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Handelt nur von Logik &
Mathematik.
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20.10.42.
Eine Addition von Formen in der gewisse
Glieder verschmelzen spielt in unserm Leben eine sehr geringe
Rolle. – Wie wenn
und
△ die Figur
ergeben. Aber wäre dies eine
wichtigere Operation, so hätten wir
vielleicht ˇauch einen andern geläufigen Begriff von der
arithm. Addition.
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| | k | | | Daß man ein
Boot, einen Hut, einen Katzenkopf etc aus
einem Stück Papier falten ˇnach gewissen
Regeln kann, betrachten wir
als Sache Angelegenheit der
Geometrie, nicht der Physik. Aber ist die Geometrie,
so verstanden, nicht ein Teil der
Physik? Nein[:W|;
w]ir spalten die
Geometrie von der Physik ab. Die geometrische
Möglichkeit von der
Physikalischen. Aber wie,
wenn man sie beisammen ließe? Wenn
man einfach sagte: ‘wenn Du das & das &
das mit dem Stück Papier tust, wird dies
herauskommen’? Was zu tun ist, könnte
etwa durch einen Reim gegeben werden. Ist es denn
nicht möglich, daß jemand zwischen den beiden
Möglichkeiten gar nicht unterscheidet?
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| | | | | Wie wenn man sagte:
‘wenn Du gut ausgeruht bis & Du addierst
die Zahlen ...... kommt meistens .....
heraus’? Hier, kann man sagen, heißt
‘addieren’ etwas anderes, als als in unserem
Sprachgebrauch. Aber doch etwas
Ähnliches.
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| | | | | Es
heißt dann ungefähr, was wir “zu addieren
versuchen” nennen. Und wir sagen, von einem
Schüler z.B., er versucht die
& die Zahlen zu addieren, & meinen damit etwas
ganz bestimmtes, obwohl die Kriterien dafür, daß
das es geschieht, nicht leicht
aufzuzählen sind. (Es ist wie ‘zu
lesen versuchen’.)
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| | | | | Wie ist es mit dem Satz
“p
⊃ p ist eine Tautologie”? Er ist
etwar vergleichbar mit: “318 ist durch 3
teilbar”.
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Man könnte sich die Logik mit solchen Sätzen
betrieben denken. Und dann natürlich,
ebensogut auch
mit Sätzen der Art “p ∙ ~p ist eine
Contradiction”.
Und daher auch einfach mit
Contradictionen ˇwie
bisher mit Tautologien. Daß ich in einer
Beschreibung, oder einem Befehl Wiedersprüche
nicht dulde, daraus folgt nicht, daß ich sie in der Logik
nicht brauchen kannc.
Die Reaktion auf ‘p ⊃
p’ ist: ‘Nun gut, – was
weiter!’. Eine Art Bejahung, wie
ˇdie einer gänzlich unverbindlichen
Äußerung.
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| | | | | Denke Dir
einen S[a|ä]tz⌊e⌋, wie
25 × 25 =
625, so
hingeschrieben:
25 × 25 ‒
625 = 0, & das
‘ =
0’ weggelassen, so daß einfach
(diec) Sätze der Arithmetik die
Form arithm. Ausdrücke
annehmen, die gleich
0 sind, –
obwohl nicht
gesagt .
Wäre diese Situation nicht ähnlich der in
unsrer Logik, die aus Tautologien besteht?
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21.10. Die
Konstruktion einer (neuen) Schlußregel kann man als
Einführung eines neuen
Schlußregel Sprachspiels
deuten. Ich denke mir eines, in welchem etwac eine
Person ‘p ⊃ q’ aussagt,
eine ˇandere ‘p’, & eine dritte den
Schluß ‘q’ zieht. // Die Einführung einer neuen Schlußregel kann
man als Übergang zu einem neuen Sprachspiel
auffassen. Ich stelle mir eines vor, in
welchem …
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22.10. Es handelt
sich um die Beobachtung einer Fläche
die in Stücke von
verschiedener Farbe geteilt
ist. Die Farben aller Stücke ändern sich zu
gleicher Zeit immer nach einer Minute. ⌊⌊ Jeder
beobachtet einen Aspekt der ihn aus bestimmten Gründen
◇◇◇ angeht. ⌋⌋ Jetzt
sind die Farben r, g, b, w, s,
o. Es wird beobachtet, daß
r ∙ b ⊃ w . ⊃ .
s. Es wird auch beobachtet
~g ⊃ ~
s. Und Einer zieht den Schluß
~g ⊃ r ∙ b ∙
~ w
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| | | | | ⌊⌊ˇ Sind das echte
Beobachtungen, so müssen sie einander widersprechen
können. ⌋⌋ ⌊ These implications, by the
way, are really ‘material’
implications. ⌋
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Inwiefern hängt der Schluß von der Erfahrung
ab?
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| | | | | Einer beobachtet
ˇeine zweigeteilte Fläche & ruft aus “rot
& blau”; ein Anderer macht
von der Beobachtung Gebrauch &
sagt: “Also rot”.
Er zieht aus ‘p ∙ q’ den Schluß
‘p’.
Oder ihn interessiert es, ob die Flächen rot oder
gelb zeigen, & er sagt: “Also:
rot oder gelb”. Er hat von
‘p ∙ p’ auf
‘p
⌵ r’ geschlossen.
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| | | | | Ja, man kann sich ein
Sprachspiel denken, in der Eine immer den
für seine relevanten Schluß aus der
Angabe des Andern zu ziehen hat, ⌊–⌋ etwa einen Schluß von
‘p
∙ q ∙ r’ auf
‘q’ – &
daß er in dieser Tätigkeit ˇmanchmal ˇauch aus Angabe
‘p’ den Schluß
zieht: “also
‘p’”[;|,] daß er also
nach der Formel ‘p ⊃ p’
schließt.
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| | | | |
23.10. ‘So machen
wir's’⌊.⌋,[d|D]ieser Regel folgen wir;
& wenn dabei etwas schief geht, so schieben wir's
nicht der Regel in die Schuhe.
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Einer beobachtet eine Fläche, in Quadranten g⌊e⌋teilt ist.
Er ruft aus: “Ganz weiß”.
Ein Arbeiter, den die Farbe des Quadranten
No 4 angeht, sagt:
“Also
No 4
weiß”. Wenn nun in dem
Arbeitsprozess irgend etwas schief geht, so
wird niemand sagen[;|:] aus
‘(x).f(x)’
habe hier nicht ‘f(a)’
gefolgt.
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| | | | | Wie
aber, wenn wir Leute aus dem allgemeinen Satz auch
entgegengesetzt schließen sähen?
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Denke Dir Einen, der
ein Patent auf eine Regel nimmt ˇum Regeln zu erzeugen
nach denen Reihen von Kardinalzahlen erzeugt werden
können (etwa zum Zweck von Numerierungen).
Er sagt er habe eine Regel gefunden nach der alle
möglichen endlosen Reihen erzeugt werden können
& kein Konkur-rent
könne eine Regel bilden die nicht in seinen enthalten
wäre. Und nun zeigt ihm Cantor, daß das nicht möglich ist.
Dieser Beweis ändert unzweifelhaft seinen Begriff von der
endlosen Zahlenfolge. Vorher hatte er etwa geglaubt,
da er sich so große Mühe gegeben habe alle Regeln in
sein System einzuschließen, so könne er keine
ausgelassen haben. Nun denkt er ganz anders
über die Sache. Wie Einer, der nicht
wußte, daß die Konstruktion einer Winkelteilung
unmöglich sein könne. Er sieht es nun ganz anders
an.
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Wie, wenn man sagte: Wer die Folge 1 2 3 umgekehrt hat,
lernt über sie, daß sie umgekehrt 3 2 1
ergibt? Und zwar ist, was er lernt, nicht eine
Eigenschaft dieser Tintenstriche, sondern der Folge von
Formen. Er lernt eine formale
Eigenschaft von Formen. Der Satz, welcher diese
formale Eigenschaft aussagt, wird durch die Erfahrung bewiesen, die
ihm die Entstehung der einen Form aus der andern in
dieser ˇauf diese Weise, zeigt.
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| | | | | Hat nun,
wer das lernt, zwei Eindrücke? Einen davon
daß die Reihenfolge umgekehrt wird, den andern davon
daß 3 2 1 entsteht? Und könnte er die Erfahrung,
den Eindruck, daß 1 2 3 umgekehrt wird nicht haben und doch nicht
den daß 3 2 1 entsteht? Vielleicht wird man
sagen: “nur durch eine seltsame
Täuschung”. –
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Warum man eigentlich nicht sagen kann, daß man jenen
formalen Satz aus der Erfahrung lernt[:| –] weil man es
dann
diese Erfahrung nennt, wenn dieser
Prozess zu diesem Resultat führt.
Die Erfahrung, die man meint, besteht schon aus diesem
Prozess mit diesem Resultat.
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| | | | | Darum
sie mehr wie die Erfahrung: ein Bild zu
sehen.
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| | | | | Kann eine
Buchstabenreihe zwei Umkehrungen haben?
Etwa eine [A|a]kustische & eine ˇandere
optische Umkehrung. Angenommen ich erkläre jemandem
was die Umkehrung eines Wortes auf dem Papier ist, was man so
nennt. Und nun stellt sich
heraus daß er eine [A|a]kustische Umkehrung des
Wortes hat, d.h., etwas was er so nennen
möchte was aber nicht ganz mit der geschriebenen
übereinstimmt. So daß man sagen kann: er
hört das als Umkehrung des Wortes.
Gleichsam als verzerrte sich ihm das Wort
beim Umkehren. Und dies könnte etwa eintreten wenn er
das Wort & die Umkehrung ausspricht im Gegensatz Fall er es buchstabiert. Oder die
Umkehrung könnte anders scheinen, wenn er das
Wort in einem Zuge
vor- & rückwärts
spricht.
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| | | | | Es
wäre möglich, daß man das genaue Spiegelbild eines
Profils sogleich nach diesem gesehen nie für das gleiche
& nur verkehrte in ˇdie anderer
Richtung sehende gedrehte
erklärte, sondern daß, um den Eindruck der genauen Umkehrung
zu machen, das Profil in den Maßen
geändert werden müßte.
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| | | | | Ich
will doch sagen, man habe kein Recht
zu könne nicht | sagen: wir mögen zwar über die
correcte Umkehrung,
eines langen Wortes z.B., im Zweifel sein, aber
wir wissen, daß das Wort nur eine
Umkehrung hat.
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| | | | |
‘Ja, aber wenn es eine Umkehrung in diesem Sinne
sein soll, dann kann es nur eine geben!’
Heißt hier ‘in diesem Sinne’: nach
diesen Regeln, oder: mit dieser Physiognomie. Im
ersten Falle wäre der Satz tautologisch, im zweiten muß er
nicht wahr sein.
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24.10.
“Notwendige
Wahrheit”
“necessary proposition” – ein
schlechter Ausdruck ⌊p⌋ suggeriert
Läßt uns an eine starre Verbindung
gewisser Gegenstände, wie ⌊(⌋ Formen⌊,⌋
oder Zahlen ⌊, etc.)⌋ in der Natur ˇdenken; eine Art Naturwissenschaft dieser
Fakten. D.h., wir bilden eine Art
Superlativ der Starrheit einer Verbindung, wozu als Vorbild unsere
Mechanismen dienen.
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| | | | |
Ein Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung kann einen Begriff
der Wahrscheinlichkeit des Eintreffens von Ereignissen
bestimmen oder aber auch einen ˇgeometriechen
Begriff. der Geometrie. Gibt
es nun nun nicht eine reine
Mathematik die bloß die Form aller
solcher Anwendungen wäre, aber keine von ihnen
andeutete? Als solch eine reine
Mathematik würde scheint sich uns
Zeichenspiel anzubieten das allen solchen Deutungen gemeinsam
ist.
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| | | | | Und
wozu nun dies Zeichenspiel mit Axiomen in den Formen
der Axiomatik spielen & nicht gleich so, wie es
ˇsich für gewöhnlich mit einer Deutung
darstellt nur mit
bedeutungslosen Zeichen gespielt? // Und wozu nun dies Spiel in den steifen
⌊⌊25.10. ⌋⌋ ˇaxiomatischen
Formen der Axiomatik spielen statt gleich so wie es sich
uns darstellt wenn es eine Deutung hat – nur eben mit
bedeutungslosen Zeichengespielt. ⌊.⌋ //
| | |
| | | | | Denke Dir also Menschen,
welche addierten, multiplizierten, dividierten, wie wir, nur ohne
jeden ˇnützlichen Zweck;
etwa: weil es ihnen Spaß zu
machen scheint. als ˇeine harmlose
Unterhaltung⌊.⌋ wie es
scheint. Die Jungen lernen es von den
Alten durch [z|Z]uschauen. Übrigens ist die Bemerkung
“ohne jeden nützlichen Zweck” ganz
irrelevant denn ◇◇◇ warum soll
Unterhaltung kein nützlicher Zweck sein,
& es ließen sich leicht ganz andere nützliche
Zwecke dieser Tätigkeit denken, doch
nicht ˇmathematische Anwendungen der Mathematik wären. Aber von einer solchen
Tätigkeit ließen sich leicht Abbildungen denken, die
niemand für Mathematik erklären würde, sondern
etwa für einen Tanz oder für das Ornamentieren
einer Wandfläche ◇◇◇
| | |
| | | | | Ein Traum:
Mir träumte neulich: Ich
steige auf einen
Sessel
& kniehe mit einem Knie auf
einen Tisch.
Der Tisch war eine Art flacher Schreibtisch,
ich glaube aus Mahagoniholz
& hat in der mitte ein
Loch, wie um eine Schreibmaschine aufzunehmen.
In dem Loch liegen zwei
Spachteln, eine stählerne
& eine hölzerne, die sehr
schön gearbeitet ist und
eine aussieht wie wie
ein grösser Brieföffner.
Ich kniehe gerade auf den
beiden Spachteln & breche
die stählerne & die hölzerne.
Habe d Fürchte mich
dass mein Vorgesetzter
sich darüber ärgern wird.
| | |
| | | | |
Heute nacht träumte ich:
Ich steige eine Treppe
hinauf.
Auf dem obersten
Absatz
in einer
Art Käfig ein Taubenpaar
die b einander sehr
lieben.
Das Weibchen mag
mich nicht, streubt die
Federn & will auf mich
los gehen so wie ich
mich ihr nähere.
Gedanke
dass sie mir mit dem
Schnabel in die Hand
stossen würde wenn
ich die Hand hin hielte.
– Dann: Die Frau
ist gest (die Taube) ist
gestorben und ihr Mann
(nfn ein Mann﹖1) zimmert
ihr einen den Sarg:
mehrere flache Kisten
die um Bilder oder Schriften zu verwahren.
Wann
setzt er sich ermüdet, &
wie um selbst zu sterben,
nieder & seine Säge
steckt vor ihm in einem
Stüch Holz, einem Kasten
Entweder zwischen
diesen beiden Szenen
oder nach der zweiten
(ich weiss es nicht mehr)
eine andere: Francis &
Drobil sind mit mit in
einem Zimmer (einer Schenke?) & ich fange ein Argumet mit einem Dritten
an der mir etwas gehagt hat das ich richtig stellen will (ich
weiss nicht mehr was).
Wahrend ich mit ihm spreche
sind die beiden andern
fort gegangen, wie ich
mich umdrehe sind sie
nicht mehr da.
Ich gehe
sie ◇ im Haus suchen,
will erst ins obere
dann ins untere Ssclf-zimmer◇ gehen um sie zu
suchen, weiss aber dass
sie ohne mich ausgegangen sind gahrscheinlich zum N Nachtmahl.
Sie
werden dann wohl wieder kommn.
Bin sehr verstimmt daruber dass sie,
& ohne auf mich zu warten, weggegangen sind &
wache ˇtraurig auf.
Das [h|H]aus in
welchem ich in dieser
Hzene die beiden suche
ist dasselbe in welchem
ich in der ersten Hzene
die Treppe hinafgestiegen bin & in welchem auch
der Mann mit den flacen
Kisten die Taube einsargt.
Wenn er sich dann zum
sterben hinsetzt so
ist es als sässe er
auf dem Deck ˇim Hinterteil eines
Schiffes. | | |
| | | | |
26.10. Ist ein
Schachproblem ein Problem der angewandten
Mathematik? Vergleiche es mit einem Problem der
theoretischen Mechanik.
| | |
| | | | |
Wenn
die Math. ein Spiel ist, so gibt es
keinen Unterschied zwischen rein
mathem. Axiomen & nicht
rein mathematischen. Und man könnte ein Kapitel
der M mathem. Physik ebensogut als
(ein) Spiel spielen, wie eins aus der
Zahlentheorie.
| | |
| | | | | Denke Dir die
Fünfeckskonstruktion gezeichnet & über sie
einen ˇdurchsichtigen Kegel gestellt & in ihm solche
Flächen gezogen (dreidimensionale Konstruktion)
daß jeder ˇebene Schnitt parallel zur Basis ist
offenbar wieder so eine ˇerfolgreiche
Fünfeckskonstruktion .
Dies wäre eine Konstruktion Beweis
in einer anschaulichen
Geometrie.
| | |
| | | | | Die
Augen & die Nase müssen nicht
‘irgendwie’ verwandt’
sein, um ein Gesicht zu ergeben.
| | |
| | | | | Es ist natürlich klar, daß der
Mathematiker, insofern er wirklich ‘ein Spiel
spielt’ Schlüsse
zieht. Denn ‘[s|S]pielen’ muß hier
heißen: nach ˇin
Übereinstimmung mit gewissen Regeln
handeln. Und schon das wäre ein
Heraustreten aus dem bloßen Spiel; wenn er den Schluß
zöge, daß er hier der allgemeinen Regel
gemäß so handeln dürfe.
| | |
| | | | |
27. Aber wie
seltsam ist es, zu sagen, daß, wenn Einer die ganze mathem. Literatur Mathematik |
als Spiel , dann nicht Mathematik wäre!
Es kann, willst Du sagen, doch nicht auf gedankliche
(psychologische) Prozesse ankommen. (Und
soweit ist es richtig.)
| | |
| | | | | ‘Diese müssen unwesentlich
sein. Gleichsam Abschweifungen vom
Thema.’
| | |
| | | | |
Statt des obigen conventionellen &
schlechten Beispiels wären farbengeometrische
Beobachtungen am Farbenkreis zu setzen, die nicht mit
der gemeinen Erwartung
übereinst.. dem, was man etwa erwarten möchte
übereinstimmen |
(Was man etwa Das also, was man
farbengeometrische Paradoxe nennen
könnte.)
| | |
| | | | |
28. Rechnet die
Rechenmaschine?
| | |
| | | | |
Denk Dir, eine Rechenmaschine wäre durch
Zufall entstanden; & nun drückt Einer durch Zufall auf
ihre Knöpfe (oder eine Maus
Tier läuft
über sie) & sie rechnet das Produkt
25 ×
20. –
| | |
| | | | |
Ich will sagen: Es ist der Mathematik
wesentlich, daß ihre Zeichen auch im Zivil gebraucht
werden. Es ist der Gebrauch
außerhalb der Mathematik, also die
Bedeutung der Zeichen, was das Zeichenspiel zur Mathematik
macht.
| | |
| | | | | So wie
es ja auch kein logischer Schluß ist, wenn ich
von einnem Gebilde (einer Tonreihe in ein anderes transformiere (eine Anordnung
⌊von⌋ Stühle⌊n⌋ ˇetwa in eine andere) wenn diese
Anordnungen nicht außerhalb dieser Transformation einen
sprachlichen Gebrauch haben.
| | |
| | | | |
Aber ist nicht das wahr, daß Einer, der nichts von der
Bed. der
R'schen Zeichen wüsste,
die R'schen Beweise
… der keine
Ahnung von der Bedeutung der Russellschen Zeichen hätte,
R's Beweise nachrechnen
könnte? | Und also in einem
wichtigen Sinne prüfen könnte ob sie richtig seien oder
falsch?
| | |
| | | | |
1 | 2 | 3 | S |
4 | 5 | 6 | a |
7 | 8 | 9 | b |
10 | 11 | 12 | c |
13 | 14 | 15 | W |
|
Wenn
[d|D]as Feld G ⌊ist⌋ gleichmäßig gelb
ist, S
schwarz, W weiß, & a b c ˇdrei
Töne von grau, die in gleichen Farbabständen von S
zu W . Ebenso
1, 2, 3 von G nach S,
4, 5, 6 von G nach a
u.s.w.. Dann wird man
vielleicht sehen, daß die ˇlotrechten Reihen 1, 4, 7, 10, 13
& 2, 5, 8, 11, 14 & 3, 6, 9, 12, 15 nicht gleichabständig sind. ˇUnd
[d|D]ies,
ˇoder das Entgegengesetzte, wäre eine farbengeometrische
Tatsache.
| | |
| | | | | Ich meine: es könnte
sein, daß man keine
Gleichabständigkeit, der waagrechten
&c der senkrechten Reihen
ˇnicht zugleich erreichen kann. // Es könnte also sein, daß man gleiche
in den waagrechten
& in den senkrechten Reihen zugleich nicht erreichen
kann. //
| | |
| | | | | Architektur ist eine
Geste. Nicht jede zweckmäßige Bewegung
des menschlichen Körpers ist eine Geste. Sowenig, wie
jedes zweckmäßige Gebäude Architektur.
| | |
| | | | |
29. Man
könnte eine mensch-liche
Rechenmaschine so abrichten, daß sie, wenn ihr die
Schlußregeln gezeigt & etwa an Beispielen
vorgeführt wurden, die Beweise eines
ˇmathem. Systems (etwa
des R'schen) durchliest & nach jedem richtig
gezogenen Schluß mit dem Kopf nickt bei
einem Verstoß gegen die Regel bei einem Fehler | aber den Kopf
schüttelt, & zu rechnen aufhört.
Dieses Wesen könnte man sich im übrigen vollkommen
idiotisch vorstellen.
| | |
| | | | | Einen Beweis nennen wir etwas, was sich
nachrechnen, aber auch kopieren läßt.
| | |
| | | | |
Wenn die Math. ein
Spiel ist, dann ist ein Spiel spielen Mathematik treiben, &
warum dann nicht auch: Tanzen?
| | |
| | | | | Man könnte sich den Fall denken,
daß Einer seinem eignen Rechnen weniger traut, als dem einer
Rechenmaschine.
| | |
| | | | |
Denke Dir, daß Rechenmaschinen Naturprodukte wären in der Natur
vorkämen | , ihre
Gehäuse aber für die Menschen undurchdringlich
(wären). Und diese Menschen
benützten nun diese Maschine Vorrichtungen etwa wie wir das Rechnen, wovon sie aber
gar nichts wissen. Sie machen also
etwa Vorhersagen mit Hilfe der Rechenmaschinen, aber für sie ist
das Benützen Handhaben dieser
ˇseltsamen Gegenstände ein
Experimentieren.
| | |
| | | | |
30. Diesen Leuten
fehlen Begriffe, die wir haben; aber wodurch
ersetzen sie diese? // ; aber wodurch sind
die diese bei ihnen ersetzt?
– //
| | |
| | | | |
Denke an den Mechanismus dessen Bewegung wir als
geometrischen (kinematischen) Beweis
ansahen: Das ist klar, das
normalerweise von Eeinem der das Rad umtreibt nicht
gesagt würde, er beweist etwas.2
Ist es nicht ebenso mit dem,
der zum Spiel Zeichen aneinander reiht & diese Reihen
verändert; auch wenn, was er hervorbringt als Beweis
angesehen werden könnte?
| | |
| | | | |
Zu sagen, die
Math. sei ein Spiel, soll
heißen: wir brauchen beim Beweisen nirgends an die
Bedeutung der Zeichen appellieren, also an ihre außermathematische
Anwendung. Aber was heißt es denn
überhaupt an diese
appellieren? Wie kann so ein Appell etwas
fruchten?
Heißt das, aus der Mathematik heraustreten &
wieder in sie zurückkehren, oder heißt es aus
einer math.
Schlußweise in eine andre treten?
| | |
| | | | | Was heißt es, einen neuen Begriff von
der Oberfläche einer Kugel gewinnen?
In wiefern ist das dann ein Begriff von der
Oberfläche einer Kugel? Doch nur
insofern er sich auf wirkliche Kugeln anwenden
läßt.
| | |
| | | | |
Wieweit muß man einen Begriff vom ‘Satz’
haben, um die
R'sche mathem.
Logik zu verstehen? | | |
| | | | |
1.11.42. Wenn die
ˇintendierte Anwendung der
Math. wesentlich ist, wie steht es da
mit Teilen der Mathematik, deren Anwendung wenigstens oder doch
d[ie|as], was Mathematiker für eine die
Anwendung hielten halten, – gänzlich
phantastisch ist. So daß man, wie in der Mengenlehre,
einen Zweig der Math
treibt, von dessen Anwendung man sich einen ganz falschen Begriff
macht. Treibt man nun nicht doch
Mathematik?
| | |
| | | | |
2.11. Wenn die
arithm. Operationen
ˇlediglich zur Konstruktion einer Chiffre dienten wäre
ihre Verwendung natürlich grundlegend von der unsern
verschieden. Wären diese
Operationen dann aber überhaupt mathematische
Operationen?
| | |
| | | | |
Kann man von Dem, der eine Regel des Entzifferns anwendet,
sagen, er vollziehe mathem.
Operationen? Und doch lassen sich seine
Umformungen Transformationen | so auffassen.
Denn er könnte doch sagen, er berechne,
was bei der Entzifferung des
Zeichens … ˇnach der und der Regel herauskommen
müsse. // des Zeichens … gemäß
dem & dem Schlüssel herauskommen
müsse. // Und der Satz, ⌊:⌋ daß die Zeichen … dieser Regel
gemäß entziffert … ergeben
ist ein mathematischer. Sowie auch
der Satz daß man beim
Schachspiel von dieser
zu
jener kommen kann.
| | |
| | | | | Denke Dir
die Geometrie des vierdimensionalen Raums zu dem Zweck
betrieben, die Lebensbedingungen der Geister kennen zu lernen.
Ist sie darum nicht Mathematik? Und kann ich nun sagen
sie bestimme Begriffe?
| | |
| | | | | Würde es nicht seltsam klingen Wäre es
nicht seltsam |
von einem Kinde zu sagen, es könne ˇbereits tausende
& tausende von
Multiplikationen machen – womit man
(nämlich) ⌊ge⌋meint ˇsein
soll, es könne
bereits im unbegrenzten Zahlenraum rechnen.
Und könnte das
noch als eine ˇäußerst bescheidene
Ausdrucksweise gelten, da er (ja) nur
‘tausende & tausende’ statt
‘unendlich
viele’ sagt.
| | |
| | | | | Könnte man sich Menschen denken,
die im gewöhnlichen Leben etwa nur bis 1000 rechnen
& die Rechnungen mit höheren Zahlen zu
mathem. Untersuchungen über
die Geisterwelt vorbehalten hat.3
| | |
| | | | | ‘Jedes
Ding ist sich selbst gleich’. Betrachte:
“Jedes Ding ist sich selbst sehr
ähnlich”!
| | |
| | | | |
3.11. Warum nun hat
das ‘den Schein der Wahrheit’ & nicht
einfach den der Unsinnigkeit?
| | |
| | | | |
Nehmen wir an, die Bahnen zweier Körper kreuzten
sich, so daß die beiden sich zu einer in der Kreuzungsstelle zusammenfielen.
Man könnte dann sagen: wo sie
zusammenfallen sind sie einander gleich. Und das ist nicht
notwendig der Fall: denke etwa an eine
perspektivische Darstellung.
| | |
| | | | | Wenn wir zugeständen, daß ‘a
= a’ nichts sagt, ihn aber fragten ob er
sich nicht lieber mit
einem der beiden Sätze ‘a
= a’ und ‘a ≠
a’, ˇals mit dem andern einverstanden
erklärte; so ist kein Zweifel, er würde sich für
‘a = a’ entscheiden.
| | |
| | | | | Er würde sagen:
“Ein Ding ist jedenfallsc ˇsich
selbst nicht ungleich mit sich selbst”.
| | |
| | | | | Zu sagen “ein Ding
fällt mit sich selbst zusammen” ist eigentlich
eine Bestimmung dessen, was man
‘ein Ding’ nennt.
| | |
| | | | |
4.11. Was für
eine Art Satz ist eine Gleichung, wie
y
= 3x² + 4? Es
ist [j|J]edenfalls kein⌊er⌋ Satz der reinen Mathematik, obwohl er
nur aus ‘mathematischen’
Zeichen zusammengesetzt ist. besteht. |
Die Gleichung kann ein Satz der angewandten
Math. sein. In der reinen
Math. spielt ist sie
die Rolle eines Satzteils (etwa des
Satzes daß ihre Lösung für x = 1
y =
7 ist). (Und für
“x =
1” gilt ähnliches.)
| | |
| | | | | “Ob das nun von einer
wirklichen Kugelfläche gilt – von der
mathe-matischen gilt
es” – das erweckt den Anschein, als
unterschiede sich der mathem. Satz
von einem Erfahrungssatz
darin, daß wo die Wahrheit des Erfahrungssatzes schwankend
& ungefähr ist, der
mathem. Satz sein Objekt
exact & unbedingt wahr
beschreibt. Als wäre eben die
‘mathem. Kugel’
eine Kugel. Und man könnte sich etwa fragen ob es nur
eine solche Kugel, oder ob es mehrere gebe (eine
Fregesche
Fragestellung).
| | |
| | | | | Tut ein
Mißverständnis, die Anwendung
ˇbetreffend, der Rechnung als
ˇeinem Teil der Mathematik [e|E]intrag?
| | |
| | | | | Und abgesehen von einem
Mißverständnis, – wie ist es mit der bloßen
Unklarheit?
| | |
| | | | |
Wer glaubt, die Mathematiker haben ein seltsames Wesen, die
√‒1, entdeckt, quadriert nun doch ‒ 1
ergeäbe, kann
der nicht doch ganz gut mit komplexen Zahlen
[R|r]echnen & solche Rechnungen in der Physik
anwenden? Und sind's darum weniger
Rechnungen? In einer
Beziehung steht freilich sein Verständnis auf schwachen
Füssen; aber
aber er wird mit
völliger Sicherheit seine Schlüsse
ziehen, & sein, Kalkül wird auf festen
Füßen stehen.
| | |
| | | | |
Wäre es nun nicht lächerlich, zu sagen, dieser
triebe nicht Mathematik?
| | |
| | | | | Es erweitert Einer die
Math., & findet
neue gibt neue Definitionen & findet neue
Lehrsätze – – & in gewisser
Beziehung kann man sagen, er wisse nicht, was er tut. –
Er hat eine vague Vorstellung, etwas
entdeckt zu haben wie einen Raum (wobei er an
Zimmer denkt),
ein Reich erschlossen zu haben, & würde,
darüber gefragt, viel Unsinn reden.
| | |
| | | | | Denken wir uns den primitiven Fall,
daß Einer zu seinem Vergnügen ungeheure
Multiplikationen ausführte um ˇwie er sagt:
dadurch neue riesige Provinzen des Zahlenreichs zu
gewinnen.
| | |
| | | | | Denk
Dir das Rechnen mit der √‒1 wäre von einem Narren erfunden
worden, der bloß vom [p|P]aradoxen der Idee angezogen
die Rechnung als eine Art Gottes- oder Tempelsdienst Gottesdienst | des
Absurden treibt. Er bildet sich ein
das schlechthin
Unmögliche Unmögliche | aufzuschreiben & mit ihm zu
operieren.
| | |
| | | | | Mit
andern Worten: Wer an die mathematischen
Gegenstände glaubt & ihre seltsamen
Eigenschaften, – kann der nicht doch Mathematik
betreiben? Oder: – treibt der nicht auch
Mathematik?
| | |
| | | | |
5.11.
‘Idealer Gegenstand’. “Das
Zeichen ‘a’ bezeichnet einen idealen
Gegenstand” soll offenbar etwas über die Bedeutung, also
den Gebrauch von ‘a’ aussagen.
Und es heißt natürlich, daß dieser Gebrauch
in gewisser Beziehung ähnlich ist dem eines
Zeichens, d[en|as] ein⌊en⌋
Gegenstand ˇhat entspricht bezeichnet, & daß
(aber) keinen Gegenstand bezeichnet. Es ist
aber interessant, was
‘idealer Gegenstand’ aus
Factum macht.
| | |
| | | | |
Man könnte sich so
ausdrücken: “Der Name
‘Regan’ im Lear
bezeichnet eine ideale Person”.
| | |
| | | | | Man könnte unter Umständen von einer
endlosen Kugelreihe reden. – Denken wir uns eine
solche gerade endlose Kugel[r|R]eihe von
Kugeln in gleichen
Abständen & wir berechnen die Kraft, die alle diese
Kugeln nach einem
bestimmten Attractionsgesetz auf einen bestimmten
Körper ausüben. Die Zahl, die diese Rechnung
liefert, betrachten wir als das Ideal der Genauigkeit für gewisse
Messungen.
| | |
| | | | | Das
Gefühl des Seltsamen kommt hier von einem
Missverständnis. Der Art von
Mißverständnis, die ein Daumenfangen des Verstandes
erzeugt⌊ –⌋ [, d|. ⌊–⌋
D]em ich Einhalt
gebieten will.
| | |
| | | | |
Der Einwand, daß ‘das Endliche nicht das
Unendliche erfassen kann’ richtet sich
eigentlich gegen die Idee eines
psychologischen Aktes des Erfassens oder
Verstehens.
| | |
| | | | | Oder
denke Dir, wir sagen einfach: “Diese Kraft
entspricht der Anziehung einer [E|e]ndlosen Kugelreihe die
so & so angeordnet sind & den Körper nach diesem
Attractionsgesetz
anziehen”. Oder wieder:
“Berechne die Kraft die eine endlose Kugelreihe,
von der & der Beschaffenheit, auf einen Körper
ausübt!” – Dieser Befehl hat
doch gewiß Sinn. Eine bestimmte Rechnung ist
beschrieben.
| | |
| | | | |
Wie wäre es mit dieser Aufgabe:
“Berechne das Gewicht einer Säule ˇvon
sovielen aufeinander Platten, als es Kardinalzahlen gibt; die
unterste Platte wiegt 1 kg jede höhere immer die
Hälfte der vorhergehenden.”
| | |
| | / | | | Die
Schwierigkeit ist nicht die, daß wir uns keine
Vorstellung machen können. Es ist leicht genug
sich irgend Vorstellung
einer unendlichen Reihe, (oder von
dergl. z.B.,
zu machen. Es fragt sich: was nützt uns die
Vorstellung.
| | |
| | / | | | Denke Dir
unendliche Zahlen in⌊:⌋ einem Märchen
gebraucht. Die Zwerge haben soviele
Goldstücke aufeinander , als
es Kardinahlzahlen gibt etc. Was in einem
Märchen vorkommen kann, muß doch Sinn haben. –
| | |
| | / | | |
Denke Dir die Mengenlehre wäre als eine Art Parodie Mathematik von einem Satiriker erfunden
worden. – Später hätte man dann einen vernünftigen Sinn einen
Nutzen | in ihr gesehen
& sie zur in die Mathematik
gerechnet einbezogen.
(Denn wenn der eine sie als das Paradies der Mathematiker
ansehen kann, warum nicht ein andrer als einen ?)
| | |
| | / | | | Die Frage ist: ist sie
nun als Scherz nicht auch offenbar
Mathematik? –
| | |
| | | | | Und warum ist sie offenbar
Mathematik? – Weil sie ein Zeichenspiel nach
Regeln ist?
| | |
| | | | | Werden hier nicht doch
ˇoffenbar Begriffe gebildet[;| – ] auch wenn man sich
über deren Anwendung nicht im Klaren
ist? Aber wie kann man einen Begriff haben
& sich über seine Anwendung nicht im
Klaren sein? // nicht klar
sein? //
| | |
| | | | |
6.11. Nimm die Konstruktion des
Kräfteparallelogrammspolygons: ist das nicht ein
Stück
angewandter Mathematik? & wo ist der Satz der reinen
Mathematik der bei dieser graphischen Berechnung zu Hülfe genommen
wird? Ist dies nicht ein Fall wie der des Stammes,
welcher eine rechnerische Technik zum Zweck gewisser
Vorhersagungen hat, aber keine Sätze der reinen
Mathematik?
| | |
| | | | | Die
Rechnung die zur Ausführung einer Zeremonie
dient. Es werde z.B.
nach einer bestimmten Technik aus dem Alter des Vaters & der
Mutter & der Anzahl ihrer Kinder die Anzahl der Worte
einer Segensformel abgeleitet die auf das Haus der
Familie anzu-wenden
ist. In einem Gesetz wie dem
Mosaischen könnte man sich
solche
Rechenvorschriften niedergelegt denken Rechenvorgänge beschrieben denken | . Und
könnte man sich nicht denken, daß das Volk das
diese siediese zeremoniellen
Rechenvorschriften besitzt im praktischen Leben nie rechnet?
| | |
| | | | | Dies wäre zwar ein
angewandtes Rechnen, aber es würde nicht dem
Zweck Vorhersage dienen.
| | |
| | | | |
7.11. Wäre es
ein Wunder wenn die Technik des Rechnens eine Familie von
Anwendungen hätte?!
| | |
| | | | |
8.11.
Wie seltsam die Frage
ist ob in der unendlichen Entwicklung von π
die Figur φ(eine gewisse Anordnung von Ziffern,
z.B. ‘770’) vorkommen wird,
sieht man erst wenn man die Frage in einer ganz
hausbakkenen Weise zu stellen
versucht: Menschen sind ˇdarauf abgerichtet worden nach
einer gewissen Regel⌊n⌋ Zeichen zu setzen. Sie
verfahren nun dieser Abrichtung gemäß & wir
fragen sagen es sei ein Problem, ob sie der
gegebenen Regel folgend jemals
diese Figur φ
anschreiben werden.
| | |
| | | | |
Was aber sagt der,
, wie Weyl, sagt, eines sei klar: man werde oder werde
nicht, in der endlosen Entwicklung auf φ
kommen?
| | |
| | | | |
Mir scheint, wer dies sagt, stellt schon selbst eine Regel,
ˇoder ein Postulat auf.
| | |
| | | | |
Wie, wenn man auf eine Frage hin
erwiederte: ‘Auf diese Frage gibt es bis
jetzt noch keine Antwort’?
| | |
| | | | | So könnte etwa der Dichter antworten der
gefragt wird ob der Held seiner Dichtung eine
Schwester hat oder nicht – wenn er nämlich noch nichts
darüber entschieden hat.
| | |
| | | | | Die Frage – will ich sagen
– verändert ihren Status, wenn sie entscheidbar
wird. Denn ein Zusammenhang wird dann gemacht,
der früher nicht da war.
| | |
| | | | | Man kann von dem Abgerichteten fragen:
‘wie wird er die Regel deuten?’, oder auch ‘wie
soll er die Regeln ˇfür diesen Fall
deuten’. Wie aber, wenn über diese Frage
keine Entscheidung getroffen wurde? – Nun, dann
ist die Antwort nicht: ‘er soll
sie so deuten, daß φ in der Entwicklung
vorkommt’ oder: od ‘er
soll sie so deuten daß es nicht vorkommt’, sondern:
‘darüber ist noch nichts entschieden’.
| | |
| | | | | Wir mathematisieren mit
den Begriffen. – Und mit gewissen Begriffen mehr als
mit andern.
| | |
| | | | |
10.11. Ich will
sagen: Es scheint, als ob ein
Entscheidungsgrund bereits vorläge; & er
muß erst erfunden werden.
| | |
| | | | | Käme das darauf hinaus,
zu sagen: Man benutzt beim über die gelernte Technik des
Entwickelns das Falsche Bild einer vollendeten
Entwicklung (dessen, was man für gewöhnlich
‘Reihe’ nennt) & wird dadurch gezwungen
unbeantwortbare Fragen zu stellen.
| | |
| | | | | Denn schließlich müßte sich
doch jede Frage über die Entwicklung von √2 auf eine
praktische Frage, die Technik des Entwickelns betreffend,
bringen lassen // von √2 in Form einer
praktischen Frage die Technik … stellen lassen // // von √2 als prak-tische Frage … stellen lassen // .
| | |
| | | | | Und es handelt sich hier
natürlich nicht nur um den Fall der Entwicklung einer
Reellen Zahl oder
überhaupt ◇◇◇
ein die Erzeugung mathematischer
Zeichenspiel,
sondern um jeden analogen Vorgang, er sei ein Spiel, oder ein
Tanz, etc etc.
| | |
| | | | | Wenn Einer den Satz
vom ausgeschlossenen Dritten ˇuns als
fundamentale größte Wahrheit
uns vorhält, so ist klar, daß mit seiner Frage
etwas nicht in Ordnung . // uns als
größte Wahrheit vorhält, der man nicht entgehen
, – so ist
… // // Wenn
Einer uns den Satz vom
Ausg.
Dritten einhämmert, dem nicht zu entgehen sein, – so
ist klar … //
| | |
| | | | | Wenn einer den Satz vom
Ausg Dritten
aufstellt so legt er uns gleichsam zwei Bilder zur Auswahl
vor & sagt eins müsse der Tatsache
entsprechen. Wie aber, wenn es fraglich ist, ob
⌊sich die Bilder ˇhier anwenden lassen?⌋
| | |
| | | | | Und wer von der endlosen
Entwicklung sagt sie müsse entweder die Figur φ
enthalten oder sie nicht enthalten zeigt uns
sozusa-gen das Bild
einer in die Ferne verlaufenden unübersehbaren Reihe.
| | |
| | | | | Wie aber, wenn das Bild
in weiter Ferne zu flimmern anfinge?
| | |
| | | | | Von einer unendlichen Reihe zu sagen,
sie enthielte eine bestimmte Figur nicht, hat nur
unter ganz
Bedingungen Sinn.
| | |
| | | | |
11.11.
D.h., ⌊:⌋
man hat diesem Satz nur für gewisse Fälle Sinn
gegeben.
| | |
| | | | | Ungefähr
den: Es ist nicht
im Gesetz dieser Reihe, keine Figur … zu
enthalten. Ferner,
man könnte sagen: Wie …
Ferner: (So) wie ich die Entwicklung
weiterrechne, errechne ich etwas neues über das Gesetz
der Reihe. // errechne ich neue
Gesetze, denen die Reihe folgt. // // weiterrechne, leite ich neue Gesetze ab, denen die Reihe
folgt. //
| | |
| | | | | “Nun gut, – so
können wir sagen: ‘Es muß entweder im
Gesetz der Reihe liegen, daß die Figur
in der Entwicklung vorkommt, oder das Gegenteil’.” // , oder
daß sie nicht vorkommt’.” Aber ist
das so? – “Nun, determiniert das
Entwicklungsgesetz die Reihe denn nicht
vollkommen?”
Und wenn sie es das tut,
keine [z|Z]weideutigkeiten läßt, dann muß
sie es, implicite, alle
Eigenschaften der Reihe bestimmen.” // mitbestimmen.” // // es implicite alle
Fragen die Struktur der Reihe betreffend
entscheiden.” // –
Du denkst da an die endlichen Reihen.
| | |
| | | | | ‘Aber es sind doch alle Glieder
der Reihe bestimmt vom 1sten bis zum
1000sten, bis zum 10¹⁰-ten,
etc. etc. u.s.f., bestimmt; also sind doch alle Glieder
bestimmt.’ Das ist richtig, wenn es
heißen soll es sei nicht
(etwa) das so-&-so-vielte
nicht bestimmt. Aber Du siehst ja, daß
das Dir keinen Aufschluß darüber gibt, ob
Figur …
(je) in der Reihe erscheinen wird
(wenn sie ˇso weit nicht schon erschienen
ist). ⌊⌊ˇ Wir sehen also, daß wir ein
irreführendes Bild gebrauchen. ⌋⌋
| | |
| | | | | Willst Du mehr über die Reihe
wissen, so mußt Du, so zu sagen, in eine andere Dimension
(gleichsam wie aus der Linie in
eine sie umgebende Ebene in die Ebene | ) gehen. – Aber ist denn die Ebene nicht
eben da, so wie die Linie, ◇◇◇
nicht die Ebene da, wie die Linie, | & nur zu
erforschen, wenn man wissen will, wie es sich
verhält?
| | |
| | | | | Nein, die Mathematik dieser
weiteren
[d|D]imension muß so gut erfunden werden, wie jede
Mathematik.
| | |
| | | | | In
einer Arithmetik, in der man nicht weiter als 5 zählt, hat die
Frage, wieviel 4 +
3 ist noch keinen Sinn. Wohl aber kann existieren, dieser Frage
(einenc) Sinn zu geben.
D.h.: die Frage hat so wenig
Sinn, wie der Satz vom ausgeschlossenen Dritten, auf sie
angewendet.
| | |
| | | | | Man
meint in dem Satz vom Ausg.
Dritten ˇschon etwas Festes zu
haben, was jedenfalls nicht in
Zweifel zu ziehen ist. Während in Wahrheit der
Sinn dieser Tautologie (wenn man so sagen darf) ebenso
schwankend ist wie der der Frage, ob p oder ~p
der Fall ist. // Während in Wahrheit
diese Tautologie einen ebenso schwankenden Sinn (wenn ich so
sagen darf) hat, wie die Frage ob p oder
~p der Fall ist.) // // wie die Frage, ob die eine, oder die andere
Alternative wahr ist. //
| | |
| | | | |
12.11. Denke, ich
fragte, ⌊:⌋ Was meint man
damit “die Figur … kommt in dieser
Entwickelung
vor?”. So wird man antworten:
“Du weißt doch was das heißt⌊.⌋
– [s|S]ie kommt vor, wie z.B. die
Figur … in jeder
Entwicklung … ˇtatsächlich
vorkommt ◇◇◇.”
– Wohl; – aber wie kann ich
diese Analogie nun ? Denn ich verstehe wohl, wenn man
mir nun sagt: “Kommt die Figur 159 in den
ersten 100 Stellen von √2 vor; wie sie in den ersten 10 Stellen
von π vorkommt?” // Sie kommt
vor, wie die Figur … in der Entwickelung
tatsächlich vorkommt” – Also so
kommt sie vor? – Aber wie ist
das? // Denke Dir, man
sagte: “Entweder sie kommt
so vor, oder sie kommt nicht so
vor”!
| | |
| | | | |
‘Aber verstehst Du denn wirklich nicht, was gemeint
ist?!’ – Aber kann ich nicht
glauben, ich verstehe es &
mich irren? –
| | |
| | | | |
Wie weiß ich denn, was es heißt: die
Figur … komme in der Entwicklung vor? Doch durch
Beispiele ( – die mir zeigen, wie das ist, wenn
… Diese Beispiele zeigen mir aber nicht, wie es ist, wenn
die Figur in der Entwicklung nicht vorkommt!
| | |
| | | | | Könnte man nicht sagen: wenn
ich wirklich ein Recht
hätte zu sagen, diese Beispiele lehren micht, wie es ist
wenn die Figur in der Entw.
vorkommt, so müßten sie mir auch zeigen, was das Gegenteil des
Satzes bedeutet.
| | |
| | | | |
Der allgemeine Satz die Figur kommt in der
Entw. nicht vor kann nur ein
Gebot sein.
| | |
| | | | | Wie wenn man die
math. Sätze als Gebote
ansieht & sie auch als solche ausspricht?
“25² gebe
625!”
Nun, – ⌊–⌋
–,
ein Gebot hat eine innere & eine äußere
Verneinung.
| | |
| | | | | Die Symbole
“(x).φx”
& “(∃x).φx”
sind wohl nützlich in der Math.,
wenn man im übrigen die Technik der des
Beweisees der
Existenz oder
[n|N]icht⌊-⌋Existenz kennt auf den sich die
Russellschen Zeichen
hier beziehen. Wird dies aber offen
gelassen so sind diese Begriffe der alten Logik äußerst
irreführend.
| | |
| | | | | Wenn
Einer sagt: “aber Du weißt doch was ‘die
Figur kommt in der Entw.
vor’ bedeutet, nämlich das” –
& zeigt auf einen Fall des Vorkommens, – so kann
ich nur erwidern, daß was er mir
zeigt verschiedene Fakten illustrieren
kann. Man kann daher nicht sagen ich wisse was der Satz
heißt, weil ich weiß, daß er ihn in diesem Fall
gewiß anwenden wird.
| | |
| | | | | Das
Gegenteil von “es besteht ein Gesetz, daß
p” ist nicht: “es besteht ein Gesetz,
daß ~p”. Drückt man aber
das erste durch P, das
durch ~P aus, so wird man in
[s|S]chwierigkeiten geraten. | | |
| | | | |
13.11. Wie, wenn den Kindern
beigebracht wird, die
sei eine unendliche Ebene; oder
Gott habe eine unendliche Reihe von
Sternen geschaffen; oder ein Stern fliege in einer geraden Linie
gleichförmig immer weiter & weiter ohne je
aufzuhören. Seltsam: wenn man so
etwas als selbstverständlich, gleichsam ganz ruhig,
aufnimmt, so verliert es alles paradoxe. Es ist als sagte
jemand: Beruhige Dich, diese
Reihe, oder Bewegung, läuft fort & fort ohne je
aufzuhören. Wir sind sozusagen der Mühe
überhaben (je) an ein Ende zu
denken.
| | |
| | | | | ‘Wir werden ein Ende nicht in
Betracht ziehen’. (We won't bother
about an end.)
| | |
| | | | | Man
könnte auch sagen: ‘für uns ist die Reihe
endlos’.
| | |
| | | | |
‘Wir werden uns um ein Ende der Reihe nicht
bekümmern; für uns ist es immer
unabsehbar.’
| | |
| | | | |
14.11. Nicht
‘abzählbar’ sollte es heißen –
von den rationalen Zahlen etwa – sondern
‘abzählfähig’. Man kann die
rationalen Zahlen nicht
abzählen, weil man sie nicht zählen kann aber man kann mittels der rationalen Zahlen
zählen wie mit den Kardinalzahlen.
Die Ausdrucksweise
gehört mit zu dem ganzen System der Vorspiegelung daß wir mit ˇdem neuen Apparat
d[er|ie] unendlichen Mengen mit der Sicherheit behandeln, wie bis dahin nur die
endlichen.
| | |
| | | | |
15.11. Aber wo ist
hier das Problem? Warum soll ich nicht sagen,
[;|,] was wir Mathematik
nennen sei eine Familie von Tätigkeiten zu einer Familie
von Zwecken.
Die Menschen könnten z.B. Rechnungen
zu⌊m⌋ ˇZweck einer Art ⌊von⌋ Wettrennen
gebrauchen. Wie Kinder ja wirklich manchmal um die
Wette rechnen; nur daß diese Verwendung bei uns eine ganz untergeordnete keine große | Rolle spielt.
| | |
| | | | | Oder das Multiplizieren
könnte uns viel schwerer fallen, als es tut – wenn wir
z.B. im
Gedächtnis nur mündlich rechneten,
& um uns eine Multiplikation zu merken, sie also zu erfassen,
wäre es nötig sie in die Form eines gereimten Gedichts zu
bringen. Wäre dies dann
einem Menschen gelungen, so hätte er das Gefühl, eine
große, wunderbare Wahrheit gefunden zu haben.
Es wäre sozusagen für jede neue Multiplikation eine neue
individuelle Arbeit nötig.
| | |
| | | | | Wenn diese Leute nun
glaubten, die Zahlen wären Geister & durch ihre
Rechnungen erforschten sie das Geisterreich, oder
zwängen die Geister, sich zu offenbaren – wäre dies nun
Arithmetik? Oder – wäre es auch dann
Arithmetik, wenn diese Menschen die Rechnungen
zu nichts anderm gebrauchten?
| | |
| | | | | (Ich suche einen Abstieg.)
| | |
| | | | | Der Vergleich mit der Alchemie liegt
nahe. Man könnte von einer Alchemie in der
Mathematik reden.
| | |
| | | | | ‘Man kennt sich nicht
aus’ heißt nicht: man weiß nicht, wo man geht –
sondern, man weiß nicht wohin diese Richtung führen
wird & wohin jene andere führen wird. Ich
meine: wer sich im Wald verloren hat, sieht
den Fleck
um ihn herum klar vor sich, aber die
Geographie des Waldes kennt er doch nicht. // Waldes ist ihm doch
unbekannt⌊.⌋ // ,
D.h., er wird sich
verloren fühlen, obwohl er seine Umgebung klar vor sich
sieht. So kennt man sich in den
‘Grundlagen’ der
Math. nicht aus – nicht, weil
man nicht weiß, was man tut; sondern weil die Geographie der
ˇgroßen Zusammenhänge ˇuns unbekannt
ist.
| | |
| | | | |
Charakterisiert schon das die
mathem. Alchimie, daß Macht schon das die … aus, daßIst schon das die
… die
mathem. Sätze
als Aussagen über
mathem. Gegenstände
betrachtet werden, – also die
Math. als die Erforschung dieser
Gegenstände?
| | |
| | | | |
In einem gewissen Sinn kann man in der
Math. darum nicht an die Bedeutung
der Zeichen appellieren, weil die
Math. ihnen erst die Bedeutung
gibt.
| | |
| | | | | Es ist
das typische der Erscheinung von welcher ich [R|r]ede,
daß das mysteriöse an irgend einem
mathem. Begriff nicht
sofort als Fehler irrige
Auffas-sung, als
Fehlbegriff, gedeutet wird; sondern als etwas, was ˇjedenfalls
nicht zu verachten, vielleicht sogar ˇeher zu
respectieren ist.
| | |
| | | | |
Alles was ich kann ist einen leichten Weg aus dieser
Unklarheit & dem Glitzern der Begriffe zeigen.
| | |
| | | | | Man kann
seltsamerweise sagen, daß an allen diesen glänzenden
Begriffsbildungen ein sozusagen solider Kern
ist. Und ich möchte sagen, daß der es ist der sie
zu mathem. Produkten
macht.
| | |
| | | | | Man könnte sagen: Was
Du siehst schaut freilich mehr wie eine glänzende Lufterscheinung
aus; aber sieh sie von einem einer
andern Winkel Seite an & [d|D]u
siehst sie als soliden
Körper, der nur von aus jener Richtung
aus gesehen &
unkörperlich aussieht. // der nur
jener Richtung wie ein Glanz ohne
körperliches Substrat aussieht. // // der nur aus jener Richtung wie ein Glanz aussieht der
zu keinem Körper gehört. //
| | |
| | | | | Ich fürchte sehr
für die Gesundheit meiner
Nerven. Sie sind sehr stark belastet. | | |
| | | | |
16.11. Ich habe die Tiefe
nicht einfach durch Weite ersetzt.
| | |
| | | | |
‘Die Figur ist in der Reihe, oder sie ist nicht in der
Reihe’ heißt: entweder schaut die Sache so
aus oder sie schaut nicht so aus.
| | |
| | | | | Wie weiß man, was das Gegenteil des
Satzes “φ kommt in der Reihe vor”, oder auch des
Satzes “φ kommt nicht in der Reihe vor”
bedeutet? Diese Frage klingt unsinnig, hat aber
doch einen Sinn.
Nämlich: wie weiß ich, daß ich den
Satz, “φ kommt in der Reihe vor”,
verstehe. Es ist wahr ich kann
Beispiele geben für das Vorkommen &
Nicht-Vorkommen. // geben für den
Gebrauch solcher Aussagen, & auch der
gegenteiligen. // Und sie sind
Beispiele dafür, daß es eine Regel gibt, die das Vorkommen in
einer bestimmten Zone, oder einer Reihe von Zonen,
vorschreibt, oder ˇbestimmt daß Vorkommen ausgeschlossen ist.
| | |
| | | | | Wenn “Du tust es”
heißt: Du mußt es tun, & “Du
tust es nicht” heißt: Du
darfst es nicht tun – dann ist “Du tust es, oder Du tust
es nicht” nicht der Satz vom ausgeschlossenen
Dritten.
| | |
| | | | | Jeder
fühlt sich ungemütlich bei de[r|m] Idee
Gedanken, ein Satz
, in der endlosen Reihe
komme das & das nicht vor[.| –]
[d|D]dagegen hat es gar nichts befremdliches
daß ein Befehl in
dieser Reihe dürfe, soweit sie auch fortgesetzt werde, das
nicht vorkommen.
| | |
| | | | |
Woher aber dieser Unterschied zwischen:
“soweit Du auch
gehst, wirst Du das nie finden” – &
“soweit Du auch gehst darfst Du das nie
tun”?
| | |
| | | | |
Auf jenen Satz kann man fragen: “wie kann man so
etwas wissen”, aber nichts analoges gilt vom
.
| | |
| | | | | Die Aussage scheint sich zu
übernehmen, der Befehl aber gar nicht.
| | |
| | | | | Kann man sich denken, daß alle
mathematischen Sätze im Imperativ ausgesprochen
würden? Z.B.:
“10 × 10
sei 100”
| | |
| | | | | Und wer nun
sagt: “Es sei so, oder es sei nicht so”,
der spricht nicht den Satz vom
ausgeschl. Dritten aus, –
eine Regel.
(Wie ich es weiter oben
einmal gesagt habe.)
| | |
| | | | |
17.11. Aber ist das
wirklich ein Ausweg aus der Schwierigkeit? Denn wie
verhält es sich dann mit allen anderen
mathem. Sätzen, sagen wir
25² =
625, gilt für diese nicht der Satz vom
ausg. Dritten
innerhalb der Mathematik?
| | |
| | | | | Wie wendet man denn den Satz vom
ausg.
Dritten an?
| | |
| | | | |
18.11. “Es
gibt entweder eine Regel die es geverbietet, oder eine, die
es vergebietet”
| | |
| | | | | Angenommen, es gibt keine Regel die das Vorkommen
verbietet, – warum soll es dann eine [G|g]eben, die es
gebietet?
| | |
| | | | | Hat es
Sinn zu sagen: “Es gibt zwar keine Regel die das
Vorkommen verbietet, die Figur kommt aber tatsächlich doch
nicht vor”? – Und wenn das nun keinen Sinn
hat wie kann das Gegenteil davon Sinn
haben, nämlich, die Figur komme
vor?
| | |
| | | | | Nun,
wenn ich sage, sie kommt vor, schwebt mir das Bild der Reihe vor, von
ihrem Anfang bis zu Figur
– wenn ich aber sage die Figur komme nicht vor, so
nützt mir kein ˇsolches Bild der
Reihec. // so nützt mir kein solches
Bild, & die Bilder gehen mir aus. //
| | |
| | | | | Wie, wenn die Regel
sich beim Gebrauch unmerklich biegen würde? Ich
meine so, daß ich von verschiedenen Räumen sprechen
könnte, in denen ich sie gebrauche.
| | |
| | | | | Das Gegenteil von “ darf nicht vorkommen” heißt
“ darf vorkommen”.
Für ein endliches Stück der Reihe aber scheint
das Gegenteil von “ darf in ihm
nicht vorkommen” zu sein: “ muß ˇdarin
vorkommen”.
| | |
| | | | |
19.11. Das Seltsame
in der Alternative “φ kommt in der
unendl. Reihe vor, oder es kommt
nicht vor” ist, daß wir uns die beiden Möglichkeiten
// ◇◇◇ //
vorstellen müssen, daß
wir nicht wie sonst nach einer Vorstellung für
jedes ˇbesonders suchen, & daß nicht wie sonst
eine zureicht für den negativen
Fall & für den positiven zureicht.
| | |
| | | | | Wie weiß ich, daß der allgemeine
Satz “Es gibt …” hier Sinn
hat? Nun, wenn er zu einer Mitteilung ˇüber
die Technik des Entwickelns in einem Sprachspiel verwendet
werden kann.
| | |
| | | | |
Eine Mitteilung heißt: “es darf nicht
vorkommen” – d.h.:
wenn es vorkommt, hast Du falsch gerechnet.
Eine heißt:
“es darf vorkommen”, d.h., es
existiert so ein Verbot nicht. Eine
heißt: “es muß in de[n|r] &
de[n|r] Inter Region (an Stellen, immer in Regionen)
vorkommen”. Das Gegenteil ˇdavon aber
scheint zu sein: “es darf – dort &
dort – nicht vorkommen”, ⌊–⌋ statt “es muß dort nicht
vorkommen”. Wie aber, wenn man die
Regel gäbe, daß, z.B., überall, wo
die Bildungsregel von π 4 ergibt, statt der 4 auch eine
beliebige andere Ziffer gesetzt werden kann.
Zieh auch die Regel in Betracht die an gewissen Stellen eine
Ziffer verbietet, aber im übrigen die Wahl
offen läßt.
| | |
| | | | |
20.11. Ist es nicht
so? [d|D]ie Begriffe in den
mathematischen Sätzen von den unendlichen
Dezimalbrüchen sind nicht Begriffe von Reihen, sondern von der
unbegrenzten Technik des Entwickelns von Reihen.
| | |
| | | | | Wir lernen eine endlose
Technik: D.h., es wird uns etwas
vorgemacht, wir machen es nach; es werden uns Regeln gesagt &
wir machen Übungen in ihrer Befolgung;
es wird dabei vielleicht auch Ausdruck wie
“u.s.f. ad inf.” gebraucht,
aber damit ist nicht von ˇirgend einer Ausdehnung die Rede. // , aber es ist damit von keiner riesenhaften
Ausdehnung die Rede. //
| | |
| | | | | Das sind die
Fa[c|k]ten. Und was heißt es nun:
“φ kommt entweder in der Entwicklung vor, oder es kommt
nicht vor”[!|?]
| | |
| | | | |
Aber heißt das nun, daß es kein Problem gibt:
“Kommt die Figur φ in dieser Entwicklung
vor?”? – Wer das fragt
fragt & nach einer Regel das Vorkommen
von φ betreffend. Und die Alternative des
Existierens oder Nichtexistierens so einer Regel ist
jedenfalls keine mathematische.
| | |
| | | | | Erstc innerhalb einem,
erst zu errichtenden,
mathem. Gebäude
wird die Frage zur
mathematischen. // wird die Frage zur
Forderung einer mathematischen
Entscheidung. // // mathem.
Gebäude läßt die Frage eine
mathem Entscheidung zu
& wird somit zur Forderung einer solchen
Entscheidung. //
| | |
| | | | | Ist denn das Unendliche nicht
wirklich – kann ich nicht sagen: “diese zwei
Kanten der Platte schneiden sich im Unendlichen”?
| | |
| | | | | Nicht “der Kreis hat diese
Eigenschaft weil er durch die beiden unendlich fernen Punkte …
geht”; sondern: “die Eigenschaften des Kreises
lassen sich aus dieser (merkwürdigen) Perspektive
”.
| | |
| | | | | Es ist wesentlich
eine Perspektive & eine weithergeholte.
(Womit kein Tadel
ausgesprochen ist.) Aber es muß
immer ganz klar sein wie weit hergeholt diese
Anschauungsart ist. Denn sonst ist ihre eigentliche
Bedeutung im Dunkeln.
| | |
| | | | | Was heißt das?:
“der Mathematiker weiß nicht was er tut”, oder
“er weiß was er tut”?
| | |
| | | | |
23.11. Kann man
unendliche Vorhersagungen machen? – Nun, warum soll
man nicht z.B. das Trägheitsgesetz
eine solche nennen? Oder den Satz, daß
sich ein Komet eine Parabel beschreibt?
In gewissem Sinne wird freilich
ihre [u|U]nendlichkeit nicht sehr ernst
genommen.
| | |
| | | | | Wie
ist es nun mit einer Vorhersagung daß, wer π entwickelt, so weit er auch
, nie auf die Figur
φ stoßen wird? – Nun, man
könnte sagen, daß dies entweder eine
unmathematische Vorhersagung ist, oder
(aber) eine mathematische Regel.
| | |
| | | | | Jemand, der das
Entwickeln von √2 entwickeln gelernt hat
geht zu einer ◇◇◇
ˇ◇◇◇ Wahrsagerin, & sie
weissagt ihm, daß er
sie, soweit er auch die √2 entwickeln mag, ˇer
nie
zur ˇeiner
Figur … gelangen wird. Ist ihre
Weissagung ein mathem. Satz Proposition?
Nein[,|.] – [a|A]ußer sie
sagt: “wenn Du immer richtig
entwickel⌊s⌋t hast, wirst Du dahin kommen”. entwickeln
wirst, kommst Du nie
…. Aber ist
das noch eine Vorhersage?
| | |
| | | | |
Es scheint nun, daß so eine Vorhersage des richtig
entwickelten denkbar wäre und sich von einem
mathem. Gesetz, daß es sich so
& so verhalten muß, unterschiede.
So daß es in der
ˇmathem. Entwicklung einen
Unterschied gäbe zwischen dem, was
tatsächlich so herauskommt – zufällig – & dem, was
herauskommen muß.
| | |
| | | | |
24.11. Wie soll man
es entscheiden ob eine
unendliche Voraussage Sinn hat? So
jedenfalls nicht, man sagt:
“ich bin weiß doch offenbar, was ich sicher,
ich meine etwas, wenn ich sage
…”.
| | |
| | | | | Auch ist wohl nicht so sehr die Frage,
ob die Voraussage irgend einen Sinn hat, als: was für eine
Art von Sinn sie hat. (Also,
ˇin welchen Sprachspielen mit
sie vorkommt.)
| | |
| | | | |
25.11. Die
Mathematiker lieben einen haut-goût an ihren Sätzen,
der, wie überall, dadurch zustande kommt, daß etwas in Fäulnis übergegangen
ist von der Fäulnis
herrührt.
| | |
| | | | |
‘Übereinstimmung’
heißt zum Teil, ˇder Friede
& ˇdie Eintracht.
| | |
| | | | | Ein Traum: Ich
lebte in einer Wohnung, wie in einem Wiener Mietshaus.
Im gleichen Stock neben mir hatte
Smythies eine Wohnung; im
ersten
Stockwerk unter ihm
Timy Moore. Ich
sehe diesen öfters & wir musizieren. –
Ich trete einmal vor mir und ein
Portier der aus
S.'s Türe kommt sagt mir etwas in
spaßhafter Weise (ich
habe das Wort vergessen, welches er gebrauchte) woraus
ich entnehme daß
S. gestorben sei. Ich hatte ihn abwesend
geglaubt, aber er muß ohne mein Wissen zurückgekommen,
sein krank gewesen & gestorben sein.
Ich bin sehr von der Nachricht
betroffen, denke, daß er Moore & mich musizieren gehört hat
& allein krank gewe-sen ist
& mich nicht gerufen hat. – Ich gehe
dann in
S.'s Wohnung & treffe da seinen Vater, der
komisch aussieht, mehr wie eine Frau. Ich frage ob
S. eine
für mich hinterlassen habe, oder etwas über mich
gesagt habe. Es war auf einem großen Tisch ein Bild da
mit andern Sachen aus dem Nachlaß das
S. als Andenken für mich bestimmt hatte & eine
Landkarte für einen Herrn in so & so (Namen
vergessen) in Prag.
Ich war ein wenig auf diesen, den
S. kaum gekannt haben konnte, eifersüchtig, sagte mir
aber dass ein Bild doch von mehr Zuneigung zeuge
als eine Landkarte. – Wurde von großer Angst
für Francis befallen,
der irgendwo auf dem Lande sei & von dem ich lange nicht gehört
hatte. Ich sagte mir, daß ich ihm gleich telegraphieren
müsse und erfahren wie es ihm geht. – Ich wachte
mit Angst und Besorgnis auf.
| | |
| | | | |
28.11.
“Der unheilvolle
Einbruch” der Logik in die Mathematik.
| | |
| | | | | Denke Dir Menschen die keine
Gelegenheit hätten
je mehr als 1000 zu
zählen, – die aber dennoch mit Zahlen über
Tausend rechneten. [s|S]ie sagen z.B.
1000²
= = 100² + 900²
+ 180000
| | |
| | | | |
1.12. Was kann man
eigentlich an der naiven Auffassung der ‘mathematischen
Realität’ falsch
nennen, ⌊ –⌋
abgesehen von dem Abstoßenden der Auffassung
–?
| | |
| | | | |
In dem so vorbereiteten Feld ist das ein
Existenzbeweis.
| | |
| | | | | Das
Verderbliche der logischen Technik ist, daß sie uns die
spezielle
mathem. Technik vergessen
läßt // macht // .
Während die logische Technik nur eine Hilfstechnik in der
Math ist.
ˇZ.B. gewisse Verbindungen
zwischen anderen Techniken herstellt.
| | |
| | | | | Es ist beinahe als wollte man
sagen, daß das Tischlern im Leimen besteht.
| | |
| | | | |
So könnte man Dedekinds Theorem ableiten wenn, was wir irrationale Zahlen nennen ganz
unbekannt wäre, wenn es aber
eine Technik gäbe, die Stellen vor Dezimalzahlen zu
würfeln. Und dieses Theorem hätte dann seine
Anwendung auch wenn es die Mathematik der irrationalen Zahlen
nicht gäbe. Es ist nicht, als sähen die
Dedekindschen
Entwicklungen die alle
besonderen irrational reellen Zahlen schon voraus. Es scheint
nur so, sobald man d[ie|en] D.sche⌊n⌋
Technik Kalkül mit den Kalkülen
der besonderen reellen Zahlen vereinigt.
| | |
| | | | |
Der Beweis
überzeugt Dich davon, daß es eine Wurzel der Gleichung
gibt (ohne Dir eine Ahnung zu geben wo) – –
wie weißt Du, daß Du den Satz verstehst, es gebe eine
Wurzel? Wie weißt Du daß Du wirklich von etwas
überzeugt bist? Du magst davon
überzeugt sein, daß sich die Anwendung des bewiesenen
Satzes finden lassen wird. Aber Du verstehst ihn nicht
solange Du sie nicht gefunden hast.
| | |
| | | | | Wenn
ein Beweis allgemein beweist, es gebe eine Wurzel, so
kommt alles darauf an, in welcher Form er das beweist. Was
es ist, das hier zu diesem Wortausdruck führt, der ein
bloßer Schein ist & die
Hauptsache verschweigt. Während er
den Logikern nur die Nebensache zu verschweigen
scheint.
| | |
| | | | |
2.12. Was hat die
Beweismethode zu tun mit dem, was bewiesen ist?
| | |
| | | | | Der eine Beweis ˇsagt Dir
(als wäre er eine Person) sagt
Dir daß dies vorkommt. Der andere
ˇsagt Dir, wo es vorkommt. – So scheint
es. Und es ist als käme es gar nicht mehr drauf an
wie jener Satz bewiesen wurde. Genug,
daß er bewiesen ist & wir nun wissen, daß es
vorkommt
¤. Wir können es dann gleichsam unsern
Kindern überliefern (hand down) ¤ … komme
vor. Und sie werden so wenig wissen wie
wir. Es klingt dann mehr wie eine Fabel. Und
könnte vielleicht die Rolle einer Fabel spielen.
| | |
| | | | | ‘Wir
annehmen, daß
… irgendwo 0
wird’. Dieser Satz ist nur darum nicht ein
bloßer Mythus, weil sein Beweis der Anfang einer
Ortsbestimmung ist. Oder vielmehr: Der
Satz der als Existenzialsatz angesehen ein
Mythus ist, ist es darum nicht in einer andern
Beleuchtung.
| | |
| | | | |
Der Satz als
Existenzsatz Existenzialsatz | sagt uns, so zu sagen, ein Geheimnis.
| | |
| | | | |
3.12. Der Beweis zeigt
dieses Bild der Sache. – Aber damit ist es
noch nicht klar, was wir mit diesem Bild anfangen
können.
| | |
| | | | | Das Bewiesene sagt
“es ˇder Ausdruck muß irgendwo
0 werden”: Aber nun kommt alles darauf an, auf welche Weise der an,
wie der | Beweis das
sagt; ob das nun ein guter, oder ein, im Ganzen, irreführender
Ausdruck des Bewiesenen war, wird sich auf diese Weise
zeigen[,|.] Der Beweis kann Dich lehren, wie der
Satz etwa anzuwenden wäre.
| | |
| | | | |
8.12.
“Abzählbar” dürfte es nicht heißen,
dagegen hätte es [s|S]inn zu sagen
“numerierbar”. Und dieser Ausdruck
läßt auch Anwendung des Begriffs
erkennen. Denn man
kann zwar die
R⌊r⌋nal⌊en⌋[z|Z]ahlen nicht
abzählen wollen, wohl aber kann man ihnen Nummern zulegen
wollen.
| | |
| | | | | Das
mathematisch Allgemeine steht zum mathematisch Besonderen nicht
in dem Verhältnis wie sonst das Allgemeine zum
Besondern.
| | |
| | | | |
Alles was ich sage kommt eigentlich darauf hinaus, daß man einen
Beweis kennen kann & ihm auch Schritt für Schritt folgen
kann, & dabei doch, was bewiesen
w[ü|u]rde,
nicht ver-steht.
| | |
| | | | | Und das hängt wieder damit
zusammen, daß man einen
ˇmathem. Satz
richtig grammatisch richtig bilden kann
ohne seinen Sinn zu verstehen.
| | |
| | | | | Wann versteht man ihn nun? – Ich glaube: wenn man ihn anwenden
kann. Man könnte
vielleicht // könnte
auch // sagen: wenn man ein klares Bild von seiner
Anwendung hat. Das heißt aber
[d|D]azu aber genügt es nicht, daß man
ein klares Bild mit ihm verbindet.
Vielmehr wäre besser gewesen zu sagen: wenn
man eine klare Übersicht von seiner Anwendung
hat. Und auch das ist schlecht, denn es handelt sich nur
darum daß man die Anwendung nicht dort vermutet wo sie nicht
ist; daß man sich von der Wortform des Satzes nicht
täuschen läßt.
| | |
| | | | | Wie kommt es aber nun daß man einen
Satz, oder Beweis, auf diese Weise nicht verstehen, oder
mißverstehen kann? Und was
ist dann nötig um dieses Verständnis
herbeizuführen?
| | |
| | | | |
Es gibt da, glaube ich, Fälle in denen den Fall, daß Einer den Satz
(oder Beweis) zwar anwenden kann, dar
über die Art Anwendung aber
keine nicht klar Rechenschaft zu geben im
Stande ist. Und den Fall, daß er den Satz auch nicht
anzuwenden weiß.
(Mult. Ax.)
| | |
| | | | | Wie ist es in der
Beziehung mit 0
× 0 = 0?
| | |
| | | | |
9.12. Man möchte sagen, das
Verständnis eines
math. Satzes sei nicht durch
seine Wortform guarantiert, wie im Fall der meisten
nicht-mathematischen Sätze. Das heißt
– so scheint es – daß der Wortlaut das
Sprachspiel nicht bestimmt, in welchem der Satz
funktioniert.
| | |
| | | | |
Die logische Notation verschluckt die Struktur.
| | |
| | | | | Um zu sehen, wie man etwas
‘Existenzbeweis’ nennen kann, was
keine Konstruktion des Existierenden zuläßt,
denke an die verschiedenartigendenen Bedeutungen des Wortes
“wo”., den
(z.B. des topolo-
gischen & des metrischen.) | | |
| | | | |
10.12. Es kann ja
der Existenzbeweis nicht nur den Ort des
‘Existierenden’ lassen, sondern es braucht auf einen
solchen Ort gar nicht anzukommen.
D.h.: wenn der bewiesene Satz
lautet “es gibt eine Zahl, für die … ” so
muß es keinen Sinn haben zu fragen “und welches ist diese
Zahl”, oder zu sagen “und diese Zahl ist
…”
| | |
| | | | |
11.12. Vom Beweis
durch reductio ad absurdum kann man sich immer
vorstellen,
daß er ˇwerde im Argument mit
einem Opponenten jemand ge-
braucht werde,
der eine
mathematisch unhaltbare Behauptung macht. Ich
meine aber nicht eine mathematische Behauptung. // Ich meine aber nicht die Behauptung eines
mathematischen Satzes. // Ich
meine aber die Behauptung eines nicht-mathematischen
Satzes. // Etwa, er habe gesehen, wie der
A den B mit den & den Figuren matt
habe – wenn das
ˇnach den Regeln nicht möglich ist.
// er werde im Argument mit eine[m|r]
Menschen Person gebraucht, die eine mathematisch
widerlegbare nicht-mathematische
Behauptung gemacht hat. Etwa: er habe
gesehen … //
// er werde im Argument
mit jemandem verwendet, der eine
nicht--mathematische
Behauptung aufstellt, die sich mathematisch widerlegen
läßt. Etwa: … //
// er werde im Argument mit jemandem gebraucht, der eine
nicht-mathematische Behauptung (etwa: er habe gesehen, daß,
A den B mit … matt gesetzt habe) die sich mathematisch
widerlegen läßt. //
| | |
| | | | | Die Schwierigkeit, die man beim Beweis
durch reduc- tio ad absurdum in der
Math. empfindet ist die:
Was geht bei diesem Beweis vor? Etwas
mathematisch Absurdes, also
[u|U]nmathematisches? Wie kann man
– möchte man fragen – das mathematisch Absurde
überhaupt nur annehmen? Daß ich das
physikalisch Falsche annehmen & ad
absurdum führen kann macht mir keine
Schwierigkeiten. Aber wie das ˇsozusagen
Undenkbare denken?!
| | |
| | | | | Der ˇindirekte Beweis sagt aber:
“wenn Du es so willst, darfst Du das
nicht annehmen: denn damit
nur das Gegenteil
vereinbar wovon Du
nicht abgehen willst”.
| | |
| | | | |
12.12.
Was mich in
einer Darstellung, wie z.B.
Hardy's, stört
ist die scheinbar sinnlose Varietät von Beweisen ˇdesselben
Satzes. Ich möchte sagen:
jeder dieser Beweise gehört zu einer Gelegenheit bei gerade er anzwenden
wäre.
| | |
| | | | | Ich
sage: Nenne, zur Abkürzung 14142
‘p’ & 10000
‘q’. Dann folgt aus Deiner Aussage
‘ = 2’,
daß auch
= 2
ist.
| | |
| | | | | Aber
mußte natürlich kleiner sein als 2, also ist
p ‒ q ˂
q Da aber q ˂ p sein muß,
ist 2q ‒ p
˂ q ˂ p Also ist
=
& das ganz
abgesehen davon ob schon vollkommen
gekürzt ist. Wenn immer Du also einen Bruch
für die Wurzel aus zweier vollkommener Quadrate, der
vollkommen gekürzt ist, für gleich 2 hieltest so kannst Du
einen andern Bruch mit kleinerem Zähler & Nenner bilden,
der dem ersten dann gleich sein
müßte ([N|n]ämlich aus jedem
, das gleich 2 ist, ein
); der dem ersten gleich sein
müßte, aber natürlich nicht ist.
| | |
| | | | | Man kann den Beweis aber auch so
anfangen: Wenn ein vollkommen
gekürzter Bruch ist & p ˃ q
q ˂ p ˂
2q ist, so
sein, da p ‒ q ˂ q ist.
Wäre aber ein Bruch
=
2 so müßte
. Also kann ein Bruch
nie gleich 2 sein.
| | |
| | | | | Wohl aber kann
sich
‘beliebig nähern’ wenn
sich
der 2 nähert. [e|E]s wird dann
eine schlechtere Annäherung sein als
, & wenn man den
Prozess fortführt & aus
bildet
so kommt man, zu statt immer zu der gleichen Zahl, zu
immer schlechteren Annäherungen.
| | |
| | | | |
Ich meine: man könnte
die Umstände finden, unter welchen der Beweis
gerade in der
H.schen Form der richtige ist. // der
richtige, der treffende, ist. //
| | |
| | | | |
13.12. Statt
“Nehmen wir an ()² =
2” wäre es besser zu sagen:
“Prüfe ‘()² =
2’”, oder “Prüfe:
()² =
2”. – Denn nun kann man es ja auf
verschiedene [w|W]eise prüfen.
| | |
| | | | | Die Frage, ob
je 2 wird, hängt mit einer großen
Anzahl anderer mathematischer Verhältnisse zusammen,
& die jener Beweise
zeig[e|t]n diese solche
Zusammenhänge & auch
solche, daß wenn wir
=
2 zulassen, welche Stellungen wir aufgeben
müssen, wenn wir ()² =
2 zulassen.
| | |
| | | | |
Dies
ist eine bestimmte Beweis-Maschinerie, nicht die
ewig-gültige Form eines Beweises. (Ich
denke an Gödels
einleitender beiläufiger
Beweisführung.)
| | |
| | | | |
14.12. Die
ˇgeometrische Illustration der
math Analysis ist allerdings
unwesentlich, nicht aber die geometrische Anwendung.
Ursprünglich waren die geometrischen Illustrationen
Anwendungen der Analysis. Wo sie aufhören dies zu
sein, können sie leicht gänzlich irreführen.
Hier haben wir dann die
phantastische Anwendung. Die eingebildete
Anwendung.
| | |
| | | | | Die Idee des
‘Schnittes’ ist so eine gefährliche
Illustration
| | |
| | | | |
Nur soweit, als die Illustrationen auch Anwendungen
sind, erzeugen sie nicht
d[ieses|as] jenes gewisse
Schwindelgefühl, das die Illustration erzeugt im
Moment, wo sie aufhört eine mögliche Anwendung zu
sein; wo sie also dumm wi⌊r⌋d.
| | |
| | | | | Ich habe wahrscheinlich zu wenig Ruhe
& zu viel Unannehmlichkeit. Das
Letztere ist in gewissem Sinne gut für mich, wenn ich
noch im Stande bin daraus zu lernen, was ˇleider zweifelhaft
scheint. | | |
| | | | |
15.12. Wir kämpfen jetzt
gegen eine Richtung. Aber diese Richtung wird sterben,
durch andere Richtungen verdrängt,⌊.⌋
[un|Un]d dann wird man unsere Argumentation gegen sie
nicht mehr verstehen; nicht begreifen, warum man all das hat sagen
müssen.
| | |
| | | | | So
seltsam es klingt: [d|D]ie [w|W]eiterentwicklung einer
irrationalen Zahl ist eine
Weiterentwicklung der Mathematik.
| | |
| | | | | Eine Beweisführung ist prüde, wenn
die logische // , wenn die lässigste logische //
Zweideutigkeit ängstlich vermieden ˇwird, grober
Unsinn aber geduldet⌊.⌋ wird. // vermieden wird, & grober Unsinn
geduldet. //
| | |
| | | | |
Die Hauptunklarheit in der Mathematik ist die Unklarheit
darüber, was entdeckt & was bestimmt
wird. | | |
| | | | |
16.12. Eine Beweisführung ist
prüde: wenn man ängstlich die geringste logische
Zweideutigkeit vermeidet, aber groben Unsinn
duldet.
| | |
| | | | | Wie, wenn ich sagte, die allgemeine
Theorie der reellen Zahlen bereitet eine Phraseologie vor, die
dann im besondern Fall von großem Nutzen ist. – Aber sie diese
Phraseologie vorbereitet kann ist sie entweder
ein selbständiges Stück Mathematik⌊,⌋
sein oder sie
die reellen Zahlen in
vager Allgemeinheit durch Beispiele behandeln.
Dabei würde natürlich die Exactheit
nichts einbüßen, denn die Anwendung dieser
allgemeinen Fingerzeige auf jeden besonderen
Fall würde immer wieder vollkommene
Bestimmtheit herstellen.
| | |
| | | | |
17.12. Den Fehler in
einem schiefen Raisonnement suchen &
Fingerhut-Vestecken.
| | |
| | | | |
Man könnte fragen: Was
könnte ein Kind von 10 Jahren am Beweis des
Dedekindschen Satzes
nicht verstehen? – Ist denn dieser Beweis
nicht viel einfacher, als ˇalle die Rechnungen die
so ⌊das⌋ ein Kind beherrschen muß? – Und
wenn nun jemand sagte: den tieferen Inhalt des Satzes kann es
nicht verstehen – dann frage ich: wie
kommt zu einem tiefen
Inhalt?
| | |
| | | | |
Es wird nirgends
bei Hardy hervorgehoben,
daß die irrationale Zahl nicht ˇin dem Sinne wie die
rationale ein Zahl ein Zahlzeichen besitzt.
Die Fiction ist wohl, daß sie ein unendlich
langes hat. Am ehesten könnte natürlich
noch das Zeichen der Entwicklungsregel als ⌊das⌋
Zahlzeichen gelten. – Aber dieses
Fehlen des Zahlzeichens bedeutet einen unendlich
fundamentalen Unter-schied. Und in gewissem Sinne
sagt ja der Cantorsche
Diagonalbeweis, daß sie kein Zahlzeichen haben
kann.
| | |
| | | | | Das Bild der
Zahlengeraden ist ein absolut
natürliches bis zu einem gewissen Punkt: nämlich, soweit man es nicht zu einer
allgemeinen Theorie der reellen Zahlen
gebraucht
| | |
| | | | |
23.12. Ich will,
daß alle Zeichnungen, Illustrationen die aus diskreten
Punkten & Strichen bestehen, wie sie ˇin den
Büchern die Lehre von den irrationalen Zahlen, des
Limes, der
Stätigkeitˇ der
Funktionen, etc usw. begleiten, sich auf die Wahl
diskreter Zahlen & Zahlenkombinationen beziehen,
& – nicht auf
Funktionen, irrationale Zahlen,
etc!
| | |
| | | | | Aber angenommen, Du
hattest eine solche Lehre vom Wählen
diskreter Zahlen, – würdest Du nicht dennoch eine
allgemeine Lehre de über die Funktionen
brauchen können
| | |
| | | | |
Ich brauche eine variable, die in
gewissem Sinn Kurven als ihre Werte annimmt, aber nicht Gesetze,
Gleichungen, son-dern
Extensionen. Man könnte sich die Variable etwa durch
eine Kombination einer gezeichneten Linie mit bezifferten Punkten
& Tangenten vorstellen, etwa
| | |
| | | | | D.h.,
die Zeichnung würde nur gewisse Züge
(Eigenschaften) der Kurve aussprechen & nicht
einer Gleichung der Kurve entsprechen. Die
Variable nimmt also,
ˇz.B., Kreis als Wert an. Aber ein Kreis
könnte z.B. dazu dienen
diese die Werte zu begrenzen, ˇetwa
auszudrücken zu zeigen daß die Kurve ganz innerhalb des
Kreises liegen muß.
| | |
| | | | | Und man braucht natürlich keine
Zeichnung sondern kann eine Art Formel verwenden, die aber
so einer Art Figur entspricht.
| | |
| | | | |
Alles kommt darauf an, daß man die Kurve, den Wert der Variablen,
wählen kann,
d.h. aus einem dazu
vorbereiteten System beliebig wählen kann & sie
nicht zu entdecken oder zu erfinden
hat.
| | |
| | | | | Die Kurven könnten
sozusagen rationale Kurven sein, die man
wählen kann wie rationale Zahlen.
| | |
| | | | | Ich möchte also sagen daß die
Continuität einer Kurve die sich aus
ihrer Gleichung als
secundäre Regel ergibt auch als
primäre Regel soll funktionieren können.
| | |
| | | | | Die Kontinuität eines
Streifens scheint leicht zu definieren.
| | |
| | | | | ‘Ich stelle Dir alle
Punkte dieses Streifens zur Verfügung.’
| | |
| | | | | Aber wie soll man die
kontinuierliche Teilung eines Streifens
erklären?
| | |
| | | | | Etwa durch
eine Kette gerader Strecken? | | |
| | | | |
29.12. Was an
meinen Spekulationen über einen extensiven
Kalkül, der sich mit dem der einzelnen Funktionen verbinden
ließe, nicht in Ordnung ist:
dash weil daß ich ˇbin ganz
unklar darüber bin, was die Anwendung so eines Kalküls
sein könnte. unabhängig von
best den Funktionen sein könnte.
| | |
| | | | |
30.12. Die Variable, wie ich mir
sie denke, ist sozusagen eine topologische Einheit.
| | |
| | | | | Warum soll ein Punkt
P(x,y) eine erlaubte
Angabe sein, & nicht auch eine ‘Linie
L(x1,y1 ❘
x2y2)’ was eine
kontinuierliche Verbindung von P(x1
y1) & Q(x2
y2) bedeuten soll.
L(P, Q) entspricht
nicht einer bestimmten Kurve, oder Gleichung
sondern nur, sozusagen, einem
kontinuierlichen Faden zwischen P &
Q über dessen
Gestalt noch nichts gesagt ist; aber noch gesagt werden
kann.
| | |
| | | | | Nichts ist so
schwierig in der Philosophie als den gegenwärtigen
Stand der Dinge anzuerkennen.
| | |
| | | | | Ich will eine
des Fadens nicht der
Kurve. Des Fadens, mit dem man
stätige Kurven legen kann.
| | |
| | | | | Die Kontinuität des Fadens soll gl so
erklärt werden; daß er, gleichsam, nichts von der einen Seite
auf die andere durchläßt. | | |
| | | | |
31.12.42. Wäre es möglich
Abschnitte auf der X & Y Achse einander
zuzuordnen, & nicht bloß Punkte.
|
|
x
x1→x4
x4→x3
3→2
2→5
5
5→6
6
|
|
y
y3→y4
y4→y5
5→4
4→2
2→1
1
2
|
|
| | |
| | | | |
1.1.43. Die Pfeile
besag[t|en] eigentlich, daß, ⌊:⌋ wenn ich einem Punkt
P einen Punkt
Q zuordne
& R ist rechts von
P, ˇdaß dann
φ(R)– , also S, über
Q liegen , u. u.. Wenn ich dann
die Erlaubnis habe jedem beliebigen Punkt
(d.h. (Zahl) zwischen
A &
B einen Punkt zwischen
C &
D zuzuordnen, so kann
mann dies, die Erlaubnis einer stetigen
Zuordnung nennen.
| | |
| | | | |
2.1.43.
Die Rolle der Beispiele, das ist unser
Problem. Und das zeigt von welcher Art die philosophischen
Probleme in der Mathematik sind.
| | |
| | | | | Wenn Du die reellen Zahlen in
eine höhere & eine ni⌊e⌋dere Klasse Teilen willst,
so tu's erst einmal roh durch
zwei
rationale Punkte P
& Q. Dann halbiere P – Q &
entscheide, in welcher Hälfte (wenn nicht im Teilungspunkt)
der Schnitt liegen soll; wenn z.B. in der
unteren, halbiere diese
& mache eine genauere Entscheidung;
u.s.f.. Hast Du
ein Prinzip der [U|u]nbegrenzten
[f|F]ortsetzung, so kannst Du von diesem Prinzip
sagen, es führe einen Schnitt aus, da es von jeder Zahl
entscheidet, ob sie rechts oder links liegt. – Nun ist
die Frage, ob ich durch ein solches Prinzip der Teilung
überall hin gelangen kann oder ˇob noch
eine andere Art der Entscheidung nötig ist; &
man könnte fragen, ob nach der vollendeten
Entscheidung durch das Prinzip oder vor der
Vollendung. Nun, jedenfalls nicht
vor der Vollendung; denn solange noch die
Frage ist in welchem endlichen Stück der Geraden der Punkt
liegen soll, kann die weitere Teilung entscheiden. –
Aber nach der Entscheidung durch ein Prinzip ist noch
Raum für eine weitere Entscheidung?
| | |
| | | | |
Es ist mit dem
Dedekindschen Satz
wie mit dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten: Er
scheint ein Drittes auszuschließen, während von einem
Dritten in ihm nicht die Rede ist.
| | |
| | | | |
Der Beweis des
D.schen
Satzes arbeitet mit einem Bild, da[ß|s] ihn
nicht rechtfertigen kann, das eher vom Satz
gerechtfertigt werden soll.
| | |
| | | | | Ein Prinzip der Teilung siehst Du
leicht für eine unendliche fortgesetzte Teilung an,
denn es entspricht jedenfalls keiner endlichen Teilung &
scheint Dich weiter & weiter zu führen.
| | |
| | | | | Ist es aber nicht lächerlich, daß
mir die Idee eines inten allgemeinen intentionalen
Kalküls der Funktionen & Konstruktionen
solche Schwierigkeiten zu bereiten
scheint? Ist es nicht ein Vorurteil?
Nun man müßte sich mit dem Begriff eines Kalküls
vertraut machen der noch unvollendet,
ergänzungsbedürftig, ist.
Er wird der Begleitung von Beispielen
betrieben, oder es wird vorausgesetzt, daß uns so viele Beispiele
gegenwärtig sind, daß wir jeden
Moment Anwendung auf ein bestimmtes machen können.
| | |
| | | | | Ich will sagen: es muß ein
Gesetz geben,
möglich ein Befehl, gegeben werden können,
der lautet: “[k|K]onstruiere
eine Kurve für
x → ∞ sich
ℓ nähern!” Es hängt alles
davon ab ob so ein Befehl möglich ist. (Und er
bezieht sich natürlich nicht auf das zufällige
finden von gewissen Funktionen.
Was heißt aber “konstruiere eine
Kurve”? Es kann doch nicht
heißen ziehe eine unendlich lange Linie.
| | |
| | | | | Man könnte auch so fragen:
könnte man nicht die Lehre vom Limes,
der Funktionen, der reellen Zahlen, mehr, als man es tut,
extensional vorbereiten? auch wenn dieser
vorbereitende Kalkül sehr trivial & an
sich nutzlos erscheinen sollte?
| | |
| | | | | Die Schwierigkeit der
◇◇◇ [ex|in]tensionalen ˇbald wieder
extensionalen
Betrachtungsweisec Auffassung beginnt schon beim Begriff des
‘Schnittes’. Daß man
jede ration. Zahl ein Prinzip der
Teilung der rat. Zahlen nennen
kann ist wohl klar. Nun entdecken wir
ein etwas anderes was wir
Prinzip der Teilung
ˇnennen können, etwas das, welches der √2 entspricht. Dann
andere äh⌊n⌋liche Fälle –
& nun sind wir mit der
möglichkeit solcher
Teilungen schon ganz wohlvertraut, & sehen sie unter dem Bild
eines irgendwo entlang der Geraden
ausgeführten Schnittes, also
extensional. Denn wenn ich schneide, so kann
ich ja wählen, wo ich schneiden will.
Ist der Schnitt aber ein Prinzip der Teilung
ein Schnitt, so es dies doch nur weil man von
beliebigen rat. Zahlen sagen kann sie
seien oberhalb
oder unterhalb des Schnitts. – Kann man nun sagen die
Idee des Schnitts habe uns von den
rat. Zahlen zu irrationalen Zahlen
geführt? Sind wir denn z.B.
zur √2 durch den Begriff des
Schnitts gelangt. Oder nicht vielmehr umgekehrt
Was ist nun ein Schnitt der reellen
Zahlen? Nun, ein Prinzip der Teilung in eine
größere & eine untere & eine obere
Klasse. So ein Prinzip gibt also jede
rat. &
irrat. Zahl ab. Denn wenn
wir auch kein System der irrat.
Zahlen haben so
zerfallen doch die, die wir haben, in obere & untere
in Bezug auf den Schnitt (soweit sie mit ihm nämlich
vergleichbar sind).
Nun ist aber die
Dedekindsche Idee, daß
die Einteilung in eine obere & untere Klasse (mit den
bekannten Bedingungen) die reelle Zahl ist.
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| | | | | Der Schnitt ist eine extensive
Vorstellung.
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| | | | | Es ist freilich wahr daß wenn ich
ein mathematisches Kriterium habe um für eine
belie-bige
rat. Zahl festzustellen ob sie zur
oberen oder unteren Klasse gehört, es ein leichtes ist mich
dem Ort beliebig systematisch zu nähern, wo
die beiden Klassen sich treffen.
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Wir machen bei
Dedekind einen
Schnitt nicht dadurch, daß wir schneiden ˇalso auf den Ort
zeigen, sondern daß wir, – wie
beim Finden der Quadratwurzel aus 2 √2 – uns den
ˇeinander zugekehrten zweier oberen &
unteren Klassen
nähern.
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Nun soll bewiesen werden, daß keine andere Art
von
Zahlen, als nur die
reellen, so einen Schnitt ausführen können.
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6.1. Vergessen wir
nicht Wir
dürfen nicht vergessen | , daß ursprünglich die
Teilung der ration. Zahlen in zwei
Klassen keinen Sinn hatte, bis wir auf gewisses aufmerksam machten,
was man so konnte.
Der Begriff ist vom täglichen Leben
// Sprachgebrauch //
hergenommen & scheint darum auch für die Zahlen
unmittelbar einen Sinn zu haben zu müssen.
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| | | | | Wenn man nun die eines
Schnitts der reellen Zahlen einführt, indem man sagt,
es sei jetzt einfach der Begriff des Schnitts
von den rat. auf die
reellen Z. auszudehnen;
alles was wir brauchen ist eine Eigenschaft, die die reellen
Z. in zwei Klassen einteilt
(etc.) – so ist zunächst
nicht klar was mit so einer Eigenschaft gemeint ist, die
alle reellen Zahlen so einteilt.
Nun kann man uns darauf aufmerksam machen, daß jede reelle Zahl
so ein Prinzip ist dazu dienen kann.
Aber das führt uns nur soweit
& nicht weiter.
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| | | | | Denk' Dir, Du wolltest von
Spielen in der Verallgemeinerung sprechen. | | |
| | | | | Haben wir zwei Reihen reeller Zahlen, deren eine
ganz unterhalb der andern liegt & deren Glieder sich einander
unbegrenzt nähern, dann kann man zwei Reihen
rationaler Zahlen konstruieren, die dem gleichen
Punkt zustreben: wie die Reihen den
d.h.: die untere ˇrationale Reihe
läuft nirgends der unteren reellen vor, noch die obere
rationale der oberen reellen & die beiden rationalen
Reihen nähern sich einander unbegrenzt.
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