​

Our problems are totally different from those which a mathematician tac⌊k⌋les.

​

The difficulty is to get into the new dimension in which these problems can be solved.   (Fly glas, right & left hand, puzzle, rings which have to be separated.)

​

Is a mathematical training good for understanding the philos. of math.?

​

We are talking [G|g]ibberish. But so are others, only we do it more openly.

​

The oeconomist … has found a cure for unemployment.

​

We avoid all violence (Zigsaw puzzle).

​

We shall never do popular science. I.e. we mustn't give any arguments which are not absolutely 2 conclusive.

​

Relation of math. to its application.

​

Learning to calculate the weight of a cube.

​

Physical & mathematical truth.

​

We have been talking about the relation of Math. to its application. What we really want to get at is the relation of the role which an experiential prop plays to the role which a mathematical prop plays. For math. props, & one kind in particular, sounds like experientian props, i.e, suggests to us an entirely different use than the actual one. And we must understand that the meaning of a prop lies in the use we make of it & that this is hidden from us only by the fact that certain associations are 3 bound up with our sentences, ˇan immagery which quietens any our doubt as to whether what we say are only only mere words.   It has been said that a sentence has not only a meaning but also a soul: & we mustn't let ourselves be mislead by the appearance of such a soul. [W|O]ne could immagine a language without such souls; in fact our chemical symbolism is such a language.   A language in which we would have to decode every sentence.

​

It has been said that the difficulty of log. investigations consists in this that the thoughts we had to think in them were too simple. But its real difficulty is that the thoughts are so trivial that it is difficult to take them seriously. 4

​

T. says it is certainly false to say that Smith drew the construction of the heptagon.

​

Now what is the thing he didn't draw? Well, the constr. of the pentg. – But what's this look like?   ‘But the sentence simply says that there isn't such a thing & that therefore he can't have drawn it.’   Is it then analogous to: Sm. can't have drawn a Centaur? – No. – Or is it like saying: he can't have drawn a woohoo, because there isn't such a thing? Let's see! This is the one answer of which you can say that I want you to give.

​

Process & end in math..

​

We don't find out properties of things in math., but lay down characte- 5 ristics of concepts.

​

Always suspect a sentence to have no use at all.

​

You can't by doing this by do⌊ing⌋ this This ought really to be an experiential prop of a very elementary kind. And it could be this; it could say: Do this … & see if the other results. Now if we bring the means & the end closer & closer together it seems that in the end the prop becomes more than just physically improbable or impossible.   What do we find ˇin this case, we can't do?

​

‘The number of solutions of an equation … is greater than the number of solutions of ….’ 6

​

Wie überzeugt mich dieser Beweis? It convinces my eyes. You can't by these means trisect a straight line.

​

‘The least a proof can prove is the provability of what it's result’

​

‘The least a proof can prove is something about the geometry of this proving system of proving.’ 7

​

Proof a construction of a prop.

​

Not necessarily from p.p.'s.

​

Not every such construction a proof.

​

“On the 13th Feb. Prof H. proved this proposition, on the 14th he rubbed out the proof.”

​

A man creates a piece of math. by writing down something – does he destroy it by rubbing it out?

​

When you look for a proof you don't look for you don't try to find, or to produce, a certain object, the written proof e.g.; but you try to find or (what here sais the same) to produce a technique of producing certain objects.

​

We discover a new way of finding.   We extend our idea of finding. 8

​

“But surely you don't invent but discover that, say, the prime numbers occur in pairs!”

​

Proof of an impossibility.     It gives us a new idea of constructing.    It clarifies our idea of constructing.   An idea getting clearer.   Impossibility of making coincide right & left hand.   How does the ‘proof’ convince us of the impossibility? As an experiment would? Can't he still look for a tr construction of the trisection? Certainly but the point of it has been removed for him.

​

The proof underlined a most important sense of ‘constructing the trin-section’. Who What should we really answer if someone tells us that Smith has constructed the trisection? 9

​

We seem to recognise mathematical truth by experience before we can prove them.

​

Believing a math. prop.

​

“He finds that 86 × 91 = 7826 In what cases are we to say this? Only when he's right or also when he is wrong?

​

What about saying: he has arrived at a rule, – which he now aknowledges (as wel all do).

​

What if 12 × 12 = 144 were false after all?

​

He has found something & accepted it.

​

“We find by experiment that a × b = b × a & then show that it must be so.”

​

“He has shown, it must always be so.”

​

1:[3|7] = 0˙14285714285 10

​

Gedankenexperiment.

​

In what way have I shown that this period will always be repeated?

​

But what about believing that it will always come out like this, before it's been proved? Now what do you believe: that it'll allways come out, or that it'll be correct if it does?

​

You believe that it will be correct. But can't you even go further & assume or postulate that it will be correct 11

​

We use the word meaning a lot in … phrases. a) in learning a language b) unusual expressions c) in cases of doubt d) in Philosophy

​

Where do words get their meanings from

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Why do we so easily forget the meaning?

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Meaning & the occasions of use.

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When we clare make a calculation of the experiment, we make a picture of it & keep the picture, lay it down among our modes of expression. And this gives it a certain dignity.

​

T. said that the best he could get is the result that he had obtained such & such a number. Does God know more about 12 it?

​

But couldn't we say that the math prop sais that all normal people agree in getting this result?   But what on earth is interesting about this?

​

Do we prove in 1 : 3 = 0.3 … that something will always happen or that something will always be right?

​

We accept a pro[of|p.] on the ground of a proof

​

What role does the proof play in our accepting the prop?   In Has the proof simply this psychological effect?

​

Is it the funktion of a proof to concince us? Has the proof done its duty when it has convinced us?

​

‘A proof gives the 13 prop its sense.’

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You can use the proof 1:3 = 3 … to prophesy what people will get. But this is not its mathematical use.

​

You can't define the number two in math. “Two is the number of roots of this equation.”[,| –] “Two is the number of chairs in this room”. 14 14

​

Denke Dir Einen der das nicht annimmt.

​

Right & left hand.

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“I'm bound to admit” And what are you bound to admit? That the angles in this Triangle ad up to 180˚?

​

15

​

Last times problem.   Is Math. a game? Argument against it. “The Theory of the game is not arbitrary although the game is.” The theory of the game as pure math. & physics. Can we say that the fact that you can't mate with … rests on certain physical & certain math.l facts? Can we say that the possibility of proving so & so in such & such a way rests on a mathematical, logical, fact? Great temptations. This is, of course, restating our old problem.   Suppose we said: it never happens that A mates B with …. This should be the more modest way prop. But what does it mean? But couldn't we say: it never happens that we say A … B …? Certainly & this is a very important fact 16 but based on what? So now is the theory of the game arbitrary?   “I believe that G's theorem will come true”. How is this belief in the end verified? By a proof. By any proof? No. By this particular proof? No. By a something we shall recognize as a proof. But isn't the fact that such & such a proof is possible based on a mathema- tical fact, a math. reality? I mean the fact that there is a proof ˇat least somewhere near in the region we still recognize as that of proofs? The math. fact being that such & such a structure is possible. That it is imaginable. How do we imagine this possibility? What is a structure like which is impossible. Possible = describable 17

​

How does a person know that I feel something?

​

Why isn't a particular thought called a ‘feeling’.

​

Wie, wenn Du nur glaubst ein solches Prisma zu sehen?

​

‘Ich sehe das Prisma jetzt so, jetzt so’: hat das allein einen Sinn? Hat es für mich einen Sinn? Hat es für mich zwar allein keinen Sinn, wohl aber aber wohl zusammen mit meiner der Erfahrung?   Wie beziehen sich die Worte auf die Erfahrung?   Wie weiß ich, z.B., daß die beiden Wörter “so” nicht das gleiche bedeuten (etwa was beiden Erscheinungen gemein ist). Wäre dieser Ausdruck nicht einer der öffentlichen Sprache, so hätte er auch keinen privaten Sinn. 18

​

Man kann ein ‘F’, wenn es so geschrieben ist, noch immer als F sehen, & nicht als verkehres ˇumgelegtes F.

​

Sehe ich denn jede Figur als etwas? Das falsche Bild: als ob das grob sichtbare ein Körper wäre von dem eine Anzahl Reihe vom Schleiern niedergelassen wären, die ihm jeder einen bestimmten feinen Hauch gäben. // erteilen // verliehen. . // einen bestimmten hauchartigen Charakter Hauch über ihn breitet. //

​

Indem ich nun zähle & die Rechnung ausführe quadriere , kann ich etwa zu einer [v|V]ermut[en|ung] ˇdarüber kommen was der Andere wohl in an diesem Tage prophezeien wird.

​

Sagt es nun wirklich dasselbe: hier seien 25 × 25 Äpfel &: hier seien 625 Äpfel? [&|U]nd wenn so: wiederspricht 19 dies dem Satz daß ich durch die Multiplikation etwas [n|N]eues gelernt habe?   Wie, wenn man sagt: ‘Wenn die beiden dasselbe heißen so muß, wer das Eine weiß, das andre wissen’?   Wie wäre es denn, wenn ich etwa den Satz “Es regnet” nach einer bestimmten Regel in eine Ziffer transskribierte umschriebe . Wüßte nun der, der weiß daß es regnet nicht auch daß … Und doch weiß er, ehe er den Schlüssel zur Transkription benützt hat nicht ihr Resultat.

​

Es ließe sich ja denken, daß Multiplikationen etc nur dazu verwendet würden, Ziffern kürzer anzuschreiben etwa statt ‘100000’ ‘104’ oder sie so anzuschreiben, daß nicht jeder sie versteh[en|t]⌊,⌋ kann so daß die Rechenregel nur einfach eine Regel zur [e|E]ntzifferung wäre.

​

Hat mich nun die 20 [E|T]ranskription Entzifferung das Transkribieren nichts neues gelehrt? Gewiß; aber doch nichts ˇneues über die Sache, von der der Satz handelt.

​

Anderseits : wußte ich, daß : Hätte ich gewußt, daß die Äpfel unter 600 Leute Menschen zu verteilen sind, so hätte mich (nun) die Rechnung gelehrt daß ich mehr Äpfel als Leute da sind, etc.. Oder: ich wußte daß ich 625 Apfel habe – dann zeigt mir die Transkription ˇvon ‘625’ in ‘25 × 25’ daß ich sie so & so verteilen oder & ordnen kann.

​

Denk Dir in dem Satz: “hier sind 625 Apfel” die Anzahl Zahl durch Striche [D|d]argestellt & nun statt der Transkription ein Anordnen (der Striche) in Gruppen. 21

​

Wie, wenn ich sagte: “25 Äpfel + 25 Äpfel sind 50 Äpfel – & das soll noch nichts über die Äpfel aussagen.”

​

Der Sinn Die Pointe liegt in dem: ‘das sollc’.

​

Ich könnte auch sagen, statt: ‘ich beschreibe damit keinen psycholog. Vorgang’ – , ‘ich willc damit keinen psych. Vorg. beschreiben’, oder: ‘das soll keinen psych. V. beschreiben’.

​

Der Witz ist, daß der Verlauf der Rechnung einmal einen psycholog. Verlauf beschreiben kann, aber es nicht notwendigerweise tut.

​

Auch wenn die Menschen verschieden, & immer anders, auf die Regel & Abrichtung reagierten gäbe es die Sätze über den psycholog. Verlauf – aber keine Rechnung. 22

​

Ein Sprachspiel: Einer lehrt richtet [e|E]inem ab zu rechnen, etwa z.B. zu Multiplizieren. Auf die Frage wieviel ist … × …, hat er die Mult. zu machen, aber es gilt auch, wenn er das Resultat sagt. Wenn er weiß daß 25 × 25 = 625 ist, weiß er: daß er wenn auf die Frage hin etwas anschreiben wird, an dessen Ende ‘625’ steht? Weiß er, daß er so reagieren wird? Man kann nur ‘wissen, daß 25 × 25 625’ ist’ innerhalb eines von der Gesellsch-schaft geübten Gebrauchs Spieles .

​

Der Gedanke von der mathematischen Realität. Er ist nur ein Spiegel des Gebrauchs der Rechnungen Rechnung & entgegengesetzt der Idee der mathem. Satz sage etwas Ps über psycholog. Abläufe.

​

Der math. Satz kann in gewisser & in gewisser Beziehung kann er nicht durch die psych. Reaktion über- 23 prüft werden.

​

Er hat nicht die Beschreibg. der psych. Reaktion zur Aufgabe. Er hat eine andere Funktion – ja er könnte diese oder eine ähnliche Funktion ˇetwa auch dann erfüllen wenn die Gemeinsamkeit der psych Reaktionen nicht erfüllt wäre.   Ja auch, soweit [Ja|die] Gemeinsamkeit erfüllt sein muß, hat der Satz doch nicht die Aufgabe sie zu beschreiben behaupten – er gründet sich auf sie. Denn er würde sie behaupten, wenn sein Gegenteil das Gegenteil behauptete. Er hat eine gänzlich anderedre Funktion als der [P|p]sychologische Satz.

​

Ich merke, daß es mich wundert, daß Chesterton ungefähr im Norden von Cambridge ist. Nicht aber, weil der Stand der Sonne mir je etwas andres 24 zu zeigen schien, geschienen hat, sondern bloß weil es mir natürlicher wäre Norden in der Richtung dort anzunehmen, in der ich aus meinem Fenster gerade auf die Gegend wie auf eine Karte, schaue. Dies zeigt, in welcher Weise solche Vorurteile entstehen. (Drury)

​

‘Der math. Beweis muß übersichtlich sein.’ D.h.: er ist ein Bild das man nicht nur muß wiederrechnen, sondern auch ˇmit dem gleichen Erfolg (muß) kopieren können.

​

Der B. muß ü. sein heiß: die Art & Weise wie ein der Beweis sein Resultat erzeugt muß ganz in einem Bild festzuhalten sein.

​

Derselbe Beweis ist der, der die Kopie des andern ist, – auch wenn er nicht von ihm kopiert wurde // auch wenn er nicht durch Kopieren entstanden ist // . 25

​

Das ist natürlich auch damit gesagt, daß man von einer ‘Beweisfigur’ redet.

​

Oder soll ich sagen: der Beweis sei nicht die Figur, sondern nur ein Vorgang (etwa ein [G|g]eistiger seelischer, der der Figur entlangläuft.   Wie aber, wenn ich sagte der Beweis wäre zwar nicht eine Figur sondern eine Folge von Figuren. Warum aber dann nicht auch eine Figur?

​

Am irreführendsten sind die psychologischen Begriffe: davon daß ich mit jedem Schritte des Beweises übereinstimmen muß, daß mich der Beweis überzeugt, daß ich den mathematischen Satz glaube, u.a..

​

Welchen Grund hat man, zu sagen: er sehe das Zeichen F auf in verschiedener [w|W]eise? Außer dem daß er sagt, er 26 sehe verschiedenes auf verschiedene Weise , spricht irgend etwas in seinem übrigen Benehmen dafür?

​

Wenn ich mir Schmerzen vorstelle stelle ich mir manchmal etwas braunes oder braun-violettes vor.

​

Aber will ich denn leugnen, daß man sich Schmerzen vorstellen kann? Weit davon! Nur die Beschreibung kann sich an nichts hängen als an Symptome & Außerungen. 27

​

‘Sich ein Gefühl oder Körperhaltungen vorstellen ist doch etwas andres!’ – Was heißt das? Wohl, daß jene beiden Ausdrücke verschiedenen Sinn haben, verschieden gebraucht werden. – Und da ist kein Zweifel.

​

Ich sagte der m. B. wird als Dem einer int. Eig augefaßt. Führe einen Bew durch Falten eines, sagen wir, quadrat Stücks Papier. Das Resultat kann man als interne aber auch als externe Eig deuten.

​

Ich bin beim math. Satz geneigt von einem Sinne im Fregeschen Sinne zu reden.

​

Was behauptet der der behauptet 25 × 25 sei 625? Nun eben, daß 25 × 25 = 625. Aber ich will weiter fragen. Der sagt sagt, 28 daß etwas mal etwas etwas ergibt. Nun das ist für gewöhnlich keine mathematische Satzform & ein Beispiel ist ihres Sinnes ist etwa daß 3 mal diese Fläche, jene Fläche ergibt. Als Der mathematische Satz aber dieser Form hat noch immer denselben Sinn & doch wieder nicht[.|;] [D|d].h., er spielt, – gleichsam – auf jenen Sinn an, ob schon er eine andre Verwendung hat. // hat noch immer dens. Sinn, wenn schon mit einer andern Verwendung. // hat noch immer d. Sinn, oder, er spielt noch immer auf dens. Sinn an, aber (er) hat eine andˇere Verwendung. // Aber die Verwendg. ist natürlich freilich nicht ohne Zusammenhang mit diesem Sinn. 29

​

Man könnte fast sagen: “Der math. Satz ˇ 5 × 5 = 25 sagt gleichsam daß etwas mal etwas etwas ergibt ist .”

​

Und etwa auch: “‘p ⊃ q ∙ p : ⊃ : q’ sagt gleichsam, daß dies & dies dies impliziert”. // daß, wenn dies & dies der Fall, dies der Fall ist.” //

​

Nimm den Goldb. Satz – worauf beruht daß wir verstehen was er sagt? Doch auf der Verwendung seiner Wörter & Wortform in anderen Sätzen! Doch auf nichts anderem! Er ist noch nicht bewiesen ‒ ‒ ‒ was ˇaber macht daß wir diesen Satz // diese Aussage // verstehen? Doch dasselbe! –

​

Wenn er nun bewiesen wäre – wüßten wir dann besser als jetzt was “die Worte “der Beweis des G. S.” bedeuten? Oder wüßten wir es doch anders? Haben diese 30 Worte dann eine andere Bedeutung? Oder ist es so wie wenn ich sage ‘ich möchte einen Apfel haben’ wo ‘Apfel’ dasselbe bedeutet ehe ich ihn habe & nachher.

​

Ich wollte doch [S|s]agen “der Beweis des Satzes … ” wenn es ihn gibt ist keine Rsche Beschreibg.

​

Der Unterschied zwischen dem bewiesenen & unbewiesenen math. Satz ist nicht der zwischen dem verifizierten & unverifizierten physikalischen. D.h.: [d|D]er Unterschied der Brauchbarkeit & Verwendung ist nicht der [G|g]leiche.

​

Der Beweis reiht ihn in das System ein. Er ist freilich durch seine Wortform auch eingereiht.   Und in dieser doppelten Einreihung liegt das Problem.

​

Von der zweiten ersten 31 Einreihg könnte man sagen sie gibt ihm den Sinn, von der ersten sie gibt ihm die Wahrheit (den Wahrheitswert). Aber ich gerade das nicht sagen. Oder: gerade das scheint mir der irreführendste Aspect.

​

Denn, ungefähr gesprochen, den ‘Sinn’ sollte ihm ja doch die Art & Weise geben, wie er als wahr zu befinden wäre. – Einen Beweis des Satzes aber kann es geben auch wenn es nichts gibt daß man eine ‘Verifikationsmethode’ nennen könnte.

​

Nun warum nicht sagen: Wenn Du wissen willst was für einen Sinn der Gsche Satz hat sieh hin was die Mathem. die ihn beweisen wollen beweisen wollen – & wenn Du das sehen willst sieh hin was sie tatsächlich tun, 32 welche Anläufe sie machen, ihn zu beweisen.

​

Denn mit diesen Anläufen reihen sie ja den Satzausdruck auch ein. Wenn sie sozusagen seinen Ort auch nicht genau bestimmen, so bestimmen sie ihn doch bis zum in gewissem Grade.

​

Der G. S. wenn er nicht bewiesen ist, ist – könnte man sagen – der Ausdruck eines Problems. Der Sein Sinn ist das Problem.

​

Behauptet der math. Satz eine internen das Bestehen einer Rel.? – Er behauptet was er behauptet. Er behauptet, was ein Beweis beweist, & sein Beweis demonstriert eine int. Rel., & doch wäre es [u|U]nrecht zu sagen, der m. S. behaupte eine int. Rel.. Könnte man nicht eher sagen: er behauptet eine bestimmte Anwendbarkeit? 33

​

Er behauptet, sozusagen, seinen Sinn, so wie ihn seine Worte uns (suggest) vorschlagen . // Worte vorzuschlagen scheinen // // uns darzubieten vorzulegen scheinen // // uns darbieten // // uns zu geben scheinen //

​

Was der Bew. bew ist daß der Satz wahr ist: daß wir hier ein Instrument zu diesem Gebrauche haben.

​

Der Bew. tut diesen den Satz als ein zu diesem Zweck passendes geeignetes Instrument dar.

​

‘Der mathematische Satz sagt doch etwas’ – & was er sagt ze wird sein Gebrauch zeigen, der Gebrauch der Zeichen die ihn bilden. Aber der Gebrauch nur innerhalb in der Mathematik, oder der Gebrauch auch außerhalb?!

​

‘Den math. Satz als wahr anerkennen’ ist das eine seelische Tätigkeit? Und was nützt sie? Wenn wir ˇnun einen Satz als wahr anerkannt 34 haben – was weiter? Warum sollte mich dies[e|er] seelische Tätigkeit Akt interessieren? (Er interessiert mich nicht Warum mehr, als Freude oder Unwille Überraschung beim Anblick des Satzes?)

​

Die Frage ist, : wozu ist der Satz, den ich als wahr anerkenne, ein Instrument? // wozu ist der ˇso // solchermaßen // anerkan⌊n⌋te ein Instrument? //

​

In jenem Sprachspiel – warum soll ich nicht sagen, daß der, welcher multiplizieren gelernt hat & dann eine Multipl. ausführt, durch sie eine neue Tatsache gelernt habe? Und doch – welche ist es?

​

Daß er jetzt so gehandelt hat? D daß er wahrscheinlich immer so handeln wird? daß Andre so handeln? Und hat er auch genügend intensiv an die Regel gedacht? 35 Hat er also wirklich nach ihr gehandelt?   Daß das mal dem das ergiebt? Aber ist das eine Erklärung des Sinnes von “ergeben”? Oder muß ich mir die Regel als einen unpersönlichen Mechanismus vorstellen, der nur auf mich, ⌊,⌋ & durch mich, wirkt? Denn das letztere ist es doch, was Mathematiker sagen möchten. Die Regel sei ein abstrakter Mechanismus.

​

Nun, wer das sagt, sagt vor allem, daß die math Sätze nicht von einem seelischen oder körperlichen [m|M]echanismus handeln sollen. (Denn wer es sagt, sagt nicht einfach eine Dummheit, sondern irgend etwas Wahres eine Wahrheit in ein [m|M]ißverständnis gehüllt.)

​

Wer so abgerichtet ist weiß was er auf die Frage hin zu tun & zu antworten 36 hat wenn er keine Strafe kriegen will.   Die Rechnu Er lernt von der Rechnung, was er zu antworten hat.

​

Wer nun die Rechnung ausführt muß seine Auffassung sein, muß er denken, daß er dadurch eine Information erhält??   Warum nicht einfach : , daß er etwas tut, etwas erzeugt?

​

Man könnte sagen: Die Rechnung sagt mir, daß die Andern so rechnen, – wenn ich mich frage wie die Andern rechnen. Wenn ich // es // das ich's aber nicht frage, dann sagt sie mir's nicht.

​

‘Wär's denkbar, daß diese Operationen etwas anderes ergäben?’ – Da möchte man sagen: Nein.  Denn:1 dann wären es eben nicht diese Operationen. Nun wie muß man sie auffassen, daß das Bildˇ davon, wie sie 37 das ergeben eben das ist, was wir beim Rechnen erzeugen?

​

Die Rechnung kann einen Satz erzeugen ohne (ihn, oder) was er sagt, uns mitzuteilen.

​

Kann ich mir vorstellen wie man im Schach mit zwei Bauern allein mattcsetzt?

​

Wenn der Mathematiker grammatische Straßen baut, so ändert er eben durch seine Tätigkeit die Bedeutung der Ausdrücke.

​

Wenn mir ein vertrauenswürdiger Mensch sagt, daß seine Erfahrung wenn er ˇ einmal so einmal so sieht, ganz von der Art so ist wie das Sehen zweier verschiedener Gegenstände wenn er einmal eines einmal etwas anderes sähe – kann ich das als gültige ausreichende Evidenz dafür betrachten ˇdafür, daß es sich hier um ein verschiedenes Sehen, oder Gesehenes, handelt? Und warum 38 nicht? Wenn er sonst intelligent ist & die Sprache versteht sollte er's er es doch wissen!

​

“Geneigt sein zu sagen” “Ich bin geneigt zu sagen … ” “Vouloir dire”

​

◇◇◇    Kann “ich bin geneigt zu sagen ‘ich habe Schmerzen’” d[en|ie] Satz Aussage “ich habe Schmerzen” ersetzen? – Warum nicht? Das ist kein Einwand: daß die Sätze von verschiedenem handeln.

​

Bald hätte ich gesagt: “dieser Ersatz ließe sich auch nach in der alten Auffassung verstehen rechtfertigen ”! Aber was ist die ‘alte Auffassung? Sie ist, glaube ich, durch ein Bild charakterisiert: Das des Sehens, ˇdes [a|A]nschauens eines Gegenstands der nicht unter den [P|p]hysikalischen Gegenständen, sondern wo anders seinen Platz Raum hat.   (Denn warum soll ich hier die Anwesenheit 39 dieses Gegenstands vor meinem geistigen Auge nicht eben als den Reiz denken, der die Geneigtheit, das & das zu sagen, ausmacht.)

​

Ich kann das Zeugnis jener glaubwürdigen Menschen nicht annehmen, weil es kein Zeugnis ist.

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Das Beispiel von dem ‘Wissen wie man zu antworten hat’ zeigt nur, daß man bei der Beschreibung der Mathematik nicht von Wissen & Mitteilung reden mußc.

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Der Gegenstand vor dem geistigen (innern) Sinnesorgan ist die Erklärung, Schein-Erklärung, der Äußerung. Das Scheingesims, das, das Auge fordert, obschon es nichts tragt.

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Wir fordern oft eine Erklärung, weil wir die Form der Erklärung fordern; aber auch wo sie nichts trägt. 40

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Aber bist Du nicht doch nur ein ver[p|k]appter Behaviourist? Denn Du sagst, daß nichts hinter der Äußerung de[s|r] Gef Empfindung steht. Sagst Du nicht doch im Grunde, daß alles Fiction ist, außer dem Benehmen? Fiktion? So glaube ich also daß wir nicht wirklich Schmerzen [F|f]ühlen, sondern nur Gesichter schneiden?! Aber Fiktion ist der Gegenstand hinter der Auße-rung. Fiktion ist es daß unsre Worte um Bedeutung zu haben auf ein Etwas anspielen müssen, das ich wenn nicht einem Andern, doch mir selbst zeigen kann.

​

Meine Kritik besteht darin, daß ich die ganze gewöhnliche, primitive Auffassung de[s|r]c Funktionierens Funktion der Wörter ˇim Sprachspiel // im Gebr. d. Sp. // als zu eng hinstelle bezeichne .

​

Ist die hinweisende Definition die zeigt 41 daß diese Farbe “grün” heißt, keine Regel sondern ein Satz über den Gebrauch der Wörter, das Arbeiten unsers Gedächtnisses usw.?

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Wer einen math. Satz weiß soll noch nichts wissen. – Ist Verwirrung in unserm Rechnen, rechnet jeder anders & einmal so einmal so, so liegt noch kein Rechnen vor; stimmen wir überein, nun dann haben wir nur unsre Uhren reguliert, aber noch keine Zeit gemessen.   Wer einen math. Satz weiß, soll noch nichts wissen. D.h. der math. Beweis soll nur das Gerüst liefern für eine Beschreibung.

​

Wie uns die Eucl. Geom. nichts über Längenmessung sagt, so die Newtonsche Mechanik nichts über Zeitmessung. Könnte man die Mechanik als reine Mathematik auffassen? ⌊⌊… ist etwas wie: das Amt …⌋⌋ 42

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Wie kannst Du behaupten sagen , daß F(625) & F(25 × 25) dasselbe sagen? Erst durch uns⌊e⌋re Arithmetik werden sie eins.   Erst als Glieder des Systems der Arithmetik werden sie eins.

​

Ich kann einmal die eine, einmal die andere Art der Beschreibungerhalten , durch Zählen z.B., (oder dergl.) erhalten // , unmittelbar erhalten. // D.h. ich kann jede der beiden Formen Beschr auf jede Art erhalten; aber auf verschiedene Weise.

​

Man könnte nun fragen: Wenn der Satz F(625) einmal so, einmal anders verifiziert wurde, sagte er da beidemale dasselbe?   Oder: Was geschieht wenn eine Methode des Ver. 625 die andre nicht 25 × 25 ergibt? Ist da F(625) wahr & F(25 × 25) falsch? Nein! – Das eine anzweifeln heißt, das andre anzweifeln: Das ist die Grammatik die 43 die unsre Arithmetik diesen Zeichen gibt.

​

Wenn die beiden Arten des [a|A]bzählens Zählens als Begründg Grundlage einer Zahlangabe gebr. werden, dann ist nur eine Zahlangabe wenn auch in verschiedenen Formen da // vorgesehen // . Dagegen kannc man ˇohne Widerspr. sagen: “mir kommt bei der einen Art des Zählens immer 25 × 25 [(| []also 625[)| ]] heraus bei der andern nicht 625 [(| []also nicht 25 × 25[)| ]].”   (Die Arithmetik hat hiergegen keinen Einwand.)

​

Daß die Arithmetik die beiden Ausdrücke einander gleichsetzt ist, könnte man sagen, ein grammatischer Trick.   Sie sperrt damit eine bestimmte Art der Beschreibung ab & leitet sie in and⌊e⌋re Kanäcle. (Und daß dies mit der Tatsache der Erfahrung zusammenhängt braucht nicht ˇerst gesagt zu werden.) 44

​

Es ist eine interessante Tatsache, daß die Regeln uns der wichtigsten meisten Spiele sehr conservativ be[a|h]andelt werden. Daß, z.B., ˇnormalerweise niemand dran denkt, die Regeln des Schach zu variieren, etwa dem König eine andere Bewegungsfreiheit zu geben; daß man das nicht interessant oder lustig findet, sondern eher ungehörig & sogar dumm.

​

​

Du mußt Neues sagen & doch lauter Altes.

​

Du mußt allerdings nur Altes sagen, – aber doch etwas Neues!

​

Die verschiedenen ‘Auffassungen’ müssen verschiedenen Anwendungen entsprechen.

​

Auch der Dichter muß sich immer fragen: ‘ist denn, was ich schreibe, denn das wirklich wahr?’ – was nicht heißen muß: “geschieht es so in Wirk- 45 lichkeit?”.

​

Denn es ist allerdings ein Unterschied dazwischen: überrascht zu sein, daß ich davon befriedigt bin – überrascht sein, daß die Ziffern sich so zu benehmen scheinen – (&) ˇdarüber überrascht ˇzu seinˇ darüber, daß das herauskommt.   Aber in jedem Fall sehe ich das Ergebnis die Rechnung in anderm Zusammenhang.

​

Ich rede von dem Gefühl des ‘Herauskommens’ [W|w]enn wir etwa eine längere Kolumne ganz verschiedener Zahlen addieren & so eine Zahl wie 1000000 herauskomkommt, – wie es uns vorausgesagt wurde worden war . “Ja, bei Gott, wieder eine Null –” sagen wir. “Man sähe es den Zahlen nicht an –”, – könnte ich auch sagen.

​

Wie wäre es wenn wir sagten, statt: “6 × 6 ergiebt 36” – ‘Das Ergeben der Zahl von 36 durch 6 × 6’? Den Satz ersetzen durch einen substantivischen 46 Ausdruck.

​

Du mußt freilich Altes herbeitragen[:|.] [a|A]ber zu einem Bau. –

​

Warum willst Du die Math. immer unter dem Aspekt des Findens & nicht des Tuns betrachten.

​

Von großem Einflusse muß es sein, daß Es muß hier von großem Einfluß sein daß wir die Wörter “richtig” & “wahr” & “falsch” ˇ& die Form der Aussage im Rechnen gebrauchen.

​

Warum soll ich sagen, daß das Wissen, daß alle Menschen, die es gelernt haben, so rechnen, kein mathematisches Wissen ist?   Weil es auf einen Zusammenhang deutet, der von dem des mathem. Wissens verschieden ist.

​

Was ist gemeinsam zwischen einem math. Satz & einem math. Bew.? Nicht daß der Satz nur ˇmath. bewiesen werden seinc muß, 47 nicht daß der Beweis einen math. Satz beweisen muß.   Was hat der unbew. math. Satz [m|M]athematisches, was hat er mit gemein mit einem Beweis, der nicht-mathematische Satze mit einander verbindet? // was gemein mit dem Beweis eines nicht-math. Satzes? // // & was hat er gemein mit einem math. Beweis? //

​

Soll ich antworten: Die Schlußregeln des math. Beweises sind immer math. Sätze? Oder soll ich sagen: ‘math. Sätze & Beweise dienen dem Schließen’? Das wäre schon näher dem Zentrum der Wahrheit . // dem Wahren //

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Der Beweis muß eine interne Relation zeigen etablieren nicht eine externe // äußere // . Denn wir könnten uns eine auch einen Vorgang der Transformation eines Satzes auf experimentelleme Wege Art denken & eine die zum Voraushersagen des vom transformierten 48 Satz [b|B]ehaupteten benützt würde. Man könnte sich z.B. ˇganz gut denken, daß Eiserne Buchstaben Zeichen durch den die Einflußüsse eines magnetischen Feldes so verschoben würden dazulegen anderer Zeichen sich so solchermaßen verschöben, daß sie eine wahre Vorhersage bilden formen auf der Grundlage der in ihren der Anfangslage [A|a]usgedrückten Bedingungen. Ja, wenn Du willst, kannst Du den rechnenden Menschen als einen Mechanismus dieser Art betrachten.

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Denn denken wir uns Wesen die wir als Sklaven benützen & die – abgerichtet, oder unabgerichtet –

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Wenn wir den Beweis das Beweisen so betrachten, ändert sich sein Aspekt ganz. er es ganz seinen Aspekt. // ändert er es völlig seinen Aspekt // // ändert sich völlig, was wir erblicken. // // ändert sichˇ ganz, was wir erblicken uns erscheint völlig // Die Zwischenstufen werden ein 49 uninteressantes Nebenprodukt. (Wie ein Geräusch im des Automaten, bevor er uns das Gewünschte zuwirft.)

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Ja, wenn nun die Bedingungen erfüllt wären & der Eine erzeugte diesc, der [a|A]ndre jenesc Resultat & wenn nun jeder sein Resultat anwendete & die AnVerwendung es rechtfertigte – wie ganz leicht möglich wäre! –

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Wir sagen : , der Beweis sei ein Bild. Aber dies Bild bedarf doch der Approbation Approbierung die wir ihm beim Nachrechnen erteilen (müssen). –

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Wohl wahr; aber wenn es von dem Einen die Approbation erhielte, von dem Andern nicht, & sie sich nicht verständigen könnten– gäbe es ein Rechnen? // läge dann ein Rechnen vor? // // hätten wir dann ein Rechnen? //   Also ist es nicht die Approbation an sich die es zur Rechnung macht, sondern ¤ 50

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[Repetition in der Musik. Vergleiche “ha, ha!” und “ha!”   Der stumpfsinnige Vergleich der Repetition mit dem Wiederholen eines Satzes, damit Einer sich ihn besser einprägt. A B C A B C repetiert A B C – aber auch, wenn man es so auffasst [A (B C) A] (B C)? Das Wort Repeti[c|t]ion oder Wiederholung kann ganz irreführend sein. Nicht einmal, wenn [e|E]iner ruft “[H|h]erbei, [H|h]erbei!” wird man geneigt sein zu sagen er habe sich wiederholt.   Die Wiederholung sieht man oft als etwas an was sich schließlich auch auslassen ließe! Aber warum? Nur weil es die selbe gleiche Notenfolge istˇ & nicht eine andre?! Als ob das hieße: das ist ja ohnehin schon gesagt worden!! Das heißt übrigens nicht daß die Wiederholung überall gleich essentiell ist; noch weniger: das sie überall dasselbe bedeutet – das heißt hier die gleichen Beziehungen 51 hat. (Die Wiederholung des zweiten Teils des im “Freude”-Themas z.B. erscheint etwas ganz neues anderes zu sagen als eine ganz neue & andere musikalische Figur // fast beinahe unerwartete herrliche Fortsetzung des Gedankens.) // als eine beinahe unglaublich tiefe Fortsetzung des Gedankens. // )] ¤ ihre Übereinstimmung die⟵⟵ Gleichheit & Dauer der Approb..

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Denn es ließe sich ja auch ein Spiel denken in welchem Menschen durch Ausdrücke ahnlich denen von allgemeine[n|r] Regeln ˇangeregt für bestimmte praktische Aufgaben Probleme ˇalso ad hoc sich [z|Z]eichenreihen einfallen lassen, & daß sich dies sogar als praktisch erweist. Und hier brauchen die ‘Rechnungen’ wenn man sie so nennen wollte nicht mit einander übereinstimmen. (Hier könnte man von Intuition reden.) 52

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Die Übereinst. der Approb. ist die Vorbedingung des Sprachspiels, sie wird nicht in ihm konstatiert.

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Das ˇrein mathematische Sprachspiel in Wir können uns aber auch ein Nehmen wir an daß die Antwort auf die gleiche Frage immer & von Allen die gleiche ist, oder daß es sich doch nur ausnahmsweise anders verhält & die Ausnahmen etwa aus der Gesellschaft ausgestoßen werden? Oder Gehört dies nicht dazu daß unser Sprachspiel ◇◇◇ der Arithmetik ähnlich wird?   Oder auch: Weiß nur im ersten Fall der Mensch eine Arithmetische Tatsache, oder auch im zweiten? // Weiß man Lernen Wissen die Leute nur im ersten Fall arithmetische Sätze? , oder auch im zweiten // Und wenn diese Sätze vom Benehmen der Menschen handeln, warum dann nicht auch im zweiten Fall. 53

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Man könnte sich aber doch auch die Rechnungen als Experimente behandelt betrachtet denken. Denke Dir eine Kaste die nicht rechnen kann Sklaven halten die, sagen wir, rechnen, manchmal richtig manchmal falsch aber von niemand kontrolliert werden. Ihre Herren stellen ihnen Aufgaben & sie geben Antworten, vorher schreiben sie etwas auf aber ihre Herren verstehen das nicht; [S|s]ie richten sich aber nach den Antworten der Sklaven & betrachten diese als eine Art Orakel.   Man könnte sich auch denken daß die Herrn ihre jene Sklaven bestrafen wenn der das praktische Erfolg Ergebnis nicht unbefriedigend ist und sie gut behandeln wenn es befriedigen ist der Erfolg glücklich ist.

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Der Gebrauch von Wör- 54 tern, wie ‘pas’ ˇoder point in ‘ne … pas’, oder ‘ne … point’, etc. Das Wort könnte hinweisend definiert werden, & dann davon der Gebrauch als Teil der Negation gemacht.   Was heißt es: Niemand denkt, wenn er ‘ne … pas’ sagt an einen Schritt? Nun es man sagt: ‘Ich wußte nicht einmal daß das dasselbe Wort ist!’ Aber was heißt das? Was war uns nicht aufgefallen? (Dies Beispiel ist höchst wichtig für das Verständnis dessen was man Bedeu-tung nennt.)

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Eine Sprache in der die Schriftzeichen von der Art der Bilder eines Rebus sind, so daß das Wort “kann” etwa ' geschrieben wird oder “wollen” als ˇdas Bild eines Wollknäuls mit einem angehängten Zeichen ˇist u.s.f.. Wäre dann dies die einzige Schrift die ◇ Auch werden wird ˇdie Bedeutung diese⌊r⌋ Wörter so beigebracht, daß ihre Beziehung zur zu einer Kanne, der Wolle, etc, immer lebendig bleibt. Kennten wir 55 nur diese Sprache, ˇdann könnten sehr eigentümliche philosophische Probleme uns beschäftigen.

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‒ ‒ ‒ Und natürlich hat diese Grammatik eine Pointe.

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Was heißt es sich über den einen Unterschied im Resultat einer Rechnung verständigen? Es heißt doch zu einem gleichförmigen Rechnen zu gelangen. Und kann man sich nicht verständigen das nicht , so kann es nun nicht heißen, : die Leute beiden rechne[n|ten]c machen die gleiche Rechnung, nur sind die mit verschiedenen Ergebnisse verschieden. // heißen: // Und kann man sich nicht verständigen so kann nun Einer nicht sagen der Andere rechne auch nur aber anders mit anderen Ergebnissen. // // Und können sie sich nicht verstandigen so kann nun Einer nicht sagen … //

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Ich Wie ist es nun – : soll ich sagen: Der gleiche Sinn könne nur 56 einen Beweis haben? Oder: wenn ein Beweis gefunden wird, ändere sich der Sinn?   Freilich würden Leute dagegen sagen sich dagegen wehren verwahren & sagen: “‘So kann man also nie den Beweis eines Satzes finden, denn hat man ihn gefunden so, ist er es nicht mehr der Bew. dieses jenes Satzes.’ Aber das sagt noch gar nichts. –

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Es kommt eben darauf an, was den Sinn des Satzes festlegt. Wovon wir sagen wollen, es lege den Sinn des Satzes fest. Der Gebrauch muß ihn festlegen. Aber was rechnen wir zum Gebrauch? – // Der Gebr. der Zeichen muß ihn … , aber …? //

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Wenn wir von verschiedenen Bilderreihen sagen sie demonstrierten daß 25 × 25 = 625, so ist leicht genug zu erkennen, was den Ort dieses Satzes fixiert ausmacht , den beide Wege erreichen.

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Unterschätze nie deine 57 Nebenbuhler! – ihren Verstand, ihr Talent, ihr Können!

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Was für eine Die seltsame Attitude der Wissenschaften: “[d|D]as [W|w]issen wir noch nicht; aber es läßt sich ist zu wissen, & es ist nur eine Frage der Zeit, so wird man werden wir es wissen.” Als ob es sich von selbst verstünde. –

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Der neue Beweis reiht den Satz in eine neue Ordnung ein; dabei findet oft ein Übersetzen in einer Art von Operation in eine gänzlich andere statt. Wie wenn wir Gleichungen in Kurven übertragen übersetzen . Und dann sehen wir etwas für die Kurven ein & dadurch für die Gleichungen.   Aber mit welchem Rechte überzeugt uns dem unser Gegenstand unsrer Gedanken scheinbar ganz heterogene fernliegende Gedankengang?   Nun, unsre Operationen﹖ liegen jenem dem Gegenstand auch nicht ferner, als etwa z.B. das Dividieren mit Dezi- 58 mahlzahlen dem Verteilen von Nüssen. Besonders wenn man sich denkt vorstellt , (was man leicht kann), daß diese Operation zuerst zu ganz andrem Zweck als zum Teilen & dergl. erfunden worden wäre.

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Fragst Du: Wenn Du fragst mit welchem Recht, so ist die Antwort: Vielleicht: mit gar keinem. Mit welchem Recht sagst Du daß die Fortsetzung dieses Systems mit jenem immer parallel laufen wird? Es ist als ob Du Zoll & Fuß als Einheit festsetztest & behauptetest 12 n Zoll werden immer ˇmit n Fuß ergeben gleichlang sein.

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Nimm an, man rechnete mit Zahlen & verwendete hie & da manchmal die Division durch (n ‒ n) & erhielte auf diese Weise hie & da andere als die N normalen Resultate des Multiplizierens, etc. Das störe aber niemand. 59 Vergleich es damit: Man legt listen von Personen an, aber nicht, wie wir es tun, alphabetisch, & so kommt es daß der gleiche Name in mancher Liste öfters als einmal vorkommt.   Aber nun kann man annehmen: daß das niemandem auffällt; oder, daß die Leute es sehen, es ihnen aber nichts macht. // sehen, aber kein Wesens daraus machen. // Wie man sich denken könnte daß in Leute eine[m|s] Stamm⌊es⌋ öfters Münzen auf die Straße zur Erde fallen ließen ohne daß es ihnen dafür stünde sie aufzuheben. Sie sagen dabei haben dann etwa so etwas wie: eine Redensart: “Er gehört den Andern”. oder dergleichen oder “Es gehört Gott” . –

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Nun aber ändert sich die Zeit & die Menschen fangen an ( zuerst erst nur [w|W]enige) Exactheit zu fordern. Mit Recht? , mit Unrecht? – Wären die früheren Verzeichnisse Listen nicht eigentlich Verzeichnisse Listen ? –

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Sagen wir, wir erhielten manche unsrer Re- 60 chenresultate durch einen versteckten Widerspruch. Nun – sind sie dadurch illegitim? – Aber wenn wir nun solche Resultate ˇdurchaus nicht anerkennen wollen & doch fürchten es könnten uns welche entdurchschlüpfen– Nun dann haben wir also eine Idee die einem neuen Kalkül als Vorbid dienen soll. Wie man die Idee zu einem Spiel haben kann.

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D[ie|er] Rsche Con Widerspr. ist nicht, weil er ein Widerspruch ist beunruhigend, sondern weil die das ganze Pflanze Gewächs deren Blüte Spitze er ist ˇgleich ein Krebsgewächs ist welches Zweck- & Sinnlos aus dem normalen Körper herauszuwachsen scheint.

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Aber Du kannst doch einen Widerspr. nicht gelten lassen! – Warum nicht? Wen Wir gebrauchen ihn ja manchmal in unsrer Rede, freilich selten – aber man könnte sich eine Sprachtechn. Technik denken in der er ein ständi- 61 ges Implement ist.   Mann könnte z.B. von einem Objektt in Bewegung sagen es existiere in an diesem Raumteil Ort & existiere nicht an ihm. // es existiere & existiere nicht an diesem Ort;ˇ d.h.; Veränderung z.B. könnte z.B. durch den Widerspr. ausgedrückt werden.

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Nimm ein Thema wie das Haydnsche (Chorale S.A.) nimm den Teil einer der Brschen Variationen, die dem ersten Teil des Themas entsprechen & stell die Aufgabe in dem den Zweiten Teil der Variation im Stil ihres ersten Teiles zu konstruieren. Das ist eine ◇ Problem sehr ähnlich einem mathematischen. Ist die Lösung gefunden, etwa wie sie Brahms gibt so ist es uns klar so zweifelt man nicht daß dies die Lösung ist sei . // so zweifelt man nicht – dies ist die Lösung. // 62

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Mit diesem Weg sind wir einverstanden. Und doch ist es hier klar, daß es leicht verschiedene Wege geben kann mit deren jedem wir uns einverst. erklären können, deren jeden wir consequent nennen können.

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Ich könnte mir denken, daß [e|E]iner meinte sagte die Namen ‘Fortnum’ & ‘Mason’ paßten zusammen.

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‘Wir machen lauter legitime – d.h. in den Regeln erlaubte nicht verbotene – Schritte, & auf einmal kommt ein Widerspruch heraus.’   Also ist das Regelverzeichnis, wie es ist, nichts nutz, denn der Widerspruch wirft das ganze Spiel um.’ Warum laßt Du es ihn ˇes umwerfen?   Aber ich will, daß man nach den Regeln soll mechanisch weiter schließen können, ohne je zu widersprechenden Resultaten zu gelangen. Nun, welche Art der Voraussicht willst Du? 63

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∣ Die Philosophische Betrachtung der Mathematik hat eine andere Pointe als die mathematische von math. Sätzen & Beweisen. ∣

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Eine die dein Dein gegenwärtiger Kalkül nicht zuläßt? Nun, dadurch ist er nicht ein schlechtes Stück Mathematik, oder nicht im vollsten Sinne Mathematik. Der Sinn des Wortes “mechanisch” verfuhrt Dich.

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Wenn Du zu einem prak- tischen Zweck einen Widerspruch mechanisch vermeiden willst, wie Dein Kalkül es bis jetzt nicht kann // De, so ist das etwa wie wenn Du nach einer Konstruktion des … Ecks suchst, das Du bis jetzt nur durch probieren hast kön zeichnen können oder nach einer Lösung der Gleichung 3ten Grades die Du bisher nur approximiert hast.   Nicht ˇschlechte Mathematik wird hier verbessert 64 sondern ein neues Stück Mathematik erfunden geschaffen .

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Nimm ˇan ich wollte eine Irrationalzahl an so angeben & ich wollte verhindern daß in ihrer [e|E]ntwicklung nicht drei 7 aufeinander folgen könnten. Ich könnte sagen: nimm π, & wenn 3 ‘7’e auf einander folgen ersetz die dritte durch eine ‘0’. Nun sagt man mir: das ist genügt nicht, denn der, welcher die Stellen berechnet kann in unserm Fall nicht auf die früher entwickelten zurückschauen. Nun brauche bedarf ich ⌊(⌋also⌊)⌋ einen andern Kalkül, einen, in von dem ich mich zum Voraus versichern kann, er könne nicht 777 liefern. Eine mathematisches Problem.

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‘Solange die Widerspruchsfreiheit nicht bewiesen ist, kann ich nie ganz sicher sein, daß mir jemand der gedankenlos aber ˇgemaß den Regeln rechnet nicht irgend etwas Falsches heraus- 65 rechnetn wird’.’ – Solange also jene Voraussicht nicht gewonnen ist, ist der Kalkül unzuverläßig.) – Aber denke, ich fragte: ‘Wie unzuverläßig ist er?’! – Wie [w|W]enn wir ⌊(⌋ von einem vom Grad von Graden⌊)⌋ der Unzuverl. Zuverläßigkeit sprächen[?| !] Könnten wir ihr dadurch den Metaphysischen Stachel nehmen?   Waren die ersten Regeln des Kalküls nicht gut? Nun ich wir gaben sie nur weil sie gut waren. – Wenn sich später ein Wider-spruch ergibt – haben sie nicht ihre Pflicht getan? Nein, sie waren für diese Anwendung nicht gegeben worden gemeint .

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Ich kann meinem Kalkül eine bestimmte Art von Voraussicht geben wollen. Sie macht ihn nicht zu einem eigentlichern Stück Mathematik aber nur zu einem andern etwa vielleicht zu gewissem Zweck brauchbareren.

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Die Idee des mechanisierens der Math als Ideal. 66 Die Mode des Axiomatischen Systems.

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Ein reflexives Fürwort für Sätze. die Gebrauchen wir “ich”, – so daß ‘ich bin 5 cm lang’ dadurch zu prüfen ist, daß man diese Sätze mißt. Eine solche Form wird meines Wissens nie gebraucht; könnte aber unter Umstanden von eine ˇpraktische wichtige Satzform sein. (Ähnlich: ‘Ich klinge schön’ ‘Ich klinge häßlich) Aber auch: “Ich bestehe aus 5 Wörtern.”

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‘Ich bin aus den diesen Sätzen … nicht beweisbar.’   ˇBesser: ‘Ich bin aus diesen Sätzen nicht erhältlich’

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Aber nehmen wir an die ‘Axiome’ & ‘Schlußweisen’ seien nicht nur irgendwelche Construktionsweisen sondern sie üb sei Überzeugten uns auch durchaus von dem Construierten! // sondern auch durchaus überzeugende! // Nun dann heißt das, daß es Fälle gibt, 67 in denen die Construktionen aus diesen Bausteinen nicht überzeugt.   Und tatsächlich sind die log Axiome ist ein log Satz p ⊃ p gar nicht überzeugend, wenn wir als für p Strukturen einsetzen die niemand ursprünglich vorhergesehen hat, als man nämlich ihr ihrer Wahrheit im Anfang, die unbedingte Anerkennung gab.

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Wie aber, wenn man sagt die Axiome & Schlußw. sollen doch so gewählt werden, daß sie keinen falschen Satz beweisen können.

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‘Wir wollen nicht nur einen ziemlich zuverläßigen, sondern einen absolut zuverläßigen Kalkül. Die Mathematik muß absolut sein.’

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Nimm Nehmen wir an, ich hätte die Regeln fürs Spiel für ‘Fuchs & Jäger’ aufgestellt – ; stellte 68 mir das Spiel unterhaltlichend & hübsch vor – & später . Später aber finde ich, daß die Jäger immer gewinnen können, wenn man einmal weiß, wie.   Ich bin nun – sagen wir – etwa mit meinem Spiel unzufrieden. Die von mir gegebenen Regeln haben ein Resultat gezeitigt, das ich nicht vorausgesehen hatte & (das) mir das Spiel verdirbt.

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Die Leute haben bis jetzt nur verhaltnismäßig selten vom Kürzen durch (n-n) Gebrauch gemacht. Aber es Plötzlich entdeckt Einer daß sie auf diese Weise wirklich jedes [B|b]eliebige Resultat aus⌊r⌋echnen können. (Füchs & Jäger) Was tun sie nun? Nun wir könnten uns sehr verschiedenes vorstellen. Sie können, z.B., nun erklären, diese Art des Rechnens habe ˇdamit ihren Witz verloren & so sei künftig nicht (mehr) zu rechnen.

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‘Er glaubt, er rechnet – möchte man sg. – er rechnet tatsäch- 69 lich nicht.’

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Wenn die Rechnung für mich ihren Witz verloren hat, so bald ich weiß, wie ich nun alles Belie[g|b]ige errechnen kann – hat sie keinen gehabt, solang ich das nicht wußte?

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Ich mag freilich jetzt alle diese Rechnungen ( für als ) nichtig, erklären. – [I|i]ch führe sie eben jetzt nicht mehr aus – aber waren es darum keine Rechnungen?

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Ich habe (einmal), ohne es zu wissen, über einen Widerspr. // verst. W. // geschlossen. Ist mein Resultat nun falsch[?|,] oder doch unrecht erworben?

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Wenn der Widerspr. wirklich so gut versteckt ist, daß wir ihn nicht merkt, ihn niemand merkt, warum sollen wir nicht das, was wir jetzt tun das eigentliche Rechnen nennen?

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Wir sagen, der Widerspr. würde den Kalkül vernichten. Aber wenn er nun sozusa- 70 gen in winzigen Dosen aufträte gleichsam Blitzweise, nicht als ein ständiges Rechenmittel, würde er da das Spiel auch vernichten?

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Wenn Geschenke am Tisch stehen sollen, warum bringst Du sie nicht?

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‘Keep a stiff uper lip!’ – aber dazu muß vielleicht mancher seinen ganzen Körper verkrampfen; und das kann Schlimmeres zeitigen als eine weiche Oberlippe.

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Man kann auf diesem Gebiete allerlei fragen, was zwar zur Sache gehört, aber nicht in der Mitte im Zentrum der Sache liegt // nicht durch die Mitte führt //   Eine bestimmte Reihe von Fragen führt durch die Mitte ( des Gegenstands der Sache ) ins Freie. Die andern werden nebenbei beantwortet.   Den Weg durch die Mitte zu finden ist ungeheuer schwer.

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Er geht über neue Beispiele & Vergleiche. Die abgebrauchten bilden zeigen ihn ˇuns nicht. ⌊⌊ // bilden zeigen diesen Weg nicht // .⌋⌋

Editorial notes

1) See facsimile; arrow pointing right, probably indicating that the indentation shall be increased.