|
| 6.1.43. Schränken wir einen
Ort nach & nach durch zwei Reihen von
ˇunvollständigen Dezimalbrüchen ein, die wir
ˇsowohl als die Reihung selbst nach & nach
weiter führen (z.B. als das
Ergebnis von Experimenten) dann kann man die
Einschränkung des Orts durch einen unvollständigen
Dezimalbruch darstellen |
/ | Denk Dir die
intensionale Allgemeinheit in Merkzeichen
gebraucht |
| Wenn man sagen
|
| Denk Dir eine Morphologie der Kurven,
ohne Gleichungen oder dergl. |
/ | Von den Mathematikern
kann man nur Mathematik lernen, aber nicht die Philosophie der
Mathematik. Ich meine man kann |
| In den allgemeinen
intensionalen Sätzen von den Funktionen wird
einerseits eine Technik des Rechnens festgehalten, die man dann auf
ein gegebenes Beispiel anwenden kann;
andrer-
|
| Wie
ist es also mit dem [m|M]uß dieser
allgemeinen Sätze? |
| Nimm, an es gäbe nur ein
Beispiel & den allgemeinen
Kalkül. – |
| 7.1. Aber es ist doch kein Zweifel, daß
Das heißt doch: wir lernen durch diese Beispiele eines neues Sprachspiel; ähnlich in gewissem Sinne dem neue Multiplikationen auszuführen, wenn wir Multiplikationen gelernt haben. |
| Wenn wir
nun, wie ich vielleicht sagen |
|
Der allgemeine Begriff einer Zuordnungs-Technik. |
| Denk' Dir daß die Menschen
durch gewisse Zeichen etwa von der Art der Chinesischen Siegel
|
| Wie, wenn man die reellen Zahlen
nicht durch das Aufzeigen |
| Angenommen, wir geben einem Prinzip der Teilung aller
reellen Zahlen einen Namen. Geben wir den Namen dem Prinzip
der Teilung auf die ration.
|
| Sagt die allgemeine
intensionale Behandlung mit ihren Variablen
nicht: “so muß es
ausschauen”? |
| 8.1. Die extensionalen Erklärungen der
Funktionen, ⌊der⌋ irrat reellen Zahlen,
etc. las übergehen alles
Intensionale, – obwohl sie es
voraussetzen, – & bedienen
beziehen sich einer auf die immer wiederkehrende
◇◇◇ äußeren Form. |
| Die Funktion hat sozusagen eine
extensionale Äußerung. |
| Der allgemeine Begriff der Funktion als
heuristisches Prinzip: |
| Denken wir wieder an das
Beispiel des Zaubers gewisser geschriebener Symbole
(etwa geschriebener) die die Menschen dazu bringen
übereinstimmend Zahlenfolgen zu schreiben oder eine Zahl einer
gegebenen anderen zuzuordnen. Es sei also s = f(x) und f = 1, & dies Symbol ist eines von denen welches uns einem beliebigen rationalen x ein y zuordnen läßt.
|
/ | 9.1. Unsre
Schwierigkeit fängt eigentlich schon mit der
unendlichen Geraden an; obwohl wir schon als Knaben lernen, eine
Gerade habe kein Ende, & ich weiß nicht, daß diese Idee
irgend jemand Schwierigkeiten bereitet hätte.
Wie, wenn ein Finitist versuchte diesen Begriff durch den
Ei einer geraden Strecke von
Aber die Gerade ist ein Gesetz des Fortschreitens.* |
/ |
Die Verteilung der Primzahlen wäre ein ideales Beispiel
für das was man synthetisch a priori nennen
|
| Die Allgemeinheit der Funktionen ist sozusagen
eine ungeordnete |
| 10.1.
Ich lese in “Chemical History of a Candle”:
“Water is one individual thing – it never
changes”. |
|
Denken wir uns das Zeichen
“ℵ”,
dessen Physiognomie ich
|
| Du kannst über die reellen Zahlen nicht
in's Klare kommen außer
|
| Was, wenn die irrationalen
Zahlen Seltenheiten unter den rationalen
wären? So daß man etwa sagen
könnte: unter den rationalen
Z. gibt es ˇverstreut 50
irrationale. Oder
Nun die Rechenstellen haben eine äußere Ähnlichkeit. (Gleichsam wie Apparate, oder Futterale von Apparaten) Eine Ähnlichkeit ist natürlich, daß sie jede von ihnen die gleiche ˇeine besondere & immer gleichbleibende Zahlen- |
| Der Begriff des
Limes & der Stätigkeit, wie sie
heute eingeführt werden, hängen, ohne daß dies
ausgesprochen wird, mit von dem Begriff des Beweises
zusammen ab. Denn wir
Das heißt wir gebrauchen Begriffe, die unendlich viel schwerer zu fassen sind als die, die wir offen herzeigen. |
| Die Definition der |
| Kann denn aber eine
Erlaubnis oder nicht kontinuierlich sein?
|
| Denk Dir eine Maschine die,: wenn ich in sie Zahlwörter hineinspreche
ˇso gibt mir Zahlwörter zur Antwort gibt. ◇◇◇ Und ein
Mensch kann ja so |
| Könnte man nun durch Beobachtungen
// Könnte man, z.B., das Verhalten so einer Maschine hypothetisch dahin beschreiben, daß sie ˇunbegrenzt auf Zahlen, je größer diese werden mit Zahlen [A|a]ntwortet die sich mehr & mehr der Null nähern. // |
| 12.1.
Die irreführende Idee ˇin der
D'schen
extensionalen Auffassung ist, daß die reellen |
|
// Das
Irreführende an der D'schen extensionalen Auffassung ist die Idee ˇdaß
die reellen Zahlen liegen alle in der Zahlenlinie
ausgebreitet daliegen. Man mag sie kennen
|
| Es ist durch die Kombination der
Rechnung & der Konstruktion, daß man die
Idee erhält un es
|
| Das ist ein schrecklich verwirrendes Bild.
|
| 15.1. Die irrationalen Zahlen sind –
|
| Warum
sollte ich nicht die Regeln welche alle die gleiche Entwicklung
ergeben in größere & kleinere teilen? |
| 18.1. Was ist die Anwendung des
Begriffes der Geraden, der ein Punkt fehlt?!
Diese Anwendung muß ‘hausbacken’
sein. Der Ausdruck “Gerade, der ein Punkt
fehlt” ist ein fürchterlich irreleitendes
Bild. Der klaffende Spalt zwischen
Illustration & Anwendung. |
| 19.1. Ist, ˇSoll man sagen, zur Beurteilung der
Das heißt, gleichsam,: was so ist wie die
|
|
| Kann man eine als Hypothese
aufstellen annehmen, ein
|
|
Wenn man den allgemeinen Kalkül der Funktionen als die
allgemeine Form einer Menge existierender Begriffe, &
anderseits als
|
/ | 20.1.
Denk⌊'⌋ Dir jemand hätte vor 2000 Jahren die
Form erfunden
& gesagt, sie werde einmal die Form eines Instruments
der Fortbewegung sein. Oder
vielleicht: es hätte jemand den
ˇvollständigen Mechanismus der Dampfmaschine
kon-
|
/ | Warum sollte Einer nicht den
Russellschen Kalkül
der Proposition erfunden haben können ohne
irgendeine Ahnung von der ehe man die Verwendung die
R. etwa gibt? kannte, die er später
erhielt? |
| Was für Sätze
wider- |
| Ich sage:
Als Abkürzung für
‘~f(f)’ führe ich
‘F(f)’
ein. ‒ ‒ Dann muß ich folgerecht
‘~F(F)’ abkürzen: ‘F(F)’.
D.h., diese Abkürzung führt
dazu zu der, das Verneinungszeichen in einem Satz
auszulassen. Oder, wenn Du willst,
dazu,: den positiven & den negativen Satz gleich
zu schreiben. |
| ‘
❘Φ(n) ‒ ℓ❘ ˂
δ, wenn für jedes
n ≧ g(δ) |
| ‘
Wenn n ≧ g(x) ist, ist ❘Φ(n) ‒ ℓ❘ ˂ x |φ( |
|
❘Φ(
|
| Eigentlich ist der Ausdruck
“” nur dann
treffend, wenn die Bedingung
|
|
Wenn man sich den allgemeinen Funktionen-Kalkül ohne die
Existenz von Beispielen denkt, dann sind eben die vagen
Erklärungen wie man sie in den Lehrbüchern
findet
|
/ |
| Müßte das unsinnig sein?
Könnte es nicht eine Komposition geben |
/ | 21.1.
Eine Definition ist doch gewiß eine
Begriffsbestimmung – aber wie ist es mit dem bloßen
Schema einer Definition.
|
/ |
Eine Definition muß nicht zur
[v|V]erkürzung Abkürzung eines
Zeichenausdrucks dienen. Sie könnte auch zur
Verlängerung oder zur Ersätzung
durch einen schöneres Zeichen dienen. |
| Könnte man sich die
Definition im Kalkül nicht ausgelassen denken –
& nur die Substitution die ihr entspricht gemacht &
nur etwa mit dem Vermerk, daß dies möge eine
gestattete Substitution sein? |
/ |
‘Wer dieser Regel folgt, der
folgt auch einer Regel, …’
[z|Z].B.:
„‘der folgt aus einer Regel, die
verbietet, daß …’ |
| 22.1. Wer
|
/ |
Ein unentschiedener Satz
Ma der Mathematik ist ein Satz der weder
als Regel, noch als das Gegenteil einer Regel anerkannt ist &
ˇder die Form einer
mathem.
|
/ |
Denke dir den
|
/ |
Oder wie, wenn man die Stätigkeit als
Eigenschaft des Zeichens “x² + y² =
a²” ansähe – natürlich
nur, wenn diese Gleichung & andere
|
| Es wird bei jener Prüfung der Gleichung
etwas vorgenommen, was mit gewissen Extensionen
zusammenhängt. Aber nicht als handelte es sich
da um eine Extension, die der |
|
Der Verlauf gewisser Extensionen wirft In diesem Sinne könnte man also sagen, es werfe die Zeichnung einer Hyperbel ein Streiflicht auf die Hyperbelgleichung. |
/ | Dem
widerspricht nicht⌊,⌋ daß jene Extensionen die
wichtigste Anwendung der Regel wären; denn es ist
eines eine Ellipse zeichnen, & ein anderes, sie
mittels ihrer Gleichung konstruieren.
|
| 25.1.
Wie, wenn ich sagte: |
|
Das Theorem gibt uns, in großen Zügen, eine
Methode, ˇwie mit Intensionen zu verfahren
ˇist. Es sagt etwa:
‘So wird es ausschauen
müssen’. |
|
Und man wird dann etwa zu einem
Verfahren mit bestimmten Intensionen eine
|
| Die
Illustration wird hier eben ein Verfahren
angeben. |
| Eine
Prozedur. |
/ | 26.1.
Lehre, wie Figuren in einem Bilde (Gemälde) zu
placieren sind, – aus allgemeinen ästhetischen
|
| Die Lehre von den Funktionen als ein
(allgemeines) Schema, in das, einerseits
eine Unmenge ⌊von⌋
|
| Das
irreführende der üblichen Darstellung
27.1. |
|
Vergleiche die beiden Formen Ausdrucksweisen der
Erklärungen: “Wir sagen
wenn es sich zeigen läßt, …”, &
es gibt für jedes ε ein δ …” |
| Die Möglichkeit der |
|
Nach einer allgemeinen Darstellung der Lehre vom Limes
(z.B könnte man sagen:
‘Du wirst nun sehen, wie fruchtbar diese
Überlegungen sind’. – Denn sie bringen,
sozusagen, unerwartete Früchte. |
| “Ich kann jedes ∆ durch ein
n²
übersteigen”– Was für
eine Art Satz ist das? |
| Man kann sich dabei einfach die
unendliche Extension der Quadrate vorstellen, oder aber auch die
Methode, zu jeder Zahl eine zu finden deren Quadrat sie
übersteigt. |
/ | Der Ausdruck “wie groß auch
immer” & das “→∞”
beziehen sich auf eine bestimmte Anwendungsweise. Wenn man
nämlich sagen will: Je weiter Du (auf der
x-Achse) gehst, desto mehr nähert sich die Kurve der
Linie … ohne sie aber zu erreichen;’ gehst Du noch
28.1. |
/ |
Das Erreichen der Genauigkeitsgrenze ist mit bestimmten
Phänomenen verbunden. D.h., es
gewährt ein gewisses Bild, sieht so & so aus. // Das Erreichen der Genauigkeitsgrenze ist ein
gewisses Phänomen, gewährt ein gewisses Bild,
sieht so & so |
|
Wie soll es heißen: ⌊⌊a)⌋⌋‘(u) ∙ (∃n) ∙
⌊⌊b)⌋⌋‘für jedes u läßt sich ein n finden, für welches
|
| Vor allem: auch der zweite Satz
ist ein mathematischer Satz. Denn er
bezieht sich nicht auf den gegenwärtigen Stand unserer Kenntnis,
sondern auf eine bestimmte
mathem. Methoden. |
/ | 1.2.43 Ein Beweis, daß 777
|
| [3|2].2. Eine Ziffernreihe die nach
ˇeinem quasi aesthetischen
Prinzip fortgesetzt wird. Gegeben ist etwa der Anfang
4831, & nun fragt man: ‘was für eine weitere Ziffer fordert diese Zifferngruppe?’ |
|
Denk Dir eine Regel, |
/ | Der Begriff der Funktion, wie
er eingeführt wird, setzt einen Begriff der
mathematischen Operation, oder Ableitung voraus, der zwar
durch Beispiele illustriert aber nicht irgendwo scharf gefaßt
wurde. Es soll ja eine mathematische
Abhängigkeit sein. |
/ | 3.2.
Das Benehmen eines |
| Farben als Argumente &
Funktionswerte. |
|
Beispiele nur um der Phantasie zu helfen.
Gleichsam, damit das Schema nicht gänzlich trocken
ist. |
| Denk wieder daran,
wieviel Sinn noch in einem Unsinn-Gedicht liegt!
|
/ | 22.2. Ich
möchte sagen, daß die sog. Teilung der reellen
Zahlen, also der Regeln zur Erzeugung etc., den
Begriff solcher Regeln weiter
bestimmt. |
|
ˇEtwa so: ‘Es ist natürlich zu
sagen, daß alles was eine solche Regel nennen
ˇkönnte rechts oder links von diesem Punkte liegen
wird’. Oder: ‘Eine weitere Bestimmung des Begriffes einer R einer solchen Regel ist es, daß sie rechts oder |
/ | 23.2.
Der
Cantorsche
Diagonal-Beweis – auch wenn man ihn so formuliert,
daß er für ein bestimmtes System
von
unendliche[n|r] Dezimalbrüch[en|e]
zeigt, daß es
|
/ | Aber warum
muß es? Wie zeigt der Beweis
das? |
/ |
Man möchte sagen: “Was der Beweis zeigt
gilt für jedes System |
/ | Man will etwa sagen:
“Für [A|a]lles, was man eine
‘Regel’ nennen kann, muß
das gelten” Das
hieße, man will die Begriffsbestimmung von einer Aussage, die den
Begriff verwendet, trennen. |
/ | 24.2.
Warum die Parteilich- |
/ | Was schadet es,
z.B., zu sagen,
Gott kenne alle irrationalen
Zahlen? Oder: sie seien schon alle da,
wenn wir auch nur gewisse kennen? Warum sind diese Bilder
nicht harmlos? |
| Einmal
verstecken sie gewisse Probleme.
|
/ |
Dedekind gibt ein
allgemeines Schema der Ausdrucksweise; sozusagen eine logische
|
| Eine
allgemeine Formel nach dermulierung
|
/ | Wir bestimmen den Begriff der
Regel
Aber der Inhalt des Begriffes?! – Nun, können wir denn nicht das Begriffsgebäude ausbauen als Behältnis für welche Anwendung daherköm immer daherkommt?
|
/ | 25.2. Ist denn nicht die
Subjekt-Prädikat Form in dieser Weise offen & wartet
auf die verschiedensten neuen Anwendungen? |
/ | D.h.: ist es
wahr, daß die ganze Schwierig-
|
/ |
Wenn ich von der Mathematik sagte, ihre Sätze
|
/ | Der Begriff der Regel zur Bildung eines unendlichen
Dezimalbruchs ist – natürlich – kein spezifisch
mathematischer. Es ist ein Begriff in Zusammenhang
mit einer bestimmten Tätigkeit im menschlichen
Leben. Der Begriff dieser Regel ist nicht
mathematischer als der, der Regel zu folgen. Oder
auch: dieser letztere ist nicht weniger scharf definiert als der
Begriff so einer Regel selbst: – Ja, der
Ausdruck der Regel & sein Sinn ist |
| Man
kann Man spricht mit dem gleichen Recht allgemein von
solchen Regeln ,als von … reden, als von den Tätigkeiten,
ihnen zu folgen. |
| 26.2. Man sagt freilich: “das
liegt alles schon in unserm Begriff”[;| –] von
der Regel”,
(z.B.) ”
[,| –] aber das heißt nur: zu diesen
Begriffsbestimmungen neigen wir⌊.⌋–
[d|D]enn was haben wir denn im Kopf, was alle diese
Bestimmungen schon |
/ | Man könnte sagen:
Daß etwas aus dem Begriff zu folgen scheint ist nur der
Ausdruck dafür, wie natürlich
|
/ |
Der Begriff des Bruches ein anderer, ehe an ein
ordnen der Brüche in eine Reihe gedacht
wird, & danach. |
/ | 1.3. Begriffe die in
‘notwendigen’ Sätzen vorkommen
müssen auch in nicht-notwen- |
/ | 6.3. überlege die
Idee: Eine Technik, zur Bildung von Zeichen
(z.B.), hat eine ihr zugeordnete
Anzahl. Wir charakterisieren dann eine
Endlose Technik durch
|
| 8.3. Wenn zwei Klassen reeller Zahlen so
beschaffen sind, daß die eine ganz oberhalb der anderen liegt,
daß keine Entfernung zwischen beiden besteht, &
ˇdaß sie
Man kann das so ausdrücken⌊:⌋, daß es
|
|
Zwei reelle Punkte sind zwei miteinander vergleichbare
reelle Zahlen. |
| Hier ist von
einer Teilung aller reellen Zahlen |
|
Die Idee daß die die ‘Geschlossenheit des
Kontinuums’ zeigt scheint mir abgeschmackt. |
| Die Untersuchung zeigt, daß eine reelle
Zahl zwischen den beiden offenen ˇreellen Klassen liegt, nicht,
daß ‘nur wiederum eine reelle Zahl’
zwischen ihnen liegt & nicht etwa eine ganz andere Art von
Zahlen’. Denn von einer anderen Art, die sich
dabei ergeben könnte ist hier gar nicht die Rede.
Und auf die |
| Die Frage kann ˇetwa sein:
“liegt zwischen diesen Klassen noch eine Zahl oder
nicht?”. Aber man kann nicht weiter
fragen: “und ist es etwa eine ganz neue
Art?” weil wohl eine ganz neue Art auch
zwischen ihnen liegen kann, aber das gar
nicht untersucht würde. |
|
Andererseits schließen die reellen Zahlen wirklich ein Kapitel
ab – aber wird dies durch den Beweis bewiesen? |
/ | 9.3.
Die Zahl ist, wie Frege sagt, eine Eigenschaft eines Begriffs ‒ ‒
aber in der Mathematik ist sie ein Merkmal eines mathematischen
Begriffs. ℵ0 ist ein
Merkmal des Begriffs der Kardinalzahl;– & die
Eigenschaft einer Technik.
2ℵ0
ist ein Merkmal des Begriffs des unendlichen Dezi- |
|
2ℵ0 ist die Zahlˇ,
das Merkmal einer besonderen
Unbestimmtheit. // einer
|
| 4.4.43 Was Du für ein Geschenk hältst,
ist ein Problem das Du lösen sollst. |
| Genie ist das, was uns das Talent
|
|
Genie ist das,
was uns
|
|
In dem Meistersinger Vorspiel z.B. schaut
das Geschick durch.
wo
das ◇◇◇ Genie dünn, ist kann das Geschick
durchschauenblicken. (Meistersinger
Vorspiel.) |
| Genie
ist das, was macht daß wir das Talent des Meisters nicht sehen
können. |
| Nur wo das
Genie dünn ist, kann man das
|
| 27.2.44. Warum soll ich nicht
Ausdrücke ◇ entgegen ihren ursprünglichen Gebrauch
verwenden?
Tut das z.B. nicht
|
|
Als wäre die Bedeutung eine Aura, die das Wort in jederlei Verwendung herübernimmt // mitbringt // // , die das Wort mitbringt & in
|
| 28.2.44. Ein Traum: Mir
fiel das Wort “Feura Eisen Krieg” ein, das ich in
meiner Jugend viel gehört habe. Es heißt
eigentlich ‘Feuer & Eisen Krieg’
& bezieht sich auf irgend einen Krieg im letzten
Jahrhundert in der Zeit
|
| 29.2.44 Wer sagt, daß er den
|
| 1.3.44.
Log. Phil. Abh. (4˙22) Der
Elementarsatz … ist … eine Verkettung von
Namen 3˙21 Der Konfiguration der einfachen Zeichen im Satzzeichen entspricht die Konfiguration der Gegenstände in der Sachlage. 3˙22 Der Name vertritt im Satz 3˙14 Das Satzzeichen besteht darin, daß sich seine Elemente, die Wörter, in ihm auf bestimmte Art & Weise zu einander verhalten. Das Satzzeichen ist eine Tatsache. 2˙03 Im Sachverhalt hängen die Gegenstände
2˙0272 Die Konfiguration der Gegenstände bildet den Sachverhalt. 2˙01 Der Sachverhalt ist eine Verbindung von Gegenständen (Sachen, Dingen.) |
| Die
Sprachwidrige Verwendung des Wortes
“Gegenstand” & “Konfiguration”!
Eine Konfiguration kann aus
⌊??⌋ |
|
Man kann allerdings, für Andere verständlich, von
Kombinationen von Farben mit Formen sprechen (der Farben rot
& blau, z.B., mit den Formen
Quadrat & Kreis)
|
| Wenn wir unsere Sätze
umformen: “die Fläche hat die Eigenschaft
Blau” sagen, statt “die Fläche ist
blau”, “die Flasche steht zum Glase in der Beziehung
Rechts”, statt “die Flasche steht rechts vom
Glase” u.s.f. – so kann es
scheinen ˇden Anschein gewinnen, als sei jeder Satz eine
Verbindung von Namen
Und wieder⌊–⌋: Allen Wörtern im Satz entsprechen |
| Ein Bild … wiederholen.
|
| Wenn [e|E]iner z.B.
sagt, der Satz “Dies ist hier” (wobei er
auf einen Gegenstand
|
✢ | 3.3.44. Und warum soll
man hier nicht das Vorschweben eines Phantasiebildes durch das Sehen
eines gemalten Bildes ersetzen können? Ist das
letztere etwa zu lebhaft? [Ein ähnlicher
Satz ˇschon im
M.S.]. |
| [5|4].3.44 “Warum
darf soll es in der Mathematik keinen
Widerspruch geben dürfen?” –
Nun, warum darf es in unsern einfachen Sprachspielen keinen
geben? (Da besteht doch gewiß ein
Zusammenhang.) Ist das also ein Grundgesetz, das alle
denkbaren Sprach- |
| Angenommen ein
W Widerspruch in einem Befehl
z.B. bewirkt Staunen &
Unentschlossenheit – & nun sagen wir: das
eben ist der Zweck des Widerspruchs in diesem Sprachspiel.
|
| Es ist eines eine
mathem. Technik zu gebrauchen,
die darin besteht, den dem Widerspruch zu vermeiden
entgehen, & ein anderes gegen den Widerspruch in der
Mathematik ˇüberhaupt zu philosophieren. |
| Friede in den Gedanken.
Das will die Philosophie // Das ist
das ˇersehnte Ziel dessen, der philosophiert.
|
| A ˇhat ˇbeim Bauen die Länge
& Breite einer Fläche gemessen & gibt dem
B einen Befehl von der Form:
“[b|B]ring mir
15 ×
18 Platten”. B ist dazu abgerichtet 15
mit 18 ˇauf dem Papier zu multiplizieren & dem Resultat
entsprechend eine Menge von Platten auszuzählen. |
| Der Satz
15 × 18
= braucht natürlich nie ausgesprochen zu
werden |
| Sagt denn der Widerspruch
nichts? Nun, macht er mich auf nichts |
| Der Widerspruch. Warum grad
dieses eine Gespenst? Das ist doch sehr
verdächtig. |
| Warum sollte eine Rechnung zu
einem praktischen Zweck ˇausgestellt die einen Widerspruch
ergibt mir nicht sagen: “Tu wie Dir beliebt,
ˇich die Rechnung entscheidet darüber
nicht.”? |
| Der Widerspruch könnte als Wink der Götter
aufgefaßt werden, daß ich handeln soll &
nicht überlegen. |
| ‘Es gibt eine Klasse von
Klassen, aber nicht |
| ‒ ‒ ‒ Um jemand drauf aufmerksam zu machen,
daß “Löwe” nicht etwas bezeichnet,
ˇwa was selbst ein Löwe sein kann,
“Klasse” aber etwas, was eine Klasse
ist. // // Um jemand drauf
aufmerksam zu machen, daß “Löwe” nicht
etwas
|
| Man kann sagen:
“ das Wort ‘Klasse’ wird reflexiv
gebraucht; auch dann,
z.B. wenn man Russells |
|
‘Klassen bilden eine Klasse, Löwen aber keinen
Löwen.’ |
|
‒ ‒ ‒ daß ‘Löwe’ &
‘Klasse’ Klassenwörter sind, aber
‘Löwe’ ein Klassenwort ist,
das in dem das nicht
auch einen Löwen bezeichnet,
‘Klasse’ aber ein Klassenwort
|
| Die Klasse der Katzen ist keine
Katze: ˇDie Bezeichnung “die Klasse der
Katzen” wird grundverschieden verwendet von der
Bezeichnung für eine Katze. –
[K|D]ie Klasse der Klassen ist eine Klasse:
|
| Was
die Katzen ‘bilden’ ist doch nicht eine Katze; aber
Klassen bilden eine Klasse. |
|
‘Ich lüge immer.’ – Du hast
Deine eigene Aussage bewiesen als falsch erwiesen.
Denn lügst Du sonst immer ist es wahr so
hast Du jetzt die Wahrheit gesagt, & lügst nicht immer,
ist es aber Wenn ich nun fragte:
|
| Oder er sagt:
“Ich spreche immer die Unwahrheit; nimm also
immer das Gegenteil von dem an, was ich sage”.
Dies soll eine Regel sein. Wie soll man sich nun nach
ihr richten. |
|
Denk Dir ein Spiel das als Orakel verwendet wird; sein Ausgang
bestimmt was in einem bestimmten Falle zu geschehen hat.
Und nun ändern wir dieses Spiel ˇohne uns der Folgen
bewußt zu sein in solcher Weise ab, |
| Einer kommt zu Leuten & sagt:
“Ich lüge immer”. Sie
antworten:
|
| “Ich lüge
immer!” – Nun, & wie
war's mit diesem Satz? – “Der war
auch gelogen!” – Aber dann lügst du
also nicht immer[?|!]” –
“Doch, alles ist gelogen!”
Wir würden vielleicht von diesem Menschen sagen, er meint mit “wahr” & mit “lügen” nicht dasselbe, was wir damit meinen. Er meine
|
| Man könnte auch sagen: sein
“ich lüge immer” war eigentlich keine
Behauptung. |
| Man kann also
sagen: “Wenn er jenen Satz nicht ohne Gedanken
aussagensprach, – so mußte er die
|
| Wenn eine Regel Dich nicht
zwingt, so folgst du keiner Regel. |
| Aber wie soll ich ihr denn folgen; wenn ich ihr doch
folgen kann, wie ich will? |
| Wie soll ich dem
Wegweiser folgen, wenn alles, was ich tue, ein Folgen ist?
|
| Aber, daß alles ˇauch als
ein Folgen gedeutet werden kann, heißt doch nicht, daß alles ein
Folgen ist. |
| Aber
wie deutet denn also der Lehrer dem Schüler die Regel?
(Denn der soll ihr doch gewiss eine
bestimmte Deutung geben.) – Nun, wie anders, als
durch Worte & Abrichtung?
Und der Schüler hat die Regel (so gedeutet) inne, wenn er so & so auf sie reagiert. Das aber ist wichtig, |
|
‒ ‒ ‒ D.h.er kann antworten wie ein
verständiger Mensch und doch das Spiel |
| ‒ ‒ ‒ Und Denken und Schließen (sowie
ˇdas Zählen) ist für uns natürlich nicht
durch eine willkürliche Definition begrenzt ˇumschrieben, sondern durch natürliche Grenzen,
|
| Zwingt mich eine Linie dazu, ihr
nachzufahren? Nein; aber wenn ich mich dazu entschlossen
habe sie so als Vorlage zu gebrauchen, dann zwingt sie mich. – Nein; dann
|
| Die Linie, könnte man
sagen, gibt's mir ein, wie ich gehen soll. Aber
das ist natürlich nur ein Bild. Und gäbe sie mir
jedesmal etwas anderes ein, so folgte ich ihr nicht als
Regel. Und was “anders”
& ˇwas “das gleiche”
heißt, [ wie ist das zu beantworten.
Rolle der Wörter in unserem Leben. ] [ das wird |
| “Die Linie gibt mir ein, wie ich gehen
soll”, das ist eigentlich nur eine Paraphrase
dafür ˇder Feststellung Aussage daß sie das paraphrasiert nur daß
sie
|
| …
und was “anders” & was “das
gleiche” heißt, da[ß|s] kann nur noch von der
übrigen Verwendung dieser Wörter im Leben
abhängen. |
∫ | Warum sagen wir, daß Leute in
ihrer Ausdrucksweise |
∫ | “ … und
gäbe sie mir jedesmal etwas anderes ein …”.
Das heißt ja auch: gäbe nur dann ist sie
|
|
Denke Dir einer folgte einer Linie
ˇals Regel auf diese Weise: Er hält einen
Zirkel dessen
|
| Wir
würden hier wirklich sagen: Die Vorlage scheint ihm
einzugeben wie er zu gehen hat. Aber sie ist keine
Regel. |
| ‒ ‒ ‒ das kann nur das Leben entscheiden.
|
|
|
|
“[d|D]as Gleiche tun” ist mit
“der Regel folgen” verknüpft |
| Wie ist das zu entscheiden, ober er immer das
gleiche tut wenn er ˇsich von der Linie eingeben
läßt // wenn ihm die Linie
eingibt // wie er gehen soll? |
| Wollte ich nicht
sagen: nur das
|
| Tut er nicht immer
das Gleiche, nämlich, es sich von der
|
| Nur so
kann man das Folgen den
Vorgang [e|E]iner-Regel-Folgen,
beschreiben, daß man in anderer Weise beschreibt⌊,⌋ was wir
dabei tun. |
? |
Hat es einen Sinn zu sagen: Wenn die Leute ˇin ihren
Handlungen nicht übereinstimmten, würden wir es nicht
“einer Regel folgen”
|
? | Kann ich aber auch sagen:
“Ich stimme mit dem Andern nicht überein also
folge ich offenbar nicht einer Regel.”? –
Könnte ich |
| Die Andern folgen einer Regel, wenn ich sie von
ihnen absehen kann. |
| [In
der Philosophie halt machen] |
? | Ich lerne nicht Regeln folgen
indem ich lerne mit Anderen übereinstimmen.
Weil das eine ebenso schwer zu |
? | Wer
“übereinstimmen” nicht versteht, kann
“einer Regel folgen” nicht verstehen; & wer
dieses nicht versteht, auch jenes nicht. |
| Hätte es
einen Sinn zu sagen: “Wenn er jedesmal etwas
anderes täte, würden wir nicht sagen: er
folge einer Regel”? Das hat, glaube ich
keinen Sinn. |
|
Einer-Regel-Folgen ist ein bestimmtes
Sprachspiel. Wie kann man es
|
| Wenn man
Beispiele aufzählt & dann sagt “und so
weiter” so wird dieser Ausdruck auf andere Weise
erklärt, als die vorhergehenden Beispiele. |
| Wer von einem Tag auf
den andern
|
| Nimm an eine Linie gebe mir ein wie
ich ihr folgen soll, d.h., wenn ich ihr mit den
Augen
|
| Man
könnte sich auch so einen Unterricht in einer Art von Rechnen
denken. Die Kinder können dann ein jedes auf seine
Weise rechnen; solange sie nur auf die |
|
Denn gehört nicht zum Befolgen dazu einer Regel zu
folgen die Möglichkeit einen Andern im Folgen
abzurichten? Und zwar durch Be Beispiele.
Und das Kriterium seines Verständnisses muß die
Übereinstimmung der einzelnen Handlungen sein. Also
nicht wie beim Unterricht in der Rezeptivität. |
| Wie folgst du der Regel? Ich
mach es so … |
| ‘Ich würde nicht sagen
daß sie mir immer ˇetwas anderes eing[ibt|ebe],
wenn ich ihr als Regel folgte’ Kann man das
sagen? |
| Wann sagen
wir: “Sie gibt mir das als Regel ein –
immer das Gleiche” Und anderseits: “Sie
gibt mir immer wieder ein, was ich zu tun habe
Im ersten Fall heißt es:
|
| Die Kunstrechner,
die zum richtigen Resultat gelangen, aber nicht sagen können,
wie. Sollen wir sagen: sie rechnen nicht?
(Eine Familie von Fällen.) |
| [Bemerkung: diese Dinge |
| Kann ich nicht einer
Regel zu folgen glauben? Gibt es diesen Fall
nicht? [Siehe lesen, träumen] |
|
∣ Es kann eine Ethik geben, die Fälle beschreibt,
zusammenstellt, & fragt: was sagst Du nun
dazu? Sieh' wie Du von dem & dem
Faktor beeinflußt wirst u.s.w. ∣
c |
|
Und kann ich dann nicht auch keiner Regel zu folgen
glauben & doch einer folgen. Würden wir nicht
auch etwas so |
| Wie kann ich das
Wort gleich erklären? – Nun, durch
Beispiele. – Aber ist das alles?
gibt es nicht eine noch tiefere Erklärung; oder muß
nicht doch das Verständnis der Erklärung tiefer
sein? – Ja, hab ich denn selbst ein tieferes
Verständnis? Habe ich mehr als ich in der
Erklärung gebe? |
| Woher
aber (dann) das Gefühl, ich
Ist es, daß ich das nicht Begrenzte als immer |
| Die Verwendung
des Wortes “Regel” ist mit der Verwendung des Wortes
“Gleich”
|
|
überlege dir: Unter welchen Umständen wird
der Forschungsreisende sagen: Das Wort … dieses Stammes
heißt soviel wie unser “und so weiter”?
Stelle Dir die Einzelheiten ihres Lebens & ihrer
Sprache vor, die
|
| “Ich weiß doch, was
‘gleich’ heißt!” –
Daran zweifle ich nicht; ich weiß es auch. |
/ | “Die Linie gibt mir
ein …” Hier ist der Ton auf dem
Ungreifbaren des Eingebens. Eben darauf daß
nichts meine Handlung von der Regel trennt, daß nichts
zwischen
|
? | … und was heißt
hier “anderes⌊”⌋,”
& was das gleiche heißt” kann nur das Leben
|
? ? | …
[u|U]nd urteile ich, sie gäbe mir jedesmal etwas
anderes ein. c
– Aber das ist doch nicht wahr. Man könnte sich denken, daß einer mit solchen Gefühlen multipliziert, richtig multipliziert; ◇◇◇ immer wieder sagt: “Ich weiß nicht – jetzt gibt mir die Regel auf einmal das ein!” & wir ihm antworten: “Freilich; Du gehst ja ganz der Regel gemäß” ⌊vor⌋.” |
| Einer
Regel folgen: das läßt sich verschiedenem
entgegensetzen. wen Der Forschungsreisende
wird unter anderm auch |
| … Und urteile ich, sie gebe mir, gleichsam
verantwortungslos,
|
| Aber könnten wir nicht auch rechnen, wie wir
rechnen (Alle
|
| Daraus siehst du nur, wieviel zu der
Physiognomie dessen gehört, was wir im
alltäglichen Leben “einer Regel folgen”
nennen! |
| Man
folgt der Regel ‘mechanisch’.
Man vergleicht sich also mit eine[r|m]
Maschine Mechanismus |
| Ich habe mir oft in Newcastle
vorgesagt “it's always darkest before the
dawn”, & nie geglaubt, es könne
noch einen Morgen geben. |
|
Der Körper der großen Menschen muß sehr gesund
sein. c Wie könnte er die geistigen
Erschütte-c |
| ‘Mechanisch’,
das heißt: ohne zu denken. Aber ganz
ohne zu denken? Ohne
nachzudenken. |
|
|
| Kann
man sagen, daß das mechanische Ergreifen &
[v|V]erfolgen der Regel eine Naturerscheinung
ist der menschlichen Psychologie ist? Daß
z.B. der Forscher sagen kann: Diese
Leute zeigen ihren Kindern gewisse |
| Wie handelt man nach einer
Regel? – Man tut etwas mit Sicherheit nach
ihr? – Aber irgend etwas? – Nein,
wir müssen vom Andern die Regel lernen können, so daß wir
dann übereinstimmend mit ihm nach ihr handeln. –
Und was heißt übereinstimmend mit ihm handeln? – Nun da kann ich nur Beispiele geben. |
| Die Liebe hat sozusagen zwei Temperaturen;
einen Hitzegrad und einen Wärmegrad. |
| Ist es denn ˇaber möglich eine
Beobachtung zu machen ~g ⊃
~s? nun ich kann
z.B. beobachten daß s
& g s ∙ g.
Wie wenn ich sagte: Wer ~g ⊃ ~s beobachtet, wenn er s ∙ g vor sich
|
| Kann ich denn nicht weiß vor mir sehen &
beobachten ~g?
oder kann ich dies |
|
Kann ich nicht auf die Beobachtung von grün, oder
~grün eingestellt sein? Etwa
dadurch daß ich eine ˇgrüne Vorlage vor
m zum Vergleich vor mir habe.
Oder ich habe
Der Beobachter ist ganz auf diesen Aspekt der Sache eingestellt. Seine Aufmerksamkeit ganz von ihr eingenommen. |
| Ist es denn denkbar, daß jemand
r ∙
s beobachtet &
Ist es denkbar, daß jemand eine Gruppe von Äpfeln als 2 + 2 Äpfel sieht & auch als 5 Äpfel? Nun es ist möglich daß er sie nicht als 4 sondern immer nur als 2 + 2 sieht & wenn er nun trachtet, sie zusammenzufassen, daß sie ihm als 5 erscheinen. Nun ist das jedenfalls eine sehr seltene Erscheinung. So selten, daß wir sie Und wir schließen sie aus den Beobachtungen |
|
‒ ‒ ‒ und
wäre das nicht, wie könnte uns ein Satz wie
“What's done cannot be undone” ˇuns etwas
sagen? |
∫ | Der Eine sucht nur nach einer
roten Blume mit blauem Stern in der Mitte. Ihm fällt
nun dieser Komplex von Farben und Formen auf, oder sein
Fehler Oder Einer sucht nach etwas Rotem; er sieht jene Blume, kennt sie wohl, hat oft nach ihr, nach diesem Farbenkomplex, gesucht; aber es fällt ihm nicht auf, daß ja hier etwas Rotes ist. “Ach da ist ja Rot”, könnte er sagen, “ich habe immer nur an etwas ganz rotes gedacht! |
/ | ”Der Eine
beobachtet r ⊃ b.” Er sieht etwa einmal unter
den 6 Streifen einen roten & einen blauen; dann ändert
sich das Bild & es ist kein roter & kein blauer da;
dann wieder ist ein blauer, dann aber
⌊&⌋ kein roter[;|.] UUnd
immer sagt der Beobachter, es habe sich nichts geändert.
Nun aber erscheint ˇeinmal ein roter Streifen ohne einen
blauen,
|
/ |
“Daß das auch rot ist, daran habe ich gar nicht
gedacht, ich habe es nur als Teil des mehrfärbigen
Orna- |
/ | Könnte Einer nun sagen: Ja, ich sehe rot; insofern ich
blau – & – rot sehe; aber anders
nicht”? |
/ |
Man könnte es sich aber auch so
denken: Der, welcher [B|b]eobachtet, daß
r ⊃
b, kann meinetwegen auch r ∙ b sehen, aber er
sagt nur “r ⊃ b”; weil
das allein ihn interessiert. Ein anderer sagt aus
demselben Grund “g ⌵ r” &
ein Dritter schließt
“g ⌵
b” . |
| ”Aus ‘x hat Farbe’
folgt ‘x hat Form’ und umgekehrt, &
doch ist heißt Wie aber, wenn ich sagte: ”Nur eine Form kann ˇeine Farbe haben”? Wo sind dann die beiden Sätze, die auseinander folgen & verschiedenen Sinn zu haben scheinen? |
|
Ich könnte Erfahrungsschluß & logischen Schluß
unterscheiden. Was Der Schluß
von “x ist rot” folgt auf
“x ist nicht blau” ist ein logischer
Schluß, obwohl x ∊ r ⊃ ~(x ∊
b) ˇnatürlich keine Tautologie ist.
|
| Wie aber kann ich
definieren was ich unter logischen Schluß verstehe?
|
| Man könnte
sagen: logischer Schluß ist einer zu dem mich
keine Erfahrung berechtigt. & keine dessen Rechtmäßigkeit an keine Erfahrung geknüpft
ist. // dessen Rechtmäßigkeit die Regeln
des Sprachspiels an keine Erfahrung
knüpfen. // Logischer Schluß ist
einen Übergang der gerechtfertigt ist wenn er
gemäß einem bestimmten Paradigma
|
| Auch der Teufel in der Hölle hat
eine Form des Lebens; & die Welt wäre nicht
vollständig ohne sie. |
| Wenn Kinder in der Geometrie zuerst den Begriff des
Zylinders kennen lernen, fällt es ihnen oft schwer eine
Münze als Zylinder aufzufassen, deren Dicke als Höhe des
Zylinders. Ähnlich könnte es jemand schwer fallen, etwas schwarz-weiß Gestreiftes als [Z|z]usammengesetzt zu sehen aus schwarzen Stücken & weißen Stücken. |
| r ∙ b ⊃ s. ⊃ .w Wenn ich irgendwo 5 Gegenstände sehe,
kann nicht, was mir auffällt sein: “mehr als
3”, oder “weniger als 7”, oder
“Zwischen 3 & 7”, oder
“weniger als die Hälfte von 20”, oder
“eine ungerade Zahl”, oder “kein
Quadrat” etc. |
| One question a counter-instance
to another question. |
|
Meine Frage ist nun: Kann es einem Menschen
scheinen als sähe er
r
∙ b und auch als sähe er
~r? So daß er also sagen
müßte: aus r ∙ b folgt r
& wenn ich wirklich
r ∙
b da ist, so |
| Erinnere dich
daran, daß ein Rhombus, als Raute angesehen oft nicht wie ein
Parallelogramm ausschaut. Nicht aber, als schauten
die gegenüberliegenden Seiten nicht parallel aus, sondern wir
übersehen sie nur gleichsam. |
| Ich könnte mir denken, daß Einer sagt, er
sähe einen weiß-gelben Stern aber nichts Gelbes –
weil er den Stern gleichsam als eine Verbindung von
|
| Und so könnte es ihm auch
vorkommen, man könne die Farben im Stern nicht trennen, weil man
die Formen nicht trennen kann. |
∫ | Was aber
ist die Relevanz ˇaller dieser ganzen Fragen?
|
| Der kann
die Geographie einer Gegend nicht
|
∫ | Es scheint mir etwas in meinem
Begriff des Schließens nicht in Ordnung zu sein. |
∫ |
Ich möchte natürlich sagen, die Arithmetik lehre uns
rechnen, aber nicht zählen. |
/ |
Wir sagen: “Wenn ihr beim Multiplizieren
wirklich der Regel folgt, muß das Gleiche
herauskommen.” Nun, wenn
|
| Das mathematische Muß ist nur ein andrer
Ausdruck dafür, daß die
Math. Begriffe bildet.
Und Begriffe dienen zum Begreifen. Sie dienen zu einer ˇganz bestimmten Behandlung der Sachlagen // Situationen // . Denn es ist ja durchaus nicht klar, daß wir auf Situationen in der Art reagieren müssen, wie wir es tun. |
|
Die Mathematik bildet ein Netz von Normen. |
| Es ist wie wenn ein Maßkörper
verschiedene mehrere Facetten hätte & mit
ihnen ◇◇◇ verschiedene Gegenstände zugleich &
ihre gegenseitige Lage mäße. // bewerten hülfe. |
| Wir messen Längen von Gegenständen
mit Eisenstäben und nicht mit Teigstäben. |
/ | … Und ich muß
einen Fehler machen dürfen ohne daß alles falsch ist was ich
sage. |
| Man sagt
manchmal: “Ja, |
∫ | Denke, Du hast ein
|
/ | Es ist möglich, den
Kom-
|
| Kann ich nun A & B
vor mir haben, & auch beide sehen, aber nur
A ⌵
B beobachten? Nun, in gewissem Sinne ist das
doch möglich. Auf A ⌵ B eingestellt sein heiße, könnte man sagen, mit dem Begriff A ⌵ B auf die Situation zu reagieren. Und genau so kann man natürlich auch mit A ∙ B reagieren tun. |
| Soll nun aber, wer A & B vor sich hat
& mit A ⌵ B reagiert, auch
ˇvielleicht leugnen daß
A ∙
B da ist, wenn er
|
| Wenn einer urteilt
“A
⌵ B” muß ich ihn dann nicht fragen
können: “Welchen besonderen Fall von
“A
⌵ B” siehst Du jetzt?”?
Ich meine nicht daß es möglich ist einen
|
| Sagen
wir: es interessiert einen nur p
p A
∙ B, & er urteilt also, was immer geschieht,
nur “A ∙ B”, oder
~
(A ⌵ B); so kann ich mir denken, daß er
“A
∙ B” urteilt & auf die Frage
“siehst du B” sagt “nein, ich sehe
A ∙
B”. Etwa wie mancher, der
A ∙
B sieht nicht zugeben wird, er sehe
A ⌵
B. |
| Aber ˇdie
Fläche ‘ˇganz rot sehen’ &
‘ˇganz blau sehen’ sind doch
gewis ‘echte’ Erfahrungen
& doch sagen wir, Einer könnte sie nicht zu
gleich⌊er⌋ am gleichen Ort Zeit haben. |
| Wenn er uns nun versicherte, er sehe diese
Fläche ganz rot & zugleich ganz blau? Wir
müßten sagen: “Du machst Dich uns nicht
verständlich.” |
|
Der Satz “1 fuß = …
cm” ist bei uns zeitlos. Man könnte sich aber
auch den Fall denken in welchem sich das Fußmaß & das
Metermaß nach & nach etwas veränderten & dann
immer wieder verglichen werden |
|
Ist aber nicht auch bei uns die relative Länge des Meters
& Fußes experimentell bestimmt worden? Doch;
aber das Ergebnis wurde zu einer Regel gestempelt. |
/ | Ist nun ein Schluß von
“A
∙ B” auf
“A
⌵ B die Umrechnung von einem Maß auf ein
anderes? |
| Die Mathematik hat schon alles vorbereitet.
|
| Eine Reihe hat doch für uns
ein Gesicht! Wohl, aber welches?
|
| Woher die Idee,
|
| ‒ ‒ ‒ keine
Feststellung über das Reihenstück, oder
|
/ | Wenn er weiter
weiß, so wird er weiter gehen & die Regel als den einzigen
Grund seines Vorgehens angeben. |
| Der Vorgang des Ableitens hat einen
Grund (Boden) |
|
“Aber du siehst doch …” Nun, das ist
eben die charakteristische Äußerung Eines, der von der Regel
gezwungen ist. Nimm an er stampfte dabei auf den Boden: nun hier hast Du einen seeli- |
| ‒ ‒ ‒ Wohl; aber das ist keine
Feststellung über das Reihenstück,
|
/ |
“Es ist schon alles
|
|
‘Also so ein Bild kommt Dir vor
Augen!’ – könnte ich sagen. |
| Warum aber: “es liegt doch
schon alles in ihm”? |
| Ich glaube im Reihenstück ganz fein eine
Zeichnung zu erblicken, die nur mehr das
“u.s.f.” bedarf, um in
die Unendlichkeit zu reichen. |
|
“Ich erblicke ein Charakteristikum in ihr”
– Nun, doch etwas, was dem algebraischen Ausdruck
entspricht. “Ja, aber nichts Geschriebenes,
sondern
|
| Ich erblicke etwas in ihr –
ähnlich wie die Gestalt im Vexierbild. Und sehe ich
das, so sage ich: das ist alles, was ich brauche.
Wer den Wegweiser
|
| ‒ ‒ ‒
sondern die Feststellung, daß wir an keine weitere Anleitung mehr
appellieren. |
| ‒ ‒ ‒ sondern der Ausdruck
dafür daß. |
| Die Regel
zwingt kann mich zur ◇◇◇ mich in mehr
als einem Sinne ˇzwingen psychologisch & soziologisch
z.B. durch die Macht der Gewohnheit oder
durch menschliche Gesetze. Aber ˇan diesen Zwang
meine denke ich nicht. Ich meine den
ˇviel härteren der darin besteht, daß die Regel schon
alles vorgemacht hat, was ich ihr nachmachen kann, daß sie in
logischer Schrift schon alles vorgeschrieben hat.
|
| Einer Regel folgen: da gibt es
viele verschiedene charakteristische Arten des Benehmens
[Lesen]. |
| Was wir
‘Sprache’ nennen |
|
∫ | Die Frage ist
aber: Was ist der Beweis & was ist der Satz ohne
den Beweis. Denn der Beweis schafft eine Begriffsverbindung
d der Satz nicht auch eine.
|
|
Und die
Sätze müssen eine Möglichkeit sein die
Beweise zu katalogisieren [Ursell] Denn wie wüßteen
manwir
sonst welchen Satz wir den von dem Beweis bewiesen nennen
sollten? |
| Wie ist es aber
mit unbewiesenen Sätzen? Nun, die warten eben noch
auf Beweise die sie katalogisieren, oder sie sind ihre eigenen
|
| Der Beweis verschafft dem Satz Anerkennung.
|
| Der Beweis
|
| “Wir
untersuchen eine bestimmte Verbindung der Begriffe; wenn diese
Verbindung existiert, dann verwenden wir die Begriffe so &
so.” Aber was ist das dann für eine
Verbindung? Denn es ist nicht die Verbindung der
Zeichen. |
| Der Beweis reiht den Satz in ein System ein.
|
| könnte man sagen, daß
|
∫ | Der Satz
“25²
= 625” gibt uns könnte man
sagen, eine Anweisung wie die Begriffe
25² &
625 verwenangewendet werden können. |
∫ |
Der Satz & der Beweis
mü[ß|ss]en ˇjeder in
|
∫ | Die Gleichung
“25²
= 625” verändert den Gebrauch von
25 &
625. |
| Das Gleichgesetzte
25² &
625 gibt ˇmir
ˇk.m.s. einen neuen Begriff. Und der Beweis zeigt was
es mit dieser Gleichheit // Gleichung // für eine
Bewandtnis hat. |
∫ | 625 mit 25²
gleichgesetzt, ist ein neuer Begriff. |
∫ | Man könnte
schreiben: “Ich verteile
|
| wie kann man den Satz
von seinem Beweis loslösen?
⌊Dieser Satz zeigt natürlich eine
falsche Auffassung⌋ |
| Der Beweis ist
eine Umgebung des Satzes. |
∫ |
“25²
= 625” ist eine Anweisung zum Gebrauch jener
Zahlbegriffe. Und von jeder solchen Anweisung möchte
ich sagen, sie gebe uns neue Begriffe. Denn was die
Verwendungsart unserer Begriffe ändert, ändert unsere
Begriffe. |
∫ |
Denn mit 625 =
25² zähle ich auch. |
|
‘Begriff’ ist ein vager Begriff. |
| Nicht in jedem Sprachspiel gibt es etwas,
was man “Begriffe” nennen kann. |
| Begriff ist etwas wie ein Bild, womit man
Gegen- |
| Im Sprachspiel (2) gibt es keinen
Begriff. Man könnte aber seine Technik in
solcher Weisec
leicht ˇdurch solche Zusätze
|
| Es gibt nun
unter diesen Bildern⌊(⌋, den Begriffen,⌊)⌋ auch
bewegliche. Oder, was auf dasselbe hinausläuft, wir
lernen eine Konstruktionstechnik durch die wir aus einem Bild ein
anderes
|
|
| Wenn
Begriffe Maßbehelfe sind, wer sagt Was ist aber dann jener Satz den ich durch den Mechanismus gewonnen habe? Nun, ersetzt er uns nicht den Mechanismus in einem besonderen Fall? Ist er nicht sozusagen ein Bild des Mechanismus in einer besonderen Lage? |
|
Das Klavierˇspielen ist ˇdient dazu
um [m|M]usik zu machen.
Aber könnte einer nicht auf der Klaviatur spielen um seine
Finger gelenkiger |
| Der Begriff,
könnte man sagen, ist eine Methode des Beurteilens.
Einen Begriff also bildet der, der eine neue
In diesem Sinne bildet die Mathematik immer neue Begriffe, die ‘mathematischen’ Begriffe. // neue Begriffe, die man gewöhnlich ‘mathematische’ Begriffe nennt. // Aber jeder mathematische Beweis ist wieder ein Begriff, gleichsam ein sich bewegendes Bild. Und der bewiesene Satz ist ein Bild dieses Bildes, nach
|
| Würde man
von Einem sagen, er verstehet den Satz
“563 +
437 = 1000”, der nicht wüßte, wie man
ihn beweisen kann? Kannst |
∫ | Wie ist es dann aber mit den
nicht beweisbaren ˇentscheidbaren
Sätzen? |
|
Würde
ˇmir der Fermatsche
Satz möge bewiesenc so verstünde ich
ihn ˇnachher // danach besser, wenn
ich den Beweis kenne als vorher. |
∫ | Das Problem eine mathematische
Entscheidung eines Theorems zu finden könnte man
nicht mit
|
∫ | Die
Gleichung koppelt (zwei) Begriffe; so daß ich ˇnun von
einem zum anderen übergehen kann. |
∫ | Merke: der falsche
math. Satz hat nicht einen
falschen Beweis, sondern gar keinen. |
∫ | Wenn die Gleichung zwei
Begriffe kuppelt, dann auch die falsche. Also
z.B.
25 × 25 =
10 |
∫ |
Wenn ich aber einen Fehler im Beweis mache & so den
falschen Satz falsch beweise! |
? / | Die Gleichung bildet
eine Begriffsbahn. Aber ist eine Begriffsbahn ein
Begriff?? Und wenn
|
|
Denke Du hast
|
| [Man
könnte sich aber auch den Fall denken daß Menschen durch einen
merkwürdigen Zufall in den Besitz der Multiplikationstabelle (oder einer Rechen-
|
| Von der ˇTechnik des
Multiplikationzierens nun sagt er, daß
sie Verbindungen zwischen den den Begriffen
schlägt. Er wird dasselbe auch von der
Multiplikation sagen. // der Multiplikation,
als Bild
Wird er nun aber geneigt sein, vom Prozess des Multiplizierens zu sagen,
|
| Es ist doch eine Bewegung. Eine
Bewegung scheint es, zwischen zwei Ruhepunkten, dies sind die
Begriffe. |
| Fasse ich den
Beweis als ˇ
|
∫ | Warum
ˇfühle bin ich
ˇmich nun versucht
eine so starke Versuchung zu sagen, die Gleichung gebe
mir einen neuen Begriff? // in der Gleichung
hätte ich einen neuen Begriff? //
(Sozusagen einen kombinierten Begriff.) Ist denn
nicht ein scharfer Unterschied zwischen dem was Du mit der Gleichung
tu & dem was Du mit ihren beiden Seiten tust?
|
? / | Ich
möchte sagen: die ˇbeiden Seiten der Gleichung
|
/ | Ich Ich möchte sagen: Wenn wir einmal die eine, einmal die andre Seite der Gleichung verwenden, verwenden wir zwei Seiten desselben Begriffs. |
∫ |
Aber warum soll ich zwei miteinander verbundene Begriffe einen
Begriff nennen? |
∫ | Weil, so möchte ich
sagen, keiner der beiden Teile das wäre, was er ist, wenn diese
Verbindung nicht existierte. |
∫ | Du hast die begriffliche
Institution geändert, als Du die Verbindung der beiden
machtest. |
? / | Ist der begriffliche
Apparat ein Begriff? |
∫ | Könnte nicht der Beweis
von 25² =
625 beschrieben werden:
“25²
625 ergebend”? Man könnte
sagen: das zeigt Dir wie
25²
625 erg[eben|ibt]. |
∫ | Die Gleichung
25² =
625 ist das Bild des Übergangs von
“25²” auf “625”?
|
| ist der [B|b]egriffliche
Apparat nicht etwas anderes als der einzelne
Begriff? |
| Man
kann die Erfindung einer Rechnungsart eine
[M|m]athematische Entschei- |
∫ | Die beiden Begriffe werden in
ein Bild aufgenommen; das⌊,⌋ wie sie selbst⌊,⌋
aufbewahrt wird |
/ | Der
math. Beweis knüpft eine neue
Begriffsverbindung. |
/ | Das Bild des Experiments ist
kein Experiment; das Bild des Beweises aber ein Beweis. |
/ | ‘Er macht
den Übergang nach dieser Gleichung.’ Ist also
die Gleichung nicht das Bild dieser Handlung?
|
/ |
“Inhaltlich gedeutet”: ein elender
Ausdruck! |
/ | Es ist
⌊(⌋ja⌊)⌋ etwas sehr eigentümliches, daß wir
uns überhaupt mit Tautologien abgeben. Es ist nichts weniger als
selbstverständlich. Und das würde sich uns
noch
|
/ | Verstehe ich den
Fundamentalsatz der Algebra nicht besser⌊,⌋ wenn ich ihn
beweisen kann⌊,⌋ als wenn ich ihn nicht beweisen kann?
Wie kann es sein, daß der Beweis nicht zu meinem
Verständnis beiträgt, da er doch erst zeigt, wo dieser Satz
zu Hause non non p = p ist aber ne ne p = ne p. |
? / | Hat der den gleichen
Begriff der Fünf wie wir, der nur bis 5 zählen
kann? |
∫ / |
Wie zeigt denn
[E|e]iner, daß er einen mathematischen Satz
versteht? Darin, etwa, daß er ihn
anwendet. Also ◇◇◇ nicht auch darin, daß
er ihn beweist? |
∫ |
Ich möchte sagen: der Beweis zeigt
mir einen neuen Zusammenhang, daher gibt er mir auch einen
neuen Begriff. |
∫ | Ist der neue Begriff nicht der
Beweis selbst? |
? / | Du kannst doch
ˇgewiss, wenn der Beweis erbracht ist,
ein neues Urteil bilden. Denn Du kannst doch nun von
einer einem bestimmtenn Figur Muster sagen,
sie es sei oder sei nicht dieser
Beweis. |
/ |
Ja, aber ist der Beweis als Beweis ˇbetrachtet,
gedeutet, eine Figur? Als Beweis, könnte
ich sagen, soll er mich von etwas überzeugen. Ich
will, auf ihn hin, etwas tun, oder lassen. Und
auf einen neuen Begriff hin tue, oder lasse ich nichts.
Und das, wovon er mich überzeugt kann nun
|
/ | Der Mechanismus … kann
mich von etwas überzeugen (kann etwas
beweisen) Aber unter welchen Umständen
– in welcher Umgebung ˇvon Tätigkeiten &
Problemen – werde ich sagen er überzeuge mich von
etwas? |
/ |
Der Beweis davon daß |
/ | “Aber ein Begriff
überzeugt mich doch von nichts, denn er zeigt mir
eine nicht eine Tatsache.” – Aber
warum soll mich ein Begriff nicht vor allem davon überzeugen,
daß ich ihn gebrauchen will? |
/ | Warum soll der (neue)
Begriff, einmal gebildet, mir nicht unmittelbar den Übergang zu
einem Urteil gestatten? |
/ |
Im Beweis heißt es immer
“Das ist doch das; & das ist doch das;
etc.” Dieses
|
/ | “Das Wort
“doch” könnte man sagen, zeigt, daß ich Dich
nur an etwas erinnere. |
/ | “Du gibst doch
das zu; & das;
etc.”. –
“Gewiß⌊!⌋”.–
könnte ich sagen. –”wenn ich damit nichts
zugebe.”. |
/ | Wer die Brüche in einer
Reihe ordnet, der gibt mir einen neuen Begriff. Es hat
jetzt Sinn zu fragen: “Den wievielten Bruch hast
Du angeschrieben?”; aber auch: |
? / | Ebenso erlaubt
mir die Zuordnung von Konstruktionsmethoden zu Arten
algebraischer Ausdrücke eine neue Beschreibung ˇder
Konstruktionen, neue Fragestellungen, neue Urteile.
|
∫ | Aber zugegeben
das; ist denn der Beweis
|
∫ | Ich verstehe, wie die Figur
|
/ | Ich mache ein
zusammengesetztes Paradigma aus den beiden Begriffen.
Und ich kopiere nun dieses zusammengesetzte Bild. Es ist
ein für allemal das Bild des richtigen
Übergangs. |
| Ich mache
ein zusammengesetztes Paradigma. – Aber
wofür ist es (dann) ein Paradigma? Nun,
jedenfalls |
|
Nehmen wir an, uns hat jemand den Fundamentalsatz bewiesen.
Und zwar ˇso, indem er uns zeigt, wie für eine
bestimmte Gleichung, sagen wir 600x40 ‒ 4000x⁶ + …
= 0, Approximationen für x zu finden
sind. |
| Thank you for your letter dated …
The news of your entering the r.
cathol. church
was indeed unexpected. But whether it's good or
bad news how would I know. This seems clear to me.
The decision to become a Christian is like the decision to give up
walking on
|
? / | Ich will
sagen, der Sinn der Mathematik ist es, daß sie
|
? / | Der Beweis zeigt eine
neue Verbindung von Figuren, eine neue Bewegung. Und diese
ist ˇuns als Bild aus irgendeinem Grunde
|
| “Einen math. Satz verstehen” das ist ein sehr vager
Begriff. Sagst du aber “Auf's Verstehen kommt's überhaupt nicht an. Die math. Sätze sind nur Stellungen in einem Spiel” so ist das auch Unsinn!
|
| Daher der Streit ob ein Existenzbeweis der keine Konstruktion ist ein wirklicher
E. ist. Es frägt
sich nämlich: verstehe ich den Satz
“Es gibt …” wenn ich keine Möglichkeit
habe zu finden, wo es existiert. Und da gibt es zwei
Gesichtspunkte: Als deutschen Satz
z.B. verstehe ich ihn soweit ich ihn
nämlich erklären kann (& merke, wie weit meine
Erklärung geht!). Was aber kann ich mit ihm
anfangen? Nun nicht Das ist der Fluch des Einbruchs der math. Logik in die Mathematik, daß nun jeder Satz sich in mathematischer Schreibung darstellen läßt & wir uns daher verpflichtet fühlen ihn zu verstehen. Obwohl ja diese Schreibweise nur die Übersetzung der vagen gewöhnlichen Prosa ist. |
? / | Der Beweis ist ein
Begriff zur Beurteilung von allem des Beweisens. // der Tätigkeit des
Beweisens. // |
/ | Verstehe den
math. Satz: siehe
Mult. Ax..
(Es glaubt der Mensch, wenn er nur Worte hört, es
müsse sich dabei auch etwas denken lassen.) (x) ∙ x ∊ Soldier . ⊃ . x is brave (x) ∙ x ∊ Soldier |
/ |
Ein Begriff ist nicht
wesentlich ein Prädikat. Wir sagen zwar manchmal: “dieses Ding ist keine Flasche” aber es ist dem |
/ | Es brauchte
z.B. gar keinen Satz “dies ist ein
Platte” geben; sondern etwa nur den: “hier ist
eine Platte”. |
/ |
Die
“mathem. Logik”
hat das Denken
|
/ | Von was Du Dich
überzeugst das kann man dadurch ausdrücken
|
/ | Uns kümmert der
seelische Zustand der Überzeugtheit nicht. Wohl aber
welch der Anblick⌊,⌋ der dich überzeugt und die
Konsequenzzen
dieser Überzeugtheit. Daher sagt uns auch das Wort
“Intuition” gar nichts in Verbindung etwa mit einem
Induktionsbeweis. |
/ | Das
“Intuition” ist
⌊(⌋nur⌊)⌋ eine Ausrede – wo gar keine
Ausrede nötig ist. |
∫ | Das Interessante am
Mult. Ax. ist nicht
der paradiesische Zustand, der herrschen würde wenn
|
∫ | Statt die Konsequenzen des
Mult. Ax. zu
entwickeln & dem Leser gleichsam das Idealbild zu
zeigen, wie schön es wäre [d|w]enn es sich
so verhielte wenn … so
wäre, sollte das einzig Interessante gezeigt werden
nämlich der Gegensatz der Mathematik zu diesem
Bild. Und in dieser Weise kann das
Mult. Ax. wirklich ein
interessan-
|
/ | Das Interessante am
Mult. Ax. ist nicht
der Ideal-Zustand den es uns zeigt und den wir gleichsam
als wünschbar darstellen ˇgleichsam als wünschbar
vor Augen führt stellt, sondern
umgekehrt, die Tatsache, daß dies Axiom einem Vorurteil
entspricht ausspricht gegründet auf
diese Verwendung der Begriffe & daß dieses Vorurteil
ganz unwes
|
? / | Es ist schon
wahr: das Zahlzeichen gehört zu einem
Begriffswortzeichen & |
? / | Welcher Art war der
Irrtum, worauf konnte er gegründet sein, daß
φn(x) alle möglichen
unendlichen Dezimalbrüche
darstellte? |
| Man kann das Zeichen
“62[5|6]” daraufhin beurteilen ob es bei der
Multiplikation von 2 5
× 25 entsteht; oder wie weit es davon entfernt ist
so zu entstehen. |
| Kann ich
sagen, ich beurteile die Ziffer 6768 (als Tapetenmuster) danach
|
/ | Es ist ein
mathematischer Satz: daß das Thema … einen Kanon in
der Unterquart bilden kann. |
/ |
Der Beweis überzeugt Dich von
etwas[,|:] das heißt, Du wirst etwas auf den Beweis
hin tun. |
/ | Oder auch: Du wirst
überzeugt sein, daß Du das & das wirst
|
/ | Und wie läßt sich
dies auf die Beweise der
R.'schen
Tautologien anwenden?
|
/ | Nun der
Beweis überredet Dich, daß Du dazu, so
& so zuschließen. // dazu, daß Du so
& so zu schließt // . |
/ | Wie hängt die
Überzeugungskraft des Beweises |
| Nun der Begriff
gibt mir jedenfalls einen neuen Begriff zur Beurteilung des
Satzes,
|
/ | Der Philosoph
muß sich so drehen & wenden, daß er an den
mathematischen Problemen
|
/ |
Sein Arbeiten in der |
/ |
Ein bewiesener mathematischer Satz ist eine
interessante Figur. |
/ | Nicht ein
|
/ | Wir sehen
wohl Stücke der Begriffe, aber nicht klar die Abhänge, die
den einen in andere übergehen lassen. |
/ | Darum
hilft es in der Philosophie der Mathematik nichts, Beweise in
neue Formen
|
/ | Auch vor 500
Jahren konnte es eine Philosophie der Mathematik geben, dessen, was
damals die Mathematik war. |
|
Der mathematische Beweis muß Dir einen neuen Begriff geben, weil
er es Dir möglich machen muß anders zu urteilen ohne Dir etwas
mitzuteilen. |
| “Schreibe
|
| “Sieh' nach, ob
dieser Satz von dieser Figur bewiesen wird.” |
∫ | Wenn man sich
⌊“⌋nicht “vorstellen kann”
daß 25 ×
25 nicht 625
ergiebt, dann kann man auch nicht glauben,
könnte man sagen, daß es 625 ergibt. |
/ | Insofern man sich nicht
vorstellen kann daß
25 × 25 nicht
625 ergibt, kann man auch nicht glauben, daß es
625 ergibt. |
| ”Schreibe den Beweis des Satzes …
aus den Sätzen … & … auf.”
|
| Ich möchte sagen: der
Beweis wird statisch gebraucht, nicht dynamisch.
(Heißt das: als Bild, nicht als
Experiment?) |
| Und wenn
der Beweis ˇuns eines neues Bild ist, dann auch ein
neuer Begriff. |
| ‒ ‒ ‒ Nun,
Du beweist Dir den Satz, & nun verwendest Du ihn
losgelöst vom Beweis. |
|
| Wenn du dieser
Maus ins Maul schaust, wirst du zwei lange Schneidezähne
sehen. – Wie weißt du das? – Ich
weiß, daß alle Mäuse diese schn sie haben,
also auch diese. (Und man sagt nicht:
“& dieses Ding ist eine Maus, also hat auch sie
…) Warum ist das eine so wichtige
Bewegung? Nun, wir
|
| Oder man
sagt: “Dieser Mann ist ein
|
| Das interessante Allgemeine ist, daß wir oft ein
Mittel haben, uns
|
| Wir haben dem
Pförtner den Befehl gegeben, nur Leute mit Einladungen
hereinzulassen & rechnen nun darauf, daß dieser Mensch, der
hereingelassen wurde, eine Einladung hat. |
| Das interessante Allgemeine am logischen Satz ist
nicht die Tatsache, die er auszusprechen scheint sondern die immer
wiederkehrende Situation in der dieser Übergang gemacht
|
|
Ich bin überzeugt, nicht nur, daß ich das
Resultat des Beweises, sondern auch das ganze Bild des
Beweises erhalten kann, indem ich diese
|
| Der Beweis
überzeugt Dich auch, daß Du
|
| Hat der Beweis Dich unbedingt davon
über- |
| Der Beweis ordnet den Schlußsatz unter den
Begriff “aus diesen Sätzen auf diese Art
erhältlich“. |
|
Wenn ich also meine Oder: Wenn ich eine Wand nur mit Figuren schmücken will, die Wege nach solchen Übergängen sind, so brauche ich nur Beweise der Prin[z|c]. Math. zu kopieren. |
| Was so aussieht, ist ein Beweis
dieses Satzes aus
|
| Ich
beurteile eine Figur an der Wand nach dem Begriff “erzeugbar
aus
Bin ich nicht im Stande solche Beweise zu erfinden, finde aber, durch Zufall, zu einer meiner Figuren ˇim Buche den Beweis im Buche so kann |
| Die Beweisfigur ist der
Pedant eines Schlußvorgangs // Schließvorganges // |
| Gib es angewandte Mathematik,
so auch angewandte Logik. Nun wie schaut angewandte Logik
aus? |
| In der
angewandten Math. werden die
‘math. ’
Begriffe’ angewandt &
|
| Der Satz steht
für das wovon uns der Beweis überzeugt. –
Der Beweis ist z.B. ein Bild, das
ˇnur mich überzeugt, ich werde
|
| ‒ ‒ ‒Der
Satz entspricht etwa einem Bild des Mechanis- |
| Wenn der
Beweis das Vorgehen nach der Regel registriert, so
sch erzeugt er (dadurch) einen neuen
Begriff. |
| Indem er einen
neuen Begriff erzeugt, überzeugt er mich von etwas.
Denn zu dieser Überzeugung ist es
|
| Damit hängt es zusammen, daß man sagen
kann, der Beweis müsse eine interne Relation
|
| Indem der
Beweis einen (neuen) Begriff erzeugt, überzeugt er
mich von etwas. Das wovon er mich überzeugt ist in dem
Satz ausgesprochen ˇden er bewiesen hat. // . Wovon er mich
… , das ist in
… // |
|
∣ Problem: [b|B]edeutet das Wort,
[(| “]mathematisch”
|
| Was hat nun der
bewiesene Satz mit dem Begriff zu tun, der den Beweis
schuf. (oder, was hat der bewiesene Satz
mit der internen Relation zu tun, die der Beweis
demonstrierte. |
| Das
|
| Es
ist klar, man kann auch den unbewiesenen
math. Satz, ja auch den
|
| Der
math. Satz sagt mir:
Verfahre so. |
| Ich verfahre also auf den Satz hin wie auf den
Beweis der
|
| Wenn uns der
◇ Beweis von etwas überzeugt dann müssen wir
auch von den Axiomen überzeugt sein. Wohl; aber
nicht als von empirischen Sätzen,
d.h., das ist |
| Der Beweis überredet mich, so zu
verfahren
|
| Ein Sprachspiel: Wie
habe ich mir eins vorzustellen, in dem Axiome, Beweise &
bewiesene Sätze auftreten? |
| Der Philosoph ist der, der in sich viele
Krank- |
| Wer in der Schule zum erstenmal ein
bischen Logik lernt // von der Logik hört // , der ist gleich davon überzeugt, wenn
man ihm sagt, ein Satz impliziere sich selbst, oder wenn man
ihn er nun das Gesetz des Widerspruch ˇanwenden
hört, oder ˇ(das Gesetz) des
ausgeschlossenen Dritten sagt. Warum ist er gleich davon
überzeugt. Nun, diese Gesetze passen
ganz |
|
|
Er lernt so neue Techniken des Schließens⇒• & ⌊.⌋ Und auch, auf welche Rechnung es zu setzen ist, wenn
|
| Der Beweis überzeugt ihn
ˇüberredet ihn, daß er an dem Satz, ˇan der Technik
die dieser vorschreibt, festhalten muß; aber
ˇ(er) zeigt ihm auch, wie er an dem Satz festhalten kann,
|
|
Wenn wir im Leben vom Tod umgeben sind, so auch
|
|
Nocheinmal: Man könnte den Beweis in den Worten
beschreiben: “So geben
500 + 500
1000”, “So hat eine Gleichung
n-ten Grades n Wurzeln”, “So gehen die rationalen Zahlen an der
√2 vorüber”. Der Beweis zeigt Dir einen
Vorgang & Du kannst nun nicht umhin ihn so & so zu
nennen. |
| Sieh',
so gib[bt|t] geben
3 + 2
5. Aus dem Beweis leitest Du eine Regel ab, oder einen Satz, der als Regel dient. |
| Jeder Erfahrungssatz kann als Regel dienen wenn man
ihn feststellt, ich meine unbeweglich macht. so
daß sich nun alle Darstellung um ihn dreht & er ganz zur
Methode der Darstellung gehört & unabhängig von den
Tatsachen
|
|
”So ist es, wenn dieser Satz aus diesem abgebildet
wird. Das mußt Du doch zugeben.” Was
ich zugebe ist, daß ich solchen Vorgang so nenne.
|
|
∣ Denken wollen ist eins; Talent zum Denken
|
∫ | Wie steht der Beweis
des Satzes hinter dem Satz? Steht er hinter dem Satz wie eine Anwendung des Satzes? ein Teil der Technik, in der der Satz sein Leben hat? |
∫ | Könnte man sich eine
Mathematik ganz ohne Beweise denken? Die Menschen
lernten math. Sätze &
würden von ihrer Wahrheit // Richtigkeit // durch die Autorität
des Lehrers überzeugt. – |
∫ | Könnte man sich denken
|
| Nun, lernt er nicht auch die Geographie
Nord Amerikas, ohne dort gewesen zu
sein? Und man kann ihm doch auch beibringen, eine Zahl sei durch 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme es
|
|
Du prüfst den Zeichenausdruck (es muß kein Satz sein)
formal & entscheidest
|
| Wie ist es mit der
Prüfung von Zeichenausdrücken daraufhin, ob sie
Multiplikationen sind? Nun, nichts leichter,
als sich so eine Prüfung vorzustellen. (Sie ist
ganz analog der Prüfung eines Zahlzeichens daraufhin, ob es
dasjenige einer Quadratzahl ist, |
| Das Resultat so einer Prüfung kann der Satz
sein: “Der Zeichenausdruck auf diesem Papier ist
eine Multiplikation” – & dies ist kein
mathematischer Satz
|
| Die Prüfung ist natürlich
wieder analog der eines musi- |
| “Ich werde nur
diejenigen der Zahlen 94,
81, 72, 31,144 ˇdort hinschreiben, die
Quadratzahlen sind.” Ist das gleichbedeutend
mit dem Satz: “ich werde von
|
/ | Wie steht der Beweis hinter dem
Satz? – Wie ein Bild[?|;] das den Satz
rechtfertigt. |
|
Wenn man vom Beweis sagt, er zeige wie
(z.B.)
25 × 25
625 ergeben:
|
| Denke Dir eine Reihe
von Bildern. Sie zeigen, wie zwei Leute nach den &
den Regeln Degen fechten. // Regeln mit
dem Rapier⌊en⌋
fechten. // Eine Bilderreihe
kann das doch zeigen. Hier bezieht sich das Bild auf
⌊eine⌋
Und nun zeigen sie auch daß man auf diese Weise in
|
| In einem Sprachspiel
kann man unter Umständen Sätze einander gleich
setzen. So möchte ich sagen, daß der Satz
“dieses Blatt ist grün” das
Gleiche sagt wie ˇder:
“dieses Blatt ist grün & nicht
rot”. Und doch ist das nur in einem bestimmten
|
|
Kann man denn nicht sagen: die Multiplikation
zeigte Dir, wie
25 25 625
ergibt? oder, ˇ der Beweis: wie
diese Gleichung eine Lösung hat? |
| Ich möchte sagen:
sie die Ableitung der Lösung zeigt mir,
wie in welchem Verhältnis die Lösung zur
Gleichung steht; als zeigte sie mir das Kind, wie es in den Armen der
Mutter ruht. |
|
| Denke dir den
Beweis (3 × 3
= 9) von drei Personen gesprochen. A
zählt von 1 bis 9; B immer von 1 – 3, und C
langsam von 1 – 3. Könnte das nicht
Einen dazu bringen, daß er sagte:
“Ja, so muß also
3 × 3
immer 9 ergeben!”? Oder
einfach: “Ja,
3 × 3 ist
9.” –
|
| Ich denke mir die Beweise der mathematischen
Sätze auf der Bühne gespielt // dargestellt // ,
|
|
Du ziehst aus dem Beweis eine Lehre. |
|
Wenn etwas an der
Freudschen Lehre von der
Traumdeutung ist; so zeigt sie, in wie komplizierter
Weise der menschliche Geist Bilder der Tatsachen
|
| So
kompliziert, so unre- |
| Der Beweis ist dazu da, daß er Dich
etwas lehre. |
| Wenn man
sagt der mathematische Satz ist eine Regel, so natürlich
nicht eine Regel in der Mathematik. In der Mathematik ist
er ein Gesetz; ein Naturgesetz das von den in
der Welt der Mathematik. // ; ein Naturgesetz, das
von den mathematischen
|
|
Der Beweis ist ja dazu da, daß er Dich etwas lehrt.
Und was er Dich lehrt, spricht der Satz aus, oder zeigt
der Satz an, der bewiesen wurde. |
1) See facsimile; line connecting this remark with the following one.
2) This is the draft of a letter that was sent to Yorick Smythies, dated "7.4.[1944]", and is published in Ludwig Wittgenstein: Gesamtbriefwechsel, Innsbruck Electronic Edition (2011).
3) Ms-127, page 203 contains technical drawings and figures that are not included in the transcription.
To cite this element you can use the following URL:
BOXVIEW: http://wittgensteinsource.org/BTE/Ms-127_d