The difficulty is to get into the new dimension in
which these problems can be solved.
(Fly-glass, right & left hand, puzzle, rings which have to be separated.) |
Is a mathematical training good for understanding
the philosophy
|
We are talking gibberish.
But so are others, only we do it more openly.
|
The economist …
has found a cure for unemployment.
|
We avoid all violence (jigsaw puzzle).
|
We shall never do popular science.
I.e. we mustn't give any arguments
which are not absolutely 2 conclusive.
|
Relation of mathematics to its application.
|
Learning to calculate the weight of a
cube.
|
Physical & mathematical truth.
|
We have been talking about the relation of mathematics to its application.
What we really want to get at is the relation of the role which an experiential
proposition plays to the 3 bound up with our sentences, an imagery which quietens our || any doubt as to whether what we say are
only mere words.
It has been said that a sentence has not only a meaning but also a soul: & we mustn't let ourselves be mislead by the appearance of such a soul. One could imagine a language without such souls; in fact A language in which we would have to decode every sentence. |
It has been said that the difficulty of logical investigations consists in this that the thoughts we had
to think in them were too simple.
But its real difficulty is that the thoughts are so trivial that it is difficult to
take them seriously.
4 |
T.
says it is certainly false to say that Smith drew the
construction of the heptagon.
|
Now what is the thing he didn't
draw?
Well, the construction of the pentagon. –
But what's this look like?
‘But the sentence simply says that there isn't such a thing & that therefore he can't have drawn it.’ Is it then analogous to: Smith can't have |
Process & end in mathematics.
|
We don't find out properties of things in mathematics, but lay down
characteristics 5
of concepts.
|
Always suspect a sentence to have no use at
all.
|
‘The number of solutions of an equation … is greater than the number of solutions of
….’
6 |
‘The least a proof
can prove is the provability of its result’.
|
‘The least a proof can prove is something about the geometry of this system of proving.’
7 |
Proof a construction of a proposition.
|
Not necessarily from primitive propositions.
|
Not every such construction a proof.
|
“On the 13th
Feb.
Prof. H. proved this proposition, on the 14th he rubbed out the proof.”
|
A man creates a piece of mathematics by writing
down something – does he destroy it by rubbing it out?
|
When you look for a proof you don't try to find, or to produce, a certain object, the
written proof e.g.; but you try to find or
(what here says the same) to produce a technique of producing certain objects.
|
We discover a new way of finding.
We extend our idea of finding. 8 |
“But surely you don't invent
but discover that, say, the prime numbers occur in pairs!”
|
Proof of an impossibility.
It gives us a new idea of constructing. It clarifies our idea of constructing. An idea getting clearer. Impossibility of making coincide right & left hand. How does the ‘proof’ convince us of the |
The proof underlined a most important sense of
‘constructing the trisection || n-section’.
What should we really answer if someone tells us that Smith has constructed the trisection?
9 |
We seem to recognise mathematical truth by
experience before we can prove them.
|
Believing a mathematical proposition
|
“He finds that 86 × 91 = 7826”.
In what cases are we to say this? Only when he's right or also when he is wrong? |
What about saying: he has arrived at a rule,
– which he now |
What if 12 × 12 = 144 were false after
all?
|
He has found something
& accepted it.
|
“We find by experiment that a × b = b × a
& then show that it must be so.”
|
“He has shown, it must always be so.”
|
1:7 = 0˙14285714285
10 |
Gedankenexperiment.
|
In what way have I shown that this period will always be repeated?
|
But what about believing that it will always come
out like this, before it's been proved?
Now what do you believe: that it'll always
come out, or that it'll be correct if it does?
|
You believe that it will be correct.
But can't you even go further & assume or postulate that it will
be correct?
11 |
We use the word “meaning” a lot in …
phrases. a) in learning a language b) unusual expressions c) in cases of doubt d) in philosophy. |
Where do words get their meanings from?
|
Why do we so easily forget the meaning?
|
Meaning & the occasions of use.
|
When we make a calculation of the experiment, we make a picture of it & keep the picture, lay it down among our modes of expression. And this gives it a certain dignity. |
T. said that the best he
could get is the result that he had obtained such & such a
number.
Does God know more about 12 it?
|
But couldn't we say that the mathematical proposition says that all normal people agree in getting this
result?
But what on earth is interesting about this? |
Do we prove in 1 : 3 = 0.3 … that something will always happen or that something will always be right? |
We accept a proof || proposition on the ground of a proof.
|
What role does the proof play in our accepting the
proposition?
Has the proof simply this psychological effect? |
Is it the function of a proof to convince us?
Has the proof done its duty when it has convinced us?
|
‘A proof gives the 13
proposition its sense.’
|
You can use the proof 1:3 = 3 … to prophesy what people will get. But this is not its mathematical use. |
You can't define the number two in mathematics
“Two is the number of roots of this equation.” – || ”, “Two is the number of chairs in this
room”.
14
14 |
Right & left hand.
|
Last time's
problem.
Is mathematics a game? Argument against it. “The Theory of the game is not arbitrary although the game is.” The theory of the game as pure mathematics & physics. Can we say that the fact that you can't mate with … rests on certain physical & certain mathematical facts? Can we say that the possibility of proving so & so in such & such a Suppose we said: it never happens that A mates B with …. This should be the more modest proposition. But what does it mean? But couldn't we say: it never happens that we say A … B …? Certainly & this is a very important fact 16 but based on what?
So now is the theory of the game arbitrary?
“I believe that Goldbach's theorem will come true”. How is this belief in the end verified? By a proof. By any proof? No. By this particular proof? No. By something we shall recognize as a proof. But isn't the fact that such & such a proof is possible based on a mathematical 17 |
How does a person know that I feel something?
|
Why isn't a particular thought called a ‘feeling’.
|
‘Ich sehe das Prisma jetzt so, jetzt so’: hat das allein einen
Sinn?
Hat es für mich
Hat es für mich zwar allein keinen Sinn, aber wohl || wohl aber zusammen mit der || meiner Erfahrung? Wie beziehen sich die Worte auf die Erfahrung? Wie weiß ich, z.B., daß die Wörter || beiden “so” nicht das gleiche bedeuten (etwa was beiden Erscheinungen gemein ist). Wäre dieser Ausdruck nicht einer der öffentlichen Sprache, so hätte er auch keinen privaten Sinn. 18 |
Sehe ich denn jede Figur als
etwas?
Das falsche Bild: als ob das grob Sichtbare ein
Körper wäre von dem eine Reihe || Anzahl vom Schleiern niedergelassen wären,
die ihm |
Indem ich nun zähle & quadriere || die Rechnung ausführe, kann ich etwa vermuten || zu einer Vermutung darüber kommen was der Andere ¤ an diesem Tage || wohl prophezeien wird.
|
Sagt es nun wirklich dasselbe: hier seien
25 × 25 Äpfel
&: hier seien 625 Äpfel?
& || Und wenn so: widerspricht 19 dies dem Satz daß ich durch
die Multiplikation etwas Neues gelernt habe?
Wie, wenn man sagt: ‘Wenn die beiden dasselbe heißen so muß, wer das eine weiß, das andre wissen’? Wie wäre es denn, wenn ich etwa den Satz “Es regnet” nach einer bestimmten Regel in eine Ziffer umschriebe || transkribierte. Wüßte nun der, der weiß daß es regnet nicht auch daß … Und doch weiß er, ehe er den Schlüssel |
Es ließe sich ja denken, daß Multiplikationen etc. nur
dazu verwendet würden, Ziffern kürzer anzuschreiben etwa statt
‘100000’ ‘104’ oder sie so anzuschreiben, daß nicht jeder
sie verstehen kann || versteht, so daß die Rechenregel einfach || nur eine Regel zur Entzifferung wäre.
|
Hat mich nun die 20
Transkription || Entzifferung || das Transkribieren nichts Neues gelehrt?
Gewiß; aber doch nichts Neues über die Sache, von
der der Satz handelt.
|
Anderseits: Hätte ich gewußt,
daß || : wußte ich, daß die Äpfel unter 600 Menschen || Leute zu verteilen sind, so hätte mich (nun) die Rechnung gelehrt daß mehr
Äpfel als Leute da sind, etc..
Oder: ich wußte daß ich 625 Äpfel habe – dann zeigt mir die
Transkription von ‘625’ in ‘25 × 25’
daß ich sie so & so |
Wie, wenn ich sagte: “25 Äpfel
+ 25
Äpfel sind 50 Äpfel – & das soll noch nichts über die Äpfel
aussagen.”
|
Die Pointe || Der Sinn liegt in dem: ‘das soll’.
|
Ich könnte auch sagen, statt:
‘ich beschreibe damit keinen psychologischen
Vorgang’ – || , ‘ich will damit keinen psychologischen Vorgang beschreiben’, oder: ‘das soll keinen psychologischen Vorgang beschreiben’.
|
Der Witz ist, daß der Verlauf der Rechnung
einmal einen psychologischen
Verlauf beschreiben
kann, aber es nicht notwendigerweise tut.
|
Auch wenn die Menschen verschieden, & immer anders, auf die Regel & Abrichtung reagierten gäbe es die Sätze über den psychologischen Verlauf – aber keine Rechnung.
22 |
Ein Sprachspiel: Einer
lehrt Einen rechnen, etwa || z.B. zu || richtet Einen ab zu rechnen, z.B.
multiplizieren.
Auf die Frage wieviel ist … × …, hat er die Multiplikation zu machen, aber es gilt auch,
wenn er das Resultat sagt.
Wenn er weiß daß 25 × 25 = 625 ist, weiß er: daß er
auf die Frage hin etwas anschreiben wird, an dessen
Ende ‘625’ steht?
Weiß er, daß er so reagieren wird?
Man kann nur ‘wissen, daß 25 × 25 625 ist’ innerhalb eines von der Gesellschaft |
Der Gedanke von der mathematischen Realität.
Er ist nur ein Spiegel des Gebrauchs der Rechnung || Rechnungen & entgegengesetzt der Idee der mathem. Satz sage etwas über psychologische Abläufe.
|
Der math. Satz kann in gewisser & in gewisser Beziehung
kann er nicht durch die psychologische Reaktion überprüft 23 werden.
|
Er hat nicht die Beschreibung der psychologischen Reaktion zur
Aufgabe.
Er hat eine andere Funktion – ja er könnte diese
oder eine ähnliche Funktion etwa auch dann erfüllen wenn die Gemeinsamkeit der psychologischen Reaktionen nicht erfüllt wäre.
Ja auch, soweit die Gemeinsamkeit erfüllt sein muß, hat der Satz doch nicht die Aufgabe sie zu behaupten || beschreiben – |
Ich merke, daß es mich wundert, daß
Chesterton ungefähr im Norden von Cambridge ist.
Nicht aber, weil der Stand der Sonne mir je etwas andres
24
zu zeigen geschienen hat, || schien, sondern bloß weil es mir natürlicher wäre Norden
dort || in der Richtung anzunehmen, in der ich aus meinem Fenster auf die Gegend wie auf eine Karte, schaue.
Dies zeigt, in welcher Weise solche Vorurteile entstehen.
(Drury)
|
‘Der math. Beweis muß übersichtlich sein.’
D.h.: er ist ein Bild das man nicht nur
muß wiederrechnen, sondern auch |
Der Beweis
muß übersichtlich sein heiß: die
Art & Weise wie der || ein Beweis sein Resultat erzeugt muß ganz in einem Bild festzuhalten sein.
|
Derselbe Beweis ist der, der die Kopie des andern ist, || –
auch wenn er nicht von ihm kopiert wurde || auch wenn er nicht durch Kopieren entstanden ist.
25 |
Das ist natürlich auch damit gesagt,
daß man von einer ‘Beweisfigur’ redet.
|
Oder soll ich sagen: der Beweis sei nicht
die Figur, sondern nur ein Vorgang (etwa ein geistiger || seelischer, der der Figur entlangläuft).
Wie aber, wenn ich sagte der Beweis wäre zwar nicht eine Figur sondern eine Folge von Figuren. Warum aber dann nicht auch eine Figur? |
Am irreführendsten sind
die psychologischen Begriffe: davon daß
ich mit jedem Schritte des Beweises übereinstimmen muß, daß mich der Beweis überzeugt, daß ich den mathematischen Satz
glaube, u.a..
|
Welchen Grund hat man, zu sagen: er sehe das Zeichen F
in verschiedener Weise?
Außer dem daß er sagt, er 26 sehe auf verschiedene Weise || Verschiedenes, spricht irgend etwas in seinem übrigen Benehmen dafür?
|
Wenn ich mir Schmerzen
vorstelle stelle ich mir manchmal etwas braunes oder braun-violettes vor.
|
Aber will ich denn leugnen,
daß man sich Schmerzen vorstellen
kann?
Weit davon!
Nur die Beschreibung kann sich an nichts hängen als 27 |
‘Sich ein Gefühl oder
Körperhaltungen vorstellen ist doch etwas andres!’ –
Was heißt das?
Wohl, daß jene beiden Ausdrücke verschiedenen Sinn
haben, verschieden gebraucht werden. –
Und da ist kein Zweifel.
|
Ich sagte der mathematische Beweis wird als Demonstration einer internen Eigenschaft aufgefaßt.
Führe einen Beweis durch Falten eines, sagen wir,
quadratischen
|
Ich bin beim math. Satz geneigt von einem Sinne im Fregeschen Sinne zu reden.
|
Was behauptet der der behauptet 25 × 25 sei
625?
Nun eben, daß 25 × 25 = 625.
Aber ich will weiter fragen.
Der Satz sagt, 28 daß etwas mal etwas etwas
ergibt.
Nun das ist für gewöhnlich keine mathematische Satzform & ein
Beispiel ist || ihres Sinnes ist etwa daß 3 mal diese Fläche,
jene Fläche
ergibt.
Der mathematische Satz aber dieser Form hat noch immer denselben Sinn & doch wieder
nicht. D.h. || ; d.h., er 29 |
Man könnte fast sagen: “Der math. Satz
5 × 5 =
25 sagt gleichsam daß etwas mal etwas etwas ist || ergibt.”
|
Und etwa auch: “‘p ⊃ q ∙ p : ⊃ : q’ sagt gleichsam, daß dies & dies dies impliziert”. || daß, wenn dies & dies der Fall, dies der Fall ist.” |
Nimm den Goldbachschen Satz –
worauf beruht daß wir verstehen was er sagt?
Doch auf der Verwendung seiner |
Wenn er nun bewiesen wäre –
wüßten wir dann besser als jetzt was die Worte “der Beweis des Goldbachschen
Satzes” bedeuten?
Oder wüßten wir es doch anders?
Haben diese 30 Worte dann eine
andere Bedeutung?
Oder ist es so wie wenn ich sage ‘ich möchte
einen Apfel haben’ wo ‘Apfel’ dasselbe bedeutet ehe ich ihn habe
& nachher.
|
Ich wollte doch sagen “der Beweis des Satzes … ” wenn es ihn gibt ist keine R.sche Beschreibung. |
Der Unterschied zwischen dem bewiesenen & unbewiesenen |
Der Beweis reiht ihn in das System ein.
Er ist freilich durch seine Wortform auch eingereiht.
Und in dieser doppelten Einreihung liegt das Problem. |
Von der ersten || zweiten
31
Einreihung
könnte man sagen sie gibt ihm den Sinn, von der ersten sie gibt
ihm die Wahrheit (den Wahrheitswert).
Aber ich will gerade das nicht
sagen.
Oder: gerade das scheint mir der irreführendste
Aspekt.
|
Denn, ungefähr gesprochen, den
‘Sinn’ sollte ihm ja doch die Art & Weise geben, wie er als wahr zu
befinden wäre. –
Einen Beweis |
Nun warum nicht sagen: Wenn
Du wissen willst was für einen Sinn der Goldbachsche Satz hat sieh hin was die Mathematiker die ihn beweisen
wollen beweisen wollen – & wenn Du das sehen willst sieh hin was sie tatsächlich tun, 32 welche Anläufe sie machen, ihn zu beweisen.
|
Denn mit diesen Anläufen
reihen sie ja den Satzausdruck auch ein.
Wenn sie sozusagen seinen Ort auch nicht genau bestimmen,
so bestimmen sie ihn doch in || bis zum gewissem Grade.
|
Der Goldbachsche
Satz wenn er nicht bewiesen ist, ist
– könnte man sagen – der Ausdruck eines
Problems.
|
Behauptet der math. Satz eine interne || das Bestehen einer internen
Relation? –
Er behauptet was er behauptet.
Er behauptet, was ein Beweis beweist, & sein Beweis demonstriert eine interne Relation, & doch wäre es Unrecht zu sagen, der mathematische Satz behaupte eine interne Relation.
Könnte man nicht eher sagen: er behauptet eine bestimmte Anwendbarkeit?
33 |
Er behauptet, sozusagen,
seinen Sinn, so wie ihn seine Worte uns
vorschlagen || (suggest). || Worte vorzuschlagen scheinen || uns vorzulegen || darzubieten scheinen || uns darbieten || uns zu geben scheinen.
|
Was der Beweis
beweist ist daß der Satz wahr ist: daß wir hier
ein Instrument zu diesem Gebrauche haben.
|
Der Beweis tut
den || diesen Satz als ein zu diesem Zweck geeignetes || passendes Instrument
dar.
|
‘Der mathematische Satz sagt doch
etwas’ – & was er sagt wird sein Gebrauch zeigen, der Gebrauch der
Zeichen die ihn bilden.
Aber der Gebrauch nur in || innerhalb der Mathematik, oder der Gebrauch auch außerhalb?!
|
‘Den math. Satz als wahr anerkennen’ ist das eine seelische Tätigkeit?
Und was nützt sie?
Wenn wir nun einen Satz als wahr anerkannt 34 haben – was
weiter?
Warum sollte mich diese seelische Tätigkeit || dieser seelische Akt interessieren?
(Er interessiert mich nicht || Warum mehr, als Freude oder
Überraschung || Unwille beim Anblick des Satzes?)
|
Die Frage ist, || :
wozu ist der Satz, den ich als wahr anerkenne, ein
Instrument? || wozu ist der so || solchermaßen anerkannte ein Instrument?
|
In jenem Sprachspiel – warum soll |
Daß er jetzt so gehandelt hat?
daß er
wahrscheinlich immer so handeln wird? daß Andre so handeln?
Und hat er auch genügend intensiv an die Regel
gedacht?
35
Hat er also wirklich nach ihr gehandelt?
Daß das mal dem das ergibt? Aber ist das eine Erklärung des Sinnes von “ergeben”? Oder muß ich mir die Regel als einen unpersönlichen Mechanismus vorstellen, der nur auf mich, || , & durch mich, wirkt? Denn das letztere ist es doch, was Mathematiker sagen möchten. Die Regel sei ein abstrakter Mechanismus. |
Nun, wer das sagt, sagt vor allem, daß die
math. Sätze nicht von einem
seelischen oder körperlichen Mechanismus handeln sollen.
(Denn wer es sagt, sagt nicht einfach eine Dummheit, sondern
irgend eine Wahrheit || etwas Wahres in ein Mißverständnis gehüllt.)
|
Wer so abgerichtet ist weiß was er auf die
Frage hin zu tun & zu antworten 36 hat wenn er keine Strafe kriegen
will.
Er lernt von der Rechnung, was er zu antworten hat. |
Wer nun die Rechnung ausführt muß er denken, || muß seine Auffassung sein, daß er dadurch eine Information
erhält??
Warum nicht einfach, || : daß er etwas tut, etwas erzeugt? |
Man könnte sagen: Die
Rechnung sagt mir, daß die Andern |
‘Wär's denkbar, daß
diese Operationen etwas anderes ergäben?’ –
Da möchte man sagen: Nein.
Denn:1 dann wären es eben nicht diese Operationen. Nun wie muß man sie auffassen, daß das Bild davon, wie sie 37 das ergeben eben das ist, was wir
beim Rechnen erzeugen?
|
Die Rechnung kann einen Satz erzeugen ohne (ihn, oder) was er sagt, uns mitzuteilen.
|
Kann ich mir vorstellen wie
man im Schach mit zwei Bauern allein mattsetzt?
|
Wenn der Mathematiker
grammatische Straßen baut, so ändert er eben durch |
Wenn mir ein vertrauenswürdiger Mensch sagt, daß seine Erfahrung wenn er einmal so einmal so sieht, ganz so || von der Art ist wie wenn er einmal eines einmal etwas anderes
sähe || das Sehen zweier verschiedener Gegenstände – kann ich das als ausreichende || gültige
Evidenz
dafür betrachten || betrachten dafür, daß es sich hier um ein verschiedenes Sehen, oder
Gesehenes, handelt?
Und warum 38 nicht?
Wenn er sonst intelligent ist & die Sprache versteht sollte er es || er's doch wissen!
|
“Ich bin geneigt zu sagen … ” || “Geneigt sein zu
sagen”, “Vouloir dire”.
|
◇◇◇
Kann “ich bin geneigt zu sagen ‘ich habe Schmerzen’” den Satz || die Aussage “ich habe Schmerzen” ersetzen? – Warum nicht? Das ist kein Einwand: daß die Sätze von Verschiedenem |
Bald hätte ich gesagt: “dieser
Ersatz ließe sich auch in || nach der alten Auffassung rechtfertigen || verstehen”!
Aber was ist die ‘alte Auffassung’?
Sie ist, glaube ich, durch ein Bild charakterisiert:
Das des Sehens, des
Anschauens eines Gegenstands der nicht unter den physikalischen Gegenständen, sondern wo anders seinen Raum || Platz hat.
(Denn warum soll ich hier die Anwesenheit 39 dieses Gegenstands vor meinem
geistigen Auge nicht eben als den Reiz denken, der die Geneigtheit, das
& das zu sagen, ausmacht.)
|
Ich kann das Zeugnis jener
glaubwürdigen Menschen nicht annehmen, weil es kein Zeugnis ist.
|
Das Beispiel von dem ‘Wissen wie man zu
antworten hat’ zeigt nur, daß man bei der Beschreibung der Mathematik nicht |
Der Gegenstand vor dem geistigen (innern)
Sinnesorgan ist die Erklärung, Schein-Erklärung, der Äußerung.
Das Scheingesims, das das Auge fordert,
obschon es nichts trägt.
|
Wir fordern oft eine Erklärung, weil wir die
Form der Erklärung fordern; aber auch wo sie nichts
trägt.
40 |
Aber bist Du nicht doch nur ein verkappter Behaviourist?
Denn Du sagst, daß nichts hinter der Äußerung der
Empfindung steht.
Sagst Du nicht doch im Grunde, daß alles Fiktion ist, außer dem
Benehmen?
Fiktion?
So glaube ich also daß wir nicht wirklich Schmerzen
fühlen, sondern nur Gesichter schneiden?!
Aber Fiktion ist der Gegenstand hinter der Äußerung. |
Meine Kritik besteht darin, daß ich die
ganze gewöhnliche, primitive Auffassung des Funktionierens || der Funktion der Wörter im Sprachspiel || im Gebrauch der Sprache als zu eng bezeichne || hinstelle.
|
Ist die hinweisende Definition die zeigt 41 daß diese Farbe
“grün” heißt, keine Regel sondern ein Satz über den Gebrauch
der Wörter, das Arbeiten unseres Gedächtnisses usw.?
|
Wer einen math. Satz weiß soll noch nichts wissen. –
Ist Verwirrung in unserm Rechnen, rechnet jeder anders
& einmal so einmal so, so liegt noch kein Rechnen vor; stimmen wir überein, nun dann haben wir nur Wer einen math. Satz weiß, soll noch nichts wissen. D.h. der math. Beweis soll nur das Gerüst liefern für eine Beschreibung. |
Wie uns die Euklidische Geometrie nichts über Längenmessung sagt, so
die Newtonsche Mechanik nichts
über Zeitmessung.
Könnte man die Mechanik als reine Mathematik auffassen?
… ist etwas wie: das Amt … 42 |
Wie kannst Du sagen || behaupten, daß F(625)
& F(25 × 25) dasselbe sagen?
Erst durch unsre || unsere Arithmetik werden sie eins.
Erst als Glieder des Systems der Arithmetik werden sie eins. |
Ich kann einmal die eine, einmal die andere Art
der Beschreibungerhalten || , durch Zählen (oder dergl.) || z.B., erhalten. || , unmittelbar erhalten.
D.h. ich kann jede der beiden Beschreibungen || Formen (der Beschreibungen) auf jede Art erhalten; |
Man könnte nun fragen: Wenn der Satz F(625) einmal so, einmal anders verifiziert wurde, sagte er
da beidemale dasselbe?
Oder: Was geschieht wenn eine Methode des Verifizierens 625 die andre nicht 25 × 25 ergibt? Ist da F(625) wahr & F(25 × 25) falsch? Nein! – Das eine anzweifeln heißt, das andre anzweifeln: Das ist die Grammatik die 43
unsre || die Arithmetik diesen Zeichen gibt.
|
Wenn die beiden Arten des Abzählens || Zählens als Grundlage || Begründung einer Zahlangabe
gebraucht werden, dann ist nur eine Zahlangabe wenn auch in verschiedenen Formen
da || vorgesehen.
Dagegen kann man ohne Widerspruch sagen: “mir kommt bei der
einen Art des Zählens immer 25 × 25
( || [also 625) || ] heraus bei der andern nicht 625 ( || [also nicht 25 × 25) || ].”
(Die Arithmetik hat |
Daß die Arithmetik die beiden Ausdrücke
einander gleichsetzt ist, könnte man sagen, ein grammatischer
Trick.
Sie sperrt damit eine bestimmte Art der Beschreibung ab & leitet sie in andre || andere Kanäle. (Und daß dies mit der Tatsache der Erfahrung zusammenhängt braucht nicht erst gesagt zu werden.) 44 |
Es ist eine interessante Tatsache, daß die Regeln der meisten || wichtigsten Spiele sehr konservativ behandelt werden.
Daß, z.B., normalerweise niemand dran denkt, die Regeln des Schach zu variieren, etwa dem
König eine andere Bewegungsfreiheit zu geben; daß man das nicht
interessant oder lustig findet, sondern eher ungehörig & sogar dumm.
|
Du mußt Neues sagen
& doch lauter Altes.
|
Du mußt allerdings nur Altes sagen, || – aber doch etwas Neues!
|
Die verschiedenen ‘Auffassungen’
müssen verschiedenen Anwendungen entsprechen.
|
Auch der Dichter muß sich immer
fragen: ‘ist denn das || denn, was ich schreibe, wirklich wahr?’ – was nicht heißen muß:
“geschieht es so in Wirklichkeit?”. 45
|
Denn es ist allerdings ein Unterschied dazwischen: überrascht zu sein, daß ich davon befriedigt bin – überrascht sein, daß die Ziffern
sich so zu benehmen scheinen – (&)
überrascht sein || darüber überrascht zu sein || überrascht zu sein darüber, daß das herauskommt.
Aber in jedem Fall sehe ich die Rechnung || das Ergebnis in anderm Zusammenhang. |
Ich rede von dem Gefühl
des ‘Herauskommens’ “Man sähe es den Zahlen nicht an –”, – könnte ich auch sagen. |
Wie wäre es wenn wir sagten, statt:
“6 × 6 ergibt
36” – ‘Das Ergeben von || der Zahl 36 durch 6 × 6’?
Den Satz ersetzen durch einen substantivischen 46 Ausdruck.
|
Du mußt freilich Altes herbeitragen: aber || . Aber zu einem Bau. –
|
Warum willst Du die Math. immer unter dem Aspekt des Findens & nicht des Tuns betrachten.
|
Es muß hier von großem Einfluß sein daß || Von großem Einflusse muß es sein,
daß wir die Wörter “richtig” & “wahr”
& “falsch” & die Form der Aussage im
Rechnen gebrauchen.
|
Warum soll ich sagen, daß das
Wissen, daß alle Menschen, die es gelernt haben, so rechnen, kein mathematisches Wissen ist?
Weil es auf einen Zusammenhang deutet, der von dem des mathem. Wissens verschieden ist. |
Was ist gemeinsam zwischen einem math. Satz & einem math.
Beweis?
Nicht daß der Satz nur
math. bewiesen sein || werden muß, 47 nicht daß der
Beweis einen math. Satz beweisen muß.
Was hat der unbewiesene math. Satz Mathematisches, was hat er gemein mit einem Beweis, der nicht-mathematische Sätze mit einander verbindet? || was gemein mit dem Beweis eines nicht-math. Satzes? || & was hat er gemein mit einem math. Beweis? |
Soll ich antworten: Die
Schlußregeln des math. Beweises sind |
Der Beweis muß eine interne Relation etablieren || zeigen nicht eine externe || äußere.
Denn wir könnten uns auch einen Vorgang der
Transformation eines Satzes auf experimentellem Wege || experimentelle Art denken & eine die zum Voraussagen || Vorhersagen des vom transformierten 48 Satz Behaupteten benützt würde.
Man könnte sich z.B.
ganz gut denken, daß
Zeichen || Buchstaben durch den Einfluß || die Einflüsse eines magnetischen Feldes so verschoben würden || Dazulegen anderer Zeichen sich solchermaßen || so verschöben, daß sie eine wahre Vorhersage formen || bilden auf der Grundlage der in der || ihren Anfangslage ausgedrückten Bedingungen.
Ja, wenn Du willst, kannst Du den rechnenden |
Denn denken wir uns Wesen die wir als Sklaven
benützen & die – abgerichtet, oder unabgerichtet –
|
Wenn wir den Beweis || das Beweisen
so betrachten, ändert sich sein Aspekt ganz. || den Beweis so betrachten, ändert er || das Beweisen so betrachten, ändert
es
ganz || völlig seinen Aspekt. || den Beweis || das Beweisen
so betrachten, ändert sich völlig, was wir erblicken || , was wir erblicken || uns erscheint völlig || ganz, was wir erblicken || uns erscheint.
Die Zwischenstufen werden ein 49 uninteressantes Nebenprodukt.
(Wie ein Geräusch des || im Automaten, bevor er uns das Gewünschte zuwirft.)
|
Ja, wenn nun die Bedingungen erfüllt
wären & der Eine erzeugte dies, der Andre jenes Resultat & wenn nun jeder sein Resultat
anwendete & die Anwendung || Verwendung es rechtfertigte – wie ganz leicht möglich wäre! –
|
Wir sagen, || : der Beweis sei ein Bild.
Aber |
Wohl wahr; aber wenn es von dem Einen die Approbation erhielte, von dem Andern nicht, & sie sich nicht verständigen könnten– gäbe es ein Rechnen? || läge dann ein Rechnen
vor? || hätten wir dann ein Rechnen?
Also ist es nicht die Approbation an sich die es zur Rechnung macht, sondern ⟶⟶
die Gleichheit || ihre Übereinstimmung & Dauer der Approbation.
50 |
[Repetition in der Musik.
Vergleiche “ha,
ha!” und “ha!”
Der stumpfsinnige Vergleich der Repetition mit dem Wiederholen eines Satzes, damit Einer sich ihn besser einprägt. A B C A B C repetiert A B C – aber auch, wenn man es so auffaßt [A (B C) A] (B C)? Das Wort “Repetition” oder “Wiederholung” kann ganz irreführend sein. Nicht einmal, wenn Einer ruft “herbei, herbei!” wird man geneigt sein zu sagen er Die Wiederholung sieht man oft als etwas an was sich schließlich auch auslassen ließe! Aber warum? Nur weil es die gleiche || selbe Notenfolge ist & nicht eine andre?! Als ob das hieße: das ist ja ohnehin schon gesagt worden!! Das heißt übrigens nicht daß die Wiederholung überall gleich essentiell ist; noch weniger: daß sie überall dasselbe bedeutet – das heißt hier die gleichen Beziehungen 51 hat.
(Die Wiederholung des zweiten Teils des “Freude”-Themas || im “Freude”-Thema
z.B. erscheint etwas ganz anderes || neues zu sagen || als eine ganz neue & andere || andre musikalische Figur || fast || beinahe
unerwartete
herrliche Fortsetzung des Gedankens.) || als eine beinahe
unglaublich tiefe Fortsetzung des Gedankens.)]
|
Denn es ließe sich ja auch ein Spiel 52 |
Die Übereinstimmung der Approbation ist die
Vorbedingung des Sprachspiels, sie wird nicht in ihm konstatiert.
|
Das rein mathematische
Sprachspiel.
Nehmen wir an daß die Antwort auf die gleiche Frage immer & von Allen die gleiche ist, oder daß es sich doch nur ausnahmsweise anders verhält & die Ausnahmen etwa aus der Gesellschaft ausgestoßen werden? Oder auch: Weiß nur im ersten Fall der Mensch eine arithmetische Tatsache, oder auch im zweiten? || Weiß man || Wissen || Lernen die Leute nur im ersten Fall arithmetische Sätze? || , oder auch im zweiten? Und wenn diese Sätze vom Benehmen der Menschen handeln, warum dann nicht auch im zweiten Fall. 53 |
Man könnte sich aber doch auch die Rechnungen
als Experimente betrachtet || behandelt denken.
Denke Dir eine Kaste die nicht rechnen kann Sklaven halten die, sagen wir, rechnen,
manchmal richtig manchmal falsch aber von niemand kontrolliert
werden.
Ihre Herren stellen ihnen Aufgaben & sie geben Antworten, vorher schreiben
sie etwas auf aber ihre Herren Man könnte sich auch denken daß die Herrn ihre || jene Sklaven bestrafen wenn der praktische Erfolg || das praktische Ergebnis unbefriedigend ist und sie gut behandeln wenn es befriedigen ist || der Erfolg glücklich ist. |
Der Gebrauch von Wörtern, 54
wie ‘pas’ in ‘ne … pas’, oder
‘point’ || oder ‘point’ in ‘ne
… pas’, ‘ne …
point’, etc.
Das Wort könnte hinweisend definiert werden, & dann davon der Gebrauch
als Teil der Negation gemacht.
Was heißt es: Niemand denkt, wenn er ‘ne … pas’ sagt an einen Schritt? Nun man sagt: ‘Ich wußte nicht einmal daß das dasselbe Wort ist!’ Aber was heißt das? Was war uns nicht aufgefallen? (Dies Beispiel ist höchst wichtig für das Verständnis dessen was man Bedeutung |
Eine Sprache in der die Schriftzeichen von der Art
der Bilder eines Rebus sind, so daß das Wort “kann”
etwa ' geschrieben
wird oder “wollen” als
das Bild eines Wollknäuels mit einem
angehängten Zeichen ¤
u.s.f..
Auch werden diese || wird die Bedeutung dieser Wörter so beigebracht, daß ihre Beziehung zu einer || zur Kanne, der Wolle, etc., immer lebendig bleibt.
Kennten wir 55
nur diese Sprache, dann könnten sehr eigentümliche philosophische Probleme uns beschäftigen.
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‒ ‒ ‒ Und natürlich hat diese Grammatik
eine Pointe.
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Was heißt es sich über einen || den Unterschied im Resultat einer Rechnung verständigen?
Es heißt doch zu einem gleichförmigen Rechnen zu gelangen.
Und kann man das nicht || sich nicht verständigen, so kann
|
Wie ist es nun: || – soll ich sagen: Der gleiche Sinn könne
nur 56
einen Beweis haben?
Oder: wenn ein Beweis gefunden wird, ändere sich der
Sinn?
Freilich würden Leute dagegen sagen || sich dagegen wehren || verwahren & sagen: ‘So kann man also nie den Beweis eines Satzes finden, denn hat man ihn gefunden so, ist es || er nicht mehr der Beweis jenes || dieses Satzes.’ Aber das sagt noch gar nichts. – |
Es kommt eben darauf an, was den Sinn des Satzes festlegt.
Wovon wir sagen |
Wenn wir von verschiedenen
Bilderreihen sagen sie demonstrierten daß 25 × 25 = 625, so ist leicht genug zu erkennen, was den Ort dieses Satzes ausmacht || fixiert, den beide Wege erreichen.
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Unterschätze nie deine 57 Nebenbuhler! – ihren
Verstand, ihr Talent, ihr Können!
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Die || Was für eine seltsame Attitude der Wissenschaften: “Das wissen wir noch nicht; aber es ist zu || läßt sich wissen, & es ist nur eine Frage der Zeit, so werden wir || wird man es wissen.”
Als ob es sich von selbst verstünde. –
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Der neue Beweis reiht den Satz
in eine neue Ordnung ein; dabei findet oft ein Übersetzen ¤ einer Art
von Operation in eine gänzlich andere Aber mit welchem Rechte überzeugt uns der dem Gegenstand unsrer Gedanken scheinbar ganz fernliegende || heterogene Gedankengang? Nun, unsre Operationen[﹖] liegen dem || jenem Gegenstand auch nicht ferner, als etwa z.B. das Dividieren mit Dezimalzahlen 58 dem Verteilen von
Nüssen.
Besonders wenn man sich vorstellt || denkt, (was man leicht kann), daß diese Operation zuerst zu ganz andrem Zweck
als zum Teilen & dergl. erfunden worden
wäre.
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Wenn Du fragst || Fragst Du: mit welchem Recht, so ist die Antwort: Vielleicht: mit
gar keinem.
Mit welchem Recht sagst Du daß die Fortsetzung |
Nimm an, man rechnete mit
Zahlen & verwendete manchmal || hie & da die Division durch (n ‒ n)
& erhielte auf diese Weise hie & da andere als die normalen Resultate des
Multiplizierens, etc.
Das störe aber niemand.
59
Vergleich es damit: Man legt Listen von Personen
an, aber nicht, wie wir es tun, alphabetisch, & so kommt es
daß der gleiche Name in mancher Liste öfters als einmal vorkommt.
Aber nun kann man annehmen: daß das niemandem auffällt; oder, daß die Leute es sehen, es ihnen aber nichts macht. || sehen, aber kein Wesens daraus machen. Wie man sich denken könnte daß ¤ Leute eines Stammes öfters Münzen auf die |
Nun aber ändert sich die Zeit & die
Menschen fangen an (erst || zuerst nur Wenige) Exaktheit zu fordern.
Mit Recht? || , mit Unrecht? –
Wären die früheren Listen || Verzeichnisse
nicht eigentlich Listen || Verzeichnisse? –
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Sagen wir, wir erhielten manche unsrer Rechenresultate 60 durch einen versteckten Widerspruch.
Nun – sind sie dadurch illegitim? –
Aber wenn wir nun solche Resultate durchaus nicht anerkennen
wollen & doch fürchten es könnten uns welche entschlüpfen || durchschlüpfen.–
Nun dann haben wir also eine Idee die einem neuen Kalkül als Vorbild dienen soll.
Wie man die Idee zu einem Spiel haben kann.
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Die Russellsche
Kontradiktion || Der Russellsche Widerspruch ist nicht, weil er ein |
Aber Du kannst doch einen Widerspruch nicht gelten lassen! –
Warum nicht?
Wir gebrauchen ihn ja manchmal in unsrer Rede, freilich selten – aber man könnte sich eine Technik || Sprachtechnik denken in der er ein ständiges 61
Implement ist.
Man könnte z.B. von einem Objekt in Bewegung sagen es existiere in diesem Raumteil || an diesem Ort & existiere nicht an ihm. || es existiere & existiere nicht an diesem Ort¤; Veränderung z.B. könnte || könnte z.B. || könnte durch den Widerspruch ausgedrückt werden. |
Nimm ein Thema wie das Haydnsche
(Choräle S.A.) nimm den Teil einer der Brahmsschen
Variationen, die dem ersten Teil des Themas 62 |
Mit diesem Weg sind wir einverstanden.
Und doch ist es hier klar, daß es leicht verschiedene Wege geben kann mit
deren jedem wir uns einverstanden erklären können, deren jeden wir konsequent nennen
können.
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Ich könnte mir denken,
daß
Einer sagte || meinte die Namen ‘Fortnum’ &
‘Mason’ paßten zusammen.
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‘Wir machen lauter Also ist das Regelverzeichnis, wie es ist, nichts nutz, denn der Widerspruch wirft das ganze Spiel um.’ Warum läßt Du es ihn || ihn es umwerfen? Aber ich will, daß man nach den Regeln soll mechanisch weiter schließen können, ohne je zu widersprechenden Resultaten zu gelangen. Nun, welche Art der Voraussicht willst Du? 63 |
∣ Die philosophische Betrachtung der
Mathematik hat eine andere Pointe als die mathematische von math. Sätzen & Beweisen. ∣
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Eine die dein || Dein gegenwärtiger Kalkül nicht
zuläßt?
Nun, dadurch ist er nicht ein schlechtes Stück Mathematik, oder nicht im
vollsten Sinne Mathematik.
Der Sinn des Wortes “mechanisch”
verführt
Dich.
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Wenn Du zu einem praktischen Nicht schlechte Mathematik wird hier verbessert 64 sondern ein neues Stück
Mathematik geschaffen || erfunden.
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Nimm
eine Irrationalzahl an & ich wollte verhindern daß in ihren
Entwicklung || an ich wollte eine Irrationalzahl so angeben daß in ihrer
Entwicklung nicht drei 7 aufeinander folgen könnten.
Ich könnte sagen: nimm π, & wenn 3 ‘7’ auf
einander folgen ersetz ersetz die
dritte durch eine ‘0’.
Nun sagt man mir: das
genügt nicht, denn der, welcher die Stellen berechnet kann in unserm
|
‘Solange die Widerspruchsfreiheit nicht bewiesen ist, kann ich nie
ganz sicher sein, daß mir jemand der gedankenlos aber gemäß den Regeln rechnet nicht irgend etwas Falsches Waren die ersten Regeln des Kalküls nicht gut? Nun wir gaben sie nur weil sie gut waren. – Wenn sich später ein Widerspruch |
Ich kann meinem Kalkül
eine bestimmte Art von Voraussicht geben wollen.
Sie macht ihn nicht zu einem eigentlichern Stück Mathematik nur zu einem andern || aber
vielleicht || etwa zu gewissem Zweck brauchbareren.
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Die Idee des Mechanisierens der Math.
als Ideal.
66
Die Mode des Axiomatischen Systems.
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Ein reflexives Fürwort für
Sätze.
Gebrauchen wir “ich” – so daß
‘ich bin 5 cm lang’ dadurch zu
prüfen ist, daß man diese Sätze mißt.
Eine solche Form wird meines Wissens nie gebraucht; könnte aber unter
Umständen
eine praktische wichtige Satzform
sein.
(Ähnlich: ‘Ich klinge schön’,
‘Ich klinge häßlich’)
Aber auch: “Ich bestehe aus 5
Wörtern.”
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‘Ich bin aus diesen || den Sätzen … nicht beweisbar.’
Besser: ‘Ich bin aus diesen Sätzen nicht erhältlich’. |
Aber nehmen wir an die ‘Axiome’
& ‘Schlußweisen’ seien nicht nur
irgendwelche Konstruktionsweisen sondern sie
überzeugten uns auch durchaus von dem Konstruierten! || sondern auch durchaus überzeugende!
Nun dann heißt das, daß es Fälle gibt, 67 in denen die Konstruktionen
aus diesen Bausteinen nicht überzeugt.
Und tatsächlich ist ein logischer Satz p ⊃ p || sind die logischen Axiome gar nicht überzeugend, wenn wir für p Strukturen einsetzen die niemand ursprünglich vorhergesehen hat, als man nämlich ihrer Wahrheit im Anfang, die unbedingte Anerkennung gab. |
Wie aber, wenn man |
‘Wir wollen nicht nur einen ziemlich
zuverlässigen, sondern einen absolut zuverlässigen Kalkül.
Die Mathematik muß absolut sein.’
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Nehmen wir || Nimm an, ich hätte die Regeln für || für's
Spiel ‘Fuchs & Jäger’ aufgestellt; || – stellte 68 mir das Spiel unterhaltlich || unterhaltend & hübsch vor& || ;
– später || . Später aber finde ich, daß die Jäger immer gewinnen können, wenn man einmal
weiß, wie.
Ich bin nun – sagen wir – etwa mit meinem Spiel unzufrieden. Die von mir gegebenen Regeln haben ein Resultat gezeitigt, das ich nicht vorausgesehen hatte & (das) mir das Spiel verdirbt. |
Die Leute haben bis jetzt nur verhältnismäßig selten vom Kürzen durch (n-n) Gebrauch |
‘Er glaubt, er rechnet – möchte man sagen – er rechnet
tatsächlich 69
nicht.’
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Wenn die Rechnung für mich ihren Witz
verloren hat, so bald ich weiß, wie ich nun alles Beliebige errechnen kann – hat sie keinen gehabt, solang ich das nicht wußte?
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Ich mag freilich jetzt alle diese Rechnungen
(als || für) nichtig, erklären. Ich || – ich führe sie eben jetzt nicht mehr aus – aber waren es darum keine Rechnungen?
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Ich habe (einmal), ohne es zu
wissen, über einen Widerspruch || versteckten Widerspruch geschlossen.
Ist mein Resultat nun falsch, oder doch unrecht erworben?
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Wenn der Widerspruch wirklich so gut versteckt ist, daß ihn niemand merkt, || wir ihn nicht merkt, warum sollen wir nicht das, was wir jetzt tun das eigentliche Rechnen
nennen?
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Wir sagen, der Widerspruch würde den Kalkül vernichten.
Aber wenn er nun sozusagen 70 in winzigen Dosen aufträte gleichsam blitzweise, nicht als ein ständiges Rechenmittel, würde er da das Spiel auch vernichten?
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Wenn Geschenke am Tisch stehen sollen, warum
bringst Du sie nicht?
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‘Keep a stiff upper lip!’ – aber dazu muß vielleicht
mancher seinen ganzen Körper verkrampfen; und das kann Schlimmeres
zeitigen als eine weiche Oberlippe.
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Man kann auf diesem Gebiete
allerlei fragen, was zwar zur Sache gehört, aber nicht im Zentrum || in der Mitte der Sache liegt || nicht durch die Mitte führt.
Eine bestimmte Reihe von Fragen führt durch die Mitte (der Sache || des Gegenstands) ins Freie. Die andern werden nebenbei beantwortet. Den Weg durch die Mitte zu finden ist ungeheuer schwer. |
Er geht über neue
Beispiele & Vergleiche.
Die abgebrauchten zeigen || bilden ihn uns nicht. || zeigen || bilden diesen Weg nicht.
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1) See facsimile; arrow pointing right, probably indicating that the indentation shall be increased.
To cite this element you can use the following URL:
BOXVIEW: http://wittgensteinsource.org/BTE/Ms-161_n