6.1.43. Schränken wir einen
Ort nach & nach durch zwei Reihen von
unvollständigen Dezimalbrüchen ein, die wir
sowohl als die Reihung selbst nach & nach
weiter führen (z.B. als das
Ergebnis von Experimenten) dann kann man die
Einschränkung des Orts durch einen unvollständigen
Dezimalbruch darstellen. |
Denk Dir die
intensionale Allgemeinheit in Merkzeichen
gebraucht |
Wenn man sagen
|
Denk Dir eine Morphologie der Kurven,
ohne Gleichungen oder dergl. |
Von den Mathematikern
kann man nur Mathematik lernen, aber nicht die Philosophie der
Mathematik. Ich meine man kann |
In den allgemeinen
intensionalen Sätzen von den Funktionen wird
einerseits eine Technik des Rechnens festgehalten, die man dann auf
ein gegebenes Beispiel anwenden kann;
andrerseits |
Wie
ist es also mit dem Muß dieser
allgemeinen Sätze? |
Nimm, an es gäbe nur ein
Beispiel & den allgemeinen
Kalkül. – |
7.1. Aber es ist doch kein Zweifel, daß
Das heißt doch: wir lernen durch diese Beispiele ein neues Sprachspiel; ähnlich in gewissem Sinne dem neue Multiplikationen auszuführen, wenn wir Multiplikationen gelernt haben. |
Wenn wir
nun, wie ich vielleicht sagen |
Der allgemeine Begriff einer Zuordnungs-Technik. |
Denk' Dir daß die Menschen
durch gewisse Zeichen etwa von der Art der Chinesischen Siegel
|
Wie, wenn man die reellen Zahlen
nicht durch das Aufzeigen |
Angenommen, wir geben einem Prinzip der Teilung aller
reellen Zahlen einen Namen. Geben wir den Namen dem Prinzip
der Teilung auf die rationalen
|
Sagt die allgemeine
intensionale Behandlung mit ihren Variablen
nicht: “so muß es
ausschauen”? |
8.1. Die extensionalen Erklärungen der
Funktionen, der reellen Zahlen,
etc. übergehen alles
Intensionale – obwohl sie es
voraussetzen – & bedienen sich
einer immer wiederkehrende äußeren Form || beziehen sich auf
die immer wiederkehrende äußere Form. |
Die Funktion hat sozusagen eine
extensionale Äußerung. |
Der allgemeine Begriff der Funktion als
heuristisches Prinzip: |
Denken wir wieder an das
Beispiel des Zaubers gewisser geschriebener Symbole
(etwa geschriebener) die die Menschen dazu bringen
übereinstimmend Zahlenfolgen zu schreiben oder eine Zahl einer
gegebenen anderen zuzuordnen. Es sei also s = f(x) und f = 1, & dies Symbol ist eines von denen welches uns einem beliebigen rationalen x ein y zuordnen läßt.
|
9.1. Unsre
Schwierigkeit fängt eigentlich schon mit der
unendlichen Geraden an; obwohl wir schon als Knaben lernen, eine
Gerade habe kein Ende, & ich weiß nicht, daß diese Idee
irgend jemand Schwierigkeiten bereitet hätte.
Wie, wenn ein Finitist versuchte diesen Begriff durch den
einer geraden Strecke von Aber die Gerade ist ein Gesetz des Fortschreitens.* |
Die Verteilung der Primzahlen wäre ein ideales Beispiel
für das was man synthetisch a priori nennen
könnte || kann, denn man kann sagen, daß sie
jedenfalls durch eine Analyse des Begriffs der Primzahl nicht zu
finden ist. |
Die Allgemeinheit der Funktionen ist sozusagen
eine ungeordnete |
10.1.
Ich lese in “Chemical History of a Candle”:
“Water is one individual thing – it never
changes”. |
Denken wir uns das Zeichen
“ℵ”,
dessen Physiognomie ich immer || stets wiedererkennen
kann (so nehme ich an) gibt || gebe uns allein die gleiche endlose
Folge von 0 & 1 ein, entspricht also einem unendlichen
Dezimalbruch. Wir |
Du kannst über die reellen Zahlen nicht
in's Klare kommen außer über || durch den Begriff der Technik. Denn sie
sind ja Techniken der Entwicklung (oder Zuordnung).
|
Was, wenn die irrationalen
Zahlen Seltenheiten unter den rationalen
wären? So daß man etwa sagen
könnte: unter den rationalen
Zahlen gibt es verstreut 50
irrationale. Oder Nun die Rechenstellen haben eine äußere Ähnlichkeit. (Gleichsam wie Apparate, oder Futterale von Apparaten) Eine Ähnlichkeit ist natürlich, daß jede von ihnen die gleiche || eine besondere & immer gleichbleibende Zahlenfolge |
Der Begriff des
Limes & der Stätigkeit, wie sie
heute eingeführt werden, hängen, ohne daß dies
ausgesprochen wird, mit dem Begriff des Beweises zusammen || von
dem Begriff des Beweises ab. Denn wir
nennen || sagen
Das heißt wir gebrauchen Begriffe, die unendlich viel schwerer zu fassen sind als die, die wir offen herzeigen. |
Die Definition der |
Kann denn aber eine
Erlaubnis nicht kontinuierlich sein?
|
Denk Dir eine Maschine die, wenn ich in sie Zahlwörter hineinspreche mir
Zahlwörter zur Antwort gibt || : wenn ich in sie
Zahlwörter hineinspreche so gibt sie mir
Zahlwörter zur Antwort. Und ein
Mensch kann ja so |
Könnte man nun durch Beobachtungen
so einer || solcher Maschinen zu den
Begriffen des Limes, der Kontinuität
etc. gelangen, – wenn auch nur
zur Bildung von Hypothesen über ihr
Verhalten? Hätte es z.B. Sinn
von einer solchen Maschine zu sagen Könnte man, z.B., das Verhalten so einer Maschine hypothetisch dahin beschreiben, daß sie unbegrenzt auf Zahlen, je größer diese werden mit Zahlen antwortet die sich mehr & mehr der Null nähern. |
12.1.
Die irreführende Idee in der
D'schen
extensionalen Auffassung ist, daß die reellen |
Das
Irreführende an der D'schen extensionalen Auffassung ist die Idee daß
die reellen Zahlen in der Zahlenlinie
ausgebreitet daliegen. Man mag sie kennen |
Es ist durch die Kombination der
Rechnung & der Konstruktion, daß man die
Idee erhält es würde || müßte auf der Geraden ein
Punkt ausgelassen werden, nämlich P,
|
Das ist ein schrecklich verwirrendes Bild.
|
15.1. Die irrationalen Zahlen sind –
könnte man sagen || sozusagen –
Einzelfälle. |
Warum
sollte ich nicht die Regeln welche alle die gleiche Entwicklung
ergeben in größere & kleinere teilen? |
18.1. Was ist die Anwendung des
Begriffes der Geraden, der ein Punkt fehlt?!
Die Anwendung muß ‘hausbacken’
sein. Der Ausdruck “Gerade, der ein Punkt
fehlt” ist ein fürchterlich irreleitendes
Bild. Der klaffende Spalt zwischen
Illustration & Anwendung. |
19.1. Ist, || Soll man sagen, zur Beurteilung der
Kontinuität || Stätigkeit
einer Kurve sei die x- & y-Achse
das Vergleichsobjekt? Das heißt, gleichsam,: was so ist wie die |
Kann man eine Hypothese
aufstellen || als Hypothese annehmen, ein |
Wenn man den allgemeinen Kalkül der Funktionen als die
allgemeine Form einer Menge existierender Begriffe, &
anderseits als einen Standard || ein
Paradigma zur Klassifikation noch zu erwartender
auffaßt–, so erhebt sich die
Frage: |
20.1.
Denk' Dir jemand hätte vor 2000 Jahren die
Form erfunden
& gesagt, sie werde einmal die Form eines Instruments
der Fortbewegung sein. Oder
vielleicht: es hätte jemand den
vollständigen Mechanismus der Dampfmaschine
konstruiert, |
Warum sollte Einer nicht den
Russellschen Kalkül
der Proposition erfunden haben können ohne irgendeine Ahnung von der Verwendung
die R. etwa gibt? || ehe man die Verwendung kannte,
die er später erhielt? |
Was für Sätze
widersprechen |
Ich sage:
Als Abkürzung für
‘~f(f)’ führe ich
‘F(f)’
ein. ‒ ‒ Dann muß ich folgerecht
‘~F(F)’ abkürzen: ‘F(F)’.
D.h., diese Abkürzung führt
zu der, das Verneinungszeichen in einem Satz
auszulassen. Oder, wenn Du willst,
dazu,: den positiven & den negativen Satz gleich
zu schreiben. |
‘
❘Φ(n) ‒ ℓ❘ ˂
δ, wenn für jedes
n ≧ g(δ) |
‘
|| Wenn n ≧ g(x) ist, ist ❘Φ(n) ‒ ℓ❘ ˂ x |φ( |
❘Φ(
|
Eigentlich ist der Ausdruck
“” nur dann
treffend, wenn die Bedingung gegeben ist || hinzugefügt wird, daß für kein
n φ(n)
= l wird. |
Wenn man sich den allgemeinen Funktionen-Kalkül ohne die
Existenz von Beispielen denkt, dann sind eben die vagen
Erklärungen |
Müßte das unsinnig sein?
Könnte es nicht eine Komposition geben |
21.1.
Eine Definition ist doch gewiß eine
Begriffsbestimmung – aber wie ist es mit dem bloßen
Schema einer Definition.
|
Eine Definition muß nicht zur
Verkürzung || Abkürzung eines
Zeichenausdrucks dienen. Sie könnte auch zur
Verlängerung oder zur Ersetzung
durch ein schöneres Zeichen dienen. |
Könnte man sich die
Definition im Kalkül nicht ausgelassen denken –
& nur die Substitution die ihr entspricht gemacht &
nur etwa mit dem Vermerk, dies möge eine
gestattete Substitution sein? |
‘Wer dieser Regel folgt, der
folgt auch einer Regel, …’
Z.B.:
‘der folgt aus einer Regel, die
verbietet, daß …’ |
22.1. Wer
eine neue || einer neuen Regel
einführt || folgt, der führt
|
Ein unentschiedener Satz
der Mathematik ist ein Satz der weder
als Regel, noch als das Gegenteil einer Regel anerkannt ist &
der die Form einer
mathem. Regel || Aussage hat. – Was heißt aber dies
letztere? Ist es || diese Form
aber ein klar umschriebener Begriff? |
Denke dir den
|
Oder wie, wenn man die Stätigkeit als
Eigenschaft des Zeichens “x² + y² =
a²” ansähe – natürlich
nur, wenn diese Gleichung & andere |
Es wird bei jener Prüfung der Gleichung
etwas vorgenommen, was mit gewissen Extensionen
zusammenhängt. Aber nicht als handelte es sich
da um eine Extension, die der |
Der Verlauf gewisser Extensionen wirft In diesem Sinne könnte man also sagen, es werfe die Zeichnung einer Hyperbel ein Streiflicht auf die Hyperbelgleichung. |
Dem
widerspricht nicht, daß jene Extensionen die
wichtigste Anwendung der Regel wären; denn es ist
eines eine Ellipse zeichnen, & ein anderes, sie
mittels ihrer Gleichung konstruieren.
|
25.1.
Wie, wenn ich sagte: |
Das Theorem gibt uns, in großen Zügen, eine
Methode, wie mit Intensionen zu verfahren
ist. Es sagt etwa:
‘So wird es ausschauen
müssen’. |
Und man wird dann etwa zu einem
Verfahren mit bestimmten Intensionen eine
|
Die
Illustration wird hier eben ein Verfahren
angeben. |
Eine
Prozedur. |
26.1.
Lehre, wie Figuren in einem Bilde (Gemälde) zu
placieren sind, – aus allgemeinen ästhetischen
Rücksichten || Gründen etwa – noch
abgesehen davon, ob diese Figuren nun |
Die Lehre von den Funktionen als ein
(allgemeines) Schema, in das, einerseits
eine Unmenge entstellender Beispielen passen || von Beispielen
paßt, & das anderseits, als ein Standard zur
Klassifikation von Fällen aufgestellt ist || dasteht. |
Das
Irreführende der üblichen Darstellung
besteht || liegt darin, daß es scheint, als ließe
sich die allgemeine auch ohne
27.1. |
Vergleiche die beiden Formen Ausdrucksweisen der
Erklärung: “Wir sagen
wenn es sich zeigen läßt, …”, &
es gibt für jedes ε ein δ …” |
Die Möglichkeit der |
Nach einer allgemeinen Darstellung der Lehre vom Limes
(z.B. könnte man sagen:
‘Du wirst nun sehen, wie fruchtbar diese
Überlegungen sind’. – Denn sie bringen,
sozusagen, unerwartete Früchte. |
“Ich kann jedes ∆ durch ein
n²
übersteigen”.– Was für
eine Art Satz ist das? |
Man kann sich dabei einfach die
unendliche Extension der Quadrate vorstellen, oder aber auch die
Methode, zu jeder Zahl eine zu finden deren Quadrat sie
übersteigt. |
Der Ausdruck “wie groß auch
immer” & das “→∞”
beziehen sich auf eine bestimmte Anwendungsweise. Wenn man
nämlich sagen will: Je weiter Du (auf der
x-Achse) gehst, desto mehr nähert sich die Kurve der
Linie … ohne sie aber zu erreichen;’ gehst Du noch
28.1. |
Das Erreichen der Genauigkeitsgrenze ist mit bestimmten
Phänomenen verbunden. D.h., es
gewährt ein gewisses Bild, sieht so & so aus. || Das Erreichen der Genauigkeitsgrenze ist ein
gewisses Phänomen, gewährt ein gewisses Bild,
sieht so & so |
Wie soll es heißen: a)‘(u) ∙ (∃n) ∙
b)‘für jedes u läßt sich ein n finden, für welches
|
Vor allem: auch der zweite Satz ist || der zweite Satz ist
auch ein mathematischer Satz. Denn er
bezieht sich nicht auf den gegenwärtigen Stand unserer Kenntnis,
sondern auf bestimmte
mathem. Methoden. |
1.2.43 Ein Beweis, daß 777
|
2.2. Eine Ziffernreihe die nach
einem quasi ästhetischen
Prinzip fortgesetzt wird. Gegeben ist etwa der Anfang
4831, & nun fragt man: ‘was für eine weitere Ziffer fordert diese Zifferngruppe?’ |
Denk Dir eine Regel, |
Der Begriff der Funktion, wie
er eingeführt wird, setzt einen Begriff der
mathematischen Operation, oder Ableitung voraus, der zwar
durch Beispiele illustriert aber nicht irgendwo scharf gefaßt
wurde. Es soll ja eine mathematische
Abhängigkeit sein. |
3.2.
Das Benehmen eines |
Farben als Argumente &
Funktionswerte. |
Beispiele nur um der Phantasie zu helfen.
Gleichsam, damit das Schema nicht gänzlich trocken
ist. |
Denk wieder daran,
wieviel Sinn noch in einem Unsinn-Gedicht liegt!
|
22.2. Ich
möchte sagen, daß die sog. Teilung der reellen
Zahlen, also der Regeln zur Erzeugung etc., den
Begriff solcher Regeln weiter
bestimmt. |
Etwa so: ‘Es ist natürlich zu
sagen, daß alles was eine solche Regel nennen
könnte rechts oder links von diesem Punkte liegen
wird’. Oder: ‘Eine weitere Bestimmung des Begriffes einer solchen Regel ist es, daß sie rechts oder |
23.2.
Der
Cantorsche
Diagonal-Beweis – auch wenn man ihn so formuliert,
daß er für ein bestimmtes System
von unendlichen Dezimalbrüchen || unendlicher Dezimalbrüche
zeigt, daß es
solche || Dezimalbrüche
außerhalb des Systems gibt – kann doch als Beweis
alle Regeln betreffend aufgefaßt werden, die unendliche
Dezimalbrüche
erzeugen. D.h., die Unbestimmtheit
des Begriffes solcher Regeln scheint uns |
Aber warum
muß es? Wie zeigt der Beweis
das? |
Man möchte sagen: “Was der Beweis zeigt
gilt für jedes System |
Man will etwa sagen:
“Für alles, was man eine
‘Regel’ nennen kann, muß
das gelten”. Das
hieße, man will die Begriffsbestimmung von einer Aussage, die den
Begriff verwendet, trennen. |
24.2.
Warum die Parteilichkeit |
Was schadet es,
z.B., zu sagen,
Gott kenne alle irrationalen
Zahlen? Oder: sie seien schon alle da,
wenn wir auch nur gewisse kennen? Warum sind diese Bilder
nicht harmlos? |
Einmal
verstecken sie gewisse Probleme.
|
Dedekind gibt ein
allgemeines Schema der Ausdrucksweise; sozusagen eine logische
Form || Formulierung |
Eine
allgemeine Formulierung
des || eines Vorgangs.
Der Effekt ist ein ähnlicher, wie der der
Einführung des Wortes “Zuordnung” zur
allgemeinen Erklärung der Funktionen. Es wird
eine allgemeine Redeweise eingeführt, die zur
Charakterisierung eines
mathem. Vorgangs
äußerst || sehr nützlich
sein kann || ist. (Ähnlich wie in der
Aristotelischen
Logik). Die Gefahr aber ist, daß
man mit dieser allgemeinen Redeweise die vollständige
Erklärung |
Wir bestimmen den Begriff der
Regel zur || der Bildung eines
unendlichen Dezimalbruchs weiter & weiter.
Aber der Inhalt des Begriffes?! – Nun, können wir denn nicht das Begriffsgebäude ausbauen als Behältnis für welche Anwendung immer daherkommt? Kann || Darf ich denn nicht die Form ausbauen (die Form zu der mir irgendein |
25.2. Ist denn nicht die
Subjekt-Prädikat-Form in dieser Weise offen & wartet
auf die verschiedensten neuen Anwendungen? |
D.h.: ist es
wahr, daß die ganze Schwierigkeit, |
Wenn ich von der Mathematik sagte, ihre Sätze bilden || bestimmen Begriffe, so ist das vag, denn ‘2 + 2 =
4’ bildet einen Begriff in anderem Sinne, als
“p ⊃ p”,
(x).f(x) ⊃ fa, oder der
Dedekind'sche
Satz. |
Der Begriff der Regel zur Bildung eines unendlichen
Dezimalbruchs ist – natürlich – kein spezifisch
mathematischer. Es ist ein Begriff in Zusammenhang
mit einer bestimmten Tätigkeit im menschlichen
Leben. Der Begriff dieser Regel ist nicht
mathematischer als der, der Regel zu folgen. Oder
auch: dieser letztere ist nicht weniger scharf definiert als der
Begriff so einer Regel selbst: – Ja, der
Ausdruck der Regel & sein Sinn ist |
Man kann mit dem gleichen Recht allgemein von solchen
Regeln reden, als von || Man spricht mit dem gleichen Recht
allgemein von solchen Regeln, als von den Tätigkeiten,
ihnen zu folgen. |
26.2. Man sagt freilich: “das
liegt alles schon in unserm Begriff” – von
der Regel”,
(z.B.) ”
– aber das heißt nur: zu diesen
Begriffsbestimmungen neigen wir.–
Denn was haben wir denn im Kopf, was alle diese
Bestimmungen schon |
Man könnte sagen:
Daß etwas aus dem Begriff zu folgen scheint ist nur der
Ausdruck dafür, wie natürlich dieser || der betreffende Übergang für uns
ist. |
Der Begriff des Bruches ein anderer, ehe an ein
Ordnen der Brüche in eine Reihe gedacht
wird, & danach. |
1.3. Begriffe die in
‘notwendigen’ Sätzen vorkommen
müssen auch in nicht-notwendigen |
6.3. überlege die
Idee: Eine Technik, zur Bildung von Zeichen
(z.B.), hat eine ihr zugeordnete
Anzahl. Wir charakterisieren dann eine
endlose Technik durch ein Merkmal das man || etwas, was man … auch Anzahl nennen kann.
|
8.3. Wenn zwei Klassen reeller Zahlen so
beschaffen sind, daß die eine ganz oberhalb der anderen liegt,
daß keine Entfernung zwischen beiden besteht, &
daß sie Man kann das so ausdrücken:, es liegt || liege ein & nur ein reeller Punkt zwischen ihnen. |
Zwei reelle Punkte sind zwei miteinander vergleichbare
reelle Zahlen. |
Hier ist von
einer Teilung aller reellen Zahlen |
Die Idee daß die Untersuchung die ‘Geschlossenheit des
Kontinuums’ zeigt scheint mir abgeschmackt. |
Die Untersuchung zeigt, daß eine reelle
Zahl zwischen den beiden offenen reellen Klassen liegt, nicht,
daß ‘nur wiederum eine reelle Zahl’
zwischen ihnen liegt & nicht etwa eine ganz andere Art von
Zahlen’. Denn von einer anderen Art, die sich
dabei ergeben könnte ist hier gar nicht die Rede.
Und auf die |
Die Frage kann etwa sein:
“liegt zwischen diesen Klassen noch eine Zahl oder
nicht?”. Aber man kann nicht weiter
fragen: “und ist es etwa eine ganz neue
Art?” weil wohl eine ganz neue Art auch
zwischen ihnen liegen kann, aber das gar
nicht untersucht würde. |
Andererseits schließen die reellen Zahlen wirklich ein Kapitel
ab – aber wird dies durch den Beweis bewiesen? |
9.3.
Die Zahl ist, wie Frege sagt, eine Eigenschaft eines Begriffs ‒ ‒
aber in der Mathematik ist sie ein Merkmal eines mathematischen
Begriffs. ℵ0 ist ein
Merkmal des Begriffs der Kardinalzahl;– & die
Eigenschaft einer Technik.
2ℵ0
ist ein Merkmal des Begriffs des unendlichen Dezimalbruchs, |
2ℵ0 ist die Zahl,
das Merkmal einer besonderen
Unbestimmtheit. || einer
bestimmten || besonderen
Allgemeinheit. |
4.4.43 Was Du für ein Geschenk hältst,
ist ein Problem das Du lösen sollst. |
Genie ist das, was uns das Talent
eines || des Meisters vergessen
macht. |
Genie ist das,
was uns |
In dem Meistersinger Vorspiel z.B. schaut
das Geschick durch.
Wo
das Genie dünn ist kann das Geschick
durchschauen || durchblicken. (Meistersinger
Vorspiel.) |
Genie
ist das, was macht daß wir das Talent des Meisters nicht sehen
können. |
Nur wo das
Genie dünn ist, kann man das Geschick || Talent sehen. |
27.2.44. Warum soll ich nicht
Ausdrücke entgegen ihren ursprünglichen Gebrauch
verwenden?
Tut das z.B. nicht
Freud || der
Wissenschaftler, wenn er auch einen Angsttraum einen Wunschtraum
nennt? Wo ist der Unterschied? In der
wissenschaftlichen Betrachtung ist der neue Gebrauch durch eine Theorie
gerechtfertigt. Und ist diese Theorie falsch,
dann ist auch der neue, ausgedehnte Gebrauch
aufzugeben. In der Philosophie aber sind es
nicht wahre oder falsche Meinungen über Naturvorgänge, |
Wir
sagen: || Man sagt uns: “Du
verstehst doch diesen Ausdruck? Nun, so
wie Du ihn immer verstehst, || in der Bedeutung, die Du
kennst, so gebrauche auch ich ihn.” || Nun also, in der Bedeutung, die Du kennst,
gebrauche auch ich ihn.”
[Nicht: “… in der Bedeutung
…”] Als wäre die Bedeutung eine Aura, die das Wort in jederlei Verwendung herübernimmt || mitbringt. || , die das Wort mitbringt & in jederlei || jeder Art der Verwendung |
28.2.44. Ein Traum: Mir
fiel das Wort “Feura Eisen Krieg” ein, das ich in
meiner Jugend viel gehört habe. Es heißt
eigentlich ‘Feuer & Eisen Krieg’
& bezieht sich auf irgend einen Krieg im letzten
Jahrhundert in der Zeit etwa || ungefähr des
österreichisch-preußischen.
Die Generation meiner älteren Geschwister und Cousins
(Robby) habe
es || das Wort oft gebraucht || oft von ‘Feuer Eisen
Krieg’ gesprochen. Ich denke,
wie viele Wörter man heute
nicht mehr hört, die damals gang &
gäbe waren die Konversation charakterisiert
haben. |
29.2.44 Wer sagt, daß er den
|
1.3.44.
Log. Phil. Abh. (4˙22) Der
Elementarsatz … ist … eine Verkettung von
Namen. 3˙21 Der Konfiguration der einfachen Zeichen im Satzzeichen entspricht die Konfiguration der Gegenstände in der Sachlage. 3˙22 Der Name vertritt im Satz 3˙14 Das Satzzeichen besteht darin, daß sich seine Elemente, die Wörter, in ihm auf bestimmte Art & Weise zu einander verhalten. Das Satzzeichen ist eine Tatsache. 2˙03 Im Sachverhalt hängen die Gegenstände zusammen || ineinander, wie die Glieder einer Kette. 2˙0272 Die Konfiguration der Gegenstände bildet den Sachverhalt. 2˙01 Der Sachverhalt ist eine Verbindung von Gegenständen (Sachen, Dingen.) |
Die
sprachwidrige Verwendung des Wortes
“Gegenstand” & “Konfiguration”!
Eine Konfiguration kann aus ?? |
Man kann allerdings, für Andere verständlich, von
Kombinationen von Farben mit Formen sprechen (der Farben rot
& blau, z.B., mit den Formen
Quadrat & Kreis) & || oder
ähnlich auch von Kombinationen
verschiedener || von Formen mit
(verschiedenen) Lagebeziehungen |
Wenn wir unsere Sätze
umformen: “die Fläche hat die Eigenschaft
Blau” sagen, statt “die Fläche ist
blau”, “die Flasche steht zum Glase in der Beziehung
Rechts”, statt “die Flasche steht rechts vom
Glase” u.s.f. – so kann es
scheinen den Anschein gewinnen, als sei jeder Satz eine
Verbindung von Namen. Denn || ; denn alle
Wörter mit, sozusagen materieller Bedeutung erscheinen hier
verstreut in einem Netz rein logischer Beziehungen.
Und wieder–: Allen Wörtern im Satz entsprechen |
Ein Bild … wiederholen.
|
Wenn Einer z.B.
sagt, der Satz “Dies ist hier” (wobei er
auf einen Gegenstand zeigt || weist) habe für
ihn Sinn, so möge er sich fragen, unter welchen besonderen
Umständen man diesen Satz verwendet. In diesen hat er
dann Sinn. |
3.3.44. Und warum soll
man hier nicht das Vorschweben eines Phantasiebildes durch das Sehen
eines gemalten Bildes ersetzen können? Ist das
letztere etwa zu lebhaft? [Ein ähnlicher
Satz schon im
M.S.]. |
4.3.44 “Warum
darf || soll es in der Mathematik keinen
Widerspruch geben dürfen?” –
Nun, warum darf es in unsern einfachen Sprachspielen keinen
geben? (Da besteht doch gewiß ein
Zusammenhang.) Ist das also ein Grundgesetz, das alle
denkbaren Sprachspiele |
Angenommen ein
Widerspruch in einem Befehl
z.B. bewirkt Staunen &
Unentschlossenheit – & nun sagen wir: das
eben ist der Zweck des Widerspruchs in diesem Sprachspiel.
|
Es ist eines eine
mathem. Technik zu gebrauchen,
die darin besteht, den Widerspruch zu vermeiden || dem Widerspruch
zu entgehen, & ein anderes gegen den Widerspruch in der
Mathematik überhaupt zu philosophieren. |
Friede in den Gedanken.
Das will die Philosophie || Das ist
das ersehnte Ziel dessen, der philosophiert.
|
A hat beim Bauen die Länge
& Breite einer Fläche gemessen & gibt dem
B einen Befehl von der Form:
“Bring mir
15 ×
18 Platten”. B ist dazu abgerichtet 15
mit 18 auf dem Papier zu multiplizieren & dem Resultat
entsprechend eine Menge von Platten auszuzählen. |
Der Satz
15 × 18
= braucht natürlich nie ausgesprochen zu
werden. |
Sagt denn der Widerspruch
nichts? Nun, macht er mich auf nichts |
Der Widerspruch. Warum grad
dieses eine Gespenst? Das ist doch sehr
verdächtig. |
Warum sollte eine Rechnung zu
einem praktischen Zweck ausgestellt die einen Widerspruch
ergibt mir nicht sagen: “Tu wie Dir beliebt,
die Rechnung entscheidet darüber nicht || ich die Rechnung entscheide darüber
nicht.”? |
Der Widerspruch könnte als Wink der Götter
aufgefaßt werden, daß ich handeln soll &
nicht überlegen. |
‘Es gibt eine Klasse von
Klassen, aber nicht |
‒ ‒ ‒ Um jemand drauf aufmerksam zu machen,
daß “Löwe” nicht etwas bezeichnet,
was selbst ein Löwe sein kann,
“Klasse” aber etwas, was eine Klasse
ist. || Um jemand drauf
aufmerksam zu machen, daß “Löwe” nicht
etwas ist || bezeichnet, was zu den Löwen
gehören kann, aber “Klasse” etwas,
was zu den Klassen gehört. |
Man kann sagen:
“ das Wort ‘Klasse’ wird reflexiv
gebraucht; auch dann,
z.B. wenn man Russells |
‘Klassen bilden eine Klasse, Löwen aber keinen
Löwen.’ |
‒ ‒ ‒ daß ‘Löwe’ &
‘Klasse’ Klassenwörter sind, aber
‘Löwe’ ein Klassenwort ist,
das nicht
einen Löwen bezeichnet,
‘Klasse’ aber ein Klassenwort.
|
Die Klasse der Katzen ist keine
Katze: Die Bezeichnung “die Klasse der
Katzen” wird grundverschieden verwendet von der
Bezeichnung für eine Katze. –
Die Klasse der Klassen ist eine Klasse:
|
Was
die Katzen ‘bilden’ ist doch nicht eine Katze; aber
Klassen bilden eine Klasse. |
‘Ich lüge immer.’ – Du hast
Deine eigene Aussage als falsch erwiesen.
Denn ist es wahr so
hast Du jetzt die Wahrheit gesagt, & lügst nicht immer,
ist es aber Wenn ich nun fragte: Kann || Soll man diesem Menschen trauen? |
Oder er sagt:
“Ich spreche immer die Unwahrheit; nimm also
immer das Gegenteil von dem an, was ich sage”.
Dies soll eine Regel sein. Wie soll man sich nun nach
ihr richten. |
Denk Dir ein Spiel das als Orakel verwendet wird; sein Ausgang
bestimmt was in einem bestimmten Falle zu geschehen hat.
Und nun ändern wir dieses Spiel ohne uns der Folgen
bewußt zu sein in solcher Weise ab, |
Einer kommt zu Leuten & sagt:
“Ich lüge immer”. Sie
antworten: “Nun, dann können wir dir
trauen!” || “Wer das sagt, den kann
man trauen” – Aber könnte er meinen,
was er sagte? Und warum nicht? Gibt es nicht
ein Gefühl, || : man sei unfähig etwas
wirklich Wahres |
“Ich lüge
immer!” – Nun, & wie
war's mit diesem Satz? – “Der war
auch gelogen!” – Aber dann lügst du
also nicht immer!” –
“Doch, alles ist gelogen!”
Wir würden vielleicht von diesem Menschen sagen, er meint mit “wahr” & mit “lügen” nicht dasselbe, was wir damit meinen. Er meine etwa, alles, || vielleicht, so etwas wie: was er sage, flimmere, oder nichts komme wirklich vom Herzen. |
Man könnte auch sagen: sein
“ich lüge immer” war eigentlich keine
Behauptung. |
Man kann also
sagen: “Wenn er jenen Satz nicht ohne Gedanken
aussprach, – so mußte er die
Worte || Wörter so & so meinen,
er konnte sie nicht auf die gewöhnliche Weise
meinen”? |
Wenn eine Regel Dich nicht
zwingt, so folgst du keiner Regel. |
Aber wie soll ich ihr denn folgen; wenn ich ihr doch
folgen kann, wie ich will? |
Wie soll ich dem
Wegweiser folgen, wenn alles, was ich tue, ein Folgen ist?
|
Aber, daß alles auch als
ein Folgen gedeutet werden kann, heißt doch nicht, daß alles ein
Folgen ist. |
Aber
wie deutet denn also der Lehrer dem Schüler die Regel?
(Denn der soll ihr doch gewiß eine
bestimmte Deutung geben.) – Nun, wie anders, als
durch Worte & Abrichtung?
Und der Schüler hat die Regel (so gedeutet) inne, wenn er so & so auf sie reagiert. Das aber ist wichtig, |
‒ ‒ ‒ D.h.er kann antworten wie ein
verständiger Mensch und doch das Spiel |
‒ ‒ ‒ Und Denken und Schließen (sowie
das Zählen) ist für uns natürlich nicht
durch eine willkürliche Definition begrenzt || umschrieben, sondern durch natürliche Grenzen,
denen || dem Körper dessen
entsprechend, was wir die Rolle des Denkens und Schließens in
unserm Leben nennen können. |
Zwingt mich eine Linie dazu, ihr
nachzufahren? Nein; aber wenn ich mich dazu entschlossen
habe sie so als Vorlage zu gebrauchen, dann zwingt sie mich. – Nein; dann |
Die Linie, könnte man
sagen, gibt's mir ein, wie ich gehen soll. Aber
das ist natürlich nur ein Bild. Und gäbe sie mir
jedesmal etwas anderes ein, so folgte ich ihr nicht als
Regel. Und was “anders”
& was “das gleiche”
heißt, wie ist das zu beantworten.
Rolle der Wörter in unserem Leben. || das wird |
“Die Linie gibt mir ein, wie ich gehen
soll”, das ist eigentlich nur eine Paraphrase
dafür || der Feststellung || Aussage daß sie || das paraphrasiert nur daß
sie mein letztes Kriterium || meine letzte Instanz
dafür ist, wie ich gehen soll. |
…
und was “anders” & was “das
gleiche” heißt, das kann nur noch von der
übrigen Verwendung dieser Wörter im Leben
abhängen. |
Warum sagen wir, daß Leute in
ihrer Ausdrucksweise |
“ … und
gäbe sie mir jedesmal etwas anderes ein …”.
Das heißt ja auch: nur dann ist sie
eine || meine Regel, wenn sie mir etwas
regelmäßiges eingibt! Und
das heißt doch nichts. |
Denke Dir einer folgte einer Linie
als Regel auf diese Weise: Er hält einen
Zirkel dessen |
Wir
würden hier wirklich sagen: Die Vorlage scheint ihm
einzugeben wie er zu gehen hat. Aber sie ist keine
Regel. |
‒ ‒ ‒ das kann nur das Leben entscheiden.
|
Wie wenn || Nimm an, Einer folgt der Reihe
“1, 3,
5, 7, …” indem er die Reihe der
= x²
+ 1 hinschreibt; &
er fragte sich: “aber tue
ich auch immer das Gleiche, oder jedesmal etwas
anderes?” |
“Das Gleiche tun” ist mit
“der Regel folgen” verknüpft |
Wie ist das zu entscheiden, ober er immer das
gleiche tut wenn er sich von der Linie eingeben
läßt || wenn ihm die Linie
eingibt wie er gehen soll? |
Wollte ich nicht
sagen: nur das gesamte || ganze Bild
der Verwendung des Wortes gleich in seiner
Verknüpfung || Verwebung mit den
Verwendungen der andern Wörter könnte || kann entscheiden, ob er das Wort verwendet wie
wir? |
Tut er nicht immer
das Gleiche, nämlich, es sich von der Regel || Linie eingeben zu lassen, wie er gehen soll?
Wie aber, wenn er sagt, die Linie gebe ihm einmal dies einmal jenes
ein? Könnte er nun nicht sagen: er tue in
einem Sinne immer das Gleiche, aber einer Regel folge er
doch nicht? |
Nur so
kann man das Folgen || den
Vorgang Einer-Regel-Folgen,
beschreiben, daß man in anderer Weise beschreibt, was wir
dabei tun. |
Hat es einen Sinn zu sagen: Wenn die Leute in ihren
Handlungen nicht übereinstimmten, würden wir es nicht
“einer Regel folgen”
|
Kann ich aber auch sagen:
“Ich stimme mit dem Andern nicht überein also
folge ich offenbar nicht einer Regel.”? –
Könnte ich |
Die Andern folgen einer Regel, wenn ich sie von
ihnen absehen kann. |
[In
der Philosophie halt machen] |
Ich lerne nicht Regeln folgen
indem ich lerne mit Anderen übereinstimmen.
Weil das eine ebenso schwer zu |
Wer
“übereinstimmen” nicht versteht, kann
“einer Regel folgen” nicht verstehen; & wer
dieses nicht versteht, auch jenes nicht. |
Hätte es
einen Sinn zu sagen: “Wenn er jedesmal etwas
anderes täte, würden wir nicht sagen: er
folge einer Regel”? Das hat, glaube ich
keinen Sinn. |
Einer-Regel-Folgen ist ein bestimmtes
Sprachspiel. Wie kann man es |
Wenn man
Beispiele aufzählt & dann sagt “und so
weiter” so wird dieser Ausdruck auf andere Weise
erklärt, als die vorhergehenden Beispiele. |
Wer von einem Tag auf
den andern sagt || verspricht
“morgen werde || will ich das Trinken
aufgeben”, verspricht der jeden Tag etwas anderes?
|
Nimm an eine Linie gebe mir ein wie
ich ihr folgen soll, d.h., wenn ich ihr mit den
Augen folge || nachgehe, so sagt mir etwa eine innere
Stimme: zieh so. – Nun, was ist der
Unterschied zwischen diesem Folgen || Vorgang, einer Art Inspiration zu
folgen & dem Vorgang einer
Regel zu folgen? Denn sie sind doch nicht das
Gleiche. Nun, in dem Fall der |
Man
könnte sich auch so einen Unterricht in einer Art von Rechnen
denken. Die Kinder können dann ein jedes auf seine
Weise rechnen; solange sie nur auf die |
Denn gehört nicht zum Befolgen einer Regel || dazu einer Regel zu
folgen die Möglichkeit einen Andern im Folgen
abzurichten? Und zwar durch Beispiele.
Und das Kriterium seines Verständnisses muß die
Übereinstimmung der einzelnen Handlungen sein. Also
nicht wie beim Unterricht in der Rezeptivität. |
Wie folgst du der Regel? Ich
mach es so … |
‘Ich würde nicht sagen
daß sie mir immer etwas anderes eingebe,
wenn ich ihr als Regel folgte’ Kann man das
sagen? |
Wann sagen
wir: “Sie gibt mir das als Regel ein –
immer das Gleiche” Und anderseits: “Sie
gibt mir immer wieder ein, was ich zu tun habe; || – sie ist keine Regel.” Im ersten Fall heißt es: |
Die Kunstrechner,
die zum richtigen Resultat gelangen, aber nicht sagen können,
wie. Sollen wir sagen: sie rechnen nicht?
(Eine Familie von Fällen.) |
[Bemerkung: diese Dinge |
Kann ich nicht einer
Regel zu folgen glauben? Gibt es diesen Fall
nicht? [Siehe lesen, träumen] |
∣ Es kann eine Ethik geben, die Fälle beschreibt,
zusammenstellt, & fragt: was sagst Du nun
dazu? Sieh' wie Du von dem & dem
Faktor beeinflußt wirst u.s.w. ∣
|
Und kann ich dann nicht auch keiner Regel zu folgen
glauben & doch einer folgen. Würden wir nicht
auch etwas so |
Wie kann ich das
Wort gleich erklären? – Nun, durch
Beispiele. – Aber ist das alles?
gibt es nicht eine noch tiefere Erklärung; oder muß
nicht doch das Verständnis der Erklärung tiefer
sein? – Ja, hab ich denn selbst ein tieferes
Verständnis? Habe ich mehr als ich in der
Erklärung gebe? |
Woher
aber (dann) das Gefühl, ich machte || hätte mehr, als ich sagen kann? Ist es, daß ich das nicht Begrenzte als immer |
Die Verwendung
des Wortes “Regel” ist mit der Verwendung des Wortes
“Gleich” verknüpft || verwoben. |
überlege dir: Unter welchen Umständen wird
der Forschungsreisende sagen: Das Wort … dieses Stammes
heißt soviel wie unser “und so weiter”?
Stelle Dir die Einzelheiten ihres Lebens & ihrer
Sprache vor, die den Forscher || ihn dazu
berechtigen würden. ( |
“Ich weiß doch, was
‘gleich’ heißt!” –
Daran zweifle ich nicht; ich weiß es auch. |
“Die Linie gibt mir
ein …” Hier ist der Ton auf dem
Ungreifbaren des Eingebens. Eben darauf daß
nichts meine Handlung von der Regel trennt, daß nichts
zwischen der Regel || ihr &
meiner || der Handlung steht.
|
… und was heißt
hier “anderes”,
& was das gleiche heißt” kann nur das Leben
zeigen || entscheiden || lehren in welchem diese Worte stehn; & ihre
Verwendung ist mit der des Wortes
“Regel” verknüpft. |
…
Und urteile ich, sie gäbe mir jedesmal etwas
anderes ein. – Aber das ist doch nicht wahr. Man könnte sich denken, daß einer mit solchen Gefühlen multipliziert, richtig multipliziert; immer wieder sagt: “Ich weiß nicht – jetzt gibt mir die Regel auf einmal das ein!” & wir ihm antworten: “Freilich; Du gehst ja ganz der Regel gemäß vor.” |
Einer
Regel folgen: das läßt sich verschiedenem
entgegensetzen. Der Forschungsreisende
wird unter anderm auch |
… Und urteile ich, sie gebe mir, gleichsam
verantwortungslos, dies, oder das ein || eines, oder
das andere, so würde ich nicht sagen, ich folgte ihr
als einer Regel. |
Aber könnten wir nicht auch rechnen, wie wir
rechnen (Alle gleich || übereinstimmend etc.) &
doch bei jedem Schritt das Gefühl haben, von den Regeln wie
von Zauberformeln || einem Zauberstab || wie von einem Zauber geleitet zu
werden; erstaunt darüber, daß wir
übereinstimmen? (Der Gottheit etwa für diese
|
Daraus siehst du nur, wieviel zu der
Physiognomie dessen gehört, was wir im
alltäglichen Leben “einer Regel folgen”
nennen! |
Man
folgt der Regel ‘mechanisch’.
Man vergleicht sich also mit einer Maschine || einem
Mechanismus |
Ich habe mir oft in Newcastle
vorgesagt “it's always darkest before the
dawn”, & nie geglaubt, es könne
noch einen Morgen geben. |
Der Körper der großen Menschen muß sehr gesund
sein. Wie könnte er die geistigen
Erschütterungen |
‘Mechanisch’,
das heißt: ohne zu denken. Aber ganz
ohne zu denken? Ohne
nachzudenken. |
Wir könnten sagen: || Der Forscher
könnte sagen: Sie folgen Regeln, aber es sieht
doch ganz anders aus, als bei uns. |
Kann
man sagen, daß das mechanische Ergreifen &
Verfolgen der Regel eine Naturerscheinung
der menschlichen Psychologie ist? Daß
z.B. der Forscher sagen kann: Diese
Leute zeigen ihren Kindern gewisse |
Wie handelt man nach einer
Regel? – Man tut etwas mit Sicherheit nach
ihr? – Aber irgend etwas? – Nein,
wir müssen vom Andern die Regel lernen können, so daß wir
dann übereinstimmend mit ihm nach ihr handeln. –
Und was heißt übereinstimmend mit ihm handeln? – Nun da kann ich nur Beispiele geben. |
Die Liebe hat sozusagen zwei Temperaturen;
einen Hitzegrad und einen Wärmegrad. |
Ist es denn aber möglich eine
Beobachtung zu machen ~g ⊃
~s? nun ich kann
z.B. beobachten s ∙ g.
Wie wenn ich sagte: Wer ~g ⊃ ~s beobachtet, wenn er s ∙ g vor sich sieht || hat, der sieht das Factum anders an? Es interessiert ihn dann ein anderer Aspekt? |
Kann ich denn nicht weiß vor mir sehen &
beobachten ~g?
Oder kann ich dies |
Kann ich nicht auf die Beobachtung von grün, oder
~grün eingestellt sein? Etwa
dadurch daß ich eine grüne Vorlage vor
zum Vergleich vor mir habe.
Oder ich habe eine Vorlage || ein Paradigma vor mir der Art
Der Beobachter ist ganz auf diesen Aspekt der Sache eingestellt. Seine Aufmerksamkeit ganz von ihr eingenommen. |
Ist es denn denkbar, daß jemand
r ∙
s beobachtet & dann || auch ~ r
beobachtet? Ist es denkbar, daß jemand eine Gruppe von Äpfeln als 2 + 2 Äpfel sieht & auch als 5 Äpfel? Nun es ist möglich daß er sie nicht als 4 sondern immer nur als 2 + 2 sieht & wenn er nun trachtet, sie zusammenzufassen, daß sie ihm als 5 erscheinen. Nun ist das jedenfalls eine sehr seltene Erscheinung. Und wir schließen sie aus den Beobachtungen |
‒ ‒ ‒ und
wäre das nicht, wie könnte ein Satz wie
“What's done can
not be undone” uns etwas
sagen? |
Der Eine sucht nur nach einer
roten Blume mit blauem Stern in der Mitte. Ihm fällt
nun dieser Komplex von Farben und Formen auf, oder sein
Fehler. Oder Einer sucht nach etwas Rotem; er sieht jene Blume, kennt sie wohl, hat oft nach ihr, nach diesem Farbenkomplex, gesucht; aber es fällt ihm nicht auf, daß ja hier || hier ja etwas Rotes ist. “Ach da ist ja Rot”, könnte er sagen, “ich habe immer nur an etwas ganz rotes gedacht! |
”Der Eine
beobachtet r ⊃ b.” Er sieht etwa einmal unter
den 6 Streifen einen roten & einen blauen; dann ändert
sich das Bild & es ist kein roter & kein blauer da;
dann wieder ein blauer,
& kein roter. Und
immer sagt der Beobachter, es habe sich nichts geändert.
Nun aber erscheint einmal ein roter Streifen ohne einen
blauen, & nun sagt er, es sehe jetzt
… || & er sagt,
jetzt habe sich das Bild geändert. || sehe er etwas anderes. |
“Daß das auch rot ist, daran habe ich gar nicht
gedacht, ich habe es nur als Teil des mehrfärbigen
Ornaments |
Könnte Einer nun || nun
Einer sagen: Ja, ich sehe rot; insofern ich
blau – & – rot sehe; aber anders
nicht”? |
Man könnte es sich aber auch so
denken: Der, welcher beobachtet, daß
r ⊃
b, kann meinetwegen auch r ∙ b sehen, aber er
sagt nur “r ⊃ b”; weil
das allein ihn interessiert. Ein anderer sagt aus
demselben Grund “g ⌵ r” &
ein Dritter schließt
“g ⌵
b” . |
”Aus ‘x hat Farbe’
folgt ‘x hat Form’ und umgekehrt, &
doch Wie aber, wenn ich sagte: ”Nur eine Form kann eine Farbe haben”? Wo sind dann die beiden Sätze, die auseinander folgen & verschiedenen Sinn zu haben scheinen? |
Ich könnte Erfahrungsschluß & logischen Schluß
unterscheiden. Der Schluß
von “x ist rot” auf
“x ist nicht blau” ist ein logischer
Schluß, obwohl x ∊ r ⊃ ~(x ∊
b) natürlich keine Tautologie ist.
|
Wie aber kann ich
definieren was ich unter logischen Schluß verstehe?
|
Man könnte
sagen: logischer Schluß ist einer zu dem mich
keine Erfahrung berechtigt. || dessen Rechtmäßigkeit an keine Erfahrung geknüpft
ist. || dessen Rechtmäßigkeit die Regeln
des Sprachspiels an keine Erfahrung
knüpfen. Logischer Schluß ist
ein Übergang der gerechtfertigt ist wenn er
einem bestimmten Paradigma
gemäß ist || folgt, &
dessen Rechtmäßigkeit nicht an Ergebnisse der Erfahrung
geknüpft ist. || , &
dessen Rechtmäßigkeit von sonst nichts
abhängt.
|
Auch der Teufel in der Hölle hat
eine Form des Lebens; & die Welt wäre nicht
vollständig ohne sie. |
Wenn Kinder in der Geometrie zuerst den Begriff des
Zylinders kennen lernen, fällt es ihnen oft schwer eine
Münze als Zylinder aufzufassen, deren Dicke als Höhe des
Zylinders. Ähnlich könnte es jemand schwer fallen, etwas schwarz-weiß Gestreiftes als zusammengesetzt zu sehen aus schwarzen Stücken & weißen Stücken. |
r ∙ b ⊃ s. ⊃ .w Wenn ich irgendwo 5 Gegenstände sehe,
kann nicht, was mir auffällt sein: “mehr als
3”, oder “weniger als 7”, oder
“Zwischen 3 & 7”, oder
“weniger als die Hälfte von 20”, oder
“eine ungerade Zahl”, oder “kein
Quadrat” etc. |
One question a counter-instance
to another question. |
Meine Frage ist nun: Kann es einem Menschen
scheinen als sähe er
r
∙ b und auch als sähe er
~r? So daß er also sagen
müßte: aus r ∙ b folgt r
& wenn wirklich
r ∙
b da ist, so |
Erinnere dich
daran, daß ein Rhombus, als Raute angesehen oft nicht wie ein
Parallelogramm ausschaut. Nicht aber, als schauten
die gegenüberliegenden Seiten nicht parallel aus, sondern wir
übersehen sie nur gleichsam. |
Ich könnte mir denken, daß Einer sagt, er
sähe einen weiß-gelben Stern aber nichts Gelbes –
weil er den Stern gleichsam als eine Verbindung von
Farbformen || Farbteilen sieht, die er nicht
zu trennen vermag. |
Und so könnte es ihm auch
vorkommen, man könne die Farben im Stern nicht trennen, weil man
die Formen nicht trennen kann. |
Was aber
ist die Relevanz aller dieser ganzen Fragen?
|
Der kann
die Geographie einer Gegend nicht kennen || übersehen lernen, der sich so langsam in ihr
(herum)bewegt, daß er das eine || ein Stück längst vergessen hat, wenn er
zum nächsten || zu einem andern
kommt. |
Es scheint mir etwas in meinem
Begriff des Schließens nicht in Ordnung zu sein. |
Ich möchte natürlich sagen, die Arithmetik lehre uns
rechnen, aber nicht zählen. |
Wir sagen: “Wenn ihr beim Multiplizieren
wirklich der Regel folgt, muß das Gleiche
herauskommen.” Nun, wenn dies || das
nur die
etwas hysterische Ausdrucksweise der
Universitätserziehung || von auf der Universität
Erzogenen || der Universitätsbildung || der
Universitätssprache ist, so braucht sie uns nicht sehr zu
interessieren. || der etwas hysterische Ausdruck der
Universitätserziehung || von auf der Universität
Erzogenen || der Universitätsbildung || der
Universitätssprache ist, so braucht er uns nicht sehr zu
interessieren. Es ist aber der Ausdruck einer
Stellungnahme || Einstellung zu der Technik des
Rechnens, die sich überall in unserm ganzen Leben
zeigt. Die Emphase des Muß entspricht nur der
Unerbittlichkeit einer bestimmten Einstellung, sowohl
|
Das mathematische Muß ist nur ein andrer
Ausdruck dafür, daß die
Math. Begriffe bildet.
Und Begriffe dienen zum Begreifen. Sie dienen zu einer ganz bestimmten Behandlung der Sachlagen || Situationen Denn es ist ja durchaus nicht klar, daß wir auf Situationen in der Art reagieren müssen, wie wir es tun. |
Die Mathematik bildet ein Netz von Normen. |
Es ist wie wenn ein Maßkörper
verschiedene || mehrere Facetten hätte & mit
ihnen verschiedene Gegenstände zugleich &
ihre gegenseitige Lage mäße. || bewerten hülfe. |
Wir messen Längen von Gegenständen
mit Eisenstäben und nicht mit Teigstäben. |
… Und ich muß
einen Fehler machen dürfen ohne daß alles falsch ist was ich
sage. |
Man sagt
manchmal: “Ja, |
Denke, Du hast ein
Paradigma || Muster
|
Es ist möglich, den
Komplex |
Kann ich nun A & B
vor mir haben, & auch beide sehen, aber nur
A ⌵
B beobachten? Nun, in gewissem Sinne ist das
doch möglich. Auf A ⌵ B eingestellt sein heiße, könnte man sagen, mit dem Begriff A ⌵ B auf die Situation zu reagieren. Und genau so kann man natürlich auch A ∙ B tun. |
Soll nun aber, wer A & B vor sich hat
& mit A ⌵ B reagiert, auch
vielleicht leugnen daß
A ∙
B da ist, wenn er z.B. || etwa gefragt wird? Wenn er das täte
käme er uns sinnverwirrt vor oder, sagen wir, er hätte
A vor Augen & reagiert mit
A ⌵
B, soll er dann, wenn gefragt, leugnen
können daß er A sieht? |
Wenn einer urteilt
“A
⌵ B” muß ich ihn dann nicht fragen
können: “Welchen besonderen Fall von
“A
⌵ B” siehst Du jetzt?”?
Ich meine nicht daß es möglich ist einen |
Sagen
wir: es interessiert einen nur
p A
∙ B, & er urteilt also, was immer geschieht,
nur “A ∙ B”, oder
~
(A ⌵ B); so kann ich mir denken, daß er
“A
∙ B” urteilt & auf die Frage
“siehst du B” sagt “nein, ich sehe
A ∙
B”. Etwa wie mancher, der
A ∙
B sieht nicht zugeben wird, er sehe
A ⌵
B. |
Aber die
Fläche ‘ganz rot sehen’ &
‘ganz blau sehen’ sind doch
gewiß ‘echte’ Erfahrungen
& doch sagen wir, Einer könnte sie nicht zu
gleicher am gleichen Ort Zeit haben. |
Wenn er uns nun versicherte, er sehe diese
Fläche ganz rot & zugleich ganz blau? Wir
müßten sagen: “Du machst Dich uns nicht
verständlich.” |
Der Satz “1 Fuß = …
cm” ist bei uns zeitlos. Man könnte sich aber
auch den Fall denken in welchem sich das Fußmaß & das
Metermaß nach & nach etwas veränderten & dann
immer wieder verglichen werden |
Ist aber nicht auch bei uns die relative Länge des Meters
& Fußes experimentell bestimmt worden? Doch;
aber das Ergebnis wurde zu einer Regel gestempelt. |
Ist nun ein Schluß von
“A
∙ B” auf
“A
⌵ B die Umrechnung von einem Maß auf ein
anderes? |
Die Mathematik hat schon alles vorbereitet.
|
Eine Reihe hat doch für uns
ein Gesicht! Wohl, aber welches?
|
Woher die Idee,
als || es wäre die angefangene Reihe ein sichtbares
Stück unsichtbar bis ins Unendliche gelegter
Geleise? |
‒ ‒ ‒ keine
Feststellung über das Reihenstück, oder
das || etwas, was wir darin sehen, sondern
die Feststellung daß wir nur auf den Ausdruck || Mund
der Regel |
Wenn er weiter
weiß, so wird er weiter gehen & die Regel als den einzigen
Grund seines Vorgehens angeben. |
Der Vorgang des Ableitens hat einen
Grund (Boden) |
“Aber du siehst doch …” Nun, das ist
eben die charakteristische Äußerung Eines, der von der Regel
gezwungen ist. Nimm an er stampfte dabei auf den Boden: nun hier hast Du einen seelischen |
‒ ‒ ‒ Wohl; aber das ist keine
Feststellung über das Reihenstück, oder
über etwas || noch || noch über etwas, was
wir darin sehen, || erblicken; sondern
eben ein || eine Art Ausruf charakteristisch
für die psychologische Situation || der die psychologische
Situation charakterisiert & der Ausdruck dafür,
… |
“Es ist schon alles … || ‒ ‒ ‒, ich
brauche nur noch … || ‒ ‒ ‒!” |
‘Also so ein Bild kommt Dir vor
Augen!’ – könnte ich sagen. |
Warum aber: “es liegt doch
schon alles in ihm”? |
Ich glaube im Reihenstück ganz fein eine
Zeichnung zu erblicken, die nur mehr das
“u.s.f.” bedarf, um in
die Unendlichkeit zu reichen. |
“Ich erblicke ein Charakteristikum in ihr”
– Nun, doch etwas, was dem algebraischen Ausdruck
entspricht. “Ja, aber nichts Geschriebenes,
sondern gleichsam || förmlich etwas
|
Ich erblicke etwas in ihr –
ähnlich wie die Gestalt im Vexierbild. Und sehe ich
das, so sage ich: das ist alles, was ich brauche.
Wer den Wegweiser sieht || findet, sucht nun nicht nach einer weiteren Instruktion, sondern er geht. |
‒ ‒ ‒
sondern die Feststellung, daß wir an keine weitere Anleitung mehr
appellieren. |
‒ ‒ ‒ sondern der Ausdruck
dafür daß. |
Die Regel
kann mich in mehr
als einem Sinne zwingen psychologisch & soziologisch
z.B. durch die Macht der Gewohnheit oder
durch menschliche Gesetze. Aber an diesen Zwang
denke ich nicht. Ich meine den
viel härteren der darin besteht, daß die Regel schon
alles vorgemacht hat, was ich ihr nachmachen kann, daß sie in
logischer Schrift schon alles vorgeschrieben hat.
|
Einer Regel folgen: da gibt es
viele verschiedene charakteristische Arten des Benehmens
[Lesen]. |
Was wir
‘Sprache’ nennen |
Die Frage ist
aber: Was ist der Beweis & was ist der Satz ohne
den Beweis. Denn der Beweis schafft eine Begriffsverbindung
der Satz nicht || auch eine.
|
Und die
Sätze müssen eine Möglichkeit sein die
Beweise zu katalogisieren [Ursell] Denn wie wüßte man || wüßten wir
sonst welchen Satz wir denn von dem Beweis bewiesen nennen
sollten? |
Wie ist es aber
mit unbewiesenen Sätzen? Nun, die warten eben noch
auf Beweise die sie katalogisieren, oder sie sind ihre eigenen
|
Der Beweis verschafft dem Satz Anerkennung.
|
Der Beweis zieht || schafft || schafft || knüpft eine
Kette || eine Brücke von Begriffsverbindungen |
“Wir
untersuchen eine bestimmte Verbindung der Begriffe; wenn diese
Verbindung existiert, dann verwenden wir die Begriffe so &
so.” Aber was ist das dann für eine
Verbindung? Denn es ist nicht die Verbindung der
Zeichen. |
Der Beweis reiht den Satz in ein System ein.
|
könnte man sagen, daß
|
Der Satz
“25²
= 625” gibt uns könnte man
sagen, eine Anweisung wie die Begriffe
25² &
625 verwendet || angewendet werden können. |
Der Satz & der Beweis
müssen jeder in anderem || verschiedenem Sinne (eine)
Begriffsverbindung sein. |
Die Gleichung
“25²
= 625” verändert den Gebrauch von
25 &
625. |
Das Gleichgesetzte
25² &
625 gibt mir
könnte man sagen einen neuen Begriff. Und der Beweis zeigt was
es mit dieser Gleichheit || Gleichung für eine
Bewandtnis hat. |
625 mit 25²
gleichgesetzt, ist ein neuer Begriff. |
Man könnte
schreiben: “Ich verteile
|
wie kann man den Satz
von seinem Beweis loslösen?
Dieser Satz zeigt natürlich eine
falsche Auffassung |
Der Beweis ist
eine Umgebung des Satzes. |
“25²
= 625” ist eine Anweisung zum Gebrauch jener
Zahlbegriffe. Und von jeder solchen Anweisung möchte
ich sagen, sie gebe uns neue Begriffe. Denn was die
Verwendungsart unserer Begriffe ändert, ändert unsere
Begriffe. |
Denn mit 625 =
25² zähle ich auch. |
‘Begriff’ ist ein vager Begriff. |
Nicht in jedem Sprachspiel gibt es etwas,
was man “Begriffe” nennen kann. |
Begriff ist etwas wie ein Bild, womit man
Gegenstände |
Im Sprachspiel (2) gibt es keinen
Begriff. Man könnte aber seine Technik in
solcher Weise
leicht durch solche Zusätze zu einer
Technik machen || erweitern || Man könnte aber in
seine Technik leicht solche Zusätze
einführen || Man
könnte aber seine Technik leicht in solcher Weise
erweitern || Man könnte es aber leicht
durch eine solche || solche Technik
erweitern, die Begriffe ins Spiel || zur Anwendung brächte || in seinen Mechanismus
einführte. Man könnte
z.B. Bilder einführen mit || nach welchen B die Bausteine, die |
Es gibt nun
unter diesen Bildern(, den Begriffen,) auch
bewegliche. Oder, was auf dasselbe hinausläuft, wir
lernen eine Konstruktionstechnik durch die wir aus einem Bild ein
anderes |
Wenn
Begriffe Maßbehelfe sind, wer sagt Was ist aber dann jener Satz den ich durch den Mechanismus gewonnen habe? Nun, ersetzt er uns nicht den Mechanismus in einem besonderen Fall? Ist er nicht sozusagen ein Bild des Mechanismus in einer besonderen Lage? |
Das Klavier ist dazu um || Klavierspielen
dient dazu Musik zu machen.
Aber könnte einer nicht auf der Klaviatur spielen um seine
Finger gelenkiger |
Der Begriff,
könnte man sagen, ist eine Methode des Beurteilens.
Einen Begriff also bildet der, der eine neue Methode || Art der In diesem Sinne bildet die Mathematik immer neue Begriffe, die ‘mathematischen’ Begriffe. || neue Begriffe, die man gewöhnlich ‘mathematische’ Begriffe nennt. Aber jeder mathematische Beweis ist wieder ein Begriff, gleichsam ein sich bewegendes Bild. Und der bewiesene Satz ist ein Bild dieses Bildes, nach gewissen || bestimmten Regeln der Abbildung. |
Würde man
von Einem sagen, er versteht den Satz
“563 +
437 = 1000”, der nicht wüßte, wie man
ihn beweisen kann? Kannst |
Wie ist es dann aber mit den
nicht beweisbaren || entscheidbaren
Sätzen? |
Würde
mir der Fermatsche
Satz bewiesen so verstünde ich
ihn nachher || danach besser, als vorher. |
Das Problem eine mathematische
Entscheidung eines Theorems zu finden könnte man
mit einigem || gewissem Recht
das Problem nennen einer Formel || Satzform
mathematischen Sinn zu geben. |
Die
Gleichung koppelt (zwei) Begriffe; so daß ich nun von
einem zum anderen übergehen kann. |
Merke: der falsche
math. Satz hat nicht einen
falschen Beweis, sondern gar keinen. |
Wenn die Gleichung zwei
Begriffe kuppelt, dann auch die falsche. Also
z.B.
25 × 25 =
10 |
Wenn ich aber einen Fehler im Beweis mache & so den
falschen Satz falsch beweise! |
Die Gleichung bildet
eine Begriffsbahn. Aber ist eine Begriffsbahn ein
Begriff?? Und wenn nicht || kein Begriff ist (dann) |
Denke Du hast einem Menschen || jemand eine
Technik des Multiplizierens gelernt. Er
verwendet sie in einem Sprachspiel. Damit
er nun nicht immer von neuem multiplizieren muß, schreibt
er sich die Multiplikation in verkürzter Form,
nämlich als Gleichungen || als Gleichungen
nämlich auf
& benützt nun diese, wo er früher
multipliziert hat. |
[Man
könnte sich aber auch den Fall denken daß Menschen durch einen
merkwürdigen Zufall in den Besitz der Multiplikationstabelle (oder einer Rechenmaschine) |
Von der Multiplikation || Technik des Multiplizierens nun sagt er, daß
sie Verbindungen zwischen den Begriffen
schlägt. Er wird dasselbe auch von der
Multiplikation sagen. || der Multiplikation,
als Bild der || dieser Verbindung || dieses
Übergangs, sagen. || als Bild des
Übergangs sagen. Und endlich auch
von der Gleichung: Denn es ist ja wesentlich, daß sich
der Übergang auch einfach durch das Schema der Gleichung
Wird er nun aber geneigt sein, vom Prozeß des Multiplizierens zu sagen, er || dieser sei ein Begriff? |
Es ist doch eine Bewegung. Eine
Bewegung scheint es, zwischen zwei Ruhepunkten, dies sind die
Begriffe. |
Fasse ich den
Beweis als eine || marginale Bewegung
zwischen den Begriffen || von einem Begriff zum
anderen auf, dann werde ich von ihm nicht auch sagen
wollen er gebe nur einen neuen Begriff || selbst sei ein
Begriff || ein neuer Begriff Aber
kann ich nicht den Beweis || die
Multiplikation als ein Bild auffassen |
Warum
bin ich || fühle ich
mich nun versucht || fühle ich nun
eine so starke Versuchung zu sagen, die Gleichung gebe
mir einen neuen Begriff? || in der Gleichung
hätte ich einen neuen Begriff?
(Sozusagen einen kombinierten Begriff.) Ist denn
nicht ein scharfer Unterschied zwischen dem was Du mit der Gleichung
& dem was Du mit ihren beiden Seiten tust?
|
Ich
möchte sagen: die beiden Seiten der Gleichung
zeigt || sind die zwei Seiten
desselben Begriffs. |
Ich Ich möchte sagen: Wenn wir einmal die eine, einmal die andre Seite der Gleichung verwenden, verwenden wir zwei Seiten desselben Begriffs. |
Aber warum soll ich zwei miteinander verbundene Begriffe einen
Begriff nennen? |
Weil, so möchte ich
sagen, keiner der beiden Teile das wäre, was er ist, wenn diese
Verbindung nicht existierte. |
Du hast die begriffliche
Institution geändert, als Du die Verbindung der beiden
machtest. |
Ist der begriffliche
Apparat ein Begriff? |
Könnte nicht der Beweis
von 25² =
625 beschrieben werden:
“25²
625 ergebend”? Man könnte
sagen: das zeigt Dir wie
25²
625 ergibt. |
Die Gleichung
25² =
625 ist das Bild des Übergangs von
“25²” auf “625”?
|
ist der begriffliche
Apparat nicht etwas anderes als der einzelne
Begriff? |
Man
kann die Erfindung einer Rechnungsart eine
mathematische Entscheidung |
Die beiden Begriffe werden in
ein Bild aufgenommen; das, wie sie selbst,
aufbewahrt wird |
Der
math. Beweis knüpft eine neue
Begriffsverbindung. |
Das Bild des Experiments ist
kein Experiment; das Bild des Beweises aber ein Beweis. |
‘Er macht
den Übergang nach dieser Gleichung.’ Ist also
die Gleichung nicht das Bild dieser Handlung?
|
“Inhaltlich gedeutet”: ein elender
Ausdruck! |
Es ist
(ja) etwas sehr eigentümliches, daß wir
uns überhaupt mit Tautologien || mit Tautologien
überhaupt abgeben. Es ist nichts weniger als
selbstverständlich. Und das würde sich uns
noch |
Verstehe ich den
Fundamentalsatz der Algebra nicht besser, wenn ich ihn
beweisen kann, als wenn ich ihn nicht beweisen kann?
Wie kann es sein, daß der Beweis nicht zu meinem
Verständnis beiträgt, da er doch erst zeigt, wo dieser Satz
zu Hause non non p = p ist aber ne ne p = ne p. |
Hat der den gleichen
Begriff der Fünf wie wir, der nur bis 5 zählen
kann? |
Wie zeigt denn
einer, daß er einen mathematischen Satz
versteht? Darin, etwa, daß er ihn
anwendet. Also nicht auch darin, daß
er ihn beweist? |
Ich möchte sagen: der Beweis zeigt
mir einen neuen Zusammenhang, daher gibt er mir auch einen
neuen Begriff. |
Ist der neue Begriff nicht der
Beweis selbst? |
Du kannst doch
gewiß, wenn der Beweis erbracht ist,
ein neues Urteil bilden. Denn Du kannst doch nun von
einer bestimmten Figur sagen, sie || einem
bestimmten Muster sagen, es sei oder sei nicht dieser
Beweis. |
Ja, aber ist der Beweis als Beweis betrachtet,
gedeutet, eine Figur? Als Beweis, könnte
ich sagen, soll er mich von etwas überzeugen. Ich
will, auf ihn hin, etwas tun oder lassen. Und
auf einen neuen Begriff hin tue, oder lasse ich nichts.
Und das, wovon er mich überzeugt kann nun ganz || sehr verschiedener Art sein. (Denke an Beweise Russellscher Tautologien, Beweise in der Geometrie, in der Algebra.) |
Der Mechanismus … kann
mich von etwas überzeugen (kann etwas
beweisen). Aber unter welchen Umständen
– in welcher Umgebung von Tätigkeiten &
Problemen – werde ich sagen er überzeuge mich von
etwas? |
Der Beweis davon daß |
“Aber ein Begriff
überzeugt mich doch von nichts, denn er zeigt mir
nicht eine Tatsache.” – Aber
warum soll mich ein Begriff nicht vor allem davon überzeugen,
daß ich ihn gebrauchen will? |
Warum soll der (neue)
Begriff, einmal gebildet, mir nicht unmittelbar den Übergang zu
einem Urteil gestatten? |
Im Beweis heißt es immer.
“Das ist doch das; & das ist doch das;
etc.” Dieses |
Das Wort
“doch” könnte man sagen, zeigt, daß ich Dich
nur an etwas erinnere. |
“Du gibst doch
das zu; & das;
etc.”. –
“Gewiß!”.–
Könnte ich sagen. –”wenn ich damit nichts
zugebe.”. |
Wer die Brüche in einer
Reihe ordnet, der gibt mir einen neuen Begriff. Es hat
jetzt Sinn zu fragen: “Den wievielten Bruch hast
Du angeschrieben?”; aber auch: |
Ebenso erlaubt
mir die Zuordnung von Konstruktionsmethoden zu Arten
algebraischer Ausdrücke eine neue Beschreibung der
Konstruktionen, neue Fragestellungen, neue Urteile.
|
Aber zugegeben
das; ist denn der Beweis bloß || nur diese
Begriffsneubildung? || ; ist dann der
Beweis nichts, als nur diese
Begriffsbildung? |
Ich verstehe, wie die Figur
|
Ich mache ein
zusammengesetztes Paradigma aus den beiden Begriffen.
Und ich kopiere nun dieses zusammengesetzte Bild. Es ist
ein für allemal das Bild des richtigen
Übergangs. |
Ich mache
ein zusammengesetztes Paradigma. – Aber
wofür ist es (dann) ein Paradigma? Nun,
jedenfalls |
Nehmen wir an, uns hat jemand den Fundamentalsatz bewiesen.
Und zwar so, indem er uns zeigt, wie für eine
bestimmte Gleichung, sagen wir 600x40 ‒ 4000x⁶ + …
= 0, Approximationen für x zu finden
sind. |
Thank you for your letter dated …
The news of your entering the Roman Catholic Church
was indeed unexpected. But whether it's good or
bad news how would I know. This seems clear to me.
The decision to become a Christian is like the decision to give up
walking on roads & paths || the
ground & to walk || take up walking on a
tightrope; where nothing is more easy
than to slip & every slip can be fatal. Now if a
friend of mine were to take up tightrope walking & told me
that in order to do it he has to wear a particular garment I should
say to him: If you're serious about
that || the
tightrope walking I'm certainly not the man to
say || tell you what clothes || outfit you should or
shouldn't || should not wear, as
I've || I
myself have never tried the thing || to walk on a
rope. Further your decision to wear these |
Ich will
sagen, der Sinn der Mathematik ist es, daß sie
mich || uns die Dinge auf neue Art beurteilen
lehrt. |
Der Beweis zeigt eine
neue Verbindung von Figuren, eine neue Bewegung. Und diese
ist uns als Bild aus irgendeinem Grunde
interessant || wichtig. |
“Einen math. Satz verstehen” das ist ein sehr vager
Begriff. Sagst du aber “Auf's Verstehen kommt's überhaupt nicht an. Die math. Sätze sind nur Stellungen in einem Spiel” so ist das auch Unsinn! |
Daher der Streit ob ein Existenzbeweis der keine Konstruktion ist ein wirklicher
Existenzbeweis ist. Es frägt
sich nämlich: verstehe ich den Satz
“Es gibt …” wenn ich keine Möglichkeit
habe zu finden, wo es existiert. Und da gibt es zwei
Gesichtspunkte: Als deutschen Satz
z.B. verstehe ich ihn soweit ich ihn
nämlich erklären kann (& merke, wie weit meine
Erklärung geht!). Was aber kann ich mit ihm
anfangen? Nun nicht Das ist der Fluch des Einbruchs der math. Logik in die Mathematik, daß nun jeder Satz sich in mathematischer Schreibung darstellen läßt & wir uns daher verpflichtet fühlen ihn zu verstehen. Obwohl ja diese Schreibweise nur die Übersetzung der vagen gewöhnlichen Prosa ist. |
Der Beweis ist ein
Begriff zur Beurteilung von allem des Beweisens. || der Tätigkeit des
Beweisens. |
Verstehe den
math. Satz: siehe
Mult. Ax.¤
(Es glaubt der Mensch, wenn er nur Worte hört, es
müsse sich dabei auch etwas denken lassen.) (x) ∙ x ∊ Soldier . ⊃ . x is brave (x) ∙ x ∊ Soldier |
Ein Begriff ist nicht
wesentlich ein Prädikat. Wir sagen zwar manchmal: “dieses Ding ist keine Flasche” aber es ist dem |
Es brauchte
z.B. gar keinen Satz “dies ist ein
Platte” geben; sondern etwa nur den: “hier ist
eine Platte”. |
Die
“mathem. Logik”
hat das Denken vieler || von Mathematikern
& Philosophen gänzlich verbildet, indem |
Von was Du Dich
überzeugst das kann man dadurch ausdrücken, || : was Du daraufhin |
Uns kümmert der
seelische Zustand der Überzeugtheit nicht. Wohl aber
der Anblick, der dich überzeugt und die
Konsequenz || Konsequenzen
dieser Überzeugtheit. Daher sagt uns auch das Wort
“Intuition” gar nichts in Verbindung etwa mit einem
Induktionsbeweis. |
“Intuition” ist
(nur) eine Ausrede – wo gar keine
Ausrede nötig ist. |
Das Interessante am
Mult. Ax. ist nicht
der paradiesische Zustand, der herrschen würde wenn
|
Statt die Konsequenzen des
Mult. Ax. zu
entwickeln & dem Leser gleichsam das Idealbild zu
zeigen, wie schön es wäre wenn es sich
so verhielte || wenn es so
wäre, sollte das einzig Interessante gezeigt werden
nämlich der Gegensatz der Mathematik zu diesem
Bild. Und in dieser Weise kann das
Mult. Ax. wirklich ein
interessantes |
Das Interessante am
Mult. Ax. ist nicht
der Ideal-Zustand den es uns zeigt und den wir gleichsam
als wünschbar darstellen || gleichsam als wünschbar
vor Augen führt || stellt, sondern
umgekehrt, die Tatsache, daß dies Axiom einem Vorurteil
entspricht || ein Vorurteil ausspricht gegründet auf
diese Verwendung der Begriffe & daß dieses Vorurteil
der Mathematik || der
Tätigkeit des Mathematikers
ganz unwesentlich ist. Es ist interessant
weil || wenn es uns zeigt, wie
gefährlich die Phraseologie ist, die es uns als plausibel
erscheinen läßt. || |
Es ist schon
wahr: das Zahlzeichen gehört zu einem
Begriffswort || Begriffszeichen & |
Welcher Art war der
Irrtum, worauf konnte er gegründet sein, daß
φn(x) alle möglichen
unendlichen Dezimalbrüche
darstellte? |
Man kann das Zeichen
“626” daraufhin beurteilen ob es bei der
Multiplikation von 2 5
× 25 entsteht; oder wie weit es davon entfernt ist
so zu entstehen. |
Kann ich
sagen, ich beurteile die Ziffer 6768 (als Tapetenmuster) danach
|
Es ist ein
mathematischer Satz: daß das Thema … einen Kanon in
der Unterquart bilden kann. |
Der Beweis überzeugt Dich von
etwas: das heißt, Du wirst etwas auf den Beweis
hin tun. |
Oder auch: Du wirst
überzeugt sein, daß Du das & das wirst
tun || ausführen können; Du wirst es || etwas unternehmen, Andern sagen, daß sie es unternehmen
sollen, usw. |
Und wie läßt sich
dies auf die Beweise der
R.'schen
Tautologien anwenden?
|
Nun der
Beweis überredet Dich dazu, so
& so zuschließen. || dazu, daß Du so
& so zu schließt. |
Wie hängt die
Überzeugungskraft des Beweises |
Nun der Begriff
gibt mir jedenfalls einen neuen Begriff zur Beurteilung des
Satzes, den || welchen Du beweist. |
Der Philosoph
muß sich so drehen & wenden, daß er an den
mathematischen Problemen herumkommt || vorbeikommt, nicht gegen eines rennt, – das
gelöst werden müßte ehe er weitergehen
kann. |
Sein Arbeiten in der |
Ein bewiesener mathematischer Satz ist eine
interessante Figur. |
Nicht ein
weiteres || neues Gebäude ist
aufzuführen, nicht || oder eine neue
Brücke zu bauen || schlagen, sondern
die Geographie, wie sie jetzt ist zu beschreiben.
|
Wir sehen
wohl Stücke der Begriffe, aber nicht klar die Abhänge, die
den einen in andere übergehen lassen. |
Darum
hilft es in der Philosophie der Mathematik nichts, Beweise in
neue Formen zu bringen || umzugießen || umzuformen. Obwohl hier eine starke Versuchung
liegt. Damit soll nicht gesagt sein |
Auch vor 500
Jahren konnte es eine Philosophie der Mathematik geben, dessen, was
damals die Mathematik war. |
Der mathematische Beweis muß Dir einen neuen Begriff geben, weil
er es Dir möglich machen muß anders zu urteilen ohne Dir etwas
mitzuteilen. |
“Schreibe den || diesen Satz auf, wenn er von || nach dieser Figur bewiesen wird!”
|
“Sieh' nach, ob
dieser Satz von dieser Figur bewiesen wird.” |
Wenn man sich
“nicht “vorstellen kann”
daß 25 ×
25 nicht 625 || 625 nicht
ergibt, dann kann man auch nicht glauben,
könnte man sagen, daß es 625 ergibt. |
Insofern man sich nicht
vorstellen kann daß
25 × 25 nicht
625 ergibt, kann man auch nicht glauben, daß es
625 ergibt. |
”Schreibe den Beweis des Satzes …
aus den Sätzen … & … auf.”
|
Ich möchte sagen: der
Beweis wird statisch gebraucht, nicht dynamisch.
(Heißt das: als Bild, nicht als
Experiment?) |
Und wenn
der Beweis uns ein neues Bild ist, dann auch ein
neuer Begriff. |
‒ ‒ ‒ Nun,
Du beweist Dir den Satz, & nun verwendest Du ihn
losgelöst vom Beweis. |
Wenn du dieser
Maus ins Maul schaust, wirst du zwei lange Schneidezähne
sehen. – Wie weißt du das? – Ich
weiß, daß alle Mäuse sie haben,
also auch diese. (Und man sagt nicht:
“& dieses Ding ist eine Maus, also hat auch sie
…”) Warum ist das eine so wichtige
Bewegung? Nun, wir studieren || untersuchen
z.B. Tiere, Pflanzen etc.
etc., bilden allgemeine Urteile & wenden sie
im einzelnen Fall an. … Es ist aber doch eine Wahrheit
daß diese Maus die Eigenschaft hat, wenn alle Mäuse
sie haben! Das ist eine Bestimmung über die Anwendung
des Wortes “alle”: Die |
Oder man
sagt: “Dieser Mann ist ein graduierter Mathematiker || Student der
Math.”. Wie
weißt du das? –“Alle Leute in diesem
Zimmer sind graduierte Mathematiker; es sind nur solche
zugelassen worden.” – |
Das interessante Allgemeine ist, daß wir oft ein
Mittel haben, uns von dem || vom allgemeinen Satz zu
überzeugen, ehe wir besondere
Fälle in Betracht ziehen: |
Wir haben dem
Pförtner den Befehl gegeben, nur Leute mit Einladungen
hereinzulassen & rechnen nun darauf, daß dieser Mensch, der
hereingelassen wurde, eine Einladung hat. |
Das interessante Allgemeine am logischen Satz ist
nicht die Tatsache, die er auszusprechen scheint sondern die immer
wiederkehrende Situation in der dieser Übergang gemacht
|
Ich bin überzeugt, nicht nur, daß ich das
Resultat des Beweises, sondern auch das ganze Bild des
Beweises erhalten kann, indem ich diese
Paradigmen || Übergänge
sukzessive || iterativ auf
die || diese Prämissen
anwende. |
Der Beweis
überzeugt Dich auch, daß Du die Beweisfigur || dieses
Beweisbild durch Anwendung der Paradigmen
nach der Reihe … erzeugen kannst. |
Hat der Beweis Dich unbedingt davon
überzeugt, |
Der Beweis ordnet den Schlußsatz unter den
Begriff “aus diesen Sätzen auf diese Art
erhältlich“. |
Wenn ich also meine Oder: Wenn ich eine Wand nur mit Figuren schmücken will, die Wege nach solchen Übergängen sind, so brauche ich nur Beweise der Principia Mathematica zu kopieren. |
Was so aussieht, ist ein Beweis
dieses Satzes aus denen || jenen |
Ich
beurteile eine Figur an der Wand nach dem Begriff “erzeugbar
aus Bin ich nicht im Stande solche Beweise zu erfinden, finde aber, durch Zufall, zu einer meiner Figuren im Buche den Beweis im Buche so kann |
Die Beweisfigur ist der
Pedant eines Schlußvorgangs || Schließvorganges. |
Gib es angewandte Mathematik,
so auch angewandte Logik. Nun wie schaut angewandte Logik
aus? |
In der
angewandten Math. werden die
‘math. ’
Begriffe’ angewandt &
Schlußweisen || Schlüsse
(z.B. Substitutionen) nach den Sätzen
der reinen Math. |
Der Satz steht
für das wovon uns der Beweis überzeugt. –
Der Beweis ist z.B. ein Bild, das
nur mich überzeugt, ich werde durch die &
die Art von Tätigkeit von dort || durch eine
Tätigkeit der & der Art von dort immer
dahin gelangen. || Der Beweis
überzeugt mich z.B. durch ein Bild davon
daß ich durch die & die Art von
Tätigkeit || eine Tätigkeit der & der
Art von dort immer dahin gelangen.
Ich werde etwas Bestimmtes auf den Beweis hin wagen || unternehmen. Der Satz, der
den Beweis beweist steht für |
‒ ‒ ‒Der
Satz entspricht etwa einem Bild des Mechanismus |
Wenn der
Beweis das Vorgehen nach der Regel registriert, so
erzeugt er (dadurch) einen neuen
Begriff. |
Indem er einen
neuen Begriff erzeugt, überzeugt er mich von etwas.
Denn zu dieser Überzeugung ist es |
Damit hängt es zusammen, daß man sagen
kann, der Beweis müsse eine interne Relation zeigen || demonstrieren. Denn die interne Relation von
Strukturen ist die Organisation die die eine aus der anderen
erzeugt äquivalent angesehen mit dem Bild dieser |
Indem der
Beweis einen (neuen) Begriff erzeugt, überzeugt er
mich von etwas. Das wovon er mich überzeugt ist in dem
Satz ausgesprochen den er bewiesen hat. || . Wovon er mich
überzeugt, das ist in
dem Satz ausgesprochen den er bewiesen
hat. |
∣ Problem: Bedeutet das Wort,
( || “mathematisch” immer
dasselbe || jedesmal das gleiche: wenn wir von
‘mathematischen’ |
Was hat nun der
bewiesene Satz mit dem Begriff zu tun, der den Beweis
schuf. (oder, was hat der bewiesene Satz
mit der internen Relation zu tun, die der Beweis
demonstrierte. |
Das
Beweisbild || Bild ist ein Instrument des
über-Zeugens. |
Es
ist klar, man kann auch den unbewiesenen
math. Satz, ja auch den
|
Der
math. Satz sagt mir:
Verfahre so. |
Ich verfahre also auf den Satz hin wie auf den
Beweis der mich davon überzeugt || mir
zeigt ich dürfe so verfahren |
Wenn uns der
Beweis von etwas überzeugt dann müssen wir
auch von den Axiomen überzeugt sein. Wohl; aber
nicht als von empirischen Sätzen,
d.h., das ist |
Der Beweis überredet mich, so zu
verfahren; der || . Der
bewiesene Satz sagt: ‘verfahr so!’
|
Ein Sprachspiel: Wie
habe ich mir eins vorzustellen, in dem Axiome, Beweise &
bewiesene Sätze auftreten? |
Der Philosoph ist der, der in sich viele
Krankheiten |
Wer in der Schule zum erstenmal ein
bißchen Logik lernt || von der Logik hört, der ist gleich davon überzeugt, wenn
man ihm sagt, ein Satz impliziere sich selbst, oder wenn man ihn das Gesetz des
Widerspruchs, oder (das Gesetz) des
ausgeschlossenen Dritten sagt || er nun das Gesetz des Widerspruchs
hört, oder das Gesetz des ausgeschlossenen
Dritten. Warum ist er gleich davon
überzeugt. Nun, diese Gesetze passen
ganz |
Dann lernt er
etwa || Der lernt dann etwa kompliziertere Sätze
der Logik beweisen. Die Beweise werden ihm vorgeführt,
& er ist wieder überzeugt; oder er erfindet selbst einen
Beweis. Er lernt so neue Techniken des Schließens⇒ || & || . Und auch, auf welche Rechnung es zu setzen ist, wenn etwas schief geht || sich ein Fehler zeigt. || wenn sich nun Fehler zeigen. |
Der Beweis überzeugt ihn
überredet ihn, daß er an dem Satz, an der Technik
die dieser vorschreibt, festhalten muß; aber
(er) zeigt ihm auch, wie er an dem Satz festhalten kann,
& nicht ohne Gefahr
läuft || ohne Gefahr zu laufen, mit
der || einer Erfahrung in
Widerspruch || Konflikt zu geraten. || aber er zeigt ihm zugleich wie er an dem
…
|
Wenn wir im Leben vom Tod umgeben sind, so auch in der
Gesundheit des Verstandes || im gesunden
Verstand vom Wahnsinn. || so
auch im ruhigen, normalen Verstand vom
Wahnsinn. || so auch im
alltäglichen Verstand |
Nocheinmal: Man könnte den Beweis in den Worten
beschreiben: “So geben
500 + 500
1000”, “So hat eine Gleichung
n-ten Grades n Wurzeln”, “So gehen die rationalen Zahlen an der
√2 vorüber”. Der Beweis zeigt Dir einen
Vorgang & Du kannst nun nicht umhin ihn so & so zu
nennen. |
Sieh',
so gibt || geben
3 + 2
5. Aus dem Beweis leitest Du eine Regel ab, oder einen Satz, der als Regel dient. |
Jeder Erfahrungssatz kann als Regel dienen wenn man
ihn feststellt, ich meine unbeweglich macht, so
daß sich nun alle Darstellung um ihn dreht & er ganz zur
Methode der Darstellung gehört & unabhängig von den
Tatsachen wird || ist. |
”So ist es, wenn dieser Satz aus diesem abgebildet
wird. Das mußt Du doch zugeben.” Was
ich zugebe ist, daß ich solchen Vorgang so nenne.
|
∣ Denken wollen ist eins; Talent zum Denken
|
Wie steht der Beweis
des Satzes hinter dem Satz? Steht er hinter dem Satz wie eine Anwendung des Satzes? ein Teil der Technik, in der der Satz sein Leben hat? |
Könnte man sich eine
Mathematik ganz ohne Beweise denken? Die Menschen
lernten math. Sätze &
würden von ihrer Wahrheit || Richtigkeit durch die Autorität
des Lehrers überzeugt. – |
Könnte man sich denken
|
Nun, lernt er nicht auch die Geographie
Nord-Amerikas, ohne dort gewesen zu
sein? Und man kann ihm doch auch beibringen, eine Zahl sei durch 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme es sei || ist; ohne |
Du prüfst den Zeichenausdruck (es muß kein Satz sein)
formal & entscheidest danach || so, ob es für Deinen Zweck zu
brauchen || passend ist. || &
entscheidest in dieser Weise, … |
Wie ist es mit der
Prüfung von Zeichenausdrücken daraufhin, ob sie
Multiplikationen sind? Nun, nichts leichter,
als sich so eine Prüfung vorzustellen. (Sie ist
ganz analog der Prüfung eines Zahlzeichens daraufhin, ob es
dasjenige einer Quadratzahl ist, |
Das Resultat so einer Prüfung kann der Satz
sein: “Der Zeichenausdruck auf diesem Papier ist
eine Multiplikation” – & dies ist kein
mathematischer Satz. || – –
Oder aber: “Der Ausdruck
‘ … ’ ist eine Multiplikation” –
& dies ist ein mathematischer Satz. |
Die Prüfung ist natürlich
wieder analog der eines musikalischen |
“Ich werde nur
diejenigen der Zahlen 94,
81, 72, 31,144 dort hinschreiben, die
Quadratzahlen sind.” Ist das gleichbedeutend
mit dem Satz: “ich werde von
diesen || jenen Zahlen nur 81 & 144
hinschreiben”? |
Wie steht der Beweis hinter dem
Satz? – Wie ein Bild; das den Satz
rechtfertigt. |
Wenn man vom Beweis sagt, er zeige wie
(z.B.)
25 × 25
625 ergeben: |
Denke Dir eine Reihe
von Bildern. Sie zeigen, wie zwei Leute nach den &
den Regeln Degen fechten. || mit
dem Rapier || Rapieren
fechten. Eine Bilderreihe
kann das doch zeigen. Hier bezieht sich das Bild auf
eine wirkliche Vorgänge. || Wirklichkeit. Man kann nicht sagen, es zeige,
daß so gefochten wird, nur || aber
wie gefochten wird. In einem andern Und nun zeigen sie auch daß man auf diese Weise in diese || jene Lage kommen kann. |
In einem Sprachspiel
kann man unter Umständen Sätze einander gleich
setzen. So möchte ich sagen, daß der Satz
“dieses Blatt ist grün” das
gleiche sagt wie der:
“dieses Blatt ist grün & nicht
rot”. Und doch ist das nur in einem bestimmten
|
Kann man denn nicht sagen: die Multiplikation
zeigt || zeige Dir, wie
25 25 625
ergibt? oder, || der Beweis: wie
diese Gleichung eine Lösung hat? |
Ich möchte sagen:
die Ableitung der Lösung zeigt mir,
in welchem Verhältnis die Lösung zur
Gleichung steht; als zeigte sie mir das Kind, wie es in den Armen der
Mutter ruht. |
Denke dir den
Beweis (3 × 3
= 9) von drei Personen gesprochen. A
zählt von 1 bis 9; B immer von 1 – 3, und C
langsam von 1 – 3. Könnte das nicht
Einen dazu bringen, daß er sagte:
“Ja, so muß also
3 × 3
immer 9 ergeben!”? Oder
einfach: “Ja,
3 × 3 ist
9.” – |
Ich denke mir die Beweise der mathematischen
Sätze auf der Bühne gespielt || dargestellt,
mit || in eindrucksvollen
Kostümen. Leute prägen sich solche Szenen
fürs ganze Leben ein. |
Du ziehst aus dem Beweis eine Lehre. |
Wenn etwas an der
Freudschen Lehre von der
Traumdeutung ist; so zeigt sie, in wie komplizierter
Weise der menschliche Geist Bilder der Tatsachen macht. || malt. |
So
kompliziert, so unregelmäßig |
Der Beweis ist dazu da, daß er Dich
etwas lehre. |
Wenn man
sagt der mathematische Satz ist eine Regel, so natürlich
nicht eine Regel in der Mathematik. In der Mathematik ist
er ein Gesetz; ein Naturgesetz in
der Welt der Mathematik. || ; ein Naturgesetz, das
von den mathematischen Gegenständen || Dingen
handelt. || ; ein
Naturgesetz von den mathematischen Dingen. || |
Der Beweis ist ja dazu da, daß er Dich etwas lehrt.
Und was er Dich lehrt, spricht der Satz aus, oder zeigt
der Satz an, der bewiesen wurde. |
1) See facsimile; line connecting this remark with the following one.
2) This is the draft of a letter that was sent to Yorick Smythies, dated "7.4.[1944]", and is published in Ludwig Wittgenstein: Gesamtbriefwechsel, Innsbruck Electronic Edition (2011).
3) Ms-127, page 203 contains technical drawings and figures that are not included in the transcription.
To cite this element you can use the following URL:
BOXVIEW: http://wittgensteinsource.org/BTE/Ms-127_n