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Gleichungen und Ungleichungen sind Festsetzungen oder die
Folgen von Festsetzungen. |
Eine Ungleichung, wie eine Gleichung
muß entweder das Resultat einer Ausrechnung, oder
eine Festsetzung sein. |
So wie die Gleichungen als Zeichenregeln, im Gegensatz zu Sätzen,
aufgefaßt werden können, so
muß es auch bei den Ungleichungen geschehen
können. |
Die Verneinung der Gleichung ist so ähnlich der Verneinung eines
Satzes und so verschieden von ihr, wie die Bejahung der
Gleichung und die Bejahung eines Satzes. |
Ein mathematischer Satz kann nur eine Festsetzung sein,
oder ein nach einer bestimmten Methode aus Festsetzungen errechnetes
Resultat.
Und das muß für “9 ist durch 3
teilbar” oder “9 ist durch 3 nicht teilbar”
gelten. 2 |
Wie errechnet man
2 × 2 =
5? |
Wesentlich ist vielleicht nur, daß man einsieht,
daß, was sich durch Ungleichungen ausdrückt,
wesentlich, d.h. formell
verschieden ist von dem durch Gleichungen
Ausgedrückten.
Und so kann man ein Gesetz, das die Stellen eines Dezimalbruchs liefert
und mit Ungleichungen arbeitet, gar nicht unmittelbar mit einem
vergleichen, welches mit Gleichungen arbeitet.
Wir haben hier ganz verschiedene Methoden vor uns, und daher
verschiedene Arten arithmetischer Gebilde. |
D.h. man kann nicht in der Arithmetik Gleichungen
und etwas Anderes (etwa Ungleichungen) ohne weiteres auf
eine Stufe stellen, als wären es etwa verschiedene
Tiergattungen.
Sondern die beiden Methoden werden dann kategorisch verschieden sein
und miteinander unvergleichbare Gebilde bestimmen
(definieren). |
Welche Gleichung, etwa, von der Form
abc …
mal cde … = ghi … ist
richtig, welche falsch? |
Ja, kann man von dem Schriftzeichen
(überhaupt) sagen, es sei richtig (oder
falsch)?
Das nämlich hängt mit dem Sinn der Antwort zusammen: “richtig ist die Gleichung, die man nach den Regeln erzeugen kann” im Gegensatz zu der: “richtig ist die Gleichung, die man nach den Regeln erzeugt hat”. Was ist das Kriterium dafür, daß man die Gleichung nach den Regeln erzeugen kann? 3
Das ist klar, daß die Position (Gleichung) nur im System, worin sie erzeugt werden kann, richtig oder falsch ist. |
Dasjenige, was 2 + 2 =
4 bedeutungsvoll macht, das also, was macht,
daß
2 + 2 = 4
richtig und 2 + 2 =
5 falsch ist und nicht zwei gleichberechtigte Festsetzungen,
ist die Beweisbarkeit von
2 + 2 = 4, und
nur sie.
Daß also
((1) + 1) + ((1) + 1)
= (((1) + 1) + 1) + 1 zu dem
allgemeinen System a + (b + 1) +
(a + b) + 1 gehört. |
Ohne diese Beweisbarkeit wäre
2 + 2 = 4 eine
willkürliche Zeichenregel und von richtig oder falsch bei ihr nicht die
Rede.
Die Demonstrabilität macht die Gleichung zu etwas, was sich mit einem
Satz vergleichen läßt. |
“a + (b + 1) +
(a + b) + 1” eine Definition zu nennen, ist
eigentlich schon ein Fehler, denn es ist eine Zeichenregel ganz anderer
Art als z.B.
(1) + 1 =
2. |
Man könnte nun fragen: Welche Bedeutung hat
2 + 2 =
4? ist es nicht eine Zeichenregel?
Wenn ja, so ist es willkürlich.
Die Antwort ist, daß die Bedeutung von
2 + 2 = 4 nicht
in ihm selbst, sondern in seiner Beweisbarkeit, das
heißt in seiner Beziehung zu anderen Zeichenregeln
liegt, also in seiner || der Zugehörigkeit zu einem System.
D.h. also, daß jener Beweis
(ebenso) interne Beziehungen zwischen 2 und 4
aufzeigt, wie der Beweis, daß
p ⊃ q & p
. ⊃ . q eine Tautologie ist, interne Beziehungen zwischen
p ⊃ q &
p und q zeigt. |
Eine Gleichung gewinnt erst in einem Kalkül mathematische
Bedeutung. 4
So ist “lim (n = inf)
|
Eine Ungleichung ist so gut eine syntaktische Regel wie eine
Gleichung.
Die Analogie der Wahrheitsfunktionen in Verbindung mit Gleichungen mit
den Wahrheitsfunktionen der Sätze ist eine vollständige –
d.h. die geltenden Regeln sind in beiden Fällen
dieselben – nur das eben die Gleichung keine Sätze sind.
(Wir haben ja in den Wahrheitsfunktionen auf Hypothesen angewendet ein weiteres Beispiel solcher Analogien.) |
Ist es nicht klar: die Sätze der reinen Mathematik können nur
als Zeichenregeln angewendet werden. || können in ihrer Anwendung nur Zeichenregeln
sein.
(Nur Bedingungen des Sinns.) |
Der arithmetische Satz nämlich nicht, daß man
in einer Ziffernreihe durch Anlegen
von 123 und 1234 nicht bis zum Zeichen “9” kommt, sondern
es steht dafür, daß es in der Reihe 1 2 3 4 5 6 7 8
9 nicht geschieht.
Diese Reihe ist im arithmetischen Satz
präsupponiert und er ist daher keine Beschreibung
von außen dieser Reihe. –
Man könnte es auch so sagen: Es ist ein Satz:
“der Stab a und der Stab b sind aneinandergereiht kürzer,
als der Stab c; oder der Stab a ist 3 m lang, b
4 m und c 9 m”.
Aber ich kann nicht sagen, daß die Länge des
längeren Stabes länger ist als die des kürzeren. || Aber von den Längen kann ich nicht aussagen,
daß die Länge des längern Stabes
länger ist als die des
kürzeren. || Aber ich kann
nicht sagen, daß die Länge 9 m länger ist,
als die Längen 4 m + 3 m. || 4 m
und 3 m zusammen. –
Diese Längen sind etwas, was ich von den Stäben mit Recht oder Unrecht
aussage, um zu zeigen, daß sie, die Stäbe, in gewissen
Verhältnissen zueinander stehen, aber dazu muß
der Sinn dieser Längenangaben schon fixiert sein und kann nicht
erst durch einen Satz noch behauptet werden.
Oder: Die Angabe, daß a 3 m, b 3 m, c 9 m lang ist, ist eben die, durch welche ich zeige, daß c länger ist als a und b zusammen. Ein 6 Satz, der sagte,
daß
3 m +
4 m kleiner ist als 9 m, entspräche einem Satz
der sagte, daß länger länger ist als kürzer (oder
“groß gr klein”).
Ein solcher Ausdruck entspräche vielmehr dem, was festzusetzen ist, ehe überhaupt etwas gesagt werden kann. “3 + 4 kl 9” gehört eben auch zum “Spiel” und ist eine Stellung der Figuren, die nur mit den allgemeinen Regeln übereinstimmen kann, oder nicht. Länger und kürzer sind eine externe Eigenschaft der Stäbe, aber eine interne der Längen. (Sie durch einen Satz auszudrücken hieße etwa, die Bedeutung eines Wortes durch einen Satz, worin das Wort steht, aussprechen zu wollen.) |
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