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Das [U|Ü]berraschende kann in der
Mathematikch // in der
den
Darstellungen der Mathematik // zweierlei
völlig verschiedene Rollen spielen.
Man kann den Wert einer mathematischen Gedankenreihe darin
erblicken, dass sie etwas
Uberraschendes //
etwas uns überraschendes //
zutage fördert: – weil es von
grossem Interesse, von grosser
Wichtigkeit ist, zu sehen, wie ein Sachverhalt durch die
und die Art seiner der Darstellung
überraschend, oder paradox,
// überraschend,
ˇoder erstaunlich,
auch paradox
wird ja paradox
wird. // | | |
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Hievon verschieden
ist, ,
meines
Wissens, gegenwärtig gepflogene
Darstellungsweise | // heute
,
Auffassung der Mathematik // , der das
[U|Ü]berraschende, das Erstaunliche, darum als Wert
gilt, weil es , in welche
Tiefe die mathematische Untersuchung dringt; – wie wir den
Wert eines Teleskops daran ermessen
,
dass es uns Dinge zeigt, die wir ohne dieses
Instrument nicht hätten ahnen können.
Der Mathematiker sagt gleichsam: “Siehst Du, das
ist doch wichtig, das hättest Du ohne mich nicht
gewusst.” –
So als wären durch diese [U|Ü]berlegungen, als durch
eine Art höheren Experiments, erstaunliche, ja die erstaunlichsten
Tatsachen, ans Licht gefördert
worden. ⋎
Der Mathematiker aber ist kein Entdecker, sondern ein
Erfinder. | | |
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“Das ist ein überraschendes
!”
– Diese
Demonstration hat ein überraschendes
Resultat”
Wenn es Dich überrascht, dann hast Du es noch nicht
verstanden.
Denn die [U|Ü]berraschung ist hier nicht legitim, wie
beim
Ausgang eines
Experiments.
Da – möchte ich sagen – darfst Du Dich ihrem
Reiz hingeben; aber nicht, wenn sie Dir am Ende einer
Schlusskette zuteil wird.
Denn da ist sie nur ein Zeichen dafür, dass
noch Unklarheit, oder ein Missverständnis
herrscht.
“Aber warum soll ich nicht überrascht sein,
dass ich dahin geleitet worden
bin?” –
Denk Dir Du hättest einen langen algebraischen Ausdruck vor Dir; es
sieht zuerst aus, als liesse er sich nicht wesentlich
kürzen; dann aber siehst Du eine Möglichkeit der Kürzung und nun
gehst geht sie weiter, bis der Ausdruck zu einer
kompakten Form zusammenschrumpft.
Können wir
(hier) nicht über
dies Resultat überrascht sein?
(Beim Patience-Legen geschieht ähnliches.)
Gewiss, und es ist eine angenehme
[U|Ü]berraschung; und sie ist vom
psychologischem Interesse, denn sie zeigt ein
Phenomen des
Nicht-[U|Ü]berblickens und der
[A|Ä]nderung des Aspekts eines gesehenen
Komplexes.
Es ist interessant, dass man es diesem Komplex
nicht immer ansieht, dass er sich so kürzen
lässt; ist aber der Weg der Kürzung übersichtlich
vor unsern Augen, so verschwindet die
[U|Ü]berraschung.
Wenn man sagt, man sei eben überrascht, dass man
dahin geführt worden sei, so ist dies keine ganz
richtige. Darstellung des Sachverhalts.
Denn diese [U|Ü]berraschung hat man doch nur dann,
wenn man den Weg noch nicht kennt.
Nicht, wenn man ihn ganz vor sich sieht.
Dass dieser Weg, den ich ganz vor mir habe, da
anfängt, wo er anfängt, und da aufhört, wo er aufhört, das ist keine
[U|Ü]berraschung.
Die [U|Ü]berraschung und das
Interesse kommen dann
sozusagen von aussen.
Ich meine man kann
sagen “Diese mathematische
Untersuchung hat grosses psychologisches
Interesse”, oder “grosses
physikalisches Interesse”.
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Ich staune immer wieder bei dieser Wendung des Themas; obwohl ich es
unzählige Male gehört habe und es auswendig
weiss.
Es ist vielleicht sein Sinn, Staunen zu erwecken.
Was soll es dann heissen, wenn ich sage:
‘Du darfst nicht staunen!’?
Denke an mathematische Rätselfragen.
Sie werden gestellt, weil sie überraschen; das ist ihr
ganzer Sinn.
Ich will (also)
sagen: Du sollst nicht glauben, es sei hier etwas verborgen, in das
man nicht Einsicht nehmen kann– –als seien wir durch einen
unterirdischen Gang gegangen und kämen nun irgendwo ans Licht, ohne aber
wissen zu können, wie wir dahin gekommen sind, oder welches die Lage
des Anfangspunkts Eingangs
zum Ausgang des Tunnels .
Wie aber konnte man denn überhaupt in dieser Einbildung
sein?
Was gleicht in der Rechnung einer Bewegung unter der Erde?
Was konnte uns denn dieses Bild nahe legen?
Ich glaube: dass kein Tageslicht auf diese
Schritte fällt; dass wir den
Anfangs- und Endpunkt der Rechnung in einem
Sinne verstehen, in dem ˇwir den übrigen Gang der Rechnung
nicht verstehen.
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“Hier ist kein Geheimnis!” – aber wie
konnten wir denn glauben, dass eines
sei? –
Nun, ich bin immer wieder den Weg gegangen und war immer wieder
überrascht; und auf den Gedanken, dass man hier
etwas verstehen kann[:|,] bin
ich nicht gekommen. –
“Hier ist kein Geheimnis”,
heisst also: Schau Dich doch um!
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Ist es nicht, als sähe man in einer Rechnung eine Art
Kartenaufschlagen?
Man hat die Karten gemischt; man weiss
nicht, was dabei vor sich ging: aber am Ende lag diese Karte obenauf der
Zehner | , und
bedeutet
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Unterschied zwischen dem Werfen des Loses und dem Auszählen vor
einem Spiel.
Könnten aber nicht naive Menschen auch im Ernstfalle statt einen
Mann auszulosen sich des Auszählens bedienen?
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Was tut der, der uns darauf aufmerksam macht, dass
beim Auszählen das Ergebnis abgekartet ist?
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Ich will sagen: “Wir haben keinen
[U|Ü]berblick über das, was wir gemacht haben, und
deshalb kommt es uns geheimnisvoll vor”.
Denn nun steht ein Resultat vor uns, und es ist uns nicht durchsichtig wir wissen nicht mehr,
wie wir dazu gekommen sind | ,
aber wir sagen (wir haben
gelernt zu
sagen): “also muss es so
sein” // “so muss es
sein” // ; und wir nehmen es
hin[,| –] und staunen
darüber.
Könnten wir uns nicht ˇdiesen Fall
denken,: dass
[e|E]in Mensch Jemand
verschiedene hat eine Reihe von
Befehlen, von der Form “Du
musst jetzt das und das … tun so
& so handeln”, einzeln auf Karten
geschrieben[,|.] hätte,
dass er die diese Karten
dann [e|E]r mischt, und
ˇliest die, welche obenauf zu liegen kommt, liest
– und er
sagt: Also, ich
muss das tun! –
Denn das Lesen eines geschriebenen Befehls macht nun einmal einen
bestimmten Eindruck, hat eine bestimmte Wirkung.
Und ebenso auch das Anlagen bei einer
Schlussfolgerung. –
Man könnte aber vielleicht den Bann eines solchen Befehls brechen,
indem man [ˇEinem|ˇihm]
ˇdiesem Menschen noch einmal klar vor Augen führt,
wie man er zu
diesen Worten ist,
und diesen Vorgang mit anderen ˇVorgängen
vergleicht. // und, was da
geschehen ist, mit andern Fällen vergleicht // –
indem man z.B. sagt: “Es hat Dir
doch niemand den Befehl gegeben!”
Und es ist es nicht auch so, wenn ich
sage: “Hier ist kein Geheimnis”? –
Er hatte ja, in gewissem Sinne, nicht ge[h|g]laubt,
dass ein Geheimnis vorliegt.
Aber er war unter dem Eindruck des Geheimnisses (wie
der Andere unter dem Eindruck eines Befehles).
In einem Sinne kannte er ja die Situation, aber er
verhielt sich zu ihr (im Gefühl und im Handeln) ‘als läge
ein andrer Sachverhalt vor’ – wie wir sagen würden.
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“Eine Definition führt Dich doch nur wieder einen Schritt
zurück, zu etwas anderem nicht Definiertem.”
Was sagt uns das?
Wusste das irgend jemand nicht? –
Nein; aber
konnte er es nicht aus
dem Auge verlieren?
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Oder: “Wenn Du schreibst
‘1, 4, 9, 16, …’, so hast Du nur vier Zahlen
angeschrieben, und vier Pünktchen” – worauf machst Du da
aufmerksam?
Konnte jemand etwas anderes glauben?
Man sagt Einem in so einem Falle auch: “Damit hat
Du weiter nichts hingeschrieben als vier Zahlzeichen und noch
ein fünftes Zeichen die Pünktchen”.
Ja, wusste er das nicht?
Aber kann er nicht doch sagen: Ja wirklich, ich habe die
P[u|ü]nktchen nie als ein weiteres
Zeichen in dieser // als ein ˇmathematisches Zeichen
nach dem Zahlzeichen⌊ // ⌋
aufgefasst, – sondern als eine Art Andeutung weiterer Zahlzeichen
aufgefaßt. dass hier so
allerdings so aussieht, wie weitere flüchtig geschriebene Ziffern,
aber auch anders geschrieben werden könnte, dass es
den Charakter eines Buchstabens oder Zahlzeichens
hätte. |
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Oder wie ist es, wenn man darauf aufmerksam macht,
dass eine Linie im Sinne
Euklids eine Farbengrenze ist und nicht
ein Strich; und ein Punkt der Schnitt solcher Farbengrenzen und kein
Tupfen?
(Wie oft ist gesagt worden, dass man sich einen
Punkt nicht vorstellen kann.)
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Man kann in der Einbildung leben,
de[k|n]ken, – dass es sich so und so
verhält, ohne es zu glauben;
d.h.: wenn man gefragt wird, so
weiss man es, hat man aber nichts auf die
Frage zu antworten, so weiss man es
nicht,
sondern man handelt und
denkt dann nach einer andern Ansicht.
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Denn eine Ausdrucksform lässt uns so und so
handeln.
Wenn sie unser Denken beherrscht, so möchten wir trotz aller
Einwendungen sagen: “in gewissem Sinne verhält es sich
doch so.”
Obwohl er gerade auf den ‘gewissen Sinn’
ankommt.
([A|Ä]hnlich beinahe, wie es uns
die Unehrlichkeit eines Menschen bedeutet, wenn wir
sagen: er sei kein Dieb.) (Sieh' Betrachte doch nur die
Technik unserer elenden Zeitungen an!) // Vergiß doch nicht was Dir Vergessen wir doch nicht was uns … täglich vor Augen
ist –
die Technik unsrer Zeitungen. //
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