwas Festes ziehen
kann. – Wie man einen Sumpf durch eine
Mauer abgrenzt, die Mauer ist aber nicht die Grenze
des Sumpfes, sondern sie steht nur um ihn auf festem
Erdreich. Sie ist ein Zeichen dafür,
daß innerhalb ihrer ein Sumpf ist, aber
nicht, daß der Sumpf genau so
groß ist, wie die von ihr begrenzte
Fläche. |
Ist nun nicht die Korrelation
zwischen Gesichtsraum und euklidischem Raum die: Welche
euklidische Figur immer ich dem
Betrachter zeige, so muß er unterscheiden
können, ob sie der Gesichtskreis K ist oder
nicht. D.h. ich werde durch
ständiges Verkleinern des
Intervalls zwischen den vorgewiesenen Figuren das unbestimmte
Intervall beliebig verkleinern können, mich
“einer Grenze zwischen dem was ich
als K, und dem was ich nicht als K sehe, beliebig
nähern” können.
Andererseits aber werde ich eine solche Grenze als Linie im euklidischen Raum nie ziehen können, denn könnte ich sie ziehen, so müßte sie selbst zu einer der beiden Klassen gehören und die letzte dieser Klasse sein, dann müßte ich also doch eine euklidische Linie sehen können. |
Wenn man z.B. sagt, man
sähe nie einen wirklichen Kreis, sondern immer nur
angenäherte Kreise, so hat das einen
guten, einwandfreien, Sinn, wenn es
heißt, daß man an
einem Körper, der kreisförmig aussieht, durch genaue Messung
oder durch Anschauen mit dem
Vergrößerungsglas noch immer
Ungenauigkeiten entdecken kann. Wir verlieren diesen
Sinn aber so wie wir statt des kreisförmigen Körpers das
unmittelbar Gegebene, den Fleck, oder wie man es nennen will,
setzen. |
Wenn ein Kreis überhaupt das ist,
was wir sehen – sehen, in demselben Sinn, in dem wir den
blauen Fleck sehen – dann müssen wir ihn sehen
können und nicht bloß etwas ihm
Ähnliches. |
Wenn ich keinen genauen Kreis
sehen kann, so kann ich in diesem Sinne, auch keinen
angenäherten sehen. – Sondern dann ist der
euklidische Kreis – wie auch
der euklidische angenäherte
Kreis – in diesem Sinn gar nicht Gegenstand meiner Wahrnehmung,
sondern etwa nur eine andere logische
Konstruktion, die aus den Gegenständen eines ganz anderen
Raumes, als des unmittelbaren Sehraumes, gewonnen werden
können.
Aber auch diese Ausdrucksweise ist irreführend und man muß vielmehr sagen, daß wir den euklidischen Kreis in einem anderen Sinne sehen. Daß also zwischen dem euklidischen Kreis und dem Wahrgenommenen eine andere Projektionsart besteht, als man naiverweise annehmen würde. |
Wenn ich sage, man kann ein
1000-Eck nicht von einem Kreis unterscheiden, so
muß mir hier das 1000-Eck durch seine
Konstruktion, durch seine Entstehung gegeben sein. Denn,
wie wüßte ich sonst,
daß es “tatsächlich”
ein 1000-Eck ist und nicht ein Kreis.
|
Im
Gesichtsraum gibt es keine Messung. |
Man könnte z.B. im
Gesichtsraum sehr wohl definieren: “Gerade ist, was nicht krumm
ist” und “Kreis ist eine Linie konstanter
Krümmung”. |
Wir brauchten neue
Begriffe und wir nehmen immer wieder die der physikalischen
Sprache. Das Wort “Genauigkeit” ist
einer jener zweifelhaften Ausdrücke. In der
gewöhnlichen Sprache bezieht es sich auf einen
Vergleich und da ist es ganz
verständlich. Wo ein gewisser Grad der
Ungenauigkeit vorhanden ist, dort kann auch
vollkommene Genauigkeit sein || ist auch vollkommene Genauigkeit
möglich. Was soll es aber
heißen, wenn ich sage, ich kann nie einen
genauen Kreis sehen und dieses Wort jetzt nicht relativ, also absolut,
gebrauche? |
Die Worte “ich
sehe” in “ich sehe einen Fleck” und “ich sehe eine
Linie” haben also verschiedene
Bedeutung. |
Angenommen, ich
muß sagen “ich sehe nie eine ganz scharfe
Linie¤”, so ist
die Frage: “Ist eine
scharfe denkbar?”
Ist es richtig, zu sagen “ich sehe
keine scharfe Linie”, dann
ist eine scharfe Linie denkbar. Hat es Sinn
zu sagen “ich sehe nie einen genauen Kreis” dann
heißt das: Ein genauer Kreis ist
im Gesichtsraum denkbar.
Ist ein genauer Kreis im Gesichtsfeld undenkbar, dann muß der Satz “ich sehe nie einen genauen Kreis im Gesichtsfeld” von der Art des Satzes sein, “ich sehe nie das hohe C im Gesichtsfeld”. |
Wenn ich sage “die
obere Strecke ist so lang wie die untere” und mit diesem Satz das meine, was sonst der Satz
“die obere Strecke erscheint mir so
lang, wie die untere” sagt, dann hat
in dem Satz das Wort “gleich” eine ganz
andere Bedeutung, wie im gleichlautenden Satz, für
den die Verifikation die
Übertragung der Länge mit dem Zirkel
ist. Darum kann ich
z.B. im zweiten Fall von einem Verbessern der
Vergleichsmethoden reden, aber nicht im ersten Falle.
Der Gebrauch desselben Wortes “gleich” in ganz
verschiedenen Bedeutungen ist sehr
verwirrend. Er ist der typische Fall,
daß Worte und Redewendungen, die sich
ursprünglich auf die “Dinge” der
physikalischen Ausdrucksweise, die “Körper im Raum” beziehen, auf die Teile unseres Gesichtsfeldes angewendet
werden, wobei sie ihre Bedeutung gänzlich
wechseln müssen und die Aussagen
ihren Sinn verlieren, die früher einen hatten, und andere
einen Sinn gewinnen, die in der ersten Ausdrucksart keinen
hatten. Wenn auch eine gewisse Analogie bestehen bleibt,
eben die, die uns verführt, den gleichen Ausdruck zu
gebrauchen. |
Es ist z.B. wichtig,
daß in dem Satz “ein roter Fleck befindet sich nahe an der
Grenze des Gesichtsfeldes” das
“nahe an” eine andere Bedeutung hat als in einem Satz “der rote Fleck im Gesichtsfeld befindet sich
nahe an dem braunen Fleck”.
Das Wort “Grenze” in dem vorigen Satz hat
ferner eine andere Bedeutung – und ist eine andere Wortart
– als in dem Satz “die Grenze
zwischen Rot und Blau im Gesichtsfeld
ist ein Kreis”! |
Welchen Sinn
hat es, zu sagen: Unser Gesichtsbild ist an den
Rändern undeutlicher als gegen die Mitte? Wenn
wir hier nämlich nicht davon reden, daß
wir die physikalischen Gegenstände in der Mitte des
Gesichtsfeldes deutlicher sehen.
Eines der klarsten Beispiele der Verwechslung zwischen physikalischer und phänomenologischer Sprache ist das Bild, welches Mach von seinem Gesichtsfeld entworfen hat und worin die sogenannte Verschwommenheit der Gebilde gegen den Rand des Gesichtsfeldes durch eine Verschwommenheit (in ganz anderem Sinne) der Zeichnung wiedergegeben wurde. Nein, ein sichtbares Bild des Gesichtsbildes kann man nicht machen. Kann ich also sagen, daß die Farbflecken in der Nähe des Randes des Gesichtsfeldes keine scharfen Konturen mehr haben: Sind denn Konturen dort denkbar? Ich glaube es ist klar, daß jene Undeutlichkeit eine interne Eigenschaft des Gesichtsraumes ist. Hat z.B. das Wort “Farbe” eine andere Bedeutung, wenn es sich auf Gebilde in der Randnähe bezieht? Die Grenzenlosigkeit des Gesichtsraums ist ohne jene “Verschwommenheit” nicht denkbar. |
Es frägt sich, welche Unterschiede gibt es im
Gesichtsraum? Kann man darüber aus der
Koordination, z.B. des Tastraumes mit dem
Gesichtsraum etwas erfahren? Indem man etwa angibt,
welche Veränderungen in dem einen Raum keiner Veränderung im
anderen entsprechen?
Die Tatsache, daß man ein physikalisches Hunderteck als Kreis sieht, es nicht von einem physikalischen Kreis unterscheiden kann, sagt gar nichts über die Möglichkeit ein Hunderteck zu sehen. Daß es mir nicht gelingt einen physikalischen Körper zu finden, der das Gesichtsbild eines Hundertecks gibt, ist nicht von logischer Bedeutung. Es frägt sich: Hat es Sinn von einem Gesichts-Hunderteck zu reden? Oder: Hat es Sinn von zugleich gesehenen 30 Strichen nebeneinander zu reden. Ich glaube, nein. Der Vorgang ist gar nicht so, daß man zuerst ein Dreieck, dann ein Viereck, Fünfeck etc. bis z.B. zum 50-Eck sieht und dann der Kreis kommt; sondern man sieht ein Dreieck, ein Viereck etc. bis vielleicht zum Achteck, dann sieht man nur mehr Viel-Ecke mit mehr oder weniger langen Seiten. Die Seiten werden kleiner, dann beginnt ein Fluktuieren zum Kreis hin und dann kommt der Kreis. |
Daß eine
physikalische Gerade als Tangente an einen Kreis gezogen das
Gesichtsbild einer geraden Linie
gibt, die ein Stück weit mit der gekrümmten
zusammenläuft, beweist auch nicht,
daß unser Sehraum nicht
euklidisch ist, denn es könnte
sehr wohl ein anderes physikalisches Gebilde das der
euklidischen Tangente
entsprechende Bild erzeugen. Tatsächlich aber
ist ein solches Bild undenkbar. |
Was bedeutet der Satz: “Wir sehen nie einen genauen
Kreis”? Was ist das
Kriterium der Genauigkeit?
Könnte ich nicht auch sehr wohl sagen “ich sehe vielleicht einen genauen Kreis, kann
es aber nie wissen”? Das
alles hat nur dann Sinn, wenn man festgelegt hat, in welchem Fall
man eine Messung genauer nennt, als eine andere. Der
Begriff des Kreises setzt nun – glaube ich – einen
Begriff der “größeren
Genauigkeit” voraus, der eine
unendliche Möglichkeit der Steigerung hat.
Und man kann sagen, der Begriff des Kreises ist
der Begriff der unendlichen Steigerungsmöglichkeit der
Genauigkeit. Diese unendliche
Steigerungsfähigkeit wäre ein Postulat der
Ausdrucksweise. Es muß dann
natürlich in jedem Fall klar sein, was ich als eine
Vergrößerung der Genauigkeit auffassen
würde.
Das heißt natürlich nichts, zu sagen, der Kreis sei nur ein Ideal, dem sich die Wirklichkeit nur nähern könnte. Das ist ein irreführendes Gleichnis. Denn nähern kann man sich nur einer Sache, die vorhanden ist; und ist uns der Kreis in irgend einer Form gegeben, so daß wir uns ihm nähern können, dann wäre eben jene Form das für uns Wichtige und die Annäherung einer andern Form an sie nebensächlich. Es kann aber auch so sein, daß wir eine unendliche Möglichkeit selbst den Kreis nennen. Es verhält sich dann mit dem Kreis wie mit einer irrationalen Zahl. Es scheint mir der Applikation der euklidischen Geometrie wesentlich, daß wir von einem ungenauen Kreis, einer ungenauen Kugel etc. sprechen. Und auch, daß diese Ungenauigkeit einer Verkleinerung logisch unbegrenzt fähig sein muß. Um also die Anwendung der euklidischen Geometrie zu verstehen, muß man wissen, was das Wort “ungenau” heißt. – Denn etwas anderes ist uns nicht gegeben als das Resultat unserer Messung und der Begriff der Ungenauigkeit. Diese beiden zusammen müssen der euklidischen Geometrie entsprechen. |
Ist nun die Ungenauigkeit der Messung der gleiche
Begriff, wie die Ungenauigkeit des Gesichtsbildes? Ich
glaube: Gewiß nicht.
|
Wenn die
Aussage, daß wir nie einen genauen Kreis
sehen, bedeuten soll, daß
wir z.B. keine
Gerade sehen, die den Kreis in einem Punkt berührt
(d.h., daß
nichts in unserm Sehraum die Multiplizität der
einen Kreis berührenden Geraden hat) dann ist zu
dieser Ungenauigkeit nicht ein beliebig hoher Grad der
Genauigkeit denkbar. Das Wort “Gleichheit” hat eine andere Bedeutung, wenn wir es auf Strecken im Sehraum anwenden, als, die es auf den physikalischen Raum angewendet hat. Die Gleichheit im Sehraum hat eine andere Multiplizität als die Gleichheit im physikalischen Raum, darum können im Sehraum g' und g' Gerade (Sehgerade) sein und die Strecken a' = a'', a'' = a''' etc. aber nicht a' = a''''' sein. Ebenso hat der Kreis und die Gerade im Gesichtsraum eine andere Multiplizität als Kreis und Gerade im physikalischen Raum, denn ein kurzes Stück eines gesehenen Kreises kann gerade sein; “Kreis” und “Gerade” eben im Sinne der Gesichtsgeometrie angewandt. Die gewöhnliche Sprache hilft sich hier mit dem Worte “scheint” oder “erscheint”. Sie sagt a' und a'' scheinen gleich zu sein, während zwischen a' und a''''' dieser Schein schon nicht mehr besteht. Aber sie benutzt das Wort “scheint” zweideutig. Denn seine Bedeutung hängt davon ab, was diesem Schein nun als das Sein entgegengestellt wird. In einem Fall, ist es das Resultat einer Messung, im anderen eine weitere Erscheinung. In diesen Fällen ist also die Bedeutung des Wortes “scheinen” eine verschiedene. |
Es ist jetzt an der Zeit Kritik
am Worte “Sinnesdatum” zu üben. Sinnesdatum ist die
Erscheinung dieses Baumes, ob nun “wirklich ein Baum dasteht” oder eine Attrappe, ein Spiegelbild, eine
Halluzination etc. Sinnesdatum
ist die Erscheinung des Baumes, und was wir sagen wollen ist,
daß diese sprachliche Darstellung nur
eine Beschreibung, aber nicht die
wesentliche ist. Genau so, wie man von dem Ausdruck
“mein
Gesichtsbild” sagen kann,
daß es nur eine Form der
Beschreibung, aber nicht etwa die einzig
mögliche und richtige ist. Die Ausdrucksform “die Erscheinung dieses
Baumes” enthält nämlich die
Anschauung, als bestünde ein notwendiger Zusammenhang
dessen, was wir diese Erscheinung nennen, mit der “Existenz eines Baumes” und zwar, entweder durch eine wahre Erkenntnis oder
einen Irrtum. D.h., wenn von der
“Erscheinung eines
Baumes” die Rede ist, so hielten wir
entweder etwas für einen Baum, was einer ist, oder etwas, was
keiner ist. Dieser Zusammenhang aber besteht nicht.
Man möchte der Sprache vorwerfen, daß sie das || Die Idealisten möchten der Sprache vorwerfen, daß sie das Sekundäre als primär und das Primäre als sekundär darstellt. Aber das ist nur in diesen unwesentlichen, und mit der Erkenntnis nicht zusammenhängenden, Wertungen der Fall (“nur” die Erscheinung). Davon abgesehen enthält die gewöhnliche Sprache keine Entscheidung über primär und sekundär. Es ist nicht einzusehen, inwiefern der Ausdruck “die Erscheinung eines Baumes” etwas dem Ausdruck “Baum” Sekundäres darstellt. Der Ausdruck “nur ein Bild” geht auf die Vorstellung zurück, daß wir das Bild eines Apfels nicht essen können. |
Man könnte denken,
daß das richtige Abbild des Gesichtsraums
eine euklidische Zeichenebene mit
ihren ideal feinen Konstruktionen wäre, die man zittern
läßt,
sodaß alle Konstruktionen
¤ um ein
Gewisses verschwimmen (und zwar zittert die Ebene
nach allen in ihr liegenden Richtungen
gleichmäßig). Ja man
könnte auch so sagen: Sie soll genau so stark
zittern, daß wir es noch nicht merken, dann
ist ihre physikalische Geometrie ein Bild unserer
phänomenologischen. |
Die große Frage aber
ist: Kann man die “Verschwommenheit”
des Phänomens in eine Ungenauigkeit der Zeichnung
übersetzen? Es scheint mir, nein.
Es ist z.B. unmöglich die Ungenauigkeit des unmittelbar Gesehenen auf der Zeichnung durch dicke Striche und Punkte darzustellen. Genau so, wie man die Erinnerung an ein Bild nicht durch dieses Bild in blassen Farben gemalt darstellen kann. Die Blässe der Erinnerung ist etwas ganz anderes als die Blässe des gesehenen Farbtons und die Unklarheit des Sehens, von anderer Art als die Verschwommenheit einer unscharfen Zeichnung. (Ja, die unscharfe Zeichnung wird mit eben der Unklarheit gesehen, die man durch ihre Unschärfe darstellen wollte.) (Wenn im Kino eine Erinnerung oder ein Traum dargestellt werden soll, so gibt man den Bildern einen bläulichen Ton. Aber die Erinnerungsbilder haben keinen bläulichen Ton, also sind die bläulichen Projektionen nicht korrekte anschauliche Bilder der Träume, sondern Bilder in einem nicht unmittelbar visuellen Sinn.) |
Eine Strecke im Gesichtsfeld
muß weder gerade noch krumm sein.
Natürlich heißt die dritte
Möglichkeit nicht “zweifelhaft”
(das ist Unsinn) sondern man müßte
ein anderes Wort dafür gebrauchen, oder vielmehr die ganze
Ausdrucksweise durch eine andere ersetzen. |
Daß der Gesichtsraum nicht
euklidisch ist, zeigt schon
das Vorkommen zweier verschiedener Arten von Linien und
Punkten: Die Fixsterne sehen wir als Punkte:
d.h. wir können nicht die Kontur eines
Fixsterns sehen und der Schnitt zweier Farbengrenzen
ist in einem andern Sinne auch ein Punkt;
Analoges von den Linien. Ich kann eine leuchtende
Linie ohne Dicke sehen, denn andernfalls
müßte ich ihren Durchschnitt als
Viereck erkennen können, oder doch die 4 Durchschnittspunkte
der Konturen erkennen. |
Ein Gesichts-Kreis und eine Gesichts-Gerade können
ein Stück miteinander gemein haben.
Wenn ich einen gezeichneten Kreis mit einer Tangente anschaue, so wäre nicht das merkwürdig, daß ich niemals einen vollkommenen Kreis und eine vollkommene Gerade einander berühren sehe, interessant wäre es erst, wenn ich das sehe, und dann die Gerade ein Stück weit mit dem Kreis zusammenläuft. Denn erst das würde sagen, daß der Gesichts-Kreis und die Gesichts-Gerade sich wesentlich von Kreis und Gerade der euklidischen Geometrie unterscheiden; nicht aber das Erste, daß man nie einen vollkommenen Kreis und eine vollkommene Gerade einander hat berühren sehen. |
Es scheint
einfache Farben zu geben. Einfach als
psychologische Erscheinungen. Was ich brauche, ist eine
psychologische oder vielmehr phänomenologische
Farbenlehre, keine physikalische und ebensowenig eine
physiologische.
Und zwar muß es eine rein psychologische || phänomenologische Farbenlehre sein, in der nur von wirklich Wahrnehmbarem die Rede ist und keine hypothetischen Gegenstände, – Wellen, Zellen etc. – vorkommen. |
Man kann nun
unmittelbar Farben als Mischungen von rot, grün,
blau, gelb, schwarz und weiß
erkennen. Dabei ist Farbe immer color, nie
pigmentum, nie Licht, nie Vorgang auf oder in der
Netzhaut etc.
Man kann auch sehen, daß die eine Farbe rötlicher ist als die andere, oder weißlicher etc. Aber kann ich eine Metrik der Farben finden? Hat es einen Sinn zu sagen, daß die eine Farbe etwa in Bezug auf ihren Gehalt an Rot in der Mitte zwischen zwei andern Farben steht? Es scheint jedenfalls einen Sinn zu haben, zu sagen, die eine Farbe steht einer andern in dieser Beziehung näher als einer dritten. |
Man
könnte sagen, Violett und Orange
löschen einander bei der Mischung teilweise aus, nicht aber
Rot und Gelb. |
Orange
ist jedenfalls ein Gemisch von Rot und Gelb in einem Sinne, in dem
Gelb kein Gemisch von Rot und Grün ist, obwohl ja Gelb im
Kreis zwischen Rot und Grün liegt.
Und wenn das offenbar Unsinn wäre, so frägt es sich, an welcher Stelle es anfängt Sinn zu werden; d.h., wenn ich nun im Kreis von Rot und Grün aus dem Gelb näherrücke und Gelb ein Gemisch der betreffenden beiden Farben nenne. |
Ich erkenne
nämlich im Gelb wohl die Verwandtschaft zu Rot und Grün,
nämlich die Möglichkeit zum Rötlichgelb und
Grünlichgelb – und dabei erkenne ich doch nicht Grün
und Rot als Bestandteile von Gelb in
dem Sinne, in dem ich Rot und Gelb als Bestandteile von Orange
erkenne.
Ich will sagen, daß Rot nur in dem Sinn zwischen Violett und Orange ist, wie Weiß zwischen Rosa und Grünlichweiß. Aber ist in diesem Sinn nicht jede Farbe zwischen jeden zwei anderen, oder doch zwischen solchen zweien, zu denen man auf unabhängigen Wegen von der dritten gelangen kann. Kann man sagen, in diesem Sinne liegt eine Farbe nur in einem gegebenen kontinuierlichen Übergang zwischen zwei andern. Also etwa Blau zwischen Rot und Schwarz. |
Ist es also so: Zu sagen, ein Fleck habe
eine Mischfarbe von Orange und Violett,
schreibt ihm eine andere Farbe zu als zu sagen, der Fleck
habe die Farbe, die Orange und Violett miteinander
gemein haben? – Aber das geht auch nicht; denn in
dem Sinn, in welchem Orange eine Mischung von Rot und Gelb ist,
gibt es gar keine Mischung von Orange und Violett. Wenn
ich mir die Mischung zwischen einem Blaugrün und einem
Gelbgrün denke, so sehe ich,
daß sie ohne Weiteres nicht geschehen kann,
sondern erst ein Bestandteil gleichsam getötet werden
muß, ehe die Vereinigung vor sich gehen
kann. Das ist zwischen Rot und Gelb nicht der
Fall. Ich sehe dabei keinen kontinuierlichen
Übergang – über Grün
– in der Fantasie vor mir, sondern es sind nur die diskreten
Farbtöne beteiligt. |
Die Bedeutung des Ausdrucks “Mischung der
Farben A und B” muß mir
allgemein bekannt sein, da seine Anwendung nicht auf eine
endliche Anzahl von Paaren beschränkt ist. Zeigt
man mir also z.B. irgend ein Orange und
Weiß, und sagt, die Farbe eines Flecks sei
eine Mischung dieser beiden, so muß ich das
verstehen und ich kann es verstehen. Wenn man mir sagt, die Farbe eines Flecks liege zwischen Violett und Rot, so verstehe ich das und kann mir ein rötlicheres Violett als das gegebene denken. Sagt man mir nun, die Farbe liege zwischen diesem Violett und einem Orange – wobei mir kein bestimmter kontinuierlicher Übergang in Gestalt eines gemalten Farbenkreises vorliegt – so kann ich mir höchstens denken, es sei auch hier ein rötlicheres Violett gemeint, es könnte aber auch ein rötlicheres Orange gemeint sein, denn eine Farbe, die, abgesehen von einem gegebenen Farbenkreis in der Mitte zwischen den beiden Farben liegt, gibt es nicht und aus eben diesem Grunde kann ich auch nicht sagen, an welchem Punkt das Orange, welches die eine Grenze bildet, schon zu nahe dem Gelb liegt, um noch mit dem Violett gemischt werden zu können; ich kann eben nicht erkennen, welches Orange in einem Farbenkreis 45 Grad vom Violett entfernt liegt. Das Dazwischenliegen der Mischfarbe ist eben hier kein anderes, als das des Rot zwischen Blau und Gelb. |
Wenn ich im gewöhnlichen Sinn sage, Rot und Gelb
geben Orange, so ist hier nicht von einer
Quantität der Bestandteile die Rede.
Wenn daher ein Orange gegeben ist, so kann ich nicht sagen,
daß noch
mehr rot es zu einem röteren Orange gemacht
hätte (ich rede ja nicht von Pigmenten) obwohl es
natürlich einen Sinn hat, von einem röteren Orange zu
sprechen. Es hat aber z.B. keinen
Sinn zu sagen, dies Orange und dies Violett enthalten gleichviel
Rot. Und wieviel Rot enthielte Rot?
Der Vergleich, den man fälschlicherweise zu machen geneigt ist, ist der der Farbenreihe mit einem System von 2 Gewichten an einem Maßstab, durch deren Vermehrung oder Verschiebung ich den Schwerpunkt des Systems beliebig verschieben kann. Es ist nun Unsinn, zu glauben, daß, wenn ich die Schale A auf Violett halte und B in das Feld Rot-Gelb hineinverschiebe, S sich gegen Rot hin bewegen wird. Und wie ist es mit den Gewichten, die ich auf die Schalen lege: Heißt es denn etwas, zu sagen, “mehr von diesem Rot”? Wenn ich nicht von Pigmenten spreche. Das kann nur dann etwas heißen, wenn ich unter reinem Rot eine bestimmte vorher angenommene Anzahl von Einheiten verstehe. Dann aber bedeutet die volle Anzahl dieser Einheiten nichts, als, daß die Wagschale auf Rot steht. Es ist also mit den Verhältniszahlen wieder nur ein Ort der Wagschale aber nicht ein Ort und ein Gewicht angegeben. |
Solange ich nun im Farbenkreis mit meinen beiden
Grenzfarben – z.B. – im Gebiete
Blau-Rot stehe und die rötere Farbe gegen Rot verschiebe, so
kann ich sagen, daß die Resultante auch
gegen Rot wandert.
Überschreite ich aber mit der
einen Grenzfarbe das Rot und bewege mich gegen Gelb, so wird die
Resultierende nun nicht röter! Die Mischung eines
gelblichen Rot mit einem Violett macht das Violett nicht röter,
als die Mischung von reinem Rot und dem Violett.
Daß das eine Rot nun gelber geworden ist,
nimmt ja vom Rot etwas weg und gibt nicht Rot dazu. |
Man könnte das auch so
beschreiben: Habe ich einen Farbtopf mit violettem
Pigment und einen mit Orange und nun
vergrößere ich die Menge des
der Mischung zugesetzten Orange, so wird zwar die Farbe
der Mischung nach und nach aus dem Violett ins Orange
übergehen, aber nicht über das reine Rot. |
Ich kann von zwei verschiedenen Tönen von Orange
sagen, daß ich von keinem Grund habe zu
sagen, er liege näher an Rot als an
Gelb. – Ein “in der Mitte”
gibt es eben hier nicht. – Dagegen kann
ich nicht zwei verschiedene Rot sehen und im Zweifel
sein, ob eines, und welches, von ihnen das reine Rot ist.
Das reine Rot ist eben ein Punkt, das Mittel zwischen Gelb und
Rot aber nicht. |
Es ist freilich wahr,
daß man von einem Orange sagen kann, es sei
beinahe Gelb, also es liege “näher am Gelb als am Rot” und Analoges von einem beinahe roten Orange.
Daraus folgt aber nicht, daß es nun auch
eine Mitte im Sinne eines Punktes zwischen Rot und Gelb geben
müsse. Es ist eben hier ganz wie in der Geometrie des
Gesichtsraums, verglichen mit der euklidischen. Es ist hier eine andere Art von
Quantitäten als die, welche durch unsere rationalen Zahlen
dargestellt werden. Die Begriffe näher und weiter
sind eben hier überhaupt nicht zu brauchen, oder sind
irreführend, wenn wir diese Worte anwenden. |
Auch
so: Von einer Farbe zu sagen, sie liege zwischen Rot und
Blau bestimmt sie nicht scharf (eindeutig). Die
reinen Farben aber müßte ich
eindeutig durch die Angabe bestimmen, sie liegen
zwischen gewissen Mischfarben. Also bedeutet hier das
Wort “dazwischen
liegen” etwas anderes als
im ersten Fall. D.h.:
Wenn der Ausdruck “dazwischen liegen” einmal die Mischung zweier einfachen Farben, ein andermal
den gemeinsamen einfachen Bestandteil zweier Mischfarben
bezeichnet, so ist die Multiplizität seiner Anwendung in jedem
Falle eine andere. Und das ist kein Grad
Unterschied, sondern ein Ausdruck dafür,
daß es sich um 2 ganz verschiedene
Kategorien handelt. |
Wir sagen, eine Farbe kann nicht
zwischen Grüngelb und Blaurot liegen, in demselben
Sinne, wie zwischen Rot und Gelb, aber das können wir nur sagen,
weil wir in diesem Falle den Winkel von 45 Grad unterscheiden
können; weil wir Punkte Gelb, Rot sehen.
Aber eben diese Unterscheidung gibt es im andern Fall – wo
die Mischfarben als primär angenommen werden –
nicht. Hier könnten wir also sozusagen nie sicher
sein, ob die Mischung noch möglich ist oder nicht.
Freilich könnte ich beliebige Mischfarben wählen und
bestimmen, daß sie einen
Winkel von 45 Graden einschließen, das
wäre aber ganz willkürlich, wogegen es nicht
willkürlich ist, wenn wir sagen, daß es
keine Mischung von Blaurot und Grüngelb im ersten Sinne
gibt. In dem einen Falle gibt die Grammatik also den “Winkel von 45 Grad” und nun glaubt man fälschlich, man brauche ihn nur zu halbieren und den nächsten Abschnitt ebenso um einen andern Abschnitt von 45 Grad zu kriegen. Aber hier bricht eben das Gleichnis des Winkels zusammen. |
Man kann
freilich auch alle Farbtöne in einer geraden Linie anordnen, etwa
mit den Grenzen Schwarz und Weiß, wie das
geschehen ist, aber dann muß man eben durch
Regeln gewisse Übergänge
ausschließen und endlich
muß das Bild auf der Geraden die gleiche
Art des topologischen Zusammenhangs bekommen, wie auf dem
Oktaeder. Es ist dies ganz analog,
wie das Verhältnis der gewöhnlichen Sprache zu einer
“logisch
geklärten”
Ausdrucksweise. Beide sind einander vollkommen
äquivalent, nur drückt die eine die Regeln der Grammatik
schon durch die äußere Erscheinung
aus. |
In wiefern kann man sagen,
daß Grau im selben
Sinne eine Mischung von Schwarz und
Weiß ist, in dem Orange
eine Mischung von Rot und Gelb ist. Und nicht in dem
Sinne zwischen Schwarz und Weiß
liegt, in dem Rot zwischen Blaurot
und Orange liegt.
Stellt man die Farben durch einen Doppelkegel dar, statt eines Oktaeders, so gibt es auf dem Farbenkreis nur ein Zwischen, und Rot erscheint auf ihm in demselben Sinne zwischen Blaurot und Orange, in welchem Blaurot zwischen Blau und Rot liegt. Und wenn das wirklich alles ist, was man sagen kann, dann genügt die Darstellung durch den Doppelkegel, oder mindestens die durch eine doppelte achtseitige Pyramide. |
Nun scheint es
merkwürdigerweise von vornherein klar
zu sein, daß man nicht in demselben Sinne sagen
kann, Rot habe einen orangen Stich, wie, Orange hat
einen rötlichen Stich. D.h.
es scheint klar zu sein, daß die
Ausdrucksweise “x besteht
aus (ist ein Gemisch von) y und
z” und “x ist der gemeinsame Bestandteil von
y und z” hier nicht
vertauschbar sind. Wären sie vertauschbar, so
genügt die Relation Zwischen zur
Darstellung. |
Die Ausdrucksweise “gemeinsamer Bestandteil von” und “Gemisch
von” haben überhaupt nur dann
verschiedene Bedeutung, wenn der eine dort verwendet werden kann, wo
der andere nicht verwendet werden kann. |
Nun sagt es nichts zu
unserer Untersuchung, daß, wenn ich ein
blaues und grünes Pigment mische, ich ein blaugrünes
erhalte, wenn ich aber ein blaugrünes und blaurotes
mische, kein blaues herauskommt. |
Wenn ich mit meiner Auffassung
recht habe, so ist es kein Satz “Rot
ist eine reine Farbe” und was damit
angezeigt werden soll keiner experimentellen Entscheidung
fähig. Es ist dann nicht denkbar,
daß mir
einmal Rot, ein andermal Blaurot rein erscheinen sollte. |
Es scheint
außer dem Übergang
von Farbe zu Farbe auf dem Farbenkreis noch einen bestimmten
anderen zu geben, den wir vor uns haben, wenn wir kleine Flecke der
einen Farbe mit kleinen Flecken der andern untermischt
sehen. Ich meine hier natürlich einen
gesehenen Übergang.
Und diese Art des Übergangs gibt dem Wort “Mischung” eine neue Bedeutung, die mit der Relation Zwischen auf dem Farbenkreis nicht zusammenfällt. Man könnte es so beschreiben: Einen orangefarbigen Fleck kann ich mir entstanden denken durch Untermischen kleiner roter und gelber Flecke, dagegen einen roten nicht durch Untermischen von violetten und orangefarbigen. – In diesem Sinne ist Grau eine Mischung von Schwarz und Weiß, und Rosa eine von Rot und Weiß, aber Weiß nicht eine Mischung von Rosa und einem weißlichen Grün. Nun meine ich aber nicht, daß es durch ein Experiment der Mischung festgestellt wird, daß gewisse Farben so aus anderen entstehen. Ich könnte das Experiment etwa mit einer rotierenden Farbenscheibe anstellen. Es kann dann gelingen, oder nicht gelingen, aber das zeigt nur, ob der betreffende visuelle Vorgang auf diese physikalische Weise hervorzurufen ist, oder nicht; es zeigt aber nicht, ob er möglich ist. Genau so, wie die physikalische Unterteilung einer Fläche nicht die visuelle Teilbarkeit beweisen oder widerlegen kann. Denn angenommen, ich sehe eine physikalische Unterteilung nicht mehr als visuelle Unterteilung, sehe aber die nicht geteilte Fläche im betrunkenen Zustande geteilt, war dann die visuelle Fläche nicht teilbar? |
Wenn mir 2 nahe aneinander liegende – etwa
– rötliche Farbtöne gegeben sind, so ist es
unmöglich darüber zu zweifeln, ob beide zwischen Rot und
Blau, beide zwischen Rot und Gelb, oder der eine zwischen Rot und
Blau, der andere zwischen Rot und Gelb gelegen ist. Und
mit dieser Entscheidung haben wir auch entschieden, ob beide sich
mit Blau, mit Gelb, oder der eine sich mit Blau, der
andere mit Gelb mischen, und das gilt, wie nahe immer man die
Farbtöne aneinander bringt, solange wir die Pigmente
überhaupt der Farbe nach unterscheiden
können. |
Wenn man frägt, ob die
Tonleiter eine unendliche Möglichkeit der Fortsetzung in sich
trägt, so ist die Antwort nicht dadurch gegeben,
daß man Luftschwingungen, die eine gewisse
Schwingungszahl überschreiten nicht
mehr als Töne wahrnimmt, denn es
könnte ja die Möglichkeit
bestehen, höhere Tonempfindungen auf andere Art und Weise
hervorzurufen. Die Endlichkeit der
Tonleiter kann vielmehr nur aus ihren internen
Eigenschaften hervorgehen. Etwa so, indem man es
einem Ton selber anerkennt,
daß er der
Abschluß ist, daß
also dieser letzte Ton, oder die letzten Töne, innere
Eigenschaften zeigen, die die mittleren nicht haben.
So wie dünne Linien in unserem Gesichtsfeld interne Eigenschaften zeigen, die die dickeren nicht haben, so daß es eine Linie in unserem Gesichtsfeld gibt, die keine Farbgrenze ist, sondern selbst Farbe hat und doch in einem bestimmten Sinne keine Breite hat, sodaß bei ihrem Schnitt mit einer anderen ebensolchen nicht 4 Punkte A, B, C, D gesehen werden. |
Die Gefahr, die darin liegt
Dinge einfacher sehen zu wollen, als sie in Wirklichkeit sind,
wird heute oft sehr überschätzt.
Diese Gefahr besteht aber tatsächlich im höchsten
Grade in der phänomenologischen Untersuchung der
Sinneseindrücke. Diese werden immer für
viel einfacher gehalten als sie sind. |
Wenn ich die
Regelmäßigkeit einer Figur sehe, die ich
früher nicht bemerkt habe, so sehe ich jetzt eine andere
Figur. So kann ich ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘
als Spezialfall von
❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘
oder von
❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘
oder von ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘
sehen etc. Das zeigt
bloß, daß was wir
sehen nicht so einfach ist, als es scheint. |
Eine Kirchentonart verstehen,
heißt nicht, sich an die Tonfolge
gewöhnen, in dem Sinne, in dem ich mich an einen Geruch
gewöhnen kann und ihn nach einiger Zeit nicht mehr unangenehm
empfinde. Sondern es heißt, etwas
Neues hören, was ich früher noch nicht gehört habe,
etwa in der Art – ja ganz analog – wie es wäre 10
Striche ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘,
die ich früher nur als 2 mal 5 Striche habe sehen können, plötzlich
als ein charakteristisches Ganzes sehen zu können.
Oder die Zeichnung eines Würfels, die ich nur als
flaches Ornament habe sehen können, auf einmal
räumlich zu sehen. |
Die Grenzenlosigkeit des Gesichtsraumes ist am
klarsten, wenn wir nichts sehen, bei vollständiger
Dunkelheit. |
Der Satz, die Hypothese, ist mit
der Wirklichkeit gekuppelt und mehr oder weniger lose.
Im extremen Fall besteht keine Verbindung mehr, die Wirklichkeit
kann tun, was sie will, ohne mit dem Satz in Konflikt zu
kommen: dann ist der Satz, die Hypothese, sinnlos! – |
Alles Wesentliche ist, daß
die Zeichen sich, in wie immer komplizierter Weise, am
Schluß doch auf die unmittelbare Erfahrung
beziehen und nicht auf ein Mittelglied (ein Ding
an sich). |
Alles was nötig ist, damit
unsere Sätze (über die Wirklichkeit) Sinn haben,
ist, daß unsere Erfahrung in
irgend einem Sinne mit ihnen
eher übereinstimmt oder eher nicht
übereinstimmt. D.h., die
unmittelbare Erfahrung muß nur irgend
etwas an ihnen, irgend
eine
Facette bewahrheiten. Und dieses Bild
ist ja unmittelbar aus der Wirklichkeit genommen, denn wir
sagen “hier ist ein
Sessel”, wenn wir nur
eine Seite von ihm sehen. |
Nach meinem Prinzip müssen die beiden Annahmen ihrem Sinne
nach identisch sein, wenn alle mögliche
Erfahrung, die die eine bestätigt, auch die andere
bestätigt. Wenn also keine Entscheidung
zwischen den beiden durch die Erfahrung denkbar ist.
|
Ein Satz, so aufgefaßt,
daß er unkontrollierbar wahr und falsch sein
kann, ist von der Realität gänzlich detachiert und
funktioniert nicht mehr als Satz. |
Die Anschauungen neuerer Physiker
(Eddington) stimmen ganz mit der meinen überein, wenn
sie sagen, daß die Zeichen in ihren
Gleichungen keine “Bedeutungen” mehr
haben, und daß die Physik zu keinen solchen
Bedeutungen gelangen kann, sondern bei den Zeichen stehen bleiben
muß. Sie sehen
nämlich nicht, daß diese Zeichen
insofern Bedeutung haben – und nur insofern –
als ihnen das unmittelbar beobachtete Phänomen (etwa
Lichtpunkte) entspricht, oder nicht entspricht. |
Das Phänomen ist
nicht Symptom für etwas anderes, sondern ist die
Realität.
Das Phänomen ist nicht Symptom für etwas anderes, was den Satz erst wahr oder falsch macht, sondern ist selbst das was ihn verifiziert. |
Die Hypothese ist ein logisches Gebilde.
D.h. ein Symbol, wofür gewisse Regeln
der Darstellung gelten. |
Das Reden von Sinnesdaten und der unmittelbaren
Erfahrung hat den Sinn, daß wir eine
nicht-hypothetische Darstellung suchen. Wenn eine
Hypothese nicht definitiv verifiziert werden kann, so kann
sie überhaupt nicht verifiziert werden und es gibt
für sie nicht Wahr- und
Falschheit. |
Meine Erfahrung spricht
dafür, daß diese Hypothese
sie und die zukünftige Erfahrung einfach wird darstellen
können. Zeigt es sich, daß
eine andere Hypothese das Erfahrungsmaterial einfacher
darstellt, so wähle ich die einfachere Methode.
Die Wahl der Darstellung ist ein Vorgang, der auf der sogenannten
Induktion (nicht der mathematischen) beruht. |
So könnte man den Verlauf einer Erfahrung, der
sich in dem Verlauf einer Kurve darstellt, durch verschiedene
Kurven darzustellen versuchen, je nachdem, wieviel uns von dem
tatsächlichen Verlauf bekannt ist. |
Man gibt
die Hypothese nur um einen immer höheren Preis
auf. |
Die Induktion ist ein Vorgang nach einem
ökonomischen Prinzip. |
Die Hypothese steht
mit der Realität gleichsam in einem loseren Zusammenhang, als
dem der Verifikation. |
Die Frage
der Einfachheit der Darstellung durch eine bestimmte angenommene
Hypothese hängt, glaube ich, unmittelbar mit der Frage der
Wahrscheinlichkeit zusammen. |
Eine Hypothese
könnte man offenbar durch Bilder erklären. Ich
meine, man könnte z.B. die Hypothese
“hier liegt ein
Buch” durch Bilder
erklären, die das Buch im
Grundriß,
Aufriß, und verschiedenen Schnitten
zeigen.5 |
Eine solche
Darstellung gibt ein Gesetz. Wie die
Gleichung einer Kurve ein Gesetz gibt, nach der die
Ordinatenabschnitte aufzufinden sind, wenn man in verschiedenen
Abszissen schneidet. Die fallweisen Verifikationen entsprechen dann solchen wirklich ausgeführten Schnitten. Wenn unsere Erfahrungen die Punkte auf einer Geraden ergeben, so ist der Satz, daß diese Erfahrungen die verschiedenen Ansichten einer Geraden sind, eine Hypothese. Die Hypothese ist eine Art der Darstellung dieser Realität, denn eine neue Erfahrung kann mit ihr übereinstimmen oder nicht übereinstimmen, bezw. eine Änderung der Hypothese nötig machen. |
Das Wesen einer Hypothese ist
, glaube
ich, daß sie eine Erwartung erzeugt, indem
sie eine zukünftige Bestätigung
zuläßt.
D.h., es ist
das Wesen einer Hypothese, daß ihre
Bestätigung nie abgeschlossen ist.
Wenn ich sage, daß eine Hypothese nicht definitiv verifizierbar ist, so ist damit nicht gemeint, daß es für sie eine Verifikation gibt, der man sich immer mehr nähern kann, ohne sie je zu erreichen. Das ist Unsinn und einer, in den man oft verfällt. Sondern eine Hypothese hat zur Realität eben eine andere formelle Relation, als die der Verifikation. (Daher sind hier natürlich auch die Worte “wahr” und “falsch” nicht anzuwenden oder haben eine andere Bedeutung). |
Die Natur des Glaubens an die Gleichförmigkeit
des Geschehens wird vielleicht am klarsten im Falle,
in dem wir Furcht vor dem erwarteten Ereignis empfinden.
Nichts könnte mich dazu bewegen, meine Hand
in die Flamme zu stecken, obwohl ich mich doch nur in der
Vergangenheit verbrannt habe. |
Wenn die Physik einen Körper von
bestimmter Form im physikalischen Raum beschreibt, so
muß sie, wenn auch unausgesprochen, die
Möglichkeit der Verifikation annehmen. Die Stellen
müssen vorgesehen sein, wo die Hypothese mit der unmittelbaren
Erfahrung zusammenhängt. |
Eine Hypothese ist ein Gesetz
zur Bildung von Sätzen.
Man könnte auch sagen: Eine Hypothese ist ein Gesetz zur Bildung von Erwartungen. Ein Satz ist sozusagen ein Schnitt durch eine Hypothese in einem bestimmten Ort. |
Die
Wahrscheinlichkeit einer Hypothese hat ihr Maß darin, wieviel
Evidenz nötig ist, um es vorteilhaft zu machen, sie
umzustoßen.
Nur in diesem Sinne kann man sagen, daß wiederholte gleichförmige Erfahrung in der Vergangenheit das Andauern dieser Gleichförmigkeit in der Zukunft wahrscheinlich macht. Wenn ich nun in diesem Sinne sage: Ich nehme an, daß morgen die Sonne wieder aufgehen wird, weil das Gegenteil zu unwahrscheinlich ist, so meine ich hier mit “wahrscheinlich” oder “unwahrscheinlich” etwas ganz Anderes, als mit diesen Worten im Satz6 “es ist gleich wahrscheinlich, daß ich Kopf oder Adler werfe” gemeint ist. Die beiden Bedeutungen des Wortes “wahrscheinlich” stehen zwar in einem gewissen Zusammenhang, aber sie sind nicht identisch. |
Es ist das Wesentliche, daß
ich die Erwartung nicht nur mit dem muß
vergleichen können, was als die endgültige Antwort
(Verifikation oder Falsifikation) betrachtet wird, sondern
auch mit dem gegenwärtigen Stand der Dinge. Nur das
macht die Erwartung zum Bild.
D.h.: Sie muß jetzt Sinn haben. |
Zu sagen, ich sehe etwa eine Kugel,
heißt nichts
anderes als, ich habe einen Anblick, wie ihn eine
Kugel gewährt, aber das heißt nur,
daß ich nach einem bestimmten Gesetz, dem
der Kugel, Anblicke konstruieren kann und daß
dies ein solcher ist. |
Die Beschreibung der Phänomene mittels der
Hypothese der Körperwelt ist unumgänglich durch ihre
Einfachheit, verglichen mit der unfaßbar
komplizierten phänomenologischen Beschreibung.
Wenn ich verschiedene zerstreute Stücke einer Kreislinie
sehe, so ist ihre genaue direkte Beschreibung vielleicht
unmöglich, aber die Angabe, daß es
die Stücke eines Kreises sind, den ich, aus nicht weiter
untersuchten Gründen, nicht ganz sehe, – ist
einfach. |
Diese
Beschreibung führt immer irgendeinen
Parameter ein, dessen Untersuchung wir für unsere Zwecke
unterlassen dürfen. |
Was ist der Unterschied, zwischen
der logischen Multiplizität einer Erklärung der
Erscheinungen durch die Naturwissenschaft und der logischen
Multiplizität einer Beschreibung? |
Wäre
z.B. ein
gleichmäßig tickendes Geräusch in
der Physik darzustellen, so würde dazu die Multiplizität
des Bildes |–––|–––|–––|–––|–––|– →
genügen, aber hier handelt es sich nicht um die logische
Multiplizität des Tones, sondern um die der
Regelmäßigkeit der beobachteten
Erscheinung. Und so stellt die Relativitäts-Theorie nicht etwa die logische
Mannigfaltigkeit der Phänomene selbst dar, sondern die
Mannigfaltigkeit der beobachteten
Regelmäßigkeiten. |
Drücken wir z.B. den Satz,
daß eine Kugel sich in einer bestimmten
Entfernung von unseren Augen befindet mit Hilfe eines
Koordinatensystems und der Kugelgleichung aus, so hat diese
Beschreibung eine größere
Mannigfaltigkeit, als die einer Verifikation durch
das Auge. Jene Mannigfaltigkeit entspricht nicht
einer Verifikation, sondern einem
Gesetz, welchem Verifikationen gehorchen. |
Solange man sich unter der Seele ein Ding,
einen Körper vorstellt, der in unserem Kopfe
ist, solange ist diese Hypothese nicht
gefährlich. Nicht in der
Unvollkommenheit und Rohheit unserer Modelle liegt
die Gefahr, sondern in ihrer Unklarheit
(Undeutlichkeit). Die Gefahr beginnt, wenn wir merken, daß das alte Modell nicht genügt, es nun aber nicht ändern, sondern nur gleichsam sublimieren. Solange ich sage, der Gedanke ist in meinem Kopf, ist alles in Ordnung; gefährlich wird es, wenn wir sagen, der Gedanke ist nicht in meinem Kopfe, aber in meinem Geist. |
Was man mit einem Satze meinen
kann, das darf man auch mit ihm
meinen. Wenn Leute sagen, mit dem Satz “hier steht ein Sessel” meine ich nicht bloß, was die
unmittelbare Erfahrung mir zeigt, sondern noch etwas darüber
hinaus, so kann man nur antworten: Was ihr meinen
könnt, muß mit irgend einer Art von Erfahrung zusammenhängen, und was
immer ihr meinen könnt, ist unantastbar.
|
Man kann
einen Teil einer Hypothese vergleichen mit der Bewegung eines Teils
eines Getriebes, einer Bewegung, die man festlegen kann, ohne
dadurch die bezweckte Bewegung zu präjudizieren.
Wohl aber hat man dann das übrige Getriebe auf eine bestimmte
Art einzurichten, daß es die
gewünschte Bewegung hervorbringt. Ich denke
an ein Differentialgetriebe. –
Habe ich die
Entscheidung getroffen, daß von
einem gewissen Teil meiner Hypothese nicht abgewichen werden
soll, was immer die zu beschreibende Erfahrung sei, so habe
ich eine Darstellungsweise festgelegt und jener Teil der
Hypothese ist nun ein Postulat. Ein Postulat
muß von solcher Art sein,
daß keine denkbare Erfahrung es widerlegen
kann, wenn es auch äußerst unbequem
sein mag, an dem Postulat festzuhalten. In dem
Maße, wie man hier von einer größeren
oder geringeren Bequemlichkeit reden kann, gibt es eine
größere oder geringere
Wahrscheinlichkeit des Postulats. |
Von einem Maß dieser Wahrscheinlichkeit zu reden,
ist nun vorderhand sinnlos.
Es verhält sich hier ähnlich, wie im Falle, etwa, zweier
Zahlenarten, wo wir mit einem gewissen Recht sagen können, die
eine sei der andern ähnlicher (stehe ihr näher) als
einer dritten, ein zahlenmäßiges Maß
der Ähnlichkeit aber nicht
existiert. Man könnte sich natürlich auch
in solchen Fällen ein Maß konstruiert denken, indem man
etwa die Postulate oder Axiome zählt, die beide Systeme gemein
haben etc. etc. |
Wir
können unser altes Prinzip auf die Sätze, die eine
Wahrscheinlichkeit ausdrücken, anwenden und sagen,
daß wir ihren Sinn erkennen werden, wenn wir
bedenken, was sie verifiziert.
Wenn ich sage “das wird wahrscheinlich eintreffen”, wird dieser Satz durch das Eintreffen verifiziert, oder durch das Nichteintreffen falsifiziert? Ich glaube, offenbar nein. Dann sagt er auch nichts darüber aus. Denn, wenn ein Streit darüber entstünde, ob es wahrscheinlich ist oder nicht, so würden immer nur Argumente aus der Vergangenheit herangezogen werden. Und auch dann nur, wenn es bereits bekannt wäre, was eingetroffen ist. |
Wenn man die Gedanken über
Wahrscheinlichkeit und ihre Anwendung betrachtet, so ist es immer,
als vermischten sich a priori und a posteriori, als
könnte derselbe Sachverhalt durch Erfahrung gefunden oder
bestätigt werden, dessen Bestehen a priori
einleuchtet. Das zeigt natürlich,
daß in unseren Gedanken etwas nicht in
Ordnung ist und zwar vermengen wir scheinbar immer das angenommene
Naturgesetz mit der Erfahrung. |
Es
scheint nämlich immer, als stimmte unsere Erfahrung (etwa beim
Mischen) mit der a priori berechneten Wahrscheinlichkeit
überein. Aber das ist Unsinn. Wenn die
Erfahrung mit der Berechnung übereinstimmt, so
heißt das, es wird durch die Erfahrung meine
Berechnung gerechtfertigt
und natürlich nicht das an ihr, was a priori ist, sondern
die Grundlagen, die a posteriori sind. Das aber
müssen gewisse Naturgesetze sein, die ich zur Grundlage meiner
Berechnungen nehme, und diese werden bestätigt, nicht
die Wahrscheinlichkeitsrechnung. |
Die
Wahrscheinlichkeitsrechnung kann das Naturgesetz nur auf eine andere
Form bringen. Sie transformiert das Naturgesetz.
Sie ist das Medium durch welches wir das
Naturgesetz betrachten, und anwenden. |
Wenn ich
z.B. würfle, so kann ich scheinbar a
priori vorhersagen, daß die Ziffer 1
durchschnittlich in 6 Würfen einmal vorkommen wird und kann das
dann durch die Erfahrung
bestätigen. Aber durch das Experiment bestätige
ich nicht die Rechnung, sondern das angenommene Naturgesetz, das
mir die Wahrscheinlichkeitsrechnung in verschiedenen Formen
darbieten kann. Ich kontrolliere durch das Medium
der Wahrscheinlichkeitsrechnung hindurch, das Naturgesetz, das
der Rechnung zugrunde liegt.
Dieses Naturgesetz stellt sich in unserem Falle so dar, daß die Wahrscheinlichkeit, daß die einzelnen Flächen oben zu liegen kommen, für alle 6 Flächen die gleiche ist. Dieses Gesetz ist es, was wir überprüfen. |
Dies ist
natürlich nur dann ein Naturgesetz, wenn es durch einen
bestimmten Versuch bestätigt und auch durch einen
bestimmten Versuch widerlegt werden kann. Das ist in der
gewöhnlichen Auffassung nicht der Fall, denn, wenn
jedes Ereignis durch irgend ein Zeitintervall gerechtfertigt werden kann,
so kann jede beliebige Erfahrung mit dem
Gesetz in Übereinstimmung gebracht
werden. D.h. aber, das Gesetz
läuft leer; es ist sinnlos. |
Gewisse mögliche Ereignisse müssen dem Gesetz,
wenn es überhaupt eines sein soll,
widersprechen und treten diese ein, so müssen sie durch ein
anderes Gesetz erklärt werden. |
Man wettet immer auf eine
Möglichkeit unter der Annahme der Uniformität der
Naturgeschehnisse. |
Wenn man sagt, die
Moleküle eines Gases bewegen sich nach den Gesetzen der
Wahrscheinlichkeit, so macht das den Eindruck, als bewegten sie
sich nach irgend welchen Gesetzen
a priori. Das ist natürlich Unsinn.
Die Gesetze der Wahrscheinlichkeit, d.h. die,
die der Rechnung zu
Grunde liegen sind
hypothetische Annahmen, die dann von der Rechnung ausgeschrotet
und in anderer Form von der Erfahrung bestätigt – oder
widerlegt – werden. |
Wenn man das ansieht, was man
die aprioristische Wahrscheinlichkeit nennt und
dann ihre Bestätigung durch
die relative Häufigkeit von Ereignissen, so fällt einem vor
allem auf, daß die Wahrscheinlichkeit
a priori, die gleichsam etwas Glattes ist, die relative
Häufigkeit bedingen soll, die etwas
Ungleichmäßiges ist.
Wenn die
beiden Heubündel gleich groß und
in gleicher Entfernung sind, so würde das erklären,
daß der Esel zwischen beiden untätig
stehen bleibt, aber es ist keine Erklärung dafür,
daß er ungefähr ebenso oft
von dem einen als von dem andern
frißt.
Das bedarf
anderer Naturgesetze zu seiner Erklärung. – Die Tatsache, daß der
Würfel homogen und genau gleichseitig ist und
daß die mir bekannten Naturgesetze nichts
über das Resultat eines Wurfes sagen, genügt nicht, um
auf eine ungefähr gleichmäßige
Verteilung der Ziffern 1
bis 6 in den Wurfresultaten zu
schließen. Vielmehr liegt in der
Voraussage, daß eine solche Verteilung der
Fall sein wird, eine Annahme über jene Naturgesetze, die ich
nicht genau kenne. Eben die Annahme,
daß sie eine solche Verteilung
hervorbringen werden. |
Widerspricht folgende Tatsache
nicht meiner Auffassung von der Wahrscheinlichkeit:
Es ist offenbar denkbar, daß jemand,
der täglich würfelt – sagen wir – eine
Woche lang nur Einser wirft, und zwar, nicht darum, weil die
Würfel schlecht sind, sondern einfach, weil sich die
Bewegung seiner Hand, die Lage des Würfels im Becher, die
Reibung an der Tischfläche, so zusammenfinden,
daß sich immer dieses Resultat
ergibt. Der Mann hat den Würfel untersucht, auch
gefunden, daß er, wenn ihn andere werfen
die normalen Ergebnisse liefert. Hat er nun Grund zu
denken, daß hier ein Naturgesetz
waltet, das ihn immer Einser werfen
läßt; hat er Grund zu glauben,
daß das nun wohl so weitergehen wird, oder
hat er Grund anzunehmen, daß diese
Regelmäßigkeit nicht lange mehr
dauern kann? D.h.: hat er
Grund das Spiel aufzugeben, da es sich gezeigt hat,
daß er nur Einser werfen kann, oder
weiterzuspielen, da es nur um so
wahrscheinlicher ist,
daß er jetzt eine höhere Zahl werfen
wird? In Wirklichkeit wird er sich weigern es als ein
Naturgesetz anzuerkennen, daß er nur Einser
werfen kann. Zum mindesten wird es lange andauern
müssen, ehe er diese Möglichkeit in Betracht zieht.
Aber warum? Ich glaube, weil so viel frühere
Erfahrung im Leben gegen ein solches Naturgesetz spricht, die alle
– sozusagen – erst überwunden werden
muß, ehe wir eine ganz neue Betrachtungsweise
akzeptieren. |
Wenn wir aus der relativen
Häufigkeit eines Ereignisses auf seine relative
Häufigkeit in der Zukunft Schlüsse ziehen,
so können wir das natürlich nur nach der bisher
tatsächlich beobachteten Häufigkeit tun. Und
nicht nach einer, die wir aus der beobachteten durch irgend einen Prozeß der
Wahrscheinlichkeitsrechnung erhalten haben. Denn die
berechnete Wahrscheinlichkeit stimmt mit jeder
beliebigen tatsächlich beobachteten Häufigkeit
überein, da sie die Zeit offen
läßt. |
Wenn sich der Spieler, oder die
Versicherungsgesellschaft, nach der
Wahrscheinlichkeit richten, so richten sie sich nicht nach der
Wahrscheinlichkeitsrechnung, denn nach dieser allein kann man sich
nicht richten, da, was immer geschieht, mit ihr in
Übereinstimmung zu bringen ist; sondern die
Versicherungsgesellschaft richtet sich nach einer tatsächlich
beobachteten Häufigkeit. Und zwar ist das
natürlich eine absolute Häufigkeit. |
Die
Gleichung dieser Linie kann man darstellen als Gleichung einer
Geraden mit einem variablen Parameter, dessen Verlauf die
Abweichungen von der Geraden ausdrückt. Es ist nicht
wesentlich, daß diese Abweichungen
“gering” seien. Sie können so
groß sein, daß die
Linie einer Geraden nicht ähnlich sieht.
Die “Gerade mit
Abweichungen” ist nur eine
Form der Beschreibung.
Sie macht es mir möglich, einen
bestimmten Teil der Beschreibung zu vernachlässigen – wenn
ich will. (Die Form der “Regel mit
Ausnahmen”). |
Die
Galton'sche Photographie ist das Bild
einer Wahrscheinlichkeit.
Das Gesetz der Wahrscheinlichkeit ist das Naturgesetz, was man sieht, wenn man blinzelt. |
Zu sagen, die Punkte, die dieses
Experiment liefert, liegen durchschnittlich auf dieser Linie,
z.B., einer Geraden,
heißt etwas
Ähnliches, wie: aus einer
gewissen Entfernung angesehen,
scheinen sie in einer Geraden zu liegen. |
Wenn ich
behaupte “das ist die
Regel”, so hat das nur so lange Sinn,
als ich bestimmt habe, wieviele Ausnahmen von der Regel ich
maximal zulasse, ohne die Regel
umzustoßen. |
Ich kann von einer Linie sagen, der allgemeine
Eindruck ist der einer Geraden, aber nicht von der Linie
obwohl es
möglich wäre, dieses Stück im Laufe eines langen
Linienstückes zu sehen, in dem sich seine
Abweichung von der Geraden verlieren würde.
Ich meine: Nur von dem wirklich gesehenen
Stück hat es Sinn zu sagen, es mache den allgemeinen Eindruck
einer Geraden, und nicht von einem hypothetisch angenommenen.
|
Was heißt bei einem
Häufigkeitsexperiment “in
the long run”?
Ein Experiment muß einen Anfang und ein Ende haben. |
Das Experiment des Würfelns dauert eine gewisse
Zeit und unsere Erwartungen für die Zukunft
können sich nur auf Tendenzen gründen, die wir in den
Ergebnissen dieses Experiments wahrnehmen.
D.h., das Experiment kann nur die Erwartung
begründen, daß es nun
so weitergehen wird, wie es das Experiment gezeigt hat;
aber wir können nicht erwarten, daß
das Experiment, wenn fortgesetzt, nun Ergebnisse liefern
wird, die mehr als die des wirklich ausgeführten Experiments
mit einer vorgefaßten Meinung über
seinen Verlauf übereinstimmen. |
Wenn ich also
z.B. Kopf und Adler werfe und in den Ergebnissen
des Experiments selbst keine Tendenz der Kopf- und
Adler-Zahlen finde, sich weiter einander zu nähern, so
gibt das Experiment mir keinen Grund zur Annahme,
daß die Fortsetzung eine solche
Annäherung zeigen wird.
Ja, die Erwartung dieser Annäherung
muß sich selbst auf einen
bestimmten Zeitpunkt beziehen, denn ich kann nicht erwarten,
daß etwas einmal eintreten
wird, ohne jede endliche Zeitbestimmung. |
Alle
“begründete” Erwartung, ist Erwartung,
daß eine bis jetzt beobachtete Regel
weiter gelten wird. |
Die Regel aber muß
beobachtet worden sein und kann nicht selbst wieder
bloß erwartet werden. |
Die Theorie der
Wahrscheinlichkeit hat es nur insofern mit dem Zustand der
Erwartung zu tun, wie etwa die Logik mit dem Denken.
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Die
Wahrscheinlichkeit hat es vielmehr mit der Form und einem Standard der
Erwartung zu tun. |
Es handelt sich um die Erwartung,
daß die zukünftige
Erfahrung einem Gesetz entsprechen wird, dem die bisherige
Erfahrung entsprochen hat. |
Es ist wahrscheinlich, daß
ein Ereignis eintrifft, heißt:
Es spricht etwas dafür,
daß es eintrifft. |
Von der
Lichtquelle Q wird ein Lichtstrahl ausgesendet der die
Scheibe AB trifft und dort einen Lichtpunkt erzeugt und dann
die Scheibe AB' trifft und auf ihr einen Lichtpunkt
erzeugt. Wir haben keinen Grund anzunehmen,
daß der Punkt auf AB rechts oder links
von M, aber auch keinen Grund, anzunehmen,
daß der Punkt auf AB' rechts
oder links von m ist; das gibt scheinbar widersprechende
Wahrscheinlichkeiten. Aber, angenommen, ich habe eine Annahme über die Wahrscheinlichkeit gemacht, daß der Punkt auf AB in AM liegt, wie wird diese Annahme verifiziert? Doch durch einen Häufigkeitsversuch. Angenommen, dieser bestätigt die eine Auffassung, so ist sie damit als die richtige erkannt und erweist sich so als eine physikalische Hypothese. Die geometrische Konstruktion zeigt nur, daß die Gleichheit der Strecken AM und BM kein Grund zur Annahme gleicher Wahrscheinlichkeit war. |
¤ |
Ich gebe jemandem die
Information und nur diese: Du wirst um die und die Zeit
auf der Strecke AB einen Lichtpunkt erscheinen sehen.
Hat nun die Frage einen Sinn
A|––––––––– “ist es wahrscheinlicher,
daß dieses Punkt im Intervall
AC erscheint, als in CB”? Ich glaube, offenbar nein. –
Ich kann freilich bestimmen, daß die
Wahrscheinlichkeit, daß das Ereignis in
CB
eintrifft || eintritt,
sich zu der, daß es in AC
eintrifft || eintritt
verhalten soll, wie
Könnte ich nicht auch im Fall des Würfels etwa 5 Flächen zusammennehmen als eine Möglichkeit und sie der sechsten als der zweiten Möglichkeit gegenüberstellen? Und was, außer der Erfahrung, kann mich hindern, diese beiden Möglichkeiten als gleich wahrscheinlich zu betrachten? Denken wir uns etwa einen roten Ball geworfen, der nur eine ganz kleine grüne Kalotte hat. Ist es in diesem Fall nicht viel wahrscheinlicher, daß er auf dem roten Teil auffällt, als auf den grünen? – Wie würde man aber diesen Satz begründen? Wohl dadurch, daß der Ball, wenn man ihn wirft, viel öfter auf die rote, als auf die grüne Fläche auffällt. Aber das hat nichts mit der Logik zu tun. – Man könnte die rote und grüne Fläche und die Ereignisse, die auf ihnen stattfinden immer auf solche Art auf eine Fläche projizieren, daß die Projektion der grünen Fläche gleich oder größer wäre, als die der roten; so, daß die Ereignisse, in dieser Projektion betrachtet, ein ganz anderes Wahrscheinlichkeitsverhältnis zu haben scheinen, als auf der ursprünglichen Fläche. Wenn ich z.B. die Ereignisse in einem geeigneten gekrümmten Spiegel sich abbilden lasse und mir nun denke, was ich für das wahrscheinlichere Ereignis gehalten hätte, wenn ich nur das Bild im Spiegel sehe. Dasjenige, was der Spiegel nicht verändern kann, ist die Anzahl bestimmt umrissener Möglichkeiten. Wenn ich also auf meinem Ball n Farbflecke habe, so zeigt der Spiegel auch n, und habe ich bestimmt, daß diese als gleichwahrscheinlich gelten sollen, so kann ich diese Bestimmung auch für das Spiegelbild aufrecht erhalten. Um mich noch deutlicher zu machen: Wenn ich das Experiment im Hohlspiegel ausführe, d.h. die Beobachtungen im Hohlspiegel mache, so wird es vielleicht scheinen, als fiele der Ball öfter auf die kleine Fläche, als auf die viel größere und es ist klar, daß keinem der Experimente – im Hohlspiegel und außerhalb – ein Vorzug gebührt. |
Was
heißt es nun aber eigentlich, zu bestimmen,
zwei Möglichkeiten hätten die gleiche
Wahrscheinlichkeit?
Heißt es nicht, daß, erstens die uns bekannten Naturgesetze keine der beiden Möglichkeiten bevorzugen und zweitens die relativen Häufigkeiten der Ereignisse in beiden Fällen sich unter gewissen Umständen einander nähern. |
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