Prof. L. Wittgenstein
Trinity College
Cambridge
1
 
  
 
⌊⌊ Nun, was würde er ein ‘bloßes Deuten’ nennen? Etwa wenn er sagte: “Das sieht nicht wie ein aus aber es soll eins sein.” Der andre Fall wäre: “Doch das ist ein ; nur ein bißchen anders geschrieben.” ⌋⌋

 
  
 
6.6.41.
    einmalc als , einmalc oder als sein Spiegelbild
gesehen
sehen
. – Wenn mir ein ein vertrauenswürdiger Mensch sagt, daß mich versichert: daß seine Erfahrung ganz so ist, wie wenn er einmal einen, einmal einen andern Gegenstand sieht, – kann ich das als Evidenz
betrachten
annehmen
dafür, daß es sich hier um ein verschieden Sehen (& nicht, etwa, um ein verschieden Denken) handelt? Und warum kann ich
es
das
nicht? Wenn er intelligent ist, & die Sprache versteht, sollte er es doch wissen!

 
  
 
    Ich kann sein Zeugnis nicht annehmen, weil es kein Zeugnis ist.

 
  
 
    “Geneigt sein zu sagen …” vergleiche “Vouloir dire”.

2


 
  
/
 
Kann “ich bin geneigt zu sagen: ‘ich habe Schmerzen’” die Aussage “ich habe Schmerzen” ersetzen? – Warum nicht? Das ist kein Einwand: daß die Sätze von [v|V]erschiedenem handeln.

 
  
∫ /
 
    Bald hätte ich gesagt: “dieser Ersatz ließe sich auch
nach
in
der alten Auffassung
verstehen
rechtfertigen
”! Aber was ist die ‘alte Auffassung’? Sie ist, glaube ich, durch ein Bild charakterisiert: Das des Sehens, des Anschauens eines Gegenstandes, der nicht unter den physikalischen Gegenständen, sondern wo anders
sich befindet
seinen Platz hat
.
    (Denn warum soll ich mir die Anwesenheit dieses Gegenstands vor meinem geistigen Auge nicht eben als den Reiz denken, der die Geneigtheit, das & und das zu sagen, ausmacht?)

 
  
? /
 
¤     Das Beispiel von dem ‘Wissen, wie man zu antworten hat’ zeigt
3


 
  
 
Da ich aus Versehen zwei Seiten überblättert habe so will ich den Raum als Tagebuch benutzen. Ich hatte den Gedanken, noch jemals fur mich über philosophische Probleme nachzudenken schon ganz aufgegeben. So war es ganz unerwartet, daß ich wieder, wenn noch so schwach, denken konnte. Und Gott weiß wie lange es dauern wird. – Ich habe viele Herzschmerzen gehabt. Und ware ich starker, könnte ich verdauen, was kommt, so ware alles das zum Guten.

 
  
 
    Unsere größten Dummheiten können sehr weise sein.

 
  
 
    Meine Nerven sind in schlechtem Zustand. Ich weiß nicht warum. Ich bin häufig, ohne G[i|r]und innerlich aufgeregt; zittere und vibriere gleichsam
4
innerlich, daß ich mich furchte, wenn dieser Zustand stärker wird ich könnte ganz außer mir geraten, oder meine Seele könnte sozusagen überschnappen. Wie ein Körper der auf einer seiner Flächen im Gleichgewicht ist, wenn er weit genug aus der dieser Gleichgewichtslage herausgehoben wird, in eine andere fallen kann.
        Ich fürchte mich, wie schon so oft im Leben, vor Müdigkeit, vor Erschopfung. Welchen Grund, allerdings, ich zur Erschöpfung haben soll, weiß ich nicht.

 
  
 
    Unterschätze nie Deine Nebenbuhler! – ihren Verstand, ihr Talent, ihr Können!
 
  
 
21.6.
I've got to be able to take it. Wenn ich ein Waschlappen bin,
darf
kann
ich mir nichts gutes erwarten. – Willst Du Güte und Stärke in der Welt, warum willst Du sie nicht selber liefern?
5
 
  
? /
 
¤ nur, daß man bei Beschreibung der Mathematik nicht von Wissen & Mitteilung reden muß

 
  
∕∕ \
 
7.6.41.
Der Gegenstand vor dem geistigen (inneren) Sinnesorgan ist
unsre
die
Erklärung, Schein-[e|E]rklärung, der Äußerung. Das Scheingesims, das das Auge fordert,
obschon es
wenn es gleich
nichts traägt.
 
  
/ \
 
Wir fordern oft eine Erklärung, weil wir die Form der Erklärung // Erklärungsform // fordern; aber auch wenn sie nichts trägt. ⌊⌊ Erinnere Dich, daß wir oft Erklärungen fordern nichts ihres Gehalts wegen, sondern der Form der Erklärung wegen. Die Forderung ist eine architektonische & die Erklärung eine Art Scheingesims.⌋⌋

 
  
? /
 
Aber bist Du nicht doch nur ein verkappter Behaviourist? Denn Du sagst, daß nichts hinter der Äußerung der Empfindung steht.
    Sagst Du nicht doch im Grunde, daß alles Fiktion ist, außer dem Benehmen? – Fiktion? So glaube ich also, daß wir nicht wirklich etwas empfinden, sondern nur Gesichter
schneiden
machen
?! Aber Fiktion ist der Gegen-
6
stand hinter der Äußerung. Fiktionˇ ist es, daß unsre Worte, um
etwas zu bedeuten,
Bedeutung zu haben
auf ein Etwas anspielen müssen, das ich, wenn nicht einem Andern, doch mir selbst zeigen kann. (Grammatische Fiktion.) ¤


 
  
∕∕ \
 
Der Satz: “Hinter der Äußerung der Empfindung steht nichts” ist ein grammatischer – er sagt also nicht, daß wir nichts empfinden.

 
  
/
 
Meine Kritik besteht darin, daß ich die gewöhnliche, primitive Auffassung der Funktion der Wörter im Sprachspiel // im Gebrauch der Sprache // als zu eng hinstelle. // bezeichne. //

 
  
∕∕
 

¤
↺ // Fiktion? So glaube ich also, daß wir nicht eigentlich empfinden; sondern bloß so tun? Fiktion aber ist wirklich die Erklärung der Äußerung mit dem mittels des privaten Gegenstands. vor unserm innern Sinne. //
7


 
  
∕∕ \ ?
1
 
    Aber sagst Du nicht doch daß ‘Seele nur etwas am Körper’ sei? – Daß, wenn Du das Benehmen der Menschen (eines Stammes) beschrieben hast, Du alles beschrieben hast? – Aber der, der die Äußerung des Schmerzes macht, beschreibt doch nicht sein ˇeigenes Benehmen!

 
  
∕∕ \ ?
2
 
   Aber wenn nichts hinter der Äußerung steht,
heißt
sagt
das nicht doch, daß sie nicht etwas ausdrückt // nicht der Ausdruck von etwas ist // ? Nein, denn, was sie ausdrückt, ist nicht, was wir uns geeinigt haben, so zu nennen.

 
  
/
 
8.6.
  Die Rolle der Sätze, die von den Maßen handeln & nicht ‘Erfahrungssätze’ sind. – Jemand sagt mir: ‘[d|D]iese Lange Strecke ist
8
240
Zoll
Fuß
lang’. Ich sage: ‘Das sind 20 Fuß, also ungefähr 7 Schritte & habe nun einen Begriff von der Länge erhalten. – Die Umformung beruht darauf , daß arithmetischen Satzen & auf dem Satz, daß 12 Zoll = 1 Fuß ist.

 
  
? /
 
    Diesen letzteren Satz wird niemand für gewöhnlich, als Erfahrungssatz aussprechen. Man sagt er
drückt
spricht
ein Übereinkommen aus. Aber das Messen würde seine[m|n] gegenwärtigen Charakter gänzlich
verlieren
// verändern //
ändern
, wenn nichtˇ, Z.B., die z.B. Aneinanderreihung von 12 Zollstücken für gewöhnlich eine Länge ergäbe, die sich
wieder einfach aufbewahren
wieder besonders aufbewahren
läßt.

 
  
? /
 
Muß ich darum sagen, der Satz “12 Zoll = 1 Fuß” sage alle diese Dinge aus, die dem Messen seine gegenwärtige Pointe geben?

9


 
  
/
 
Nein. Der Satz ruht in einer Technik. Und, wenn Du willst, in den physikalischen und psychologischen Tatsachen, die diese Technik möglich machen. Aber darum ist sein Sinn nicht diese Sätze Bedingungen auszusprechen. Das Gegenteil
jenes
des
Satzes, ‘12 Zoll ≠ 1 Fuß’ sagt nicht, daß die Maßstäbe nicht starr genug sind, oder wir nicht Alle ˇin gleicher Weise zählen & rechnen.
      Der Satz ruht in einer Technik, beschreibt sie aber nicht.

 
  
∕∕
 
   Der Satz spielt die typische (damit aber nicht einfache) Rolle der Regel.

 
  
/
 
Ich kann mittels des Satzes 12 Zoll = 1 Fuß eine Voraussage machen; nämlich daß 12 zoll-lange Stücke Holz anei-
10
nander gelegt sich gleichlang mit einem auf andere Weise gemessenen Stück erweisen wird. Also ist der Witz jener Regel etwa, daß man ˇmittels ihrer gewisse Voraussagen machen kann. Verliert sie nun dadurch den Charakter der Regel? –

 
  
/
 
    Warum kann man jene Voraussagen machen? Nun, – alle MaßZollstäbe sind gleich gearbeitet; sie verändern ihre Längen nicht beträchtlich; Stücke Holz, die man nach auf einen nach einem Zoll oder Fuß zugeschnitten hat, tun dies auch nicht; unser Gedächtnis ist gut genugc,
damit
daß
wir beim Zählen bis ‘12’ Ziffern nicht
zweimal
doppelt
zählen
nehmen
& nicht auslassen; u.a..

 
  
/
 
Aber kann man denn nun nicht die Regel durch einen Erfahrungssatz ersetzen, der [S|s]agt, daß Maßstäbe so & so gearbeitet sind,
11
daß Leute so mit sie so handhaben? // Leute dies mit ihnen tun? // Man gäbe etwa eine [E|e]thnologische
Darstellung
Beschreibung
des Messens. //
der Gepflogenheit des Messens.
des G menschlichen Gebrauchs des Messens.
// // der menschlichen Verrichtung Einrichtung des Messens. // // Darstellung dieser menschlichen Einrichtung. //

 
  
/
 
    Nun es ist offenbar, daß diese Darstellung die Funktion d
der
einer
Regel übernehmen könnte.

 
  
/ \ ? ∫
2
 
    Ist die hinweisende Definition die
ausspricht
zeigt
, daß diese Farbe “grün” heißt, keine Regel – sondern ein Satz über den Gebrauch der Wörter, das Arbeiten unsers Gedächtnisses, usw.?

 
  
? /
 
   Wer einen math. Satz weiß, soll noch nichts wissen. Ist Verwirrung in unserm n Rechnen Operationen, rechnet jeder anders & einmal
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so, einmal so, so liegt noch kein Rechnen vor; stimmen wir überein, nun dann haben wir nur unsre Uhren
gestellt
reguliert
, doch noch keine Zeit gemessen.
    Wer einen math. Satz weiß, soll noch nichts wissen. D.h.
:
,
der math. Satz // Beweis // soll nur das Gerüst liefern für eine Beschreibung.

 
  
 
    Wie kann die bloße transformation // Umformung // des Ausdrucks von praktischer Konsequenz sein?

 
  
 
    Daß ich 25 × 25 Nüsse habe, läßt sich verifizieren indem ich 625 Nüsse zähle, aber es läßt sich auch auf andre Weise herausfinden, die mit der Zahlangabe ‘25 × 25’ näher verknüpft ist. // , die der Ausdrucksform ‘25 × 25’ näher steht. // // , die zum Ausdruck ‘25 × 25’ in
13
direkterer Beziehung steht. // , // in einer unmittelbareren Beziehung steht. // Und es ist natürlich die Verknüpfung dieser beiden Arten der Zahlbestimmung, in der der ein Zweck des Multiplizierens ruht beruht.
9.6.


 
  
/
 
   Die Regel ist, als Regel, losgelöst, & steht, sozusagen, selbstherrlich da; obschon, was sie wichtig macht // was ihr Wichtigkeit gibt // , die Tatsachen der täglichen Erfahrung sind.

 
  
/
 
    Was ich zu tun habe, ist
gleichsam
sozusagen
, das Amt eines Königs zu beschreiben
:
;
wobei ich ˇnun nicht in den Fehler
fallen
verfallen
darf,
seine Würde
sein Amt
aus
seiner
// der //
dessen
Nützlichkeit zu erklären noch die Nützlichkeit
zu vergessen
außer Acht zu lassen
. // Was ich zu tun habe, ist etwas, wie: das Amt eines des Königs zu beschreiben. ; – wobei ich nicht
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in den Fehler verfallen darf, d[as|ie] königliche Amt Würde (streng) aus seiner der der Nützlichkeit ˇdes AmtsKönigs zu erklären; & doch weder Nützlichkeit noch Würde außer [a|A]cht lassen darf. //

2
 
  
1
 
    Ich richte mich beim praktischen Arbeiten nach dem Resultat der
Umformung
Verwandlung
des Ausdrucks.

 
  
2
 
   Wie kann ich dann aber noch sagen, daß es dasselbe heißt, ob ich sage “hier sind 625 Nüsse”, oder “hier sind 25 × 25 Nüsse”?

 
  
/
 
   Wer den Satz “hier sind 625 …” verifiziert, verifiziert
damit
dadurch
auch “hier sind 25 × 25 …”; u.u.. Doch steht die eine Form der eine[n|r] ˇArt der Verifikation, die andre einer andern Art der Verifikation näher.

 
  
/
 
   Wie kannst Du
behaupten
sagen
, daß
15
“… 625 …” & “…25 × 25 …” dasselbe sagen? – Erst durch unsere Arithmetik werden sie
Eins
eins
.

 
  
1
 
     Erst als Glieder des Systems der Arithmetik werden sie Eins.

 
  
 
     Ich kann einmal die eine, einmal die andere Art der Beschreibung, durch Zählen z.B., erhalten. // , unmittelbar erhalten. // D.h., ich kann jede der beiden Formen auf jede Art erhalten; aber auf verschiedenem Weg.

 
  
 
   Man könnte nun fragen: Wenn der Satz F “…625 …” einmal so, einmal anders verifiziert wurde, sagte er da beidemale dasselbe?
   Oder: Was geschieht, wenn eine Methode des Verifizierens ‘625’, die andere nicht ‘25 × 25’ ergibt? – Ist da “… 625 …” wahr
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& “ … 25 × 25 …” falsch? Nein! – Das eine anzweifeln heißt, das andre anzweifeln: [d|D]Das ist die Grammatik, die unsre Arithmetik diesen Zeichen gibt.

 
  
 
     Wenn die beiden Arten
der Zählung
des Zählens
als die Begründung einer Zahlangabe gebraucht werden, sein sollen, dann ist nur eine Zahlangabe, wenn auch in verschiedenen Formen, vorgesehen möglich // da // . Dagegen kann man ohne Widerspruch sagen: “Mir kommt bei der einen Art des Zählens 25 × 25 [& also 625] heraus, bei der anderen nicht 625 [also nicht 25 × 25]”. ƪ
   (Die Arithmetik hat hiergegen keinen Einwand.)

 
  
 
     Daß die Arithmetik die beiden Ausdrücke einander gleichsetzt, ist, könnte man sagen, ein grammatischer Trick.
     Sie sperrt damit eine be-
17
stimmte Art der Beschreibung ab & leitet sie in andere Kanäle. (Und daß dies mit den Tatsachen der Erfahrung zusammenhängt braucht nicht ˇerst gesagt zu werden.)

 
  
/
 
    Nimm an, ich habe jemand multiplizieren gelehrt, aber nicht mittels ˇmit Hilfe einer allgemeinen ausgesprochenen formulierten allgemeinen Regel, sondern nur dadurch daß
er zusieht
ich ihn zuschauen lasse
wie ich ihm Beispiele vorrechne. Ich kann ihm dann eine neue Aufgabe stellen anschreiben, & sagen: “[M|m]ach dasselbe mit diesen beiden Zahlen, was ich mit den früheren getan habe”. Aber ich kann auch sagen: “Wenn Du mit diesen beiden machst, was ich mit den andern gemacht habe, so wirst Du ˇzu der Zahl … kommen”. Was ist das für ein Satz?
     “Du wirst das & das schreiben” ist eine physikalische Vorhersage.
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‘Wenn Du das & das schreiben wirst, wirst Du's so gemacht haben, wie ich Dir's
vorgemacht
gezeigt
habe’ bestimmt, was er “seinem Beispiel folgen” nennt.

 
  
 
   ‘Die Lösung dieser Aufgabe ist …’ – Wenn ich das lese, ehe ich die Aufgabe gerechnet habe, – was ist das für ein Satz?

 
  
2
 
10.6.
     Das Vorurteil muß man besiegen, – & doch, Und doch, // besiegen ‒ ‒und doch, … // wenn man's aber seine Kraft aber es ist die Kraft die philosophische Arbeit leistet. nicht hat, kann man nicht keine philosophische Arbeit leisten.

 
  
/
  
  
∕∕ \
 
‘Zu sagen: “er hat Schmerzen” heißt etwas ganz & gar anderes als zu sagen: “er benimmt sich so & so”!’ – das ist völlig richtig. Ja, der Unterschied ist in gewisse[r|m] Beziehung Sinne noch größer als man sich ihn vorstellt.
     Und wieder: der Satz, der ein Benehmen beschreibt, kann von einer Empfindung (des Andern)
20
reden – & wenn er dies tut: so spielt er nicht indirekt auf sie an. Wenn wir so reden // uns so ausdrücken // meinen wir nicht ˇeigentlich etwas anderes, als was wir sagen. Noch
sollen
können
wir sagen: wir meinen zwar das Benehmen, aber
umgeben von
mit
einer Atmosphere die wir nicht eigens erwähnen.

 
  
∕∕ \
 
   Die Ausdrücke “Schmerzen haben” & “sich so & so benehmen” werden – im allgemeinen –
nicht auf die gleiche Weise
ganz verschieden
gebraucht! Ja, ihr Gebrauch ist verschiedener, als die Philosophen, welche gegen den Behaviourism sprechen, es darstellen. // verschiedener, als die Philosophie es darstellt, die gegen den Behaviourism spricht. //
   Denn wenn diese die Verschiedenheit betont betonen // hervorheben wollen // // uns zeigen wollen // , so stellen sie doch den Gebrauch beidemale nach demselben Schema dar. // Denn, wenn diese
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die Verschiedenheit des Gebrauchs zeigen will wollen, so stellt stellen sie ihn doch beidemale nach demselben Schema dar. // // Denn wenn diese die Verschiedenheit uns vor Augen führen will wollen, so stellt stellen sie doch den Gebrauch beidemale … //

 
  
 
     “Ich kann mir doch vorstellen, daß Einer Schmerzen hat, & auch, daß er sich so & so benimmt – & die beiden sind doch etwas ganz anderes!”
:
Da macht man meistens den Fehler, daß man sich nicht klar darüber ist daß den Satz “ich stelle mir vor …“ ˇfür eine Beschreibung ansieht, während er eine Äußerung ist., keine Beschreibung . // Da macht man meistens den Fehler “[i|I]ch stelle mir … vor” für eine Beschreibung eines Bildes anzusehen, während er eine Äußerung ist. //

22


 
  
∫ /
 
     Wie soll ich denn den Gebrauch der Sprache mittels etwas erklären, was Du selbst für privat erklärst & was also für den Gebrauch der Sprache irrelevant sein müßte. – Ich sage “müßte”, weil die ganze Idee des privaten Gegenstands auf einem Mißverständnis beruht.

 
  
 
    In unserm Schema der Erklärung der Sprache können wir nicht den Schmerz die Empfindung als Rechtfertigung der Schmerzäußerung ihrer Äußerung einführen. Denn so funktioniert das Wort “Schmerz” einfach nicht.

 
  
∕∕ \
 
    Nur die intime
Bekanntschaft
Vertrautheit
mit dem Gebrauch eines Wortes bringt die Erfahrung hervor, daß das Wort eine Seele hat. Einer könnte sagen, daß
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ein Tennis- & ein Cricketball (für ihn) ˇjeder eine ganz verschiedenecen andere [b|B]edeutungen Sinn Dazu aber muß er mit den Regeln der beiden Spiele nicht nur oberflächlich bekannt sein & die Spiele müssen in
das
sein
Leben eingreifen.

     Man könnte sagen: ‘ich hätte keinen Eindruck von dem Zimmer als ganzes, könnte ich nicht meinen Blick schnell in ihm dahin & dorthin schweifen lassen & mich nicht frei in ihm herumbewegen.
     Aber dennoch ist an dem allen etwas unklar.

 
  
1
 
     Es ist eine interessante Tatsache, daß die Regeln der
meisten unserer
wichtigsten
Spiele sehr konservativ behandelt werden. Daß, z.B., normalerweise niemand dran denkt, die Regeln des Schach zu variieren, etwa
24
dem König eine andere Bewegungsfreiheit zu geben; daß man
dies
das
interessant, oder lustig findet, sondern eher ungehörig & sogar dumm.

 
  
 
11.6.
[Zu 18/3] Was ist an diesem Vorhersagespiel so sonderbar? Was mir sonderbar
vorkommt
erscheint
würde
fortfallen
// entfernt //
wegfallen
, wenn die Vorhersage lautete: “[w|W]enn Du glauben wirst, meinem Beispiel gefolgt zu sein, wir[d|st] Du das herausgebracht haben.” , oder: “Wenn Dir alles richtig scheinen wird, wird das das Resultat sein.” Dies Spiel konnte z.B. man sich (,z.B.,) mit dem eingeben z.B. mit dem Eingeben … verbunden sein. eines bestimmten Giftes verbunden denken vorstellen, & die Vorhersage wäre, daß die Injektion unsre Fähigkeiten unser Gedächtnis z.B., in der & der Weise beeinflußt. – Aber, wenn wir uns das Spiel mit dem Ein-
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geben eines Giftes denken können, warum nicht mit dem Eingeben eines Heilmittels? ,oder auch ohne. Aber auch dann kann das Schwergewicht der Vorhersage noch immer darauf ruhen, daß der gesunde Mensch das als Resultat ansieht. Oder vielleicht: daß den gesunden Menschen das befriedigt.

 
  
1
 
      ∣ Es ist unglaublich, wie eine neue La[g|d]e Lade, an geeignetem Ort, in unserem filing-cabinet, hilft. ∣

 
  
2
 
   “Folge mir, so wirst Du das herausbringen.”
sagt
heißt
natürlich nicht: “[f|F]olge mir, dann wirst Du mir folgen” – noch: “[r|R]echne so dann wirst Du so rechnen”. – Aber was heißt “Folge, mir”? Im Sprachspiel kann es einfach ein Befehl sein: “Folge mir jetzt!”.

26
 
  
1
 
     Was ist der Unterschied zwischen den Vorhersagen: “Wenn Du richtig rechnest, wirst Du das erhalten” – & “[w|W]enn Du glauben wirst, daß Du richtig rechnest, wirst Du das erhalten”?
     Wer sagt nun, daß in meinem ˇobigen Sprachspiel die Vorhersage nicht eben das letztere bedeutet? Es scheint, sie bedeutet das nicht ‒ ‒ ‒ aber wie zeigt sich das? ⌊⌊ˇ Frage Dich unter welchen Umständen würde die Vorhersage das eine, unter welchen das andere vorherzusagen scheinen. Denn es ist klar: es kommt hier auf die übrigen Umstände an. ⌋⌋

 
  
/
3
 
   Wer mir vorhersagt, daß ich das herausbringen werde, sagt der mir nicht eben vorher daß ich dieses Resultat für richtig halten werde? – “Aber” – sagst Du vielleicht – “nur eben weil es ˇwirklich richtig ist!” – Aber was heißt das: “Ich halte die Rechnung für richtig, weil, sie richtig ist”?

 
  
/
4
 
     Und doch kann man sagen:
27
[i|I]n in meinem Sprachspiel denkt der Rechnende nicht daran, daß die Tatsache, – daß er dies herausbringt, – eine Eigentümlichkeit seines Wesens ist;
sie erscheint ihm
// die Tatsache erscheint ihm nicht als eine psychologische // .

     Eher stelle ich mir ihn unter dem Eindruck vor, daß er nur einem bereits vorhandenen Faden
folge
gefolgt ist
. Und das Wie des Folgens als eine Selbstverständlichkeit hinnimmt; & nur eine Erklärung seiner Handlung kennt, nämlich: den Lauf des Fadens.

 
  
 
     Er läßt sich allerdings ablaufen, indem er der Regel, oder den Beispielen folgt, aber was er
hervorbringt (–wenn es ihm richtig erscheint –)
tut
betrachtet er nun nicht als Besonderheit seines
28
Ablaufs, er sagt nicht: “also so bin ich abgelaufen –!”, sondern: “also so läuft es ab”.

 
  
/
1
 
   Aber wenn nun [e|E] dennoch am Ende der Rechnung in unserm Sprachspiel sagte: “also so bin ich abgelaufen!” – oder: “also dieser Ablauf befriedigt mich!” – Kann ich nun sagen, er habe das (ganze) Sprachspiel mißverstanden? Doch gewiß nicht!
wenn
Wenn
er nicht sonst eine unerwünschte
Auffassung zeigt.
Anwendung von ihm macht.


 
  
/
2
 
Ist es nicht die Anwendung der Rechnung, die jene Auffassung hervorruftbringt
:
,
daß die Rechnung abläuft und nicht wir?

 
  
 
Du mußt Neues sagen & doch lauter Altes. (N.)

 
  
 
Du mußt allerdings nur Altes sagen – aber doch etwas Neues!
29


 
  
/
 
     Die verschiedenen ‘Auffassungen’ müssen verschiedenen Anwendungen entsprechen.

1
 
  
 
      ∣ Auch der Dichter muß sich immer fragen: ‘ist denn, was ich schreibe, wirklich wahr?’ – was nicht heißen muß: ‘geschieht es so in Wirklichkeit?’. ∣

 
  
/
3
 
     Denn es ist allerdings ein Unterschied dazwischen: überrascht zu sein, das ich davon befriedigt bin; überrascht zu sein, daß die Ziffern ˇauf dem Papier sich so zu benehmen scheinen; & überrascht zu sein darüber, daß das herauskommt. Aber in jedem Fall sehe ich die Rechnung // das Ergebnis // in anderm Zusammenhang.

 
  
/
4
 
    Ich
denke an das
rede von dem
Gefühl des ‘Herausbekommens’, wenn wir etwa eine längere Kolumne ˇvon Zahlen verschiede-
30
ner Gestalt addieren
& eine runde Zahl
& ˇso eine Zahl
wie 1000000 herauskommt , wie es uns zuvor gesagt worden war. “Ja, bei Gott, wieder eine Null –” sagen wir.
   “Man sähe es den Zahlen nicht an –”, könnte ich auch sagen.

 
  
1
 
     Wie wäre es, wenn wir sagten, statt: ‘6 × 6 ergibt 36’ – : ‘Das Ergeben der Zahl 36 durch 6 × 6’? – Den Satz ersetzen durch einen substantivischen Ausdruck. (Der Beweis zeigt das Ergeben)

 
  
/
2
 
     Du mußt freilich Altes herbeitragen. Aber zu einem Bau. – (W.)

 
  
3
 
Warum willst Du die Mathematik immer unter dem Aspekt des Findens & nicht des Tuns betrachten?

 
  
4
 
Von großem Einflusse muß es sein, daß wir die Wörter “richtig”, & “wahr” & “falsch” & die Form der Aussage im Rechnen gebrauchen. (Kopfschütteln & Nicken)
31


 
  
 
     Warum soll ich sagen, daß das [w|W]issen, daß alle Menschen, die
es
rechnen
gelernt haben, so rechnen, kein mathematisches Wissen ist? Weil es auf
Zusammenhänge
(einen) ˇandern Zusammenhang
hinzudeuten scheint
hindeutet
. // Weil es auf Zusammenhänge hindeutet, die anders sind als die des mathematischen Wissens. //

 
  
/
 
12.6.
Die Berechnung des des Resultats des menschlichen Rechnens. // des Ergebnisses // einer Rechnung, die ein Mensch Einer ausführt anstellt. //

 
  
/
 
Ist also Be[R|r]echnen, was Einer durch Rechnung herauskriegen wird, schon angewandte Mathematik? – & also auch: Berechnen, was ich selbst herauskriegen werde?

 
  
 
(Im Alter entschlüpfen uns wieder die Probleme, so wie in
32
der Jugend. Wir können sie nicht nur nicht
aufbrechen
aufknacken
, wir können sie auch nicht halten.)

 
  
 
   Für uns könnten die Rechnungen im Himmel aufgeschrieben sein.

 
  
/
 
   ‘Warum möchte ich immer das & das sagen?’ – Das
wird
muß
einen guten Grund haben.: [e|E]s wird die Beschreibung in einer primitiven Form primitiver, von grammatischen , grammatischer Tatsachen sein.

 
  
 
Ist es ein typisches Beispiel der Anwendung der
Mathematik
Rechnung
, wenn wir berechnen, was ˇfür einen Rechenvorgang
Einer
ein Andrer
durchlaufen wird? // berechnen, welchen Rechenvorgang ein Andrer durchlaufen wird? //

 
  
/
 
     Über das Einleuchten der Axiome. Die Axiome eines mathematischen Systems müssen
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selber math. Sätze sein. Und was macht sie dazu? Daß sie einleuchten? Und wie stark müssen sie einleuchten? Wenn sie nun einleuchten & die Erfahrung ihnen widerspricht – wer gewinnt dann? Oder stellen wir uns ihre Anwendung immer so vor, daß Erfahrung ihnen nicht widersprechen kann, weil wir sie zu grammatischen Sätzen machen? Aber damit sie gute grammatische Satze sind muß sich doch wieder viel Erfahrung leicht nach ihnen darstellen lassen.
     Warum ist z.B. der Satz ‘der Teil ist kleiner als das Ganze’ so einleuchtend, obwohl man in vielen Fällen auch sein Gegenteil für wahr erklären könnte? (Man
kann
könnte
z.B. sagen: ich sehe den Berg größer als das Fenster, durch
welches
das
ich ihn sehe // , durch
welches
das
er mir erscheint // .)
34


 
  
/
 
13.6.
     Es ist ja gar kein Zweifel, daß math. Sätze in gewissen Sprachspielen die Rolle von Regeln der Darstellung spielen, im Gegensatz zu
Sätzen, welche beschreiben.
Sätzen der Darstellung.


 
  
/
 
    Es ist ja gar kein Zweifel, daß math. Sätze in gewissen Sprachspielen Schemata der Darstellung sind, im [g|G]egensatz zu den Sätzen, welche beschreiben.

 
  
/
 
Aber das sagt nicht, daß dieser Gegensatz nicht nach allen Richtungen // allen möglichen Richtungen // hin abfällt. Und das wieder nicht,daß
dieserc
der
Gegensatz er nicht von
// großer //
der größten
Wichtigkeit ist. // , daß er nicht von großer Wichtigkeit ist. //

 
  
 
    Die Schwierigkeit ist, daß grammatische Terrain zu schildern; zu sehen.
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   Das piédestal der Mathematik auf dem die Math. steht,
ist eine bestimmte Rolle
ist die Rolle
, welche ihre Sätze in unsern Sprachspielen spielen. // Das piédestal, auf welchem die Math. ˇfür uns steht, kommt von hat sie vermöge einer bestimmten Rolle her, welche die Sätze der Math. in unsern Sprachspielen spielen. // // Das piédestal, auf welchem die Math. für uns steht, hat sie vermöge einer bestimmten Rolle, die ihre Sätze in
unsern
den
Sprachspielen spielen. //

 
  
/ \
 
     Die Sätze, welche Hardy in seinem – elenden – Buch, “Apology of a Math.”, als Ausdruck seiner Philosophie der Mathematik ausspricht
hinstellt
// hinschreibt //
, sind noch gar nicht Philosophie, sondern
könnten
können
, wie alle ähnlichen Ergüsse, allerdings das als Rohmaterial des Philosophierens
dienen
gelten
, & sollten dann nicht in der Form von Meinungen, Feststellungen, oder Axiomen, aus-
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gesprochen werden, sondern in der Form: “Ich bin geneigt zu sagen
:
;
…”, oder “Ich möchte immer sagen: …”. Worauf das Philosophieren erst beginnen soll
; uns diese ….
, (um) uns nämlich diese seltsame Neigung zu erklären.
// sondern können – wie alle ähnlichen Ergüsse – Rohmaterial des Philosophierens sein; & sollten … //

 
  
 
    Was der math. Beweis
zeigt
demonstriert
, wird als interne Relation hingestellt & dem Zweifel entzogen.

 
  
 
     Was ist einem mathematischen Satz & einem mathematischen Beweis gemein, daß sie beide “mathematisch” heißen? Nicht
:
,
daß der math. Satz mathematisch bewiesen sein muß; nicht
:
,
daß der math. Beweis einen math. Satz beweisen muß.
     Was hat der unbewiesene Satz (das Axiom) mMathematisches?
37
(&) was hat er gemein mit einem mathematischen Beweis?

 
  
 
    Soll ich antworten: ‘Die Schlußregeln des math. Beweises sind immer math. Sätze’? Oder: ‘Math. Sätze & Beweise dienen dem Schließen’? Das wäre schon näher dem Wahren

 
  
 
Der Beweis muß eine interne Relation
zeigen
etablieren
, nicht eine
externe
äußere
. Denn wir könnten uns auch einen Vorgang der Transformation eines Satzes durchs Experiment
vorstellen
denken
& eine, die zum Vorhersagen des vom transformierten Satz Behaupteten benützt würde. Man könnte sich z.B. (ganz gut) denken, daß Zeichen durch hinzulegen anderer Zeichen sich
solcherart
solchermaßen
verschöben, daß sie eine wahre Vorhersage bilden auf der Grundlage der in ihrer Ausgangslage ausgedrück-
38
ten Bedingungen. Ja, wenn Du willst, kannst Du den rechnenden Menschen als einen Apparat
für ein solches Experiment
dieser Art
betrachten.

 
  
 
    Denn, daß ein Mensch das Resultat errechnet
:
,
in dem Sinne: daß er nicht gleich das Resultat, sondern erst verschiedenes anderes
hinschreibt
anschreibt

,
macht ihn nicht weniger zu einem physikalisch-chemischen Hilfsmittel, eine
Zeichenreihe
// Zeichenfolge //
Zahl
zu erzeugen, wenn gewisse andere ihm zugebracht werden. // gewisse andere seine[m|r] Einwirkung ausgesetzt werden. // // eine Zeichenfolge zu erzeugen,
indem
wenn
man eine Zeichenfolge seiner Einwirkung aussetzt. //
c // eine Zeichenfolge zu erzeugen, indem man ihn auf ˇeine Zeichenfolge sie einwirken läßt. // // eine Zeichenfolge aus einer Zeichenfolge zu erzeugen. //

 
  
 
    Ich müßte also sagen: Der bewiesene Satz ist nichtˇ: die // diejenige // Zeichenfolge,
welche
die
der so & so
39
trainirte
geschulte
abgerichtete
Mensch unter den & den [u|U]mständen erzeugt.

 
  
 
14.6.
Wenn wir
das Beweisen
den Beweis
so betrachten, ändert sich, was wir erblicken, gänzlich. Die Zwischenstufen werden ein uninteressantes Nebenprodukt. (
Wie im Innern des
Wie in einem
Automaten ein Geräusch,
ehe
bevor
er uns
die
seine
Ware zuwirft.) // (Wie ein Geräusch im Innern eines Autmaten, ehe er uns die Ware zuwirft.) //

 
  
 
    ∣ Das Durchstreichen von Ausdrücken als Schriftzeichen. ∣

 
  
 
    Ja, wenn nun die Bedingungen erfüllt wären & der Eine erzeugte dies, der Andre jenes Resultat, & wenn nun jeder sein Resultat anwendete & die Anwendung es rechtfertigte – wie ganz leicht möglich wäre! –

 
  
∕∕
 
Wir sagen: der Beweis sei ein Bild. Aber dies Bild bedarf doch der
40
Approbationierung, die wir ihm (nämlich) beim Nachrechnen erteilen. –

 
  
∕∕
 
Wohl wahr; aber wenn es von dem Einen die Approbation erhielte, von dem Andern nicht & sie sich nicht verständigen könnten – hätten wir
da
dann
ein Rechnen? // –wäre da ein Rechnen? //
     Also ist es nicht die Approbation allein, die es zur Rechnung macht, sondern die Gleichheit // Übereinstimmmung // der Approbationen.

 
  
∕∕
 
Denn es ließe sich ja auch ein Spiel denken, in welchem durch Menschen durch Ausdrücke, etwa ˇ[keinen Beistriche] ähnlich denen allgemeiner Regeln, angeregt, für bestimmte praktische Aufgaben, also ad hoc, sich Zeichenfolgen einfallen lassen, & daß sich dies sogar bewährte. Und hier brauchen die ‘Rechnungen’, wenn man sie so nennen wollte, nicht miteinander übereinstimmen. (Hier könnte man von ‘Intuition’ reden.)
41


 
  
 
      Die Übereinstimmung der Approbationen ist die Vorbedingung unseres des Sprachspiels, sie wird nicht in ihm konstatiert.

 
  
 
   Nehmen wir (im ‘rein mathematischen’ Sprachspiel ˇvon vorhin) an, daß die Antwort en auf die gleiche Frage immer & von Allen die gleiche ist [,| (]oder, daß es sich doch nur ausnahmsweise anders verhält) & die Ausnahmen etwa aus der Gesellschaft ausgestoßen werden)?
   Gehört dies nicht dazu, daß unser Sprachspiel der Arithmetik ähnlich wird?
      Oder auch:
Lernen
Wissen
nur im ersten Fall die Leute arithmetische
Sätze
Tatsachen
? Und wenn dies diese
Sätze
Tatsachen
, das Benehmen der Menschen betreffend, sind, warum dann nicht auch im zweiten Fall? // Und wenn d es Sätze, das
42
Benehmen … warum lernen sie nicht auch im zweiten Fall arithmetische Sätze? //

 
  
 
      Man könnte sich aber doch auch die Rechnung als Experiment behandelt denken!
     Denke Dir eine Kaste, die nicht rechnen kann (dwie die Ritter nicht schreiben konnten),
Sklaven haltend,
die sich Sklaven hält, // sich Sklaven haltend //
die, sagen wir, rechnen; manchmal richtig, manchmal falsch, von ihren Herren aber nicht kontrolliert. Diese
geben
stellen
ihnen Aufgaben (&) die Sklaven geben Antworten; vorher ˇehe sie antworten schreiben sie ˇmeistens, gewöhnlich noch meistens noch etwas ˇhin; aber ihre Herren verstehen das nicht. Sie richten sich nach den Antworten der Sklaven & betrachten sie als eine Art Orakel.
     Man könnte sich au[f|c]h ferners denken, daß die Herrn jene Sklaven
bestrafen
strafen
, wenn der das praktische Erfolg Ergebnis unbefriedi-
43
gend war, sie gut
halten
behandeln
, wenn er glücklich ist.

 
  
∕∕
 
15.6.
Der Gebrauch von Wörtern, wie ‘pas’ oder ‘point’ in ‘ne … pas’, ‘ne … point’, etc.. Das ˇHaupt[W|w]ort ˇne” pas” könnte hinweisend definiert werden & dann davon der Gebrauch als Teil der Negation gemacht. – Was heißt es: Niemand denkt, wenn er ‘ne … pas’ sagt an einen Schritt? – Nun, man sagt: ‘Ich wußte nicht einmal, daß das dasselbe Wort ist!’. Aber was heißt das? Was war uns nicht aufgefallen? (Dies Beispiel ist höchst wichtig für das Verständnis dessen, was man ‘Bedeutung’ nennt.)

 
  
 
    Eine Sprache, in der die Schriftzeichen von der Art der t
Bilder
Teile
eines Rebus sind, so daß das Wort “kann”
z.B.
etwa
” geschrieben
würde
wird
, oder “wollen”
das
als
Bild eines Wollknäuls & // mit einem ihm // eines ˇdem angehängten Zeichenns,
44
u.s.f.
u. dergl.
. Auch wird die Bedeutung der Wörter so beigebracht, daß die Beziehung zur den Kanne, Wolle, etc., immer lebendig bleibt. Kennten wir
bloß
allein // nur
// diese Sprache, (dann) könnten sehr eigentümliche philosophische Probleme für uns existieren.

 
  
∕∕ \ \
1
 
     Ist, was wir “einer Regel folgen” nennen, etwas, was nur [E|e]in Mensch, & nur einmal im Leben, tun
kann
könnte
? – Das ist natürlich eine Anmerkung zur Grammatikc
des Ausdrucks
von
der
einer
Regel folgen”.

 
  
 
     Wenn die Rechnung ein Experiment ist & die Bedingungen sind erfüllt dann müssen wir als Ausgang nehmen // anerkennen // , was kommt; & wenn die Rechnung ein Experiment ist, so ist doch der Satz, daß sie das & das ergibt, der Satz, daß unter solchen Bedingungen diese Art von
45
Zeichen entsteht. Und entsteh[e|t]n also unter diesen Bedingungen einmal ein, einmal ein anderes Resultat, so darf man nun nicht sagen: “das stimmt etwas nicht”, oder “beide Rechnungen können nicht in Ordnung sein”, sondern man müßte sagen: diese Rechnung ergibt nicht immer das gleiche Resultat (warum, muß nicht bekannt sein). Aber obwohl der Vorgang nun nun das Experiment ebenso interessant, ja vielleicht noch interessanter , ist, haben wir nun keine Rechnung mehr. // , ja vielleicht noch interessanter geworden ist, ist keine Rechnung mehr vorhanden. // Und das ist natürlich wieder eine grammatische Bemerkung über den Gebrauch des Wortes “Rechnung”. Und natürlich hat diese Grammatik eine Pointe.

46


 
  
 
   Was heißt es
:
,
sich über einen Unterschied im Resultat einer Rechnung verständigen? Es heißt doch zu einem gleichförmigen Rechnen zu gelangen. Und kann man das nicht // man sich nicht verständigen // so kann nun Einer nicht sagen, der Andre rechne auch; nur eben mit anderen Ergebnissen. // Und können sie sich nicht verständigen, so kann nun Einer nicht sagen … //

 
  
 
   Wie ist es nun, – soll ich sagen: Der gleiche Sinn könne nur einen Beweis haben? Oder: wenn ein Beweis gefunden wird, ändere sich der Sinn?
     Freilich würden Einige sich dagegen wehren, sagen: ‘So kann man also nie den Beweis eines Satzes finden, denn, hat man ihn gefunden, so ist er nicht mehr ˇder Beweis dieses Satzes.’ Aber das sagt noch gar nichts. –
47


 
  
 
     Es kommt eben darauf an, was den Sinn des Satzes festlegt. Wovon wir sagen wollen, es lege den Sinn des Satzes fest. Der Gebrauch muß ihn festlegen. Aber was rechnen wir zum Gebrauch? – // Der Gebrauch der Zeichen muß ihn festlegen; aber was rechnen …? //

 
  
 
16.6.
     Zwei Die Beweise beweisen denselben Satz, heißt etwa: beide erweisen ihn ˇfür uns als ˇein
geeignetes
brauchbares
Instrument zu dem Gleichen. // gleichen Zweck // . // als ein
passendes
geeignetes
Instrument zum gleichen Zweck. //

 
  
 
   Und der Zweck ist eine Anspielung auf Außermathematisches.

 
  
 
     Ich sagte einmal: ‘Wenn Du wissen willst, was ein math. Satz sagt,
schau
sieh'
, was sein Beweis beweist. Nun, ist darin nicht
48
Wahres & Falsches?
Denn ist der
Ist der
Sinn, der Witz eines math. Satzes wirklich klar, wenn man nur seinen Beweis
sieht
versteht
? // sieht & versteht? // // , sobald wir nur dem Beweis folgen können? //

 
  
 
Dem Russellschen “~f(f)” fehlt vor allem die Anwendung, & daher der Sinn.
   Wendet man diese Form aber dennoch an, dann ist nicht gesagt, daß ‘~f(f)’ ein Satz ˇin irgendeinem gewohnten Sinne sein muß, oder ‘f(ξ)’ eine Satzfunktion. Denn der Begriff des Satzes, außer der des Satzes der Logik, ist ja durch Russell nur in allgemeinen,
ganz konventionellen
herkömmlichen
◇◇◇ Zügen erklärt.
     Man sieht hier auf die Sprache, ohne auf das Sprachspiel zu sehen.

 
  
 
     Wenn wir von verschiedenen
49
Bilderreihen sagen, sie demonstrierten, z.B., ˇdaß 25 × 25 = 625, so ist leicht genug zu erkennen, was den Ort dieses Satzes fixiert, den beide Wege erreichen.

 
  
 
        ∣ Welche seltsame Stellungnahme der Wissenschaftler–: “Das wissen wir noch nicht
,
;
aber es läßt sich wissen, & es ist nur eine Frage der Zeit, so wird man es wissen”! Als ob es sich von selbst verstünde.

 
  
 
     Der
neue
andre
Beweis reiht den Satz in eine
neue
andere
Ordnung ein; dabei findet oft ein Übersetzen einer Art von Operation in eine gänzlich andere statt. Wie wenn wir Gleichungen in Kurven Linien // Linienformen // übertragen. Und dann sehen wir etwas für die
Linienformen
Kurven
ein & dadurch für die Gleichungen.
Aber mit welchem Rechte überzeugen wir uns durch ˇeinen Gedankeng[ä|a]ange, der dem Gegenstand unsrer Gedanken scheinbar ganz heterogen ist? // Aber mit welchem Rechte überzeugt uns
50
der dem Gegenstand unsrer Gedankenn scheinbar ganz
fernliegende
heterogene
Gedankengang? // // Aber mit welchem Rechte überzeugen wir uns durch Gedankengänge, die dem Gegenstand unsrer Gedanken scheinbar ganz fernliegen? //
     Nun, unsre Operationen liegen jenem Gegenstand auch nicht ferner, als, etwa, das Dividieren
im Dezimalsystem
mit Dezimalzahlen
, dem verteilen von G Nüssen // Gegenständen // . Besonders, wenn man sich
denkt
vorstellt
(was man leicht kann), daß
jene
diese
Operation ursprünglich zu einem ganz anderen Zweck als dem des Teilens ˇu. dergl. erfunden worden wäre.

 
  
 
     Fragst Du: “Mit welchem Recht Recht?” so ist die Antwort: Vielleicht mit gar keinem. – Mit welchem Recht sagst Du daß die Fortsetzung dieses Systems mit jenem immer parallel laufen
51
wird? (Es ist, als ob Du Zoll & Fuß beide als Einheit festsetztest & behauptetest, 12n Zoll werden immer mit n Fuß gleich lang sein.)

 
  
 
17.6.
    Wenn zwei Beweise denselben Satz beweisen, so kann man sich allerdings Umstände denken, in denen die ganze diese Beweise verbindende Umgebung wegfiele, sodaß sie allein & nackt dastünden & kein Grund vorhanden wäre, zu sagen sie hätten eine gemeinsame Pointe, sie bewiesen denselben Satz.
   Man muß sich nur denken, daß die beiden Beweise ohne den ungeheuren, sie beide umhüllenden & verbindenden, Organismus der Anwendungen, d sozusagen nackt & und bloß, dastünden. (Wie zwei Knochen ohne die Unzahl Muskeln aus dem ˇungeheuer mannigfachen Zu-
52
sammenhang des Organismus gelöst;) in
welchem
dem
allein wir gewohnt sind, an sie zu denken.)


 
  
/
 
     Nimm an, man rechnete mit Zahlen & verwendet manchmal auch die Division durch Ausdrücke von der Form (n ‒ n), & erhielte auf diese Weise hie & da andere als
unsre
die
normalen Resultate des Multiplizierens, etc. Das störe aber niemand. – Vergleiche damit: Man legt Listen, Verzeichnisse, von Personen an, aber nicht wie wir es tun, alphabetisch; & so kommt es, daß der gleiche Name in mancher Liste öfters als einmal figurirt steht // vorkommt // . – Aber nun kann man annehmen, : daß das niemandem auffällt; oder, daß die Leute es sehen, es ihnen aber ˇweiters nichts macht. // , es aber ruhig hinnehmen. // Wie man Leute eines Stammes denken könnte, die, wenn sie
Geld
Münzen
zur Erde fallen lassen, es nicht der
53
Mühe Wert halten sie aufzuheben. (Sie haben dann etwa eine Redensart: “Es gehört den Andern”), oder dergleichen.)

 
  
 
   Nun aber ändert sich die Zeit, & die Menschen fangen an (zuerst nur wenige) Exactheit zu fordern. Mit Recht
?
,
mit Unrecht? – Waren die früheren
Listen
Verzeichnisse
eigentlich nicht eigentlich
Listen
Verzeichnisse
? –

 
  
 
    Sagen wir, wir erhielten manche unsrer Rechenresultate auf durch einen versteckten Widerspruch.
Sind sie
Nun – sind sie
dadurch illegitim? – Aber wenn wir nun solche Resultate durchaus nicht anerkennen wollen & doch fürchten, es
könnten uns welche
könnten welche
durchschlüpfen – Nun dann haben wir also eine Idee die einem neuen Kalkül als vorbild dienen soll. // dienen
kann
könnte
. //
54
Wie man die Idee zu einem Spiel haben kann.

 
  
 
     Der R'sche Widerspruch ist nicht, weil er ein Widerspruch ist, beunruhigend, sondern weil das ganze Gewächs, dessen Ende er
ist
bildet
, ein Krebsgewächs ist,
welches
das
[Z|z]weck- & [S|s]innlos ohne Zweck & Sinn aus dem normalenc Körper herauszuwachsen scheint.

 
  
 
     Kann man nun sagen: “Wir wollen einen Kalkül, der uns sicherer die Wahrheit
ankündigtc
sagtc
”? // anzeigt”? //

 
  
 
18.6.
   Aber Du kannst doch einen Widerspruch nicht gelten lassen! – Warum nicht? Wir gebrauchen
diese Form
ihn
ja manchmal in unsrer Rede, freilich selten – aber man könnte sich eine Sprachtechnik denken, in der er ein ständiges Implemet ist // wäre // .
     Man könnte z.B. von einem Objekt in Bewegung sagen, es existiere & es existiere nicht an diesem Ort; Verände-
55
rung könnte durch den Widerspruch ausgedrückt werden.

 
  
 
      Nimm ein Thema, wie das Haydensche (Chorale St. Antoni), nimm den Teil einer der Brahmsschen Variationnen d[ie|er] dem ersten Teil des Themas entspricht & stell die Aufgabe den zweiten Teil der Variation im Stil ihres ersten Teiles zu konstruieren. Das ist ein Problem (sehr) ähnlich von ähnlicher Art den mathematischen Problemen. // Das ist ein Problem einer Art ähnlich der, der von math. Probl. // // Das ist ein Probl von der Art
mathematischer Pr.
der math. Probl.
// Ist die Lösung gefunden, etwa wie Brahms sie gibt, so zweifelt man nicht, daß dies die Lösung
ist
sei
. // so ist es uns klar zweifelt man nicht, so ist es uns klar, daß dies … // so zweifelt man nicht
;
// ; – //
dies ist die Lösung. //

 
  
 
     Mit diesem Weg sind wir einverstanden. Und doch ist es hier klar, daß
56
es leicht verschiedene Wege geben kann, kann mit deren jedem
wir einverstanden sein konnen,
wir uns einverstanden erklären konnen,
deren jeden wir consequent nennen
könnten
können
.


 
  
∕∕
 
     ∣ Ich konnte mir denken, daß [e|E]iner meinte die Namen “Fortnum” & “Mason” paßten zusammen. ∣

 
  
 
   ‘Wir machen lauter legitime – d.h. in den Regeln erlaubte – Schritte, & auf einmal kommt ein Widerspruch heraus. Also ist das Regelverzeichnis, wie es ist, nichts nutz, denn der Widerspruch wirft das ganze Spiel um.’ Warum laßt Du ihn es umwerfen?
     Aber ich will, daß man auch nach der Regel soll mechanisch weiter schließen können, ohne je zu widersprechenden Resultaten zu gelangen. Nun, welche Art der Voraussicht willst Du? Eine, die Dein gegenwärtiger Kalkül nicht zuläßt? Nun, dadurch ist er nicht
57
ein schlechtes Stück Mathematik

,
oder
:
,
nicht im vollsten Sinne Mathematik. Der Sinn des Wortes “mechanisch” verführt Dich.

 
  
∕∕
 
    ∣ Die philosophische Betrachtung der Mathematik hat eine andere Pointe, als die mathematische mathematischer Sätze & Beweise. ∣

 
  
 
   Wenn Du zu einem praktischen Zweck einen Widerspruch mechanisch vermeiden willst, wie Dein Kalkül es jetzt ˇbis jetzt nicht kann, so ist das etwa, wie wenn Du nach einer Konstruktion des …-Ecks suchst, das Du bis jetzt nur durch Probieren hast zeichnen können; oder nach einer Lösung der Gleichung 3ten Grades, die Du bisher nur appoximiert hast.
     Nicht schlechte Mathematik wird hier verbessert, sondern ein neues Stück Mathematik
erfunden
geschaffen
.

 
  
 
19.6.
    Nimm an, ich wollte eine Irratio-
58
nalzahl so bestimmen, daß in ihrer Entwicklung nicht die Figur ‘777’ vorkommt. Ich könnte π nehmen & bestimmen: wenn jene Figur entsteht setzen wir statt ihr ‘000’. Nun sagt man mir: das genügt nicht, denn der, welcher die Stellen berechnet, ist verhindert, auf die früher berechneten vorhergehenden // früheren // zurückzuschauen. Nun brauche ich einen andern Kalkül; einen in dem ich mich zum Voraus
versichere
versichern kann
, er könne ‘777’ nicht liefern. Ein mathematisches Problem.

 
  
 
‘Solange die Widerspruchsfreiheit nicht bewiesen ist, kann ich nie ganz sicher sein, daß mir jemand, der gedankenlos, aber gemäß den Regeln, rechnet, nicht irgend etwas Falsches
herausrechnen wird.
herausrechnet.
’ So lange also jene Voraussicht nicht gewonnen ist, ist der Kalkül
59
unzuverläßig. – Aber denke, ich fragte: “Wie unzuverläßig?– // ‘Wie unzuverläßig ist er? – // Wenn wir von Graden der Unzuverläßigkeit redeten, könnten wir ihr dadurch nicht den metaphysischen Stachel nehmen?
       Waren die ersten Regeln des Kalküls nicht gut? Nun, wir gaben sie nur, weil sie gut waren. – Wenn sich später ein Widerspruch ergibt, – haben sie nicht ihre Pflicht getan? Nein // Nicht doch, // sie Sie waren für diese Anwendung nicht gegeben worden.

 
  
 
Ich kann meinem Kalkül eine bestimmte Art der Voraussicht geben wollen. Sie macht ihn nicht zu einem eigentlicheren Stück Mathematik, aber, etwa
– zu
, zu
gewissem Zweck brauchbarerembarern.

 
  
 
   Die Idee des [m|M]echanisierens
60
der Math.. Die Mode des Axiomatischen Systems.

 
  
 
     Ein reflexives Fürwort, das sich auf den Satz in dem es steht bezieht. Gebrauchen wir das Wort “ich” – so daß “[i|I]ch bin 5 cm lang” dadurch zu prüfen ist, daß man diesen Satz mißt. Eine solche Form wird meines Wissens nie gebraucht; könnte
aber auch eine
aber unter Umständen eine
wichtige Rolle spielen. Satzform // Form von Sätzen // sein. Oder: “Ich bestehe aus 5 Wörtern.”

 
  
 
    “Ich bin aus den S[a|ä]tzen … nicht beweisbar.” – Nicht paradox ist dagegen: “Ich bin aus den Sätzen … nicht erhältlich.”

 
  
 
Aber nehmen wir an, die ‘Axiome’ & ‘Schlußweisen’ seien nicht nur irgendwelche Konstruktionsweisen, sondern sie überzeugten uns auch durchaus von dem Konstruierten! // , sondern auch durchaus überzeugende! // Nun,
61
dann heißt das, daß es Fälle gibt, in denen die Konstruktion aus diesen Bausteinen Bauelementen // Elementen // nicht überzeugt.
     Und tatsächlich sind die logischen Axiome gar nicht überzeugend, wenn wir für die Satzvariablen Strukturen einsetzen, die niemand ursprünglich
vorhergesehen hat, als …
als mögliche Werte vorhergesehen hat
, als man nämlich ihrer der Wahrheit ˇder Axiome (im Anfang) die unbedingte Anerkennung gab.

 
  
 
     Wie aber wenn man sagt: die Axiome und Schlußweisen sollen doch so gewählt werden, daß sie keinen falschen Satz beweisen können?

 
  
 
    ‘Wir wollen nicht nur einen ziemlich zuverläßigen, sondern einen absolut zuverläßigen Kalkül. Die Mathematik muß absolut sein.’

 
  
 
Nimm an, ich hätte die Regeln
62
für's Spiel ‘Fuchs & Jäger’ aufgestellt – stellte mir das Spiel unterhaltlich & hübsch vor – später finde ich // . Später aber finde ich // , daß die Jäger immer gewinnen können, wenn man einmal
den Trick kennt
weiß, wie
.
      Ich bin nun, sagen wir, mit meinem Spiel unzufrieden. Die von mir gegebenen Regeln haben ein Resultat gezeitigt, daß ich nicht vorausgesehen hatte // voraussah // & (das) mir das Spiel verdirbt.

 
  
 
20.6.
    ‘N. N. kam darauf, daß man bei den Berechnungen oft durch Ausdrücke der Form ‘(n ‒ n)’ gekürzt hatte. Er wies die dadurch entstehende Diskrepanz der Resultate nach & zeigte, wie Menschenleben durch diese Art des Rechnens verloren worden waren.’

 
  
 
    Aber nehmen wir an, auch die Andern hätten jene Widersprüche gemerkt, nur sich nicht darüber
63
Rechenschaft geben können woher sie
kommen
kämen
. Sie hätten sozusagen mit schlechtem Gewissen gerechnet. Sie hätten zwischen widersprechenden Resultaten eins gewählt, aber mit Unsicherheit, während ihnen N's Entdeckung vollkommene Sicherheit gegeben hätte. – Aber sagten sie sich: ‘mit unserm Kalkül ist etwas nicht in Ordnung’? War ihre Unsicherheit von der Art der unsern, wenn wir eine physikalische Berechnung anstellen, aber nicht ganz sicher sind, ob diese benützten Formeln hier wirklich das richtige Resultat ergeben? Oder war es ein Zweifel darüber, ob
ihr Rechnen
ihre Mathematik
wirklich
ein Rechnen
Mathematik
sei? In diesem Falle: was taten sie, um
den Übelstand abzustellen
sich davon zu überzeugen
?

 
  
/
 
    Ich versuche nicht, den Gegenstand in's Futeral zu pressen, noch Stücke wegzuschneiden, bis er paßt,
64
sondern ich will ihn drehenc ˇumlegen, – vielleicht um 180˚ –
damit er passe.
bis er paßt.
[gehört eigentlich zu Betrachtungen der Grundlagen der Mathem.]

 
  
 
      Die Leute haben bisher nur verhältnismäßig selten vom Kürzen durch Ausdrücke vom Werte 0 Gebrauch gemacht.
Einmal aber
Irgendeinmal
entdeckt
jemand,
Einer,
daß sie auf diese Weise wirklich jedes beliebige Resultat ausrechnen können. – Was tun sie nun? Nun, wir könnten uns sehr verschiedenes vorstellen. Sie können, z.B., nun erklären, diese Art des Rechnens habe (damit) ihren Witz verloren, & so sei künftig nicht (mehr) zu rechnen.

 
  
 
    ‘Er glaubt, er rechnet – möchte man sagen – er rechnet tatsächlich nicht.’

 
  
 
    Wenn die Rechnung für mich ihren Witz verloren hat, sobald ich weiß, wie ich nun alles Beliebige errechnen kann – hat sie keinen gehabt, so
65
lang ich das nicht wußte?

 
  
 
     Ich mag freilich jetzt alle diese Rechnungen als nichtig erklären – ich führe sie eben jetzt nicht mehr aus – aber waren es darum keine Rechnungen?

 
  
 
     Ich habe (einmal), ohne es zu wissen, über einen Widerspruch // versteckten Widerspruch // geschlossen. Ist mein Resultat nun falsch, oder doch unrecht erworben?

 
  
 
   Wenn der Widerspruch wirklich so gut versteckt ist, daß wir ihn nicht merken, // daß ihn niemand merkt, // warum sollen wir nicht das, was wir jetzt tun, das eigentliche Rechnen nennen?

 
  
 
  Wir sagen, der Widerspr. würde den Kalkül vernichten. Aber wenn er nun sozusagen in winzigen Dosen aufträte, gleichsam
66
blitzweise, nicht als ein ständiges Rechenmittel, würde er da
den Kalkül
das Spiel
auch vernichten?

 
  
 
21.6.
     Denk' Dir, ˇdie Leute hätten sich eingebildet (a + b)² sei gl müsse gleich sein a² + b². (Ist das eine Einbildung von der Art: es müsse eine Dreiteilung des Winkels mit Lineal und Zirkel geben?) Kann man sich also so einbilden, zwei Rechnungsweisenwege müssten dasselbe ergeben, wenn sie es nicht ˇder Fall ist tun?

 
  
 
   Ich addiere eine Kolumne, addiere sie auf verschiedene Weise, nehme z.B. die Zahlen in verschiedener Reihenfolge & kriege immer wieder, scheinbar regellos, etwas andres heraus. – Ich werde vielleicht sagen: “Ich bin ganz verwirrt; ich mache entweder regellos Rechenfehler,
67
oder ich mache gewisse Rechenfehler in bestimmten Verbindungen
:
,
etwa, auf ‘6 + 3 = 9’ sage ich immer ‘7 + 7 = 15’.
     Oder ich könnte mir denken, daß ich plötzlich einmal in der Rechnung subtrahiere statt zu addieren, aber nicht denke, daß ich da nun etwas anderes tue.

 
  
 
     Nun könnte es sein, daß ich den Fehler nicht fände & mich für geistesgestört hielte. Aber das müßte meine Reaktion nicht sein.

 
  
 
   ‘Der Widerspruch hebt den Kalkül auf,’ – woher diese Sonderstellung? Sie ist, glaube ich, durch etwas Phantasie gewiß zu erschüttern.

 
  
∕∕
 
    Um diese philosophischen Probleme zu lösen muß man Dinge miteinander vergleichen,
68
die zu vergleichen noch niemand ernstlich miteinander verglichen hat. // , die zu vergleichen noch niemand ernstlich eingefallen ist. //

 
  
∫ /
 
    Man kann auf diesem Gebiete allerlei fragen, was zwar zur Sache gehört, aber nicht durch die Mitte ˇder Sache // derselben // führt.
      Eine bestimmte Reihe von Fragen führt durch die Mitte, ins Freie. Die andern werden nebenbei beantwortet.
      Den Weg durch die Mitte zu finden, ist ungeheuer schwer.

 
  
∫ /
 
     Er geht über neue Beispiele & Vergleiche. Die abgebrauchten zeigen ihn nicht. //
bilden
zeigen
diesen Weg nicht. // // zeigen uns
diesen
den
Weg nicht. // // zeigen uns ihn nicht. //

 
  
 
22.6.
    Der Widerspruch ist so speziell, wie die Wahrheitsfunktionen, wie ‘ja’ & ‘nein’.

69


 
  
/
 
23.6.
   Nehmen wir an, der R'sche Widerspruch wäre nie gefunden worden. Nun – ist es ganz klar, daß wir dann einen falschen Kalkül besessen hätten? Gibt es denn hier nicht verschiedene Möglichkeiten?

 
  
/
 
Und wie, wenn man den Widerspr. zwar gefunden, sich aber weiter nicht über ihn aufgeregt, & etwa bestimmt hätte, es seien aus ihm keine Schlüsse zu ziehen. (Wie ja auch niemand aus dem ‘Lügner’ Schlüsse zieht.) Wäre das ein offenbarer Fehler gewesen?

 
  
/
 
   “Aber dann ist doch das kein eigentlicher Kalkül! Er verliert ja alle Strenge!” Nun nicht alle. Und er hat nur dann nicht die volle Strenge, wenn man ein bestimmtes Ideal der Strenge hat // verfolgt // , einen bestimmten Stil
70
der Mathematik
bauen will
baut
.

 
  
 
    ‘Aber ein Widerspr. in der Math. verträgt sich doch nicht mit ihrer Anwendung // mit der Anwendg. der Mathematik // .
     Er macht, wenn er konsequent, d.h.
zum Erzeugen
zur Ereugung
beliebiger Resultate verwendet wird, die Anwendung der Math. zu einer Farce, oder einer Art überflüssiger Zeremonie. Seine Wirkung ist etwa die, unstarrer Maßstäbe, die durch [d|D]ehnen & [z|Z]usammendrücken verschiedene Messungsresultate zulassen.’ Aber war das Messen durch Abschreiten kein Messen? Und wenn die Menschen mit Maßstäben aus Teig arbeiteten, wäre das an sich schon falsch zu nennen?

 
  
 
Könnte man sich nicht leicht Gründe denken, weshalb eine gewisse Dehnbarkeit der Maßstäbe erwünscht sein könnte?

71


 
  
 
    ‘Aber ist es nicht richtig, die Maßstäbe aus immer härterem, unveränderlicherem Material herzustellen? Gewiß ist es richtig; wenn man es so will.’

 
  
/
 
   ‘Also redest Du dem Widerspruch das Wort?!’ Durchaus nicht; so wenig, wie den weichen Maßstäben.

 
  
 
   Ein Fehler ist zu vermeiden: Man denkt, der Widerspruch muß sinnlos sein: d.h., wenn man z.B. die Zeichen ‘p’, ‘~’, ∙ konsequent benützt, so kann ‘p ∙ ~p’ nichts sagen. – Aber denke
:
,
was heißt, den & den Gebrauch ‘konsequent fortsetzen’? (‘Dieses Kurvenstück konsequent fortsetzen’.)

 
  
/
 
     Wozu braucht die Mathematik eine Grundlegung?! Sie braucht sie, glaube ich, ebenso wenig, wie die Sätze über physikalische Gegenstände oder Sinnesdatenempfindungen eine Analyse. // wie die Sätze, die von physikalischen Gegenständen
72
handeln, oder von Sinneseindrücken, eine Analyse. // // wie die Sätze, die von physikalischen Gegenständen, – oder die, welche von Sinneseindrücken handeln, eine Analyse. // Wohl aber bedürfen die mathematischen, sowie jene andern Sätze eine Klarlegung ihrer Grammatik.

 
  
∕∕
 
    Die mathematischen Probleme der sogenannten Grundlagen liegen für uns der Math. so wenig zu Grunde, wie der gemalte Fels einer gemalten Burg. // wie der gemalte Fels die gemalte Burg trägt. //

 
  
 
‘Aber wurde die Fregesche Logik durch den Widerspr. zur Grundlegung der Arithmetik nicht untauglich? Doch! ⌇ Aber wer sagte denn auch, daß sie zu diesem Zweck tauglich sein müsse?!⌇

 
  
 
24.6.
Man könnte sich sogar denken, daß man die Fregesche Logik einem Wilden
73
als Instrument gegeben hätte, um damit arithm. Sätze abzuleiten. Er habe den Widerspr. abgeleitet, ohne zu merken, daß es einer ist, & aus ihm nun beliebige wahre & falsche Sätze.

 
  
 
   ‘Ein guter Engel hat uns bisher bewahrt, diesen Weg zu gehen.’ Nun, was willst Du mehr? Man könnte, glaube ich, sagen: Ein guter Engel wird immer nötig sein, was immer Du tust.

 
  
 
  Man sagt: das Rechnen sei ein Experiment, um dadurch seine praktische Anwendbarkeit zu erklären // – um dadurch zu zeigen, wie es so praktisch sein kann // . Denn vom Experiment weiß man, daß es realen Wert hat // daß es wirklich
realen
praktischen
Wert hat // . Nur vergißt man, daß es diesen Wert besitzt vermöge einer Technik, die (wohl) ein naturgeschichtliches Faktum ist, deren Regeln aber
74
nicht die Rolle von Sätzen der Naturgeschichte haben.

 
  
∕∕
  
  
/
 
25.6.
    Daß ein Experiment praktisch ist, das weiß er; also ist die Rechnung ein Experiment.

 
  
/
 
    Unsre experimentellen Handlungen haben allerdings ein charakteristisches Gesicht. Wenn ich jemand in einem Laboratorium eine Flüssigkeit in eine Proberöhre gießen & über einer Bunsenflamme erhitzen sehe, bin ich geneigt zu sagen, er mache ein Experiment.

 
  
/
 
    Nehmen wir an, Leute, die ˇwelche zählen können, wollen

,
so wie wir

,
zu verschiedenendenerlei praktischen Zwecken
Zahlen
gewisse Anzahlen
wissen
erfahren
. Und dazu fragen sie gewisse
Menschen
Leute
, die, wenn ihnen das
75
praktische Problem erklärt wurde, die Augen schließen, & sich die dem Zweck entsprechende Zahl einfallen ließen; ‒ ‒ ‒
so
dann
läge hier keine Rechnung vor, wie verläßlich immer die Zahlangabe sein mag. Ja diese Zahlbestimmung könnte ˇpraktisch viel verläßlicher sein, als jede Rechnung.

 
  
/
 
     Eine Rechnung – könnte man sagen – ist ˇetwa ein Teil der Technik eines Experiments, aber allein
kein
nicht ein
Experiment.

 
  
/
 
27.6.
   Vergißt man denn, daß das Experiment in bestimmter Weise angewendet
werden muß
wird
? // Experiment eine Anwendung hat? //
// daß das Experiment dies durch eine // daß zum Experiment eine bestimmte Anwendung der [e|E]xperimenthandlung des experimentellen Vorgangs gehört? // // daß zum Experiments eine bestimmte Anwendung des Vorgangs gehört? // Und die Rechnung vermittelt die Anwendung.

76


 
  
∕∕
 
Würde denn jemand daran denken, das Übersetzen einer sChiffre mittels eines Schlüssels ein Experiment zu nennen?

 
  
 
    Das normative Spiel – im Gegensatz, etwa, zum beschreibenden.

 
  
∕∕
 
   Wenn ich zweifle, ob die Zahlen n und m multipliziert l ergeben werden, so bin ich nicht darüber im Zweifel, ob eine Verwirrung in unserm Rechnen ausbrechen wird & etwa die Hälfte der Menschen eines – die andere Hälfte etwas andres für richtig
halten
erklären
werden.

 
  
/
 
   ‘Experiment’ ist eine Handlung nur von einem gewissen Gesichtspunkt gesehen. Und es ist klar, daß die Rechnungshandlung auch ein Experiment sein kann.
       Ich kann z.B. prüfen wollen, was dieser Mensch unter solchen Umständen, auf diese Aufgabenstellung
77
hin, rechnet. – Aber, zum Teufel, das ist es ja doch ist nicht eben das, was Du untersuchst fragst, wenn Du ihn rechnen läßt! // untersuchst, fragst, um zu erfahren, , wenn Du erfahren wissen willst, wieviel 52 × 63 ist! // Ja [d|D]as mag ich wohl fragen – d.h.: meine Frage mag sogar in diesen Worten ausgedrückt sein. (Vergl. damit: Ist der Satz “der Arme Horch, sie stöhnt!“ einer ein Satz über das ihr Benehmen, oder das über ihr Leiden? des)
       Aber wie ist es nun, wenn ich seine Rechnung vielleicht nachrechne? – ‘Nun, dann mache ich noch ein Experiment um ganz sicher herauszufinden, daß alle normalen Menschen so reagieren.’ – Und wenn sie nun nicht gleichförmig reagieren –: welches ist das Rechnungsresultat? // das mathematische Resultat? //

 
  
/
 
    “Soll die Rechnung praktisch sein, so muß sie Tatsachen herauskriegen
zu Tage bringen
mitteilen
. Und das kann man nur durchs das Experiment.”
     Aber welches sind ‘Tatsachen’?
78
Glaubst Du, Du kannst zeigen, was eine welche Tatsache ˇgemeint ist, indem Du ˇetwa mit dem Finger Finger zeigst? drauf ˇsie hinzeigst? Macht das schon die Rolle klar, welche die ‘Feststellung’ einer Tatsache spielt? – Wenn nun die Mathematik erst den Charakter dessen bestimmte, was Du ‘Tatsache’ nennst?!
     ‘Es ist interessant zu wissen wieviele Schwingungen dieser Ton hat.’ Aber die Arithmetik
hat Dich diese Frage erst gelehrt.
lehrt Dich erst, was wieviele heißt.
Sie lehrt hat Dich, gelehrt, nach dieser Art von Tatsachen fragen; diese Art von Tatsachen zu sehen.

 
  
/
 
Die Mathematik – will ich sagen – lehrt Dich nicht
bloß
einfach
die Antwort auf eine Frage; sondern ein ganzes Sprachspiel, mit Fragen Frage & Antworten Antwort.

 
  
 
Sollen wir sagen, die Mathematik lehre uns zählen?
79
 
  
 
⌊⌊     Kann man von der Mathematik sagen, sie lehre uns experimentelle Forschungsweisen? Oder sie helfe uns, solche Forschungsweisen finden? ⌋⌋

 
  
/ ? ?
 
   ‘Die Mathematik, um praktisch zu sein, muß uns Tatsachen lehren.’ – Aber müssen diese Tatsachen die mathematischen Tatsachen sein? – Aber warum soll sie nicht, statt uns ‘Tatsachen zu lehren‘, die Formen dessen schaffen ˇschaffen helfen, was wir Tatsachen nennen?

 
  
? /
  
  
? /
 
    “Ja, aber es muß doch
unser
das
Rechnen auf empirischen Tatsachen beruhen!” Gewiß. Der Zusammenhang besteht (eben) darin, daß die Rechnung ein das Bild eines Experiments ist
; den Gang zeigend, den
; & zwar den Gang zeigt, den
es so gut wie immer nimmt. // Gewiß. Aber welche meinst Du jetzt? Die psychologischen & physiologischen, die es möglich machen, oder die, die es zu einer nützli
80
zu etwas Nützlichem machen?
nützlichen Tätigkeit machen?
Der Zusammenhang mit diesen besteht darin, daß die Rechnung das Bild eines Experiments ist, so wie es ˇnämlich, so gut wie immer, abläuft. // Von den anderen erhält es seine Pointe, seine Physiognomie: aber das sagt durchaus nicht, daß die Sätze der Mathematik die Rollen der Funktionen der empirische[r|n] Sätze spielen haben. [Das Wort ‘Rolle’ ist mir unangenehm. Es ist zu facil.] (Das wäre ˇbeinahe, als glaubte Einer: weil doch nur die Schauspieler im Stücke eine Rollee spielen // auftreten // agieren // handeln // , so könnten auch keine andern Leute nützlich auf der Bühne des Theaters beschäftigt sein beschäftigt sein.) // so gäbe es auf ˇauch für andre Leute auf der Bühne nichts nützliches zu tun.) //

 
  
/
 
    In der Rechnung
sind die Zusammenhänge nicht kausal.
gibt es keine kausalen Zusammenhänge, nur die Zusammenhänge des Bildes.


81


 
  
 
Und daran ändert es nichts, daß wir die Beweisfigur nachrechnen, um sie anzuerkennen. Daß wir also versucht sind, zu sagen, wir ließen sie durch ein psychologisches Experiment entstehen. Denn der
psychische
psychologische
Ablauf wird beim Rechnen nicht psychologisch untersucht.

 
  
∕∕
 
   Aber können wir uns keine menschliche Gesellschaft denken, in der es ebensowenig ein Rechnen, ganz in unserm Sinn, wie ein Messen, ganz in unserm Sinn, gibt? – Doch. – Aber wozu will ich mich dann bemühen, was Mathematik ist herauszuarbeiten?
       Weil es bei uns eine Mathematik gibt & eine besondere Auffassung derselben, ein Ideal, ˇgleichsam, ihrer Stellung & Funktionc, – & dieses muß klar herausgearbeitet werden.

 
  
 
ˇErwäge: ‘Unsre Mathematik wandelt Experimente in Definitionen um.’


      
82


 
  
 
Fordere nicht zuviel, & fürchte nicht, daß Deine gerechte Forderung in's Nichts zerrinnen wird.

 
  
/
 
Meine Aufgabe ist es nicht, Russells Logik von innen anzugreifen, sondern von außen.ƪ

 
  
/
 
D.h.: nicht, sie mathematisch anzugreifen – sonst triebe ich Mathematik – sondern ihre Stellung, ihr Amt. // ihre Stellung, ihr Prestige. //

 
  
/
 
2.7.
‘Die Minute hat 60 Sekunden.’ Das ist ein Satz ganz ähnlich einem mathematischen. Hängt seine Wahrheit von der Erfahrung ab? – Nun: könnten ˇwir von Minuten und Sekunden reden, wenn es keinen Zeitsinn gäbe; wenn es keine Uhren gäbe, oder, aus physikalischen Gründen, nicht geben könnte; wenn alle die Zusammenhänge nicht statt hätten, die unsern Zeitmaßen Sinn & Bedeutung geben? In diesem Falle – würden wir sagen – hätte das Zeitmaß seine Pointe
seinen Witz
seinen Sinn
83
verloren (wie die Handlung des Matsetzens ohne das Schachspiel. , wenn das Schachspiel verschwändeohne die Institution des Schachspiels.) – oder es hätte dann einen ganz anderen
Sinn
Witz
. – Macht aber die eine so beschriebene Erfahrung den Satz falsch, die andre wahr? Nein; das beschriebe nicht seine Funktion. Er funktioniert ganz anders.

 
  
 
     Ich will einen bestimmten Aspekt der Mathematik herausarbeiten; & zwar den, der – meiner Meinung nach – offenbar gemacht die Art & Weise beeinflußt, wie Mathematiker & Philosophen (heute) die Mathematik betrachten. // – klar
geschildert
abgebildet
die Art & Weise … // //

 
  
 
       ‘Der psychologische Ablauf der Rechnung’ – oder soll ich ihn einen physiologischen nennen? Will ich die Gefühle der Billigung eines Rechenübergangs beschreiben? Wenn wir statt der Billigung hier den Ausdruck der Billigung setzen: – was interessiert er uns?
84
Er ist bloß eine Umgebung des Rechnens. (Beachte das Benehmen beim Rechnen!)

 
  
 
     ‘Das Rechnen, um praktisch sein zu können, muß auf empirischen Tatsachen beruhn.’ – Warum soll es nicht lieber bestimmen, was wir empirische Tatsachen nennen? // bestimmen helfen, was emp. Tats. sind? // // bestimmen, was emp. Tatsachen sind? //

 
  
 
     Meine Aufgabe ist es nicht über den Gödelschen Beweis ,(z.B.), zu reden; sondern an ihm vorbei zu reden.

 
  
 
    Die Aufgabe, die Zahl der Wege zu finden, auf denen man d[ie|en] Fugen dieser Mauern ˇohne abzusetzen & ohne Wiederholung nachentlangfahren kann, erkennt
ein jeder
jeder
als mathematische Aufgabe. –

 
  
 
Wäre die
Mauer
Zeichnung
vielc komplizierter & größer, nicht zu überblicken, so könnte man annehmen sie ändere sich, ohne das wir's merken, & dann wäre die Auf-
85
gabe, jene Zahl (die sich vielleicht gesetzmäßig ändert) zu finden, keine mathematische mehr. Aber auch wenn sie gleichbleibt, ist die Aufgabe dann nicht mathematisch. – Aber auch wenn
das Netz der Fugen
die Mauer
zu überblicken ist, so heißt das nicht, die Aufgabe ist eine mathematische

:
als sagte man: diese Aufgabe ist nun eine der Embryologie. Vielmehr , so kann man nicht sagen
:
,
die Aufgabe wird dadurch zu einer mathematischen – wie man sagt: …. // zu überblicken ist, tritt die Aufgabe dadurch ˇnun nicht in's Gebiet der Mathematik über – wie man sagt: diese … // Vielmehr: hier brauchen wir eine [M|m]athematische Lösung. (Wie:
Hier
hier
ist, was wir
wünschen
bedürfen
, eine Vorlage.)

 
  
 
       ‘Erkannten’ wir das Problem als mathematisches, weil, die Mathematik vom Nachfahren von Zeichnungen handelt?

 
  
 
Warum sind wir also geneigt, dieses Problem ˇschlechtweg ein ‘mathematisches’ zu nennen? Weil wir es ihm ˇgleichc ansehen, daß hier die
86
Beantwortung einer mathematischen Frage
beinahe
so gut wie
alles ist, was wir brauchen. Obschon man das Problem, z.B., leicht als als ein psychologisches sehen könnte.
       Ähnliches von der Aufgabe, aus einem Blatt Papier das & das zu falten.

 
  
 
     Es kann so ausschauen, als ob die Mathematik hier eine Wissenschaft ist, die mit Einheiten [e|e]xperiment[i|e]ert macht ˇExperimente, bei
welchen
denenc
es ˇnämlich nicht auf die Arten der Einheiten nicht ankommt, also nicht darauf, ob
sie
es
Erbsen, Glaskugeln, Striche, usw. sind. – Nur was von allen diesen gilt, findet sie heraus.
Z.B. nichts
Also nichts
über ihren Schmelzpunkt, aber, daß 2 und 2 ˇvon ihnen 4 sind. Und das Problem der Mauer № 1 ist eben ein mathematisches, d.h.: kann durch diese Art von Experiment gelöst werden. – Und worin das math. Experiment besteht? Nun, im [h|H]inlegen & Verschieben von Dingen, [z|Z]iehen von Strichen, [a|A]nschreiben von Ausdrücken, Sätzen, etc. Und man
87
muß sich dadurch nicht stören lassen, daß die äußere Erscheinung dieser Experimente nicht die physikalischer & anderer chemischer, etc. hat, es
sind eben andersartige.
ist eben eine völlig andre Art.
Nur eine Schwierigkeit ist da:
das, was vorgeht
der Vorgang
ist leicht genug zu sehen, zu beschreiben – aber wie ist es als Experiment anzuschauen? Welches ist hier der Kopf, welches der Fuß des Experiments?c Welches sind die Bedingungen des Experiments, welches das Resultat? ⌊⌊ˇ Welches sind die Bedingungen des Experiments, welches sein Resultat?⌋⌋ ⌊⌊ˇIst das Resultat das Rechnungsergebnis, oder das Rechnungsbild, oder die Zustimmung (worin immer diese besteht) des Rechnenden? ⌋⌋

 
  
 
     Werden aber, etwa, die Prinzipien der Dynamik zu Sätzen der reinen Mathematik dadurch, daß man ihre Interpretation offen läßt & sie nur zum Erzeugen eines Maßsystems verwendet?

 
  
 
   “Der math. Beweis muß übersichtlich sein” – das hängt mit der Übersichtlichkeit jener Figur zusammen.

 
  
 
Vergiß nicht: der Satz, der von sich selbst aussagt, er sei unbeweisbar, ist als mathematische Aussage auf-
88
zufassen, ‒ ‒ ‒ denn das ist nicht selbstverständlich.
       Es ist nicht selbstverständlich, daß der Satz, die & die Struktur sei: so & so nicht konstruierbar, als als mathematischer Satz aufzufassen
ist
sei
.

 
  
 
   D.h.: wenn man sagt: “er sagt von sich selbst aus” – so ist das auf eine spezielle Weise zu verstehen,. Hier nämlich entsteht leicht Verwirrung durch den bunten Gebrauch des Ausdrucks “dieser Satz sagt etwas von … aus“.

 
  
 
In diesem Sinne ˇsagt der Satz 625 = 25 × 25 auch etwas über sich selbst aus: daß nämlich die linke Ziffer erhalten wird, wenn man die rechts stehenden multipliziert.

 
  
 
Der Gödelsche Satz, der etwas über sich selbst aussagt, erwähnt sich selbst nicht.
89


 
  
 
Kann man nicht ebenso sagen, der Satz 3 + 2 = 5 sage von sich aus, er könne in eine Gruppe von 3 & eine von 2 Zeichen zerlegt werden? // , er bestehe aus einer Gruppe von 3 & einer von 2 Zeichen? //

 
  
 
    ‘Der Satz sagt, daß diese Zahl aus diesen Zahlen auf diese Weise nicht erhältlich ist.’ – Aber bist Du auch sicher, daß Du ihn recht ins Deutsche übersetzt hast? Ja gewiß, es scheint so. – Aber kann man da nicht fehlgehen?

 
  
 
     ∣ Ein Stil, Maschinen zu bauen, in welchem man die wirksamen Räder, Hebel, etc.
mit
von
einer Zahl unwirksamer umgibt, die, z.B., nur eines ästhetischen Eindrucks wegen angebracht sind. (Ähnlich wie Scheinfester in einer Fassade.) ∣

 
  
 
Könnte man sagen: Gödel sagt, daß man einen math. Beweis auch
trauen muß,
muß trauen können,
wenn man ihn, prak-
90
tisch, als den Beweis seiner der Konstruierbarkeit ˇder Satzfigur nach den Beweisregeln auffassen will?
     Oder: Ein math. Satz muß als Satz einer auf
sein eigenes Zeichen
sich selbst
wirklich anwendbaren Geometrie aufgefaßt werden können. Und tut man das so zeigt es sich, daß man sich auf einen Beweis in gewissen Fällen nicht verlassen kann

 
  
 
     | Wir erwarten
dies & werden
das eine & werden
von dem überrascht
von dem andern überrascht
; aber die Kette der Gründe hat ein Ende. ∣

 
  
 
   ∣ Die Grenzen der Empirie sind nicht unverbürgte Annahmen, oder intuitiv als richtig erkannte; sondern Arten & Weisen des Vergleichschens & des Handelns.

 
  
 
3.7.
‘Nehmen wir an, wir haben einen arithmetischen Satz, der sagt, eine bestimmte Zahl könne nicht aus den Zahlen … , … , … , durch die & die Operationen
91
gewonnen werden. Und nehmen wir an, es ließe sich eine Übersetzungsregel geben,
durch welche
nach welcher
dieser arithm. Satz in die Ziffer jener ersten Zahl , – die Axiome,
unseres Beweissystems in die …
aus denen wir versuchen ihn zu beweisen, in die
Ziffern jener andern Zahlen – & unsere Schlußregeln in die im Satz erwähnten Operationen sich übersetzen ließen. – Hätten wir dann den arithm Satz aus den Axiomen nach unsern Schlußregeln abgeleitet, so hätten wir dadurch seine Ableitbarkeit demonstriert, aber auch einen Satz bewiesen, den man nach jener Übersetzungsregel dahin aussprechen
muß
kann
: dieser arithm. Satz (nämlich unserer) sei unableitbar.
       Was wäre nun da zu tun? Ich denke mir, wir schenken unserer Konstruktion des Satzzeichens glauben, also dem geometrischen Beweis. Wir sagen also, diese ‘Satzfigur’ ist aus jenen so & so gewinnbar. Und übertragen, nur, in eine andre Notation heißt das: diese Ziffer ist mittels dieser Operationen aus jenen zu ge-
92
winnen. Soweit hat der Satz & sein Beweis nichts mit einer besonderen Logik zu tun. Hier war jener konstruierte Satz einfach eine andere Schreibweise der konstruierten Ziffer; sie hatte die Form eines Satzes aber wir verglichen
sie
ihn
nicht mit andern Sätzen als Zeichen, welches dies oder jenes sagt, einen Sinn hat.

 
  
 
   Aber freilich ist zu sagen daß jenes Zeichen weder als Satzzeichen noch als Zahlzeichen angesehen werden braucht muß. – Frage Dich: was macht es zu dem einen, was zu dem anderen?

 
  
 
  Lesen wir nun den konstruierten Satz (oder die Ziffer) als Satz der mathematischen Sprache (etwa auf Deutsch), so spricht er das Gegenteil von dem, was wir eben als bewiesen betrachtet. Wir haben also den ˇwörtlichen Sinn des Satzes als falsch
93
demonstriert & ihn zu gleicher Zeit bewiesen – wenn wir nämlich seine Konstruktion aus den ˇzugelassenen Axiomen mittels der zugelassenen Schlußregeln als Beweis betrachten.

 
  
 
   (Wenn jemand uns einwürfe, wir könnten solche Annahmen nicht machen, das es logische oder mathematische Annahmen wären, so antworten wir, daß nur nötig ist anzunehmen jemand habe einen Rechenfehler gemacht & sei dadurch zu dem Resultat gelangt, das wir ‘annehmen’, & er könne diesen Rechenfehler vorderhand nicht finden.

 
  
 
     ∣ Die Menschen die immerfort ‘warum’ fragen, sind wie die Touristen, die, im Bädeker lesend, vor einem Gebäude stehen & durch das Lesen der Entstehungsgeschichte etc etc gehindert werden, das Gebäude zu sehen. ∣

94


 
  
 
    Hier kommen wir wieder auf den Ausdruck “der Beweis überzeugt uns” zurück. Und was uns ˇhier an der Überzeugung interessiert, ist weder ihr Ausdruck durch Stimme und Gebärde, noch das Gefühl, der Befriedigung, oder ähnliches; sondern ihre Betätigung in der Verwendung des Bewiesenen.

 
  
 
     Man
kann
könnte
mit Recht fragen, welche Wichtigkeit Gödel's Beweis für unsre Arbeit habe. Denn ein kann Stück Mathematik kann ein Probleme Problem dieser Untersuchung von der Art der unsern nicht // kann Probleme von der Art, die uns beunruhigen, nicht lösen. // // kann kein Problem von der Art, die uns beunruhigt lösen. // // kann nicht Probleme von der Art, die uns beunruhigt, lösen. // – Die Antwort ist: daß die Situation uns interessiert, in die ein solcher Beweis uns bringt. ‘Was sollen
sie
wir
nun sagen?’ – das ist unser Thema.
95


 
  
 
4.7.
Es kommt uns viel zu selbstverständlich vor, daß wir “wieviele?” fragen & darauf zählen & rechnen!

 
  
 
So seltsam es klingt, so scheint meine Aufgabe ˇdas Gödelsche Theorem betreffend (bloß) darin zu bestehen, klar zu stellen, was in der Mathematik so ein Satz bedeutet, wie: “angenommen, man könnte dies beweisen”.

 
  
 
Zählen wir weil es praktisch ist zu zählen? Wir zählen! – Und so rechnen wir auch. Siehe Seite 74

 
  
 
    
Überdenke
Bedenke
: ‘Einfach hersagen: “eins, zwei, drei, vier, … ” – ist reine Mathematik treiben; Dinge zählen, angewandte.’

 
  
 
Man kann auf Grund eines Experiments – oder wie man es sonst nennen will – manchmal die Maßzahl des [g|G]emessenen, manchmal aber auch das geeignete Maß bestimmen.
96


 
  
 
   So ist also die Maßeinheit das Resultat von Messungen? Ja & nein. Nicht das Messungsresultat, aber vielleicht die Folge von Messungen.

 
  
 
    Es wäre also eine Frage: “hat uns die Erfahrung
veranlaßt
gelehrt
, so zu rechnen?” – & eine andre: “ist die Rechnung ein Experiment?”.

 
  
/ \
 
5.3.44
     Aber läßt sich nicht alles aus allem nach irgend einer Regel – ja nach jeder Regel mit entsprechender Deutung – ableiten? Was heißt es, wenn ich z.B. sage: Ddiese Zahl läßt sich aus jenen beiden durch Multiplikation jener beiden
ableiten
erhalten
? Frage Dich: W wann gebraucht man diesen Satz? Nun, es ist z.B. kein psychologischer Satz, der sagen soll, was Menschen unter gewissen Bedingungen tun werden, was sie befriedigen wird; es ist auch kein physikalischer das Benehmen von Zeichen auf dem Papier
97
betreffend. Er wird nämlich in einer andern Umgebung, als ein psychologischer, oder physikalischer, angewandt.

 
  
 
   Nimm an Menschen lernen rechnen, ungefähr, wie sie es tatsächlich tun; aber stell Dir nun verschiedene ‘Umgebungen’ vor, die das Rechnen einmal zu einem psychologischen Experiment, einmal zu einem physikalischen mit den Rechenzeichen, einmal zu etwas anderem macht!
     Wir nehmen an die Kinder lernen zählen & die einfachen Rechnungsarten durch Nachahmen, Aufmunterung & Zurechtweisung. Aber von einem gewissen Punkt wird nun die Nichtübereinstimmung der Rechnenden (also etwa die Rechenfehler) nicht als etwas [s|S]chlechtes, sondern als etwas psychologisch [i|I]nteressantes behandelt. “Also das hieltest Du damals für richtig?” heißt es, “wir Andern haben es alle so gemacht”.

98


 
  
 
     Ich will sagen: daß das, was wir Mathematik, die mathematische Auffassung des [s|S]atzes 13 × 14 = 182, nennen, mit der besondern Stellungnahme zusammenhängt, die wir gegen zu dieer Tätigkeit des Rechnens einnehmen. Oder, die besondere Stellung, die die Rechnung – in unserm Leben, in unsern ˇübrigen Tätigkeiten hat. Das Sprachspiel in dem sie steht.

 
  
/
 
    Man kann ein Musikstück auswendig lernen, um es ˇrichtig spielen zu können; aber auch, in einem psychologischen Experiment, um
das Arbeiten
die Spiele
des ˇmusikalischen Gedächtnisses zu untersuchen. Man könnte es aber auch dem Gedächtnis einprägen um danach ˇirgendwelche Veränderungen in der Partitur zu beurteilen.

 
  
 
     Ein Sprachspiel: Ich rechne Multiplikationen & sage dem Andern: wenn Du richtig rechnest wird das & das herauskommen; worauf er die Rechnung ausführt und sich der Richtigkeit,
99
& manchmal der Falschheit, meiner Voraussage freut. Was setzt dieses Sprachspiel voraus? Daß ‘Rechenfehler’ leicht zu finden sind & immer Übereinstimmung über Richtigkeit, oder Falschheit der Rechnung rasch erzielt wird.

 
  
 
      “Wenn Du mit jedem Schritt übereinstimmen wirst, wirst Du zu diesem Resultat gelangen.”

 
  
 
    Was ist das Kriterium dafür, daß ein Schritt der Rechnung richtig ist; ist es nicht, daß mir der Schritt richtig erscheint, & anderes von der gleichen Art?
       Was ist das Kriterium dafür, daß ich zweimal die gleiche Ziffer hinschreibe? Ist es nicht, daß mir die Ziffern gleich erscheinen, & ähnliches?

 
  
 
    Was ist das Kriterium dafür, daß ich hier dem Paradigma gefolgt bin?
100


 
  
 
     “Wenn Du sagen wirst, daß jeder Schritt richtig ist
, wird das herauskommen.
, wirst Du das herausbekommen.


 
  
 
     Die Voraussage ist eigentlich: Du wirst,
wofern
wenn
Du Dein Tun für richtig hälst, das tun.
    Du wirst, sofern Du jeden Schritt für richtig
hälst
anerkennst
, diesen Weg gehen. – Daher auch zu diesem Ende gelangen.

 
  
/
 
   Logisch wird geschlossen, // Ein logischer Schluß wird
gezogen
ausgeführt
, // wenn keine Erfahrung
dem Resultat
// dem Schlußresultat //
der Konklusion
widerstreiten kann,
sie
es
sie
widerstreite denn den Premissen. D.h., wenn der Schluß nur eine Bewegung in der Darstellung ist. // in den Darstellungsmitteln ist. // // in den Mitteln der Darstellung ist. //

 
  
 
In einem Sprachspiel werden Sätze gebraucht; Meldungen, Befehle, u. dergl. Und nun
101
werden auch Rechensätze von den Personen verwendet. Sie sagen sie etwa zu sich selbst, zwischen den Befehlen und Meldungen.

 
  
 
6.3.44
    Ein Sprachspiel, in dem Einer nach einer Regel rechnet & danach ˇden Rechnungsresultaten Steine eines Baues setzt. Er hat gelernt mit Schriftzeichen nach Regeln zu operieren. – Wer den Vorgang
dieses
des
Lehrens
&
, oder
Lernens besch ein beschreibt hat alles gesagt, was sich über das richtige Handeln nach der Regel sagen läßt. Wir können nicht weiter gehen. Es nützt z.B. nichts zum Begriff der Übereinstimmung ˇzurück zu gehen, weil es nicht sichererc ist, daß [e|E]iner der Regel gefolgt ist, als daß eine Handlung mit einer andern übereinstimmt, als daß
sie
die Handlung
einer gewissen
der
Regel gemäß geschehen ist. Es ist ja, nach einer Regel vorgehen, auch auf eine Übereinstimmung
gegründet
aufgebaut
// Es beruht ja, nach einer Regel vorgehen,
102
auch auf einer Übereinstimmung. //

 
  
 
    Wie gesagt, was worin einer Regel (richtig) folgen besteht, kann man nicht näher beschreiben, als
dadurch, dass
indem
man das Lernen des ‘Vorgehens nach der Regel’ beschreibt. Und diese Beschreibung ist natürlich eine ˇalltägliche Beschreibung, wie die ˇetwa des Kochens, oder Nähens ˇetwa. Sie setzt schon soviel voraus wie diese. Sie unterscheidet Eins vom Andern; informiert alsoc einen Menschen, der etwas ganzc bestimmtes nicht weiß. (Vergl. Bemerkung: die Philosophie verwende keine vorbereitende Sprache etc.)

 
  
 
7.3.44
Denn wer mir beschreibt, wie Leute zum Befolgen einer Regel abgerichtet werden & wie sie richtig drauf reagieren, wird selber ˇin der Beschreibung eine Regel gebrauchen & ihr Verständnis bei mir voraussetzen. // wird selbst in der Beschreibung den Ausdruck einer Regel verwenden & sein Verständnis bei mir
103
voraussetzen. //

 
  
/
 
     Wir haben also jemand die Technik des Multiplizierens beigebracht. Dabei verwenden wir
Ausdrücke
Wörter
der
Zustimmung
Aufmunterung
& der Zurückweisung. Wir werden ihm auch manchmal das Ziel der Multiplikation anschreiben. “Das mußt Du erhalten, wenn es richtig sein soll.” können wir ihm sagen.

 
  
/
 
     Kann nun der Schüler aber widersprechen & sagen: ‘Woher weißt Du das? Und ist, was Du willst, daß ich der Regel folgen soll, oder daß ich dies Resultat erhalten soll? Denn die beiden brauchen ja nicht zusammen|zu|treffen.” Nun, wir nehmen nicht an, daß der Schüler das sagen kann; wir nehmen an, daß er die Regel von beiden Seiten her gelten läßt. Daß er den einzelnen Schritt & das Rechnungsbild – & also das Rechnungsresultat – als Kriterien der Richtigkeit auffaßt, & daß, wenn diese nicht Übereinstimmen er an eine Verwirrung
104
der Sinne glaubt.

 
  
 
     Ist es nun denkbar, daß einer der Regel richtig folgt & zu verschiedenen Malen ˇbeim Multiplizieren 15 × 13 doch verschiedenes errechnet? Daß kommt darauf an, welche Kriterien
man
er
für das richtige Folgen gelten läßt. In der Mathematik ist das Resultat selbst auch ein Kriterium des richtigen Rechnens.
Da ist es also
So aufgefaßt ist es also
undenkbar der Regel richtig zu folgen & verschiedene Rechnungsbilder zu
erzeugen
erhalten
.

 
  
 
   Das Nicht-Geltenlassen des Widerspruchs charakterisiert die Technik
unserer
der
Verwendung
unserer
der
Wahrheitsfunktionen. Lassen wir den Widerspruch gelten, so
bedeutet
heißt
das
eine Änderung der Auffassung der Wahrheitsfunktionen
daß wir die Verwendung der Wahrheitsfunktionen ändern
; als faßten wir z.B. eine doppelte Verneinung nicht mehr als Bejahung auf. Und keine Änderung ist // Lassen wir den Widerspruch ˇin unsern Sprachspielen gelten, so
ist
bedeutet
das eine Änderung jener Technik. // // Lassen wir den Widerspruch in unsern
105
Sprachspielen gelten, so ändern wir jene Technik – so, als giengen wir davon ab, eine doppelte Verneinung als Bejahung anzusehen. Und diese Änderung wäre von Bedeutung, da die Technik unserer Logik ihrem Charakter nach zusammenhängt mit ‒ ‒ ‒

 
  
 
     “Die Regeln zwingen mich zu etwas”, nun das kann man schon sagen, weil, was mir mit der Regel übereinzustimmen scheint ja nicht von meine[m|r] freien Willenr abhängt. Daher kann es ja geschehen daß ich die Regeln eines Brettspiels ersinne & nachträglich herausfinde daß in diesem Spiel wer anfängt gewinnen muß. Und so ähnlich ist es ja, wenn ich finde, daß die Regeln zu einem Widerspruch führen

 
  
 
[7|8].3.44.
Ich bin nun gezwungen anzuerkennen, daß, das eigentlich kein Spiel ist.

106


 
  
 
    ‘Die Regeln des Multiplizierens, einmal angenommen, zwingen mich nun anzuerkennen, daß … × … gleich … ist.’ Angenommen, daß es mir unangenehm wäre,
diesen Satz
dies
anzuerkennen. Soll ich sagen: “Nun, das kommt von dieser Art Abrichtung. Menschen, die so [A|a]bgerichtet, so conditioniert sind, kommen dann in solche Schwierigkeiten.”?

 
  
 
    ‘Wie
zählt man
zählen wir
im Dezimalsystem?’ – “Wir schreiben auf 1, 2, auf 2, 3 … – auf 13 14 … auf 123 124, u.s.f.” – Das ist eine Erklärung für den, der ˇzwar irgend etwas andres als das nicht wußte, verstand, das ’u.s.f.’ aber versteht. aber das ’u.s.f.’ ˇaber verstand. Und es verstehen, heißt, es nicht als Abkürzung verstehen; es heißt nicht, daß er jetzt im Geiste eine viel längere Reihe als die meiner Beispiele sieht., Daß er es versteht, zeigt sich darin, daß er nun gewisse Anwendungen macht, in gewissen Fällen
107
dies sagt & so handelt.

 
  
 
  “Wie zählen wir im Dezimalsystem?” – … – Nun ist das keine Antwort? Aber nicht für den, der das “u.s.f.” nicht
verstand
versteht
. – Aber kann unsere Erklärung es ihm nicht begreiflich gemacht haben? Kann er durch sie nicht die Idee der Regel erhalten haben? – Frage Dich, was die Kriterien dafür sind, daß er diese Idee ˇnun erhalten hat.

 
  
 
     Was zwingt mich denn? – Der Ausdruck der Regel? – Ja; wenn ich einmal so erzogen bin. Aber kann ich sagen, er zwingt mich, ihm zu folgen? Ja; wenn dies nicht schon man sich hier die Regel nicht als Linie denkt, der ich nachfahre, sondern als Zauberspruch der uns alle im Bann hält.
[“schlichter Unsinn, & Beulen …”]

 
  
 
     Warum soll man nicht sagen
108
der Widerspruch, z.B. ‘heteronom’ ∊heteronom ≡ = ~(‘heteronom’∊ heteronom), zeige etwas eine logische Eigenschaft des Begriffs ‘heteronom’?

 
  
 
    “‘Zweisilbig’ ist heteronom”, oder “dreisilbig ist nicht heteronom” sind [e|E]rfahrungssätze. Es könnte ˇin irgend einem Zusammenhang wichtig sein, herauszufinden, ob Eigenschaftswörter die Eigenschaften ˇbesitzen, die sie bezeichnen, ˇoder nicht selber haben Man gebraucht dann in einem Sprachspiel das Wort “heteronom”. Aber soll nun der [s|S]atz “‘h’∊h” ein Erfahrungssatz sein? Er ist es offenbar nicht & wir würden ihn, auch,, wenn wir den Widerspruch nicht gefunden haben, nicht als einen Satz unsres in unserm ˇSprach[S|s]piels
gelten lassen
zulassen
.

 
  
 
[8|9] .3.44.
‘h’ ∊ h≡ ~(‘h’ ∊ h) könnte man ‘eine wahre Kontradiktion’ nennen. –Aber diese Kontradi[c|k]tion ist doch kein sinnvoller Satz! Wohl, aber die Tautologien der Logik sind
das
es
ja
109
auch nicht.

 
  
 
   ‘Die Kontradiktion ist wahr’ heißt hier, sie ist bewiesen; abgeleitet aus den Regeln des für das Wort “h”. Ihre Verwendung ist, zu zeigen, daß “‘h’∊h” kein Satz ist“h” eines jener Wörter ist ein Wort ist, welches welches in “ξ ∊ b” eingesetzt keinen Satz ergibt ergeben ergibt

 
  
 
   “Die Kontradiktion ist wahr” heißt: Das ist wirklich ein Widerspruch, & Du darfst also das Wort ‘h’ so als Argument von ‘ξ∊ h’ nicht verwenden.

 
  
 
    Ich bestimme ein Spiel & sage: “[m|M]achst Du diese Art Zug, soc ziehe ich so, machst Du jene, so ziehe ich so. – Jetzt spiele!” Und nun macht er einen Zug, oder etwas, was ich auch als Zug ge anerkennen muß, & wenn ich nach meinen Regeln
daraufhin ziehen
weiterspielen
will, so erweist sich, was immer ich tue, als unrichtig // als
meinen
den
Regeln nicht gemäß // .
110
Wie konnte das geschehen? Als ich Regeln aufstellte, da sagte ich etwas. Ich folgte einem gewissen Brauch. Ich sah nicht voraus, was wir weiter tun würden, oder sah nur eine bestimmte Möglichkeit. Es war nicht anders, als hätte ich [e|E]inem
drei
zwei
Farbtöpfe gegeben & gesagt: “damit kannst Du nun jede Landkarte erzeugen”.
// Es war nicht anders als hätte ich ˇEinem gesagt: “ˇGib das Spiel auf; [M|m]it diesen Figuren kannst Du nicht mattsetzen” & hätte dabei eine bestehende Möglichkeit des Mattsetzens
übersehen.
nicht bedacht.
//

 
  
 
    Die verschiedenen, halbs scherzhaften, Einkleidungen des logischen Paradoxes sind nur in sofern interessant als sie einen daran erinnern, daß eine ernsthafte Einkleidung des Paradoxes von Nöten ist, um es seine Funktion eigentlich zu verstehen. Es fragt sich: Welche Rolle kann ein solcher ‘logischer Irrtum’
111
in
einer Sprachanwendung
einem Sprachspiel
spielen?

 
  
 
     Man gibt jemandem etwa Instruktionen, wie er in dem & dem Fall zu handeln hat; & diese Instruktionen erweisen sich
später
dann
als unsinnig.

 
  
 
      Das logische Schließen ist ein Teil eines Sprachspiels. Und zwar folgt, der im Sprachspiel logische Schlüsse ausführt, gewissen Instruktionen, die beim Lernen des Sprachspiels
überhaupt
selber
gegeben wurden. Baut der Gehilfe etwa nach gewissen Befehlen ein Haus, so hat er das Herbeitragen der Baustoffe etc. von Zeit zu Zeit zu unterbrechen & gewisse operationen mit [z|Z]eichen auf einem Blatt Papier auszuführen; worauf er dem Resultat entsprechend, wieder
seine Bauarbeit aufnimmt
zu seiner Bauarbeit zurückkehrt
.

112


 
  
 
    Denke Dir einen Vorgang, in welchem jemand, der einen Karren schiebt darauf gekommen ist, daß er die Radachse reinigen muß, wenn der Karren sich zu schwer schieben läßt. Ich meine nicht, daß er zu sich sagt: “immer, wenn der Karren sich nicht schieben laßt, …”. Sondern er handelt einfach so. Und nun kommt er darauf einem Andern zuzurufen: “Der Karren geht nicht; reinige die Achse”, oder auch: “[d|D]er Karren geht nicht. Also mußt Du die Achse gereinig[e|t]n ˇwerden. Nun das ist ein Schluß. Kein logischer, freilich.

 
  
 
    Kann ich nun sagen: “Der nicht-logische Schluß kann sich als falsch erweisen; der logische nicht“?

 
  
 
   Ist der logische Schluß richtig, wenn er den Regeln gemäß gezogen wurde; oder, wenn er richtigen Regeln ge-
113
mäß gezogen wird? Wäre es z.B. falsch, wenn man sagte, aus ~p solle immer p gefolgert werden? Aber warum soll man nicht lieber sagen: so eine Regel gäbe den Zeichen “~p” & “p” nicht ihre gewöhnliche Bedeutung?

 
  
 
   Man kann es so auffassen – will ich sagen – daß die Schlußregeln den Zeichen ihre Bedeutung
beilegen
geben
, weil sie Regeln der Verwendung
der
dieser
Zeichen sind.
   Daß die Schlußregeln zur [b|B]estimmung der Bedeutung der Zeichen gehören. In diesem Sinne können die Schlußregeln nicht falsch, ˇoder richtig sein.

 
  
 
      A hat beim Bau die Länge & Breite einer Fläche gemessen & gibt dem B
den
einen
Befehl: “Bring 15 × 18 Platten”. B ist dazu abgerichtet ˇin diesem Fall zu multiplizieren & dem Resultat entsprechend eine Menge von Platten abzuzählen.

 
  
 
     Der Satz “15 × 18 = 270” braucht
114
natürlich nie ausgesprochen zu werden.

 
  
 
[9|10].3.44.
   Man könnte sagen: Experiment – Rechnung sind Pole, zwischen welchen sich menschliche Handlungen bewegen.

 
  
 
     Wir konditionieren einen Menschen in dieser & dieser Weise; wirken dann auf ihn durch eine Frage ein; & erhalten eine Zahlzeichen Zahl. Diesese verwenden wir weiter zu unsern Zwecken & es erweist sich als praktisch. Das ist das Rechnen. – Noch nicht! Dies könnte ein sehr Zweckmäßiger Vorgang sein – muß aber nicht sein, was wir ‘rechnen’ nennen. Wie man sich denken könnte, daß zu Zwecken denen heute unsere Sprache dient Laute ausgestoßen würden, die doch keine Sprache bildeten.
      Zum Rechnen gehört, daß alle die richtig rechnen dasselbe Rechnungsbild
erzeugen
produzieren
. Und ‘richtig rechnen’ heißt nicht: bei klarem Verstande, oder ungestört rechnen, sondern so rechnen.
115


 
  
 
    Das Unphilosophische an Gödels Aufsatz
liegt
besteht
darin, daß er das Verhältnis der Mathematik
&
zu
ihrer Anwendung nicht
erkennt
sieht
. Er hat hier die schleimigen Begriffe der
meisten
übrigen
Mathematiker.

 
  
 
   Jeder math. Beweis stellt das math. Regelgebäude Gebäude gibt dem … einen auf einen
weitern Stützpunkt
neuen Fuß
. [Ich dachte an die Füße eines Tisches]

 
  
 
   Ich habe mich gefragt: Ist Mathematik mit rein phantastischer Anwendung nicht auch wirkliche Mathematik? – Aber es frägt sich: [n|N]ennen wir es ‘Mathematik’ nicht etwa nur darum weil es hier Übergänge, Brücken gibt von der phantastischen zur nichtphantastischen Anwendung? D.h., : würden wir sagen, Leute besäßen eine Mathematik, die das Rechnen, Operieren mit Zeichen, bloß zu okulten Zwecken benützten?

 
  
 
Aber ist es dann doch nicht unrichtig zu sagen, : das ˇder Mathematik Wesentliche sei, daß
116
sie Begriffe bilde? – Denn die Mathematik ist doch ein anthropologisches Phänomen. Wir können es also als das Wesentliche
in
in
einem großen
Gebiet
Teil
der Mathematik (dessen was ‘Mathematik’ genannt wird) erkennen & doch sagen, es spiele keine Rolle in anderen Gebieten. Diese Einsicht allein wird freilich nicht ohne Einfluß aud die sein, die die Mathematik nun so sehen lernen. Die Mathematik ist also eine Familie; aber das sagt nicht daß es uns also gleich sein wird, was alles in
sie
die Mathema
aufgenommen wird.

 
  
∕∕
 
Man könnte sagen: verstündest Du keinen mathematischen Satz besser als (Du) das Mult. Ax. (verstehst), so verstündest Du Mathematik nicht.

 
  
 
Gibt es nicht ein Versuchen ob (
p
q
)² (wo p und q Kardinalzahlen sind) 2 ergibt? Nun worin besteht es, : das prüfen.
117
Er rechnet für verschiedene Werte (
p
q
)² & verglei sieht, ob das Resultat 2 ist, oder sich 2 nähert, etc. Aber ist es klar, worin dies [n|N]achsehen & Vergleichen besteht? Nein.
    Und wie ist es: ist es etwas anders zu prüfen, ob (
p
q
)² = 2 & zu prüfen ob (
p
q
²) ≠ 2 ist?

 
  
 
     Aber was prüfe ich nun: ist es das Zeichen “(
p
q
)² = 2”, oder der Inhalt dieses Satzes? – Nun, was tue ich? Ich operiere mit diesem Zeichen. Wenn Du das ein ‘Prüfen’ nennen willst so sage meinetwegen Du prüfest dies, oder jenes; solange Du nur weißt, was wirklich geschieht.

 
  
 
 Übrigens ist ˇhier die Gleichung, die man prüft nicht notwendigerweise als der Satz aufzufassen, es gäbe zwei Zahlen p & q für welche ….

 
  
 
–Hier ist ein Widerspruch[,|:] [a|A]er wir sehen ihn nicht & ziehen Schlüsse aus
118
ihm. Etwa auf mathematische Sätze; & auf falsche. Aber wir erkennen diese Schlüsse an. – Und bricht nun eine von uns berechnete Brücke zusammen, so finden wir dafür eine andere Ursache, oder sagen, Gott habe es so gewollt. War nun unsre Rechnung falsch; oder ware es keine Rechnung?
       Gewiß, wenn wir ˇals Forschungsreisende nun die Leute ˇbeobachten betrachten, die es so machen, ˇvon außen, als Reisende, betrachten, werden wir vielleicht sagen: diese Leute rechnen überhaupt nicht[;|.] [o|O]der , : in ihren Rechnungen sei ein Element der Willkür, welches das ganze Wesen ihrer Mathematik von dem der unsern
unterscheidet.
verschieden macht.
Und doch würden wir nicht leugnen können daß die Leute eine Mathematik haben.

 
  
 
   Was für Regeln muß der König geben, damit er ˇin Zukunft von nun an der unangenehmen Situation ˇvon nun an entgeht, in die ihn sein Gefangener gebrachte? hat? – Was für eine Art Problem ist das? – Es ist doch
119
ähnlich diesem: Wie muß ich die Regeln dieses Spiels abändern, daß die & die Situation nicht eintreten kann. Und das ist eine mathematische Aufgabe.

 
  
 
Aber kann es denn eine mathematische Aufgabe sein, die Mathematik zur Mathematik zu machen?

 
  
/
 
  Kann man sagen: “Nachdem dies mathematische Problem gelöst war, begannen die Menschen eigentlich zu rechnen”?

 
  
∕∕
 
11.3.44.
   Was ist das für eine Sicherheit, wenn sie darauf beruht, daß unsre Banken
tatsächlich im allgemeinen
einfach
nicht plötzlich von allen ihren Kunden ˇauf einmal überrannt werden; aber bankrott würden, wenn es doch geschähe?! Nun es ist eine andere Art von Sicherheit als die primitivere; aber es ist doch auch eine Sicherheit.
      Ich meine: wenn nun wirklich in der Arithmetik ein Widerspruch ge-
120
funden würde – nun so bewiese das nur, daß eine Arithmetik mit einem solchen Widerspruch sehr gute Dienste leisten konnte; & es besser sein wird, wenn wir unsern Begriff der
nötigen
notwendigen
Sicherheit modifizieren, als zu sagen, das wäre eigentlich ˇnoch gar keine ˇrechte Arithmetik gewesen.

 
  
 
“Aber es ist doch nicht die ideale Sicherheit?” – Ideal, – für welchen Zweck?

 
  
 
 Die Regeln des logischen Schließens sind Regeln des Sprachspiels.

 
  
 
   “Ist der Satz ‘18 × 15 = 270’ ein Erfahrungssatz?” – Beruht er nicht auf einer Erfahrung, ? [A|a]ber der, daß die Rechnung dies ergab? Richtiger freilich, daß das Rechnen dies ergab, denn “Rechnung” darf hier nicht bedeuten: das Rechnungsbild. Es war eine Erfahrung
:
,
diese Rechnung machen, dies Rechnungsbild (& also auch sein
Endergebnis
Resultat
) erzeugen.
121
A
     Aber beschreibt der Satz diese Erfahrung? Ist es also wahr, wenn ich so gerechnet habe, ob das nun richtig oder falsch war?

 
  
 
    Kann also ein Satz auf einer Erfahrung beruhen & doch kein Erfahrungssatz sein?

 
  
 
   Der Satz beruht auf der Erfahrung, daß ich so abgelaufen bin, oder, daß wir so ablaufen. Aber, “er sagt, daß wir so ablaufen” bedeutet eine bestimmte Verwendung
der Aussage
des Satzes
in einem
im
Sprachspiel.

 
  
 
   Zu sagen “der Satz beruht auf der Erfahrung
, daß …
, …
sagt: der Satz wird von Menschen [E|e]rzeugt, die die so & so abgerichtet sind.

 
  
 
   Und die Verwendung des Rechensatzes ist nicht die des psychologischen Satzes.


122


 
  
 
12.3.44.
       Was für eine Art ˇvon Satz ist: ist dies ist es: “Die Klasse der Löwen Katzen ist kein Löwe keine Katze, aber die Klassen der Klasse eine Klasse”. Wie wird er verifiziert? Wie könnte man ihn verwenden? – So viel ich sehe nur als grammatischeen Aussage Satz. Um [j|J]emandc drauf aufmerksam zu machen // Ich mache jemand auf die Verschiedenheit der Verwendung aufmerksam // , daß man von ‘einer Klasse von Löwen’ & einer ‘Klasse von Klassen’
redet
reden kann
daß der Ausdruck “die Klasse der Löwen” nicht die Bezeichnung einesc Löwen ist, daß aber Klassen eine Klasse bilden können.
// daß aber Klassen Klassen bilden. //
// daß “Klasse” reflexiv gebraucht wird, aber Löwe nicht. // ⌊⌊ˇ // Jemand drauf aufmerksam zu machen, daß “die Klasse der Katzen” nicht eine Katze bezeichnet, noch auch ˇnur ähnlich wie die Bezeichnung einer Katze verwendet wird; das Wort “Klasse” aber so ganz anders gebraucht wird, daß von ‘Klassen von Klassen’ zu reden ˇeinen Sinn hat. Die Verwendung der Worte “Klasse” & “Katze” kann natürlich nur an den Sprachspielen mit diesen Worten klar werden. // ⌋⌋ ¤

 
  
 
   Man kann sagen, daß Wort “Klasse”
wird
werde
reflexiv gebraucht, auch wenn man, z.B., die Russellsche Theorie der Typen anerkennt. Denn es wird ja doch auch in ihr reflexiv verwendet.

 
  
 
    Freilich ist, in diesem Sinn zu sagen, die Klasse der Löwen sei kein Löwe etc., ähnlich, als sagte jemand, er habe ein “e” für ein “n” gehalten, wenn er eine Kugel für einen
123
Kegel ansieht.

 
  
 
Das plötzliche Umwechseln der Auffassung des Bilds eines Würfels & die Unmöglichkeit “Löwe” & “Klasse” als vergleichbare Begriffe
anzusehen.
zu sehen.


 
  
 
   Der Widerspruch sagt: “Nimm Dich in Acht …”.

 
  
 
 Wie aber wenn man einem bestimmten Löwen (dem König der Löwen etwa) den Namen “Löwe” gibt? Nun wirst Du sagen: aber es ist doch klar daß im Satz “Löwe ist ein Löwe” das Wort “Löwe” auf zwei verschiedene Arten gebraucht wird. (Log. Phil. Abh.) Aber kann ich sie nicht zu einer Art des Gebrauchs zählen?

 
  
 
Aber wenn in dieser Weise ˇder Satz “Löwe ist ein Löwe” gebraucht würde, : würde ich [e|E]inen den auf nichts aufmerksam
124
machen, den ich auf die Verschiedenheit der Verwendung
der beiden “Löwe”
des ersten & des Zweiten Substantivs
aufmerksam machte?

 
  
 
⌊⌊     Man kann ein Tier daraufhin untersuchen, ob es eine Katze ist. Aber den Begriff Katze kann man so jedenfalls nicht untersuchen. ⌋⌋

 
  
 
  Wenn auch “die Klasse der Löwen ist kein Löwe” wie ein Unsinn erscheint, dem man nur aus Höflichkeit einen Sinn beilegen könnte, so will ich diesen Satz doch nicht so auffassen, sondern als (einen) rechten Satz, wenn er nur richtig aufgefaßt wird. (Also nicht so wie in Log. Phil. Abh.) Meine Auffassung ist also hier sozusagen anders.
Das heißt aber, ich sage:
Aber das heißt, daß ich sage:
es gibt auch ein Sprachspiel mit diesem Satz.

 
  
 
    “Die Klasse der Katzen ist keine Katze.” – [o|W]oher weißt Du das?

 
  
 
13.3.44
In der Tierfabel heißt es: “[d|D]er Löwe ging mit dem Fuchs spazieren”, nicht “einc Löwe mit einem Fuchs; noch auch der Löwe so & so mit dem Fuchs so & so.
125

    Und hier ist es doch wirklich ˇso, als ob die Gattung Löwe als ein Löwe gesehen würde. (Es ist nicht so, wie Lessing sagt, als ob statt irgendeinem Löwen ein bestimmter gesetzt würde. “Grimmbart der Dachs” heißt nicht: ein Dachs mit Namen Grimmbart”.)

 
  
 
¤     // Was für eine Art von Satz ist dies: “Die Klasse der Löwen ist doch kein nicht ein Löwe, aber die Klasse der Klassen aber, eine Klasse”? Wie wird er verifiziert? Wie könnte man ihn verwenden? – So viel ich sehe, nur als grammatischen Satz. Einen darauf aufmerksam zu machen, daß das Wort “Löwe” grundverschieden gebraucht wird von dem Namen eines Löwen; das Gattungswort “Klasse” aber ähnlich wie die Bezeichnung für eine der Klassen, für die Klasse Löwe etwa. //

126


 
  
 
   Denk Dir eine Sprache, in der die Klasse
der
aller
Löwen “der Löwe aller
von allen
der
Löwen genannt wird”, die Klasse der Bäume “der Baum aller von allen Bäume”, etc. – weil sie sich vorstellen alle Löwen bildeten einen ˇgroßen Löwen. // einen, großen, Löwen. // [(|[]Wir sagen: “Gott hat den Menschen geschaffen”.[)|]]
     Dann könnte jemand das Paradox aufstellen, es gäbe
nicht eine
keine
bestimmte Anzahl aller Löwen. [e|E]tc.

 
  
 
    Wäre es aber etwa unmöglich, in so einer Sprache zu zählen & zu rechnen?

 
  
 
  Man könnte sich fragen: Welche Rolle kann ein Satz, wie “[i|I]ch lüge immer”, im menschlichen Leben spielen? Und da kann man sich Verschiedenes vorstellen.
 
  
 
14.3.44.
Ist die Umrechnung
eines Maßes
einer Länge
von Zoll auf cm ein logischer Schluß? “Der
Zylinder
Würfel
ist 2 Zoll lang. – Also ist er ungefähr 50 mm lang.” Ist das ein logischer Schluß?
127


 
  
 
     Ja aber ist nicht eine Regel etwas willkürliches? Etwas, was ich festsetze? Und könnte ich festsetzen, daß die Multiplication 18 × 15 nicht 270 ergeben solle? – Warum nicht? – Aber dann ist sie eben nicht nach der Regel geschehen, die ich zuerst festgesetzt, & deren Gebrauch ich eingeübt hatte.
      Ist denn etwas, was aus einer Regel folgt,
selbst
(wieder)
eine Regel? Und wenn nicht, – was für eine Art von Satz soll ich es nennen?

 
  
 
    “Es ist den Menschen … unmöglich einen Gegenstand als von sich selbst verschieden anzuerkennen.” Ja, wenn ich nur eine Ahnung davon hätte, wie es gemacht wird, – ich versuchte es gleich! – Aber wenn es uns unmöglich ist einen Gegenstand von sich selbst verschieden anzuerkennen, so ist es also wohl möglich zwei Gegenstän-
128
de als von einander verschieden anzuerkennen? Ich habe also
z.B.
etwa
zwei Sessel vor mir & erkenne ˇan daß es zwei sind. Aber da kann ich doch unter Umständen auch glauben, daß es ˇnur einer ist; & in diesem Sinne kann ich auch einen für zwei halten. – Aber damit erkenne ich doch nicht den Sessel als von sich selbst verschieden an! Wohl; & in aber dann habe ich auch nicht die zwei als voneinander verschieden anerkannt. Denn indem ich sie “zwei” nannte zwei = zwei verschiedene, so wie ein = ein & derselbe. Wer glaubt, er könne dies tun (, & eine Art psychologisches Spiel spielt ), der übersetze dies
in
Spiel durch
ein Spiel der Gesten. Wenn er die zwei Gegenstände vor sich hat, zeige er mit jeder Hand auf einen von ihnen; gleichsam als wolle er
den beiden
ihnen
, andeuten daß j sie autonom
seien
sind
. Hat er nur einen Gegenstand vor sich, so deutet er mit beiden Händen auf ihn um anzudeuten, daß man keinen
129
Unterschied zwischen ihm & ihm selbst machen kann. – Warum soll man nun aber nicht das Spiel in umgekehrter Weise spielen?

 
  
 
15.3.44.
Die Worte “richtig” & “falsch” werden beim Unterricht ˇdes Schülers in der Regel // im
Vorgehen
Handeln
nach der Regel // gebraucht. Das Wort “richtig” läßt
den Schüler
ihn
gehenc, das Wort “falsch” hält ihn zurück. Könnte man nun statt dieser W[ö|o]rter ihrer auch setzen: “das stimmt mit der Regel überein”, “das stimmt nicht mit der Regel überein”? Warum nicht? Aber wären diese ˇAusdrücke nun eine Erklärung jener Wörter? dem Schüler diese W[ö|o]örter ˇdadurch erklären, indem daß man statt ihrer setzt: “das stimmt mit der Regel überein – das nicht”? // Könnte man nun dem Schüler diese Worte durch die Ausdrücke erklären: “das stimmt mit der Regel überein”, “das nicht? // // Könnte man nun dem Schüler diese Worte erklären durch die Ausdrücke
130
…? // Nun, wenn er einen Begriff vom Übereinstimmen hat. Aber wie, wenn dieser eben erst gebildet werden muß? (Es kommt darauf an, wie er auf das Wort “übereinstimmen” reagiert.)

 
  
 
   Man lernt nicht einer Regel folgen, indem man zuerst
die Bedeutung
den Gebrauch
des Wortes “Übereinstimmung” lernt.

 
  
 
Vielmehr lernt man die Bedeutung von “Übereinstimmen”, indem man einer Regel folgen lernt. // indem man die Technik das
Handeln
Vorgehen
nach einer Regel erlernt.[)| // ]

 
  
 
Wer verstehen will, was es heißt: “einer Regel folgen”, der muß doch selbst einer Regel folgen können.

 
  
 
“Wenn Du diese Regel annimmst, mußt Du das tun.” – Das kann heißen: die Regel läßt Dir hier nicht zwei Wege offen. (Ein mathematischer Satz.) Ich meine aber: die Regel führt Dich wie
131
ein Gang
aus
mitc
festen Mauern. gemauerter Gang. Aber dagegen kann man doch einwenden, die Regel ließe sich auf alle mögliche Weisen deuten. – Die Regel steht hier wie ein Befehl[.|;]! Und und wirkt auch wie ein Befehl.

 
  
/ \
 
      Ein Sprachspiel: Etwas [a|A]nderes bringen; das Gleiche bringen. Nun wir können uns vorstellen, wie es gespielt wird. – Aber wie kann ich es 's [e|E]inem erklären? Wie weiß Ich kann ihm diesen Unterricht geben. – Aber wie weiß er ˇdann, was er das nächste Mal als ‘Gleiches’ bringen soll – wie ˇmit welchem Recht kann ich sagen, daß er das richtige, oder falsche, gebracht hat? – Ja, ich weiß freilich, daß (hier) in gewissen Fällen
Menschen
alle Leute
auf mich
einstürzen
einstürmen
würden mit den Zeichen
des Widersprechens
der Mißbilligung
// Menschen mit den Zeichen des Widersprechens auf mich einstürmen würden // .
     Und heißt das nun etwa, die Definition von “Gleich” wäre die: gleich sei, was alle Menschen für gleich hielten? – Freilich nicht. // gleich sei
132
was alle ˇoder die meisten Menschen übereinstimmend “gleich” nenntcen? so ansehen? – Freilich nicht. //

 
  
 
   Denn, um Gleichheit zu konstatieren benütze ich ja (natürlichc) nicht die Übereinstimmung der Menschen. // Denn
als
zum
Kriterium der Gleichheit benütze ich ja natürlich nicht die Übereinstimmung der Menschen. Welches Kriterium verwendest Du also? Gar keins.

 
  
/ \
 
Das Wort ohne Rechtfertigung zu gebrauchen, heißt nicht, es zu Unrecht gebrauchen.

 
  
∫ ∫
 
Soll ich sagen: das Kriterium der Gleichheit sei, daß
es mir
mir etwas
gleich
vorkommt
vorkäme
? – Aber wie weiß ich, daß ich den Ausdruck “gleich vorkommen”
wieder
zweimal
in gleicher Weise
gebrauche
verwende
? – Aber sage ich nicht es ist gleich, weil es mir gleich
erscheint
vorkommt
? Worin besteht es, daß mir diese Farbe gleich jener erscheint
133
erscheint? Kann die charakteristische Reaktion nicht die sein, daß ich sage
,
:
diese
sei
ist
gleich der?

 
  
/
 
     Das Problem des vorigen Sprachspiels [№ … ] gibt es natürlich auch in
diesem:
dem:
Bringe mir etwas Rotes. Denn woran erkenne ich, daß etwas rot ist? An der Übereinstimmung der Farbe mit einem Muster? – Mit welchem Recht sage ich: “Ja, das ist rot.”? Nun, ich sage es; & es läßt sich nicht rechtfertigen. Und auch für dieses Sprachspiel, wie für das vorige, ist es charakteristisch, daß es sich unter der ruhigen Zustimmung aller Menschen vollzöge.

 
  
k
 
16.3.44.
    Die Verteilung der Primzahlen wäre ein ideales Beispiel für das, was man synthetisch a priori nennen
kann
könnte
, denn man kann sagen, daß sie jedenfalls durch eine Analyse des Begriffs der Primzahl nicht zu finden ist.

134


 
  
k
 
     Ich lese in “The chemical history of a candle”: “Water is one individual thing – it never changes”.

 
  
k
 
Eine Definition ist doch gewiß eine Begriffsbestimmung – aber wie ist es mit dem bloßen Schema einer Definition?

 
  
k
 
Eine Definition muß nicht zur
Abkürzung
Verkürzung
eines Zeichenausdrucks dienen. Sie könnte auch zur Verlängerung, oder zur Verschönerung ˇdes Zeichens dienen. // oder zu[m|r] Ersetzung durch ein schöneres Zeichen dienen. //

 
  
k
 
   Könnte man sich die Definitionen im Kalkül nicht ausgelassen denken – & nur die ˇihr entsprechende Substitution, die ihr entspricht gemacht, mit dem Vermerk dies möge eine gestattete Substitution sein?

 
  
k
 
    “Wer dieser Regel folgt, der folgt auch einer Regel, …” Z.B.: “der folgt auch einer Regel, die verbietet, daß …”

 
  
k
 
  Wer eine neue Regel einführt, der führt
135
einen neuen Begriff ein. Denn einer neuen Regel folgt, hat einen neuen Begriff gebildet. Denn … eine neue Regel ist eine neue Art die Dinge zu sehen.
      Und hier gibt es triviale und folgenreiche Fälle. Heißt ‘die Dinge anders sehen’ auch anders handeln?

 
  
k
 
    Ein unentschiedener Satz der Mathematik ist
etwas, was
einer, der
weder als Regel, noch als das Gegenteil einer Regel anerkannt ist & die Form einer mathematischen Aussage hat. – Ist diese Form aber ein klar umschriebener Begriff?

 
  
k
 
    Denke Dir den limn→∞φn = l als eine Eigenschaft eines Musikstücks (etwa). Aber natürlich nicht so, daß das Stück endlos weiterliefe, sondern als eine dem Ohr erkennbare Eigenschaft (gleichsam algebraische Eigenschaft) des Stückes.

 
  
k
 
Wie,
Oder wie,
wenn man die Stätigkeit als Eigenschaft
des
eines
Zeichens “x² + y² = r²” ansähe – natürlich nur, wenn diese Gleichung &
136
andere gewohnheitsmäßig einer bestimmten Art der Prüfung unterzogen würden. “So stellt sich diese Regel (Gleichung) zu dieser bestimmten Prüfung.” Eine Prüfung, die mit einem Streifblick auf eine Art Extension
geschieht
vorgenommen wird
.

 
  
k
 
   Es wird bei jener Prüfung der Gleichung etwas vorgenommen, was mit gewissen Entwicklungen (Extensionen) zusammenhängt. Aber nicht als handelte es sich (da) um eine Extension, die der Gleichung irgendwie äquivalent wäre. Es wird nur auf gewisse Entwicklungen, sozusagen, angespielt. – Nicht die Extension ist hier das Eigentliche, das nur faute de mieux intensional beschrieben wird; sondern die Intension wird beschrieben – oder dargestellt – vermittels gewisser Extensionen, die sich da & dort aus ihr ergeben.

 
  
k
 
    Der Verlauf gewisser Extensionen wirft ein Streiflicht auf die algebraische Eigenschaft der Funktion. In diesem Sinne könnte man
137
also sagen, es werfe die Zeichnung einer Hyperbel ein Streiflicht auf die Hyperbelgleichung.

 
  
 
Denk Dir Gleichungen als Ornamente (Tapetenmuster) verwendet; & nun eine Prüfung dieser Ornamente daraufhin, ob welcher Art Kurven sie entsprechen. Die Prüfung wäre
analog
von der Art
ˇder kontrapunktischen Eigenschaften eines Musikstücks.

 
  
k
 
   Dem widerspricht nicht, daß jene Extensionen die wichtigste Anwendung der Regel wären; denn es ist eines eine Elipse zeichnen, & ein anderes, sie mittels ihrer Gleichung konstruieren.

 
  
k
 
      Wie, wenn ich sagte, : Die extensionalen Überlegungen (z.B. der Heine-Borelsche Satz) zeigen: so sollen die Intensionen behandelt werden. // : so soll man die Intensionen behandeln. //
      Das Theorem gibt uns in großen Zügen eine Methode, wie mit Intensionen zu verfahren ist. Es sagt etwa: “So wird
138
es ausschauen müssen”.
       Und man wird dann etwa zu einem Verfahren mit bestimmten Intensionen eine bestimmte Illustration zeichnen können. Die Illustration ist ein Zeichen, eine Beschreibung, die besonders übersichtlich, einprägsam, ist.

 
  
k
 
   Die Illustration wird hier eben ein Verfahren angeben.
          Eine Prozedur.

 
  
 
  Ein Beweis der zeigt, daß die Figur “777” in der
Entwicklung
Extension
von π vorkommt aber nicht zeigt wo. Nun, so bewiesen wäre dieser ‘[e|E]xistenzsatz’ als Regel für gewisse Zwecke keine Regel. Aber könnte er nicht z.B. als Mittel der Einteilung von Entwicklungsregeln dienen. Es wäre etwa bewie auf analoge Art bewiesen daß “777” in π² nicht vorkomme, wohl aber in π ∙ e. etc. Die Frage wäre nun: [i|I]st es vernünftig von dem betreffenden Beweis zu sagen: er beweise
139
die Existenz von “777” in dieser Entwicklung. Dies kann einfach irreführend sein. Das ist eben der Fluch der Prosa, & besonders der Russellschen Prosa, in der Mathematik.

 
  
k
 
    Was schadet es, z.B., zu sagen, Gott kenne alle irrationalen Zahlen? Oder: sie seien schon alle da, wenn wir auch nur gewisse kennen? Warum sind diese Bilder nicht harmlos?
       Einmal verstecken sie gewisse Probleme. – [Im Buch F. Dazu einige Sätze die diesem vorhergehen.]

 
  
k
 
Wenn ich von der Mathematik sagte, ihre Sätze
bilden
bestimmen
Begriffe, so ist das vag; denn “2 + 2 = 4” bildet einen Begriff in anderem Sinne, als “p ⊃ p”, “(x).fx ⊃ fa”, oder der Dedekindsche Satz. Es gibt hier eben eine Familie von Fällen.

 
  
k
 
    Der Begriff der Regel zur Bildung eines
140
unendlichen Dezimalbruchs ist – natürlich – kein spezifisch mathematischer. Es ist ein Begriff in Zusammenhang mit einer bestimmten Tätigkeit im menschlichen Leben. Der Begriff dieser Regel ist nicht mathematischer, als der: der Regel zu folgen. Oder auch: dieser letztere ist nicht weniger scharf definiert, als der Begriff so einer Regel selbst. – Ja, der Ausdruck der Regel & sein Sinn ist nur ein Teil des Sprachspiels: Der Regel folgen.

 
  
k
 
    Man kann mit dem gleichen Recht allgemein von solchen Regeln reden,
wie
als
von den Tätigkeiten, ihnen zu folgen.

 
  
k ∕∕
 
    Man sagt freilich “das liegt alles schon in unserm Begriff” von der Regel, z.B. – aber das heißt nur: zu diesen Begriffsbestimmungen neigenc wir. Denn was haben wir denn im Kopf, was alle diese Bestimmungen schon enthält?!

 
  
k
 
    Die Zahl ist, wie Frege sagt, eine Eigenschaft
141
eines Begriffs – – aber in der Mathematik ist sie ein Merkmal eines mathematischen Begriffs. ℵo ist ein Merkmal des Begriffs (der) Kardinalzahl; & die Eigenschaft einer Technik. 2o ist ein Merkmal des Begriffs des unendlichen Dezimalbruchs, aber wovon ist diese Zahl eine Eigenschaft? D.h.: von welcher Art von Begriff kann man sie empirisch aussagen?


 
  
k
 
Der Beweis des Satzes zeigt mir, was ich auf
den Satz hin
die Wahrheit des Satzes hin
wagen will // kann // . Und verschiedene Beweise können mich wohl dazu bringen dasselbe zu wagen.

 
  
k
 
Das Überraschende, Paradoxe, ist paradox nur in einer gewissen, gleichsam mangelhaften, Umgebung. Man muß diese Umgebung so ergänzen, daß, was paradox schien nicht länger so erscheint.

 
  
k
 
Wenn ich bewiesen habe, daß 18 × 15 = 270 ist, so habe ich damit auch den geome-
142
trischen Satz bewiesen, daß man durch Anwendung
gewisser
der
Transformationsregeln auf das Zeichen “18 × 15” das Zeichen “270” erhält. – Angenommen nun, die Menschen, durch irgendein Gift am klaren Sehen, oder richtigen Erinnern gehindert (wie wir
uns jetzt ausdrücken
jetztc sagen
wollen) erhielten bei dieser Rechnung nicht “270”. – Ist die Rechnung, wenn man
nach
mit
ihr nicht
zuverlässig
richtig
voraussagen kann, was Einer unter normalen Umständen herausbringen wird, nicht nutzlos? Nun, auch wenn sie es ist, so zeigt das nicht daß der Satz 18 × 15 = 270 der Erfahrungssatz sei: die Menschen rechneten im allgemeinen so

 
  
∕∕
 
Anderseits ist es nicht klar, daß die allgemeine Übereinstimmung der Rechnenden ein charakteristisches Merkmal alles dessen ist was man “Rrechnen” nennt. Ich könnte mir denken, daß Leute die rechnen gelernt haben unter bestimmten Umständen, etwa
143
unter dem Einfluß eines des Opiums, anfingen [e|E]iner verschieden vom Andern zu rechnen, & von diesen Rechnungen gebrauch machten; & daß man nun nicht sagte, sie rechneten ja gar nicht & seien unzurechnungsfähig, sondern daß man ihre Rechnungen als berechtigtes Vorgehen hinnähme.
       Aber müssen sie nicht wenigstens zum gleichen Rechnen abgerichtet werden? Gehört das nicht zum Begriff des Rechnens? Ich glaube, man könnte sich auch Abweichungen vorstellen.

 
  
k
 
17.3.44.
    Verschiedene Arten, zu zeigen, daß eine Zahl durch 7 teilbar ist. Der eine Beweis zeigt, daß es eine Beweisfigur der andern Art geben muß. Andererseits: Ein Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra – zeigt er, daß eine Beweisfigur der andern Art möglich ist? Nun, man kann das sagen, wenn diese Beweisfigur von vornherein genügend bestimmt ist.
144

    Wenn eine Überlegung dahin führt, dann kann eine Überlegung, die auf diesen Prinzipien beruht, nicht dorthin führen. D.h., : wenn man die Sache nach diesen Prinzipien überlegt, kann nicht das herauskommen.

 
  
 
“Zum Beweis gehört Übersichtlichkeit” heißt eigentlich: Im Beweis schreitet man von Bild zu Bild; man muß ihn reproduzieren können, ob er richtig oder falsch ist; er ist etwas was man ˇkopieren, oder auswendig lernen kann.

 
  
 
    Kann man sagen, daß die Mathematik eine experimentelle Forschungsweise, Fragestellung, lehrt? [S. 79] Nun kann man nicht sagen, sie lehre mich z.B. zu fragen, ob ein gewisser Körper einer Parabelgleichung gemäß bewegt? – Was tut aber die Mathematik in diesem Fall? Ohne sie ˇoder ohne die Mathematiker wären wir freilich nicht zur Definition dieser Kurve gelangt. War aber, diese Kurve definieren schon Mathema-
145
tik? Bedingte es z.B. Mathematik, wenn Leute die Bewegung von Körpern darauf hin untersuchten, ob ihre Bahn sich durch
eine
die
Elipsenkonstruktion mit einem Faden & zwei Nägeln in den Brennpunkten darstellen lasse? Wer diese Art der Untersuchung erfunden hätte, hätte der Mathematik getrieben?
        Er hat uns doch einen neuen Begriff
gegeben
geschaffen
. Aber war es auf die Art wie die Mathematik dies tut? War es, wie uns die Multiplikation 18 × 15 = 270 einen neuen Begriff gibt?

 
  
 
      Kann man also nicht sagen, die Mathematik lehrt uns zählen?
   Wenn sie uns aber zählen lehrt, warum nicht auch Farben miteinander vergleichen?

 
  
 
    Es ist klar: wer uns die Elipsengleichung lehrt, lehrt uns einen neuen Begriff. Wer uns aber beweist, daß diese Elipse & diese Gerade sich in diesen Punkten schnei-
146
den; nun der gibt uns auch einen neuen Begriff.

 
  
 
Uns die Elipsengleichung lehren ist ähnlich wie, uns zählen lehren. Aber auch ähnlich wie,
uns fragen lehren
uns die Frage lehren
: “sind hier hundertmal soviel Kugeln als dort?“.

 
  
 
    Wenn ich nun jemand in einem S[ch|pr]achspiele diese Frage &
eine
die
Methode sie zu beantworten gelehrt hätte, hätte ich ihn Mathematik gelehrt? Oder nur wenn er mit Zeichen operiert hat?

 
  
 
   (Wäre das etwas als fragte man: “wäre auch das eine Geometrie, die nur aus den Euklidschen Axiomen bestünde?”)

 
  
 
    Ist was ich hier sehe, bloß der natürliche Abfall des Begriffs ‘Mathematik”? (ˇSo [W|w] wenn ich fragte: ist das Bellen der Hunde auch
eine Sprache
ein Sprechen
?) Oder ist hier etwas was mich beunruhigen sollte?
147


 
  
 
Wenn uns die Arithmetik die Frage “wieviele?” lehrt, warum nicht auch die Frage “Wie dunkel?”?

 
  
 
    Aber die Frage “sind hier hundertmal soviel Kugeln als dort” ist doch keine mathematische Frage ˇ& ihre Antwort kein mathematischer Satz. Eine solche ˇmathematische Frage wäre: “[i|I]st Sind 170 ˇKugeln hundertmal soviel
wie
als
3 Kugeln?” (Und zwar ist dies eine Frage der reinen, nicht der angewandten Mathematik.)

 
  
 
Soll ich nun sagen, daß, wer uns ˇDinge zählen lehrt, & ähnliches, uns neue Begriffe gibt, & auch der, welcher uns reine Mathematik mit solchen Begriffen lehrt?

 
  
 
Ist eine neue Begriffsverknüpfung eine neuer Begriff? Und schafft die Mathematik Begriffsverknüpfungen?

 
  
 
     Das Wort “Begriff” ist ganz & gar zu vag.
148


 
  
 
   Die Mathematik lehrt uns
auf neue Weise
anders
mit den Begriffen
arbeiten
operieren
// arbeiten. // Und man kann daher sagen, sie ändert
unser begriffliches Arbeiten.
unsere Begriffstätigkeit. // unsern Begriffsapparat. //
// , sie ändert die Art & Weise unserer Begriffsarbeit. //

 
  
 
Aber erst der bewiesene, oder als [p|P]ostulat angenommene mathematische Satz tut das, nicht der problematische.
 
  
 
Kann man aber nicht doch mathematisch experimentieren? Z.B. versuchen, ob sich aus einem quadratischen Papier ein Katzenkopf falten läßt, wobei die physikalischen Eigenschaften des Papiers, seine Festigkeit, Elastizität Dehnbarkeit, etc. nicht in Frage gezogen werden? Nun man redet doch hier gewiß von einem Versuchen. Und warum nicht von einem Experimentieren? Dieser Fall ist doch der gleiche ähnlich dem, Zahlenpaare ver-
149
suchsweise in die Gleichung x ² + y ² = 25 einzusetzen, um eines zu finden das die Gleichung befriedigt. Und kommt man also endlich auf 3² + 4² = 25, ist dieser Satz nun das Resultat eines Experiments? Warum nannte man den Vorgang denn ein
Versuchen
Experimentieren
? Hätten wir es auch so genannt, wenn Einer immer aufs erste Mal mit völliger Sicherheit (den Zeichen der Sicherheit), aber ohne Rechnung, solche Probleme löste? Worin bestünde hier das Versuchen? Experimentieren? Angenommen, ehe er die Lösung gibt, erscheint sie ihm als Vision. –

 
  
/
 
18 .3.44.
Wenn eine Regel Dich nicht zwingt, so folgst Du keiner Regel.

 
  
/ ∫
 
Aber wie soll ich ihr denn folgen; wenn ich ihr doch folgen kann, wie ich will?

 
  
 
Wie soll ich dem Wegweiser folgen, wenn
150
alles was ich tue ein Folgen ist?

 
  
 
Aber daß alles (auch) als ein Folgen gedeutet werden kann, heißt doch nicht, daß alles ein Folgen ist.

 
  
 
Aber wie deutet denn also der Lehrer dem Schüler die Regel? (Denn der soll ihr doch gewiß eine bestimmte Deutung geben.) – Nun, wie anders, als durch Worte & Abrichtung?
       Und der Schüler hat die Regel (so gedeutet) inne, wenn er so & so auf sie reagiert.
      Das aber ist wichtig, daß diese Reaktion, die uns das Verständnis verbürgt, nur unter bestimmten Umständen, bestimmte Lebens- & Sprachformen als Umgebung, voraussetzt. (Wie es keinen Gesichtsausdruck gibt ohne Gesicht.)
   Dies ist eine wichtige Gedankenbewegung.)

 
  
 
[Zu dem Typescript “ … – was willst Du tun?] D.h. er kann antworten, wie ein
151
verständiger Mensch & doch das Spiel mit uns nicht spielen.

 
  
 
[Zu dem Typescript … . Wir werden es dann nicht “die Reihe fortsetzen” nennen & auch wohl nicht “schließen”.] Und dDenken & sSchließen (sowie das Zählen) ist für uns natürlich nicht durch eine willkürliche Definition
umgrenzt
umschrieben
, sondern durch natürliche Grenzen, dem Körper dessen entsprechend, was wir die Rolle des Denkens & Schließens in unserm Leben nennen können.

 
  
 
⌊⌊⌇↓⌋⌋ Zwingt mich eine Linie dazu ihr nachzufahren? – Nein; aber wenn ich mich dazu entschlossen habe sie so als Vorlage zu gebrauchen, dann zwingt sie mich. – Nein; dann zwinge ich mich sie so zu gebrauchen. Ich halte mich gleichsam an ihr fest. – Aber wichtig ist hier doch, daß ich sozusagen ein für allemal den Entschluß mit der (allgemeinen) Deutung
152
fassen & halten kann, & nicht bei jedem Schritt von frischem deute. // Deutungsarbeit vollziehe. //

 
  
 
    Die Linie, könnte man sagen, gibt's mir ein, wie ich gehen soll. Aber das ist natürlich nur ein Bild. Und gäbe sie mir jedesmal etwas anderes ein, so folgte ich ihr nicht als Regel. Und was “anderes”, & was “das Gleiche” heißt, das kann nur das Leben entscheiden.

 
  
 
“Die Linie gibt mir ein, wie ich gehen soll”, : das paraphrasiert nur, daß sie meine letzte Instanz dafür ist ist : – sie sei ist meine letzte, wie ich gehen soll.

 
  
 
    Denke dir Einer folgte einer Linie als Regel auf diese Weise: Er hält einen Zirkel, dessen eine Spitze er der
Regel
Linie
entlang führt, während die andre Spitze die Linie zieht, die der Regel folgt. Und wie er so der Regel-Linie
nach
entlang
geht, öffnet & schließt er den Zirkel, anscheinend
153
mit großer
Exactheit
Genauigkeit
, wobei er immer auf die Regel schaut, als bestimme sie
sein Tun.
, was er tut.
Wir nun, die wir ihm zusehen, sehen keinerlei Regelmäßigkeit in
diesem Vorgang
seinem Tun
.
ˇdarin.ˇin diesem Öffnen & Schließen Wir können daher seine Art der Re Linie zu folgen, ˇvon ihm auch nicht von ihm lernen. Wir glauben ihm aber, die Linie habe ihm eingegeben, was er tat.

 
  
 
     Wir würden hier (vielleicht) wirklich sagen: “Die Vorlage scheint ihm einzugeben, wie er zu gehen hat. Aber sie ist keine Regel.”

 
  
 
Nimm an einer folgt der Reihe x = 1, 3, 5, 7, … indem er die Reihe der y = x² + 1 hinschreibt; & & er fragte sich: “aber tue ich auch immer das Gleiche, oder jedesmal etwas anderes?”
   (Wer von einem Tag auf den andern verspricht: “morgen
will
werde
ich das Trink Rauchen aufgeben”, sagt der jeden Tag das Gleiche; oder jeden Tag etwas anderes?

 
  
 
Wie ist das zu entscheiden, ob er immer das
154
gleiche tut, wenn ihm die Linie eingibt, wie er gehen soll?

 
  
 
Wollte ich nicht sagen: Nur das gesamte Bild der Verwendung des Wortes “gleich” in seiner Verwebung mit den Verwendungen der andern Wörter kann entscheiden, ob er das Wort verwendet wie wir?

 
  
? /
 
Tut er nicht immer das Gleiche, nämlich, es sich von der Linie eingeben zu lassen, wie er gehen soll? Wie aber, wenn er sagt, die Linie gebe ihm einmal dies, einmal jenes ein? Könnte er nun nicht sagen: er tue in einem Sinne immer das Gleiche, aber
einer
der
Regel folge er doch nicht? Und kann aber auch nicht der, der einer Regel folgt, doch sagen, in einem gewissen Sinne tue er jedesmal etwas Anderes? So bestimmt also, ob er das Gleiche tut, oder immer
ein
etwas
Anderes
anderes
, nicht, ob er einer Regel folgt.

 
  
/
 
Nur so kann man den Vorgang, einer Regel folgen beschreiben, daß man in anderer Weise beschreibt, was wir dabei tun.
155
[Dazu die Bemerkung ˇim großen weißen M.S. über die Schwierigkeit in der Philosophie Halt zu machen.]

 
  
/
 
Hätte es einen Sinn zu sagen: “Wenn er jedesmal etwas anderes täte, würden wir nicht sagen: er folge einer Regel”? Das hat keinen Sinn.

 
  
/ \
 
Einer Regel folgen ist ein bestimmtes Sprachspiel. Wie kann man es be beschreiben? Wann sagen wir, er habe die Beschreibung verstanden? – Wir tun dies & das; wenn er nun so & so reagiert hat er das Spiel verstanden.
Und
Aber
dieses ‘dies & das’ & ‘so & so’ enthält
nicht ein
kein
“und so weiter”. – Oder: verwendete ich bei der Beschreibung ein “unddiv sodivweiter” &
würde ˇich gefragt,
Einer fragte mich,
was das bedeutet,
“was heißt das”,
so müßte ich es wieder durch eine Aufzählungc von Beispielen erklären; oder etwa durch eine Geste;. dash Und ich würde es dann als Zeichen des Verständnisses ansehen, wenn er die Geste ˇetwa mit einem verständnisvollen Gesichtsausdruck wiederholte, & auch eine Z Anzahl
156
von Beispielen ausfuhrte.
& in speziellen Fällen so & so handelte.

 
  
/ \
 
     “Aber reicht denn nicht das Verständnis weiter, als alle Beispiele?” Ein sehr merkwürdiger Ausdruck, & ganz natürlich.

 
  
/ \
 
     Wenn man Beispiele aufzählt & dann sagt “und so weiter”, so wird dieser letztere Ausdruck
nicht auf die gleiche Weise
auf andere Weise
erklärt,
wie
als
die Beispiele.

 
  
/ \
 
     Denn das “und so weiter” könnte man einerseits durch einen Pfeil ersetzen der anzeigt, daß das Ende der Beispielreihe nicht das Ende ihrer Anwendung bedeuten soll. Anderseits heißt “und so weiter” auch: es ist genug, ˇDu hast mich verstanden; wir brauchen keine weiteren Beispiele.

 
  
/ \
 
     Wenn wir den Ausdruck durch eine Geste ersetzen, so könnte es ja sein, daß die Menschen unsre Beispielreihe
157
nur dann
auffaßten
verstünden,
wie sie sollten, (nur dann also ihr richtig folgten,) wenn wir am Schluß diese Geste machten.
Sie
Diese
wäre also ganz analog der des [z|Z]eigens auf einen Gegenstand, oder Ort.

 
  
 
Nimm an, eine Linie gebe mir ein, wie ich ihr folgen soll; d.h., wenn ich ihr mit den Augen nachgehe, so sagt mir etwa eine innere Stimme: zieh so. – Nun, was ist der Unterschied zwischen diesem Vorgang, des einer Art Inspiration zu folgen & demVorgang , einer Regel zu folgen? Denn sie sind doch nicht das Gleiche. Nun In dem Fall der Inspiration warte ich auf die Anweisung. Ich werde einen Anderen nicht
einec
meinec
‘Technik’ lehren können, der Linie zu folgen. Es sei denn, ich lehre ihm eine Art des Hinhorchens, der Rezeptivität, etc. Aber dann kann ich natürlich nicht
verlangen
erwarten
, daß er der Linie so folgte, wie ich.

 
  
 
  Man könnte sich auch so einen
158
Unterricht in einer Art von Rechnen denken. Die Kinder können dann, ein jeder auf seine Weise, rechnen; solange sie nur auf die innere Stimme horchen & ihr folgen. – Dieses Rechnen wäre wie ein Komponieren.

 
  
 
Denn gehört nicht zum Befolgen einer Regel die
Technik
Möglichkeit
einen Andern im Folgen abzurichten? Und zwar durch Beispiele. Und das Kriterium seines Verständnisses muß die Übereinstimmung der einzelnen Handlungen sein. Also nicht wie beim Unterricht in der Rezeptivität.

 
  
 
Wie folgst Du der Regel? – “Ich mach es so: “ … & nun folgen allgemeine Erklärungen & Beispiele. ‒ ‒ Wie folgst Du
der Stimme
dem, als Einfluß
der Linie? – “Ich sehe auf sie hin, schließe alle Gedanken aus, etc. etc.”

 
  
 
    “Ich würde nicht sagen, daß sie mir immer etwas anderes eingebe
, –
,
wenn ich ihr als Regel folgte.’ Kann man das sagen?
159


 
  
 
“Das Gleiche tun” ist mit “der Regel folgen” verknüpft.

 
  
k / \
 
19.3.44.
   Kannst du Dir absolutes Gehör vorstellen, wenn Du es nicht hast? Kannst Du es Dir vorstellen, wenn Du es hast? –Kann ein Blinder sich das Sehen von rot vorstellen? Kann ich mir es vorstellen? Kann ich mir vorstellen, daß ich so & so spontan reagiere, wenn ich's nicht tue? Kann ich mir's besser vorstellen, wenn ich's tue?

 
  
k / \
 
     Kann ich aber das Sprachspiel spielen, wenn ich nicht so reagiere?

 
  
/ \
 
20.3.44.
   Man fühlt nicht, daß man immer des Winkes (
der Einflüsterung
der Eingebung
) der Regel gewärtig sein muß. Im Gegenteil. // Man fühlt nicht, man müsse immer des Winks der Regel gewärtig sein. Im Gegenteil. // Wir sind nicht gespannt darauf
:
,
was sie uns jetzt sagen wird, sondern vielmehr sie sagt sie uns immer dasselbe & wir tun, was sie uns sagt.
160

    Man könnte sagen: wir sehen, was wir beim
Folgen nach der Regel
Befolgen der Regel
tun, unter dem Gesichtspunkt des ˇimmer Gleichen an. // unter dem Gesichtspunkt des immer [G|g]leichen Handelns an. //

 
  
/ \
 
Man könnte dem, den man abzurichten anfängt, sagen: “Sieh, ich tu(e) immer das Gleiche: … ”.

 
  
 
    Wann sagen wir: “Die Linie gibt mir das als Regel ein – immer das Gleiche.” Und anderseits: “Sie gibt mir immer wieder ein, was ich zu tun habe – sie ist keine Regel.“
      Im ersten Fall heißt es: ich habe keine weitere Instanz dafür, was ich zu tun habe. Die Regel tut es ganz allein; ich brauche ihr nur zu folgen (& folgen ist eben eins). Ich fühle nicht z.B., es ist seltsam, daß mir die Linie immer etwas sagt. – Der andre Satz sagt: Ich weiß nicht, zum was ich tun werde; die Linie wirds mir sagen.

 
  
∕∕
 
Die Kunstrechner, die zum richtigen Resultat gelangen, aber nicht sagen können, wie.
161
Sollen wir sagen: sie rechnen nicht? (Eine Familie von Fällen.)

 
  
 
Diese Dinge sind feiner gesponnen, als grobe Hände ahnen.

 
  
 
   Kann ich nicht einer Regel zu folgen glauben? Gibt es diesen Fall nicht?
     Und kann ich dann nicht auch keiner Regel zu folgen glauben & doch einer folgen? Würden wir nicht auch etwas so nennen?

 
  
/ \
 
Wie kann ich das Wort “gleich” erklären? – Nun, durch Beispiele. – Aber ist das alles? gibt es nicht eine noch tiefere Erklärung; oder muß nicht doch das Verständnis der Erklärung tiefer sein? – Ja, hab ich denn selbst ein tieferes Verständnis? Habe ich mehr, als ich in der Erklärung gebe?
       Woher aber ˇ(dann) das Gefühl, ich hätte mehr, als ich sagen kann?
       Ist es, daß ich das nicht Begrenzte (die nicht begrenzte als Länge deute, die über jede Länge hinausreicht? (Die un nicht begrenzte Erlaubnis, als Erlaubnis zu etwas
162
Grenzenlosem)

 
  
 
    Die Vorstellung die mit dem Grenzenlosen geht, ist die von etwas so großem, daß wir sein Ende nicht sehen können. // , daß wir davon kein Ende sehen können. //

 
  
/
 
     Die Verwendung des Wortes “Regel” ist mit der Verwendung des Wortes “gleich” verwoben.

 
  
/
 
Überlege Dir: Unter welchen Umständen wird der Forschungsreisende sagen: Das Wort “ … ” dieses Stammes heißt soviel wie unser “und so weiter”? Stelle Dir Einzelheiten ihres Lebens & ihrer Sprache vor, die ihn dazu berechtigen würden.

 
  
 
    “Ich weiß doch, was ‘gleich’ heißt!” – Daran zweifle ich nicht; ich weiß es auch.

 
  
 
    “Die Linie gibt's mir ein …” Hier ist der Ton auf dem Ungreifbaren
des
dieses
Eingebens. Eben darauf, daß nichts meine Handlung von der Regel trennt, daß nichts zwischen ihr & der Handlung steht. // Eben darauf, daß nichts zwischen
163
der Regel & meiner Handlung steht. //

 
  
 
– – – ein Bild. Und urteile ich, sie gebe mir, gleichsam verantwortungslos, dies, oder das ein, so würde ich nicht sagen, ich folgte ihr
als Regel.
als einer Regel.


 
  
∕∕
 
Mann könnte sich aber denken, daß einer mit solchen Gefühlen multipliziert, richtig multipliziert; immer wieder sagt: “Ich weiß nicht – jetzt gibt mir die Regel auf einmal das ein!” & daß wir antworten: “Freilich; Du gehst ja ganz nach der Regel vor.”

 
  
 
Einer Regel folgen: das läßt sich verschiedenem entgegensetzen. Der Forschungsreisende wird, unter anderm, auch die Umstände beschreiben (können), unter denen ein Einzelner von diesenr Leuten nicht von sich selbst sagt, er folge einer Regel[,|.] ˇNämlich auch ˇdann, wenn es so ˇin mancher Beziehung so aussieht, als täte er's es // Nämlich auch, wenn es in der einen, oder andern Beziehung
164
so aussieht. // // … dieser Leute nicht von sich selbst sagen will, er folge einer Regel. Wenn es in dieser, oder jener Beziehung auch so ausschaut. //

 
  
∕∕
 
Aber könnten wir nicht auch rechnen, wie wir rechnen (Alle übereinstimmend, etc.) & doch bei jedem Schritt das Gefühl haben, von den Regeln wie von einem Zauber geleitet zu werden; etwa erstaunt darüber, ˇvielleicht, daß wir übereinstimmen? (Der Gottheit etwa für diese Übereinstimmung dankend.)

 
  
∕∕
 
    Daraus siehst Du nur, wieviel zu der Physiognomie dessen gehört, was wir im alltäglichen Leben “einer Regel folgen” nennen!

 
  
 
   Man folgt der Regel ‘mechanisch’. Man vergleicht sich also mit einem Mechanismus.

 
  
 
    “Mechanisch”, das heißt: ohne zu denken. Aber ganz ohne zu denken? Ohne nachzudenken.
165



 
  
 
    Der Forscher könnte sagen: “Sie folgen Regeln, aber es sieht doch ganz anders aus, als bei uns.”

 
  
 
   “Sie gibt mir, verantwortungslos, dies, oder das ein” heißt: ich kann es Dich nicht lehren, wie ich der Linie folge. Ich setze nicht voraus, daß Du ihr folgen wirst wie ich, auch wenn Du ihr folgst.

 
  
k
 
21.3.44.
       Eine Addition von Formen, in der gewisse Glieder verschmelzen spielt in unserm Leben eine sehr geringe Rolle. – Wie wenn & △ die Figur ergeben. Aber wäre dies eine wichtige Operation, so hätten wir vielleicht einen andern geläufigen Begriff von der arithmetischen Addition.

 
  
k
 
    Daß man ein Boot, einen Hut, etc. aus einem quadratischen Stück Papier (nach gewissen Regeln) falten kann, ist uns natürlich als
Angelegenheit der Geometrie
geometrische Tatsache
zu betrachten, nicht der Physik. Aber ist
166
Geometrie, so verstanden, nicht ein Teil der Physik? Nein; wir spalten die Geometrie von der Physik ab. Die geometrische Möglichkeit von der physikalischen. Aber wie, wenn man sie beisammen ließe? Wenn man einfach sagte: “wenn Du das & das & das mit dem Papier tust, wird dies herauskommen”? Was zu tun ist, könnte durch einen Reim gegeben werden. Ist es denn nicht möglich, daß jemand zwischen den beiden Möglichkeiten gar nicht unterscheidet? Wie etwa ein Kind, das diese Technik lernt. Es weiß nicht, & denkt nicht darüber nach, ob diese Resultate des Faltens nur möglich sind weil das Papier ˇdabei sich dabei in der & der Weise dehnt& , verzerrt, oder, weil es sicht nicht verzerrt.

 
  
 
Und ist es nun nicht auch so in der Arithmetik? Warum sollten Leute nicht rechnen lernen können ohne einen Begriff von einer mathematischen & einer physikalischen Tatsache. Sie wissen nur, daß das immer herauskommt, wenn sie ˇgut gut achtgeben & tun was man sie gelehrt hat.
     Denken wir uns, während wir rechneten veränderten sich die Ziffern ˇsprungweise auf dem
167
Papier. Eine Eins würde plötzlich zu einer 6 dann zu einer 5, dann wieder zu einer 1 u.s.f. Und ich will einmal annehmen, das änderte an der Rechnung gar nichts, weil, sowie ich eine Ziffer ablese um mit ihr zu rechnen, ˇoder sie anzuwenden, sie wieder zu der würde, die wir bei unserm Rechnen vor uns haben. Dabei sähe man aber wohl während des Rechnens wie die Ziffern sich ändern; wir sind aber instruiert uns darum weiter nicht zu kümmern.
      Dieses Rechnen könnte natürlich, auch wenn wir die obige Annahme nicht machen, zu brauchbaren Resultaten führen.
    Wir rechnen hier streng nach einer Regel // nach Regeln // , & doch muß dieses Resultat nicht herauskommen. Ich nehme an, daß wir keinerlei Gesetzmäßigkeit in dem Wechsel der Ziffern sehen.

 
  
 
    Ich will sagen: Man könnte dieses
168
Rechnen wirklich als ein Experimentieren auffassen, & z.B. sagen: “versuchen wir was jetzt herauskommt, wenn ich diese Regel anwende”.

 
  
 
Oder auch: “Machen wir dieses Experiment: schreiben wir die Ziffern mit einer Tinte von der & der dieser Zusammensetzung ˇ & rechnen nach
der
dieser
Regel … .

 
  
 
Nun könntest Du natürlich sagen: “
In diesem Fall ist das Manipulieren … kein Rechnen. “
Dieses Manipulieren von Ziffern nach Regeln ist (nun) kein Rechnen.


 
  
 
“Wir rechnen nur, wenn hinter dem Resultat ein Muß steht.” , wenn das Resultat erhalten werden muß.” // – Aber wenn wir nun nur dieses Muß nicht wissen, – liegt es da dennoch in der Rechnung? Oder rechnen wir nicht, wenn wir es, sozusagen, ganz naïf tun?

 
  
 
     Wie ist es damit: Der rechnet nicht, der, wenn ihm einmal das, einmal jenes herauskommt & er einen Fehler nicht
169
entdecken
finden
kann, sich damit abfindet & sagt
:
,
das zeige eben,
es zeige sich eben,
daß gewisse noch unbekannte Umstände das
Ergebnis
Resultat
beeinflussen.

 
  
 
Man könnte das so ausdrücken: Wer die Rechnung zum Finden eines kausalen Zusammenhangs verwendet, rechnet nicht. // : Wem die Rechnung einen kausalen Zusammenhang aufdeckt entdeckt // aufzeichnet // , der rechnet nicht. //

 
  
 
Unsere
Die
Kinder werden nicht nur im Rechnen geübt, sondern auch in einer ganz bestimmten Stellungnahme gegen einen Rechenfehler. // gegen eine Abweichung von der Norm. //

 
  
 
    Was ich sage, kommt darauf hinaus, die Mathematik sei normativ. Aber “Norm” bedeutet nicht dasselbe, wie “Ideal”.

 
  
 
    Denke Dir Menschen, die eine Linie immer impressionistisch nachzeichneten.

 
  
/
 
[In| Mit] Zungen reden”. Könnte man sich auch
170
denken, daß das die ganze Sprache der Menschen wäre? Wäre so eine Sprache dann ähnlich wie die von Tieren?

 
  
/
 
     Hätte ich das Sprachspiel (2) fundamentaler beschreiben können, als ich es tat? Nein. – Aber was könnte
mich
einen
verleiten,
so
das
zu denken? Ist es, weil wir keinem Grund trauen wollen, der nicht begründet ist?

 
  
 
    Statt “ich deute sie mir so”
möchte ich lieber
sollte ich
sagen: “sie deutet sich mir nun so”.

 
  
 
     Warum aber nicht sagen, was wir tatsächlich in solchen Fällen sagen;? nämlich: “Das heißt
:
,
ich muß nun so handeln … ”?

 
  
/
 
     Was kann die Beschreibung des Sprachspiels mehr tun, als ihm ein Bild zu zeichnen? – Und wenn er mehr will; was will er dann?

 
  
k
 
Die Lösung mancher Probleme
kann man
kannst Du
171
nicht
allein
einfach
durch denken, sondern nur durch üben erhalten. // ˇkannst Du nicht durch denken allein erhalten, sondern nur durch üben. //

 
  
k
 
22 .3.44.
Die Einführung einer neuen Schlußregel kann man als Übergang zu einem neuen Sprachspiel auffassen. Ich stelle mir eines vor, in welchem etwa eine Person ‘p ⊃ q’ aussagt, eine andere ‘p’, & eine dritte den Schluß zieht.

 
  
 
Ist es möglich, zu beobachten, daß eine
Fahne
Fläche
halb rot & halb blau ˇgefärbt ist; & nicht zu beobachten, daß sie rot ist? Denk Dir, man verwende eine Art Farbadjektiv für eine Fläche Dinge, die halb rot halb blau ist sind: Man sagt (dann) sie seien ‘bu’. Könnte nun jemand nicht darauf trainiert sein, zu beobachten, ob
etwas
sie
bu ist, oder nicht; & nicht darauf, ob
es
sie
rot
ist
enthält
? Dieser würde dann nur zu melden wissen: “bu”, oder “nicht bu”. Und wir
könnten
würden
aus de[m|r] ersten ˇMeldung den Schluß ziehen,
das Ding
die Fläche
sei zum Teil
enthalte
rot.
172


 
  
 
23.3.44.
Ich stelle mir ˇhier vor, daß die Beobachtung durch ein psychologisches Sieb geschieht, das z.B. nur das Factum durchläßt, die Fläche
sei
zeige das Muster
blau-weiß-rot (französische tricolore), oder sei es nicht.

 
  
 
Ist es nun eine besondere Beobachtung, die Fläche sei zum Teil rot, wie kann [es| dies] logisch aus dem Vorigen folgen. Die Logik kann uns doch nicht sagen, was wir beobachten müssen.

 
  
 
Jemand zählt Äpfel in einer Kiste; er zählt bis 100. Ein Andrer sagt: “also sind jedenfalls 50 Äpfel in der Kiste” (das ist alles, was ihn interessiert). Das ist doch ein logischer Schluß; ist es aber nicht auch eine besondere Erfahrung?

 
  
 
       Eine geteilte Fläche, ˇdie in Stücke von, die in eine Anzahl von Streifen ˇeingeteilt, ist wird ˇvon mehreren Leuten beobachtet. Die Farben ⌊⌊ // Wir beobachten eine Fläche, die in eine Anzahl von Streifen abgeteilt ist. Die Farben … // ⌋⌋
aller
derc
Streifen ändern sich, alle
       zu gleicher Zeit, immer nach je einer Minute.
173
Jetzt sind
ihre
die
Farben: rot, grün, blau, [weiß| schwarz], [weiß| schwarz], blau.
       Es wird beobachtet
:
,
daß jedesmal
rot ∙ blau ⊃ schwarz .⊃. weiß
    Es wird auch beobachtet:
~grün ⊃ ~ weiß

     und Einer zieht den Schluß:
~grün ⊃ rot ∙ blau ∙ ~ schwarz
    Und diese Implikationen sind ‘material implications’ im Sinne in Russell's Sinn

 
  
 
    Aber kann man denn, daß
r.b ⊃ s .⊃. w,
beobachten? Beobachtet man nicht Farben[z|Z]usammenstellungen, & schließt etwa also etwa, ˇdaß r ∙ b ∙ s ∙ w; & schließt leitet dann jeden Satz ab?
      Aber kann Einer bei der Beobachtung einer Fläche nicht ganz von der Frage eingenommen sein, ob sie sich grün, oder nicht grün färben wird; & wenn er nun sieht: ~g, muß er auf die ˇbesondere Farbe aufmerksam
174
werden sein, die die der Fläche zeigte, aufmerksam sein?
     Und könnte einer nicht ganz von dem Aspekt r ∙ b ⊃ s .⊃. w eingenommen sein[;|?] [w|W]enn er z.B. dazu angelernt worden wäre, alles andere vergessend, nur unter diesem Gesichtspunkt die Färbung der Fläche zu betrachten. (Es könnte ˇden Menschen unter bestimmten Verhältnissen ganz gleichgültig sein, ob Gegenstände rot, ˇsind, oder grün sind sind; von ˇgroßer Wichtigkeit aber, daß ob sie rot oder grün sind eine dieser beiden Farben, oder eine dritte besitzen. Und es könnte in diesem Falle ein Wort für Farbwort für “rot oder grün” geben.)

 
  
 
    Wenn es man aber eine echte Beobachtung gibt beobachten kann, daß
r ∙ b ⊃ s .⊃. w
& eine daß
~g ⊃ ~w
, dann kann ˇman ja auch beobachtetn, & nicht bloß geschlossen ß werden schließen, daß
~g ⊃ r ∙ b ∙ ~s
175


 
  
 
    Wenn dies drei (echte) Beobachtungen sind,
dann
so
muß es ˇauch möglich sein, daß , was d[er|ie] Dritte ˇdritte Beobachtung sieht, nicht mit dem logischen Schluß ˇaus dem aus den beiden ersten übereinstimmt.

 
  
 
    Angenommen die Menschen berechnen die Entwicklung von π ˇimmer weiter & weiter. Der allwissende Gott weiß ˇalso, daß ob sie bis zum bis zur Zeit des Weltuntergangs die zu einer Figur 777 entwickelt haben. gekommen sein werden. Aber weiß er mehr? [K|k]ann seine Allwissenheit entscheiden, ob die Menschen nach dem Weltuntergang zu jener Figur gekommen wären? Ich will sagen: Sie kann es nicht[!| .] Ich will sagen: Auch Gott
könnte
kann
Mathematisches nur durch Mathematik entscheiden. Auch für ihn kann die bloße Regel des Entwickelns nichts entscheiden, was sie für uns nicht entscheidet.

 
  
 
  Man könnte das so sagen: Ist uns die Regel der Entwicklung gegeben, so kann uns nun eine Rechnung lehren, daß an der 100sten fünften Stelle
176
die Ziffer “2” steht. Hätte Gott dies, ohne diese Rechnung, bloß aus der Entwicklungsregel wissen können? Ich will sagen: Nein.
 
  
 
24.3.44.
  Ist es denn also denkbar, daß einer beim Beobachten einer Fläche die Verbindung
Rot-Schwarz
Rot-&-Schwarz
sieht (etwa als Flagge), aber, , wenn er sich (nun) drauf einstellt, eine der beiden Hälften zu sehen, statt des Rot ˇein Blau sieht? Nun, Du hast's ja es gerade beschrieben. – Es wäre etwa so, wie wenn jemand auf eine Gruppe von Äpfeln schaute & sie ˇihm immer als ˇzwei Gruppen von je zwei Äpfel & zwei Äpfeln sähe ˇerschienen, so wie er aber versuchte, sie mit dem Blick zusammenzufassen, erschienen sie ihm als 5. Dies wäre ein sehr merkwürdiges Phänomen. Und es ist keines von denen, von deren Möglichkeit wir Notitz nehmen.

 
  
 
25.3.44.
Erinnere Dich dran, daß ein Rhombus, als Raute angesehen, nicht wie ein Parallelogram ausschaut. Nicht aber, als schienen seine gegenüberliegenden Seiten nicht parallel
177
zu sein, sondern der Parallelismus fällt uns nicht auf.

 
  
 
    Ich könnte mir denken, daß Einer sagt, er sähe einen weiß & gelben Stern aber nichts Gelbes – weil er den Stern gleichsam als eine Verbindung von Farbteilen sieht, die er nicht zu trennen vermag.

 
  
 
     Er hatte z.B. Figuren vor sich, wie diese
     
Gefragt, ob er ein rote fünfeck sieht & würde er ‘ja’ sagen; gefragt ob er ein gelbes sieht: ‘nein’. Ebenso sagt er er sehe ein blaues Dreieck, aber kein rotes. – Aufmerksam gemacht sagte er etwa: “Ja, jetzt seh ich's; ich hatte die Sterne nicht so aufgefaßt.”
     Und so könnte es ihm auch vorkommen, man könne die Farben im Stern nicht trennen, weil man die Formen nicht trennen kann.

 
  
∕∕
 
Der kann die Geographie einer Landschaft
178
nicht übersehen lernen, der sich so langsam in ihr bewegt, // , der so langsam in ihr
sich fortbewegt
weiterkriecht
, // daß er das eine Stück längst vergessen hat, wenn er zu einem andern kommt.
 
  
 
2[5|6] .3.44.
Denke es gebe kein schriftliches Rechnen ˇ(oder es wäre verboten). Wir rechnen alles mündlich, & bei längeren Rechnungen gibt es oft [d|D]iskrepanzen. in den Resultaten. Wir würden ˇdiese durch verschiedene Maßregeln bis zu einem gewissen Grade herabdrückencc niedrig ˇzu halten ˇtrachten ˇsuchen suchen; dann aber ¤ nicht sagen eine Multiplikation könne habe natürlich nur ein ˇrichtiges Ergebnis haben,
das
welches
wir
allerdings
aber
nicht ˇmit Sicherheit kennen; sondern: die Technik des Multiplizierens ergebe nicht immer genau dasselbe gleiche Resultat, sei aber brauchbar für unsere Zwecke. (Ja, vielleicht gerade deswegen.) ¤ // Wir würden diese durch verschieden Maßregeln klein zu halten suchen; dann aber … //

 
  
 
2[7|9] .3.44.
Warum rede ich immer vom Zwang durch die Regel; warum nicht davon, daß ich ihr folgen
179
wollen kann? Denn das ist ja ebenso wichtig.
     Aber ich will auch nicht sagen, die Regel zwinge mich so & so zu handeln, sondern sie mache es mir möglich, mich an ihr anzuhalten & von ihr zwingen zu lassen.

 
  
 
Und wer, z.B., ein Spiel spielt, der hält sich an seine Regeln. Und es ist eine interessante Tatsache, daß Menschen zum Vergnügen Regeln aufstellen & sich dann nach ihnen halten.

 
  
 
   Meine Frage war eigentlich: “[W|w]ie kann man sich an eine Regel anhalten?” // an eine Regel halten?” // Und das (paradoxe) Bild, das einem hier vorschweben könnte, wäre das eines kurzen Stückes Geländer, vorschwebt, könnte das eines kurzen Stücks Geländer sein, durch
welches
das
, von dem ich mich weiter ˇsoll führen lassen soll, als
das Geländer
es (selbst)
reicht. [Aber da ist doch nichts; aber da ist doch nicht nichts!] Denn wenn ich Frage “wie kann man sich
?
an eine Regel halten?”
,
180
so heißt es, daß mir hier etwas paradox erscheint; also ein Bild mich verwirrt.

 
  
 
     “Daß das auch rot ist, daran habe ich gar nicht gedacht; ich habe es nur als Teil des mehrfärbigen Ornaments gesehen.”

 
  
 
    Logischer Schluß ist ein Übergang der gerechtfertigt ist, wenn er einem bestimmten Paradigma folgt & dessen Rechtmäßigkeit von sonst nichts abhängt.

 
  
 
    Wir sagen: “Wenn ihr beim Multiplizieren wirklich der Regel folgt, muß das Gleiche herauskommen.” Nun, wenn dies nur die etwas hysterische Ausdrucksweise der Universitätssprache ist, so braucht sie uns nicht sehr zu interessieren.
  Es ist aber der Ausdruck einer Einstellung zu der Technik des Rechnens, die sich überall in unserm Leben zeigt. Die Emphase des Muß entspricht nur der Unerbittlichkeit
dieser
einer bestimmten
Einstellung sowohl zur Technik des Rechnens, als auch zu unzähligen verwandten Techniken.
181


 
  
 
    Das mathematische Muß ist nur ein andrer Ausdruck dafür, daß die Mathematik Begriffe bildet.
     Und Begriffe dienen zum Begreifen. Sie entsprechen einer bestimmten Behandlung der Sachlagen.

 
  
 
   Die Mathematik bildet ein Netz von Normen.

 
  
 
    Es ist wie wenn ein Maßkörper mehrere Facetten hätte & mit ihnen verschiedene Gegenstände zugleich & ihre gegenseitige Lage mäße. // beurteilen hülfe. //

 
  
 
    Wir messen Längen von Gegenständen mit Eisenstäben & nicht mit Teigstäben.



 
  
 
Es ist möglich, den Komplex aus A & B sehen, ohne A, oder B, zu sehen. Es ist auch möglich, den Komplex einen “Komplex von A & B” zu nennen & zu denken, diese Benennung deutete nur auf eine Art Verwandtschaft dieses Ganzen mit A & mit B hin. Es ist also
182
möglich, zu sagen, man sehe den Komplex von A & B, aber weder A noch B. Etwa wie man sagen könnte, es sei hier ein rötlich-gelb, aber weder rot noch gelb.

 
  
 
 Kann ich nun A & B vor mir haben & ˇauch beide sehen, aber nur A ⌵ B beobachten? Nun, in gewissem Sinne ist das doch möglich. Und zwar dachte ich mir es so, daß der Beobachter von einem gewissen Aspekt eingenommen sei; daß er etwa eine bestimmte Art von Paradigma vor sich habe, in einer bestimmten Routine der Anwendung begriffen sei. – Und wie er nun auf A ⌵ B eingestellt sein kann, so (doch) auch auf A ∙ B. Es fällt ihm also nur A ∙ B auf & nicht, z.B., A. Auf A ⌵ B eingestellt sein heiße, könnte man sagen, mit dem Begriff ‘A ⌵ B’ auf die & die Situation zu reagieren. Und genauso kann man's natürlich auch mit A ∙ B tun.

 
  
 
    Sagen wir: es interessiert Einen nur A ∙ B, & er urteilt also, was immer geschieht, nur “A ∙ B”, oder “~(A ∙ B)”; so kann ich mir denken, daß er “A ∙ B” urteilt & auf die Frage “siehst Du B?” sagt “nein, ich sehe A ∙ B”.
183
Etwa wie mancher der A ∙ B sieht nicht zugeben wird, er sehe A ⌵ B.

 
  
 
30.3.44.
Aber die Fläche ‘ganz rot sehen’ & ‘ganz blau sehen’ sind doch gewiß ‘echte’ Erfahrungen, & doch sagen wir, Einer könne sie nicht zugleich haben.

 
  
 
    Wenn er uns nun versicherte, er sehe diese Fläche ganz rot & zugleich ganz blau? Wir müßten sagen: “Du machst Dich uns nicht verstandlich”.

 
  
 
    Der Satz 1 Fuß = … cm ist bei uns zeitlos. Man könnte sich aber auch den Fall denken, in welchem sich das Fußmaß & das Metermaß nach & nach etwas veränderten & dann immer wieder verglichen werden müßten um sie in einander umzugerechnent zu werden.

 
  
 
Ist aber nicht auch bei uns das Verhältnis der Längen des Meters & Fußes experimentell bestimmt worden? Doch; aber das Ergebnis wurde zu einer Regel gestempelt.

184


 
  
 
Die Mathematik hat schon alles vorbereitet.

 
  
/
 
“Eine Reihe hat doch für uns ein Gesicht!” Wohl; aber welches? – Nun doch das algebraische, & das eines Stücks der Entwicklung. Oder hat sie sonst noch eins? – “Aber in dem liegt doch schon alles!” – Aber das ist keine Feststellung über das Reihenstück, oder über etwas, was wir darin
erblicken
sehen
; sondern
eher
aber
ein Ausruf; & ˇes ist der Ausdruck dafür, daß wir nur auf den Mund der Regel schauen & tun[;| ,] & an keine weitere Anleitung appellieren.

 
  
 
Der Vorgang des Ableitens hat einen Grund (Boden).

 
  
/
 
     “Aber Du siehst doch …” Nun das ist eben die charakteristische Äußerung Eines, der von der Regel gezwungen ist.

 
  
 
    Also so, ein Bild kommt Dir vor Augen! – könnte ich sagen.

 
  
 
“Aber darin liegt doch schon alles!” Nun, was willst Du mehr? Das ist eben der Ausruf
185
den diese Situation hervorbringt. ˇin mir erzeugt. – // in mir hervorbringt. // //
mir
uns
erzeugt. //
Und es ist nun eine andere Frage
:
,
warum ich wir geneigt sind bin
diese Worte zu gebrauchen
so zu reagieren
.
ˇgerade dies zu sagen. Denn zur Anwendung der Regel gehört[e|t]e sie esdas ja nicht. // Das ist eben der Ausruf, den diese Situation erzeugt. – Und es ist nun eine andere Frage, : warum ich gerade dies zu sagen geneigt bin. – Denn zur Anwendung der Regel gehört
das
es
ja nicht. //

 
  
/ \
 
Woher die Idee,
als
es
wäre die angefangene Reihe ein sichtbares Stück unsichtbar bis in's unendliche gelegter Geleise?

 
  
/ \
 
     Warum aber: “es liegt doch schon alles in ihr”? – Ich brauche nur noch die Kurbel zu drehen, alles übrige macht die Maschine. Und die Kurbel drehen ist etwas so Einfaches: ich kann es automatisch tun.

 
  
/ \
 
Ich glaube im Reihenstück ganz fein eine Zeichnung zu erblicken, die nur mehr das “u.s.w” bedarf um in die Unendlichkeit zu reichen.

 
  
 
“Ich erblicke ein Charakteristikum in ihr.” –
186
Nun, doch etwas, was dem algebraischen Ausdruck entspricht. – “Ja, aber nichts Geschriebenes, sondern förmlich etwas aetherisches.” – Welches seltsame Bild. – “Etwas, was nicht der algebraische Ausdruck ist, sondern wofür dieser nur eben der Ausdruck ist.”

 
  
 
    Ich erblicke etwas in ihr – ähnlich wie die Gestalt im Vexierbild. Und sehe ich das, so sage ich: “das ist alles, was ich brauche.” – Wer den Wegweiser findet, sucht nun nicht nach einer weiteren Instruktion, sondern er geht nun. . (Und sagte ich; statt “er geht nun

;
“er richtet sich nun nach ihm”; , so könnte der [u|U]nterschied der beiden nur sein, daß der zweite Ausdruck auf gewisse psychologische
Begleiterscheinungen
Erscheinungen
anspielt.)

 
  
 
    Die Regel kann mich in mehr als einem Sinne zwingen. Z.B. [d|D]urch die Macht der Gewohnheit, ˇz.B. oder
einer menschlichen Institution
menschlicher Gesetze
. Aber an diesen Zwang denke ich nicht[; s|. S]ondern an den,jenigen durch welchen mit welchem Zwang, der darin liegt, daß die Regel
schon
(schon)c
alles vorgemacht hat, was ich ihr nachmachen
187
kann; ˇdaß sie schon alles in logischer Schrift ˇschon alles vorgeschrieben hat.

 
  
 
     Einer Regel folgen: da gibt es viele verschiedene charakteristische Arten des Benehmens. // da gibt es viele verschiedene charakteristische Erscheinungen. // [Lesen.]

 
  
 
“Wie kann ich einer Regel folgen?” Nun, was kann ich mehr tun, als zu beschreiben, wie man ihr folgt; als einen
konkreten
besonderen
Fall beschreiben? – Und ist das nun eine Erklärung? –
Nun, für
Für
Manche ist es eine. – Und habe ich mehr als ich gebe? Nein; mehr habe ich nicht.

 
  
 
 Das ist eben eine Beschreibung des Vorgangs ‘einer Regel [F|f]olgen’.

 
  
/ \
 
Wenn ich auf dem Mars ein Wesen beobachtete das auf einen Wegweiser-ähnlichen Gegenstand schaut & ihm dann parallel geht, so hätte ich keine Berechtigung zu sagen, es folge ihm, auch wenn ich alle seine Gefühle in diesem Augenblick
188
kennte. ”Aber er muß doch wissen, ob er dem Zeichen folgt!” – Nicht durch Introspektion!

 
  
/ \
 
     Man kann einer Regel nicht einmal folgen.

 
  
/ \
 
     Wenn ˇin der Geschichte einmal ein einziges Mal ein Mensch einmal
eine
die
Multiplikation, ˇsagen wir, 127 × 938, aus schriftlich ausgeführt hätte, dann hätte er, was immer seine gedanklichen Prozesse zu dabei diesem Vorgang waren, nicht multipliziert.

 
  
∕∕
 
     Damit es mir erscheinen kann, als hätte die Regel alle ihrer Folgesätze
zum voraus
schon
erzeugt, müssen sie mir selbstverständlich
sein
erscheinen
. So selbstverständlich, wie es mir ist, diese Farbe “blau” zu nennen.
 
  
 
31.3.44.
     Wozu spielt die Mathematik mit den Begriffen? – Sie macht sie für unsere Zwecke brauchbar.

 
  
\
 
13.4.44.
     Was wir “Sprache” nennen ist eine Institution.
189
Es könnte nicht
einmal nur
einmal
in der Geschichte der Menschheit ein Satz ausgesprochen, & verstanden, werden. Und so auch kein Befehl & keine Regel. (Vergleiche damit den Gedankengang über ˇIdealismus & Solipsismus & die Möglichkeit einer ’privaten Sprache’.,) zusammenhängend mit Idealismus & Solipsismus.)

 
  
 
    Inwiefern kann man sagen, ein Satz der Arithmetik gebe uns einen Begriff? Nun, denken wir uns ihn nicht als Satz, als Entscheidung einer Frage, sondern als eine, irgendwie anerkannte, Verbindung von Begriffen.

 
  
 
    Die mathematischen Sätze als Katalognummern der Beweise (Ursell). Wie wüßte man sonst, welchen Satz wir den vom Beweis bewiesenen nennen sollten?
    Wie ist es aber mit unbewiesenen Sätzen? Nun, die warten eben noch auf Beweise, die sie katalogisieren, oder sie sind ihre eigenen Beweise (Axiome).

190


 
  
 
    Der Beweis verschafft dem Satz Anerkennung.

 
  
 
Der Beweis knüpft eine Kette von Begriffsverbindungen.

 
  
 
    Der Beweis reiht den Satz in ein System ein.

 
  
 
Könnte man sagen, daß der Beweis von 25² = 625 zeigt inwiefern 25² = 625 ist? – Das heißt eigentlich: “könnte man den Sinn ˇ(den Gebrauch) eines math. Satzes ˇdadurch erklären, indem daß man zeigt, was als sein Beweis gelten soll?” Es ist zweifellos, daß der Beweis in dem Satz nicht nur diesem Satz im gegensatz zu einem andern Anerkennung verschafft, sondern uns auch zeigt warum man so einen Satz überhaupt ausspricht. Kinder, wenn sie den Anfang der Arithmetik lernen, werden nicht drauf aufmerksam gemacht daß 4 + 5 auch etwas andres sein könnte als 9. Sie lernen aus
einer Reihe
zwei Gruppen
von 4 ˇKugeln & ˇeiner von 5 Kugeln eine Gruppe von 9 machen, & eine
Reihe
Gruppe
von 9 in eine von 4 & 5 zerlegen. Sie
191
üben einen Vorgang ein & lernen (dabei) einen Satz sagen. Den Vorgang kann man den Beweis des Satzes nennen, aber er gibt vor allem dem Satz seine Anwendung.

 
  
 
Der Satz & der Beweis müssen jeder in anderem Sinne eine Begriffsverbindung sein. – Das will eigentlich sagen daß man den Satz & den Beweis auf wesentlich
verschiedene
andere
Weise verwendet. Nun, ich beweise den Satz zuerst

,
& dann verwende ich ihn (
etwa
z.B.
) als Paradigma für Urteilsübergänge. Der Beweis überredet mich dazu, den Satz zu gebrauchen, oder: überzeugt mich davon, daß ich den Satz gebrauchen darf.

 
  
 
Das [G|g]leichgesetzte 25² & 625 gibt mir nun, könnte man sagen, einen neuen Begriff. Und der Beweis zeigt, was es mit dieser Gleichheit für eine Bewandnis hat. – “Einen neuen Begriff geben”, kann nur heißen, eine neue Begriffsverwendung einführen, eine neue Praxis.

192


 
  
 
     “Wie kann man den Satz von seinem Beweis loslösen?”
Diese Frage
Dieser Satz
zeigt natürlich eine falsche Auffassung.

 
  
 
     Der Beweis ist eine Umgebung des Satzes.

 
  
 
     ‘Begriff’ ist ein [V|v]ager Begriff.

 
  
 
     Nicht in jedem Sprachspiel gibt es etwas, was man “Begriffe” nennen wird.

 
  
 
Begriff ist
etwas einem Bild vergleichbares,
etwas wie ein Bild,
womit man Gegenstände vergleicht. Und man urteilt

 
  
 
     Gibt es im Sprachspiel (2) Begriffe? Aber man könnte es leicht so erweitern // auf solche Art erweitern // , daß “Platte”, “Würfel”, etc. zu Begriff[en|s]ˇwörtern würden. // , daß “Platte“, “Würfel”,
u.s.w.
etc.
unzweifelhaft Begriffe würden bezeichneten // . Z.B. durch eine Technik des Beschreibens oder abbildens jener Gegenstände. Es
besteht
ist
natürlich keine scharfe Grenze zwischen Sprachspielen, die mit Begriffen arbeiten, & andern. Wichtig ist, daß
193
das Wort “Begriff” sich auf eine Art von Behelf im Mechanismus der Sprachspiele bezieht.

 
  
 
     
Betrachte einen Im
Denke an einen
Mechanismus
Etwa den:
, wie etwa den:


Während der Punkt A einen Kreis beschreibt, beschreibt B
eine Achterfigur
eine Acht
. Wir schreiben das ˇnun als ˇeinen kinematischen Satz auf.
◇◇◇
Indem ich den Mechanismus
umtreibe
in Gang setze
bewege
beweist beweist mir das Bild seiner Bewegung diesen den Satz er mir diesen Satz; wie etwa eine Konstruktion auf dem Papier es täte. Und [d|D]en Satz könnte man ein Bild ˇder Bewegung des Mechanismus nennen. Die Methode der Abbildung aber wäre eben jene Konstruktion, oder die Bewegungen von A & B,
welche
die
ich sehe, wenn
der Mechanismus im Gang ist.
ich das Rad umtreibe.

Ich kann ja auch den Mechanismus mit dem Satz vergleichen & prüfen ob
194
er ein richtiges Bild des Mechanismus ist.
Der Satz entspricht etwa einem Bild des Mechanismus mit den eingezeichneten Bahnen der Punkte A & B. Er ist also in gewisser Beziehung ein Bild jener Bewegung. Er hält das fest, wovon mich der Beweis überzeugt. Oder

,
wozu er mich überredet

 
  
 
    Wenn mir nun der Beweis einen neuen Begriff gibt; was tut der bewiesene Satz? Man könnte sagen: der ˇbewiesene Satz spielt spielt auf diesen Begriff an.

 
  
 
    Wenn der Beweis das Vorgehn nach der Regel registriert, so erzeugt er (dadurch) einen neuen Begriff.

 
  
 
Indem er einen neuen Begriff erzeugt, überzeugt er mich von etwas. Denn zu dieser Überzeugung ist es wesentlich, daß das Vorgehn nach diesen
Gesetzen
Regeln
immer das gleiche Bild erzeugen muß. (‘Gleich’ nämlich nach unsern gewöhnlichen Regeln
195
des Vergleichens & Kopierens.)

 
  
 
Damit hängt es zusammen, daß man sagen kann, der Beweis müsse das [b|B]estehen einer internen Relation zeigen. Denn die interne Relation von ist die Operation, die eine Struktur aus der andern erzeugt ˇals äquivalent
betrachtet
// angeschaut //
angesehen
mit dem Bild dieses Übergangs selbst – so daß nun der Übergang dieser Bilderreihe gemäß eo ipso ein Übergang jenen Regeln // Operationsregeln // gemäß ist.

 
  
 
Indem der Beweis einen Begriff erzeugt, überzeugt er mich von etwas. Das Wovon er mich überzeugt, ist in dem Satz ausgesprochen, den er bewiesen hat.

 
  
 
     ∣ Problem: Bedeutet das
Eigenschaftswort
Wort
“mathematisch” jedesmal das Gleiche: wenn wir von ‘mathematischen’ Begriffen, von ‘mathematischen’ Sätzen & von ‘mathematischen’ Beweisen reden?| // wenn wir von ‘mathematischen’ Begriffen reden, von ‘mathematischen’ Sätzen & von
196
mathematischen Beweisen? // |

 
  
 
19.4.44.
     Was hat nun der bewiesene Satz mit dem Begriff zu tun den der Beweis schuf? Oder
:
,
was hat der bewiesene Satz mit der internen Relation zu tun, die der Beweis demonstrierte?

 
  
 
    Das
Bild
Beweisbild
ist ein Instrument des Überzeugens.

 
  
 
Es ist klar, man auch den unbewiesenen math. Satz anwenden; ja auch den falschen.
     Der math. Satz sagt mir dann: Verfahre so!

 
  
 
     “Überzeugt Wenn uns der Beweis überzeugt, dann müssen wir auch von den Axiomen überzeugt sein“. Nicht aber als von empirischen Sätzen; das ist ihre Rolle nicht. Sie sind im Sprachspiel von der Verification durch die Erfahrung ausgeschlossen. Sind nicht Erfahrungssätze sondern Prinzipien des Urteilens.
197