|
|
The difficulty is to get into the new dimension in
which these problems can be solved.
(Fly glas, right & left hand, puzzle, rings which have to be separated.) |
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Is a mathematical training good for understanding
the philos.
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We are talking [G|g]ibberish.
But so are others, only we do it more openly.
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The oeconomist …
has found a cure for unemployment.
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We avoid all violence (Zigsaw puzzle).
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We shall never do popular science.
I.e. we mustn't give any arguments
which are not absolutely 2 conclusive.
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Relation of math. to its application.
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Learning to calculate the weight of a
cube.
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Physical & mathematical truth.
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We have been talking about the relation of Math. to its application.
What we really want to get at is the relation of the role which an experiential
prop plays to the 3 bound up with our sentences, ˇan immagery which quietens
It has been said that a sentence has not only a meaning but also a soul: & we mustn't let ourselves be mislead by the appearance of such a soul. [W|O]ne could immagine a language without such souls; in fact A language in which we would have to decode every sentence. |
|
It has been said that the difficulty of log. investigations consists in this that the thoughts we had
to think in them were too simple.
But its real difficulty is that the thoughts are so trivial that it is difficult to
take them seriously.
4 |
|
T.
says it is certainly false to say that Smith drew the
construction of the heptagon.
|
|
Now what is the thing he didn't
draw?
Well, the constr. of the pentg. –
But what's this look like?
‘But the sentence simply says that there isn't such a thing & that therefore he can't have drawn it.’ Is it then analogous to: Sm. can't have |
|
Process & end in math..
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We don't find out properties of things in math., but lay down
characte- 5 ristics
of concepts.
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Always suspect a sentence to have no use at
all.
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‘The number of solutions of an equation … is greater than the number of solutions of
….’
6 |
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‘The least a proof
can prove is the provability of what it's result’
|
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‘The least a proof can prove is something about the geometry of this proving system of proving.’
7 |
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Proof a construction of a prop.
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|
Not necessarily from p.p.'s.
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Not every such construction a proof.
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“On the 13th
Feb.
Prof H. proved this proposition, on the 14th he rubbed out the proof.”
|
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A man creates a piece of math. by writing
down something – does he destroy it by rubbing it out?
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When you look for a proof you don't look for you
don't try to find, or to produce, a certain object, the
written proof e.g.; but you try to find or
(what here sais the same) to produce a technique of producing certain objects.
|
|
We discover a new way of finding.
We extend our idea of finding. 8 |
|
“But surely you don't invent
but discover that, say, the prime numbers occur in pairs!”
|
|
Proof of an impossibility.
It gives us a new idea of constructing. It clarifies our idea of constructing. An idea getting clearer. Impossibility of making coincide right & left hand. How does the ‘proof’ convince us of the |
|
The proof underlined a most important sense of
‘constructing the trin-section’.
Who
What should we really answer if someone tells us that Smith has constructed the trisection?
9 |
|
We seem to recognise mathematical truth by
experience before we can prove them.
|
|
Believing a math. prop.
|
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“He finds that 86 × 91 = 7826
In what cases are we to say this? Only when he's right or also when he is wrong? |
|
What about saying: he has arrived at a rule,
– which he now |
|
What if 12 × 12 = 144 were false after
all?
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He has found something
& accepted it.
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“We find by experiment that a × b = b × a
& then show that it must be so.”
|
|
“He has shown, it must always be so.”
|
|
1:[3|7] = 0˙14285714285
10 |
|
Gedankenexperiment.
|
|
In what way have I shown that this period will always be repeated?
|
|
But what about believing that it will always come
out like this, before it's been proved?
Now what do you believe: that it'll allways
come out, or that it'll be correct if it does?
|
|
You believe that it will be correct.
But can't you even go further & assume or postulate that it will
be correct
11 |
|
We use the word meaning a lot in …
phrases. a) in learning a language b) unusual expressions c) in cases of doubt d) in Philosophy |
|
Where do words get their meanings from
|
|
Why do we so easily forget the meaning?
|
|
Meaning & the occasions of use.
|
| When we clare make a calculation of the experiment, we make a picture of it & keep the picture, lay it down among our modes of expression. And this gives it a certain dignity. |
|
T. said that the best he
could get is the result that he had obtained such & such a
number.
Does God know more about 12 it?
|
|
But couldn't we say that the math prop sais that all normal people agree in getting this
result?
But what on earth is interesting about this? |
|
Do we prove in 1 : 3 = 0.3 … that something will always happen or that something will always be right? |
|
We accept a pro[of|p.] on the ground of a proof
|
|
What role does the proof play in our accepting the
prop?
In Has the proof simply this psychological effect? |
|
Is it the funktion of a proof to concince us?
Has the proof done its duty when it has convinced us?
|
|
‘A proof gives the 13
prop its sense.’
|
|
You can use the proof 1:3 = 3 … to prophesy what people will get. But this is not its mathematical use. |
|
You can't define the number two in math.
“Two is the number of roots of this equation.”[,| –] “Two is the number of chairs in this
room”.
14
14 |
|
|
Right & left hand.
|
|
|
|
Last times
problem.
Is Math. a game? Argument against it. “The Theory of the game is not arbitrary although the game is.” The theory of the game as pure math. & physics. Can we say that the fact that you can't mate with … rests on certain physical & certain math.l facts? Can we say that the possibility of proving so & so in such & such a Suppose we said: it never happens that A mates B with …. This should be the more modest way prop. But what does it mean? But couldn't we say: it never happens that we say A … B …? Certainly & this is a very important fact 16 but based on what?
So now is the theory of the game arbitrary?
“I believe that G's theorem will come true”. How is this belief in the end verified? By a proof. By any proof? No. By this particular proof? No. By a something we shall recognize as a proof. But isn't the fact that such & such a proof is possible based on a mathema- 17 |
|
How does a person know that I feel something?
|
|
Why isn't a particular thought called a ‘feeling’.
|
|
|
‘Ich sehe das Prisma jetzt so, jetzt so’: hat das allein einen
Sinn?
Hat es für mich
Hat es für mich zwar allein keinen Sinn,
Wie beziehen sich die Worte auf die Erfahrung? Wie weiß ich, z.B., daß die
18 |
|
|
Sehe ich denn jede Figur als
etwas?
Das falsche Bild: als ob das grob sichtbare ein
Körper wäre von dem eine
|
|
Indem ich nun zähle &
|
|
Sagt es nun wirklich dasselbe: hier seien
25 × 25 Äpfel
&: hier seien 625 Äpfel?
[&|U]nd wenn so: wiederspricht 19 dies dem Satz daß ich durch
die Multiplikation etwas [n|N]eues gelernt habe?
Wie, wenn man sagt: ‘Wenn die beiden dasselbe heißen so muß, wer das Eine weiß, das andre wissen’? Wie wäre es denn, wenn ich etwa den Satz “Es regnet” nach einer bestimmten Regel in eine Ziffer
|
|
Es ließe sich ja denken, daß Multiplikationen etc nur
dazu verwendet würden, Ziffern kürzer anzuschreiben etwa statt
‘100000’ ‘104’ oder sie so anzuschreiben, daß nicht jeder
sie versteh[en|t]⌊,⌋
kann so daß die Rechenregel
|
|
Hat mich nun die 20
[E|T]ranskription
Entzifferung
das Transkribieren nichts neues gelehrt?
Gewiß; aber doch nichts ˇneues über die Sache, von
der der Satz handelt.
|
|
Anderseits
|
|
|
Wie, wenn ich sagte: “25 Äpfel
+ 25
Äpfel sind 50 Äpfel – & das soll noch nichts über die Äpfel
aussagen.”
|
|
|
|
Ich könnte auch sagen, statt:
‘ich beschreibe damit keinen psycholog.
Vorgang’ –
, ‘ich willc damit keinen psych. Vorg. beschreiben’, oder: ‘das soll keinen psych. V. beschreiben’.
|
|
Der Witz ist, daß der Verlauf der Rechnung
einmal einen psycholog.
Verlauf beschreiben
kann, aber es nicht notwendigerweise tut.
|
|
Auch wenn die Menschen verschieden, & immer anders, auf die Regel & Abrichtung reagierten gäbe es die Sätze über den psycholog. Verlauf – aber keine Rechnung.
22 |
|
Ein Sprachspiel: Einer
lehrt richtet
[e|E]inem ab zu rechnen, etwa
z.B. zu
Multiplizieren.
Auf die Frage wieviel ist … × …, hat er die Mult. zu machen, aber es gilt auch,
wenn er das Resultat sagt.
Wenn er weiß daß 25 × 25 = 625 ist, weiß er: daß er wenn
auf die Frage hin etwas anschreiben wird, an dessen
Ende ‘625’ steht?
Weiß er, daß er so reagieren wird?
Man kann nur ‘wissen, daß 25 × 25 625’ ist’ innerhalb eines von der Gesellsch-
|
|
Der Gedanke von der mathematischen Realität.
Er ist nur ein Spiegel des Gebrauchs der
|
|
Der math. Satz kann in gewisser & in gewisser Beziehung
kann er nicht durch die psych. Reaktion über- 23 prüft werden.
|
|
Er hat nicht die Beschreibg. der psych. Reaktion zur
Aufgabe.
Er hat eine andere Funktion – ja er könnte diese
oder eine ähnliche Funktion ˇetwa auch dann erfüllen wenn die Gemeinsamkeit der psych Reaktionen nicht erfüllt wäre.
Ja auch, soweit [Ja|die] Gemeinsamkeit erfüllt sein muß, hat der Satz doch nicht die Aufgabe sie zu
|
|
Ich merke, daß es mich wundert, daß
Chesterton ungefähr im Norden von Cambridge ist.
Nicht aber, weil der Stand der Sonne mir je etwas andres
24
zu zeigen
|
|
‘Der math. Beweis muß übersichtlich sein.’
D.h.: er ist ein Bild das man nicht nur
muß wiederrechnen, sondern auch |
|
Der B.
muß ü. sein heiß: die
Art & Weise wie
|
|
Derselbe Beweis ist der, der die Kopie des andern ist,
–
auch wenn er nicht von ihm kopiert wurde
// auch wenn er nicht durch Kopieren entstanden ist // .
25 |
|
Das ist natürlich auch damit gesagt,
daß man von einer ‘Beweisfigur’ redet.
|
|
Oder soll ich sagen: der Beweis sei nicht
die Figur, sondern nur ein Vorgang (etwa ein [G|g]eistiger
seelischer, der der Figur entlangläuft.
Wie aber, wenn ich sagte der Beweis wäre zwar nicht eine Figur sondern eine Folge von Figuren. Warum aber dann nicht auch eine Figur? |
|
Am irreführendsten sind
die psychologischen Begriffe: davon daß
ich mit jedem Schritte des Beweises übereinstimmen muß, daß mich der Beweis überzeugt, daß ich den mathematischen Satz
glaube, u.a..
|
|
Welchen Grund hat man, zu sagen: er sehe das Zeichen F
auf in verschiedener [w|W]eise?
Außer dem daß er sagt, er 26 sehe
|
|
Wenn ich mir Schmerzen
vorstelle stelle ich mir manchmal etwas braunes oder braun-violettes vor.
|
|
Aber will ich denn leugnen,
daß man sich Schmerzen vorstellen
kann?
Weit davon!
Nur die Beschreibung kann sich an nichts hängen als 27 |
|
‘Sich ein Gefühl oder
Körperhaltungen vorstellen ist doch etwas andres!’ –
Was heißt das?
Wohl, daß jene beiden Ausdrücke verschiedenen Sinn
haben, verschieden gebraucht werden. –
Und da ist kein Zweifel.
|
|
Ich sagte der m. B. wird als Dem einer int. Eig augefaßt.
Führe einen Bew durch Falten eines, sagen wir,
quadrat
|
|
Ich bin beim math. Satz geneigt von einem Sinne im Fregeschen Sinne zu reden.
|
|
Was behauptet der der behauptet 25 × 25 sei
625?
Nun eben, daß 25 × 25 = 625.
Aber ich will weiter fragen.
Der sagt sagt, 28 daß etwas mal etwas etwas
ergibt.
Nun das ist für gewöhnlich keine mathematische Satzform & ein
Beispiel ist
ihres Sinnes ist etwa daß 3 mal diese Fläche,
jene Fläche
ergibt.
Als
Der mathematische Satz aber dieser Form hat noch immer denselben Sinn & doch wieder
nicht[.|;]
[D|d].h., er
29 |
|
Man könnte fast sagen: “Der math. Satz ˇ
5 × 5 =
25 sagt gleichsam daß etwas mal etwas etwas
|
|
Und etwa auch: “‘p ⊃ q ∙ p : ⊃ : q’ sagt gleichsam, daß dies & dies dies impliziert”. // daß, wenn dies & dies der Fall, dies der Fall ist.” // |
|
Nimm den Goldb. Satz –
worauf beruht daß wir verstehen was er sagt?
Doch auf der Verwendung seiner |
|
Wenn er nun bewiesen wäre –
wüßten wir dann besser als jetzt was “die Worte “der Beweis des G.
S.” bedeuten?
Oder wüßten wir es doch anders?
Haben diese 30 Worte dann eine
andere Bedeutung?
Oder ist es so wie wenn ich sage ‘ich möchte
einen Apfel haben’ wo ‘Apfel’ dasselbe bedeutet ehe ich ihn habe
& nachher.
|
| Ich wollte doch [S|s]agen “der Beweis des Satzes … ” wenn es ihn gibt ist keine Rsche Beschreibg. |
|
Der Unterschied zwischen dem bewiesenen & unbewiesenen |
|
Der Beweis reiht ihn in das System ein.
Er ist freilich durch seine Wortform auch eingereiht.
Und in dieser doppelten Einreihung liegt das Problem. |
|
Von der
31
Einreihg
könnte man sagen sie gibt ihm den Sinn, von der ersten sie gibt
ihm die Wahrheit (den Wahrheitswert).
Aber ich gerade das nicht
sagen.
Oder: gerade das scheint mir der irreführendste
Aspect.
|
|
Denn, ungefähr gesprochen, den
‘Sinn’ sollte ihm ja doch die Art & Weise geben, wie er als wahr zu
befinden wäre. –
Einen Beweis |
|
Nun warum nicht sagen: Wenn
Du wissen willst was für einen Sinn der Gsche Satz hat sieh hin was die Mathem. die ihn beweisen
wollen beweisen wollen – & wenn Du das sehen willst sieh hin was sie tatsächlich tun, 32 welche Anläufe sie machen, ihn zu beweisen.
|
|
Denn mit diesen Anläufen
reihen sie ja den Satzausdruck auch ein.
Wenn sie sozusagen seinen Ort auch nicht genau bestimmen,
so bestimmen sie ihn doch
|
|
Der G.
S. wenn er nicht bewiesen ist, ist
– könnte man sagen – der Ausdruck eines
Problems.
|
|
Behauptet der math. Satz eine internen
das Bestehen einer
Rel.? –
Er behauptet was er behauptet.
Er behauptet, was ein Beweis beweist, & sein Beweis demonstriert eine int. Rel., & doch wäre es [u|U]nrecht zu sagen, der m.
S. behaupte eine int.
Rel..
Könnte man nicht eher sagen: er behauptet eine bestimmte Anwendbarkeit?
33 |
|
Er behauptet, sozusagen,
seinen Sinn, so wie ihn seine Worte uns
|
|
Was der Bew.
bew ist daß der Satz wahr ist: daß wir hier
ein Instrument zu diesem Gebrauche haben.
|
|
Der Bew. tut
|
|
‘Der mathematische Satz sagt doch
etwas’ – & was er sagt ze wird sein Gebrauch zeigen, der Gebrauch der
Zeichen die ihn bilden.
Aber der Gebrauch nur
|
|
‘Den math. Satz als wahr anerkennen’ ist das eine seelische Tätigkeit?
Und was nützt sie?
Wenn wir ˇnun einen Satz als wahr anerkannt 34 haben – was
weiter?
Warum sollte mich dies[e|er] seelische Tätigkeit
Akt interessieren?
(Er interessiert mich nicht
Warum mehr, als Freude oder
|
|
Die Frage ist,
:
wozu ist der Satz, den ich als wahr anerkenne, ein
Instrument?
// wozu ist der ˇso
// solchermaßen // anerkan⌊n⌋te ein Instrument? //
|
|
In jenem Sprachspiel – warum soll |
|
Daß er jetzt so gehandelt hat? D
daß er
wahrscheinlich immer so handeln wird? daß Andre so handeln?
Und hat er auch genügend intensiv an die Regel
gedacht?
35
Hat er also wirklich nach ihr gehandelt?
Daß das mal dem das ergiebt? Aber ist das eine Erklärung des Sinnes von “ergeben”? Oder muß ich mir die Regel als einen unpersönlichen Mechanismus vorstellen, der nur auf mich, ⌊,⌋ & durch mich, wirkt? Denn das letztere ist es doch, was Mathematiker sagen möchten. Die Regel sei ein abstrakter Mechanismus. |
|
Nun, wer das sagt, sagt vor allem, daß die
math Sätze nicht von einem
seelischen oder körperlichen [m|M]echanismus handeln sollen.
(Denn wer es sagt, sagt nicht einfach eine Dummheit, sondern
irgend
|
|
Wer so abgerichtet ist weiß was er auf die
Frage hin zu tun & zu antworten 36 hat wenn er keine Strafe kriegen
will.
Die Rechnu Er lernt von der Rechnung, was er zu antworten hat. |
|
Wer nun die Rechnung ausführt
Warum nicht einfach
|
|
Man könnte sagen: Die
Rechnung sagt mir, daß die Andern
|
|
‘Wär's denkbar, daß
diese Operationen etwas anderes ergäben?’ –
Da möchte man sagen: Nein.
Denn:1 dann wären es eben nicht diese Operationen. Nun wie muß man sie auffassen, daß das Bildˇ davon, wie sie 37 das ergeben eben das ist, was wir
beim Rechnen erzeugen?
|
|
Die Rechnung kann einen Satz erzeugen ohne (ihn, oder) was er sagt, uns mitzuteilen.
|
|
Kann ich mir vorstellen wie
man im Schach mit zwei Bauern allein mattcsetzt?
|
|
Wenn der Mathematiker
grammatische Straßen baut, so ändert er eben durch |
|
Wenn mir ein vertrauenswürdiger Mensch sagt, daß seine Erfahrung wenn er ˇ einmal so einmal so sieht, ganz
38 nicht?
Wenn er sonst intelligent ist & die Sprache versteht sollte
|
|
|
|
◇◇◇
Kann “ich bin geneigt zu sagen ‘ich habe Schmerzen’” d[en|ie] Satz Aussage “ich habe Schmerzen” ersetzen? – Warum nicht? Das ist kein Einwand: daß die Sätze von verschiedenem |
|
Bald hätte ich gesagt: “dieser
Ersatz ließe sich auch
(Denn warum soll ich hier die Anwesenheit 39 dieses Gegenstands vor meinem
geistigen Auge nicht eben als den Reiz denken, der die Geneigtheit, das
& das zu sagen, ausmacht.)
|
|
Ich kann das Zeugnis jener
glaubwürdigen Menschen nicht annehmen, weil es kein Zeugnis ist.
|
|
Das Beispiel von dem ‘Wissen wie man zu
antworten hat’ zeigt nur, daß man bei der Beschreibung der Mathematik nicht |
|
Der Gegenstand vor dem geistigen (innern)
Sinnesorgan ist die Erklärung, Schein-Erklärung, der Äußerung.
Das Scheingesims, das, das Auge fordert,
obschon es nichts tragt.
|
|
Wir fordern oft eine Erklärung, weil wir die
Form der Erklärung fordern; aber auch wo sie nichts
trägt.
40 |
|
Aber bist Du nicht doch nur ein ver[p|k]appter Behaviourist?
Denn Du sagst, daß nichts hinter der Äußerung de[s|r]
Gef Empfindung steht.
Sagst Du nicht doch im Grunde, daß alles Fiction ist, außer dem
Benehmen?
Fiktion?
So glaube ich also daß wir nicht wirklich Schmerzen
[F|f]ühlen, sondern nur Gesichter schneiden?!
Aber Fiktion ist der Gegenstand hinter der Auße- |
|
Meine Kritik besteht darin, daß ich die
ganze gewöhnliche, primitive Auffassung de[s|r]c
Funktionierens
Funktion der Wörter ˇim Sprachspiel
// im Gebr.
d. Sp. // als zu eng
|
|
Ist die hinweisende Definition die zeigt 41 daß diese Farbe
“grün” heißt, keine Regel sondern ein Satz über den Gebrauch
der Wörter, das Arbeiten unsers Gedächtnisses usw.?
|
|
Wer einen math. Satz weiß soll noch nichts wissen. –
Ist Verwirrung in unserm Rechnen, rechnet jeder anders
& einmal so einmal so, so liegt noch kein Rechnen vor; stimmen wir überein, nun dann haben wir nur Wer einen math. Satz weiß, soll noch nichts wissen. D.h. der math. Beweis soll nur das Gerüst liefern für eine Beschreibung. |
|
Wie uns die Eucl.
Geom. nichts über Längenmessung sagt, so
die Newtonsche Mechanik nichts
über Zeitmessung.
Könnte man die Mechanik als reine Mathematik auffassen?
⌊⌊… ist etwas wie: das Amt …⌋⌋ 42 |
|
Wie kannst Du
Erst als Glieder des Systems der Arithmetik werden sie eins. |
|
Ich kann einmal die eine, einmal die andere Art
der Beschreibungerhalten
, durch Zählen
|
|
Man könnte nun fragen: Wenn der Satz F(625) einmal so, einmal anders verifiziert wurde, sagte er
da beidemale dasselbe?
Oder: Was geschieht wenn eine Methode des Ver. 625 die andre nicht 25 × 25 ergibt? Ist da F(625) wahr & F(25 × 25) falsch? Nein! – Das eine anzweifeln heißt, das andre anzweifeln: Das ist die Grammatik die 43
|
|
Wenn die beiden Arten des [a|A]bzählens
Zählens als
(Die Arithmetik hat |
|
Daß die Arithmetik die beiden Ausdrücke
einander gleichsetzt ist, könnte man sagen, ein grammatischer
Trick.
Sie sperrt damit eine bestimmte Art der Beschreibung ab & leitet sie in and⌊e⌋re Kanäcle. (Und daß dies mit der Tatsache der Erfahrung zusammenhängt braucht nicht ˇerst gesagt zu werden.) 44 |
|
Es ist eine interessante Tatsache, daß die Regeln uns der
|
|
|
Du mußt Neues sagen
& doch lauter Altes.
|
|
Du mußt allerdings nur Altes sagen,
– aber doch etwas Neues!
|
|
Die verschiedenen ‘Auffassungen’
müssen verschiedenen Anwendungen entsprechen.
|
|
Auch der Dichter muß sich immer
fragen: ‘ist
45 lichkeit?”.
|
|
Denn es ist allerdings ein Unterschied dazwischen: überrascht zu sein, daß ich davon befriedigt bin – überrascht sein, daß die Ziffern
sich so zu benehmen scheinen – (&)
ˇdarüber überrascht ˇzu
seinˇ darüber, daß das herauskommt.
Aber in jedem Fall sehe ich
|
|
Ich rede von dem Gefühl
des ‘Herauskommens’
“Man sähe es den Zahlen nicht an –”, – könnte ich auch sagen. |
|
Wie wäre es wenn wir sagten, statt:
“6 × 6 ergiebt
36” – ‘Das Ergeben
46 Ausdruck.
|
|
Du mußt freilich Altes herbeitragen[:|.]
[a|A]ber zu einem Bau. –
|
|
Warum willst Du die Math. immer unter dem Aspekt des Findens & nicht des Tuns betrachten.
|
|
|
|
Warum soll ich sagen, daß das
Wissen, daß alle Menschen, die es gelernt haben, so rechnen, kein mathematisches Wissen ist?
Weil es auf einen Zusammenhang deutet, der von dem des mathem. Wissens verschieden ist. |
|
Was ist gemeinsam zwischen einem math. Satz & einem math.
Bew.?
Nicht daß der Satz nur
ˇmath. bewiesen
47 nicht daß der
Beweis einen math. Satz beweisen muß.
Was hat der unbew. math. Satz [m|M]athematisches, was hat er mit gemein mit einem Beweis, der nicht-mathematische Satze mit einander verbindet? // was gemein mit dem Beweis eines nicht-math. Satzes? // // & was hat er gemein mit einem math. Beweis? // |
|
Soll ich antworten: Die
Schlußregeln des math. Beweises sind
|
|
Der Beweis muß eine interne Relation
48 Satz [b|B]ehaupteten benützt würde.
Man könnte sich z.B.
ˇganz gut denken, daß Eiserne
|
|
Denn denken wir uns Wesen die wir als Sklaven
benützen & die – abgerichtet, oder unabgerichtet –
|
|
Wenn wir den Beweis das Beweisen
so betrachten, ändert sich sein Aspekt ganz. er es ganz seinen Aspekt.
// ändert er es völlig
seinen Aspekt //
// ändert sich völlig, was wir
erblicken. //
// ändert sichˇ ganz, was wir
erblicken uns erscheint völlig //
Die Zwischenstufen werden ein 49 uninteressantes Nebenprodukt.
(Wie ein Geräusch
|
|
Ja, wenn nun die Bedingungen erfüllt
wären & der Eine erzeugte diesc, der [a|A]ndre jenesc Resultat & wenn nun jeder sein Resultat
anwendete & die AnVerwendung es rechtfertigte – wie ganz leicht möglich wäre! –
|
|
Wir sagen
|
|
Wohl wahr; aber wenn es von dem Einen die Approbation erhielte, von dem Andern nicht, & sie sich nicht verständigen könnten– gäbe es ein Rechnen?
// läge dann ein Rechnen
vor? //
// hätten wir dann ein Rechnen? //
Also ist es nicht die Approbation an sich die es zur Rechnung macht, sondern ¤ 50 |
|
[Repetition in der Musik.
Vergleiche “ha,
ha!” und “ha!”
Der stumpfsinnige Vergleich der Repetition mit dem Wiederholen eines Satzes, damit Einer sich ihn besser einprägt. A B C A B C repetiert A B C – aber auch, wenn man es so auffasst [A (B C) A] (B C)? Das Wort Repeti[c|t]ion oder Wiederholung kann ganz irreführend sein. Nicht einmal, wenn [e|E]iner ruft “[H|h]erbei, [H|h]erbei!” wird man geneigt sein zu sagen er Die Wiederholung sieht man oft als etwas an was sich schließlich auch auslassen ließe! Aber warum? Nur weil es die
51 hat.
(Die Wiederholung des zweiten Teils des
im “Freude”-Themas
z.B. erscheint etwas ganz
|
|
Denn es ließe sich ja auch ein Spiel
52 |
|
Die Übereinst. der Approb. ist die
Vorbedingung des Sprachspiels, sie wird nicht in ihm konstatiert.
|
|
Das ˇrein mathematische
Sprachspiel in
Wir können uns aber auch ein Nehmen wir an daß die Antwort auf die gleiche Frage immer & von Allen die gleiche ist, oder daß es sich doch nur ausnahmsweise anders verhält & die Ausnahmen etwa aus der Gesellschaft ausgestoßen werden? Oder Oder auch: Weiß nur im ersten Fall der Mensch eine Arithmetische Tatsache, oder auch im zweiten? // Weiß man
53 |
|
Man könnte sich aber doch auch die Rechnungen
als Experimente
Man könnte sich auch denken daß die Herrn ihre jene Sklaven bestrafen wenn der das praktische Erfolg Ergebnis nicht unbefriedigend ist und sie gut behandeln wenn es befriedigen ist der Erfolg glücklich ist. |
|
Der Gebrauch von Wör- 54 tern,
wie ‘pas’ ˇoder point in ‘ne … pas’, oder
‘ne … point’, etc.
Das Wort könnte hinweisend definiert werden, & dann davon der Gebrauch
als Teil der Negation gemacht.
Was heißt es: Niemand denkt, wenn er ‘ne … pas’ sagt an einen Schritt? Nun es man sagt: ‘Ich wußte nicht einmal daß das dasselbe Wort ist!’ Aber was heißt das? Was war uns nicht aufgefallen? (Dies Beispiel ist höchst wichtig für das Verständnis dessen was man Bedeu- |
|
Eine Sprache in der die Schriftzeichen von der Art
der Bilder eines Rebus sind, so daß das Wort “kann”
etwa ' geschrieben
wird oder “wollen” als
ˇdas Bild eines Wollknäuls mit einem
angehängten Zeichen ˇist
u.s.f..
Wäre dann dies die einzige Schrift die ◇
Auch werden
wird
ˇdie Bedeutung
diese⌊r⌋ Wörter so beigebracht, daß ihre Beziehung
55
nur diese Sprache, ˇdann könnten sehr eigentümliche philosophische Probleme uns beschäftigen.
|
|
‒ ‒ ‒ Und natürlich hat diese Grammatik
eine Pointe.
|
|
Was heißt es sich über
|
|
Ich
Wie ist es nun
56
einen Beweis haben?
Oder: wenn ein Beweis gefunden wird, ändere sich der
Sinn?
Freilich würden Leute dagegen sagen sich dagegen wehren verwahren & sagen: “‘So kann man also nie den Beweis eines Satzes finden, denn hat man ihn gefunden so, ist
|
|
Es kommt eben darauf an, was den Sinn des Satzes festlegt.
Wovon wir sagen |
|
Wenn wir von verschiedenen
Bilderreihen sagen sie demonstrierten daß 25 × 25 = 625, so ist leicht genug zu erkennen, was den Ort dieses Satzes
|
|
Unterschätze nie deine 57 Nebenbuhler! – ihren
Verstand, ihr Talent, ihr Können!
|
|
|
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Der neue Beweis reiht den Satz
in eine neue Ordnung ein; dabei findet oft ein Übersetzen in einer Art
von Operation in eine gänzlich andere
Aber mit welchem Rechte überzeugt uns dem unser Gegenstand unsrer Gedanken scheinbar ganz
Nun, unsre Operationen﹖ liegen
58 mahlzahlen dem Verteilen von
Nüssen.
Besonders wenn man sich
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Nimm an, man rechnete mit
Zahlen & verwendete
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Vergleich es damit: Man legt listen von Personen
an, aber nicht, wie wir es tun, alphabetisch, & so kommt es
daß der gleiche Name in mancher Liste öfters als einmal vorkommt.
Aber nun kann man annehmen: daß das niemandem auffällt; oder, daß die Leute es sehen, es ihnen aber nichts macht. // sehen, aber kein Wesens daraus machen. // Wie man sich denken könnte daß in Leute eine[m|s] Stamm⌊es⌋ öfters Münzen auf die
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Nun aber ändert sich die Zeit & die
Menschen fangen an (
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Sagen wir, wir erhielten manche unsrer Re- 60 chenresultate durch einen versteckten Widerspruch.
Nun – sind sie dadurch illegitim? –
Aber wenn wir nun solche Resultate ˇdurchaus nicht anerkennen
wollen & doch fürchten es könnten uns welche entdurchschlüpfen–
Nun dann haben wir also eine Idee die einem neuen Kalkül als Vorbid dienen soll.
Wie man die Idee zu einem Spiel haben kann.
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D[ie|er]
Rsche
Con
Widerspr. ist nicht, weil er ein |
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Aber Du kannst doch einen Widerspr. nicht gelten lassen! –
Warum nicht?
Wen
Wir gebrauchen ihn ja manchmal in unsrer Rede, freilich selten – aber man könnte sich eine
61 ges
Implement ist.
Mann könnte z.B. von einem Objektt in Bewegung sagen es existiere in an diesem Raumteil Ort & existiere nicht an ihm. // es existiere & existiere nicht an diesem Ort;ˇ d.h.; Veränderung z.B. könnte z.B. durch den Widerspr. ausgedrückt werden. |
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Nimm ein Thema wie das Haydnsche
(Chorale S.A.) nimm den Teil einer der Brschen
Variationen, die dem ersten Teil des Themas
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Mit diesem Weg sind wir einverstanden.
Und doch ist es hier klar, daß es leicht verschiedene Wege geben kann mit
deren jedem wir uns einverst. erklären können, deren jeden wir consequent nennen
können.
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Ich könnte mir denken,
daß
[e|E]iner
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‘Wir machen lauter
Also ist das Regelverzeichnis, wie es ist, nichts nutz, denn der Widerspruch wirft das ganze Spiel um.’ Warum laßt Du es ihn ˇes umwerfen? Aber ich will, daß man nach den Regeln soll mechanisch weiter schließen können, ohne je zu widersprechenden Resultaten zu gelangen. Nun, welche Art der Voraussicht willst Du? 63 |
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∣ Die Philosophische Betrachtung der
Mathematik hat eine andere Pointe als die mathematische von math. Sätzen & Beweisen. ∣
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Eine die dein
Dein gegenwärtiger Kalkül nicht
zuläßt?
Nun, dadurch ist er nicht ein schlechtes Stück Mathematik, oder nicht im
vollsten Sinne Mathematik.
Der Sinn des Wortes “mechanisch”
verfuhrt
Dich.
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Wenn Du zu einem prak- Nicht ˇschlechte Mathematik wird hier verbessert 64 sondern ein neues Stück
Mathematik
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Nimm
ˇan ich wollte eine Irrationalzahl
an
so angeben
& ich wollte verhindern daß in ihrer [e|E]ntwicklung nicht drei 7 aufeinander folgen könnten.
Ich könnte sagen: nimm π, & wenn 3 ‘7’e auf
einander folgen ersetz die
dritte durch eine ‘0’.
Nun sagt man mir: das ist
genügt nicht, denn der, welcher die Stellen berechnet kann in unserm
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‘Solange die Widerspruchsfreiheit nicht bewiesen ist, kann ich nie
ganz sicher sein, daß mir jemand der gedankenlos aber ˇgemaß den Regeln rechnet nicht irgend etwas Falsches heraus- 65 rechnetn wird’.’ –
Solange also jene Voraussicht nicht gewonnen ist, ist der Kalkül unzuverläßig.) –
Aber denke, ich fragte: ‘Wie
unzuverläßig ist er?’!
–
Wie
[w|W]enn wir ⌊(⌋
Waren die ersten Regeln des Kalküls nicht gut? Nun ich wir gaben sie nur weil sie gut waren. – Wenn sich später ein Wider-
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Ich kann meinem Kalkül
eine bestimmte Art von Voraussicht geben wollen.
Sie macht ihn nicht zu einem eigentlichern Stück Mathematik
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Die Idee des mechanisierens der Math
als Ideal.
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Die Mode des Axiomatischen Systems.
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Ein reflexives Fürwort für
Sätze. die
Gebrauchen wir “ich”, – so daß
‘ich bin 5 cm lang’ dadurch zu
prüfen ist, daß man diese Sätze mißt.
Eine solche Form wird meines Wissens nie gebraucht; könnte aber unter
Umstanden
von eine ˇpraktische wichtige Satzform
sein.
(Ähnlich: ‘Ich klinge schön’
‘Ich klinge häßlich)
Aber auch: “Ich bestehe aus 5
Wörtern.”
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‘Ich bin aus
ˇBesser: ‘Ich bin aus diesen Sätzen nicht erhältlich’ |
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Aber nehmen wir an die ‘Axiome’
& ‘Schlußweisen’ seien nicht nur
irgendwelche Construktionsweisen sondern sie üb sei
Überzeugten uns auch durchaus von dem Construierten!
// sondern auch durchaus überzeugende! //
Nun dann heißt das, daß es Fälle gibt, 67 in denen die Construktionen
aus diesen Bausteinen nicht überzeugt.
Und tatsächlich
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Wie aber, wenn man |
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‘Wir wollen nicht nur einen ziemlich
zuverläßigen, sondern einen absolut zuverläßigen Kalkül.
Die Mathematik muß absolut sein.’
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68 mir das Spiel unterhaltlichend & hübsch vor
Ich bin nun – sagen wir – etwa mit meinem Spiel unzufrieden. Die von mir gegebenen Regeln haben ein Resultat gezeitigt, das ich nicht vorausgesehen hatte & (das) mir das Spiel verdirbt. |
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Die Leute haben bis jetzt nur verhaltnismäßig selten vom Kürzen durch (n-n) Gebrauch
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‘Er glaubt, er rechnet – möchte man sg. – er rechnet
tatsäch- 69 lich
nicht.’
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Wenn die Rechnung für mich ihren Witz
verloren hat, so bald ich weiß, wie ich nun alles Belie[g|b]ige errechnen kann – hat sie keinen gehabt, solang ich das nicht wußte?
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Ich mag freilich jetzt alle diese Rechnungen
(
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Ich habe (einmal), ohne es zu
wissen, über einen Widerspr.
// verst.
W. // geschlossen.
Ist mein Resultat nun falsch[?|,] oder doch unrecht erworben?
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Wenn der Widerspr. wirklich so gut versteckt ist, daß
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Wir sagen, der Widerspr. würde den Kalkül vernichten.
Aber wenn er nun sozusa- 70 gen in winzigen Dosen aufträte gleichsam Blitzweise, nicht als ein ständiges Rechenmittel, würde er da das Spiel auch vernichten?
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Wenn Geschenke am Tisch stehen sollen, warum
bringst Du sie nicht?
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‘Keep a stiff uper lip!’ – aber dazu muß vielleicht
mancher seinen ganzen Körper verkrampfen; und das kann Schlimmeres
zeitigen als eine weiche Oberlippe.
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Man kann auf diesem Gebiete
allerlei fragen, was zwar zur Sache gehört, aber nicht
Eine bestimmte Reihe von Fragen führt durch die Mitte (
Den Weg durch die Mitte zu finden ist ungeheuer schwer. |
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Er geht über neue
Beispiele & Vergleiche.
Die abgebrauchten
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1) See facsimile; arrow pointing right, probably indicating that the indentation shall be increased.
To cite this element you can use the following URL:
BOXVIEW: http://wittgensteinsource.org/BTE/Ms-161_d