7
Die Allgemeinheit der Geometrie scheint immer wieder die zu sein,
daß von einem Begriff die Rede ist und wir uns nicht um die
Gegenstände kümmern || man sich nicht um die Gegenstände kümmert, die
unter diesen Begriff fallen.
Aber so kann es natürlich nicht sein, sondern wir folgen hier
– wie so oft – einer falschen Analogie. |
Welcher Art ist eine allgemeine Anweisung zu einer gewissen
euklidischen Konstruktion?
Sie hat ihre Wirkung, erfüllt ihren Zweck, erst wenn man sie anwendet,
und dann stellt sie sich einem gleichsam zur Verfügung, indem die
Variablen in ihr nun Werte annehmen. |
Man könnte so fragen: Ist etwa ein allgemeiner geometrischer
Satz unendlich komplex, da unendlich viele spezielle
Anwendungen || Fälle aus ihm
folgen? –
Nun, er ist es offenbar nicht.
Ich möchte immer sagen: die Allgemeinheit der Geometrie ist nur dadurch möglich, daß sie nicht aus Sätzen besteht. |
Man kann ein Brotmesser nicht allgemein nennen, weil sich kleine und
große Stücke damit schneiden lassen. |
“Wenn du eine Strecke halbieren willst, so nimm sie in den
Zirkel, etc.”
Und nun zeichnet man eine Figur, in der dies alles an einer
Strecke wirklich vollzogen ist und nimmt an,
daß der Andere es nun danach an jeder beliebigen
Strecke wird vollziehen können.
Die Regel setzt natürlich die unendliche Möglichkeit des Raumes
voraus, aber nicht “eine unendliche Anzahl” von
Möglichkeiten. |
Stellen wir uns einen Menschen vor, der so eine allgemeine Vorschrift
8 benützt.
Er schaut auf die Vorschrift, dann auf sein Papier: Ich soll
die Strecke in den Zirkel nehmen, – jetzt einen Kreis schlagen,
– etc., etc.
Aber in der Vorschrift steht ja garnichts
von dieser Strecke.
Aber so faßt der sie auf, der sie
anwendet. |
Der Vorschrift zur Halbierung entspricht eine Vorrichtung zur
Halbierung und in dieser wäre ein Teil etwa ein verstellbarer
Schlitten der sich der zu teilenden Strecke anpassen würde.
Hier hätten wir das Analogon zur Allgemeinheit des
Brotmessers. |
Kann man etwa die Zeichnung ) (Kann man von einem dehnbaren Beweis reden?) |
Könnte man sagen: die Figur kann durch bestimmte Arten von
Zerrspiegeln betrachtet werden und behält, durch sie gesehen, ihre
beweisende Kraft.
Sie wird von vorn herein so verstanden, daß sie
durch alle diese Zerrspiegel betrachtet werden kann.
Nur das allen diesen Bildern Gemeinsame, welches sie verkörpert, ist
das eigentliche Symbol. |
Man könnte nun freilich – fälschlich – die Figur als den Begriff
und ihre verschiedenen Bilder als die unter ihn fallenden Gegenstände
auffassen. |
Der Beweis kann nichts prophezeien.
D.h. er kann nichts Wirkliches
prophezeien. |
(Wir erkennen oft im verzerrtesten Schatten die Figur, die ihn
wirft.) |
(Die fragliche Allgemeinheit tritt, natürlich, schon in die
Definition des Kreises als Ort aller Punkte
etc. ein.) |
Es muß sich da natürlich um die Definition einer
Variablen handeln, für die ein gewisses Gebiet von Werten bestimmt wird,
aber freilich nicht als Klasse von Werten. –
Wenn ich also die vermeintliche Schlußkette mit
dem Satz anfinge “alle Radien eines Kreises sind gleich
lang”, so wäre das schon falsch, d.h. ein
unsinniger Anfang.
Wenn ich den Kreis etwa durch die Gleichung r = konstant definiere, so muß die unendliche Möglichkeit der r nach der Lage des Radius natürlich in der Bedeutung dieser Definition beschlossen liegen; aber nicht in Form einer Klasse möglicher Werte, sondern, wenn es sich um eine zahlenmäßige Geometrie handelt, durch das Gesetz der Bildung rationaler Zahlen, und, soweit es sich um eine Gesichtsgeometrie handelt, durch die jedem Radius anhaftende unendliche sichtbare Möglichkeit. |
Ich sagte früher einmal, man könnte sich eine
Euklidische
Demonstration auch an einer bewegten Figur
ausgeführt denken.
Es ist aber nicht wesentlich, daß sie bewegt,
sondern daß sie beweglich ist.
(d.h. variabel).
D.h. ich muß in ihr den Repräsentanten der unendlichen räumlichen Möglichkeit sehen. |
Wenn ich einen mathematischen Satz und einen Beweis für ihn kenne, und
später lerne ich noch einen weiteren Beweis dieses Satzes kennen, so habe
ich damit ein neues System kennen gelernt. |
Angenommen, jemand untersuchte gerade Zahlen auf das Stimmen des
Goldbach'schen Satzes hin.
Er würde nun die Vermutung aussprechen – und die läßt sich
aussprechen – daß, wenn er mit dieser Untersuchung fortfährt, er
solange er lebt keinen widersprechenden Fall antreffen werde.
23 |
Es hat Sinn, von zwei Punkten zu sagen, daß
sie durch eine Gerade verbunden seien.
Aber heißt das
, “es hat Sinn, von zwei
Dingen, die Punkte sind, zu sagen etc.”? – |
Wie weiß ich dann, daß ein
Zeichen “A” einen Punkt bezeichnet?
Etwa indem ich sehe, daß “A”
in bestimmter Weise mit anderen Zeichen verknüpft werden darf.
Aber wie weiß ich, daß diese
anderen Zeichen Gerade bezeichnen
etc.?
Dadurch, daß sie mit “A”
verknüpft werden dürfen?
Sie können doch nicht gegenseitig ihre Bedeutung bestimmen.
Das grammatische System (Spiel) ist eben autonom und seine
Anwendung ist in ihm nicht gegeben. || enthalten. |
Die Geometrie anders verstanden, als reine Grammatik,
muß angewendet sein und dann
muß es wirkliche Punkte und
Geraden etc. geben; der Satz,
daß eine Gerade zwei Punkte verbindet,
muß dann eben einen wirklichen Sinn haben.
|
Und es heißt der geometrische Satz dann auch nicht
“alle Punktpaare sind durch eine Gerade
verbunden,” sondern “können durch eine
Gerade verbunden werden.”
Und hier braucht man dann das Wort “je zwei
Punkte || Punkte” und nicht
“alle Punktpaare,” und deutet damit den
Unterschied von einer anderen Art der Allgemeinheit an. |
Die Grammatik kann ihre Regeln nicht auf gut Glück allgemein
aussprechen (d.h. sie
offenlassen). 34 |
Sage ich jemandem “gehe drei Schritte” und er versteht
den Befehl, so kann er ihn mir etwa durch eine Zeichnung
erklären.
Er sagt: Wenn hier der Weg ist und A der Anfang, so
willst du, daß ich nach B dann nach C
und D kommen soll; oder dergleichen.
Und dabei ist es klar, daß er in gewissem Sinne
nur einer Sache Ausdruck verliehen hat, die er schon früher – als er
den Befehl hörte und verstand –
wußte.
Er könnte nun so fortfahren und den Befehl noch näher erklären, etwa
durch ein ausgeführteres
Diagramm und immer würde er doch nur hervorbringen,
was ihm schon früher klar war.
Er übersetzt nur aus einer Sprache in eine andere.
Und wenn er nun endlich den Befehl ausführte, zum Zeichen,
daß er ihn verstanden hat – würde er da nicht
wieder bloß übersetzen? |
Zwischen dem Befehl und seiner Ausführung muß eine
Kontinuität bestehen.
Die Ausführung muß, sozusagen, nur die Endfläche
des Befehls (Befehlskörpers) sein. |
Ich denke, um mir das Wesen des Verstehens klar zu machen, immer an
eine Figur und eine Projektion, die man von ihr macht.
Die Projektionsmethode kann nur durch den Vergleich des Bildes mit der
Realität festgehalten sein, die eben
da || vorhanden ist. |
Aber da scheint es ja, als müsse man den Satz mit der Realität
in einem bestimmten Sinne vergleichen – also
nicht nur vergleichen.
Als müßte also die Realität in gewissen Fällen
durch die Vergleichung quasi einen Vorwurf empfinden.
Wenn sich etwas einem Ziele nähert, so liegt in dem Wort “Ziel” hier das, was ich meine (die Intention.) 38 |
¤
Ich meine, daß || Daß der Gedanke ganz Maß ist, wie der Maßstab; d.h. daß || wie alles am Maßstab unwesentlich ist außer dem Längenmaß. |
Der Gedanke ist ein Symbol. |
Der gegenwärtige Gedanke enthält alle Realität, die
gegenwärtig vorhanden ist.
(Und mehr kann er ja nicht haben.) |
Es ist sehr merkwürdig, daß in einem Buch über
Differentialrechnung in den Erklärungen mengentheoretische Ausdrücke
und Symbole vorkommen, die die im Kalkül gänzlich
verschwinden.
Das erinnert an die ersten Erklärungen in den Lehrbüchern der Physik,
in denen vom Kausalitätsgesetz und
Ähnlichem die Rede ist, was, wenn wir
einmal zur Sache kommen, nicht mehr erwähnt wird. |
Das Symbol – ich meine das, was als Symbol gebraucht
wird – mit der Wirklichkeit zu vergleichen, ist
einfach.
Die Schwierigkeit besteht darin, es, mit der symbolisierenden Beziehung
zusammen, als Gedanke mit der Wirklichkeit zu vergleichen. |
“Ich bin froh darüber, daß du
kommst” heißt nicht, ich bin froh, weil Du
kommst.
In diesem Falle wäre es eine Vermutung,
daß ich deshalb so guter Stimmung
bin.) 47 |
Also ist eine hinreichende Bedingung dafür, daß
1 bis 3, der zweite von 4 bis 15, der dritte von 16 bis 63, der m-te bis 4m ‒ 1. Die Summe 1 +
1 +
Also muß unter den ersten 4m ganzen Zahlen mindestens eine sein, die durch keine der ersten m Zahlen teilbar ist. |
Ich kann einen Apparat beschreiben, in welchem ein
Bolzen in einem Einschnitt eines Rades
eingreift, wenn dieses sich in einer bestimmten
Stellung befindet.
Kann man sagen, der Satz ist so gebaut, daß,
wenn die Realität
so ist, so schnappt sie ein?
Ich müßte also den Gedanken beschreiben können
und dann die Realität, die so gebaut ist, daß
sie mit ihm übereinstimmt.
Aber das heißt doch garnichts. |
Man kann auch nicht sagen, “daß auch die
lebhafteste Vorstellung doch nicht an die
Wirklichkeit herankommt”, denn damit wäre es also doch denkbar,
daß sie herankäme – wenn es auch nie einträte
–. 54 |
Aber ich sage ja selbst, daß der Schatten nicht
etwas ist, was auf eine äußere Art mit der Tatsache
zusammenhängt, und das heißt,
daß in diesem Vergleich ein logischer
Fehler ist. |
Wenn ich sage “b ist nicht so lang wie
a”, so scheint das jenen Schatten vorauszusetzen, der
Tatsache, daß b so lang wie a ist.
Wenn ich aber sage “b ist kleiner als
a”, so scheint das diesen Schatten nicht vorauszusetzen
und doch sagt es auch, was der erste Satz sagt. |
Man könnte also sagen: “b ist so lang wie
a” hat Sinn, weil b kürzer als a
ist.
(Oder: “dieses Buch ist blau” hat Sinn, weil es
in Wirklichkeit rot ist.) |
(Es ist eine Methode der Philosophie, die in den Wissenschaften
nicht erlaubt ist, den günstigsten Fall anzunehmen.
Am ähnlichsten ist diese Methode noch der in der
Mathematik, einen extremen Fall anzunehmen, in welchem das doch
jedenfalls eintrifft.
Argument a fortiori.) |
Man denke sich, man gebe jemandem den Befehl eine bestimmte Handlung
auszuführen, etwa eine Linie mit dem Bleistift nachzuzeichnen.
Die Sache wird deutlicher, wenn man sich den Befehl einem unserer
Wortsprache Unkundigen mit Zeichen gegeben denkt.
Man wird dann die Handlung vormachen und nun ihm
den Bleistift geben, etwa seine Hand ein Stück
führen (oder dergleichen).
Das wird der Befehl sein.
Nun wird man freilich sagen: das ist
bloß der Ausdruck des Befehls und nicht, was wir
eigentlich meinen; was wir meinen ist: … und nun werden wir
andere Zeichen für das geben, “was gemeint
ist”. –
Aber, wenn man nun den Befehl ausführte und auf die Ausführung als
nachträgliche Erklärung
des Befehls wiese?
Oder ist in dem Falle auch die Erfüllung nur ein Zeichen?
56 |
Wenn ich nun erwarte, daß auf der unteren
Ebene ein Kreis erscheinen wird von dem gesagt wird,
daß er die orthogonale Projektion des
oberen und von gleicher Farbe ist, so gäbe ich weiter nichts
als eine
Projektionsmethode.
Die Projektionsmethode kann ich von anderen Gebilden kennen.
Ich kenne sie aber doch nur so, daß eine Figur
die orthogonale Projektion einer anderen ist; aber doch nicht so,
daß keine Figur die Projektion einer Figur
ist.
Ich nehme mir vor, die Erscheinungen auf der unteren Ebene in bestimmter Weise
zu beurteilen.
Dann muß in diesem Vorsatz schon
die Projektion stecken. |
Was heißt es, eine Strecke daraufhin
untersuchen, ob sie die orthogonale Projektion einer anderen
sei? ⋎ Es kann nur heißen, eben die Striche zu ziehen, die man in einem solchen Fall zieht. – Wie ist es aber mit der Untersuchung, ob die untere Farbe die gleiche ist, wie die obere. Oder kann man sagen: auch da stelle ich mich in bestimmter Weise ein, so wie ich etwa Linien ziehe, um feststellen zu können, ob die untere Figur die Projektion der oberen ist. Ich glaube, so ist es. Das ist alles ein Einstellen, aber mehr kann ich nun nicht tun. Und dieses Einstellen ist nicht das Einstellen auf etwas anderes, d.h. nicht mit Beziehung auf etwas, was noch nicht da ist, sondern es 57 ist autonom, sozusagen das Aufrichten eines
Maßstabes, was immer geschehen mag.
|
(Des Rätsels Lösung muß in der Art || Festsetzung über die Art und Weise liegen,
wie die Erscheinung dann beschrieben wird, wenn sie
kommt.) |
Es ist ungemein schwer, den eigentlichen Ort || Punkt der
Schwierigkeit mit Worten zu erreichen. |
Denken wir uns die Einstellung durch einen Zeiger, wie
den gelben Zeiger am Aneroidbarometer, und
etwa ein solches Barometer und eine Uhr.
Auf beiden Zifferblättern stelle ich den
freien Zeiger ein, und drücke dadurch die
Erwartung aus, daß, wenn der Uhrzeiger bei
a' ) |
Wo haben wir aber in diesem Satzzeichen Worte, oder etwas, was den
Worten entspricht?
Es “bedeutet” offenbar
a' den Uhrzeiger und a den Barometerzeiger.
|
Ich bleibe in den Zeichen, bis ich in ihrer Anwendung || Verwendung aus ihnen heraustrete. |
Dann weist mein Benehmen, meine Handlung, die logische
58 Verwandtschaft mit den Zeichen auf, die ein
solches Zeichen mit seiner, Übersetzung
aufweist. |
Was ich immer sagen will, ist, daß der Gedanke
nichts Menschliches ist.
Daß er auch nicht ein bestimmtes Gefühl ist,
das man eben nur fühlen, aber nicht
etwa auch ansehen kann.
Man kann z.B. Zahnschmerzen nicht gleichsam
herausstellen und ansehen.
(Natürlich kann man nicht sagen, die Zahnschmerzen kenne man von
innen, indem man sie fühlt und könne sie nicht von
außen betrachten.
Denn die Zahnschmerzen haben kein Innen und
Außen.) |
Die heute gewöhnliche Auffassung ist die, daß das
Denken – durch den Kopf oder die Seele besorgt – ein
Privilegium eben des Kopfes oder der Seele ist (wie etwa die
natürliche Verdauung,
des Magens).
Und das ist sie auch als naturgeschichtlicher
Prozeß || Akt betrachtet, wie auch die
Verdauung in diesem Sinn dem Magen eigentümlich ist, – aber vom
Standpunkt des Chemikers betrachtet ist die Verdauung ein
Prozeß, der dem tierischen Magen nicht eignet und
ganz unabhängig davon ist, wo er tatsächlich stattfindet. –
So hat es der Logiker nicht mit einem spezifisch menschlichen
Prozeß zu tun. |
Die Logik ist eine Geometrie des Denkens. |
Man könnte freilich sagen, daß die Uhr und das
Barometer mit den verstellbaren Zeigern nur der Ausdruck eines Gedankens,
aber nicht der Gedanke selbst sind; aber dann sind sie doch Teile,
Werkzeuge, eines Gedankens, und was immer der Gedanke selbst ist, so ist
er ein anderer Vorgang als der, welcher ihn verifiziert und er hat mit diesem Vorgang nur soviel gemein, || kann mit
diesem Vorgang nur soviel gemein haben, als jene Vorrichtungen der
Uhr und des Barometers haben. –
Darum kann – und muß – man ﹖in der
Logik﹖ auch mit dem
“Ausdruck” der Gedanken operieren und auf das Andere keine
Rücksicht nehmen. 64 |
Das Denken macht Pläne.
Es zeichnet Pläne einfacher oder sehr komplizierter Art.
Nun sagt man aber: das ist doch nicht alles, man will doch etwas mit diesen Plänen, sie bedeuten doch etwas, d.h. sie sind doch mit einer Absicht gezeichnet. Ja, aber hier gibt es zwei Möglichkeiten: entweder diese Absicht ist ein Gefühl oder dergleichen, dann interessiert sie uns nicht, oder aber sie ist Teil der Sache, dann gehört sie zum Bild. Die Logik ist immer sachlich. |
Wenn der Befehl z.B. darin besteht, einen gewissen
Weg zu machen, so kann ich ihn mit Hilfe einer Karte (eines Planes)
ausdrücken.
Dabei kann der Befehl auch lauten, einen oder den anderen
Weg zu gehen und etwa gewisse Wege nicht zu gehen.
Das wird dann auch im Bild seinen Ausdruck finden, indem
etwa die ausgeschlossenen Wege durchstrichen werden.
Der Befehl || Das Bild könnte auch
bedeuten, man dürfe überall zwischen den beiden Linien
gehen, außer über das schraffierte Feld.
|
Wenn nun tatsächlich ein Weg zwischen zwei Orten abgesperrt
wird und etliche andere offen gelassen werden,
ist in diesen Tatsachen schon eine Verneinung und eine
Disjunktion enthalten? |
Wie ist es aber, wenn ich einen Befehl auf eine bestimmte Weise
interpretiere und ihm zuwiderhandle.
Worin liegt es, daß meine Handlung nicht
meine Interpretation des Befehls ist, sondern ein
Entgegenhandeln?
Wird dadurch nicht meine frühere Auffassung
über den Haufen geworfen? Ich kann sagen, wenn der Handelnde es nicht sagte || ausdrückte, so könnte man nie wissen, daß es ein Entgegenhandeln ist. Und wenn er es nun sagt, so verstehen wir es nur durch unsere Interpretation der Verneinung. 65 |
Man würde glauben, wenn ich dem Befehl so wie ich ihn
verstehe, || auffasse, zuwiderhandeln kann, dann
muß meine Handlung dem Ausdruck meiner Auffassung
unmittelbar widerstreiten. –
Oder ist es nur die Interpretation meiner Handlung, die der
Interpretation des Befehls (sozusagen auf gleicher Ebene)
widerspricht? |
Disjunktion, Negation etc.
scheinen in der Einstellung zu einem Bild zu
liegen. Sie entsprechen || scheint in der Einstellung zu einem
Bild zu liegen. Sie entspricht der elektrischen Schaltung,
durch die etwa eine Klingel mit Schaltern verbunden
ist. |
Denken wir uns folgende Einstellungen: 1) Die Glocke läutet nur dann, wenn ich den Zeiger a dem Zeiger b gleichrichte; 2) die Glocke läutet nur dann nicht, wenn ich a dem b gleichrichte; 3) die Glocke läutet nur, wenn a entweder dem b oder auch dem c gleichgerichtet ist; 4) die Glocke läutet in allen anderen Zeigerstellungen von a, außer, wenn er mit b oder c gleichgerichtet ist; 5) die Glocke läutet nur dann, wenn sowohl b als c mit a gleichgerichtet sind; 6) die Glocke läutet nur, wenn b mit a gleichgerichtet, c mit a aber nicht gleichgerichtet ist; etc. Das Glockenzeichen bedeutet Zustimmung (oder auch das Umgekehrte). Man könnte so eine Schaltung auch an dem Modell der erlaubten oder verbotenen Wege anbringen. Dieses Modell wäre dann der Ausdruck eines Befehls. Könnte man es aber mit Recht ein Bild nennen? |
Eine Meinung (d.h. ein Sinn), die man nicht
erklären kann, interessiert uns nicht, denn, ihr kann man auch nicht
zuwiderhandeln. |
Wenn die Interpretation ein Bild ist, so
sind zwei entgegengesetzte
Interpretationen entgegengesetzte Bilder. |
In Wahrheit muß aber im Verbot immer das beschrieben
werden,
was verboten ist. 75 |
Ich glaube es war nicht richtig zu sagen “der Satz
muß zusammengesetzt sein”, sondern er kann
tatsächlich auch unzusammengesetzt sein, wenigstens im wörtlichen
Sinne; – seine “Zusammensetzung” besteht
eigentlich darin, daß er ein besonderer Fall einer
allgemeinen Regel der Bildung von Zeichen ist.
Denn man kann zwar “ambulo” aus der
Stammsilbe und der Endung zusammengesetzt ansehen, aber wie wäre es,
wenn diese Form bloß durch die
Stammsilbe allein gebildet würde? |
Wie man von dem Sinn eines Satzes in gewisser Weise nicht reden kann,
so auch nicht von dem Ausdruck des Gedankens, Wunsches, Befehls,
etc., denn auf die Frage:
“Welcher || welcher
Wunsch ist durch diesen Satz ausgedrückt”,
muß nur﹖ ein Ausdruck des Wunsches zur
Antwort kommen.
Dasselbe gilt auch von dem Ausdruck “dieser Satz teilt mir etwas (bestimmtes) mit”. |
Und hier muß man – glaube ich –
sagen, daß die Verneinung,
Disjunktion, etc., im Gedanken ebenso
“primitiv” ist, wie in unserer Zeichensprache.
Wie vermöchte man auch in ihr die Verneinung zu denken,
wenn sie wie ein schlecht passendes Kleid der Verneinung
wäre.
Oder – würde man erwarten – man müßte doch
fühlen, wie einen die Ausdrucksform überall drückt (quasi wie ein
harter nicht wirklich passender Schuh.) |
Gibt es einen Existenzbeweis für Primzahlen, und
einen der die Existenz unendlich vieler Primzahlen beweist?
Und in welchem Verhältnis stehen diese zueinander? |
Durch die Methode des
Multiplizierens (etwa im Dezimalsystem, aber gleichgültig in
welchem System) ist die Existenz von Produkten, von teilbaren Zahlen
bewiesen. |
Wenn n und m relativ prim sind und n die
größere und 76 n = a0m +
r0, dann können die Fälle eintreten,
daß
u.s.w. |
Fügt man nun n zusammen zu 1n, 2n, 3n
etc. so sieht man, daß gegenüber
einem Vielfachen von m solange ein Rest bleibt, bis man
zu m ∙ n
kommt, wo immer der Euklidische Algorithmus endet
(d.h. welche der Formeln immer für m
anwendbar ist).
Im ersten Fall z.B. wenn m = a1a2 + 1: 1n = a0m + a2 2n = 2a0m + 2a2 … vn = va0m + va2 der Rest va2 bleibt jedenfalls solange kleiner als m, bis v = a1 wird¤. 80 |
Inwiefern kann man aber das Bild ) den Beweis von
3 + 4 = 7
nennen? (da doch aus dem Bild die Formel in keinem Sinne
hervorgeht.)
Offenbar nur kraft einer allgemeinen Regel, die Gleichungen mit solchen
Bildern verknüpft.
Denn wenn ich die Gleichung 2 + 5 = 9 aufstelle, so kann man sagen “wir werden gleich sehen, ob das so ist”, und nun stellt man den entsprechenden Kalkül an und sieht, ob die Gleichung stimmt (und genau dasselbe gilt natürlich von den Ungleichungen). Aber der entsprechende Kalkül entspricht eben nur auf Grund einer allgemeinen || durch eine allgemeine Regel. |
In dem oberen Additionsschema sind die Ziffern
Ordnungsziffern.
Sie bezeichnen also einfach eine bestimmte Stelle, die soundso vielte
Stelle.
Man könnte das deutlicher machen durch die
Schreibung: ) .
Es ist klar, daß man mit diesem Algorithmus auch multiplizieren, subtrahieren und dividieren kann, und daß alles die volle Strenge hat. (Übrigens ist ja diese Rechenmethode die des Rechenschiebers.) |
Das Wort “Gasthaus” über dem Tor eines Hauses zeigt an,
daß dort ein Gasthaus ist.
Es muß der besondere Fall einer allgemeinen Regel
vorliegen, damit wir das Wort als
Mitteilung, also als Satz, verstehen.
Das zeigt uns wie weit
“Zusammengesetztheit” ein
Charakteristikum des Satzes ist. 91 |
Was geschieht, wenn ich mir einen Schachzug überlege?
In diesem Falle kann ich die Züge im Vorhinein machen
und also das direkteste Bild dessen entwerfen, was geschehen
wird. |
“Wieviel Punkte muß man nach
der Reihe setzen, um das
‘u.s.w.’
anzudeuten?”
Tut es nicht einer? |
Kann man von der Zahlenreihe sagen, sie habe kein Ende? “Aber, wie wäre es, wenn es anders
wäre?” Aber kann ich nicht vom Schachspiel sagen, die Reihe der
Schachfiguren habe ein Ende, und in einem
anderen || andern Spiel, sie habe kein Ende? wenn man die Erlaubnis
hätte, beliebig viele Felder, einer Regel gemäß, mit
Steinen zu besetzen. |
(Was ich mit den Zeichen tue, ist für den Mathematiker ein
Herum … [und war es für
Ramsey], und mit
Recht, denn er will vorwärtskommen, während ich
mich ungestört || unbeirrt bei einigen wenigen
Zeichen und zwei Schritten des Kalküls aufhalte.) |
) |