6.1.43.
Schränken wir einen Ort nach & nach durch zwei Reihen von ˇunvollständigen Dezimalbrüchen ein, die wir ˇsowohl als die Reihung selbst nach & nach weiter führen (z.B. als das Ergebnis von Experimenten) dann kann man die Einschränkung des Orts durch einen unvollständigen Dezimalbruch darstellen

 
  
/
 
Denk Dir die intensionale Allgemeinheit in Merkzeichen gebraucht

 
  
 
Wenn man sagen
wollte: es fehlt dem Begriff an Exactheit & die extensionalen Pseudoerklärungen geben sie ihm nicht – nun was macht dieser Mangel an Exactheit??

 
  
 
Denk Dir eine Morphologie der Kurven, ohne Gleichungen oder dergl.

 
  
/
 
Von den Mathematikern kann man nur Mathematik lernen, aber nicht die Philosophie der Mathematik. Ich meine man kann
von ihnen nur lernen absehen was sie treiben // von ihnen nur lernen, was sie treiben, indem man ihnen zusieht // aber ihnen nicht glauben, wenn sie darüber Rechenschaft ablegen.

 
  
 
In den allgemeinen intensionalen Sätzen von den Funktionen wird einerseits eine Technik des Rechnens festgehalten, die man dann auf ein gegebenes Beispiel anwenden kann; andrer-
seits eine
Einteilung
Teilung
des Materials bewirkt in solches was sich mit dieser Formel behandeln läßt & solches
was
welches
so nicht zu behandeln ist.

 
  
 
Wie ist es also mit dem [m|M] dieser allgemeinen Sätze?

 
  
 
Nimm, an es gäbe nur ein Beispiel & den allgemeinen Kalkül. –

 
  
 
7.1.
Aber es ist doch kein Zweifel, daß
wir durch eine Reihe von Beispielen einen allgemeinen Begriff von einem ‘Prinzip der Zuordnung’, von einem ‘Prinzip der Teilung’, u.s.w., gewinnen!
    Das heißt doch: wir lernen durch diese Beispiele eines neues Sprachspiel; ähnlich in gewissem Sinne dem neue Multiplikationen auszuführen, wenn wir Multiplikationen gelernt haben.

 
  
 
Wenn wir nun, wie ich vielleicht sagen
möchte, einen unklaren [b|B]egriff von dem ‘Prinzip der Zuordnung’ (z.B.) haben, – kann, ˇ& soll, man ihn durch einen klaren ersetzen? Oder ist es gerade die Vagheit, die uns gute Dienste leistet?

 
  
 
Der allgemeine Begriff einer Zuordnungs-Technik.

 
  
 
Denk' Dir daß die Menschen durch gewisse Zeichen etwa von der Art der Chinesischen Siegel
dazu bewogen würden Ziffernfolgenreihen ˇhinzuschreiben & zwar alle ˇMenschen übereinstimmend, wenn sie einmal durch irgend eine Art Schulung gegangen sind. Dann können sie diese Ziffernfolgen oder vielleicht die Zeichen, die ihre Fortführung leiten, als Zahlen auffassen. Und es müßte auch da kein system solcher Zahlen geben.

 
  
 
Wie, wenn man die reellen Zahlen nicht durch das Aufzeigen
irrationaler Zahlen sondern ˇeinfach durch umwandeln der rationalen in reelle Zahlen einführte. (Diesen kann man dann immer die irrationalen Zahlen hinzufügen.) Und nun, ehe man noch von irrationalen Zahlen spricht, beweist man Dedekinds Satz!

 
  
 
Angenommen, wir geben einem Prinzip der Teilung aller reellen Zahlen einen Namen. Geben wir den Namen dem Prinzip der Teilung auf die ration.
Zahlen angewandt?, oder ◇◇◇ Kann man die irrationalen Zahlen teilen als indem man die rationalen teilt. Denn bezieht sich die Teilung nicht nur über den Umweg der rat. Zahlen auf die irrationalen, dann kann auch der Name eine ganz andere Zahlenart als die reelle bene bedeuten.

 
  
 
Sagt die allgemeine intensionale Behandlung mit ihren Variablen nicht: “so muß es ausschauen”?


 
  
 
8.1.
Die extensionalen Erklärungen der Funktionen, der irrat reellen Zahlen, etc. las übergehen alles Intensionale, – obwohl sie es voraussetzen, – & bedienen beziehen sich einer auf die immer wiederkehrende ◇◇◇ äußeren Form.

 
  
 
Die Funktion hat sozusagen eine extensionale Äußerung.

 
  
 
Der allgemeine Begriff der Funktion als heuristisches Prinzip:



 
  
 
Denken wir wieder an das Beispiel des Zaubers gewisser geschriebener Symbole (etwa geschriebener) die die Menschen dazu bringen übereinstimmend Zahlenfolgen zu schreiben oder eine Zahl einer gegebenen anderen zuzuordnen.
   Es sei also s = f(x) und f = 1, & dies Symbol ist eines von denen welches uns einem beliebigen rationalen x ein y zuordnen läßt.
Kann man nun mit diesem Begriff den Begriff
lim
x→∞
f(x) bilden?

 
  
/
 
9.1.
Unsre Schwierigkeit fängt eigentlich schon mit der unendlichen Geraden an; obwohl wir schon als Knaben lernen, eine Gerade habe kein Ende, & ich weiß nicht, daß diese Idee irgend jemand Schwierigkeiten bereitet hätte. Wie, wenn ein Finitist versuchte diesen Begriff durch den Ei einer geraden Strecke von
bestimmter
Ausdehnung
Länge
zu ersetzen?!
Aber die Gerade ist ein Gesetz des Fortschreitens.*

 
  
/
 
Die Verteilung der Primzahlen wäre ein ideales Beispiel für das was man synthetisch a priori nennen
kann
könnte
, denn man kann sagen, daß sie jedenfalls durch eine Analyse des Begriffs der Primzahl nicht zu finden ist.


 
  
 
Die Allgemeinheit der Funktionen ist sozusagen eine ungeordnete
Allgemeinheit. Und unsere Mathematik ist auf so einer ungeordneten Allgemeinheit aufgebaut.

 
  
 
10.1.
Ich lese in “Chemical History of a Candle”: “Water is one individual thing – it never changes”.

 
  
 
Denken wir uns das Zeichen “”, dessen Physiognomie ich
stets
immer
wiedererkennen kann (so nehme ich an) [gibt| gebe] uns allein die gleiche ˇendlose Folge von 0 & 1 ein, entspricht also einem unendlichen Dezimalbruch. Wir
behandeln daher dies Zeichen als ein Zahl-Zeichen.

 
  
 
Du kannst über die reellen Zahlen nicht in's Klare kommen außer
durch
überc
den Begriff der Technik. Denn sie sind ja Techniken der Entwicklung (oder Zuordnung).

 
  
 
Was, wenn die irrationalen Zahlen Seltenheiten unter den rationalen wären? So daß man etwa sagen könnte: unter den rationalen Z. gibt es ˇverstreut 50 irrationale. Oder
auch: es gibt 50 Reihen irrationaler Zahlen. Warum
müsste
sollte
man ihnen in diesem Falle einen gemeinsamen Gattungsnamen geben? – Ja – man könnte es tun. Und was wäre die Ähnlichkeit die einem dazu bewegte?
Nun die Rechenstellen haben eine äußere Ähnlichkeit. (Gleichsam wie Apparate, oder Futterale von Apparaten) Eine Ähnlichkeit ist natürlich, daß sie jede von ihnen die gleiche ˇeine besondere & immer gleichbleibende Zahlen-
folge erzeugt.

 
  
 
Der Begriff des Limes & der Stätigkeit, wie sie heute eingeführt werden, hängen, ohne daß dies ausgesprochen wird, mit von dem Begriff des Beweises zusammen ab. Denn wir
sagen
nennen
lim
x→∞
f(x) = ℓ, wenn bewiesen werden kann, daß …
   Das heißt wir gebrauchen Begriffe, die unendlich viel schwerer zu fassen sind als die, die wir offen herzeigen.

 
  
 
Die Definition der
Kontinuität hat zwar eine extensionale Illustration aber nicht eine extensionale Anwendung. Eine Gerade der ein Punkt fehlt ‒ ‒ ‒

 
  
 
Kann denn aber eine Erlaubnis oder nicht kontinuierlich sein?

 
  
 
Denk Dir eine Maschine die,: wenn ich in sie Zahlwörter hineinspreche ˇso gibt mir Zahlwörter zur Antwort gibt. ◇◇◇ Und ein Mensch kann ja so
eine Maschine sein. Denn die Rechnung, durch die er etwa seine Antwort erhält braucht mich nichts anzugehen & ich brauche sie nicht zu verstehen.

 
  
 
Könnte man nun durch Beobachtungen
solcher
so einer
Maschinen zu den Begriffen des Limes, der Kontinuität etc gelangen, – wenn auch nur als zur Bildung von Hypothesen über ihr Verhalten? Hätte es z.B. Sinn von einer solchen Maschine zu sagen
daß sie so & so eingestellt, auf ins Unbegrenzte wachsender Zahlenwerte mit Zahlen Antwortet die sich unbegrenzt der 0 nähern.
// Könnte man, z.B., das Verhalten so einer Maschine hypothetisch dahin beschreiben, daß sie ˇunbegrenzt auf Zahlen, je größer diese werden mit Zahlen [A|a]ntwortet die sich mehr & mehr der Null nähern. //

 
  
 
12.1.
Die irreführende Idee ˇin der D'schen extensionalen Auffassung ist, daß die reellen
Zahlen in der Zahlenlinie alle ausgebreitet da liegen. – [m|M]an kennt sie nicht alle, aber was macht das? Und so braucht man nur zu schneiden, oder in Klassen teilen & hat sie allec geteilt, die bekannten & die unbekannten.

 
  
 
// Das Irreführende an der D'schen extensionalen Auffassung ist die Idee ˇdaß die reellen Zahlen liegen alle in der Zahlenlinie ausgebreitet daliegen. Man mag sie kennen
oder nicht; das macht nichts. Und so braucht man nur zu schneiden, oder in Klassen teilen, [
& hat ihnen allen ihren Platz angewiesen
& has dealt with them all
.) //

 
  
 
Es ist durch die Kombination der Rechnung & der Konstruktion, daß man die Idee erhält un es
müsste
würde
auf der Geraden ein Punkt ausgelassen werden, nämlich P,
√2 als ein Maß der Entfernung von O zuließe. ‘Denn, wenn ich wirklich genau konstruierte, so müßte dann der Kreis die Gerade zwischen ihren Punkten hindurch schneiden.

 
  
 
Das ist ein schrecklich verwirrendes Bild.

 
  
 
15.1.
Die irrationalen Zahlen sind –
sozusagen
könnte man sagen
– Einzelfälle.

 
  
 
Warum sollte ich nicht die Regeln welche alle die gleiche Entwicklung ergeben in größere & kleinere teilen?


 
  
 
18.1.
Was ist die Anwendung des Begriffes der Geraden, der ein Punkt fehlt?! Diese Anwendung muß ‘hausbacken’ sein. Der Ausdruck “Gerade, der ein Punkt fehlt” ist ein fürchterlich irreleitendes Bild. Der klaffende Spalt zwischen Illustration & Anwendung.

 
  
 
19.1.
Ist, ˇSoll man sagen, zur Beurteilung der
Stätigkeit
Kontinuität
einer Kurve ˇsei die x- & y-Achse das Vergleichsobjekt?
    Das heißt, gleichsam,: was so ist wie die
x-Achse, ist
stätig
kontinuierlich
.

 
  
 
Oder wie wenn ich Stätigkeit der Bewegung auf der x-Achse definierte?
     Diese Oscilieren ‘Bewegung’ eines Punktes auf der x-Achse würde einer Zahlenfolge entsprechen mit einem Zeichen welches anzeigen soll, daß die Pfeile zusammenhängenstoßen. (Also z.B. [C; 0,7,1,4,2,5˙5,4˙2])

 
  
 
Kann man eine als Hypothese aufstellen annehmen, ein
Vorgang werde ohne Ende weiterlaufen?
Könnte
Kann
man also z.B. von mehreren Rechenmaschinen annehmen, sie werden, wenn nichts sie stört, ohne Ende Ziffern auf Ziffern liefern?

 
  
 
Wenn man den allgemeinen Kalkül der Funktionen als die allgemeine Form einer Menge existierender Begriffe, & anderseits als
ein Paradigma
einen Standard
zur Klassifikation noch zu erwartender auffasst–, so erhebt sich die Frage:
wie, wenn es, im extremen Fall, gar keine Beispiele gäbe? Welche Rolle könnte dann ein allgemeiner Funktionen-Kalkül spielen?

 
  
/
 
20.1.
Denk' Dir jemand hätte vor 2000 Jahren die Form
erfunden & gesagt, sie werde einmal die Form eines Instruments der Fortbewegung sein.      Oder vielleicht: es hätte jemand den ˇvollständigen Mechanismus der Dampfmaschine kon-
struiert, ohne
irgend welche
die geringste
Ahnung, wie er etwa als Motor benutzt werden könnte // ohne irgendwelche Ahnung, daß, & wie, er als Motor zu benutzen wäre. //

 
  
/
 
Warum sollte Einer nicht den Russellschen Kalkül der Proposition erfunden haben können ohne irgendeine Ahnung von der ehe man die Verwendung die R. etwa gibt? kannte, die er später erhielt?

 
  
 
    Was für Sätze wider-
sprechen sich denn im dem Russellschen Widerspruch? Erfahrungssätze? Mathematische Sätze?

 
  
 
Ich sage: Als Abkürzung für ‘~f(f)’ führe ich ‘F(f)’ ein. ‒ ‒ Dann muß ich folgerecht ‘~F(F)’ abkürzen: ‘F(F)’. D.h., diese Abkürzung führt dazu zu der, das Verneinungszeichen in einem Satz auszulassen. Oder, wenn Du willst, dazu,: den positiven & den negativen Satz gleich zu schreiben.



 
  
 
lim
n→∞
Φ(n) = ℓ’ heißt: Es ist hierfür gibt einen Beweis beweisbar algebraisch für beliebiges δ eine Funktion g(δ), so daß
❘Φ(n) ‒ ℓ❘ ˂ δ, wenn
für jedes n ≧ g(δ)

 
  
 
lim
n→∞
Φ(n) = ℓ’ heißt: Zwischen zwei Funktionen, Φ(n) & g(x), besteht ein die Relation:    ❘Φ(n) ‒ ℓ❘ ˂ x für jedes n, welches ≧ g(x) ist.
   Wenn n ≧ g(x) ist, ist

❘Φ(n) ‒ ℓ❘ ˂ x




|φ(

 
  
 
❘Φ(
g(x)

n
) ‒ ℓ❘ ˂ x


 
  
 
Eigentlich ist der Ausdruck “” nur dann treffend, wenn die Bedingung
hinzugefügt wird
gegeben ist
, daß für kein n φ(n) = l wird.

 
  
 
Wenn man sich den allgemeinen Funktionen-Kalkül ohne die Existenz von Beispielen denkt, dann sind eben die vagen Erklärungen wie man sie in den Lehrbüchern findet
durch Wertetafeln & Zeichnungen, ˇwie man sie in den Lehrbüchern findet, am Platz, als Andeutungen, wie etwa diesem Kalkül einmal ein Sinn
zu geben sein
gegeben werden
möchte.

 
  
/
 
Denk' Dir Einer sagte: “Ich will eine Komposition hören, die so geht:


 
  
 
Müßte das unsinnig sein? Könnte es nicht eine Komposition geben
von der sich zeigen ließe, daß sie, in ˇirgend einem wichtigen Sinne, dieser Linie entspräche?

 
  
/
 
21.1.
Eine Definition ist doch gewiß eine Begriffsbestimmung – aber wie ist es mit dem bloßen Schema einer Definition.


 
  
/
 
Eine Definition muß nicht zur [v|V]erkürzung Abkürzung eines Zeichenausdrucks dienen. Sie könnte auch zur Verlängerung oder zur Ersätzung durch einen schöneres Zeichen dienen.



 
  
 
Könnte man sich die Definition im Kalkül nicht ausgelassen denken – & nur die Substitution die ihr entspricht gemacht & nur etwa mit dem Vermerk, daß dies möge eine gestattete Substitution sein?

 
  
/
 
‘Wer dieser Regel folgt, der folgt auch einer Regel, …’ [z|Z].B.: ‘der folgt aus einer Regel, die verbietet, daß …’

 
  
 
22.1.
Wer
einer neuen
eine neue
Regel
folgt
einführt
, der führt
einen neuen Begriff ein. Denn die neue Regel ist eine neue Art die Dinge zu sehen. – // Wer einer neuen Regel folgt, hat einen neuen Begriff
gebildet
eingeführt
. //


 
  
/
 
Ein unentschiedener Satz Ma der Mathematik ist ein Satz der weder als Regel, noch als das Gegenteil einer Regel anerkannt ist & ˇder die Form einer mathem.
Aussage
Regel
hat. – Was heißt aber dies letztere? Ist
diese Form
es
aber ein klar umschriebener Begriff?




   


 
  
/
 
Denke dir den
lim
n→∞
Φ(n) = ℓ als eine Eigenschaft eines Musikstücks (etwa) Aber natürlich nicht so, daß das Stück
endlos
unendlich
weiterliefe, sondern als eine dem Ohr erkennbare Eigenschaft (gleichsam al[l|g]ebraische Eigenschaft) des Stückes.


   


 
  
/
 
Oder wie, wenn man die Stätigkeit als Eigenschaft des Zeichens “x² + y² = a²” ansähe – natürlich nur, wenn diese Gleichung & andere
gewohnheitsmäßig einer bestimmten Art der Prüfung unterzogen würden. ‘So stellt sich diese Regel (Gleichung) zu dieser bestimmten Prüfung.’ Eine Prüfung, die mit einem
Streifblick
Seitenblick
auf eine ˇArt Extension
vorgenommen wird
geschieht
.


   


 
  
 
Es wird bei jener Prüfung der Gleichung etwas vorgenommen, was mit gewissen Extensionen zusammenhängt. Aber nicht als handelte es sich da um eine Extension, die der
Gleichung selbst irgendwie äquivalent wäre. Es wird nur auf gewisse Extensionen sozusagen, angespielt. – Nicht die Extension ist hier das Eigentliche, das nur faute de mieux intensional beschrieben wird; sondern die Intension wird beschrieben – oder dargestellt – vermittels gewisser Extensionen, die sich da & dort aus ihr ergeben.


   


 
  
 
Der Verlauf gewisser Extensionen wirft
ein Streiflicht auf die algebraische Eigenschaft der Funktion.
    In diesem Sinne könnte man also sagen, es werfe die Zeichnung einer Hyperbel ein Streiflicht auf die Hyperbelgleichung.


     


 
  
/
 
Dem widerspricht nicht, daß jene Extensionen die wichtigste Anwendung der Regel wären; denn es ist eines eine Ellipse zeichnen, & ein anderes, sie mittels ihrer Gleichung konstruieren.

 
  
 
25.1.
    Wie, wenn ich sagte:
Die extensionalen Überlegungen (z.B. der Heine-Borelsche Satz) zeigen: so sollen die Intensionen behandelt werden. // : so soll man die Intensionen behandeln. //

   


 
  
 
Das Theorem gibt uns, in großen Zügen, eine Methode, ˇwie mit Intensionen zu verfahren ˇist. Es sagt etwa: ‘So wird es ausschauen müssen’.

   


 
  
 
Und man wird dann etwa zu einem Verfahren mit bestimmten Intensionen eine
bestimmte Illustration zeichnen können. Die Illustration ist ein Zeichen, eine Beschreibung, die besonders übersichtlich, einprägsam, ist.

    


 
  
 
Die Illustration wird hier eben ein Verfahren angeben.

 
  
 
Eine Prozedur.

 
  
/
 
26.1.
     Lehre, wie Figuren in einem Bilde (Gemälde) zu placieren sind, – aus allgemeinen ästhetischen
Gründen
Rücksichten
etwa – noch abgesehen davon, ob diese Figuren nun
kämpfen oder einander liebkosen, etc..


   

 
  
 
Die Lehre von den Funktionen als ein (allgemeines) Schema, in das, einerseits eine Unmenge von
bekannten
existierenden
Beispielen pass[e|t]nsst, & das anderseits, als ein Standard zur Klassifikation von Fällen
dasteht
aufgestellt ist
.

 
  
 
Das irreführende der üblichen Darstellung
liegt
besteht
darin, daß es scheint, als ließe sich die allgemeine Darstell auch ohne
alle Beispiele, ohne einen Gedanken an Intensionen (im Plural) ganz verstehen, da sich eigentlich alles extensional abmachen ließe,
wenn's
wenn es
aus äußeren Gründen nicht unmöglich wäre.

27.1.

   

 
  
 
Vergleiche die beiden Formen Ausdrucksweisen der Erklärungen:
“Wir sagen
lim
[x|n]→∞
Φ([x|n]) = L,
wenn es sich zeigen läßt, …”, &
        
lim
n→∞
Φ(n) = L heißt:
es gibt für jedes ε ein δ …”


 
  
 
Die Möglichkeit der
math. Induktion liegt im Wesen der Regel & der Technik, einer Regel zu folgen.


    

 
  
 
Nach einer allgemeinen Darstellung der Lehre vom Limes (z.B könnte man sagen: ‘Du wirst nun sehen, wie fruchtbar diese Überlegungen sind’. – Denn sie bringen, sozusagen, unerwartete Früchte.

 
  
 
“Ich kann jedes ∆ durch ein n² übersteigen”– Was für eine Art Satz ist das?

    

 
  
 
Man kann sich dabei einfach die unendliche Extension der Quadrate vorstellen, oder aber auch die Methode, zu jeder Zahl eine zu finden deren Quadrat sie übersteigt.


    

 
  
/
 
Der Ausdruck “wie groß auch immer” & das “→∞” beziehen sich auf eine bestimmte Anwendungsweise. Wenn man nämlich sagen will: Je weiter Du (auf der x-Achse) gehst, desto mehr nähert sich die Kurve der Linie … ohne sie aber zu erreichen; gehst Du noch
weiter, so wird die Kurve ihr noch näher kommen. Endlich werden deine Augen auslassen & die Annäherung nicht mehr erkennen lassen.

28.1.

    

 
  
​ /
 
Das Erreichen der Genauigkeitsgrenze ist mit bestimmten Phänomenen verbunden. D.h., es gewährt ein gewisses Bild, sieht so & so aus. // Das Erreichen der Genauigkeitsgrenze ist ein gewisses Phänomen, gewährt ein gewisses Bild, sieht so & so
aus. //

 
  
 
Wie soll es heißen:
⌊⌊a)⌋⌋‘(u) ∙ (∃n) ∙
1
2n
˂ u’, oder
⌊⌊b)⌋⌋‘für jedes u läßt sich ein n finden, für welches
1
2n
˂ u’?


    

 
  
 
Vor allem: auch der zweite Satz ist ein mathematischer Satz. Denn er bezieht sich nicht auf den gegenwärtigen Stand unserer Kenntnis, sondern auf eine bestimmte mathem. Methoden.

 
  
/
 
1.2.43
Ein Beweis, daß 777
in der Entwicklung von π vorkommt, der nicht zeigt, wo, müßte diese Entwicklung von einem ganz neuen Standpunkt ansehen, sodaß er ˇetwa Eigenschaften von Regionen
der
dieser
Entwicklung
angeben
demonstrieren
könnte
zeigte, von denen wir nur wüßten, daß sie sehr weit
draußen
entfernt
liegen. Es schwebt mir dabei vor, daß man sehr weit draußen in π sozusagen eine dunkle Zone ˇvon unbestimmter Länge annehmen müßte, wo
unsere Rechenhilfsmittel nicht mehr verläßlich sind, & da noch weiter draußen dann eine Zone, wo man auf andere Weise wieder etwas sehen kann.

 
  
 
[3|2].2.
Eine Ziffernreihe die nach ˇeinem quasi aesthetischen Prinzip fortgesetzt wird. Gegeben ist etwa der Anfang
      4831, & nun fragt man: ‘was für eine weitere Ziffer fordert diese Zifferngruppe?’

 
  
 
Denk Dir eine Regel,
die uns, sozusagen, viel zu hoch ist. (Wie wir etwa ein Musikstück nicht verstehen.)

 
  
/
 
Der Begriff der Funktion, wie er eingeführt wird, setzt einen Begriff der mathematischen Operation, oder Ableitung voraus, der zwar durch Beispiele illustriert aber nicht irgendwo scharf gefaßt wurde. Es soll ja eine mathematische Abhängigkeit sein.

 
  
/
 
3.2.
Das Benehmen eines
Stammes, der nach de[m|n] äußeren des Benehmens Smptomen zu urteilen, Rechnungen ausführt, die uns aber ganz unverständlich sind.

 
  
 
Farben als Argumente & Funktionswerte.

 
  
 
Beispiele nur um der Phantasie zu helfen. Gleichsam, damit das Schema nicht gänzlich trocken ist.

 
  
 
Denk wieder daran, wieviel Sinn noch in einem Unsinn-Gedicht liegt!


 
  
/
 
22.2.
    Ich möchte sagen, daß die sog. Teilung der reellen Zahlen, also der Regeln zur Erzeugung etc., den Begriff solcher Regeln weiter bestimmt.

 
  
 
   ˇEtwa so: ‘Es ist natürlich zu sagen, daß alles was eine solche Regel nennen ˇkönnte rechts oder links von diesem Punkte liegen wird’.
    Oder: ‘Eine weitere Bestimmung des Begriffes einer R einer solchen Regel ist es, daß sie rechts oder
links von diesem Punkte liegen muß’.

 
  
/
 
23.2.
Der Cantorsche Diagonal-Beweis – auch wenn man ihn so formuliert, daß er für ein bestimmtes System von unendliche[n|r] Dezimalbrüch[en|e] zeigt, daß es
Dez.br.
solche
außerhalb des Systems gibt – kann doch als Beweis alle Regeln betreffend aufgefaßt werden, die unendliche Dez.Br. erzeugen. D.h., die Unbestimmtheit des Begriffes solcher Regeln scheint uns
hier nicht zu stören. Wenn der Beweis gezeigt hat, daß man aus dem System der Regeln √2,(√2)³, (√2)⁵, … eine Regel ableiten kann die nicht zum System gehört, dann wollen wir sagen: “& das muß also für alle Systeme solcher Regeln gelten”. –

 
  
/
 
Aber warum muß es? Wie zeigt der Beweis das?

 
  
/
 
Man möchte sagen: “Was der Beweis zeigt gilt für jedes System
von Regeln, nicht für ‘alle Systeme’”. Und ebenso: “Jede Regel wird (oder muß) rechts oder links … liegen”, nicht: “Alle Regeln … ”. Aber was bedeutet diese Wahl des Ausdrucks?

 
  
/
 
Man will etwa sagen: “Für [A|a]lles, was man eine ‘Regel’ nennen kann, muß das gelten” Das hieße, man will die Begriffsbestimmung von einer Aussage, die den Begriff verwendet, trennen.

 
  
/
 
24.2.
Warum die Parteilich-
keit für “irgendein” & gegen “alle”. Nun Die Antwort ist kommt gewöhnlich darauf hinaus daß “alle” ein falsches Bild heraufbeschwört. Man sagt, das Wort “alle” lasse es so erscheinen, als ob die Regeln (z.B.) alle schon vor uns lägen, wie Äpfel in einer Kiste, und dergl.. Aber was schadet dieses Bild? Regeln sind ja nicht wie Äpfel & sind auch in keiner Art von Kiste, also kann das Bild so keine Verwirrung erzeugen. Wenn Es wäre
dann höchstens kindisch & unnütz. – Wie aber ist es irreführend?


 
  
/
 
Was schadet es, z.B., zu sagen, Gott kenne alle irrationalen Zahlen? Oder: sie seien schon alle da, wenn wir auch nur gewisse kennen? Warum sind diese Bilder nicht harmlos?

 
  
 
Einmal verstecken sie gewisse Probleme.

 
  
/
 
Dedekind gibt ein allgemeines Schema der Ausdrucksweise; sozusagen eine logische
Formulierung
Form
des Raisonnements.

 
  
 
Eine allgemeine Formel nach dermulierung
eines
des
Vorgangs. Der Effekt ist ein ähnlicher, wie der, der Einführung des Wortes “Zuordnung” zur allgemeinen Erklärung der Funktionen. Es wird eine allgemeine Redeweise eingeführt, die zur Charakterisierung eines mathem. Vorgangs
sehr
äußerst
nützlich
ist
sein kann
. Die Gefa (Ähnlich wie in der Aristotelischen Logic). Die Gefahr aber ist, daß man mit dieser allgemeinen Redeweise die vollständige Erklä-
rung der einzelnen Fälle geg zu besitzen glaubt (die gleiche Gefahr wie in der Logik,).

 
  
/
 
Wir bestimmen den Begriff der Regel
der
zur
Bildung eines unendlichen Dezimalbruchs weiter & weiter.
   Aber der Inhalt des Begriffes?! – Nun, können wir denn nicht das Begriffsgebäude ausbauen als Behältnis für welche Anwendung daherköm immer daherkommt?
Darf
Kann
ich denn nicht die Form ausbauen (die Form zu der mir irgend-
ein Inhalt die Anregung geboten hat) & gleichsam eine Sprachform vorbereiten für möglichec künftige [v|V]erwendung? Denn diese Form wird auch,
soweit
wenn
sie leer wi bleibt, die
Form
Gestalt
der Mathematik bestimmen helfen.

 
  
/
 
25.2.
Ist denn nicht die Subjekt-Prädikat Form in dieser Weise offen & wartet auf die verschiedensten neuen Anwendungen?

 
  
/
 
D.h.: ist es wahr, daß die ganze Schwierig-
keit, die Allgemeinheit des mathem. Funktionsbegriffs betreffend, schon in der Aristotelischen Logik
da ist
auftritt
, da die Allgemeinheit der Sätze & Prädikate von uns ebensowenig überblicktsehen werden kann, wie die der ˇmathem. Funktionen?

 
  
/
 
Wenn ich von der Mathematik sagte, ihre Sätze
bestimmen
bilden
Begriffe, so ist das vag, denn ‘2 + 2 = 4’ bildet einen Begriff in anderem Sinne, als “p⊃p”, ˇ(x).f(x) ⊃ fa, oder der Dedekind'sche Satz.



 
  
/
 
Der Begriff der Regel zur Bildung eines unendlichen Dezimalbruchs ist – natürlich – kein spezifisch mathematischer. Es ist ein Begriff in Zusammenhang mit einer bestimmten Tätigkeit im menschlichen Leben. Der Begriff dieser Regel ist nicht mathematischer als der, der Regel zu folgen. Oder auch: dieser letztere ist nicht weniger scharf definiert als der Begriff so einer Regel selbst: – Ja, der Ausdruck der Regel & sein Sinn ist
nur ein Teil des Sprachspiels: ‘der Regel folgen’.


 
  
 
Man kann Man spricht mit dem gleichen Recht allgemein von solchen Regeln ,als von … reden, als von den Tätigkeiten, ihnen zu folgen.

 
  
 
26.2.
Man sagt freilich: “das liegt alles schon in unserm Begriff”[;|] von der Regel, (z.B.) [,|] aber das heißt nur: zu diesen Begriffsbestimmungen neigen wir. [d|D]enn was haben wir denn im Kopf, was alle diese Bestimmungen schon
enthält?!

 
  
/
 
Man könnte sagen: Daß etwas aus dem Begriff zu folgen scheint ist nur der Ausdruck dafür, wie natürlich
der betreffende
dieser
Übergang für uns ist.

 
  
/
 
Der Begriff des Bruches ein anderer, ehe an ein ordnen der Brüche in eine Reihe gedacht wird, & danach.

 
  
/
 
1.3.
Begriffe die in ‘notwendigen’ Sätzen vorkommen müssen auch in nicht-notwen-
digen auftreten & eine Bedeutung haben.

 
  
/
 
6.3.
überlege die Idee: Eine Technik, zur Bildung von Zeichen (z.B.), hat eine ihr zugeordnete Anzahl. Wir charakterisieren dann eine Endlose Technik durch
etwas, was man …
ein Merkmal das man
auch Anzahl nennen kann.

 
  
 
8.3.
Wenn zwei Klassen reeller Zahlen so beschaffen sind, daß die eine ganz oberhalb der anderen liegt, daß keine Entfernung zwischen beiden besteht, & ˇdaß sie
gegeneinander zu
nicht geschlossen sind,
offen sind,
dann liegt eine reelle Zahl zwischen ihnen; & es können nicht ˇzwei reelle Zahlen von verschiedener Größe zwischen ihnen liegen.
    Man kann das so ausdrücken:, daß es
liege
liegt
ein & nur ein reeller Punkt zwischen ihnen.

 
  
 
Zwei reelle Punkte sind zwei miteinander vergleichbare reelle Zahlen.

 
  
 
Hier ist von einer Teilung aller reellen Zahlen
nicht die Rede.

 
  
 
Die Idee daß die die ‘Geschlossenheit des Kontinuums’ zeigt scheint mir abgeschmackt.

 
  
 
Die Untersuchung zeigt, daß eine reelle Zahl zwischen den beiden offenen ˇreellen Klassen liegt, nicht, daß ‘nur wiederum eine reelle Zahl zwischen ihnen liegt & nicht etwa eine ganz andere Art von Zahlen’. Denn von einer anderen Art, die sich dabei ergeben könnte ist hier gar nicht die Rede. Und auf die
Frage “ergibt sich dabei eine ganz neue Zahlengattung, oder nur wieder eine reelle Zahl der alten Art?” kann man eigentlich gar nicht antworten.

 
  
 
    Die Frage kann ˇetwa sein: “liegt zwischen diesen Klassen noch eine Zahl oder nicht?”. Aber man kann nicht weiter fragen: “und ist es etwa eine ganz neue Art?” weil wohl eine ganz neue Art auch zwischen ihnen liegen kann, aber das gar nicht untersucht würde.


 
  
 
   Andererseits schließen die reellen Zahlen wirklich ein Kapitel ab – aber wird dies durch den Beweis bewiesen?

 
  
/
 
9.3.
     Die Zahl ist, wie Frege sagt, eine Eigenschaft eines Begriffs ‒ ‒ aber in der Mathematik ist sie ein Merkmal eines mathematischen Begriffs. ℵ0 ist ein Merkmal des Begriffs der Kardinalzahl;– & die Eigenschaft einer Technik. 20 ist ein Merkmal des Begriffs des unendlichen Dezi-
malbruchs, aber wovon ist diese Zahl eine Eigenschaft. D.h.: von welcher Art von Begriff kann man sie empirisch aussagen?


 
  
 
20 ist die Zahlˇ, das Merkmal einer besonderen Unbestimmtheit. // einer
besonderen
bestimmten
Allgemeinheit. //

 
  
 
4.4.43
Was Du für ein Geschenk hältst, ist ein Problem das Du lösen sollst.

 
  
 
Genie ist das, was uns das Talent
des
eines
Meisters vergessen macht.

 
  
 
Genie ist das, was uns
das
Geschick
Talent
vergessen macht.

 
  
 
In dem Meistersinger Vorspiel z.B. schaut das Geschick durch. wo das ◇◇◇ Genie dünn, ist kann das Geschick durchschauenblicken. (Meistersinger Vorspiel.)

 
  
 
Genie ist das, was macht daß wir das Talent des Meisters nicht sehen können.

 
  
 
Nur wo das Genie dünn ist, kann man das
Talent
Geschick
sehen.




 
  
 
27.2.44.
Warum soll ich nicht Ausdrücke entgegen ihren ursprünglichen Gebrauch verwenden? Tut das z.B. nicht
der Wissenschaftler
Freud
, wenn er auch einen Angsttraum einen Wunschtraum nennt? Wo ist der Unterschied? In der wissenschaftlichen Betrachtung ist d[as|er] neue w neue Gebrauch durch eine Theorie gerechtfertigt. Und ist diese Theorie falsch, dann ist auch der neue, ausgedehnte Gebrauch aufzugeben. In der Philosophie aber sind es nicht wahre oder falsche Meinungen über Naturvor-
gänge, auf die sich der ausgedehnte Gebrauch stützt. Keine
Erfahrung
Tatsache
rechtfertigt ihn
,
(&)
keine kann ihn stützen.

 
  
 
Man sagt uns:
Wir sagen:
“Du verstehst doch diesen Ausdruck? Nun,
in der Bedeutung, die Du kennst,
so wie Du ihn immer verstehst,
so gebrauche auch ich ihn.” // Nun also, in der Bedeutung, die Du kennst, gebrauche auch ich ihn.” // [Nicht: “… in der Bedeutung …”]
Als wäre die Bedeutung eine Aura, die das Wort in jederlei Verwendung herübernimmt // mitbringt // // , die das Wort mitbringt & in
jeder Art der
jederlei
Verwendung
herübernimmt. //

 
  
 
28.2.44.
Ein Traum: Mir fiel das Wort “Feura Eisen Krieg” ein, das ich in meiner Jugend viel gehört habe. Es heißt eigentlich ‘Feuer & Eisen Krieg’ & bezieht sich auf irgend einen Krieg im letzten Jahrhundert in der Zeit
ungefähr
etwa
des [ö|ö]sterreichisch-preußischen. Die Generation meiner älteren Geschwister und Cousins (Robby) habe es das Wort oft gebraucht vom ‘Feuer Eisen Krieg’ gesprochen Ich denke, wie sich d viele Wörter man heute nicht mehr hört, die damals ˇgang & gäbe waren die Konversation charakterisiert haben.

 
  
 
29.2.44
Wer sagt, daß er den
Satz “ich sehe dies” (oder “dies ist hier”, oder “ich bin hier”) versteht, & daß also dieser Satz Sinn hat, der rufe sich die besonderen Umstände ins Gedächtnis in denen diese Sätze ˇ(außerhalb der Philosophie) gebraucht werden. In diesemr Zusammenhang Umgebung haben sie freilich Sinn.


 
  
 
1.3.44.
   Log. Phil. Abh. (4˙22) Der Elementarsatz … ist … eine Verkettung von Namen
      3˙21 Der Konfiguration der einfachen Zeichen im Satzzeichen entspricht die Konfiguration der Gegenstände in der Sachlage.
3˙22 Der Name vertritt im Satz
den Gegenstand.
3˙14 Das Satzzeichen besteht darin, daß sich seine Elemente, die Wörter, in ihm auf bestimmte Art & Weise zu einander verhalten.

   Das Satzzeichen ist eine Tatsache.
2˙03 Im Sachverhalt hängen die Gegenstände
ineinander
zusammen
, wie die Glieder einer Kette.
2˙0272 Die Konfiguration der Gegenstände bildet den Sachverhalt.
2˙01 Der Sachverhalt ist eine Verbindung von Gegenständen (Sachen, Dingen.)

 
  
 
Die Sprachwidrige Verwendung des Wortes “Gegenstand” & “Konfiguration”! Eine Konfiguration kann aus
fünf ˇeiner Anzahl von Kugeln in gewissen räumlichen Beziehungen bestehen; aber nicht aus den Kugeln und ihren räumlichen Beziehungen.
Und wenn
Wenn
ich sage: “ich sehe ˇhier drei Gegenstände” auf diesem Tisch”, so meine ich nicht:
zwei Kugeln
ein Glas eine Flasche
.


??
ƪ

 
  
 
    Man kann allerdings, für Andere verständlich, von Kombinationen von Farben mit Formen sprechen (der Farben rot & blau, z.B., mit den Formen Quadrat & Kreis)
oder
&
ähnlich auch von Kombinationen von
von
verschiedener
Formen Q mit (verschiedenen) Lagebeziehun-
gen (übereinander, nebeneinander ˇetc.). Und hier ist eine Wurzel meines schiefen Ausdrucks.

 
  
 
    Wenn wir unsere Sätze umformen: “die Fläche hat die Eigenschaft Blau” sagen, statt “die Fläche ist blau”, “die Flasche steht zum Glase in der Beziehung Rechts”, statt “die Flasche steht rechts vom Glase” u.s.f. – so kann es scheinen ˇden Anschein gewinnen, als sei jeder Satz eine Verbindung von Namen
; denn
. Denn
alle Wörter mit, sozusagen materieller Bedeutung erscheinen hier verstreut in einem Netz rein logischer Beziehungen.
        Und wieder: Allen Wörtern im Satz entsprechen
Gegenstände: Z.B. im Satz “Peter isst drei Äpfel” bezeichnet “Peter” das, “isst” das, “drei” das & “Äpfel” das. Gegenstände. “Peter” z.B. bezeichnet das, “isst” bezeichnet das …: Der Name “Peter” z.B. bezeichnet das, …


 
  
 
    Ein Bild … wiederholen.


    


 
  
 
Wenn [e|E]iner z.B. sagt, der Satz “Dies ist hier” (wobei er auf einen Gegenstand
weist
zeigt
) habe für ihn Sinn, so möge er sich fragen, unter welchen besonderen Umständen man diesen Satz verwendet. In diesen hat er dann Sinn.


 
  
 
3.3.44.
    Und warum soll man hier nicht das Vorschweben eines Phantasiebildes durch das Sehen eines gemalten Bildes ersetzen können? Ist das letztere etwa zu lebhaft? [Ein ähnlicher Satz ˇschon im M.S.].

 
  
 
[5|4].3.44
“Warum darf soll es in der Mathematik keinen Widerspruch geben dürfen?” – Nun, warum darf es in unsern einfachen Sprachspielen keinen geben? (Da besteht doch gewiß ein Zusammenhang.) Ist das also ein Grundgesetz, das alle denkbaren Sprach-
spiele beherrscht?

 
  
 
Angenommen ein W Widerspruch in einem Befehl z.B. bewirkt Staunen & Unentschlossenheit – & nun sagen wir: das eben ist der Zweck des Widerspruchs in diesem Sprachspiel.

 
  
 
Es ist eines eine mathem. Technik zu gebrauchen, die darin besteht, den dem Widerspruch zu vermeiden entgehen, & ein anderes gegen den Widerspruch in der Mathematik ˇüberhaupt zu philosophieren.




 
  
 
Friede in den Gedanken. Das will die Philosophie // Das ist das ˇersehnte Ziel dessen, der philosophiert.



 
  
 
A ˇhat ˇbeim Bauen die Länge & Breite einer Fläche gemessen & gibt dem B einen Befehl von der Form: “[b|B]ring mir 15 × 18 Platten”. B ist dazu abgerichtet 15 mit 18 ˇauf dem Papier zu multiplizieren & dem Resultat entsprechend eine Menge von Platten auszuzählen.

 
  
 
Der Satz 15 × 18 = braucht natürlich nie ausgesprochen zu werden

 
  
 
Sagt denn der Widerspruch nichts? Nun, macht er mich auf nichts
aufmerksam?!

 
  
 
    Der Widerspruch. Warum grad dieses eine Gespenst? Das ist doch sehr verdächtig.

 
  
 
    Warum sollte eine Rechnung zu einem praktischen Zweck ˇausgestellt die einen Widerspruch ergibt mir nicht sagen: “Tu wie Dir beliebt, ˇich die Rechnung entscheidet darüber nicht.”?

 
  
 
Der Widerspruch könnte als Wink der Götter aufgefaßt werden, daß ich handeln soll & nicht überlegen.

 
  
 
    ‘Es gibt eine Klasse von Klassen, aber nicht
einen Löwen von Löwen.’

 
  
 
‒ ‒ ‒ Um jemand drauf aufmerksam zu machen, daß “Löwe” nicht etwas bezeichnet, ˇwa was selbst ein Löwe sein kann, “Klasse” aber etwas, was eine Klasse ist. // // Um jemand drauf aufmerksam zu machen, daß “Löwe” nicht etwas
bezeichnet
ist
, was zu den Löwen gehören kann[;|,] aber “Klasse” etwas, was zu den Klassen gehört.

 
  
 
Man kann sagen: das Wort ‘Klasse’ wird reflexiv gebraucht; auch dann, z.B. wenn man Russells
Theorie der Typen anerkennt. Denn es wird ja auch in ihr reflexiv gebraucht.

 
  
 
‘Klassen bilden eine Klasse, Löwen aber keinen Löwen.’

 
  
 
‒ ‒ ‒ daß ‘Löwe’ & ‘Klasse’ Klassenwörter sind, aber ‘Löwe’ ein Klassenwort ist, das in dem das nicht auch einen Löwen bezeichnet, ‘Klasse’ aber ein Klassenwort

 
  
 
Die Klasse der Katzen ist keine Katze: ˇDie Bezeichnung “die Klasse der Katzen” wird grundverschieden verwendet von der Bezeichnung für eine Katze. – [K|D]ie Klasse der Klassen ist eine Klasse:
es hat Sinn von Klassen von Katzen, Hunden, etc. zu reden & auch von Klassen von Klassen. Und die Verwendung in diesen beiden Fällen ist ˇ in vieler Beziehung ähnlich. Es ist also nicht so wie wenn ich sage “Löwe ist ein Löwe” etc. …

 
  
 
Was die Katzen ‘bilden’ ist doch nicht eine Katze; aber Klassen bilden eine Klasse.

 
  
 
‘Ich lüge immer.’ – Du hast Deine eigene Aussage bewiesen als falsch erwiesen. Denn lügst Du sonst immer ist es wahr so hast Du jetzt die Wahrheit gesagt, & lügst nicht immer, ist es aber
oder falsch so lügst Du nicht immer.
     Wenn ich nun fragte:
Soll
Kann
man diesem Menschen trauen?

 
  
 
   Oder er sagt: “Ich spreche immer die Unwahrheit; nimm also immer das Gegenteil von dem an, was ich sage”. Dies soll eine Regel sein. Wie soll man sich nun nach ihr richten.

 
  
 
   Denk Dir ein Spiel das als Orakel verwendet wird; sein Ausgang bestimmt was in einem bestimmten Falle zu geschehen hat. Und nun ändern wir dieses Spiel ˇohne uns der Folgen bewußt zu sein in solcher Weise ab,
daß es widersprechende Entscheidungen gibt. In welcher Situation befinden sich nun diese Menschen? Was sollen sie tun? Sie können diese Variante des Spiels aufgeben & sagen: Das ist kein Orakelspiel. Oder sie können sagen: “Der Gott will zu mir nicht sprechen”, & anderes.

 
  
 
Einer kommt zu Leuten & sagt: “Ich lüge immer”. Sie antworten:
“Wer das sagt, den kann man trauen”
“Nun, dann können wir dir trauen!”
– Aber könnte er meinen, was er sagte? Und warum nicht? Gibt es nicht ein Gefühl
:
,
man sei unfähig etwas wirklich Wahres
zu sagen; sei es was immer
?
.


 
  
 
“Ich lüge immer!” – Nun, & wie war's mit diesem Satz? – “Der war auch gelogen!” – Aber dann lügst du also nicht immer[?|!] – “Doch, alles ist gelogen!”
     Wir würden vielleicht von diesem Menschen sagen, er meint mit “wahr” & mit “lügen” nicht dasselbe, was wir damit meinen. Er meine
vielleicht, so etwas wie:
etwa, alles,
was er sage, flimmere, oder nichts komme wirklich vom Herzen.

 
  
 
   Man könnte auch sagen: sein “ich lüge immer” war eigentlich keine Behauptung.
Eher war es ein Ausruf.

 
  
 
Man kann also sagen: “Wenn er jenen Satz nicht ohne Gedanken aussagensprach, – so mußte er die
Wörter
Worte
so & so meinen, er konnte sie nicht auf die gewöhnliche Weise meinen”?



 
  
 
    Wenn eine Regel Dich nicht zwingt, so folgst du keiner Regel.

 
  
 
Aber wie soll ich ihr denn folgen; wenn ich ihr doch folgen kann, wie ich will?



 
  
 
Wie soll ich dem Wegweiser folgen, wenn alles, was ich tue, ein Folgen ist?

 
  
 
Aber, daß alles ˇauch als ein Folgen gedeutet werden kann, heißt doch nicht, daß alles ein Folgen ist.

 
  
 
Aber wie deutet dann also der Lehrer dem Schüler die Regel? (Denn der soll ihr doch gewiss eine bestimmte Deutung geben.) – Nun, wie anders, als durch Worte & Abrichtung?
    Und der Schüler hat die Regel (so gedeutet) inne, wenn er so & so auf sie reagiert.
     Das aber ist wichtig,
daß diese Reaktion, die uns das Verständnis verbürgt, nur unter bestimmte Umständen, in der Umgebung bestimmter Lebens und Sprachformen existiert ˇkann. (Wie es keinen Gesichtsausdruck gibt ohne Gesicht.) // verbürgt, bestimmte Umstände, bestimmte Lebens– und Sprachformen als Umgebung, voraussetzt. // (Dies ist eine wichtige Gedankenbewegung.) // verbürgt, nicht in allen Umständen.

 
  
 
‒ ‒ ‒ D.h.er kann antworten wie ein verständiger Mensch und doch das Spiel
nicht spielen.


 
  
 
‒ ‒ ‒ Und Denken und Schließen (sowie ˇdas Zählen) ist für uns natürlich nicht durch eine willkürliche Definition begrenzt ˇumschrieben, sondern durch natürliche Grenzen,
dem Körper dessen
denen
entsprechend, was wir die Rolle des Denkens und Schließens in unserm Leben nennen können.


 
  
 
Zwingt mich eine Linie dazu, ihr nachzufahren? Nein; aber wenn ich mich dazu entschlossen habe sie so als Vorlage zu gebrauchen, dann zwingt sie mich. – Nein; dann
zwinge ich mich sie so zu gebrauchen. ⌊⌊ˇIch halte mich gleichsam an ihr fest.⌋⌋ – Aber hier ist ˇdoch wichtig, daß ich sozusagen ein für allemal den Entschluß mit der ˇallgemeinen Deutung
fassen & halten
fassen
kann, & nicht bei jedem Schritt von frischem
Deutungsarbeit vollziehe
deute
.


 
  
 
Die Linie, könnte man sagen, gibt's mir ein, wie ich gehen soll. Aber das ist natürlich nur ein Bild. Und gäbe sie mir jedesmal etwas anderes ein, so folgte ich ihr nicht als Regel. Und was “anders” & ˇwas “das gleiche” heißt, [ wie ist das zu beantworten. Rolle der Wörter in unserem Leben. ] [ das wird
die Rolle bestimmen, die diese Wörter in unserem Leben spielen. ] [ (das) wird das Leben bestimmen, das mit diesen beiden Wörtern operiert. ]

 
  
 
“Die Linie gibt mir ein, wie ich gehen soll”, das ist eigentlich nur eine Paraphrase dafür ˇder Feststellung Aussage daß sie das paraphrasiert nur daß sie
meine letzte Instanz
mein letztes Kriterium
dafür ist, wie ich gehen soll.
 
  
 
… und was “anders” & was “das gleiche” heißt, da[ß|s] kann nur noch von der übrigen Verwendung dieser Wörter im Leben abhängen.

 
  
 
Warum sagen wir, daß Leute in ihrer Ausdrucksweise
übereinstimmen? – Nun was kann die Sprache hier sagen? – Man kann Etwa sagen, daß sie alle diese Farbe “rot” nennen, dieses Ding “ˇeinen Tisch”, diese Dinge “dasgleiche” als “gleich” oder “übereinstimmend” bezeichnen, etc. u.s.f.

 
  
 
“ … und gäbe sie mir jedesmal etwas anderes ein …”. Das heißt ja auch: gäbe nur dann ist sie
meine
eine
Regel, wenn sie mir etwas regelmäßiges eingibt! Und das heißt doch nichts.

 
  
 
Denke Dir einer folgte einer Linie ˇals Regel auf diese Weise: Er hält einen Zirkel dessen
eine Spitze er der Linie entlang führt, während die andre Spitze eben Kopie
dieser Linie
der ersten
die neue Linie zeichnet, ˇdie der Regel folgt.
Und wie
& während
er so der Regel-Linie entlang
geht
fährt
,
ändert er die Öffnung des Zirkels
öffnet & schließt er den Zirkel
, ˇanscheinend mit großer
Genauigkeit
Sorgfalt
, wobei er immer auf die Regel schaut, als bestimme sie
was er tut
sein Tun
. Wir nun, die wir ihm zusehen, sehen keinerlei Regelmäßigkeit in seinem Folgen. Wir glauben ihm aber die
Regel
Linie
habe ihm eingegeben, was er tat.


 
  
 
Wir würden hier wirklich sagen: Die Vorlage scheint ihm einzugeben wie er zu gehen hat. Aber sie ist keine Regel.


 
  
 
‒ ‒ ‒ das kann nur das Leben entscheiden.

 
  
 
Nimm an
Wie wenn
, Einer ˇfolgt der Reihe “1, 3, 5, 7, …” indem er die Reihe der = x² + 1 hinschr[iebe|eibt]; & ˇer fragte sich: sich fragte “aber tue ich auch immer das Gleiche, oder jedesmal etwas anderes?”

 
  
 
[d|D]as Gleiche tun” ist mit “der Regel folgen” verknüpft

 
  
 
Wie ist das zu entscheiden, ober er immer das gleiche tut wenn er ˇsich von der Linie eingeben läßt // wenn ihm die Linie eingibt // wie er gehen soll?



 
  
 
Wollte ich nicht sagen: nur das
ganze
gesamte
Bild der Verwendung des Wortes gleich ˇin seiner
Verwebung
Verknüpfung
mit den Verwendungen der andern Wörter
kann
könnte
entscheiden, ob er das Wort verwendet wie wir?


 
  
 
Tut er nicht immer das Gleiche, nämlich, es sich von der
Linie
Regel
eingeben zu lassen, wie er gehen soll? Wie aber, wenn er sagt, die Linie gebe ihm einmal dies einmal jenes ein? Könnte er nun nicht sagen: er tue in einem Sinne immer das Gleiche, aber einer Regel folge er doch nicht?
Und kann aber auch nicht der, der einer Regel folgt, doch sagen, in einem gewissen Sinne tue er jedesmal etwas Anderes? So bestimmt also, ob er das Gleiche tut, oder immer ein anderes, nicht, ob er einer Regel folgt.


 
  
 
Nur so kann man das Folgen den Vorgang [e|E]iner-Regel-Folgen, beschreiben, daß man in anderer Weise beschreibt, was wir dabei tun.

 
  
?
 
Hat es einen Sinn zu sagen: Wenn die Leute ˇin ihren Handlungen nicht übereinstimmten, würden wir es nicht “einer Regel folgen”
nennen? – Doch, es hat Sinn. Wenn wir in ein fremdes Land kämen & fänden etwas in
irgendeiner
mancher
Beziehung einer Regel ähnliches vor & Leute handelten nachdem sie dies Regelähnliche ansähen aber jeder, soweit wir sehen könnten, auf andere Weise, so würden wir sagen. Dies schaut zwar wie eine Regel aus ist aber nicht was wir Regel nennen ‒ ‒ ‒

 
  
?
 
Kann ich aber auch sagen: “Ich stimme mit dem Andern nicht überein also folge ich offenbar nicht einer Regel.”? – Könnte ich
aber nicht dennoch sagen: “Ich stimme mit niemanden überein beim Multiplizieren (z.B.) überein; ich muß verrückt sein; ich folge offenbar nicht einer Regel obwohl ich glaube ihr zu folgen”?

 
  
 
Die Andern folgen einer Regel, wenn ich sie von ihnen absehen kann.

 
  
 
[In der Philosophie halt machen]

 
  
?
 
Ich lerne nicht Regeln folgen indem ich lerne mit Anderen übereinstimmen. Weil das eine ebenso schwer zu
lernen ist wie das andere.

 
  
?
 
Wer “übereinstimmen” nicht versteht, kann “einer Regel folgen” nicht verstehen; & wer dieses nicht versteht, auch jenes nicht.

 
  
 
Hätte es einen Sinn zu sagen: “Wenn er jedesmal etwas anderes täte, würden wir nicht sagen: er folge einer Regel”? Das hat, glaube ich keinen Sinn.

 
  
 
Einer-Regel-Folgen ist ein bestimmtes Sprachspiel. Wie kann man es
(jemanden) beschreiben? Wann sagen wir, er habe die Beschreibung verstanden? – Wir tun dies & das; wenn er nun so & so reagiert hat er das Spiel verstanden. Aber wohl gemerkt: das “dies & das”
& das
&
“so & so” enthält (noch) kein “und so weiter”. – Denn verwendete ich bei der Beschreibung ein “und so weiter” & einer fragte mich was heißt das müßte ich es wieder durch spezielle
Beispiele
Handlungen
erklären oder aber etwa durch eine Geste.
Und ich würde ˇes dann etwa als Zeichen des Verständnisses des von “und so weiter” ansehen wenn er die Geste mit einem verständnisvollen Gesichtsausdruck wiederholte & auch entsprechende (gewisse) Beispiele in der & der Weise ausführte.

 
  
 
Wenn man Beispiele aufzählt & dann sagt “und so weiter” so wird dieser Ausdruck auf andere Weise erklärt, als die vorhergehenden Beispiele.




 
  
 
Wer von einem Tag auf den andern
verspricht
sagt
“morgen
will
werde
ich das Trinken aufgeben”, verspricht der jeden Tag etwas anderes?


 
  
 
Nimm an eine Linie gebe mir ein wie ich ihr folgen soll, d.h., wenn ich ihr mit den Augen
nachgehe
folge
, so sagt mir etwa eine innere Stimme: zieh so. – Nun, was ist der Unterschied zwischen diesem
Vorgang,
Folgen
einer Art Inspiration ˇzu [f|F]olgen & dem Vorgang einer Regel zu folgen? Denn ˇsie sind doch nicht das Gleiche. Nun, in dem Fall der
Inspiration warte ich auf die Anweisung. Ich werde einen Andern nicht lehren können
eine
meinec
Technik lehren können der Linie zu folgen. Es sei denn ich lehre ihn eine Art des Hinhorchens, der Rezeptivität etc. Aber dann kann ich natürlich nicht
überrascht sein wenn
verlangen, daß
er nun der Linie anders folgt als ich // erwarten, daß er der Linie so folgt wie ich // .

 
  
 
Man könnte sich auch so einen Unterricht in einer Art von Rechnen denken. Die Kinder können dann ein jedes auf seine Weise rechnen; solange sie nur auf die
innere Stimme horchen & ihr folgen. Dieses Rechnen wäre wie ein Komponieren.


 
  
 
Denn gehört nicht zum Befolgen dazu einer Regel zu folgen die Möglichkeit einen Andern im Folgen abzurichten? Und zwar durch Be Beispiele. Und das Kriterium seines Verständnisses muß die Übereinstimmung der einzelnen Handlungen sein. Also nicht wie beim Unterricht in der Rezeptivität.

 
  
 
Wie folgst du der Regel? Ich mach es so …
& nun folgen allgemeine Erklärungen & Beispiele. Wie folgst Du dem was Dir die Linie eingibt? Ich sehe auf sie hin, halte mich ganz still etc.


 
  
 
‘Ich würde nicht sagen daß sie mir immer ˇetwas anderes eing[ibt|ebe], wenn ich ihr als Regel folgte’ Kann man das sagen?

 
  
 
Wann sagen wir: “Sie gibt mir das als Regel ein – immer das Gleiche” Und anderseits: “Sie gibt mir immer wieder ein, was ich zu tun habe

;
sie ist keine Regel.”
Im ersten Fall heißt es:
ich habe keine weitere Instanz dafür was ich zu tun habe. [d|D]ie Regel tut es ganz allein; ich brauche ihr nur zu folgen (& folgen ist ˇeben nur eins). aber Ich fühle nicht
z.B.
etwa
, es ist seltsam, daß mir die Linie immer etwas sagt. – Der andre Satz sagt: Ich weiß nicht zum voraus was ich tun werde die Linie wirds mir sagen.


 
  
 
Die Kunstrechner, die zum richtigen Resultat gelangen, aber nicht sagen können, wie. Sollen wir sagen: sie rechnen nicht? (Eine Familie von Fällen.)

 
  
 
[Bemerkung: diese Dinge
sind viel feiner gesponnen, als grobe Hände …]


 
  
 
Kann ich nicht einer Regel zu folgen glauben? Gibt es diesen Fall nicht? [Siehe lesen, träumen]

 
  
 
∣ Es kann eine Ethik geben, die Fälle beschreibt, zusammenstellt, & fragt: was sagst Du nun dazu? Sieh' wie Du von dem & dem Faktor beeinflußt wirst u.s.w. ∣ c


 
  
 
Und kann ich dann nicht auch keiner Regel zu folgen glauben & doch einer folgen. Würden wir nicht auch etwas so
nennen?


 
  
 
Wie kann ich das Wort gleich erklären? – Nun, durch Beispiele. – Aber ist das alles? gibt es nicht eine noch tiefere Erklärung; oder muß nicht doch das Verständnis der Erklärung tiefer sein? – Ja, hab ich denn selbst ein tieferes Verständnis? Habe ich mehr als ich in der Erklärung gebe?

 
  
 
Woher aber (dann) das Gefühl, ich
hätte
machte
mehr, als ich sagen kann?
Ist es, daß ich das nicht Begrenzte als immer
weitergehend deute? (Dauerlauf – Ziel)


 
  
 
Die Verwendung des Wortes “Regel” ist mit der Verwendung des Wortes “Gleich”
verwoben
verknüpft
.


 
  
 
überlege dir: Unter welchen Umständen wird der Forschungsreisende sagen: Das Wort … dieses Stammes heißt soviel wie unser “und so weiter”? Stelle Dir die Einzelheiten ihres Lebens & ihrer Sprache vor, die
ihn
den Forscher
dazu berechtigen würden. (


 
  
 
“Ich weiß doch, was ‘gleich’ heißt!” – Daran zweifle ich nicht; ich weiß es auch.



 
  
/
 
“Die Linie gibt mir ein …” Hier ist der Ton auf dem Ungreifbaren des Eingebens. Eben darauf daß nichts meine Handlung von der Regel trennt, daß nichts zwischen
ihr
der Regel
&
der
meiner
Handlung steht.


 
  
?
 
… und was heißt hier “anderes, & was das gleiche heißt” kann nur das Leben
lehren
entscheiden
zeigen
in welchem diese Worte stehn; & ihre Gebrauch Verwendung ist mit der des Wortes “Regel” verknüpft. c

 
  
?
?
 
[u|U]nd urteile ich, sie gäbe mir jedesmal etwas anderes ein. c
Und urteilte ich, sie gäebe mir
willkürlich
unpredictible
, gleichsam verantwortungslos “unvorhersehbar” gleichsam mit Willkür dies & das ein, so folgte ich ihr nicht als Regel.
Aber das ist doch nicht wahr. Man könnte sich denken, daß einer mit solchen Gefühlen multipliziert, richtig multipliziert; ◇◇◇ immer wieder sagt: “Ich weiß nicht – jetzt gibt mir die Regel auf einmal das ein!” & wir ihm antworten: “Freilich; Du gehst ja ganz der Regel gemäß vor.”

 
  
 
Einer Regel folgen: das läßt sich verschiedenem entgegensetzen. wen Der Forschungsreisende wird unter anderm auch
die Umstände beschreiben unter denen die Menschen ein [e|E]inzelner von diesen Leuten nicht von sich selbst sag[en|t], er sie folg[ten|e] einer Regel.

 
  
 
… Und urteile ich, sie gebe mir, gleichsam verantwortungslos,
eines, oder das andere
dies, oder das ein
, so würde ich nicht sagen, ich folgte ihr als ˇeiner Regel.

 
  
 
Aber könnten wir nicht auch rechnen, wie wir rechnen (Alle
übereinstimmend
gleich
etc.) & doch bei jedem Schritt das Gefühl haben, von den Regeln wie von
einem Zauberstab
Zauberformeln
// wie von einem Zauber // geleitet zu werden; erstaunt darüber, daß wir übereinstimmen? (Der Gottheit etwa für diese
Übereinstimmung dankend.)


 
  
 
Daraus siehst du nur, wieviel zu der Physiognomie dessen gehört, was wir im alltäglichen Leben “einer Regel folgen” nennen!

 
  
 
Man folgt der Regel ‘mechanisch’. Man vergleicht sich also mit eine[r|m] Maschine Mechanismus

 
  
 
Ich habe mir oft in Newcastle vorgesagt “it's always darkest before the dawn”, & nie geglaubt, es könne noch einen Morgen geben

 
  
 
Der Körper der großen Menschen muß sehr gesund sein. c Wie könnte er die geistigen Erschütte-c
rungen der großen Werke aushalten?


 
  
 
‘Mechanisch’, das heißt: ohne zu denken. Aber ganz ohne zu denken? Ohne nachzudenken.

 
  
 
Der Forscher könnte sagen:
Wir könnten sagen:
Sie folgen Regeln, aber es sieht doch ganz anders aus, als bei uns.

 
  
 
Kann man sagen, daß das mechanische Ergreifen & [v|V]erfolgen der Regel eine Naturerscheinung ist der menschlichen Psychologie ist? Daß z.B. der Forscher sagen kann: Diese Leute zeigen ihren Kindern gewisse
Tätigkeiten, geben ihnen Beispiele & dann machen die Kinder, wenn man ihnen den Regelausdruck zeigt, was dasselbe, was die Erwachsenen tun.

 
  
 
Wie handelt man nach einer Regel? – Man tut etwas mit Sicherheit nach ihr? – Aber irgend etwas? – Nein, wir müssen vom Andern die Regel lernen können, so daß wir dann übereinstimmend mit ihm nach ihr handeln. – Und was heißt übereinstimmend mit ihm handeln? – Nun da kann ich nur Beispiele geben.


 
  
 
Die Liebe hat sozusagen zwei Temperaturen; einen Hitzegrad und einen Wärmegrad.

 
  
 
Ist es denn ˇaber möglich eine Beobachtung zu machen
~g ⊃ ~s?
nun ich kann z.B. beobachten daß s & g s ∙ g.
     Wie wenn ich sagte: Wer ~g ⊃ ~s beobachtet, wenn er s ∙ g vor sich
hat
sieht
, der sieht das Factum anders an? Es interessiert ihn dann ein anderer Aspekt?

 
  
 
Kann ich denn nicht weiß vor mir sehen & beobachten ~g? oder kann ich dies
nur schließen?

 
  
 
Kann ich nicht auf die Beobachtung von grün, oder ~grün eingestellt sein? Etwa dadurch daß ich eine ˇgrüne Vorlage vor m zum Vergleich vor mir habe.
     Oder ich habe
ein Paradigma
eine Vorlage
vor mir der Art
~g
g
g
~s
s
~s

     Der Beobachter ist ganz auf diesen Aspekt der Sache eingestellt. Seine Aufmerksamkeit ganz von ihr eingenommen.




 
  
 
Ist es denn denkbar, daß jemand r ∙ s beobachtet &
auch
dann
~ r beobachtet?
     Ist es denkbar, daß jemand eine Gruppe von Äpfeln als 2 + 2 Äpfel sieht & auch als 5 Äpfel? Nun es ist möglich daß er sie nicht als 4 sondern immer nur als 2 + 2 sieht & wenn er nun trachtet, sie zusammenzufassen, daß sie ihm als 5 erscheinen. Nun ist das jedenfalls eine sehr seltene Erscheinung. So selten, daß wir sie Und wir schließen sie aus den Beobachtungen
von denen wir Notiz nehmen aus.

 
  
 
‒ ‒ ‒ und wäre das nicht, wie könnte uns ein Satz wie “What's done cannot be undone” ˇuns etwas sagen?

 
  
 
Der Eine sucht nur nach einer roten Blume mit blauem Stern in der Mitte. Ihm fällt nun dieser Komplex von Farben und Formen auf, oder sein Fehler
     Oder Einer sucht nach etwas Rotem; er sieht jene Blume, kennt sie wohl, hat oft nach ihr, nach diesem Farbenkomplex, gesucht; aber es fällt ihm nicht auf, daß ja hier etwas Rotes ist. “Ach da ist ja Rot”, könnte er sagen, “ich habe immer nur an etwas ganz rotes gedacht!


 
  
/
 
”Der Eine beobachtet r⊃b.” Er sieht etwa einmal unter den 6 Streifen einen roten & einen blauen; dann ändert sich das Bild & es ist kein roter & kein blauer da; dann wieder ist ein blauer, dann aber & kein roter[;|.] UUnd immer sagt der Beobachter, es habe sich nichts geändert. Nun aber erscheint ˇeinmal ein roter Streifen ohne einen blauen,
er
& nun sagt er, es sehe jetzt …
sehe er etwas anderes.
habe sich das Bild geändert.


 
  
/
 
“Daß das auch rot ist, daran habe ich gar nicht gedacht, ich habe es nur als Teil des mehrfärbigen Orna-
ments gesehen.”


 
  
/
 
Könnte Einer nun sagen: Ja, ich sehe rot; insofern ich blau – & – rot sehe; aber anders nicht”?

 
  
/
 
Man könnte es sich aber auch so denken: Der, welcher [B|b]eobachtet, daß r ⊃ b, kann meinetwegen auch r ∙ b sehen, aber er sagt nur “r ⊃ b”; weil das allein ihn interessiert. Ein anderer sagt aus demselben Grund “g ⌵ r” & ein Dritter schließt
“g ⌵ b”
.

 
  
 
”Aus ‘x hat Farbe’ folgt ‘x hat Form’ und umgekehrt, & doch ist heißt
der erste sagen die beiden Sätze nicht dasselbe”.
    Wie aber, wenn ich sagte: Nur eine Form kann ˇeine Farbe haben? Wo sind dann die beiden Sätze, die auseinander folgen & verschiedenen Sinn zu haben scheinen?

 
  
 
Ich könnte Erfahrungsschluß & logischen Schluß unterscheiden. Was Der Schluß von “x ist rot” folgt auf “x ist nicht blau” ist ein logischer Schluß, obwohl x ∊ r ⊃ ~(x ∊ b) ˇnatürlich keine Tautologie ist.
 
  
 
Wie aber kann ich definieren was ich unter logischen Schluß verstehe?
 
  
 
Man könnte sagen: logischer Schluß ist einer zu dem mich keine Erfahrung berechtigt. & keine dessen Rechtmäßigkeit an keine Erfahrung geknüpft ist. // dessen Rechtmäßigkeit die Regeln des Sprachspiels an keine Erfahrung knüpfen. // Logischer Schluß ist einen Übergang der gerechtfertigt ist wenn er gemäß einem bestimmten Paradigma
folgt
gemäß ist
, & dessen Rechtmäßigkeit nicht an Ergebnisse der Erfahrung geknüpft ist. // // , & dessen Rechtmäßigkeit von sonst nichts abhängt. //


 
  
 
Auch der Teufel in der Hölle hat eine Form des Lebens; & die Welt wäre nicht vollständig ohne sie.

 
  
 
Wenn Kinder in der Geometrie zuerst den Begriff des Zylinders kennen lernen, fällt es ihnen oft schwer eine Münze als Zylinder aufzufassen, deren Dicke als Höhe des Zylinders.
     Ähnlich könnte es jemand schwer fallen, etwas schwarz-weiß Gestreiftes als [Z|z]usammengesetzt zu sehen aus schwarzen Stücken & weißen Stücken.




 
  
 
r ∙ b ⊃ s.⊃.w Wenn ich irgendwo 5 Gegenstände sehe, kann nicht, was mir auffällt sein: “mehr als 3”, oder “weniger als 7”, oder “Zwischen 3 & 7”, oder “weniger als die Hälfte von 20”, oder “eine ungerade Zahl”, oder “kein Quadrat” etc.

 
  
 
One question a counter-instance to another question.

 
  
 
Meine Frage ist nun: Kann es einem Menschen scheinen als sähe er r b und auch als sähe er ~r? So daß er also sagen müßte: aus r ∙ b folgt r & wenn ich wirklich r ∙ b da ist, so
muß ich mich in der zweiten Beobachtung irren.


 
  
 
Erinnere dich daran, daß ein Rhombus, als Raute angesehen oft nicht wie ein Parallelogramm ausschaut. Nicht aber, als schauten die gegenüberliegenden Seiten nicht parallel aus, sondern wir übersehen sie nur gleichsam.

 
  
 
Ich könnte mir denken, daß Einer sagt, er sähe einen weiß-gelben Stern aber nichts Gelbes – weil er den Stern gleichsam als eine Verbindung von
Farbteilen
Farbformen
sieht, die er nicht zu trennen ver-
mag. Er hätte z.B. Figuren wie die folgenden vor sich
& gefragt, ob er ein rotes Fünfeck sieht, würde er “ja” sagen, aber auf die Frage, ob er ein gelbes sieht “nein”. Ebenso würde er sagen, er sähe kein rotes Dreieck, aber wohl ein blaues. – Auf die roten Dreiecke & die gelben [f|F]ünfecke in den Sternen aufmerksam gemacht würde er etwa sagen: “Ja, jetzt seh' ich's; ich hatte die Sterne nicht so aufgefaßt”
 
  
 
Und so könnte es ihm auch vorkommen, man könne die Farben im Stern nicht trennen, weil man die Formen nicht trennen kann.

 
  
 
Was aber ist die Relevanz ˇaller dieser ganzen Fragen?

 
  
 
Der kann die Geographie einer Gegend nicht
übersehen
kennen
lernen, der sich so langsam in ihr (herum)bewegt, daß er
ein
das eine
Stück längst vergessen hat, wenn er zum nächsten einem andern kommt.

 
  
 
Es scheint mir etwas in meinem Begriff des Schließens nicht in Ordnung zu sein.


 
  
 
Ich möchte natürlich sagen, die Arithmetik lehre uns rechnen, aber nicht zählen.

 
  
/
 
Wir sagen: “Wenn ihr beim Multiplizieren wirklich der Regel folgt, muß das Gleiche herauskommen.” Nun, wenn
das
dies
nur die der etwas hysterische Ausdrucksweise Ausdruck einer der Universitätserziehung von auf der Universität Erzogenen ist, so braucht sie er uns nicht ˇsehr zu interessieren. // der Universitätsbildungsprache ist // Es ist aber der Ausdruck einer
Einstellung
Stellungnahme
zu der Technik des Rechnens, die sich ˇüberall in unserm ganzen Leben zeigt. Die Emphase des Muß entspricht nur der Unerbittlichkeit einer ˇbestimmten Einstellung, sowohl
zur Technik des Rechnens, als auch zu unzähligen verwandten Tätigkeiten.


 
  
 
Das mathematische Muß ist nur ein andrer Ausdruck dafür, daß die Math. Begriffe bildet.
      Und Begriffe dienen zum Begreifen. Sie dienen zu einer ˇganz bestimmten Behandlung der Sachlagen // Situationen // .
    Denn es ist ja durchaus nicht klar, daß wir auf Situationen in der Art reagieren müssen, wie wir es tun.







 
  
 
Die Mathematik bildet ein Netz von Normen.

 
  
 
Es ist wie wenn ein Maßkörper verschiedene mehrere Facetten hätte & mit ihnen ◇◇◇ verschiedene Gegenstände zugleich & ihre gegenseitige Lage mäße. // bewerten hülfe.

 
  
 
Wir messen Längen von Gegenständen mit Eisenstäben und nicht mit Teigstäben.

 
  
/
 
… Und ich muß einen Fehler machen dürfen ohne daß alles falsch ist was ich sage.

 
  
 
Man sagt manchmal: “Ja,
das ist wieder einer von den beiden”, wenn man z.B. zwei Leute die man nicht genauer kennt wieder & wieder beisammen & einzeln begegnet. Die Beobachtung ist dann: “hier sehe ich wieder A oder B”

 
  
 
Denke, Du hast ein
Muster
Paradigma
& benützt es zur Beurteilung von Flächen
wie
in der Art
, daß die Färbung mit dem Paradigma übereinstimmte, wenn eine der Farben r,g auf der Fläche vorkommten stehen. Das Muster nenne ich in diesem Falle “rot-oder-grün”.


 
  
/
 
Es ist möglich, den Kom-
plex aus A & B sehen, ohne A, oder B, zu sehen. Es ist
auch
sogar
möglich, den Komplex
einen
den
“Komplex von A & B” zu nennen & A nicht zu sehen sich einzubilden, diese Benennung deutete nur auf eine ˇArt Verwandtschaft
dieses
des
Ganzen mit A & B hin. Es ist also möglich zu sagen, man sehe den Komplex von A & B, aber weder A noch B. Etwa wie man sagen könnte, es sei hier ein rötlich-gelb, aber weder rot noch gelb.


 
  
 
Kann ich nun A & B vor mir haben, & auch beide sehen, aber nur A ⌵ B beobachten? Nun, in gewissem Sinne ist das doch möglich.
Und zwar dachte ich mir es so, daß der Beobachter von einem gewissen Aspekt eingenommen sei; daß er etwa eine bestimmte Art von Paradigma vor sich habe, in einer bestimmten Routine der Anwendung begriffen sei. – Und wie er nun auf A ⌵ B eingestellt sein kann so auch auf A ∙ B. Es fällt ihm also nur A ∙ B auf & nicht z.B. A.
    Auf A ⌵ B eingestellt sein heiße, könnte man sagen, mit dem Begriff A ⌵ B auf die Situation zu reagieren. Und genau so kann man natürlich auch mit A ∙ B reagieren tun.



 
  
 
Soll nun aber, wer A & B vor sich hat & mit A ⌵ B reagiert, auch ˇvielleicht leugnen daß A ∙ B da ist, wenn er
etwa
z.B.
gefragt wird? Wenn er das täte käme er uns sinnverwirrt vor oder, sagen wir, er hätte A vor Augen & reagiert mit A ⌵ B, soll er dann, wenn gefragt, leugnenc ˇkönnen daß er A sieht?

 
  
 
Wenn einer urteilt “A ⌵ B” muß ich ihn dann nicht fragen können: “Welchen besonderen Fall von “A ⌵ B” siehst Du jetzt?”?
  Ich meine nicht daß es möglich ist einen
Menschen so abzurichten, daß er bei A ⌵ B “ja” sagt & bei ~ (A ⌵ B) “nein” & im übrigen weder auf A noch auf B etc. reagiert. Aber würden wir von
dem
ihm
sagen er verstünde den Ausdruck “A ⌵ B”?


 
  
 
Sagen wir: es interessiert einen nur p p A ∙ B, & er urteilt also, was immer geschieht, nur “A ∙ B”, oder ~ (A ⌵ B); so kann ich mir denken, daß er “A ∙ B” urteilt & auf die Frage “siehst du B” sagt “nein, ich sehe A ∙ B”. Etwa wie mancher, der A ∙ B sieht nicht zugeben wird, er sehe A ⌵ B.



 
  
 
Aber ˇdie Flächeˇganz rot sehen’ & ‘ˇganz blau sehen’ sind doch gewis ‘echte’ Erfahrungen & doch sagen wir, Einer könnte sie nicht zu gleicher am gleichen Ort Zeit haben.

 
  
 
Wenn er uns nun versicherte, er sehe diese Fläche ganz rot & zugleich ganz blau? Wir müßten sagen: “Du machst Dich uns nicht verständlich.”

 
  
 
Der Satz “1 fuß = … cm” ist bei uns zeitlos. Man könnte sich aber auch den Fall denken in welchem sich das Fußmaß & das Metermaß nach & nach etwas veränderten & dann immer wieder verglichen werden
um in einander umgerechnet zu werden.


 
  
 
Ist aber nicht auch bei uns die relative Länge des Meters & Fußes experimentell bestimmt worden? Doch; aber das Ergebnis wurde zu einer Regel gestempelt.



 
  
/
 
Ist nun ein Schluß von “A ∙ B” auf “A ⌵ B die Umrechnung von einem Maß auf ein anderes?

 
  
 
Die Mathematik hat schon alles vorbereitet.

 
  
 
Eine Reihe hat doch für uns ein Gesicht! Wohl, aber welches?
Nun doch das algebraische,
& das eines Stücks der Entwicklung
& ein Stück Extension
. Oder hat sie sonst noch eins? Aber in dem liegt doch schon alles! Wohl; aber das ist keine Feststellung sondern



 
  
 
Woher die Idee,
es
als
wäre die angefangene Reihe ein sichtbares Stück unsichtbar bis ˇins Unendliche gelegter Geleise?

 
  
 
‒ ‒ ‒ keine Feststellung über das Reihenstück, oder
etwas
das
, was wir darin sehen, sondern die Feststellung daß wir nur auf den
Mund
Ausdruck
der Regel
schauen & tun, & nicht ˇnoch irgend eine Bestimmung treffen. // & nichts mehr
unserer Wahl
der Willkür
überlassen. // ⌊⌊& an keine weitere Anleitung appellieren.⌋⌋


 
  
/
 
Wenn er weiter weiß, so wird er weiter gehen & die Regel als den einzigen Grund seines Vorgehens angeben.


 
  
 
Der Vorgang des Ableitens hat einen Grund (Boden)

 
  
 
“Aber du siehst doch …” Nun, das ist eben die charakteristische Äußerung Eines, der von der Regel gezwungen ist.
   Nimm an er stampfte dabei auf den Boden: nun hier hast Du einen seeli-
schen
Zustand!, wie Du ihn immer gewünscht hast.

 
  
 
‒ ‒ ‒ Wohl; aber das ist keine Feststellung über das Reihenstück,
noch
// noch über etwas //
oder ˇüber etwas
, was wir darin
erblicken;
sehen,
sondern
eine Art
eben ein
Ausruf
der die psychologische Situation charakterisiert
charakteristisch für die psychologische Situation
& der Ausdruck dafür, …

 
  
/
 
“Es ist schon alles
‒ ‒ ‒
, ich brauche nur noch
‒ ‒ ‒
!”

 
  
 
Also so ein Bild kommt Dir vor Augen! – könnte ich sagen.

 
  
 
Warum aber: “es liegt doch schon alles in ihm”?
Ich brauche nur noch die Kurbel drehen; alles übrige macht die Maschine. Und die Kurbel drehen ist etwas so einfaches: ich kann es automatisch tun.


 
  
 
Ich glaube im Reihenstück ganz fein eine Zeichnung zu erblicken, die nur mehr das “u.s.f.” bedarf, um in die Unendlichkeit zu reichen.

 
  
 
“Ich erblicke ein Charakteristikum in ihr” – Nun, doch etwas, was dem algebraischen Ausdruck entspricht. “Ja, aber nichts Geschriebenes, sondern
förmlich
gleichsam
etwas
aetherisches.” – Welches seltsame Bild[!|.] – “Etwas, was nicht der algebraische Ausdruck ist, sondern wofür dieser nur eben der Ausdruck ist.”.


 
  
 
Ich erblicke etwas in ihr – ähnlich wie die Gestalt im Vexierbild. Und sehe ich das, so sage ich: das ist alles, was ich brauche.
Wer den Wegweiser
findet
sieht
, sucht nun nicht nach einer weiteren Instruktion, sondern er geht.


 
  
 
‒ ‒ ‒ sondern die Feststellung, daß wir an keine weitere Anleitung mehr appellieren.



 
  
 
‒ ‒ ‒ sondern der Ausdruck dafür daß.

 
  
 
Die Regel zwingt kann mich zur ◇◇◇ mich in mehr als einem Sinne ˇzwingen psychologisch & soziologisch z.B. durch die Macht der Gewohnheit oder durch menschliche Gesetze. Aber ˇan diesen Zwang meine denke ich nicht. Ich meine den ˇviel härteren der darin besteht, daß die Regel schon alles vorgemacht hat, was ich ihr nachmachen kann, daß sie in logischer Schrift schon alles vorgeschrieben hat.

 
  
 
Einer Regel folgen: da gibt es viele verschiedene charakteristische Arten des Benehmens [Lesen].

 
  
 
Was wir ‘Sprache’ nennen
ist eine Institution. Es könnte nicht einmal ˇnur einmal in der Geschichte der Menschheit ein Satz ausgesprochen & verstanden werden. Und so auch kein Befehl, & keine Regel. (Vergleiche damit den Gedankengang über die Möglichkeit einer privaten Sprache, ˇzusammenhängend mit Idealismus und Solipsismus.)

 
  
 
Inwiefern kann man sagen, ein Satz der Arithmetik gebe uns einen Begriff. Nun, denken wir ihn uns nicht als Satz ˇals Entscheidung einer Frage, sondern als ˇeine, irgendwie anerkannte, Verbindung von Begriffen.
.



 
  
 
Die Frage ist aber: Was ist der Beweis & was ist der Satz ohne den Beweis. Denn der Beweis schafft eine Begriffsverbindung d der Satz nicht auch eine.

 
  
 
Und die Sätze müssen eine Möglichkeit sein die Beweise zu katalogisieren [Ursell] Denn wie wüßteen manwir sonst welchen Satz wir den von dem Beweis bewiesen nennen sollten?

 
  
 
Wie ist es aber mit unbewiesenen Sätzen? Nun, die warten eben noch auf Beweise die sie katalogisieren, oder sie sind ihre eigenen
Beweise (Axiome).


 
  
 
Der Beweis verschafft dem Satz Anerkennung.

 
  
 
Der Beweis
schafft
schafft
knüpft
zieht
eine Brücke
eine Kette
von Begriffsverbindungen



 
  
 
“Wir untersuchen eine bestimmte Verbindung der Begriffe; wenn diese Verbindung existiert, dann verwenden wir die Begriffe so & so.” Aber was ist das dann für eine Verbindung? Denn es ist nicht die Verbindung der Zeichen.

 
  
 
Der Beweis reiht den Satz in ein System ein.

 
  
 
könnte man sagen, daß
der Beweis von 25² = 625 zeigt, inwiefern 25² = 625 ist? Denn “y = 2x²” ist auch eine Gleichung, aber ihr Sinn ist eben ganz anders.


 
  
 
Der Satz “25² = 625” gibt uns könnte man sagen, eine Anweisung wie die Begriffe 25² & 625 verwenangewendet werden können.

 
  
 
Der Satz & der Beweis[ß|ss]en ˇjeder in
verschiedenem
anderem
Sinne (eine) Begriffsverbindungen sein.

 
  
 
Die Gleichung “25² = 625” verändert den Gebrauch von 25 & 625.

 
  
 
Das Gleichgesetzte 25² & 625 gibt ˇmir ˇk.m.s. einen neuen Begriff. Und der Beweis zeigt was es mit dieser Gleichheit // Gleichung // für eine Bewandtnis hat.

 
  
 
625 mit 25² gleichgesetzt, ist ein neuer Begriff.

 
  
 
Man könnte schreiben: “Ich verteile
25²
||
625
Nüsse unter die 25 Leute”.

 
  
 
wie kann man den Satz von seinem Beweis loslösen? Dieser Satz zeigt natürlich eine falsche Auffassung

 
  
 
Der Beweis ist eine Umgebung des Satzes.



 
  
 
“25² = 625” ist eine Anweisung zum Gebrauch jener Zahlbegriffe. Und von jeder solchen Anweisung möchte ich sagen, sie gebe uns neue Begriffe. Denn was die Verwendungsart unserer Begriffe ändert, ändert unsere Begriffe.

 
  
 
Denn mit 625 = 25² zähle ich auch.

 
  
 
‘Begriff’ ist ein vager Begriff.

 
  
 
Nicht in jedem Sprachspiel gibt es etwas, was man “Begriffe” nennen kann.

 
  
 
Begriff ist etwas wie ein Bild, womit man Gegen-
stände vergleicht. Und man urteilt daß der Gegenstand mit dem Bild übereinstimmt oder nicht übereinstimmt.

 
  
 
Im Sprachspiel (2) gibt es keinen Begriff. Man könnte aber seine Technik in solcher Weisec leicht ˇdurch solche Zusätze
erweitern
zu einer Technik machen
// Man könnte aber in seine Technik leicht solche Zusätze einführen // Man könnte aber seine Technik leicht in solcher Weise erweitern // Man könnte es aber leicht durch eine
solche
solchec
Technik erweitern, die Begriffe
zur Anwendung
ins Spiel
brächte in seinen Mechanismus einführte. Man könnte z.B. Bilder einführen
nach
mit
welchen B die Bausteine, die
er bringen soll erkennt; oder B lernt diese Formen zeichnen, oder beschreiben ˇetc.. Es ist hier natürlich keine scharfe Grenze zwischen Sprachspielen die ˇmit Begriffe verwenden arbeiten, & andern. Aber Wichtig aber ist das, daß das Wort Begriff sich auf
eine Art
einen
von Behelf im Mechanismus der Sprachspiele, einen eher ◇◇◇ Zug solcher Sprachspiele, bezieht. Aber man könnte es leicht so erweitern daß ‘Platte’ … zu Begriffen würden // .


 
  
 
Es gibt nun unter diesen Bildern(, den Begriffen,) auch bewegliche. Oder, was auf dasselbe hinausläuft, wir lernen eine Konstruktionstechnik durch die wir aus einem Bild ein anderes
erhalten. (Denn ich könnte z.B. einen zu einem Kreis durch einen Mechanismus oder durch Konstruktion eine entsprechende Elipse
erzeugen
zeichnen
.)

 
  
 
Denke nun an den Mechanismus, und während
ein Punkt einen Kreis beschreibt beschreibt der andere eine 8. Nun aber schreiben wir das, als ‘Satz’, auf in der Form ⚪ → 8


 
  
 
Wenn Begriffe Maßbehelfe sind, wer sagt
denn daß meine Maßbehelfe starre Stäbe und dergl. & nicht Mechanismen sein dürfen?
   Was ist aber dann jener Satz den ich durch den Mechanismus gewonnen habe? Nun, ersetzt er uns nicht den Mechanismus in einem besonderen Fall? Ist er nicht sozusagen ein Bild des Mechanismus in einer besonderen Lage?

 
  
 
Das Klavierˇspielen ist ˇdient dazu um [m|M]usik zu machen. Aber könnte einer nicht auf der Klaviatur spielen um seine Finger gelenkiger
zu machen (etwa auf Anraten des Orthopeden); oder um ˇjemand eine chiffrierte Mitteilung zu machen. Was soll man noch Klavierspielen nennen, was nicht mehr. So ist es mit der Mathematik. – Was wäre nun reines Klavierspielen. Wäre es eine Tätigkeit bei der es erstens auf den Zweck nicht ankäme, zweitens natürlich auch nicht auf das äußere Mittel der Klaviatur?

 
  
 
Der Begriff, könnte man sagen, ist eine Methode des Beurteilens. Einen Begriff also bildet der, der eine neue
Art
Methode
der
Beurteilung erfindet.
  In diesem Sinne bildet die Mathematik immer neue Begriffe, die ‘mathematischen’ Begriffe. // neue Begriffe, die man gewöhnlich ‘mathematische’ Begriffe nennt. // Aber jeder mathematische Beweis ist wieder ein Begriff, gleichsam ein sich bewegendes Bild. Und der bewiesene Satz ist ein Bild dieses Bildes, nach
bestimmten
gewissen
Regeln der Abbildung.

 
  
 
Würde man von Einem sagen, er verstehet den Satz “563 + 437 = 1000”, der nicht wüßte, wie man ihn beweisen kann? Kannst
Du Kann man leugnen, daß es ein Zeichen des Verstehens des Satzes ist, wenn Einer weiß, wie er zu beweisen wäre?

 
  
 
Wie ist es dann aber mit den nicht beweisbaren ˇentscheidbaren Sätzen?

 
  
 
Würde ˇmir der Fermatsche Satz möge bewiesenc so verstünde ich ihn ˇnachher // danach besser, wenn ich den Beweis kenne als vorher.

 
  
 
Das Problem eine mathematische Entscheidung eines Theorems zu finden könnte man nicht mit
gewissem
einigem
Rechte das Problem nennen einer
Satzform
Formel
mathematischen Sinn zu geben.


 
  
 
Die Gleichung koppelt (zwei) Begriffe; so daß ich ˇnun von einem zum anderen übergehen kann.

 
  
 
Merke: der falsche math. Satz hat nicht einen falschen Beweis, sondern gar keinen.

 
  
 
Wenn die Gleichung zwei Begriffe kuppelt, dann auch die falsche. Also z.B. 25 × 25 = 10

 
  
 
Wenn ich aber einen Fehler im Beweis mache & so den falschen Satz falsch beweise!

 
  
? /
 
Die Gleichung bildet eine Begriffsbahn. Aber ist eine Begriffsbahn ein Begriff??
  Und wenn
kein Begriff
nicht
ist (dann)
eine scharfe Grenze
ein scharfer Unterschied
zwischen ihnen?

 
  
 
Denke Du hast
jemand eine Technik des
einem Menschen
Multiplizierens gelernt. Er verwendet es sie in einem Sprachspiel. Damit er nun nicht immer von neuem multiplizieren muß, schreibt er sich die Multiplikation in verkürzter Form, nämlich als Gleichungen das “X × Y = Z” “ … × … = …” auf & benützt nun diese, wo er früher multipliziert hat.

 
  
 
[Man könnte sich aber auch den Fall denken daß Menschen durch einen merkwürdigen Zufall in den Besitz der Multiplikationstabelle (oder einer Rechen-
maschine) gekommen wären[,|.] Und daß sie nun diese
Tabelle
Dinge
zu gewissen praktischen Zwecken benützten. wo wir rechnen würden.

 
  
 
Von der ˇTechnik des Multiplikationzierens nun sagt er, daß sie Verbindungen zwischen den den Begriffen schlägt. Er wird dasselbe auch von der Multiplikation sagen. // der Multiplikation, als Bild
dieser
der
Verbindung dieses Übergangs, sagen. // als Bild des Übergangs sagen. // Und endlich auch von der Gleichung: Denn es ist ja wesentlich, daß sich der Übergang auch einfach durch das Schema der Gleichung
muß darstellen lassen. Daß also der Übergang nicht immer von neuem gemacht werden muß.
    Wird er nun aber geneigt sein, vom Prozess des Multiplizierens zu sagen,
dieser
er
sei ein Begriff?

 
  
 
Es ist doch eine Bewegung. Eine Bewegung scheint es, zwischen zwei Ruhepunkten, dies sind die Begriffe.

 
  
 
Fasse ich den Beweis als ˇ
marginale
eine
Bewegung
von einem Begriff zum anderen
zwischen den Begriffen
auf, dann werde ich von ihm nicht ˇauch sagen wollen er gebe nur einen neuen Begriff selbst sei ein Begriff // ein neuer Begriff // Aber kann ich nicht
die Multiplikation
den Beweis
als ein Bild auffassen
oder als einem Vorgang vergleichbar
einem
dem eines
Zahlzeichens, & ˇkann ich sie nicht auch als Begriffszeichen so wie dieses funktionierend?

 
  
 
Warum ˇfühle bin ich ˇmich nun versucht eine so starke Versuchung zu sagen, die Gleichung gebe mir einen neuen Begriff? // in der Gleichung hätte ich einen neuen Begriff? // (Sozusagen einen kombinierten Begriff.) Ist denn nicht ein scharfer Unterschied zwischen dem was Du mit der Gleichung tu & dem was Du mit ihren beiden Seiten tust?

 
  
? /
 
Ich möchte sagen: die ˇbeiden Seiten der Gleichung
sind
zeigt
ˇdie zwei Seiten desselben Begriffs.


 
  
/
 
Ich
Ich möchte sagen: Wenn wir einmal die eine, einmal die andre Seite der Gleichung verwenden, verwenden wir zwei Seiten desselben Begriffs.

 
  
 
Aber warum soll ich zwei miteinander verbundene Begriffe einen Begriff nennen?

 
  
 
Weil, so möchte ich sagen, keiner der beiden Teile das wäre, was er ist, wenn diese Verbindung nicht existierte.

 
  
 
Du hast die begriffliche Institution geändert, als Du die Verbindung der beiden machtest.



 
  
? /
 
Ist der begriffliche Apparat ein Begriff?

 
  
 
Könnte nicht der Beweis von 25² = 625 beschrieben werden: “25² 625 ergebend”? Man könnte sagen: das zeigt Dir wie 25² 625 erg[eben|ibt].

 
  
 
Die Gleichung 25² = 625 ist das Bild des Übergangs von “25²” auf “625”?

 
  
 
ist der [B|b]egriffliche Apparat nicht etwas anderes als der einzelne Begriff?

 
  
 
Man kann die Erfindung einer Rechnungsart eine [M|m]athematische Entschei-
dung nennen.

 
  
 
Die beiden Begriffe werden in ein Bild aufgenommen; das, wie sie selbst, aufbewahrt wird

 
  
/
 
Der math. Beweis knüpft eine neue Begriffsverbindung.

 
  
/
 
Das Bild des Experiments ist kein Experiment; das Bild des Beweises aber ein Beweis.

 
  
/
 
‘Er macht den Übergang nach dieser Gleichung.’ Ist also die Gleichung nicht das Bild dieser Handlung?

 
  
/
 
“Inhaltlich gedeutet”: ein elender Ausdruck!
Wie deutet man denn inhaltlich? Was ist das für ein Vorgang? Ein psychischerchologischer? Und wann deutet man inhaltlich? Wenn man uns gewisse Bilder in der Phantasie vorschweben; oder wenn wir den Satz anwenden? Oder wenn wir durch eine bestimmte Übersetzung uns zu einer bestimmten Anwendung vorbereiten?

 
  
/
 
Es ist (ja) etwas sehr eigentümliches, daß wir uns überhaupt mit Tautologien abgeben. Es ist nichts weniger als selbstverständlich. Und das würde sich uns noch
klarer zeigen, wenn wir in Russells Tautologien spezielle eine Anzahl ein paar gewöhnliche wirkliche Sätze statt
der
der Variablen
p, q, r etc. verwendeten. // wenn wir in Russells Tautologien p, q, r etc. (eine Anzahl) wirkliche(r) Sätze verwendeten. //

 
  
/
 
Verstehe ich den Fundamentalsatz der Algebra nicht besser, wenn ich ihn beweisen kann, als wenn ich ihn nicht beweisen kann? Wie kann es sein, daß der Beweis nicht zu meinem Verständnis beiträgt, da er doch erst zeigt, wo dieser Satz zu Hause
ist? Oder ist es hier wie mit “non” & “ne” wenn
non non p = p ist aber
ne ne p = ne p.

 
  
? /
 
Hat der den gleichen Begriff der Fünf wie wir, der nur bis 5 zählen kann?

 
  
∫ /
 
Wie zeigt denn [E|e]iner, daß er einen mathematischen Satz versteht? Darin, etwa, daß er ihn anwendet. Also ◇◇◇ nicht auch darin, daß er ihn beweist?

 
  
 
Ich möchte sagen: der Beweis zeigt mir einen neuen Zusammenhang, daher gibt er mir auch einen neuen Begriff.


 
  
 
Ist der neue Begriff nicht der Beweis selbst?

 
  
? /
 
Du kannst doch ˇgewiss, wenn der Beweis erbracht ist, ein neues Urteil bilden. Denn Du kannst doch nun von einer einem bestimmtenn Figur Muster sagen, sie es sei oder sei nicht dieser Beweis.

 
  
/
 
Ja, aber ist der Beweis als Beweis ˇbetrachtet, gedeutet, eine Figur? Als Beweis, könnte ich sagen, soll er mich von etwas überzeugen. Ich will, auf ihn hin, etwas tun, oder lassen. Und auf einen neuen Begriff hin tue, oder lasse ich nichts.
Ich will also sagen: der Beweis ist das Beweisbild in bestimmter Art verwendet.
      Und das, wovon er mich überzeugt kann nun
sehr
ganz
verschiedener Art sein. (Denke an Beweise Russellscher Tautologien, Beweise in der Geometrie, oder in der Algebra.)

 
  
/
 
Der Mechanismus … kann mich von etwas überzeugen (kann etwas beweisen) Aber unter welchen Umständen – in welcher Umgebung ˇvon Tätigkeiten & Problemen – werde ich sagen er überzeuge mich von etwas?

 
  
/
 
Der Beweis davon daß
die 3Teilg. des Winkels mit Lineal & Zirkel unmöglich ist überzeugt mich von dieser Unmöglichkeit & ich gebe daraufhin jeden weiteren Versuch des Konstruierens auf. Der Beweis hat meine Fähigkeit geändert. Muß ich nun sagen, der Beweis überzeugt gibt mir eine Überzeugung & auf die Überzeugung hin gebe ich eine gewisse Tätigkeit auf & sage Anderen etwa sie sei fruchtlos? Warum soll ich nicht sagen, ich sehe den Beweis & gebe darauf diese Versuche auf & so hat er mich also von etwas überzeugt. Ich meine: kann denn das Ereignis der Überzeugung
nicht aber im Aufgeben der Versuche bestehen?

 
  
/
 
“Aber ein Begriff überzeugt mich doch von nichts, denn er zeigt mir eine nicht eine Tatsache.” – Aber warum soll mich ein Begriff nicht vor allem davon überzeugen, daß ich ihn gebrauchen will?

 
  
/
 
Warum soll der (neue) Begriff, einmal gebildet, mir nicht unmittelbar den Übergang zu einem Urteil gestatten?

 
  
/
 
Im Beweis heißt es immer “Das ist doch das; & das ist doch das; etc.” Dieses
“doch”
ist ja nun das Wichtige
ist charakteristisch
. “Davon”, heißt es, “willst Du doch nicht abgehen; etc.”.

 
  
/
 
Das Wort “doch” könnte man sagen, zeigt, daß ich Dich nur an etwas erinnere.

 
  
/
 
“Du gibst doch das zu; & das; etc.”. – “Gewiß!.– könnte ich sagen. –”wenn ich damit nichts zugebe.”.

 
  
/
 
Wer die Brüche in einer Reihe ordnet, der gibt mir einen neuen Begriff. Es hat jetzt Sinn zu fragen: “Den wievielten Bruch hast Du angeschrieben?”; aber auch:
”der wievielte Bruch stellt diese Länge dar?”.

 
  
? /
 
Ebenso erlaubt mir die Zuordnung von Konstruktionsmethoden zu Arten algebraischer Ausdrücke eine neue Beschreibung ˇder Konstruktionen, neue Fragestellungen, neue Urteile.

 
  
 
Aber zugegeben das; ist denn der Beweis
nur
bloß
diese Begriffsˇneubildung? // ; ist dann der Beweis nichts, als nur diese Begriffsbildung? //

 
  
 
Ich verstehe, wie die Figur

1
2
3
4
1
x
x
x
x
2
x


3
x


4
x


5
x


ein Bild zur Messung, sozusagen, rea solcher Punktanordnungen sein kann. Ich verstehe auch, daß so ein Maß so ausschauen kann
1

6

11

16
2

7

12

17
3

8

13

18
4

9

14

19
5

10

15

20
–– –– ––

 
  
/
 
Ich mache ein zusammengesetztes Paradigma aus den beiden Begriffen. Und ich kopiere nun dieses zusammengesetzte Bild. Es ist ein für allemal das Bild des richtigen Übergangs.

 
  
 
Ich mache ein zusammengesetztes Paradigma. – Aber wofür ist es (dann) ein Paradigma? Nun, jedenfalls
für den Vorgang des Zusammensetzens. // für den Übergang zwischen Paradigmen. //

 
  
 
Nehmen wir an, uns hat jemand den Fundamentalsatz bewiesen. Und zwar ˇso, indem er uns zeigt, wie für eine bestimmte Gleichung, sagen wir 600x40 ‒ 4000x⁶ + … = 0, Approximationen für x zu finden sind.
 
  
 
  Thank you for your letter dated … The news of your entering the r. cathol. church was indeed unexpected. But whether it's good or bad news how would I know. This seems clear to me. The decision to become a Christian is like the decision to give up walking on
the ground
roads & paths
& to ˇtake up walking on a tightrope; Instead where nothing is more easy than to slip & every slip can be fatal. Now if a friend of mine were to take up tightrope walking & told me that in order to do it he has to wear a particular garment I should say to him: If you're serious about th[a|e]t tightrope walking I'm certainly not the man to
tell you
say
what
outfit
clothes
you should or should|n'ot wear, as I've myself have never tried
to walk on a rope
the thing
. Further your decision to wear these
clothes is in a sense terrible, however
one may
you
look at it. For if they mean that you're going to do the ˇtightrope walking this is terrible even though it may be the best & greatest thing you can do. And if you put these dress in these clothes & then don't do the tightrope
act
walking
this is terrible too in a different way. There's one thing however I'ld warn my friend against. There are certain devices (a weight properly attached ˇin the right way to the body & hanging underneath the rope) which ˇwill make tightrope walking
entirely
quite
easy. With such a device a man can go through all the motions of the tightrope walker
and be in
with
no more danger than there
is in walking on an ordinary footpath. – I [w|sh]ould therefore say to my friend: I cant applaud your decision to go in for tightrope walking because a man like myself who has never always sta[i|y]ed ˇsafely on the ground has no right to encourage another
man
person
to such an enterprise. On the other hand [I|i]f I'm am to decide whether were asked whether my friend should rather go in for
this dangerous life
tightrope walking
or for shaming
it
tightrope walking
I should say that he should do anything rather than do the second.
I'd have a right to say that the second would be by far more terrible than the first.
I am My only wish for you can be that ˇwhatever you do you
will remain
should always be
capable of despairing, &
that you
yet
ˇwill
never
not
despair.1


 
  
? /
 
Ich will sagen, der Sinn der Mathematik ist es, daß sie
uns
mich
die Dinge auf neue Art beurteilen lehrt.

 
  
? /
 
Der Beweis zeigt eine neue Verbindung von Figuren, eine neue Bewegung. Und diese ist ˇuns als Bild aus irgendeinem Grunde
wichtig
interessant
.

 
  
 
“Einen math. Satz verstehen” das ist ein sehr vager Begriff.
  Sagst du aber “Auf's Verstehen kommt's überhaupt nicht an. Die math. Sätze sind nur Stellungen in einem Spiel” so ist das auch Unsinn!
‘Mathematik’ ist eben kein scharf
umzogener
umgrenzter
Begriff.

 
  
 
Daher der Streit ob ein Existenzbeweis der keine Konstruktion ist ein wirklicher E. ist. Es frägt sich nämlich: verstehe ich den Satz “Es gibt …” wenn ich keine Möglichkeit habe zu finden, wo es existiert. Und da gibt es zwei Gesichtspunkte: Als deutschen Satz z.B. verstehe ich ihn soweit ich ihn nämlich erklären kann (& merke, wie weit meine Erklärung geht!). Was aber kann ich mit ihm anfangen? Nun nicht
das was mit einem Konstruktionsbeweis. Und soweit, was ich mit dem Satz machen kann, das Kriterium seines Verstehens ist, soweit ist es nicht von vornherein klar, ob & wie weit ich ihn verstehe.

  Das ist der Fluch des Einbruchs der math. Logik in die Mathematik, daß nun jeder Satz sich in mathematischer Schreibung darstellen läßt & wir uns daher verpflichtet fühlen ihn zu verstehen. Obwohl ja diese Schreibweise nur die Übersetzung der vagen gewöhnlichen Prosa ist.



 
  
? /
 
Der Beweis ist ein Begriff zur Beurteilung von allem des Beweisens. // der Tätigkeit des Beweisens. //

 
  
/
 
Verstehe den math. Satz: siehe Mult. Ax.. (Es glaubt der Mensch, wenn er nur Worte hört, es müsse sich dabei auch etwas denken lassen.)
(x) ∙ x ∊ Soldier .⊃. x is brave
(x) ∙ x ∊ Soldier

 
  
/
 
Ein Begriff ist nicht wesentlich ein Prädikat.
  Wir sagen zwar manchmal: “dieses Ding ist keine Flasche” aber es ist dem
Sprachspiel mit dem Begriff Flasche gar nicht wesentlich, daß solche Urteile darin gefällt werden. Achte eben darauf, wie ein Begriffswort (z.B. Platte) in einem Sprachspiel gebraucht wird.

 
  
/
 
Es brauchte z.B. gar keinen Satz “dies ist ein Platte” geben; sondern etwa nur den: “hier ist eine Platte”.

 
  
/
 
Die “mathem. Logik” hat das Denken
von
vieler
Mathematikern & Philosophen gänzlich verbildet, indem
sie eine oberflächliche Deutung der Formen unserer Umgangssprache zur
Analyse
letzten Analyse Darstellung
der Strukturen der Tatsachen
erklärt
erhob
. Sie hat
hierin
darin
freilich nur auf d[ie|er] Aristotelischen Logik weiter gebaut.

 
  
 
Ich könnte die Gleichung x⁹ + … x⁸ + … = 0 mit einem Bild der Art verbinden & sagen, ich hätte bewiesen, daß der Ausdruck für irgendeinen Wert
von x zu 0 wird ohne eine Methode zu geben dieses x zu finden; & dann könnte mein Beweis darauf hinauskommen einerseits die St[e|ä]tigkeit zu zeigen, andererseits die zusammen mit der Form, der sich die Kurve für große x nähert. Und statt der Figur ( …) hätte ich besser ein Modell verwendet, in
welchem
dem
das Stück A B nicht gezeich ein Strich, sondern ein Stück Faden ist..

 
  
/
 
Von was Du Dich überzeugst das kann man dadurch ausdrücken
:
,
was Du darauf-
hin sagst.

 
  
/
 
Uns kümmert der seelische Zustand der Überzeugtheit nicht. Wohl aber welch der Anblick, der dich überzeugt und die Konsequenzzen dieser Überzeugtheit. Daher sagt uns auch das Wort “Intuition” gar nichts in Verbindung etwa mit einem Induktionsbeweis.

 
  
/
 
Das “Intuition” ist (nur) eine Ausrede – wo gar keine Ausrede nötig ist.

 
  
 
Das Interessante am Mult. Ax. ist nicht der paradiesische Zustand, der herrschen würde wenn
es wahr würde
den es zu bewirken scheint, sondern vielmehr der Gegensatz tat[z|s]ächliche Zustand gemessen an jenem
Begriff
Ideal
also der fundamentale Gegensatz zwischen ‘endlichen’ & ‘unendlichen Klassen’.

 
  
 
Statt die Konsequenzen des Mult. Ax. zu entwickeln & dem Leser gleichsam das Idealbild zu zeigen, wie schön es wäre [d|w]enn es sich so verhielte wenn … so wäre, sollte das einzig Interessante gezeigt werden nämlich der Gegensatz der Mathematik zu diesem Bild. Und in dieser Weise kann das Mult. Ax. wirklich ein interessan-
tes Licht auf die Mathematik der unendlichen
Klassen
Zahlen
werfen.

 
  
/
 
Das Interessante am Mult. Ax. ist nicht der Ideal-Zustand den es uns zeigt und den wir gleichsam als wünschbar darstellen ˇgleichsam als wünschbar vor Augen führt stellt, sondern umgekehrt, die Tatsache, daß dies Axiom einem Vorurteil entspricht ausspricht gegründet auf diese Verwendung der Begriffe & daß dieses Vorurteil ganz unwes
der Tätigkeit des Math.
der Mathematik
ganz unwesentlich ist. Es ist interessant
wenn
weil
es uns zeigt, wie gefährlich die Phraseologie ist, die es uns als plausibel erscheinen läßt.
// Das Interessante am Mult. Ax. ist nicht der Ideal-Zustand den es unsc zeigt; gleichsam als wünschbar darstellt. [s|S]ondern umgekehrt, die Tatsache, daß das Axiom ein Vorurteil ausspricht; & daß dieses Vorurteil der Tätigkeit des Mathematikers gänzlich unwesentlich ist. Das Axiom ist interessant, wenn es uns zeigt, wie gefährlich die Phraseologie ist, die es uns plausibel erscheinen läßt //

 
  
? /
 
Es ist schon wahr: das Zahlzeichen gehört zu einem Begriffswortzeichen &
nur mit diesem ist es, sozusagen, ein Maß.

 
  
? /
 
Welcher Art war der Irrtum, worauf konnte er gegründet sein, daß φn(x) alle möglichen unendlichen Dezimalbrüche darstellte?


 
  
 
Man kann das Zeichen “62[5|6]” daraufhin beurteilen ob es bei der Multiplikation von 2 5 × 25 entsteht; oder wie weit es davon entfernt ist so zu entstehen.

 
  
 
Kann ich sagen, ich beurteile die Ziffer 6768 (als Tapetenmuster) danach
ob sie größer oder kleiner oder gleich 392 ist? Kann man das, sozusagen, ein Messen jener Ziffer nennen? Nein. Nicht der Ziffer 6768; wohl aber der Ziffer in der rechten unteren Ecke der Tapete, die etwa 6768 ist.

 
  
/
 
Es ist ein mathematischer Satz: daß das Thema … einen Kanon in der Unterquart bilden kann.

 
  
/
 
Der Beweis überzeugt Dich von etwas[,|:] das heißt, Du wirst etwas auf den Beweis hin tun.


 
  
/
 
Oder auch: Du wirst überzeugt sein, daß Du das & das wirst
ausführen
tun
können; Du wirst
etwas
es
unternehmen, Andern sagen, daß sie es unternehmen sollen, usw.

 
  
/
 
Und wie läßt sich dies auf die Beweise der R.'schen Tautologien anwenden?

 
  
/
 
Nun der Beweis überredet Dich, daß Du dazu, so & so zuschließen. // dazu, daß Du so & so zu schließt // .

 
  
/
 
Wie hängt die Überzeugungskraft des Beweises
damit zusammen, daß er einen neuen Begriff bildet?

 
  
 
Nun der Begriff gibt mir jedenfalls einen neuen Begriff zur Beurteilung des Satzes,
welchen
den
Du beweist.

 
  
/
 
Der Philosoph muß sich so drehen & wenden, daß er an den mathematischen Problemen
vorbeikommt
herumkommt
, nicht gegen eines rennt, – das gelöst werden müßte ehe er weitergehen kann.

 
  
/
 
Sein Arbeiten in der
Philosophie ist gleichsam eine Faulheit in der Mathematik.

 
  
/
 
Ein bewiesener mathematischer Satz ist eine interessante Figur.

 
  
/
 
Nicht ein
neues
weiteres
Gebäude ist aufzuführen,
oder
nicht
eine neue Brücke zu
schlagen
bauen
, sondern die Geographie, wie sie jetzt ist zu beschreiben.

 
  
/
 
Wir sehen wohl Stücke der Begriffe, aber nicht klar die Abhänge, die den einen in andere übergehen lassen.



 
  
/
 
Darum hilft es in der Philosophie der Mathematik nichts, Beweise in neue Formen
umzugießen
zu bringen
umzuformen. Obwohl hier eine starke Versuchung liegt. Damit soll nicht gesagt sein

 
  
/
 
Auch vor 500 Jahren konnte es eine Philosophie der Mathematik geben, dessen, was damals die Mathematik war.

 
  
 
Der mathematische Beweis muß Dir einen neuen Begriff geben, weil er es Dir möglich machen muß anders zu urteilen ohne Dir etwas mitzuteilen.




 
  
 
“Schreibe
diesen
den
Satz auf, wenn er
nach
von
dieser Figur bewiesen wird!”

 
  
 
“Sieh' nach, ob dieser Satz von dieser Figur bewiesen wird.”

 
  
 
Wenn man sich nicht vorstellen kann” daß 25 × 25 nicht 625 ergiebt, dann kann man auch nicht glauben, könnte man sagen, daß es 625 ergibt.

 
  
/
 
Insofern man sich nicht vorstellen kann daß 25 × 25 nicht 625 ergibt, kann man auch nicht glauben, daß es 625 ergibt.



 
  
 
”Schreibe den Beweis des Satzes … aus den Sätzen … & … auf.”

 
  
 
Ich möchte sagen: der Beweis wird statisch gebraucht, nicht dynamisch. (Heißt das: ohne Bild, nichts als Expressionen?)

 
  
 
Und wenn der Beweis ˇuns eines neues Bild ist, dann auch ein neuer Begriff.

 
  
 
‒ ‒ ‒ Nun, Du bewahrst Dir den Satz, & nun verwendest Du ihn losgelöst vom Beweis.


 
  
  
  
 
   Wenn du dieser Maus ins Maul schaust, wirst du zwei lange Schneidezähne sehen. – Wie weißt du das? – Ich weiß, daß alle Mäuse diese schn sie haben, also auch diese. (Und man sagt nicht: “& dieses Ding ist eine Maus, also hat auch sie …) Warum ist das eine so wichtige Bewegung? Nun, wir
untersuchen
studieren
z.B. Tiere, Pflanzen etc. etc., bilden allgemeine Urteile & wenden sie im einzelnen Fall an. … Es ist aber doch eine Wahrheit daß diese Maus die Eigenschaft hat, wenn alle Mäuse sie haben! Das ist eine Bestimmung über die Anwendung des Wortes “alle”: Die
tatsächliche Allgemeinheit liegt wo anders. Nämlich z.B. indem allgemeinen Vorkommen jener Methode Untersuchungsmethode & ihrer Anwendung.

 
  
 
Oder man sagt: “Dieser Mann ist ein
Student
graduierter Mathematiker
der Math.”. Wie weißt du das? –“Alle Leute in diesem Zimmer sind graduierte Mathematiker; es sind nur solche zugelassen worden.” –

 
  
 
Das interessante Allgemeine ist, daß wir oft ein Mittel haben, uns
vom
von dem
allgemeinen Satz zu überzeugen, ehe wir dem besondere Fälle in Betracht ziehen:
& daß wir dann mittels der allgemeinen Methode den besondern Fall beurteilen.

 
  
 
Wir haben dem Pförtner den Befehl gegeben, nur Leute mit Einladungen hereinzulassen & rechnen nun darauf, daß dieser Mensch, der hereingelassen wurde, eine Einladung hat.

 
  
 
Das interessante Allgemeine am logischen Satz ist nicht die Tatsache, die er auszusprechen scheint sondern die immer wiederkehrende Situation in der dieser Übergang gemacht
wird.

 
  
 
Ich bin überzeugt, nicht nur, daß ich das Resultat des Beweises, sondern auch das ganze Bild des Beweises erhalten kann, indem ich diese
Übergänge
Paradigmen
iterativ
successive
auf die diese Premissen anwende.

 
  
 
Der Beweis überzeugt Dich auch, daß Du
dieses Beweisbild
die Beweisfigur
durch anwendung der Paradigmen nach der Reihe … erzeugen kannst.

 
  
 
Hat der Beweis Dich unbedingt davon über-
zeugt, daß Du diesen Satz erhalten mußt, wenn Du dies nach diesen Paradigmen von diesem Ausgangspunkt weitergehst? Nein. Er hat Dich nur davon überzeugt, daß unter den Sätzen, die Du so erhalten kannst, auch dieser ist. Daß ein solcher Weg auch dahin führt, daß diese Figur ein solcher Weg ist.

 
  
 
Der Beweis ordnet den Schlußsatz unter den Begriff “aus diesen Sätzen auf diese Art erhältlich“.

 
  
 
Wenn ich also meine
Wand nur mit Sätzen schmücken will, die sich so erhalten lassen, brauche ich dazu nur Schlußsätze aus den Prin[z|c]. Math. zu kopieren.
    Oder: Wenn ich eine Wand nur mit Figuren schmücken will, die Wege nach solchen Übergängen sind, so brauche ich nur Beweise der Prin[z|c]. Math. zu kopieren.

 
  
 
Was so aussieht, ist ein Beweis dieses Satzes aus
jenen
denen


 
  
 
Ich beurteile eine Figur an der Wand nach dem Begriff “erzeugbar aus
… nach …”. Nun kann mir ein allgemeines Prinzip gegeben sein wonach ich dies entscheiden kann. Es muß aber nicht so sein. Es können nur einzelne Beweise gegeben sein. Ich kann ‘durch Glück’ solche für die Figuren
konstruieren
finden
die ich
beurteilen will
zu beurteilen habe
; oder es stehen solche ˇetwa schon in einem Buche, etwa.
    Bin ich nicht im Stande solche Beweise zu erfinden, finde aber, durch Zufall, zu einer meiner Figuren ˇim Buche den Beweis im Buche so kann
ich nun sagen: dort stehe eine so & so ˇauf die bewußte Weise erhältliche Figur

 
  
 
Die Beweisfigur ist der Pedant eines Schlußvorgangs // Schließvorganges //


    

 
  
 
Gib es angewandte Mathematik, so auch angewandte Logik. Nun wie schaut angewandte Logik aus?


    

 
  
 
In der angewandten Math. werden die ‘math. Begriffe’ angewandt &
Schlüsse
Schlußweisen
(z.B. Substitutionen) nach den Sätzen der reinen Math.




 
  
 
Der Satz steht für das wovon uns der Beweis überzeugt. – Der Beweis ist z.B. ein Bild, das ˇnur mich überzeugt, ich werde
durch eine Tätigkeit der & der Art von dort
durch die & die Art von Tätigkeit von dort
immer dahin gelangen. // Der Beweis überzeugt mich z.B. durch ein Bild davon daß ich durch
eine Tätigkeit der & der Art
die & die Art von Tätigkeit
von dort immer dahin gelangen. Ich werde etwas Bestimmtes auf den Beweis hin wagen // unternehmen // . Der Satz, der den Beweis beweist steht für
das, was ich auf den Beweis hin wagen werde.      // Das ist es, was ich auf den Beweis hin wagen werde. // Der bewiesene Satz nun sagt mir was in diesem Sinn das Ergebnis des Beweises ist. //      // Der Beweis durch ein Bild überzeugt mich z.B., davon ich werde , dieser Anleitung Vorschrift folgend, von dort immer dahin
gelangen
kommen
. – Das werde ich auf den Beweis hin wagen. Der Satz bewahrt mir dieses Ergebnis des Beweises auf. //


 
  
 
‒ ‒ ‒Der Satz entspricht etwa einem Bild des Mechanis-
mus mit (den) eingezeichneten Bahnen der Punkte A & B. Er ist also in gewisser Beziehung ein Bild jener Bewegung. Er hält das fest, wovon mich der Beweis überzeugt; oder, wozu er mich überredet.


 
  
 
Wenn der Beweis das Vorgehen nach der Regel registriert, so sch erzeugt er (dadurch) einen neuen Begriff.

 
  
 
Indem er einen neuen Begriff erzeugt, überzeugt er mich von etwas. Denn zu dieser Überzeugung ist es
wesentlich, daß das Vorgehen nach diesen
Gesetzen
Regeln
immer das gleiche Bild erzeugen muß. (‘gleich’ nämlich nach
unsern
den
gewöhnlichen Regeln des Vergleichens & Kopierens.)


 
  
 
Damit hängt es zusammen, daß man sagen kann, der Beweis müsse eine interne Relation
demonstrieren
zeigen
. Denn die interne Relation von Strukturen ist die Organisation die die eine aus der anderen erzeugt äquivalent angesehen mit dem Bild dieser
Strukturen selbst mit dem Bild dieses Übergangs selbst, so daß nun der Übergang dieser Bilderreihe gemäß eo ipso ein Übergang jenen Regeln // Operationsregeln // gemäß ist.

 
  
 
Indem der Beweis einen (neuen) Begriff erzeugt, überzeugt er mich von etwas. Das wovon er mich überzeugt ist in dem Satz ausgesprochen ˇden er bewiesen hat. // . Wovon er mich … , das ist in … //

 
  
 
∣ Problem: [b|B]edeutet das Wort, [(| ]mathematisch”
jedesmal das gleiche:
immer dasselbe
wenn wir von ‘mathematischen’
Begriffen, ‘mathematischen’ Sätzen & ‘mathematischen Beweisen’ reden? ∣


 
  
 
    Was hat nun der bewiesene Satz mit dem Begriff zu tun, der den Beweis schuf. (oder, was hat der bewiesene Satz mit der internen Relation zu tun, die der Beweis demonstrierte.

 
  
 
Das
Bild
Beweisbild
ist ein Instrument des über-Zeugens.


 
  
 
Es ist klar, man kann auch den unbewiesenen math. Satz, ja auch den
falschen, anwenden. // … unbewiesenen math. Satz anwenden, ja auch den falschen. //


 
  
 
   Der math. Satz sagt mir: Verfahre so.



 
  
 
Ich verfahre also auf den Satz hin wie auf den Beweis der
mir zeigt
mich davonc überzeugt
ich dürfe so [f|v]erfahren


 
  
 
Wenn uns der Beweis von etwas überzeugt dann müssen wir auch von den Axiomen überzeugt sein. Wohl; aber nicht als von empirischen Sätzen, d.h., das ist
ihre Rolle nicht. Sie sind im Sprachspiel von der Verifikation durch die Erfahrung ausgeschlossen. Sie sind p nicht [e|E]rfahrungsurteile, sondern Prinzipe des Urteilens.


 
  
 
   Der Beweis überredet mich, so zu verfahren
Der
; der
bewiesene Satz sagt: ‘verfahr so!’


 
  
 
Ein Sprachspiel: Wie habe ich mir eins vorzustellen, in dem Axiome, Beweise & bewiesene Sätze auftreten?

 
  
 
Der Philosoph ist der, der in sich viele Krank-
heiten des Verstandes heilen muß, ehe er zu den Notionen des gesunden Menschenverstandes kommen kann.


 
  
 
Wer in der Schule zum erstenmal ein bischen Logik lernt // von der Logik hört // , der ist gleich davon überzeugt, wenn man ihm sagt, ein Satz impliziere sich selbst, oder wenn man ihn er nun das Gesetz des Widerspruch ˇanwenden hört, oder ˇ(das Gesetz) des ausgeschlossenen Dritten sagt. Warum ist er gleich davon überzeugt. Nun, diese Gesetze passen ganz
in den Gebrauch der Sprache, den er ˇja beherrscht.‒ ‒ ‒

 
  
  
  
 
Der lernt dann etwa
Dann lernt er etwa
kompliziertere Sätze der Logik beweisen. Die Beweise werden ihm vorgeführt, & er ist wieder überzeugt; oder er erfindet selbst einen Beweis.
     Er lernt so neue Techniken des Schließens & . Und auch, auf welche Rechnung es zu setzen ist, wenn
sich ein Fehler zeigt
etwas schief geht
. // wenn sich nun Fehler zeigen. //


 
  
 
Der Beweis überzeugt ihn ˇüberredet ihn, daß er an dem Satz, ˇan der Technik die dieser vorschreibt, festhalten muß; aber ˇ(er) zeigt ihm auch, wie er an dem Satz festhalten kann,
ohne Gefahr zu laufen
ohne
, mit
einer
der
Erfahrung in
Konflikt
Widerspruch
zu geraten. // aber er zeigt ihm zugleich wie er an dem … // // Der



 
  
 
Wenn wir im Leben vom Tod umgeben sind, so auch
im gesunden Verstand
in der Gesundheit des Verstandes
vom Wahnsinn. // so auch im ruhigen, normalen Verstand vom Wahnsinn. // // so auch im alltäglichen Verstand //
vom Wahnsinn. //



 
  
 
Nocheinmal: Man könnte den Beweis in den Worten beschreiben: “So geben 500 + 500 1000”, “So hat eine Gleichung n-ten Grades n Wurzeln”, “So gehen die rationalen Zahlen an der √2 vorüber”. Der Beweis zeigt Dir einen Vorgang & Du kannst nun nicht umhin ihn so & so zu nennen.

 
  
 
Sieh', so gib[bt|t] geben 3 + 2 5.
Aus dem Beweis leitest Du eine Regel ab, oder einen Satz, der als Regel dient.


 
  
 
Jeder Erfahrungssatz kann als Regel dienen wenn man ihn feststellt, ich meine unbeweglich macht. so daß sich nun alle Darstellung um ihn dreht & er ganz zur Methode der Darstellung gehört & unabhängig von den Tatsachen
ist
wird
.

 
  
 
”So ist es, wenn dieser Satz aus diesem abgebildet wird. Das mußt Du doch zugeben.” Was ich zugebe ist, daß ich solchen Vorgang so nenne.

 
  
 
∣ Denken wollen ist eins; Talent zum Denken
haben, ein Anderes. ∣

 
  
 
Wie steht der Beweis des Satzes hinter dem Satz?
     Steht er hinter dem Satz wie eine Anwendung des Satzes? ein Teil der Technik, in der der Satz sein Leben hat?

 
  
 
Könnte man sich eine Mathematik ganz ohne Beweise denken? Die Menschen lernten math. Sätze & würden von ihrer Wahrheit // Richtigkeit // durch die Autorität des Lehrers überzeugt. –

 
  
 
Könnte man sich denken
daß Physik so gelehrt würde. Der Schüler dürfte die Apparate sehen, aber kein Experiment. Es würde ihm gesagt: “Wenn man diese Drähte so & so verbindet & dann diesen Hebel niederdrückt gibt dieser Zeiger einen Ausschlag & …”

 
  
 
Nun, lernt er nicht auch die Geographie Nord Amerikas, ohne dort gewesen zu sein?
     Und man kann ihm doch auch beibringen, eine Zahl sei durch 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme es
ist
sei
; ohne
daß er
weiß warum
er den Beweis kennt
.


     

 
  
 
Du prüfst den Zeichenausdruck (es muß kein Satz sein) formal & entscheidest
so
danach
, ob es für Deinen ◇◇◇ Zweck
passend
zu brauchen
ist. // & entscheidest in dieser Weise, … //


     

 
  
 
Wie ist es mit der Prüfung von Zeichenausdrücken daraufhin, ob sie Multiplikationen sind? Nun, nichts leichter, als sich so eine Prüfung vorzustellen. (Sie ist ganz analog der Prüfung eines Zahlzeichens daraufhin, ob es dasjenige einer Quadratzahl ist,
oder der Prüfung eines Satzes daraufhin, ob er aus jenem Satz folgt; etc.)


    

 
  
 
Das Resultat so einer Prüfung kann der Satz sein: “Der Zeichenausdruck auf diesem Papier ist eine Multiplikation” – & dies ist kein mathematischer Satz
– –
.
Oder aber: “Der Ausdruck ‘ … ’ ist eine Multiplikation” – & dies ist ein mathematischer Satz.

 
  
 
Die Prüfung ist natürlich wieder analog der eines musi-
kalischen Themas auf eine contrapunktische Eigenschaft hin.

 
  
 
“Ich werde nur diejenigen der Zahlen 94, 81, 72, 31,144 ˇdort hinschreiben, die Quadratzahlen sind.” Ist das gleichbedeutend mit dem Satz: ich werde von
jenen
diesen
Zahlen nur 81 & 144 hinschreiben?

 
  
/
 
Wie steht der Beweis hinter dem Satz? – Wie ein Bild[?|;] das den Satz rechtfertigt.


    

 
  
 
Wenn man vom Beweis sagt, er zeige wie (z.B.) 25 × 25 625 ergeben:
so ist das natürlich eine
uneigentlich
seltsame
Redeweise, da ja dies ˇdas arithmetische Ergeben ja kein ˇzeitlicher Vorgang ist. Aber nun zeigt
ja
ja
der Beweis ja ˇauch keinen Vorgang.


    

 
  
 
Denke Dir eine Reihe von Bildern. Sie zeigen, wie zwei Leute nach den & den Regeln Degen fechten. // Regeln mit dem Rapieren fechten. // Eine Bilderreihe kann das doch zeigen. Hier bezieht sich das Bild auf eine
Wirklichkeit
wirkliche Vorgänge.
Man kann nicht sagen, es zeige, daß so gefochten wird,
aber
nur
wie gefochten wird. In einem andern
Sinn aber kann man sagen, die Bilder zeigen, wie man
nach solchen
in drei
Bewegungen von dieser Lage in
jene
diese
kommen kann.
    Und nun zeigen sie auch daß man auf diese Weise in
jene
diese
Lage kommen kann.

    

 
  
 
In einem Sprachspiel kann man unter Umständen Sätze einander gleich setzen. So möchte ich sagen, daß der Satz “dieses Blatt ist grün” das Gleiche sagt wie ˇder: “dieses Blatt ist grün & nicht rot”. Und doch ist das nur in einem bestimmten
Sprachspiel der Fall. Denn wir gebrauchen ja wirklich beide Sätze & ziehen einmal den einen, einmal den anderen vor.

 
  
 
Kann man denn nicht sagen: die Multiplikation zeigte Dir, wie 25 25 625 ergibt? oder, ˇ der Beweis: wie diese Gleichung eine Lösung hat?


    

 
  
 
Ich möchte sagen: sie die Ableitung der Lösung zeigt mir, wie in welchem Verhältnis die Lösung zur Gleichung steht; als zeigte sie mir das Kind, wie es in den Armen der Mutter ruht.


 
  
 
Ich möchte sagen
dies Bild zeigt mir, wie 3 × 3 9 ergibt.
Ist das nun ganz falsch?

 
  
 
Denke dir den Beweis (3 × 3 = 9) von drei Personen gesprochen. A zählt von 1 bis 9; B immer von 1 – 3, und C langsam von 1 – 3. Könnte das nicht Einen dazu bringen, daß er sagte: “Ja, so muß also 3 × 3 immer 9 ergeben!”? Oder einfach: “Ja, 3 × 3 ist 9.” –
Nicht aber als wäre hier das “ist” zeitlich, oder als meinte es, daß hier 3 × 3 9 ergeben habe, während es sonst nicht 9 ergibt; sondern nur,
es sei
als wäre
jener Vorgang ˇ[das|ein] Bild, [die|eine] Vorlage & der Satz nicht nicht ˇso sehr ein Satz, der beschreibt, was ˇhier geschehen ist, sondern eine Lehre die ich aus dem Gesehenen ziehe, eine Regel die ich mir zu eigen mache. Der Vorgang aber rechtfertigt die Regel indem er sie mit andern Regeln in ein System einreihtc & auf ihre Anwendung deutet.


 
  
 
Ich denke mir die Beweise der mathematischen Sätze auf der Bühne gespielt // dargestellt // ,
in
mit
eindrucksvollen Kostümen. Leute prägen sich solche Szenen fürs ganze Leben ein.
   
 
  
 
Du ziehst aus dem Beweis eine Lehre.
   
 
  
 
Wenn etwas an der Freudschen Lehre von der Traumdeutung ist; so zeigt sie, in wie komplizierter Weise der menschliche Geist Bilder der Tatsachen
malt.
macht.
   
 
  
 
So kompliziert, so unre-
gelmäßig ist die Art der Abbildung, daß man sie kaum mehr eine Abbildung nennen kann.
   
 
  
 
Der Beweis ist dazu da, daß er Dich etwas lehre.
   

 
  
 
Wenn man sagt der mathematische Satz ist eine Regel, so natürlich nicht eine Regel in der Mathematik. In der Mathematik ist er ein Gesetz; ein Naturgesetz das von den in der Welt der Mathematik. // ; ein Naturgesetz, das von den mathematischen
Dingen
Gegenständen
handelt. // // ein Naturgesetz von den mathematischen Dingen. //
// ; ein Naturgesetz von den Dingen ihrer Welt. //

 
  
 
Der Beweis ist ja dazu da, daß er Dich etwas lehrt. Und was er Dich lehrt, spricht der Satz aus, oder zeigt der Satz an, der bewiesen wurde.

 

Editorial notes

¤1) This is the draft of a letter which was sent to Yorick Smythies, dated "7.4.[1944]", and is published in Ludwig Wittgenstein: Gesamtbriefwechsel, Innsbruck Electronic Edition (2011).

¤2) Ms-127, page 203 contains technical drawings and figures which are not included in the transcription.