VIII.
Bemerkungen zur
philosophischen
Grammatik.








 
   
⌊⌊5.10.31.⌋⌋
1 (Das Unaussprech[p|b]are (das, was mir geheimnisvoll erscheint & ich nicht auszusprechen vermag) gibt vielleicht den Hintergrund, auf dem das, was ich aussprechen konnte, Bedeutung bekommt.)

 
   
Die Arithmetik ist kein Spiel. Man kann doch in der Arithmetik nicht gewinnen
und
oder
verlieren!2

 
   
Wohl aber ist ein arithmetisches Spiel denkbar. ˇZ.B. Zzwei Leute operieren abwechselnd nach bestimmten Regeln (welche ˇdie Wahl dieer Operationen beschränken) mit Zahlen welche etwa aus einer angenommenen Grundzahl (Anfangsposition) durch diese Operationen successive
entstehen
entstanden sind.
Wer zuerst auf diese Weise 0
erreicht
erhält
hat gewonnen. (So ein Spiel wäre dem Halma ähnlich.)

 
  /  
Was spricht man der Mathematik ab, wenn man sagt, sie sei nur ein Spiel (oder: sie sei ein Spiel)?

 
  /  
Ein Spiel im Gegensatz wozu? – Was spricht man ihr zu, wenn man sagt, ihre Sätze hätten Sinn. [ Was spricht man ihr zu wenn man sagt (sie sei kein Spiel) ihre Sätze hätten Sinn. ]


 
  /  
Der Sinn außerhalb des Satzes.


 
  /  
Und was geht uns der an? Wo zeigt er sich & was können wir mit ihm anfangen? (Auf die Frage „was ist der Sinn dieses Satzes?” antwortet ein Satz. [ kommt ein Satz zur Antwort. ] )

 
  ? /  
“Aber der mathem. Satz drückt (doch) einen Gedanken aus.” – Welchen Gedanken? –

 
  /  
Kann ich er durch einen anderen Satz ausgedruckt werden? oder nur durch diesen Satz? – Oder überhaupt nicht? In diesem Falle geht er uns nichts an.

 
  /  
Will man bloß die mathem. Sätze von andern Gebilden, den Hypothesen
etwa
etc.,
unterscheiden? Daran tut man recht & daß dieser Unterschied besteht unterliegt ja keinem Zweifel.

 
  /  
Will man sagen, die [m|M]athematik werde gespielt wie das Schach oder eine Patience & es gebe dabei ein Gewinnen oder Ausgehen [ & es laufe dabei auf ein Gewinnen oder Ausgehen hinaus, ]
so ist das offenbar unrichtig.

 
  /  
Sagt man, daß die seelischen Vorgänge die den Gebrauch der mathematischen Symbole begleiten, andere sind, als die, die das
Schachspielen
Schachspiel
begleiten, so weiß ich darüber nichts zu sagen.

 
  /  
Es gibt auch beim Schach einige Configurationen die die unmöglich sind, obwohl jeder Stein in einer ihm erlaubten Stellung steht. (
Wenn z.B.
Z.B. die wenn
die Anfangsstellung der Bauern intakt ist & ein Läufer schon auf dem Feld.) Aber man könnte sich ein Spiel denken,
in welchem
worin
die Anzahl der Züge vom Anfang der Partie notiert würde, & dann gäbe es den Fall, daß nach n Zügen diese Configuration nicht eintreten könnte & man es der Configuration doch nicht ohne weiters ansehen kann ob sie als n-te möglich ist, oder nicht.

 
  /?  
Die Handlungen im Spiel müssen den Handlungen im Rechnen entsprechen. (Ich meine: darin muß die Entsprechung bestehen, oder, so müssen die beiden einander zugeordnet sein.)


 
  /?  
Welche Gleichung, etwa, von der Form abc… × cde… = ghi… ist richtig, welche falsch?

 
  /  
Ja, kann man von dem Schriftzeichen (überhaupt) sagen, es sei richtig (oder falsch)?
      Das namlich hängt mit dem Sinn der Antwort zusammen: „richtig ist die Gleichung, die man nach den Regeln erzeugen kann” im Gegensatz zu der: „richtig ist die Gleichung, die man nach den Regeln erzeugt hat”.

 
  /  
Das ist klar, daß die Position (Gleichung) nur im System,
worin
in dem
sie erzeugt werden kann, richtig oder falsch ist.

 
  /  
„Man darf ein System von Axiomen nicht benützen, ehe seine Widerspruchsfreiheit nachgewiesen ist.”
    „In den Spielregeln dürfen keine Widersprüche vorkommen”.
    Warum nicht? „Weil man dann nicht wüßte, wie man zu spielen hat”?

 
  /  
Aber wie kommt es, daß man auf den Widerspruch mit dem Zweifel reagiert?


 
  /  
Auf den Widerspruch reagiert man überhaupt nicht. Man könnte nur sagen: Wenn das wirklich so gemeint ist (wenn der Widerspruch hier stehen soll), so versteh' ich es nicht. Oder: ich hab' es nicht gelernt. Ich verstehe die Zeichen nicht. Ich habe nicht gelernt, was ich darauf hin tun soll, ob es überhaupt ein Befehl ist; etc..

 
  /  
Wie wäre es etwa, wenn man in der Arithmetik zu den üblichen Axiomen die Gleichung 2 × 2 = 5 hinzunehmen wollte? Das hieße natürlich, daß das Gleichheitszeichen nun seine Bedeutung geändert [ gewechselt ] hätte. , d.h., daß nun andere Regeln für das Gleichheitszeichen gälten

 
  /  
∣ Hilbert stellt Regeln eines bestimmten Kalküls als Regeln
der
einer
Metamathematik auf. ∣

 
  /  
Wenn ich nun sagte: „also kann ich es nicht als Ersetzungszeichen gebrauchen; so hieße das, daß seine Grammatik nun nicht mehr mit der des Wortes „ersetzen” („Ersetzungszeichen”, etc.) überein-
stimmt. Denn das Wort „kann” in diesem Satz deutet nicht auf eine physische (physiologische, psychologische) Möglichkeit.

 
  /  
„Die Regeln dürfen einander nicht widersprechen”, das ist wie: „die Negation darf nicht verdoppelt eine Negation ergeben”. Es liegt nämlich in der Grammatik des Wortes „Regel” daß „p ∙ ~p” (wenn „p” eine Regel ist) keine Regel ist. [ … daß „p ⌵ ~p” keine Regel ist (wenn „p” eine Regel ist). ]

 
  /  
Das heißt, man könnte also auch sagen: die Regeln ˇkönnen [ dürfen ] einander wiedersprechen, wenn andre Regeln für das Wort [ für den Gebrauch des Wortes ] „Regel” gelten – wenn das Wort „Regel” eine andere Bedeutung hat.

 
  /  
Wir können eben auch hier nicht begründen (außer (etwa) biologisch oder historisch)
sondern
&
[ … sondern nur die Übereinstimmung
und
oder
den Gegensatz der Regeln für gewisse Wörter constatieren, also sagen, daß diese Worte mit diesen Regeln gebraucht werden. ]


 
   
Daß man die Gleichung A dem Komplex B zuordnet, heißt,
    B
α ‒ ‒ ‒
β ‒ ‒ ‒
γ ‒ ‒ ‒
         A
} ‒ ‒ ‒
daß eine Gleichung von der Art A die Multiplizität hat, die man in dem Komplex B sieht[.|,] d.h., daß B ˇman so viel an dieser Gleichung unterscheiden kann (oder so viele Unterschiede (an ihr) machen kann) wie an dem Komplex.

 
   
D.h., daß das Ornament des Komplexes so viele Passflächen hat, wie das der Gleichung & die übrige Mannigfaltigkeit des Komplexes wegfallt wie die des Fünfecks, so daß man es, was sein Zusammenpassen mit anderen Figuren betrifft, nur durch seine Kontur ersetzen könnte & die Gleichung zieht in diesem Sinne die Kontur des Komplexes nach.

 
   
Zwischen B & A könnte man das Gleichheitszeichen setzen.

 
   
Ist es so: Der Satz A enthält nichts andres als B; ja, ist eine Ab-
kürzung von B. Ich kann aber doch nicht sagen, daß B mittels a + (b + 1) = (a + b) + 1 … α) bewiesen wurde. Das heißt ja natürlich gar nichts. – Nur β und γ wurden mit α bewiesen. –

 
    
Und α, β & γ wurden eben zusammengestellt. Sie wurden herausgegriffen & etwas Neues aus ihnen konstruiert.

    
Es läßt sich nicht zeigen, beweisen, daß man
diese
gewisse
Regeln als Regeln dieser Handlung gebrauchen kann.
       Außer, indem man zeigt, daß die Grammatik der Bezeichnung [ Beschreibung ] der Handlung mit der jener Regeln übereinstimmt.

\
    
Zu dem Problem vom ‚ˇSandHaufen’: Man könnte sich hier, wie in allen ähnlichen Fällen, einen offiziellen [ offiziell festgesetzten ] Begriff denken [ … denken, daß es einen offiziellen Begriff ˇwie den einer Schrittlänge gäbe, ] etwa: Haufe ist alles was über
1
2
m³ groß ist. Dieser wäre aber dennoch nicht unser gewöhnlich gebrauchter Begriff. Für diesen liegt keine Abgrenzung vor (& bestimmen wir eine, so ändern wir den Begriff) sondern
es liegen nur Fälle vor, welche wir zu dem
Umfang des Begriffs
Begriff
[ zu den Haufen ] rechnen & solche die wir nicht mehr zu dem
Umfang des Begriffs
Begriff
rechnen.

\
   
(a + b) ∙ (a + b) = a ∙ (a + b) + b ∙ (a + b)
    Dieser Übergang ist vermittels des Satzes .... gemacht worden &, wenn der Induktionsbeweis eine Rechtfertigung dieses Satzes ist, so ist er auch eine Rechtfertigung
des
dieses
Übergangs. &, wenn der Induktionsbeweis eine Rechtfertigung dieses Satzes ist, auch vermittels dieses Beweises. ] [ [|,&] wenn der Induktionsbeweis ein Beweis dieses Satzes ist, dann ist er auch eine Rechtfertigung …. ]

 
  /  
(Punkt am Ende des Satzes. Gefühl des Unabgeschlossenen, wenn er fehlt.)

 
   
Wie beweist man: 1 + (1 + (1 + 1)) = (1 + (1 + 1 + )) + 1? Kann man es aus 1 + (1 + 1) = (1 + 1) + 1 ˇallein beweisen?

 
   
6.
Der Beweis B zeigt uns quasi gleichsam eine Eigenschaft der beiden Seiten der Gleichung A.

 
  ? ✓  
Ich möchte sagen, wenn ich
die Gleichungen

a + (b + 1) = (a + b) + 1

a + (b + (c + 1)) = a + (b + c)) + 1)

(a + b) + (c + 1) = ((a + b) + c) + 1
    
}



betrachte: es liegt alles in ihnen; kein weiterer Schritt gibt uns mehr, als schon da steht. Anderseits sieht man sie doch auf gewisse Weise an, wenn man sie als Induktionsbeweis auffaßt, aber das sagt nur, daß wir sie das in ihnen sehen, was wir
etwa
z.B.
durch U unterstreichen gewisser Ausdrücke anzeigen oder durch das Ziehen von Zuordnungslinien zwischen den Gleichungen [ oder durch
Verbindungslinien
Linien
, welche die Zuordnung zwischen den Gleichungen Teile der einen Gleichung mit Teilen der anderen zuordnen. ] Und diese Linien sind nur neue Passflächenstellen, welche den Gleichungskomplex in ein neues System einreihen.

 
    
Man sagt ˇfür gewöhnlich die [R|r]ekursiven Beweise beweisen [ zeigen ] , daß die algebraischen Gleichungen für alle Kardinalzahlen gelten; aber es kommt hier momentan nicht darauf an ob dieser Ausdruck glücklich oder schlecht
gewählt ist sondern nur darauf ob er in allen Fällen die gleiche Bedeutung hat [ ob er in allen Fällen die gleiche, klar bestimmte, Bedeutung hat. ]

\
  /  
∣ Die Ausdehnung eines Begriffes, der Zahl, des Begriffs ‚alle’, etc. erscheint uns (ganz) harmlos; aber sie ist es nicht
sobald
wenn
wir vergessen, daß wir unsern Begriff tatsächlich geändert haben. ∣

 
  /  
Und ist es da nicht klar daß die rekursiven Beweise tatsächlich dasselbe für alle ‚bewiesenen’ Gleichungen zeigen?

 
  /  
Und das heißt doch, daß zwischen dem rekursiven Beweis & dem von ihm bewiesenen Satz immer die gleiche (interne) Beziehung besteht?

 
  ? ✓  
Woher nun das Widerstreben, dieses Verhältnis das eines Beweises zum
bewiesenen Satz
Bewiesenen
zu nennen?

 
  /?  
Es ist ja übrigens
Ja es ist doch übrigens
ganz klar daß es so einen rekursiven oder richtiger iterativen ‚Beweis’ geben muß. (Der uns die Einsicht vermittelt, daß es ‚mit allen Zahlen so gehen muß’.)
     [(| []D.h. es scheint mir klar, &
daß ich einem Anderen die Richtigkeit dieser Sätze für die ˇKardinalZahlen durch einen Prozess der Iteration begreiflich machen könnte.[)| ]]

 
    
D.h.: Ich möchte Einem zeigen daß das distributive Gesetz wirklich im Wesen der Anzahl liegt; werde ich da nicht durch einen Prozess der Iteration zu zeigen versuchen daß das Gesetz gilt & immer weiter gelten muß?

? \
    
Und in wiefern kann man diesen Vorgang nicht
einen
den
Beweis des ˇdistributiven Gesetzes nennen?

    
     
Sehe ich da nur auf die Tatsache ˇhin,
Will ich nur konstatieren,
daß man durch die ¤
Prozedur der Iteration nicht zu einem Resultat „a + (b + c) = (a + b) + c” kommen kann, weil die Bestandteile dieses Satzes in jener Rechnung nicht vorkommen?

[|| [ ] ¤Bin ich da nur davon von der Tatsache impressioniert, daß man durch die … ]

    
7.
Könnte ich nicht also in derselben Weise wie ich ihm 16 × 25 = 400 etwa durch
anschreiben
aufschreiben
von 16 Einsern Reihen in zu 25 Reihen Einsern begreiflich machen kann, ihm a + (b + c) = (a + b) + c durch eine Vorführung mit Einsern
begreiflich machen? Stehen die Beweise nun nicht auf derselben Stufe?

  /?  
    Und dieser Begriff des ‚begreiflichmachens’ kann uns hier wirklich helfen. [ …
ist hier ein Segen
kann uns hier helfen
. ] [ ist uns hier ein Segen. ]
     Denn man könnte sagen: das Kriterium ˇdafür, ob etwas ein Beweis eines Satzes ist, ist ob man ihn dadurch begreiflich machen kann. (
Natürlich
Freilich
handelt es sich da wieder nur um eine Erweiterung der unserer grammatischen
Betrachtungen
Betrachtung
des Wortes
über das Wort
‚Beweis’; nicht um ein psychologisches Interesse an dem Vorgang des [b|B]egreiflich-[m|M]achens.

 
   
Man könnte eine Art Konstruktion machen:
indem man immer ◇◇◇ Klammern vor dem zweitem Summanden wegstreicht & sie vor den ersten setzt.

 
  /  
∣ „Dieser Satz ist fur alle Zahlen durch das rekursive verfahren bewiesen”. Das ist der Ausdruck, der so ganz irreführend ist. Es klingt so [ Er laßt es so erscheinen, ] als würde hier ein Satz, der konstatiert daß das & das für alle Kardinalzahlen gilt, auf einem
Wege als wahr erwiesen & als sei dieser Weg ein Weg in einem Raum denkbarer Wege.
     Während die Rekursion in Wahrheit nur sich selber zeigt, wie auch die Periodizität. [ … wie auch die Periodizität nur sich selbst zeigt. ] ∣

 
    
Ich will jemandem zeigen, daß das (a + (b + c) = (a + b) + c) stimmt. Was ich als
Gang
Methode [ Weg ]
das zu zeigen verwenden kann, ist ein Beweis. (Z.B. die Methode der Gruppierung einer Reihe von Strichen.)

  /  
Ist die Frage ˇalso nicht also: [k|K]ann man 4 + (2 + 3) = (4 + 2) + 3 ausrechnen? Wenn ja, so konnte [nicht: könnte] man also von diesem speziellen Zahlensatz einen Beweis geben & es ist klar, daß sich dann, eine ‚Möglichkeit der Weiterführung’ einer Reihe solcher Beweise zeigen wird.

\
    
Die Art der Ausrechnung nach dem Schema des Rekursionsbeweises bestünde offenbar darin, daß man zuerst von 4 + (2 + 1) = (4 + 2) + 1 auf 4 + (2 + 2) = (4 + 2) + 2 & dann auf 4 + (2 + 3) = (4 + 2) + 3 übergeht.

    
Es muß die Stellung des alge-
braisch geführten rekursiven Beweises viel klarer machen, wenn man statt seiner die Reihe von arithmetischen Beweisen mit dem ‚u.s.w.’ setzt. Denn durch diese ist der erste offenbar
ersetzbar
zu ersetzen
.

   
(Und die größere Klarheit kommt
von dem
durch das
Verschwinden jedes Scheins, als ob es sich beim Rekursionsbeweis um einen algebraischen Beweis der Art (a + b)² = ..... = a² + 2ab + b² handelte.)

 
   
(Der Übergang auf 4 + (2 + 2) = (4 + 2) + 2 ginge nach dem Skolemschen Schema so (vor sich): 4 + (2 + 2) = 4 + ((2 + 1) + 1) 4 + ((2 + 1) + 1) = (4 + (2 + 1)) + 1 = ((4 + 2) + 1) + 1 = (4 + 2) + 2.)

 
   
Kann ich nicht sagen, der Induktionsbeweis ist das Schema einer Rechnung [ Zahlenrechnung ] [?| .]

 
  /  
Das Problem der Unterscheidung von 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 und 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ist viel wichtiger [ fundamentaler ] , als es zuerst [ auf den ersten Blick ] scheint.
     Es handelt sich um den Unterschied zwischen physikalischer & visueller Zahl.


 
   
Es ist auch etwas Sonderbares
an der Berechnung die von 3 + (4 + 6) zu (3 + 4) + 6 führt. [ ˇBerechnung [die|von] (3 + 4) + 6 aus 3 + (4 + 6) ] Wir können nämlich die Berechnung nach einer Regel durch einen Schritt ausführen, & – was auf dasselbe hinauskommtläuft – wir wissen von vornherein was bei dieser Rechnung herauskommen wird. Und zwar nicht in dem Sinn, in dem wir wissen vielleicht auch von vornherein das Resultat von 25 × 37 wissen, weil wir es früher einmal ausgerechnet & uns gemerkt haben, sondern wir brauchen die kompliziertere Überlegung nicht, weil eine einfachere zum Ziel führt. Ist das aber nicht so, wie wir auch wissen daß 4365 durch 5 teilbar ist, ohne die Division anzuführen, & doch mußte es bewiesen werden, daß die 5 an der Einerstelle ein Kriterium der Teilbarkeit durch 5 ist.

 
    
Wir haben es a (hier) natürlich auch wieder damit zu tun, daß der Rekursionsbeweis als eine Art von Beweisen aufgefaßt wird & man nicht sieht, daß jetzt das Wort „Beweis” seine Bedeutung (weil seine Grammatik) geändert hat.

    
Habe ich's nur so scharf auf die Auffassung [ [b|B]in ich nur so
bitter
scharf
gegen die Auffassung ] [b|B]ekämpfe ich nur die Auffassung daß die Rekursionsbeweise den Weg beginnen, die
Grundregeln
Grundgesetze
beweisen, & der Weg nun mit diesen weiter geht; während doch jeder Satz der Algebra rekursiv bewiesen werden kann, wenn es die Grundgesetze (werden) können.

   
Und könnte ich nicht sagen, daß sich die Unreduzierbarkeit der Grundgesetzeregeln (Commutatives, distributives, etc) sich auch in den Induktionen die ihnen entsprechen zeigen [ wiederspiegeln ] muß?!

 
   
Das Verhältnis, was zwischen den algebraischen Satzen besteht, muß auch zwischen ihren Induktionsbeweisen bestehen. [ bestehen bleiben ]

 
  /  
Wir haben also hier nicht den Fall, in welchem eine Gruppe von Grundgesetzen durch eine mit weniger Gliedern bewiesen wird, aber nun weiter in den Beweisen alles im Gleichen bleibt. (Wie auch in einem System von Grundbegriffen
in
an
der späteren Entwickelung dadurch nichts geändert wird daß man die Anzahl der Grundbegriffe durch Definitionen reduziert.)

 
  /  
8.
(Übrigens, welche verdächtige Analogie zwischen ‚Grundgesetzen’ &
‚Grundbegriffen’!)

 
    
Es ist
etwa
gleichsam
so: der Beweis eines alten Grundgesetzes setzt sonst das System der Beweise (vermittels (einfach) nach
hinten
rückwärts
fort. Die Rekursionsbeweise aber setzen das System von ˇalgebraischen Beweisen (mit den alten Grundgesetzen) nicht nach hinten fort, sondern bilden sind ein neues System das mit dem ersten nur parallel zu laufen scheint.

\
    
Ich sprach früher von ˇVerbindungsSstrichen [u|U]nterstreichungen etc. um die correspondierenden, homologen, Teile der Gleichungen eines Rekursionsbeweises zu zeigen. Im Beweis:
Im Beweis
a + (b + 1) = (a + b) + 1
a + (b + (c + 1)) = a + ((b + c) + 1) = (a + (b + c)) + 1
(a + b) + (c + 1) = ((a + b) + c) + 1(Ƒ)
entspricht z.B. die Eins α nicht der β sondern dem c der nächsten Gleichung. β aber entspricht nicht δ sondern ε, & γ nicht δ sondern c + δ. etc.

Oder in:
(a + 1) + 1 = (a + 1) + 1
1 + (a + 1) = (1 + a) + 1(Ƒ)
entspricht
nicht ι dem κ & ε dem λ sondern ι dem α & ε dem β & nicht β dem ζ aber ζ dem ϑ & α dem δ & β dem γ & γ dem μ aber nicht dem ϑ, u.s.w.

\
  /  
Das ist eine seltsame Bemerkung, daß in den Induktionsbeweisen der Grundregeln nach wie vor ihre Unreduzierbarkeit (Unabhängigkeit) sich zeigen muß [ zu Tage treten muß ] . Was, wenn man das von für den Fall von ¤ von gewöhnlichen Beweisen (oder Definitionen) sagte ¤ also für den Fall wo die Grundregeln eben weiter reduziert werden, eine neue Verwandschaft zwischen ihnen gefunden (oder konstruiert) wird. [ ¤Was, wenn man das in dem Fall von … ] [ ¤Was, wenn man das
über
für
Beweise von Beweisen sagte, … ]

 
  /  
(Alles was die Philosophie tun kann ist Götzen ˇ(zu) zerstören. Und heit von Götzen das heißt keinen neuen (
etwa: die Abwesenheit von Götzen
etwa in der Abwesenheit der Götzen
) zu schaffen.)

 
  /?  
Wenn ich darin recht habe daß durch die Rekursionsbeweise die Unreduzierbarkeit [ Unabhängigkeit ] in takt bleibt dann ist damit (wohl) alles gesagt was ich gegen den Begriff vom Rekursions-„Beweis” sagen [ vorbringen ]
kann
wollte
.



 
    
Ich möchte sagen, : wir haben β & γ
mit
durch
α bewiesen aber nicht B. Aber können wir denn nicht sagen[;|,] B ist einfach das logische Produkt aus α, β & γ?? Also B = α ∙ β ∙ γ?

    
Dann hieße also das distributive Gesetz – nur etwas ungeschickt angeschrieben –: „a + (b + 1) = (a + b) + 1 . & . a + (b + (c + 1)) = (a + (b + c + ))1 . & . (a + b) + (c + 1) = ((a + b) + c) + 1”?
      Aber warum dann nicht nur „a + (b + 1) = (a + b) + 1”, da doch die beiden andern Faktoren aus dieser Gleichung folgen?

   
(Die Mathematiker wenn sie die Grundlagen ihrer Wissenschaft sammeln [
angeben
angeben sollen
] gleichen einem Maurer der sagte zu einem Haus brauche ich: Ziegel, Mörtel, Gewissenhaftigkeit, Kraft & Festigkeit.[]|)]


 
    
(Der Stil meiner Sätze ist außerordentlich stark von Frege beeinflußt. Und wenn ich wollte so könnte ich wohl
den
diesen
Einfluß feststellen, wo ihn auf den ersten Blick keiner sähe.)

\
    
Der Grund warum alle Philosophien der Mathematik fehlgehen ist der, daß man in der Logik nicht allgemeine Dicta durch Beispiele begrunden kann,
wie in der Naturgeschichte. Sondern sondern jeder besondere Fall hat die
volle
größt mögliche
Bedeutung, &
wieder
anderseits
ist mit ihm alles erschöpft ¤
& man kann keinen allgemeineren Schluß aus ihm ziehen (,(also keinen Schluß). [ ¤… Bedeutung, aber alles ist mit ihm erschöpft …]

\
  /  
Wozu brauchen wir denn das [C|c]ommutative Gesetz? Doch nicht um die Gleichung 4 + 6 = 6 + 4 anschreiben zu können, denn diese Gleichung wird durch ihren besonderen Beweis gerechtfertigt Und es kann freilich auch der Beweis des commutativen Gesetzes als ihr Beweis verwendet werden, aber dann ist er eben (
jetzt
hier
) ein spezieller (arithmetischer) Beweis. Ich brauche das Gesetz also um ˇdanach mit Buchstaben zu operieren. ¥

 
   
Habe ich mich aber nicht doch geirrt? Ich dachte für den Satz (a + b)² = a² + 2ab + b² müsse es den algebraischen & einen rekursiven Beweis geben. Aber der Gang des algebraischen Beweises von (a + b)² = a² + 2ab + b² ist entspricht ganz dem Beweis [ Übergang ] von (1 + b) + a = ( (b + 1) + a = (b + a) + 1 im Induktionsbeweis III. [ entspricht ganz der Art des Übergangs (b + 1) + a = (b + a) + 1 in III. ]


 
    
Dieser Übergang wird mit dem fertigen (bewiesenen) Satz a + (b + c) = (a + b) + c [ mit dem fertigen distributiven associativen Gesetz ] [ mit dem fertig bewiesenen associativen Gesetz ] gemacht.

    
Der rekursive Beweis für (a + b)² = a² + 2ab + b² besteht eben in der gewöhnlichen Ableitung der Gleichung plus den rekursiven Beweisen der Grundgesetze.
     D.h., der Beweis dieser Gleichung mittels der Reihe arithmetischer Beispiele entspricht eben die algebraische Ableitung der Gleichung zusammen mit den Induktionsbeweisen der ˇalgebraischen Grundregeln.

    
(‚… wir richten uns nach ihren Taten’ (bezieht sich auf die Mathematiker).)

   
Es darf auch nicht vergessen werden,
Ich darf auch nicht vergessen,
daß ja ein gewisser Gang durch die Skolemschen Beweise führt, der dritte –z.B.– vom ersten ˇ& zweiten abhängig ist, sich
dieser Beweise
des ersten
bedient. (Also wesentlich nach
ihnen
dem ersten
steht.) u.s.w.

    
     Und diese Berechtigung [wollte ich sagen] kann mir der Induktions-
beweis nicht geben.


\
   
Was soll es heißen daß der Gleichungskomplex in I
jenen
den
Übergang in III rechtfertigt. Wie
macht
kann
er das?

 
   
9.
   Wie der Beweis I in III
verwendet
angewendet
ist, muß sich zeigen wenn wir die Beweise Ari als periodische arithmetische Beweise führen.

 
  /?  
Aber eines ist klar: Wenn uns der Rekursionsbeweis das Recht gibt alle algebraisch zu rechnen, dann auch der arithmetische Beweis [ dann gibt uns auch der arithmetische Beweis dieses Recht. ]

 
   
Die Frage ist aber, rechne ich (horizontal) anders ˇalgebraisch in III mit I & II als in I mit der Definition a + (b + 1) = (a + b) + 1? Bediene ich mich des Komplexes I nicht in derselben Weise in III wie der ˇRekursiven Definition in I?

 
   
[Es ist unglaublich, daß man sich mit
einem so
so einem
einfachen Beweis so lange soll beschäftigen können]

 
   
(Das Ganze ist eine Auseinandersetzung zwischen dem rekursiven & dem algebraischen Element in
den
diesen
Beweisen. [ in dem Beweis. ] )


 
   
Die rekursive Definition scheint nämlich eine Doppelrolle zu spielen. Und zwar als die einer rekursiven Definition & als die einer algebraischen Rechnungsregel (von der [a|A]rt des associativen Gesetzes.)

 
    
∣ Kann man versuchen zu einer Melodie den falschen Takt zu schlagen? Oder: Wie verhält sich dieses Versuchen [ dieser Versuch ] zu dem, ein Gewicht zu heben das uns zu schwer ist? ∣

\
    
∣ Ich habe noch nie eine Bemerkung darüber gelesen, daß, wenn man ein Auge zumacht & „nur mit einem Aug sieht”, man die Finsternis mit de (Schwärze) nicht zugleich mit dem andern geschlossenen sieht! Das ist sehr merkwürdig!

\ ?
    
Wie verhält sich die Schachaufgabe (das Schachproblem) zur Schachpartie?
     Denn daß die Schachaufgabe der Rechenaufgabe entspricht, ist eine Rechenaufgabe ist, ist klar.

\
    
Ein [A|a]rithmetisches Spiel wäre z.B. folgendes: Wir schreiben
auf gut Glück eine 4[S|s]tellige Zahl hin etwa 7368 dieser Zahl soll man sich dadurch nähern daß man die Zahen 7, 3, 6 & 8 in irgendeiner Reihenfolge mit einander multipliziert. Die Pa Spielteilnehmer rechnen mit Bleistift auf Papier & wer in der geringsten Anzahl von Operationen so nahe als am nächsten an 7368 kommt hat gewonnen. (Übrigens lassen sich eine Menge der mathematischen Rätselfragen die heute beliebt sind zu solchen Spielen umformen.)

\
  /  
Angenommen einem Menschen wäre Arithmetik nur zum Gebrauch in einem arithmetischen Spiel gelehrt worden. Hätte er etwas anders gelernt als der welcher [ der Arithmetik zum
gewöhnlichen
normalen
Gebrauch lernt? Und wenn er nun ˇim Spiel 21 mit 8 multipliziert & 168 erhält tut er etwas Andres als der, welcher herausfinden wollte wieviel 2[8|1] × 8 ist?

 
  /  
Man wird sagen: Der Eine wollte doch eine Wahrheit finden, während der Andre nichts dergleichen wollte.

 
  /  
Nun könnte man diesen Fall
etwa mit dem Fall des Tennisspiels vergleichen wollen in welchem der Spieler eine bestimmte Bewegung macht der Ball darauf in bestimmter Weise fliegt & man diesen Schlag nur als Experiment auffassen kann durch welches man eine bestimmte Wahrheit erfahren hat oder aber auch als eine Spielhandlung mit dem alleinigen Zweck das Spiel zu gewinnen.

 
    
Dieser Vergleich würde aber nicht stimmen denn wir sehen im Schachzug kein Experiment (was wir übrigens auch könnten), sondern eine Handlung einer Rechnung.

\
    
Es könnte [e|E]iner vielleicht sagen: In dem arithm. Spiel werden wir zwar multiplizieren
21 × 8
168
, aber die Gleichung 21 × 8 = 168 wird nicht im Spiel vorkommen. Aber ist das nicht ein äußerlicher Unterschied? Und warum sollen wir nicht auch so multiplizieren (& gewiß dividieren) daß die Gleichung als solche angeschrieben wird.

\
    
Also kann man nur einwenden daß in dem Spiel die Gleichung kein Satz ist. Aber was heißt das? Wodurch wird sie dann zu einem
Satz? Was muß zu ihr noch dazu kommen, damit sie ein Satz wird? – Handelt es sich nicht um die Anwendung [ Verwendung ] der Gleichung (oder der Multiplication)? – Und [m|M]athematik ist es wohl dann, wenn es zum Übergang von einem Satz
zu einem
auf einen
andern verwendet wird. Und so wäre das unterscheidende Merkmal zwischen Mathematik & Spiel mit dem Begriff des Satzes (nicht mathem. Satzes) gekuppelt & verliert damit für uns seine Aktualität.

\
  /  
Man könnte aber sagen daß der eigentliche Unterschied darin bestehe, daß fur [b|B]ejahung & Verneinung im Spiel kein Platz sei. Es wird da z.B. multipliziert & 21 × 8 = 148 wäre ein falscher Zug, aber 21 × 8 ≠ 148, welches ein richtiger arithmetischer Satz ist, hätte in unserm Spiel nichts zu suchen.

 
  /  
Da
mag
kann
man sich daran erinnern daß in der Volksschule nie mit Ungleichungen gearbeitet wird, vom Kind nur die richtige Ausführung der Multiplication verlangt wird & nie ˇoder höchst selten die Konstatierung einer Ungleichung.

 
  /  
Wenn ich im Sp in unserm Spiel
21 × 8 ausrechne, & wenn ich es tue um damit eine praktische Aufgabe zu lösen, so ist jedenfalls die Handlung der Rechnung in beiden Fallen die gleiche (& auch für Ungleichungen könnte in einem Spiele Platz geschaffen werden.). Dagegen ist mein übriges Verhalten zu der Rechnung jedenfalls
den zwei
in beiden
Fällen verschieden.
     Die Frage ist nun: kann man von dem Menschen der im Spiel ˇdie Stellung „21 × 8 = 168” erhalten hat sagen, er habe herausgefunden, daß 21 × 8 = 168 sei? Und was fehlt ihm dazu? Ich glaube es fehlt ihm nichts, es sei denn eine Anwendung der Rechnung.

 
    
Die Arithmetik ein Spiel zu nennen ist ebenso falsch, wie, das Schieben von Schachfiguren (den Schachregeln gemäß) ein Spiel zu nennen, denn es kann auch eine Rechnung sein.

\
    
Man müßte also sagen: Nein, d[ie|a]s Wort „Arithmetik” ist nicht der Name eines Spiels. (
Das ist natürlich
Natürlich
wieder eine Trivialität.) – Aber die Bedeutung des Wortes „Arithmetik” kann erklärt werden durch die Beziehung der Arithmetik zu einem arithmetischen
Spiel oder auch durch die Beziehung der Schachaufgabe zum Schachspiel.
       Dabei aber ist es wesentlich zu erkennen, daß dieses Verhältnis nicht das ist einer TennisBillardaufgabe zum TennisBillardspiel.
     Mit „TennisBillardaufgabe” meine ich etwa die Aufgabe einen Ball unter gegebenen Umständen in bestimmter Richtung zurückzuwerfen. (Klarer wäre der Fall, vielleicht, einer Billiardaufgabe.) Die Billiardaufgabe ist keine mathematische Aufgabe (obwohl zu ihrer Lösung [m|M]athematik nötig sein [ angewendet werden ] kann). Die Billardaufgabe ist eine physikalische Aufgabe & daher Aufgabe im Sinne der Physik; die Schachaufgabe ist eine mathematische Aufgabe & daher ‚Aufgabe’ in einem andern (im mathematischen) Sinn.

\
  /  
In dem Kampf zwischen dem ‚Formalismus’ & der ‚inhaltlichen Mathematik’, was behauptet denn jeder Teil? Dieser Streit ist so ähnlich dem zwischen Realismus & Idealismus!
Auch
Z.B.
darin, Darin z.B., daß er sehr bald obsolet ˇgeworden sein wird & daß beide Parteien entgegen ihrer täglichen Praxis Ungerechtigkeiten behaupten.

 
    
10.
    Die Arithmetik ist kein Spiel, niemandem wäre es eingefallen unter den Spielen der Menschen die Arithmetik zu nennen.

\
    
Worin besteht denn g das Gewinnen & Verlieren in einem Spiel? (oder das Ausgehen in der Patience)? Natürlich nicht in der Konfiguration [ Situation des Spiels ] [ Spielsituation ] die das Gewinnen – z.B. – hervorbringt. Wer gewinnt, muß durch eine
besondere
eigene
Regel festgesetzt werden. (Dame & Schlagdame z.B. sind nur durch diese Regel unterschieden.)

\
    
Konstatiert nun die Regel etwas, die sagt, „wer zuerst seine Steine im Feld des Andern hat, hat gewonnen”? Wie ließe sich das verifizieren? Wie weiß ich ob [e|E]iner gewonnen hat? Etwa daraus daß er sich freut?

\ ?
    
Diese Regel sagt doch wohl: Du mußt versuchen, Deine Steine so rasch als möglich etc..

? \
    
Die Regel in dieser Form bringt das Spiel schon mit dem Leben in Zusammenhang. Und man könnte sich denken daß in einer Volksschule in der das Schachspielen ein obligater Gegenstand [ ein Lehrgegenstand ] wäre die Reaktion des Lehrers
auf das schlechte Spiel eines Schülers die selbe [ genau die selbe ] wäre, wie die auf eine falsche gerechnete Rechenaufgabe.

\ ?
  /  
Ich möchte beinahe sagen: Im Spiel gibt es (zwar) kein ‚wahr’ & ‚falsch’, dafür gibt es aber in der Arithmetik kein ‚gewinnen’ & ‚[V|v]erlieren’.

 
  /?  
Ich sagte einmal es wäre denkbar daß Kriege zwischen Völkern auf einer Art großem Schachbrett nach den Regeln des Schachspiels ausgefochten würden. Aber: Wenn es wirklich bloß nach den Regeln des Schachspiels ginge, dann brauchte man eben kein Feld Schlachtfeld für diesen Krieg sondern er könnte auf einem gewöhnlichen Brett gespielt werden. Und dann wäre
es
er
(eben) im
normalen
gewöhnlichen
Sinne kein Krieg. Aber man könnte sich ja auch eine Schlacht von den Regeln des Schachspiels geleitet denken. Etwa so, daß der ‚Läufer’ mit der ‚Dame’ nur kämpfen ˇsie angreifen dürfte, wenn seine Stellung zu ihr auf es ihm im Schachspiel erlaubte sie zu ‚nehmen’.

 
   
Beispiele in der Logik müssen immer ganz ausgeführt werden.


 
    
(Es könnte
(Es könnte dann so geregelt werden, daß etwa der Kampf zwischen Läufer & Dame ◇◇◇ nur in diesem Fall nur so geführt werden darf, daß der Läufer angreift & die Dame nur pariert. Tötet er sie so entspricht das dem „Nehmen” im Schach, gelingt ihm das nicht, so muß er einen andern Zug machen. etc..)

    
Ich wollte eigentlich sagen: Das was das Spiel zum Spiel macht ist seine Stellung im Leben [ im menschlichen Leben ] . Aber ist das wahr?

?
    
D.h.: könnte man sich eine Schachpartie gespielt denken, d.h., sämtliche Spielhandlungen ausgeführt denken, aber in einer andern Umgebung, so daß dieser Vorgang nun nicht die Partie eines Spiels genannt würde?

\
    
Gewiß, es könnte sich ja um eine Aufgabe handeln die die [b|B]eiden mit einander lösen. (Und einen Fall für die Nützlichkeit einer solchen Aufgabe kann man sich ja nach dem Oberen leicht konstruieren.)

\
    
Die Regel über das Gewinnen & Ver-
lieren unterscheidet eigentlich nur zwei Pole. Welche Bewandnis es (dann) mit dem hat der gewinnt (oder verliert) geht sie eigentlich nichts an. Ob z.B. der Verlierende dann etwas zu zahlen hat.)3

\
   
    (Und ähnlich kommt es uns ja vor, verhalt es sich (ja) mit dem ‚richtig’ & ‚falsch’ im Rechnen.)

 
   
Könnte einer nicht statt Patience zu legen am Abend ein paar Integrale auszurechnen versuchen. Man könnte es sich so denken, daß er sich die Aufgabe irgendwie vom Zufall stellen läßt & nun versucht sie nach bestimmten Methoden zu lösen. [g|G]elingt es, so ist die Patience ausgegangen.

 
   
∣ Der Wirrwarr in Betreff des über das „wirklich Unendlichen“ kommt von dem unklaren Begriff der irrationalen Zahl her. D.h. davon daß die logisch verschiedensten Gebilde, ohne klare Begrenzung des Begriffs, „irrationale Zahlen” genannt werden. Die Täuschung als hätte man einen festenc Begriff
beruht darauf
rührt daher
, daß man in Zeichen von der Art „0˙[|a b c d] ad inf.” einen Standard Ausdruck [Begriff] [Bild] zu haben glaubt dem sie (die Irrationalzahlen) jedenfalls entspre-
chen müssen. ∣

 
    
Aus III:

(b + 1) + a
I
=
b + (1 + a)
II
=
b + (a + 1)
D
=
(b + a) + 1

(b + 1) + 1
D
=
b + (1 + 1)
(b + 1) + (a + 1)
D
=
((b + 1) + a) + 1
b + (1 + (a + 1))
D
=
b + ((1 + a) + 1)
D
=
(b + (1 + a)) + 1
         
}

    
(Ƒ)
d.h., hier gibt es einen arithmetischen periodischen Beweis.

b + (1 + 1) = b + (1 + 1)
b + (1 + (a + 1))
D
=
b + ((1 + a) + 1)
D
=
(b + (1 + a)) + 1
b + ((a + 1) + 1)
D
=
(b + (b + (a + 1)) + 1
         
}

    
(Ƒ)

    
Wenn wir den
Beweis
Komplex
„rekursiv auffassen”, tun wir nämlich nichts anderes, als ein Stück der arithmetischen Gleichungsreihe überdenken [ durchdenken ] .

   
11.
In der Logik geschieht immer wieder, was in dem Streit über das Wesen der Definition geschehen ist, Wenn man sagt, die Definition habe es nur mit Zeichen zu tun & ersetze bloß ein kompliziertes Zeichen durch ein einfacheres, so wehren sich die Menschen dagegen & sagen die Definition leiste nicht nur das, oder es gebe eben verschiedene Arten von Definitionen [ der Definition ] & die interessante & wichtige
sei nicht die ˇreine „Verbaldefinition”.
     Sie glauben nämlich man nehme der Definition ihre Bedeutung, Wichtigkeit, wenn man sie als bloße Ersetzungsregel die von Zeichen handelt hinstellt. Während die Bedeutung der Definition in ihrer Anwendung liegt quasi in ihrer Lebenswichtigkeit. Und eben das geht ˇheute in dem Streit zwischen Formalismus, Intuitionismus etc. vor sich. Es ist den Leuten unmöglich die Wichtigkeit einer
Tatsache
Sache [ Handlung ]
, ihre Consequenzen, ihre Anwendung, von ihr selbst zu unterscheiden; die Beschreibung einer Sache von der Beschreibung ihrer Wichtigkeit.

\
  /  
Immer wieder hören wir ˇso daß der Mathematiker mit dem Instinkt arbeitet (ˇoder etwa daß er nicht mechanisch nach der Art eines Schachspielers vorgehe) aber wir erfahren nicht was das mit dem Wesen der Mathematik zu tun haben soll. Und wenn ein solches psychisches Phänomen in der Mathematik eine Rolle spielt, wie weit wir überhaupt exakt über die Mathematik reden können, & wieweit nur mit der Art von Unbestimmtheit, mit der wir über Instinkte etc. reden müssen.

 
  /  
Immer wieder möchte ich sagen:
Ich kontroliere die Geschäftsbücher der Mathematiker die seelischen Vorgänge in den Inhabern so wichtig sie sind, kümmern mich nicht [(| [ ]interessieren mich nicht[)| ] ]. … die seelischen Vorgänge, Freuden, Depressionen , ˇ& Instinkte der
Geschäftsleute
Inhaber
ˇso wichtig sie in andrer Beziehung sind kümmern mich nicht. ]

 
    
Die Menschen sind im Netz der Sprache
verstrickt
gefangen
& wissen es nicht.

\
  /  
Auch so: Der Rekursionsbeweis hat es –
natürlich
offenbar
– wesentlich mit Zahlen zu tun. Aber was gehen mich die an, wenn ich rein algebraisch operieren will. Oder: Der Rekursionsbeweis ist nur dann zu
benützen
gebrauchen
, wenn ich d
durch ihn
mit ihm
einen
den
Übergang in einer Zahlenrechnung rechtfertigen will.

\ ?
  /  
Man könnte nun aber fragen: Also brauchen wir ˇbeide: sowohl den Induktionsbeweis als auch das associative Gesetz, da ja dieses Übergänge der Zahlenrechnung nicht begründen kann & jener nicht Transformationen in der Algebra?

\ ?
  /  
Ja hat man (denn) vor den
Skolemschen Beweisen das associative Gesetz – etwa –, hingenommen ohne den entsprechenden Übergang in einer Zahlenrechnung durch Rechnung
ausführen
begründen
zu können. D.h.: konnte man vorher 5 + (4 + 3) = (5 + 4) + 3 nicht ausrechnen sondern hat es als Axiom betrachtet?

  /  
Die Mathematiker verirren sich nur dann wenn sie über Kalküle im aAllgemeinen reden wollen, & zwar darum weil sie dann die besonderen
Bestimmungen
Grundlagen
vergessen die jedem besonderen D Kalkül als Grundlagen dienen [ zu Grunde liegen ] .

 
   
Ich sollte sagen: Der ‚Beweis’ B steht für eine Beweisreihe. Ist der Ausdruck (oder ein Teil des Ausdrucks) eines Gesetzes
nach welchem
wonach
Beweise gebildet werden können. – Wenn ich sage [|]Teil des Ausdrucks”, so ist das Übrige die Anleitung zum Verständnis [ Verstehen ] des rekursiven Beweises (die im Bilden [ in der Bildung ] einiger Glieder der Beweisreihe besteht.).

 
   
Kann man sagen, daß diese Beweisreihe ‚ein Beweis’ ist? Kann man sie so nennen?



 
    
Könnte man sagen a + (b + c) = (a + b) + c stehe auch für eine Gleichungsreihe?

    
Man könnte sich natürlich ein Stück so einer Gleichungsreihe (mit Pünktchen) angeschrieben denken & als korrelat d eines (entsprechenden) Stücks der Beweisreihe ansehen.
     Und dann in einem übertragenen Sinne sagen die eine Reihe sei der Beweis der andern.

?
    
[Ich erscheine mir jetzt außerordentlich ungeschickt] Ist denn nicht der Beweis B in (eben) demselben Sinn ein Beweis von A wie
eine Reihe
(a + b)² = ‒ ‒ ‒
(a + b)³ = ‒ ‒ ‒
(a + b)⁴ = ‒ ‒ ‒
als [b|B]eweis

einer Formel (a + b)n = ‒ ‒ ‒
betrachtet
angesehen
werden kann. Ich rechne die einzelnen Potenzen aus sehe ein Gesetz in diesen Rechnungen & drücke es allgemein in der Formel mit n [ in der algebraischen Formel ] aus. Ich würde mich nie scheuen das einen Beweis der algebraischen Formel zu nennen. & Und haben wir hier nicht denselben Fall wie zwischen A & B?

    
Oder ist der für mich entscheidende Unterschied daß wir hier keine [r|R]ekursion
haben?

   
Ich bringe die oben angedeutete Rechnung nur into shape wenn ich sie[|,] klarer, so anschreibe
            (a + b)² = f(2) nach den Regeln der Multiplication aber ist
       f(n) ∙ (a + b) also = f(n + 1) also ist:

a f(n) = (a + b)n. [&|Und] hier haben wir den rekursiven Beweis.

 
   
Denken wir der Fall wäre der: wir könnten sagen: „nach den Regeln der Addition ist a + (b + (c + 1)) = (a + b) + (c + 1) außerdem aber ist a + (b + 1) = (a + b) + 1 also ......”.

 
   
Aber ist denn das nicht wesentlich dasselbe wie: Nach den Regeln der Addition ([(|n]ämlich: a + (b + 1) = (a + b) + 1) ist
       a + (b + (c + 1)) = (a + (b + c)) + 1 und
       (a + b) + (c + 1) = ((a + b) + c) + 1 also ......

 
   
Also scheine ich auf der ganzen Linie geschlagen zu sein.
     Wenn ich nun den Rückzug antreten muß so fragt es sich: was ist der richtige Rückzugsweg?
    (Denn es gehört zur Methode der Philosophie daß ich nie die Flucht ergreifen darf. D.h. es darf keinen ungeordneten
Rückzug geben.)

 
   
Zum indirekten Beweis dessen daß eine Gerade über einen Punkt hinaus nur eine Fortsetzung hat: Wir nahmen an es könne eine Gerade zwei Fortsetzungen haben. – Wenn wir das annehmen so muß diese Annahme einen Sinn haben –. Was heißt es aber: das annehmen? Es heißt nicht eine Naturgeschichtlich falsche Annahme machen ˇwie etwa die, daß ein Löwe zwei Schwänze hätte. – Es heißt nicht etwas annehmen was gegen die [c|K]onstatierung einer Tatsache
verstößt
spricht
. Es heißt vielmehr, eine Regel annehmen & gegen die ist weiter nichts zu sagen außer daß sie etwa einer anderen widerspricht & ich sie darum fallen lasse. Wen
   Wenn4 im Beweis nun gezeichnet wird –– eine Gerade gezeichnet wird die sich gabelt, so darf das an & für sich nicht absurd sein & ich kann nur sagen
so etwas
das
nenne ich keine Gerade. [ Wenn im Beweis gezeichnet wird , & das eine Gerade darstellen soll, die sich gabelt so ist darin nichts Absurdes ˇ(Widersprechendes), es sei denn, daß wir eine Festsetzung getroffen haben, der es widerspricht. ]


 
  /  
Wenn nachträglich ein Widerspruch gefunden wird so waren vorher die Regeln noch nicht klar & eindeutig. Der Widerspruch macht also nichts denn er ist dann durch das Aussprechen einer Regel zu entfernen.

 
  /  
In einem völlig geklären System [mit klarer Grammatik] [ In einem grammatisch geklärten System ] gibt es keinen versteckten Widerspruch denn da muß die Regel gegeben sein, nach welcher ein Widerspruch zu finden ist. Versteckt kann der Widerspruch nur in dem Sinne sein, daß er gleichsam in
dem Kraut & Rüben
der Unordnung
der Regeln,
in dem ungeordneten Teil der
in dem noch nicht geordneten Teil der
Grammatik, versteckt ist
das aber macht nichts
dort aber macht er nichts
, da er durch ein Ordnen der Grammatik zu entfernen ist.

 
  /  
Warum dürfen sich Regeln einander nicht widersprechen? Weil es sonst keine Regeln wären.

 
  /  
Zum mindesten muß ich sagen daß welcher Einwand gegen den Beweis B gilt auch z.B. gegen den der Formel (a + b)n = etc. gilt.


 
   
Auch hier müßte ich dann sagen nehme ich nur eine [A|a]lgebraische Regel in Übereinstimmung mit den Induktionen der Arithmetik an.


     
f(n) ∙ (a + b) = f(n + 1)


f(1) = a + b
    
}         C


also: f(1) ∙ (a + b) = (a + b)² = f(2)

also: f(2) ∙ (a + b) = (a + b)³ = f(3)
        u.s.w.
[s|S]oweit ist es klar. Aber nun:
also (a + b)n = f(n)!?
ε

     Ist denn hier ein weiterer Schluß gezogen?
     Ist denn hier noch etwas zu konstatieren?

 
   
12.
Ich würde aber doch fragen, wenn mir [e|E]iner ↺die Formel .) (a + b)n = f(n) zeigt : wie ist man denn dazu gekommen? Und als Antwort käme doch C. Ist es C also nicht ein Beweis von ε?

 
   
Oder antwortet C eher auf die Frage „was heißt ε”?

 
   
Wehre ich mich nicht gegen eine Analogie mit einem Fall, in
welchem , gegen die Analogie mit einem Fall, in dem man vonˇ, scheinbar auf gleiche Weise auf einen allgemeinen Satz ˇ(aber keinen mathematischen) schließt? Welche Analogie aber ist es?
       Ich meine einen (analogen) Fall, in dem das was der Induktion i[m|n] unserem Fall entspricht wirklich weiter, zu der konstatierung einer Tatsache, führt. Nämlich, daß nun sicher alle Gegenstände (um die es sich handelt) diese Eigenschaft haben.

 
   
Das ist(, glaube ich, einfach der Fall, wo in dem [ welchem ] es sich um eine bestimmte Gruppe von Gegenständen handelt & uns der Prozess der Induktion von einem zum andern & bis zum letzten führt, & wir am Schluß sagen können: alleso haben alle also gilt dies von allen diesen Gegenständen. Wenn ich sage der Induktionsprozess führt hier noch weiter zur Konstatierung einer Tatsache, so heiß das daß die bloße Möglichkeit der Induktion hier noch nicht alles ist, sondern ich mit ihrer Hilfe auf etwas schließe das nicht allein in ihr gegeben ist.

 
   
Ich will sagen: , hier ist doch mit der Induktion alles erledigt.

 
   
Ich sagte ich bestimmte eine algebraische Zeichenregel „in Übereinstim-
mung” mit den Gestetzen der Arithmetik. Aber muß ich da nicht (schon) einen allgemeinen Bgriff dieser Übereinstimmung haben? Und dann gewinne ich also doch den algebraischen Satz nach bestimmten Regeln aus den arithmetischen Sätzen. Und heißt das nicht, ihn Beweisen?
 
    
14.
Wie ich Philosophie betreibe, ist es ihre ganze Aufgabe, den Ausdruck so zu gestalten, daß gewisse
◇ Probleme
Beunruhigungen
verschwinden.

\
    
In dem Beweis des Satzes muß (am Ende) der Satz vorkommen

    
Aber wo steht im Induktionsbeweis der Satz A. Es sei denn, daß wir ihn in den Beweis mit einbegreifen: Aber nach welchem Satz wurde dann dieser letzte Übergang gemacht?

    
Wenn ich sage, die periodische Zahlenrechnung beweist den Satz der mich zu jene[m|n] Übergängen berechtigt, wie hätte dieser Satz gelautet, wenn man ihn als Axiom angenommen & nicht bewiesen hätte?5

\
    
Wie hätte der Satz gelautet nach welchem ich 5 + (7 + 9) = (5 + 7) + 9 gesetzt hätte, ohne es beweisen zu können?
Es ist doch offenbar, daß es so einen Satz nie gegeben hat.

\
   
Aber wenn der Komplex kein Beweis ist, welche Rolle spielt er denn dann überhaupt?
      Wie wird er verwendet?

 
   
Ja, er ist ein Beweis, ein allgemeiner Beweis – oder das (allgemeine) Schema
der Beweise
eines Beweises
für Zahlensätze von der Form a + (b + c) = (a + b) + c

 
   
Ja, als Rekursionsbeweis aufgefaßt, ist der Komplex das allgemeine Schema von Beweisen.

 
   
Ich kann (also) nur dieses
               
f(n) ∙ (a + b) = f(n + 1)
f(1) = (a + b)
    
}


nehmen & es als
        f(n) = (a + b)n auffassen.

 
   
Wie wird denn aber die Gleichung f(n) = (a + b)n gebraucht? Offenbar als Transformationsregel. (Wie, wenn ich einmal f(x!) antreffe & nun vermöge der Gleichung ε schreiben kann f(x!) = (a + b)x!.)

 
   
Könnte mir denn aber da die Induktion allein den gleichen Dienst tun? Müßte ich dann überhaupt einen andern Symbolismus
benützen
verwenden
?

 
    
Die Arbeit an der Philosophie ist – wie vielfach die Arbeit in der Architektur – eigentlich mehr
eine
die
Arbeit an Einem selbst. An der eignen Auffassung. Daran, wie man die Dinge sieht. (Und was man von ihnen verlangt.)

\
    
So blödsinnig es klingt: ich möchte C eine Begründung von ε nennen, nicht einen Beweis.

    
Ein philosophisches Problem ist immer von der Form: „Ich kenne mich einfach nicht aus.”

\
    
Gewiß, wenn ε als Ersetzungsregel fungieren kann & ε aus C allein hervorgeht, so muß C auch als Ersetzungsregel i.e. Begründung der Ersetzung fungieren können.

    
    C als ε sehen.
Das muß – meiner Meinung nach – möglich sein.

    
Meine ich nicht folgendes: Man könnte statt der ganzen Algebra
eine Rechnung
einen Kalkül
mit arithmetischen Induktionsreihen setzen.
Dann aber würde
diese
die
Rechnung zerfallen, in das Rechnen mit Ziffern durch Transformieren von Gleichungen etwa, und in ein Sehen
von Induktionen & ein Rechnen mit ihnen. Und diese beiden Teile blieben getrennt, & das Rechnen mit der Regel α, z.B., könnte die Grenzen nicht verwischen. (Wie z.B. das Rechnen mit x/y die Grenzen zwischen ⌵ und ~ verwischt.)

   
Wenn ich, übrigens, sage „das Sehen von Induktionen” warum dann nicht lieber „das Bezeichnen von Induktionen”? ist denn die Induktion etwas wesentlich [v|V]erstecktes? Und ist nicht das Hervorheben der Induktion (dessen was ich in dem Gleichungskomplex sehe) einfach das Bilden eines Zeichens [ Symbols ] wie jedes andere?

 
   
Ich sage, z.B., ich muß die Periodizität in 1˙
0
1
: 3 = 0˙3 sehen. Aber heißt das nicht daß ich jetzt eben das [z|Z]eichen „ 1˙
0
1
: 3 = 0˙3 ” nach neuen Regeln verwende. Und wenn ich nun die Periodizität hervorhebe indem ich schreibe: „ 1˙
0
1
: 3 = 0˙3 ” so ist das – will ich sagen – nun wirklich ein neues Zeichen.

 
   
Denn wenn jemand (etwa) sagt
„was diese Striche hervorheben, hat man ja immer gesehen”, so sage ich: man konnte das in dem Ausdruck 1˙
0
1
: 3 = 0˙3 sehen oder nicht; und hat, je nachdem, ein anderes Zeichen gesehen. [ … „was diese Striche hervorheben, hat man ja immer gewußt”, so sage ich: man konnte es wissen oder auch nicht & hat sich in dem ersten Fall bei diesem Wissen eines andern Zeichens bedient als im Zweiten. ]


 
    
Wie verhält es sich aber mit eine[m|r] Rechnung wie
    (5 + 3)² = (5 + 3) ∙ (5 + 3) = 5 ∙ (5 + 3) + 3 ∙ (5 + 3) = 5 ∙ 5 + 5 ∙ 3 + 3 ∙ 5 + 3 ∙ 3 = 5² + 2 ∙ 5 ∙ 3 + 3² ‒ ‒ ‒ R)
    
aus
in
welcher wir auch eine allgemeine Regel des [q|Q]uadrierens (eines Binoms)
herauslesen
sehen
können?

✓ ?
    
Wir können diese Rechnung sozusagen arithmetisch & algebraisch
ansehen
auffassen
.

✓ ?
    
Und dieser Unterschied in der Auffassung träte z.B. zu Tage, wenn das Beispiel
(5 + 2)² = + 5²
α
2
β
2
∙ 5 +
β
2
² ² + 2 ∙ 5 ∙ 3 + 3² gewesen wäre & wir nun in der algebraischen Auffassung die 2 an den Stellen β einerseits, & an der Stelle α anderseits unterscheiden müußten, während sie in der
arithmetischen Auffassung nicht zu unterscheiden wären. Wir betreiben eben – glaube ich – beidemale einen andern Kalkül.

✓ ?
  /  
Nach der einen Auffassung wäre z.B. die
vorige
obige
Rechnung ein Beweis von (7 + 8)² = 7² + 2 ∙ 7 ∙ 8 + 8², nach der anderen nicht.

 
   
Übrigens ist die Rechnung R nur insofern ein allgemeiner Beweis, als sie sich auf allgemeine Regeln stützt, also auf die induktiven Beweise. [ … also auf doch auf Induktionen. ]

 
   
Kann ich sagen: Der induktive Beweis besteht eben nicht bloß im Beweis von α & β & γ sondern im Zusammenstellen & richtigen Zusammensehen eben dieser Gleichungen.

 
   
Wenn man namlich sagt, B sei
der
ein
Beweis
für
von
A, so frage ich [ so will ich fragen ] durch welche Satze [ mit welchen Sätzen ] ist A bewiesen? Und wenn man mir sagt, „durch α”, so antworte ich: β & γ (oder α, β & γ) sind durch α bewiesen, aber α ∙ β ∙ γ beweist A nicht & ist nicht A, (sowenig 1˙0 : = 0˙3 als bloße Division
1 : 3 = 0˙ beweist), sondern α ∙ β ∙ γ (das allerdings ganz aus α
gewonnen wird
hervorgeht
) beweist A erst (oder ist äquivalent mit A), wenn die Induktion in α ∙ β ∙ γ gesehen wird. [ wenn man die Induktion … sieht. ]
Ich muß, um ‚A zu beweisen’, erst – wie man sagen würde – die Aufmerksamkeit auf etwas ganz bestimmtes [ auf ganz bestimmte Züge
von
in
B ]
richten.
lenken. [ … lenken oder richten. ]
(Wie in der Division 1˙
0
1
: 3 = 0˙3 .)

\
    
(Und von dem, was ich dann sehe, hatte das α sozusagen noch gar keine Ahnung.)

\
    
Das ist freilich
noch irrend ausgedrückt
noch irreführend & schief ausgedruckt
. Die Wahrheit ist, daß ich den Komplex B in ein bestimmtes System einordne;
Bestimmtes
bestimmtes
in ihm unterstreiche, verbinde [ unterstreiche & verbinde ] und das drücke ich eben dadurch aus, daß ich ihn durch die Gleichung A ersetze die (etwa) die Zusammenfassung, des von unserm Standpunkt, Wesentlichen
in
von
B ist. – Das sieht man, wenn man B als Weg der Induktion auffaßt, ein paar Schritte a + (b + 2) = (a + b) + 2, a + (b + 3) = (a + b) + 3 rechnet, & darauf – von diesen Schritten bestimmt – schreibt: a + (b + n) = (a + b) + n. – Das heißt gleichsam: so will ich B verwenden.

✓ ?
    
(Ich sollte mich übrigens vielleicht
an den Beweis II halten, da er noch einfacher ist.)

   
Meinen Standpunkt könnte man so ausdrucken: Wenn ich frage, ist B ein Beweis von diesem Satz, so könnte ich auch fragen: ist B ein Beweis davon, daß es sich so verhält, wie A es sagt [ wie A sagt ] ? , & „ist es gewiß so, wie A sagt?” Aber wie denn? Was behauptet denn A? Man würde sagen: „daß diese Gleichung für alle Zahlen gilt”, & der Beweis dafür soll die Induktion sein; das setzt voraus, daß wir
außerhalb
außer
der [ unabhängig von der ] Induktion einen Begriff von der Gesamtheit der Werte [ Zahlen haben. Als wäre – wie ich oft gesagt habe – die Induktion nur ein Vehikel um uns durch die Gesamtheit der Zahlen zu führen.
 
  /  
Es verhält sich hier zwischen Allgemeinheit & Beweis der Allgemeinheit, wie zwischen Existenz & Existenzbeweis.

 
   
     Können wir aber nicht die falsche Analogie beiseite lassen & sagen: A ist auf derselben Stufe wie 4 × 5 = 20 & sein Beweis auf der Stufe des Beweises von 4 × 5 = 20?

 
   
Das heißt etwa: Wenn ich frage „ist 4 × 5 wirklich 20”, so hat diese Frage Sinn, weil [ , wenn & weil ] sie sich auf eine Methode der Entscheidung bezieht. Die Antwort wäre: „rechnen wir's aus! –” Könnte nun nicht die Antwort im Falle
von A [ auf die Frage betreffs A ] dieselbe sein, & als Rechnung B vorgewiesenc werden? – Gewiss, wenn ich entschlossen bin, das Resultat der Rechnung B über A entscheiden zu lassen.
   Oder:6 Auf die Frage „ist 5 × 4 = 20?” könnte man antworten: „sehen wir nach, ob es mit den Grundregeln der Arithmetik übereinstimmt”; und entsprechend könnte ich sagen: sehen wir nach ob A mit den Grundregeln übereinstimmt. Aber mit welchen? Nun, wohl mit α.

\
    
Aber zwischen α & A liegt eben die Notwendigkeit einer Festsetzung darüber, was wir hier Übereinstimmung nennen wollen.

\
    
∣ „Hat die Prozession ein Ende” könnte auch heißen: ist sie ˇeine in sich geschlossene Prozession. Und nun könnte man sagen [ Und nun höre ich die Mathematiker sagen ] „da siehst Du ja, daß Du Dir sehr wohl einen solchen Fall vorstellen kannst, daß etwas kein Ende hat; warum soll es dann nicht auch andere solche Fälle [ einen andern solchen Fall ] geben können.”. Aber die Antwort ist: Die ‚Fälle’ in diesem Sinn des Worts sind grammatische Fälle, & sie bestimmen erst den Sinn der Frage. Die Frage „warum soll
es nicht auch andere Fälle geben können” ist der analog gebildet. „Warum soll es nicht noch andere Fälle von Mineralenien [ andere Mineraleien ] ge geben können, die im Dunkeln leuchten”, aber hier handelt es sich um Fälle
der Wahrheit einer Aussage
von Tatsachen
dort um Fälle die den Sinn eines Satzes bestimmen. [ dort um Fälle in den die den Sinn bestimmen. ] ∣

\
  /  
D.h. zwischen α & A liegt die Kluft von Arithmetik & Algebra [ von Arithmetik zur Algebra ] , & wenn B als Beweis von A gelten soll, so muß diese (Kluft) durch eine Bestimmung überbrückt werden.

 
  /  
Nun ist ganz klar, daß wir Gebrauch von so einer Idee der Übereinstimmung machen, wenn wir uns nur z.B. rasch ein Zahlenbeispiel ausrechnen, um dadurch die Richtigkeit eines algebraischen Satzes zu kontrollieren.
     Und in diesem Sinne könnte ich z.B. rechnen
25 × 16
25  
150
400
          
          
          
          
16 × 25
32
  80
400



& sagen: „ja, ja, es stimmt, a ∙ b ist gleich b ∙ a” – wenn ich mir vorstelle daß ich das vergessen hätte.



 
  /  
Man müßte dann sagen: man kann allerdings von einer Übereinstimmung zwischen α & A reden, bezw., zwischen α, β, γ & A, aber nicht insofern als A
eine
die
Allgemeinheit behauptet & B sie beweist, sondern nur insofern, als α, β, γ diese & nicht, etwa, die Allgemeinheit a + (b + c) = (a + 2b) + c konstituiert aufbautaufbaut.

    
Mit dem Satz α sind eben zwar β & γ, aber nicht die Allgemeinheit, d.h. die Induktion abgeleitet, die wir in B sehen.

  /  
Wir könnten ein Beispiel rechnen um uns zu vergewissern daß (a + b)² gleich a² + b² + 2ab & nicht a² + b² + 3ab ist – wenn wir es etwa vergessen hätten; aber wir könnten nicht in diesem Sinn kontrollieren, ob die Formel allgemein gilt. Auch diese Kontrolle gibt es natürlich & ich könnte in der Rechnung (5 + 3)² = ‒ ‒ ‒ = 5² + 2 ∙ 5 ∙ 3 + 3² nachsehen, ob die 2 im zweiten Glied ein allgemeiner Zug der Gleichung ist, oder einer der von den speziellen Zahlen des Beispiels abhängt.

\
    
∣ Es ist seltsam, daß ich geschrieben habe, der Gesichtsraum hat nicht die Form und
nicht, er habe nicht die Form . Und daß ich das Erste geschrieben habe, ist sehr bezeichnend. ∣

\
   
Da die Gebrauchsanweisung für α in einer Reihe arithmetischer
Definitionen
Sätze
besteht, so kann man diese Reihe auch als Symbol statt α setzen & also Reihen statt α, β & γ.

 
   
Man könnte statt des Satzes A auch sagen: ‚die Form der Gleichungen, die die Induktion B liefert’.

 
   
Ist es nicht genug zu sagen, daß die Algebra ganz mit arithmetischen Induktionsreihen & Gleichungen
arbeiten kann
betrieben werden kann
. Aber daß sich in der arithmetischen Notation dennoch das Algebraische erhalten wird, daß die arithmetischen Zeichen nun auf andere Art gebraucht werden.‒ ‒ ‒

 
   
Unter die Induktionsreihen muß das „und so weiter” geschrieben werden & das ‚so’ konnte nur aus α, β & γ ersehen werden, wenn man sie alle drei zusammen betrachtet & nicht aus α allein, obwohl β & γ aus α hervorgeht; & das ist
es, was ich ˇdamit meine daß, α, β & γ als Induktionsbeweis eine neue Einheit ausmachen [ konstituieren ] .

 
    
In dem arithmetisch geschriebenen Kalkül wird ein algebraisches Resultat kein arithmetisches sein, sondern eine bestimmte Zusammenstellung arithmetischer Gleichungen.

    
(Die Philosophie beruhigt sich in meiner Arbeit immer mehr (& mehr.))

    
Und ich möchte sagen, man wird nicht sagen können, daß ein algebraisches Resultat durch durch die arithmetischen Schritte bewiesen wird sei, sondern mit ihrer Hilfe konstruiert
        Bewiesen sind eben die arithmetischen Resultate & auch etwa ihr logisches Produkt aber nicht die Konstruktion die ich mit den arithmetischen Gleichungen als Bausteinen
hervorbringe
konstruiere
.

    
Was tue ich aber mit diesen Konstruktionen? Sind sie mir wieder Bausteine für andre Konstruktionen?

    
Daß diese Konstruktionen (die Induktionsbeweise) nicht bloß die arith-
metischen Resultate sind, sieht man, wenn man
zu ihrer
zur
Kennzeichnung als Induktionsbeweisen be Verbindungslinien & Klammern macht, um die richtige Auffassung zu sichern. Das heißt also, wenn man das ganze neue Symbol richtig anschreibt.

   
Der Prozess durch den wir gehen müssen um
vom
aus dem
Bild B zu A zu gelangen, fehlt eben in de[m|n] Zeichen.

 
   
Ich will immer sagen daß B eine neue Einheit ist & nicht als Induktionsbeweis aus α aufgebaut ist.

 
   
Ähnlich wie das Spiralenstück aus den 3 Halbkreisen a, b, c aufgebaut ist, aber das Wesentliche der Spirale erst durch die besondere Art ihrer Zusammenfügung entsteht & daher zum Halbkreis ein neues Prinzip hinzukommen muß, damit die Spirale entsteht.
       Dieser Vergleich ist ein ziemlich verunglückter Versuch die richtige [ klare ] Darstellung zu finden.

 
   
Wenn [e|E]iner fragt, „ist das ein Beweis des allgemeinen Satzes A, so könnte man ihm drauf
sagen
antworten
: wenn kein Beweis, so doch jedenfalls dieses Satzes & keines andern.


 
   
Aber das heißt natürlich nur: Etwas hat die Induktion mit diesem allgemeinen Satz zu tun. Die Frage ist nur, ob man die Induktion den Beweis nennen kann.


 
    
Das heißt, ich mache
     (5 + 2)² = 5² + 2 ∙ 2 ∙ 5 + 2² zu einem andern Zeichen, indem ich schreibe:
           (
α
5 +
β
2
)² =
α ‒
5² +
‒ β
2 ∙ 2
α
∙ 5
+
β ‒
& dadurch „andeute, welche Züge der rechten Seite von den besonderen Zahlen der linken herrühren”, etc..

\ ?
    
(Ich erkenne (jetzt) die Wichtigkeit dieses Prozesses der Zuordnung. Er ist der Ausdruck einer neuen Betrachtung der Rechnung & daher
der
die
Betrachtung einer neuen Rechnung.)

\
    
„Du sagst: ‚wo eine Frage ist, da ist auch ein Weg zu ihrer Beantwortung’, aber in der Mathematik gibt es doch Fragen, zu deren Beantwortung wir keinen Weg sehen”. – Ganz richtig, & daraus folgt nur, daß wir in diesem Fall das Wort ‚Frage’ in anderem Sinn Gebrauchen, als im oberen Fall. Und ich hätte vielleicht sagen sollen „es sind hier zwei verschiedene Formen & nur für die erste möchte ich das
Wort ‚Frage’ gebrauchen”. [a|A]ber dieses Letztere ist nebensächlich. Wichtig ist, daß wir es hier mit zwei verschiedenen Formen zu tun haben. (Und daß Du Dich in der Grammatik des Wortes ‚Art’ nicht auskennst, wenn Du nun sagen willst, es seien eben nur zwei verschiedene Arten von Fragen.)

\
   
Alles was den Charakter einer Behauptung trägt, schwindet mehr & mehr in
meiner
dieser
Arbeit & damit wird sie immer korrekter & anderseits immer schwerer für die zu verstehen, die auf metaphysische Theorien eingestellt sind. [ … die metaphysische Theorien erwarten. ]

 
   
D.h., einerseits wird, was ich sage, immer leichter verständlich, anderseits seine Bedeutung immer schwerer verständlich [ immer schwerer zu verstehen. ]

 
  /  
Könnte man auch so sagen: In der Arithmetik wird das associative Gesetz überhaupt nicht gebraucht, sondern da arbeiten wir (nur) mit besonderen Zahlenrechnungen.
       Und die Algebra, auch wenn sie sich der arithmetischen Notation bedient, ist ein ganz anderer Kalkül & nicht aus dem arithmetischen abzuleiten.



 
    
Ist es das nicht, was ich über die Skolemschen Beweise immer sagen will?

  /  
Kann ein algebraischer Satz nicht durch die arithmetischen Schritte (im arithmetisch geschriebenen Kalkül) bewiesen werden, dann auch nicht durch Skolems Schritte, denn das sind in Wirklichkeit arithmetische Schritte.

    
15.
Der Philosoph notiert eigentlich nur das was der Mathematiker so gelegentlich über seine Tätigkeit hinwirft.

\
    
Der Philosoph kommt leicht in die Lage eines ungeschickten Direktors, der, statt seine Arbeit zu tun & nur indem er darauf zu schaun schaut daß seine Angestellten ihrec Arbeit richtig machen ihnen ihre Arbeit abnimmt & sich so eines Tages mit fremder Arbeit überladen sieht, während die Angestellten zuschauen und ihn kritisieren.7

\
    
Besonders ist er geneigt sich die Arbeit des Mathematikers aufzuhalsen.

\
    
Eine logische Fiktion gibt es nicht & darum kann man nicht mit
logischen Fiktionen arbeiten; & muß jedes Beispiel ganz ausführen.

\
  /  
In der Mathematik kann es nur mathematische Schwierigkeiten [troubles] geben, nicht philosophische.

 
  /  
20.
Wenn α, β, γ bewiesen sind, muß der allgemeine Kalkül erst erfunden werden.

 
   
Das „u.s.w.” hat in der reinen Arithmetik [ in der reinen
Ziffernrechnung
Zahlenrechnung
] ˇnoch gar keinen Sinn.

 
   
AI, AII, AIII etc. begründen ein neues System; ein System zu dessen Grundlage man freilich nicht gerade die A nehmen muß (dann aber eben andere Gleichungen).

 
  /  
Es kommt uns ganz selbstverständlich vor, auf die Induktionsreihe hin a + (b + c) = (a + b) + c zu schreiben; weil wir nicht sehen, daß wir damit einen ganz neuen Kalkül beginnen. (Ein Kind das gerade rechnen lernt würde in dieser Beziehung klarer sehen als wie wir.)

 
   
Ich möchte aber einwenden: ist nicht das allgemeine Prinzip dieses
allgemeinen
algebraischen
Kalküls die Grundlage (des Kalküls), & A doch nur eine Folge aus dieser, zusammen mit α, β, γ?


 
   
Dann muß dieses Prinzip in einem Satz des Kalküls ausgesprochen sein. Und das ist es nicht.

    
Muß ich sagen: Der Fehler Skolems war, nicht zu sehen daß A durch α, β, γ erst bewiesen wäre, wenn zu α, β, γ noch ein anderes Prinzip träte. Und ferner ist eben im Kalkül Skolems ein solches Prinzip nicht ausgesprochen & daher ist er nicht der, welcher mit diesem Prinzip zustande käme, sondern ein anderer. Und zwar wird in ihm ohne jede allgemeine Betrachtung mit den „Beweisen” I, II, III etc. wie mit Sätzen operiert.
    Ist es nicht wahr, daß ich aus B, A auf eine bestimmte Weise ableite? Ja, ich leite es auf eine bestimmte Weise ab. Es ist ˇso, als hätte ich in B Röhren auf bestimmte Weise zusammengestellt [ zusammengebaut ] & nun ließe ich einen bestimmten Strohm (den Zahlenstrohm) durchfahrenclaufen [ durchfließen ] & den der Vorgang der nun resultiert, die Bewegung der Lauf des
Wassers
Stroms
durch dieses
Röhrensystem
System
wäre
ist
A.

   
23.
Ich will nur sagen: diese Weise, wie ich die Komplexe BI, BII, etc ansehe, behandle, indem ich die algebraischen Sätze
aus ihnen ‚ableite’, kommt in meinem Kalkül nicht vor.

  ✓ /  
Hier habe ich BI, BII, BIII aufgerichtet; nun laß den Zahlenstrom durch dieses laufen, & nun so etc..

 
   
Aber ich sehe doch dann etwas ganz bestimmtes, namlich die Allgemeinheit!

 
   
[Solange mein
Verstand
Geist
so verkrampft ist wie jetzt, kann ich überhaupt den Wurf nicht richtig ausführen. Das macht ubrigens nichts, ich muß mich doch u für den Wurf üben.]

 
   
Ich will sagen: was Skolem tut ist vollkommen damit beschrieben,
wenn
daß
man sagt, er beweise etwas über die Formen der Gleichungen A, indem er z.B. für ˇdie Gleichung a + (b + c) = (a + b) + c zeigt, daß (a + (b + c) + 1 & ((a + b) + c) + 1 aus a + (b + (c + 1)) & (a + b) + (c + 1) durch a + (b + 1) = (a + b) + 1 ableitet, etc. etc.. Von einem allgemeinen Prinzip der Induktion ist
dabei
hier
gar keine Rede [ brauch in dieser Beschreibung gar keine Rede zu sein ]
[ Wir brauchen in dieser Beschreibung nicht von einem allgemeinen Prinzip der Induktion sprechen. ] *

 
   
Wir sehen wohl die Periodizität in der
Definition α & den Komplexen B, aber diese Periodizität ist nirgends allgemein ausgedrückt (sozusagen, nirgends offiziell – namlich in den Symbolen – ausgedrückt).

 
    
Es bleibt quasi uns überlassen, daß wir die Analogie [ Ähnlichkeit ] bemerken. (Denn die Worte die Skolem zur Erläuterung sagt, gehen mich
streng genommen
offiziell
nichts an.) [ … gehen mich, wenn ich den Kalkül überprüfe, nichts an.) ]

    
(Ich parodiere eine Auffassung, um einen Fehler in ihr zu zeigen. Diese Methode läßt sich allgemein anwenden. ∣ Frege gegen Kantor ∣ )

    
D.h. es ist nirgends, klar, die Verbindung zwischen der Form von B & A gemacht.

    
Nirgends die Bedingung formuliert, unter welcher wir A durch α, β, γ für bewiesen ansehen.

    
Es ist meine Privatangelegenheit,
die Analogie … zu sehen
ob ich die Analogie der Komplexe sehe
. (In der es doch liegen muß, daß sie Beweise der algebraischen Sätze sind.)

    
∣ „Die rationalen Punkte liegen auf der Zahlengeraden nahe
beieinander
beisammen
”:
irreführendes Bild. ∣

   
Das strenge Criterium der Allgemeinheit ist nirgends ausgesprochen. ([W|w]odurch nämlich definiert wäre, was hier unter ‚Allgemeinheit’ zu verstehen ist).

 
   
Nehmen wir nun an, es wäre ausgesprochen, so wären damit nicht so sehr die A bewiesen, als
dadurch ersetzbar?
ersetzt.


 
   
Das Criterium der Allgemeinheit würde das Wesen der algebraischen Rechnung bestimmen [ festlegen ] .

 
   
Es wird dann a + (b + n) = (a + b) + n zu einer Rechnung eine Rechnung wie jede andre wie jedere anderne (
allerdings
nur
eine Rechnung von
bloß
nur
einem Schri[f|t]t) & das Paradigma erhält die Form B. [R.]

 
   
Wenn nun die Paradigmen meines neuen Kalküls auch alle die bestimmte Form R haben, so wäre es doch ein verwirrender Ausdruck zu sagen, die Richtigkeit der Gleichung AI, z.B., sei durch α bewiesen. Sie ist höchstens durch BI bewiesen, aber auch nur so, wie etwa früher i + (k + l) = (i + k) + l durch a + (b + c) = (a + b) + c.

 
   
Als rechtmäßig bewiesen ist er durch α nur dann, wenn ich
vorher festsetze, ein Übergang sei nur dann rechtmäßig, wenn man mittels α die Form des Paradigmas auf die bestimmte Weise konstruieren kann.

 
    
Dann kann ich sagen „seine Rechtmäßigkeit ist durch α bewiesen”.
     Aber hier hat eben das Wort „Rechtmäßigkeit” eine andre Bedeutung, als wenn ich sage: die Rechtmäßigkeit des Übergangs von (a + b)² auf a² + 2ab + b² ist bewiesen & damit meine dieser Übergang lasse sich in lauter Stufen von zuvor bestimmten Formen zerlegen.

    
Denn von B nach A findet ja in diesem Sinn kein Übergang statt, sondern B erlaubt den Übergang der in A gemacht wird, wie in jeder andern Rechnung.

    
Die Ahnlichkeit der beiden Arten von Beweisen, oder Rechtfertigungen, könnte man so darstellen: „Ich habe die Gleichung (a + b)² = a² + 2ab + b² auf bestimmte Weise mit Hilfe der Grundgleichungen konstruiert (aufgebaut) & die Gleichungen A habe ich auch mit Hilfe von Regeln konstruiert”.

    
Man hat den Satz „daß für alle
Kardinalzahlen x + (y + z) = (x + y) + z durch die Induktion nicht bewiesen, sondern etwa ihm etwa einen exacten Ausdruck gegeben; zugleich allerdings gezeigt, daß er kein Satz ist in dem Sinne in welchem eine Gleichung dies ist. (Richtig ausgedrückt: daß er keine Gleichung ist, wie die (Richtiger ausgedruckt: daß er kein Satz ist von der [a|A]rt deren, die von welchen er abgeleitet ist.)

   
Ja, kann ich nicht für beide
Arten
Fälle
von Beweisen sagen: „Ein Übergang ist gerechtfertigt, wenn sein Paradigma auf diese Weise konstruiert werden kann”?

 
  /  
Der Satz, daß A für alle Kardinalzahlen gilt ist eigentlich der Komplex B. Und sein Beweis, der Beweis von β & γ. Aber das zeigt auch, daß dieser Satz in einem andern Sinne Satz ist, als eine Gleichung, &
dieser
sein
Beweis in anderm Sinne Beweis eines Satzes.
nicht Vergiß hier nicht, daß wir nicht erst den Begriff des Satzes haben, dann wissen, daß die Gleichungen mathematische Sätze sind, & dann erkennen, daß es noch andere Arten von mathematischen Sätzen gibt!



 
    
(Halte alle diese Dinge zusammen, dann wirst Du
den Gegenstand
die Sache
verstehen. [ … dann wirst Du das
betrachtete Gebiet
Betrachtete
verstehen. ] )

    
Wenn man sagt, A sei mit ρ & dem Prinzip R bewiesen, welches ist die Art der Allgemeinheit dieses allgemeinen Prinzips?

  ? ∫  
Der Übergang ist gerechtfertigt heißt im einen Falle, daß er nach bestimmten gegebenen Formen vollzogen werden kann. Im andern Fall wäre die Rechtfertigung, daß der Übergang nach Paradigmen geschieht, dies selbst einer bestimmten Bedingung befriedigen.

\
    
Man denke sich, daß für ein Brettspiel solche Regeln gegeben würden, die aus lauter Wörtern ohne ‚r’ bestünden & daß ich eine Regel gerechtfertigt nennte, wenn sie kein ‚r’ enthält. Wenn nun jemand sagte, er ◇◇◇ habe für das & das Spiel nur eine Regel aufgestellt, nämlich, daß die Züge Regeln entsprechen müßten, die kein ‚r’ enthalten. – Ist denn das eine Spielregel (im ersten Sinn)? Geht das Spiel nicht doch nach den Regeln [ nach den mehreren Regeln ] vor sich, die
nur alle jener ersten Regel entsprechen sollen?

\
    
Eine Regel zur Konstruktion von Spielregeln ist keine Spielregel.

  /  
Es macht mir jemand die Konstruktion von B vor & sagt nun, A ist bewiesen. Ich frage „Wieso? – Ich sehe nur daß Du um A eine Konstruktion mit Hilfe von
ρ
a
gemacht hast”. Nun sagt er „ja aber, wenn das möglich ist, so sage ich eben, A sei bewiesen”. Darauf antworte ich: „damit hast Du mir nur gezeigt, welchen neuen Sinn Du mit dem Worte [|]beweisen[|] be verbindest”.

 
   
In einem Sinn heißt es, daß Du das Paradigma mittels ρ so & so konstruiert hast, in dem andern, nach wie vor, daß eine Gleichung dem Paradigma entspricht.

 
   
[Ich suche nach der richtigen Replik.]

 
   
[„Ich habe nie daran gedacht ihn das zu antworten”.]

 
  ? ✓ ∫  
In dem Sinne V in welchem (a + b)² = a² + b² + 2ab durch AI, AII etc beweisbar ist, ist AI unbeweisbar [ unbewiesen ] .



 
    
Man sagt ja daher auch wirklich die Allgemeinheit [ Allgemeingültigkeit ]
von A
der Gleichung A
sei bewiesen, eben um den Unterschied auszudrücken.

  ? ∫  
Man erwartet sich ◇◇◇ unter einem Beweis das eine & bekommt etwas anderes. Und nun tröstet man sich damit, daß man nur eine andere Art von Beweis erhalten habe.

    
‚Gleichung’ & ‚Beweis einer Gleichung’ haben eine bestimmte Grammatik.
     Zu sagen
α
β
γ
    
}

sei der Beweis einer Gleichung ist Unsinn, wenn nicht hier etwas ganz anderes unter ‚Beweis’ verstanden wird.

/ ✓
    
Er sagt, er habe A bewiesen & zeigt mir den Komplex B. Ich frage „in wiefern ist das ein Beweis von A?” Er muß antworten: „Das ist die Form des Paradigmas der erlaubten Übergänge. (Ist um die Enden des Übergangs diese Konstruktion mittels ρ möglich, so ist der Übergang erlaubt.

    
Wenn wir fragen „ist das ein Beweis oder nicht?” so bewegen wir uns in den Formen der Wortsprache. [ … in der Wortsprache. ]


\
   
Nun ist natürlich gar nichts dagegen
einzuwenden
zu sagen
, wenn Einer sagt: Wenn die Glieder des Übergangs in einer Konstruktion der & der Art stehen, so sage ich, die Rechtmäßigkeit des Übergangs ist bewiesen.

 
  /  
Was wehrt sich in mir gegen die Auffassung von B als einen Beweis von A? Zuerst entdecke ich, daß ich den Satz von „allen Kardinalzahlen” in meiner Rechnung nirgends brauche. Ich habe den Komplex B mit Hilfe von ρ konstruiert und bin dann auf die Gleichung A übergegangen; von „allen Kardinalzahlen” war dabei keine Rede! (Dieser Satz ist eine Begleitung der Rechnung in der Wortsprache, die mich hier nur verwirren kann.) Aber nicht nur fällt dieser Satz allgemeine Satz überhaupt fort, sondern kein anderer tritt an seine Stelle. (Außer etwa das logische Produkt α ∙ β ∙ γ[;|.] [a|A]ber auch das stimmt nicht, denn in diesem Produkt müßte ich erst gewisse Züge ‚hervorheben’. Denn wenn man fragt, was der Satz α ∙ β ∙ γ sagt, so kann ich eigentlich nur den Satz wieder-
holen, & von „allen Zahlen” ist da natürlich keine Rede. Diesem Ausdruck entsprechen entspricht vielmehr die Hervorhebungen Hervorhebung (die natürlich [ freilich ] auch nur in einem System von Zeichen Bedeutung haben). Aber diese Zeichen sind eben nun nicht Gleichungen, sondern Gleichungen mit hervorgehobenen Zügen. Wie 1˙
0
1
: 3 = 0˙3 keine Division mehr ist.)
       Der Satz der die Allgemeinheit behauptet fällt also weg, „es ist nichts bewiesen”, „es folgt nichts”.
       „Ja aber die Gleichung A folgt, sie steht nun an der Stelle des allgemeinen Satzes”. – Ja, in wiefern folgt sie denn? Offenbar versende ich hier ‚folgt’ in einem ganz andern Sinn, als dem normalen, da das, woraus A folgt kein Satz ist.
Das ist es auch warum
Darum fühlen wir auch, daß
das Wort „folgen” nicht richtig angewandt ist.

\
    
Wenn man sagt „aus dem Komplex B folgt, daß a + (b + c) = (a + b) + c”, schwindelt [e|E]inem. Man fühlt, daß man da auf irgend eine Weise einen Unsinn geredet hat, obwohl es äußerlich richtig klingt.

\
    
Daß eine Gleichung folgt, heißt eben schon etwas (hat seine bestimmte Grammatik.)


\
  /  
Aber wenn
ich höre
es heißt
„aus B folgt A”, so möchte
ich
man
fragen: „was folgt?” Daß a + (b + c) gleich (a + b) + c ist, ist ja eine Festsetzung, wenn es nicht auf normale Weise aus einer Gleichung folgt.

 
  /  
Wir können unsern Begriff des Folgens mit A & B nicht zur Deckung bringen. [ Wir können unsern [b|B]egriff des Folgens dem A & B nicht aufpassen. ] [ … nicht aufsetzen, er paßt hier nicht. ]

 
  ? ∫ ✓  
Man kann allerdings sagen, man rechtfertigt eine algebraische Rechnung durch die Möglichkeit der Konstruktion der Paradigmen durch ρ. Und das tut man auch wirklich. Aber das sagt nicht, daß man (a + b)² = a² + 2ab + b² durch α beweist. Im Gegenteil, man beweist β & γ mit α, kann aber A nicht damit beweisen.
     Man zeigt jemand z.B. den Übergang von (x + y)² zu x² + 2xy + y² & er sagt: Ja, – aber warum machst Du diesen Übergang von (x + y) ∙ (x + y) zu x ∙ (x + y) + y ∙ (x + y)? Und ich zeige ihm nun den entsprechenden Komplex B, um ihn zu überzeugen. Aber heißt das, ich habe die Richtigkeit des Über-
gangs bewiesen? Es heißt, ich habe das bewiesen, was gewöhnlich damit ausgedrückt wird, daß diese Gleichung für alle Kardinalzahlen gilt. Daß also, wenn ich das wollte, ich meinen Zweck erreicht habe.

 
    
Ich werde Dir beweisen, daß a + (b + n) = (a + b) + n”. Niemand erwartet sich nun den Komplex B zu sehen. Man erwartet eine ˇandere Regel über a, b & n zu hören, die den Übergang von der einen auf die andere Seite vermittelt. Wenn mir statt dessen B & das Schema R gegeben wird, so kann ich das keinen Beweis nennen, eben weil ich unter Beweis etwas anderes verstehe.8

\
    
Ja, ich werde dann etwa sagen: „Ach so, das nennst Du ‚Beweis’, ich habe mir vorgestellt …”.

\
    
Der Beweis von 17 + (18 + 5) = (17 + 18) + 5 wird allerdings nach dem Schema B geführt & dieser Zahlensatz ist von der Form A. Oder auch: B ist der Beweis des Zahlensatzes; aber eben deshalb nicht von A.

\
    
„Ich werde Dir AI, AII etc AIII aus dem einen [ aus einem ] Satz ableiten”. – Man denkt dabei natürlich an eine
Ableitung wie sie mit ˇHilfe diese[n|r] Sätzen gemacht wird. – Man denkt, es wird eine Art von kleineren Kettengliedern gegeben werden; durch die wir alle diese Großen ersetzen können.
    Und da haben wir doch ein bestimmtes Bild; und es wird uns etwas ganz anderes geboten.
     Die Gleichung wird durch den induktiven Beweis quasi der Quere, statt der Länge nach zusammengesetzt.

\
  ? /  
24.
Wenn wir nun die Ableitung ausführen[rechnen], so kommen wir endlich zu dem Punkt wo die Konstruktion von B vollendet ist. Aber hier heißt es nun „also gilt diese Gleichung”. Aber diese Worte heißen ja nun etwas anders als, wo wir sonst eine Gleichung aus Gleichungen folgern. Die Worte „die Gleichung folgt daraus” haben ja schon eine Bedeutung. Und hier wird eine Gleichung allerdings konstruiert, aber nach einem andern Prinzip.

 
   
[(|[]Der Satz kommt mit lauter verrenkten Gliedern zur Welt & ich muß sie ihm sie ihm erst alle, so gut es geht, einrenken. Kein Wunder wenn er dann keine
schöne, eindrucksvolle Gestalt hat.]

 
    
Wenn ich sage „aus dem Komplex folgt die Gleichung”, so ‚folgt’ hier eine Gleichung aus etwas, was gar keine Gleichung ist.

\
    
In dem Sinne, daß ich auf dem Papier das eine aus dem andern ◇◇◇ erhalte, das eine nach dem andern hinschreibe, kann allerdings die Gleichung A aus B folgen. In diesem Sinne könnte ich sie aus B ableiten.

    
Aber dadurch daß ich sie so ableite, bleibt sie immer, was sie war, die Grundgleichung eines Symbolismus.
    D.h. durch diese Ableitung wurde zwar, natürlich, ihr logischer Status ein anderer als er vor der Konstruktion
der
dieser
Ableitung war, aber er ändert sich nicht in der Weise wie, wenn die Gleichung bewiesen worden wäre. Es ist (ihr) etwas geschehen [ widerfahren ] , aber nicht das.
     Ich mache eben wieder nur auf einen Unterschied aufmerksam.

    
    [Der Gedanke ist schon vermudelt, & läßt sich nicht mehr gebrauchen. (Eine ähnliche Bemerkung hörte ich einmal von Labor, über musika-
lische Gedanken betreffend.) Wie Silberpapier, das einmal verknittert ist, sich nie mehr ganz glätten läßt. Fast alle meine Gedanken sind etwas verknittert.]

  /  
Man kann nicht sagen: die Gleichung wenn sie aus B folgt, folge doch aus einem Satz, nämlich ˇaus α ∙ β ∙ γ; denn es kommt eben darauf an, wie ich aus diesem Satz A erhalte; ob nach einer Regel des Folgens. Welches die interne
Verwandtschaft
Relation
der Gleichung zum Satz α ∙ β ∙ γ ist. (Die Regel, die in diesem Falle zu A führt, macht gleichsam einen Querschnitt durch α ∙ β ∙ γ[;|,] sie faßt den Satz anders auf, als eine Regel des Folgens.)

 
  /  
Wenn uns die Ableitung von A aus α versprochen war & wir sehen nun den Übergang von B auf A, so möchten wir sagen: „ach, so war es nicht gemeint”. So, als hätte jemand mir versprochen,
er wird mir etwas schenken
mir etwas zu schenken
& nun sagt ˇer: so, jetzt habe ich Dir meine Zeit geschenkt. [ & nun sagt er: so, jetzt schenke ich Dir
mein Vertrauen
meine Zeit
. ]
       (Eine Enttäuschung.)

 
   
(Ich hätte natürlich nicht das logische Produkt aus α, β & γ bilden müssen, denn A konnte ja aus den drei Sätzen folgen (wie z.B. α ∙ β ∙ γ aus seinen drei Faktoren). Aber das
Wesentliche ist, daß A nicht aus α, β & γ folgt.)

 
    
Darin, daß der Übergang von B auf A kein Folgen ist, liegt auch, was ich damit meinte, [ liegt auch was ich ˇdamit meinte wenn ich sagte, daß ] daß nicht das logische Produkt α ∙ β ∙ γ die Allgemeinheit ausdruckt.


\
    
Das Einschiebsel von diesem * zum nächsten gehört nach ⋎
Was heißt es, α ∙ β ∙ γ nicht als Satz ansehen? Dies sollte ja darauf ein Licht werfen, was es heißt, etwas als Satz ansehen. Und dabei
     Und dabei denke ich wieder an ein Durchlaufen der Länge nach statt der Quere.


    
Wie wenn man eine Schiene die i[m|n] Serpentinen läuft nicht als Schiene (der Länge nach) benützte sondern als Leiter (quer).


    
∣ Denken wir uns wir läsen die Sätze eines Buches verkehrt, die Worte in umgekehrter Reihenfolge; könnten wir nicht dennoch den Satz verstehen? Und klänge er jetzt nicht ganz unsatzmäßig? ∣

\
    
Das Bild vom längs & quer Durchlaufen ist natürlich wieder ein logisches Bild & darum ein ganz
exacter Ausdruck eines grammatischen Verhältnisses. [
Der Vergleich
Das Bild
vom längs & quer Durchlaufen ist ˇwieder ein logisches Bild & darum nicht ein unverbindliches Gleichnis sondern [ … und darum nicht als unverbindliches Gleichnis über die Achsel anzusehen, sondern … ] ein korrekter Ausdruck eines einer grammatischen Verhältnisses. Tatsache. ] Es ist also nicht davon zu sagen: „das ist ein bloßes Gleichnis, wer weiß wie es sich in der Wirklichkeit verhält”. ¥ ¥ ¥ ¥

\
   
Wenn ich sage, der Satz wird hier nicht als Satz aufgefaßt, denke ich da nicht an einen Fall wie den, wenn etwa eine Flasche nicht als Behälter, sondern als Kerzenleuchter verwendet wird? Es ist dann so, daß nur
Gewisses an der
gewisse Züge der
Struktur des Gegenstandes zur Verwendung kommt, während die Erzeugung des Gegenstandes auf eine andere Verwendung abgezielt hat.
    Aber ist denn die Flasche, die als Kerzenleuchter dient (dadurch) eine andere (geworden) als die, die zum Aufbewahren einer Flüssigkeit dient?

 
   
Die Ableitung zweier Satze aus einem
erzeugt
zeigt
einen formellen Zusammenhang zwischen den abgeleiteten.‒ ‒ ‒

 
   
Kann man sagen: α, β, γ sind Gleichungen der Algebra, aber weder fungiert die rekursive Definition α
als algebraischer Satz; noch β & γ als algebraische Sätze im Komplex B bei der Ableitung von A.

 
   
Die Hervorhebungen geschehen durch das Schema R & könnten so ausschauen:


a + (b + 1) = (a + b) + 1

a + (b + (c + 1)) = |a + ((b + c)| + 1

(a + b) + (c + 1) = |((a + b) + c)| + 1(Ƒ)



 
    
   Solche Hervorhebungen könnte man ja aber an jedem Satz machen, aus dem man etwas nach einer Regel schließt. Wenn ich nach der Regel a + b = b + a schreibe:       r ∙ s + s ∙ r = s ∙ r + r ∙ s, so könnte ich die Benützung der Regel durch

a
r ∙ s +
b
s ∙ r =
b
s ∙ r +
a
r ∙ s
(Ƒ) andeuten. etc..

    
Es hätte aber natürlich auch genügt (d.h. wäre ein Symbol der selben Multiplizität gewesen) B anzuschreiben & dazu: f1ξ = a + (b + ξ), f2ξ = (a + b) + ξ. (Und dabei ist wieder zu bedenken [ anzumerken ] , daß jedes Symbol – wie explizit auch immer – mißdeutet werden kann. –)
      Und natürlich, um „f1ξ = … ” & „f2ξ = … ”
mit
bei
B zu verstehen, muß ich das B auf gewisse Weise sehen.


X
  X  
Wer etwa zuerst darauf aufmerksam macht daß B so gesehen werden kann, der führt ein neues Zeichen ein; ob er nun die Hervorhebungen mit B verbindet oder auch das Schema R daneben schreibt. Denn dann ist eben R das neue Zeichen. Oder ˇwenn man will auch B zusammen mit R.

 
  /  
Wer entdeckt daß ˇein Satz p aus einem von der Form q ⊃ p ∙ q folgt der konstruiert ein neues Zeichen, das Zeichen dieser Regel. (Ich nehme dabei an,
ein
der
Kalkül mit p, q, ⊃ , ∙ , sei schon früher gebraucht worden, & nun träte diese Regel hinzu & schaffe damit einen neuen Kalkül.)

 
  X  
Man könnte etwa sagen: Hier wurde die untere Gleichung als a + b = b + a gebraucht; und analog: hier wurde B als A gebraucht, wobei B aber gleichsam der Quere nach gelesen wurde. Oder: B wurde als A gebraucht, aber die neue Gleichung [ das ˇder neue Zeichen Satz ] wird aus α ∙ β ∙ γ so zusammengestellt, daß man, indem man (nun) A aus B herausliest ˇman nicht α ∙ β ∙ γ in jener verkürzten Form Art von Verkürzung liest in der man die Pr[e|ä]misse im Folgesatz vor sich hat. [ … im Folgesatz liest. ]


 
    
Wenn ich sage: α, ∙ β ∙ γ entspricht noch nicht dem allgemeinen Satz der Wortsprache, so will ich etwa sagen, daß man „α ∙ β ∙ γ” lesen kann, ohne daß einem das auffällt, was uns als Ausdruck des allgemeinen Satzes gilt. Nur daß die Wortsprache sagen möchte: Dieser Satz α ∙ β ∙ γ entspricht dem Schema R, also gilt …; während wir sagen: : dieser Satz entspricht dem Schema R; & kein „also” hinzufügen.
     Wie ist nun aber dieser Satz im Symbolismus ausgedrückt?

    
Ist denn das nicht der Fall von „‚fa’ & ‚Fa’ haben den gleichen Bestandteil”? Und ich sagte doch, das müsse sich zeigen. Und wäre es denn dadurch gesagt, daß ich schriebe „f(a) & F(a)? Dann brauchte ich ja einen weiteren Satz der sagte, daß unter jedem der beiden ‚a’ ein Strich ist.

    
Was heißt es nun: „Ich mache Dich darauf aufmerksam, daß hier in beiden Funktionszei[g|c]hen das gleiche
Zeichen
Argument
steht (vielleicht hast Du es nicht bemerkt)”? Heißt das, daß er den Satz nicht verstanden hatte? Und doch hat er etwas nicht bemerkt, was wesent-
lich zum Satz gehörte; nicht etwa, als könnte es dieser Satz sein & doch eine gewisse Eigenschaft (eine externe Eigenschaft) nicht haben, die
er
man
nicht bemerkt hatte.
[ … ; nicht etwa ˇso als hätte er eine externe Eigenschaft des Satzes nicht bemerkt. ] (Hier sieht man wieder welcher Art das ist was man „verstehen eines Satzes” nennt.)

⋎ * ‒ ‒ ‒ *
¥


\
  / ✓  
Wenn ich sage, man sieht α ∙ β ∙ γ nicht als Satz an, so meine ich, ich benütze seine Zeichen nicht in der Reihenfolge, in der in der ich sie beim Durchlesen des Satzes berühre. Und das zeigt sich darin, wenn ich die induktive Auffassung des Satzes erkläre & dazu die Anwendung des Schemas B zum Fortschreiben von einer Stufe zur andern in der Induktion vorführe. Dann benütze ich den Komplex eben der Quere nach. Und diese Benützung zeigt mir eigentlich, wie ich
ihn
den Komplex
auffasse. Die Gleichungen α, β, γ sind der Länge nach entstanden, & ich benütze sie nun der Quere nach.

 
  / ✓  
Ist der [C|K]omplex B als logisches Produkt & anderseits als
Schema der periodischen Rechnung [ als periodische Rechnung ] aufgefaßt, nicht so verschieden, wie etwa die Kardinalzahl 1 von der reellen Zahl 1?

 
    
Ich sage, B gehört nun, als Zeichen der Induktion aufgefaßt, einem neuen System an. (
I
Bei
der periodischen Division
wird
ist
das noch klarer. Die Unendlichkeit tritt in die Betrachtung, die früher gar nichts
in
mit
der Rechnung zu tun hatte.)

\ ✓
    
Wenn ich sagte, das neue Zeichen mit den Hervorhebungen müsse ja doch aus dem alten ohne die Hervorhebungen
entstehen
abgeleitet sein
, so heißt das nichts, weil ich ja das Zeichen mit den Hervorhebungen abgesehen von seiner Entstehung betrachten kann. Es stellt sich mir dann [Frege] dar als drei Gleichungen, d.h., als die Figur dreier Gleichungen mit gewissen Unterstreichungen etc..
      Daß diese Figur ganz analog der der drei Gleichungen ohne den Unterstreichungen ist, ist allerdings bedeutsam, wie es ja auch bedeutsam ist, daß die Kardinalzahl 1 & die Rationalzahl 1 gleiche analogen Regeln befolgen, unterworfen sind, aber es hindert nicht daß wir hier ein
anderes
neues
Zeichen haben.



? \ ✓
   
Aber ist es denn ˇauch bei der [I|i]nduktiven Benützung von B den Gleichungen β & γ nicht wesentlich, daß sie „der Länge nach” abgeleitet wurden? – Ich kann ja auch statt β & γ die ganze Ableitungskette hinsetzen.

 
  /  
Ich treibe jetzt etwas ganz Neues mit diesen Zeichen.

 
  /  
Verhält es sich hier nicht so, wie in dem Fall, den ich einmal annahm, daß der Kalkül der Wahrheitsfunktionen von Frege & Russell mit der Kombination ~p ∙ ~q der Zeichen „~” & „ ∙ ” betrieben worden wäre, ohne daß man das gemerkt hätte, & daß nun Scheffer, statt eine neue Definition zu geben, nur auf eine Eigentümlichkeit der bereits benutzten Zeichen aufmerksam gemacht hätte.

 
   
Übrigens sind ja alle mathematischen Entdeckungen von dieser Art & das ˇist nur ein extremer Fall in dem wir der Entdeckung (in gewissem Sinn) im Symbolismus ganz nahe gebracht sind.

 
  /  
Man hätte immer dividieren können ohne je auf die Periodizität aufmerksam zu werden. Hat man sie gesehen, so hat man etwas Neues gesehen.



 
    
   Könnte man das aber dann nicht ausdehnen & sagen: „ich hätte Zahlen miteinander multiplizieren können, ohne je auf den Spezialfall aufmerksam zu werden, daß ich eine Zahl mit sich selbst multipliziere & also ist x² nicht einfach „x ∙ x.” Die Schaffung des Zeichens „x²” könnte man den Ausdruck dafür nennen, daß man auf diesen Spezialfall aufmerksam geworden ist. Oder, man hätte (immer) a mit b multiplizieren und durch c dividieren können, ohne darauf aufmerksam zu werden, daß man „
a ∙ b
c
” auch „a ∙
b
c
” schreiben kann & daß das analog a ∙ b ist. Und weiter: das ist doch der Fall des Wilden der die Analogie zwischen ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ & ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ noch nicht sieht oder die zwischen ❘ ❘ & ❘ ❘ ❘ ❘ ❘.

\
    
∣ Die Frage „können viele einige unter viele einige verteilt werden” [ „können einige Äpfel unter einige Menschen verteilt werden” ] hat keinen Sinn. (Zum System 1, 2, 3, 4, 5, viele) ∣

\ ✓
    
∣ Ein Satz der auf einer falschen Rechnung beruht (wie etwa „er teilte das 3 m lange Brett in 4 Teile zu je 1 m”) hat keinen Sinn [ ist unsinnig ] & das wirft ein Licht auf den Sinn der Ausdrücke „Sinn haben” & „etwas mit dem Satz meinen”. [ … & das beleuchtet was es heißt „Sinn zu haben“ & „etwas mit dem Satz meinen”. ]


\
  /  
Es hat Sinn zu sagen: Ich verteilte viele
unter
auf
viele. Aber der Satz „ich konnte die vielen Nüsse nicht unter die vielen Menschen verteilen” kann nicht heißen, daß es logisch unmöglich war. Man kann auch nicht sagen: „in manchen Fällen ist es möglich viele unter viele zu verteilen, in manchen nicht”; denn darauf frage ich: in welchen Fällen ist dies möglich & in welchen nicht unmöglich? Und darauf könnte nicht mehr im Viele-System geantwortet werden.

 
  /  
In der Notation „x²” verschwindet ja wirklich die Möglichkeit das eine der x [ den einen der Faktoren x ] durch eine andere Zahl zu ersetzen. Ja, es wären zwei Stadien der Entdeckung (oder Konstruktion) von x² denkbar. Daß man etwa zuerst statt „x²” „x⁼” setzt, ehe es Einem nämlich auffällt, daß es das System x ∙ x, x ∙ x ∙ x, etc. gibt & daß man dann erst hierauf kommt. Ähnliches ist in der Mathematik unzählige Male vorgekommen. (Liebig bezeichnete ein Oxyd noch nicht so, daß der Sauerstoff darin als gleichwärtiges Element mit dem Oxydierten [ … als Element wie das Oxydierte ] auftrat. Und, so seltsam das klingt, so könnte
man auch mit allen ˇuns heute & jemals bekannten Daten dem Sauerstoff durch eine ungeheuer künstliche Interpretation – d.h., grammatische Konstruktion – eine solche Ausnahmsstellung verschaffen, natürlich nur in der Form der Darstellung.)

 
    
25.
Ich will also sagen: x² mußte man entdecken wie den induktiven Zug in B (und wie die Irrationalzahlen). Und damit hat man in jedem der Fälle ein neues System konstruiert. Aber ist denn nicht nach wie vor, x² = x ∙ x? – Und wenn wir nun durch Definition setzen:

    [a + (b + 1) = (a + b) + 1] & [a + (b + (c + 1)) = (a + (b + c) + 1] & [(a + b) + (c) + 1) =

    = ((a + b) + c) + 1] ≝ a + (b + cc) .𝒥. (a + b) + cc … U)(Ƒ) und

allgemein: [f1(1) = f2(1)] & [f1(c + 1) = f1(c) + 1] & [f2(c + 1) = f2(c) + 1] .≝.

    .≝. f1(n c) .𝒥. f2(n c) … V)! – (Ƒ)


\
    
Die 2 in „x²” könnte man wirklich noch durch ein beliebiges anderes Zeichen ersetzen, solange man sie noch nicht mit den andern Potenzen in Verbindung gebracht hat.

    
Da muß man nun sagen, daß man die Definition des ξ𝒥η gar nicht
versteht
verstehen kann
, wenn man nicht
schon die linke Seite der Definition nach dem neuen System sieht. Übrigens gilt das auch von x ∙ x = x², denn es wäre möglich daß diese Definition jemand mißversteht & glaubt daß nach ihr (x ∙ x) ∙ (x ∙ x) = x³ wäre. Und darum ist ja die allgemeine Definition von ξ.𝒥.η von einer ganz neuen Allgemeinheit; d.h., die Zeichen „f1”, „f2” sind im ˇalten Kalkül mit a, b, c noch gar nicht bekannt.

   
Wer aber z.B. so den Potenzexponenten mißverstanden hätte, würde doch mit dem Zeichen „x²” richtig rechnen, solange er es nur als Abkürzung für „x ∙ x” gebrauchte. Daß wir aber hier über das alte System hinausgehen zeigt die allgemeine Erklärung des Exponenten, etwa x ∙ x ∙ x…n-mal = xn[x¹ = x, xⁿ⁺¹ = xn ∙ x] weil diese Zeichen enthält („xn”) die in der Algebra, die die Potenzen nicht kennt wenn auch die Ausdrücke „x ∙ x”, „x ∙ x ∙ x” nicht vorhanden sind.
       Ich habe in dem Ausdruck des letzten Satzes „wenn auch die Ausdrücke ‚x ∙ x’, ‚x ∙ x ∙ x’” natürlich mit Absicht das ‚u.s.w.’ weggelassen, denn eben dieses ist es ja, welches die neue Konstruktion hinzufügt. (Das ‚u.s.w.’ wäre hier, wie schon so oft bemerkt, keine Abkürzung. Wenn ich sage „in dem Konzert waren alle meine Geschwister Paul, Gretl u.s.w.” so ist hier das
‚u.s.w.’ eine Abkürzung. Eine Abkürzung muß eben für etwas stehen was nicht angeschrieben ist., nicht Der
Ausdruck
Satz
daß es nicht angeschrieben ist” (und ebenso sein Gegenteil) darf also nicht Unsinn sein.)

 
    
Was ich sagen will ist eigentlich nur: Mit den Definitionen x ∙ x = x², x ∙ x ∙ x = x³, x ∙ x ∙ x ∙ x = x⁴ kommen nur die Zeichen x², x³, x⁴ zur Welt (und so weit war es noch nicht nötig Ziffern als Exponenten zu schreiben). ∣ Die rekursive Definition von xn drückt nicht etwa aus was im Kalkül mit x², x³, x⁴ schon war [ schon vorhanden war ] & nur hat gefunden werden müssen, sondern bedeutet eine neue Konstruktion ∣ . ([d|D]ie keine frühere Lücke ausfüllt.)

X
    
Es wäre eine Frage, wie eine Algebra aussähe die ganz ohne Induktion
arbeitete
arbeiten würde
. Wie ist es in dieser Beziehung in der „Algebra der Logik” wie sie Frege & Russell benützen? In dieser w[i|e]rden keine rekursiven Definitionen gegeben & keine rekursiven Beweise gegeben geführt. [ keine rekursiven Definitionen & keine rekursiven Beweise gegeben. ]

    
Wenn ich früher sagte, die Definition von ξ.𝒥.η kann man nicht verstehen,
„wenn man nicht schon die linke Seite der Definition in dem neuen System sieht”, so heißt das eigentlich nicht mehr, als daß die beiden Seiten zusammen ein Zeichen bilden. Daß sie nur mit Beziehung auf einander (& nicht einzeln) Bedeutung haben.
      Und dasselbe gilt, wenn es heißt „Fa, und a ≝ f(b) ist” oder „Fa, wo a ≝ f(b) ist”. Auch hier bilden Fa & die Definition wirklich ein Zeichen, – oder, richtiger & ohne Mythus: sie gehören zusammen & ich hätte ja auch schreiben können: F(a) ≝ F(f(b)).

   
Aber auch das stellt die Sache nicht richtig dar. Die Definition U hätte man sehr wohl als eine – gleichsam, willkürliche – Abkürzung des Ausdrucks α ∙ β ∙ γ auffassen können, also ohne das System zu sehen dem sie nach unserer Auffassung angehört. Die Definition so betrachtet ist ist eine andere als die von uns gemeinte, die man durch Hervorhebungen von der ersten unterscheiden könnte. Aber hier dadurch geben wir dann in Wirklichkeit die allgemeine Definition V. Und das heißt: die erste Definition verstehen, wie ich sie gemeint habe heißt sie als Gleichung verstehen die der Definition V (der allgemeinen Definition) gemäß ist.



 
    
Ich könnte es so ausdrücken: man könnte die Definition U sehen ohne zu wissen warum ich so definiere. [ so abkürze. ]
     Man könnte die Definition ◇◇◇ sehen ohne ihren Witz zu verstehen. – Aber dieser Witz ist eben etwas Neues, daß in ihr als spezieller Ersetzungsregel noch nicht liegt.

\
    
Auch ist „I” natürlich kein Gleichheitszeichen, in dem Sinn, wie sie in α, β & γ stehen.

X
    
Aber man kann leicht zeigen, daß „I” gewisse formale I Eigenschaften mit = gemein hat.

    
Nun habe ich aber doch gesagt,: wenn man aus α ∙ β ∙ γ A ableitet so betrachtet man α ∙ β ∙ γ gar nicht als Satz!
     Heißt das nicht: in der Definition U ist die rechte Seite nicht in demselben Sinne ein Satz wie die linke, denn im System der Sätze der linken Seite kann die Funktion I nicht vorkommen?

    
Das erste System ist, gleichsam, in Bezug auf I unschuldig. Es treibt seine Spiele mit a, b, c, +, = , und kann es selbst nicht merken daß I entsteht.



   
Was natürlich wieder nichts anderes heißt, als daß U keine Definition von I ist, sondern V.

 
  /  
∣ Der Prozess der
Verallgemeinerung
Generalisation
schafft ein neues Zeichensystem. ∣

 
  /  
Daß man sagt „die Richtigkeit der Gleichung ist bewiesen”, zeigt schon, daß Beweis nicht jede
Konstruktion
Ableitung
ist. [ … [A|K]onstruktion der Gleichung ist. ]

 
  /  
Die eigentliche Entdeckung ist die, die mich fähig macht mit dem Philosophieren aufzuhören, wann ich will.
       Die die Philosophie zur Ruhe bringt so daß sie nicht mehr von Fragen gepeitscht
wird
ist
die sie selbst in Frage stellen.
         Sondern es wird jetzt an Beispielen eine Methode gezeigt, & die Reihe dieser Beispiele kann man abbrechen.

 
  /  
Richtiger hieße es aber: Es werden Probleme gelöst (
Schwierigkeiten
Beunruhigungen
beseitigt) nicht ein Problem.

 
  X  
Es ist eine sehr wichtige Bemerkung daß das c in A nicht dieselbe Variable ist wie das c in β & γ. Ich habe also den Beweis nicht ganz richtig hingeschrieben, und
zwar in einer für uns sehr wichtigen Beziehung. In A könnten wir statt c n setzen, dagegen sind die c in β & γ identisch.
      Es ist aber auch noch das zu fragen: kann ich nun aus A ableiten, daß i + (k + c) = (i + k) + c? und wenn ja, warum dann nicht gleich aus B? Also ist auch a & b in A nicht identisch mit a & b in α, β & γ?

 
    
B tritt jetzt einfach an Stelle von A.

    
Diese Bemerkung ist so wichtig wie jede über eine Verschiedenheit im Knochenbau zweier Tiere. [ Tierarten. ]

    
Auf den ersten Blick scheint es zwei Stadien der Allgemeinheit des Beweises zu geben: Wir könnten zuerst in B statt a & b zwei bestimmte Zahlen setzen 4 & 5 & dann wäre also das Resultat 4 + (5 + n) = (4 + 5) + n. Und nun könnten wir einen weitern Schritt in der Allgemeinheit machen & „allgemeine Zahlen” statt 4 & 5 setzen.

    
Daß die Variable c in B nicht identisch mit c in A ist sieht man klar wenn man statt ihrer eine Zahl einsetzt. Dann lautet B etwa:
α
β
γ
     4 + (5 + 1) = (4 + 5) + 11
4 + (5 + (6 + 1)) = (4 + (5 + 6)) + 1
(4 + 5) + (6 + 1) = (4 + 5) + (6 + 1)
    
}      W)

aber dem entspricht nun nicht etwa
die Gleichung AW: 4 + (5 + 6) = (4 + 5) + 6!

   
Als Induktionsbeweis betrachtet rechtfertigt W nicht gerade den Übergang in AW. Nicht mehr als der Übergang 4 + (5 + 2) = (4 + 5) + 2.

 
  ✓ ✓  
Soll nun auf der rechten Seite der Definition U ein ‚c’ stehen oder ein ‚n’? Ein c, da ja die rechte Seite nichts weiter ist als eine Abkürzung der rechten. (Auf den vorigen Fall angewendet wäre also statt W zu schreiben 4 + (5 + 6) .J. (4 + 5) + 6 Aber das wäre nicht die Gleichung AW.

 
  /  
∣ Was die irrationalen Zahlen betrifft so sagt meine Untersuchung nur, daß es falsch (oder irreführend) ist), von Irrationalzahlen zu sprechen indem man die sie als Zahlenart den Kardinal- & Rationalzahlen gegenüberstellt, weil das was man die man „Irrationalzahlen“ nennt in Wirklichkeit mehrere verschiedene Zahlenarten umfassen nennt, – die von einander so verschieden, sind wie Kardinal die Rationalzahlen von jeder von ihnen. ∣

 
   
[Zum vorletzten Satz] Noch wäre es ihre besondere Rechtfertigung.
     Will man also die Form der durch W gerechtfertigten Zahlenglei-
chung (also das „Bewiesene”) hinschreiben so muß es
lauten
heißen
: 4 + (5 + n) = (4 + 5) + n.

 
    
Wenn ich ˇso aber ◇◇◇ in B statt a & b bestimmte Zahlen einsetze so ändert der Beweis insofern seinen Charakter, als nun β & γ nicht mehr aus α hervorgehen sondern nur aus dem früheren allgemeinen α. Und das gewährt uns wieder einen Einblick in den Beweis. Denn auch in seiner allgemeinen Form wird β & γ nicht eigentlich mit Hilfe von α konstruiert sondern mit Hilfe eines algebraischen Paradigmas von der Form α (daß übrigens ganz andere Variable enthalten kann).

    
Vergessen wir nicht daß U & W (wie alle Definitionen) nur Abkürzungen einführen, die ebensogut wegbleiben könnten. Durch diese Definitionen ist also kein entscheidender logischer Schritt geschehen. Wohl aber durch die neue Auffassung ihrer linken se Seiten. Oder richtiger durch deren Konstruktion die also fälschlicher Weise so geschrieben wurde wie das alte Zeichen α ∙ β ∙ γ. Der richtige Ausdruck unseres
unseres Schrittes
des logischen Schrittes
ist nur die
Einführung eines neuen
Neueinführung einesc
Zeichens.

    
[Ich bin außerordentlich ungeschickt, aber gerade darum geh sehe ich die Schwierigkeiten, an denen ein
Geschickterer vorbeiginge.]

   
Ich fragte oben: ist meine Behauptung, daß im induktiven Verfahren α ∙ β ∙ γ nicht als Satz aufgefaßt wird, nicht dadurch ausgedrückt daß in U die rechte Seite nicht in demselben in einem andern Sinne ein Satz ist wie als die linke[?|.] Aber der Ausdruck dieser Behauptung ist, daß α ∙ β ∙ γ mit den Hervorhebungen in anderem Sinne ein Satz ist als α ∙ β ∙ γ ohne den Hervorhebungen.

 
   
Man könnte sagen: was ich von B & i + (k + l) = (i + k) + l sage, bezieht sich auch auf den Fall des Beweises (a + b)² = a² + 2ab + b². Auch hier könnte man vor der letzten Transformation stehen bleiben & sie erst in einer Anwendung auf (i + k)² machen.

 
   
[Meine Methode ist, mich immer wieder von denselben Dingen puzzlen zu lassen.]

 
  /  
∣ Die Frage nach der Verifikation ist nur eine andere Form der Frage „wie meinst Du das?”. ∣

 
   
Darin daß das c in B nicht identisch ist mit dem c in A oder: darin daß man die beiden Stellen mit verschiedenen
Buchstaben besetzen kann,
… ist ausgedrückt …
ist – glaube ich – ausgedrückt
, was den Induktionsbeweis von einem Beweis von A unterscheidet

 
    
∣ Es ist nicht nur höchst bedeutsam daß man ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ auf vielerlei Arten sehen kann (in vielerlei Gruppierungen) sondern ˇnoch viel mehr bemerkenswert daß man es willkürlich tun kann. Daß D.h., daß es einen ganz bestimmten Vorgang gibt eine bestimmte „Auffassung” auf Befehl zu bekommen; & daß es – dem entsprechend – auch einen ganz bestimmten Vorgang des vergeblichen Versuchens gibt. So kann man auf Befehl die Figur so sehen daß der eine oder der andere Vertikalstrich die Nase, dieser oder jener Strich der Mund wird, und kann unter Umständen das eine oder das andere vergeblich versuchen. ∣

\
    
∣ Das Wesentliche ist hier daß dieser Versuch den Charakter des Versuchs hat, ein Gewicht mit der Hand zu heben; nicht den Charakter des Versuchs in welchem man verschiedenes tut verschiedene Mittel ausprobiert um z.B. ein Gewicht zu heben. In den zwei Fällen hat das
Wort „Versuch” ganz verschiedene Bedeutungen. (Eine außerordentlich folgenreiche grammatische Tatsache.) ∣

\
   
[Ich greife oft im Schreiben meinem Denken vor!]

 
   
Der Fluß der Zahlen [ der Zahlenstrom ] durch B zeigt das associative Gesetz.

 
  ✓ ? /  
Heißt was ich oben geschrieben habe etwas anderes als das der Schein des algebraischen Beweises von A dadurch entsteht, daß wir in den Gleichungen Aα,β,γ die gleichen Variablen a, b, c wiederzufinden meinen wie in α, β, γ & daher A für
das Resultat
ein Produkt
einer Transformation jener Gleichungen ansehen. (Während ich ja in Wirklichkeit dem Schriftzeichen α β γ eine ganz neue Auffassung gebe, worin es liegt, daß das c in β & γ nicht in derselben Weise als Variable gebraucht wird, wie a & b. So daß es also ein Ausdruck dieser andern Auffassung von B ist, daß in A das c nicht vorkommt.)

 
   
Was ich von dem Wechsel in der Auffassung von α β γ gesagt habe könnte ich jetzt so sagen: α, β & γ entstehen mit
Hilfe von α genau so wie etwa (a + b)² = a² + 2ab + b² mit Hilfe der algebraischen Grundgleichungen. Kann aber sind Sind sie ˇaber so abgeleitet so betrachten wir den Komplex α β γ auf eine neue Weise, indem wir der Variablen c eine andere Funktion geben als a & und b. (c wird das
Loch
Rohr
durch das der Zahlenstrom fließt fließen muß.)

 
    
Man könnte das auch (einfach) so sagen: die rekursive [ induktive ] Anwendung der Buchstabengleichung ist eine andere als die nicht induktive. Die Definition a + (b + 1) = (a + b) + 1 nicht induktiv auf 4 & 5 angewandt gibt für a = 4 & b = 5 4 + (5 + 1) = (4 + 5) + 1 & diese Gleichung ist das Resultat der Anwendung von α. Die rekursive Anwendung von αaber best auf 4 & 5 (a = 4 &, b = 5) besteht in der Erzeugung einer Reihe von Gleichungen 4 + (5 + 1) = (4 + 5) + 1 = (4 + (4 + 1)) + 1 = ((4 + 4) + 1 ( + 1) = ((4 + (3 + 1)) + 1) + 1) = etc. (hier ist „etc” eine Abkürzung). Ebenso besteht die nicht induktive Anwendung von B auf 4, 5, 7, in der Einsetzung von dieser Zahlen statt der Variablen. Dagegen die induktive Anwendung im Erzeugen einer Reihe von Gleichungen die mit 4 + (5 + 1) = (4 + 5) + 1 anfängt & mit 4 + (5 + 7) = (4 + 5) + 7) endet.



\
   
Man kann hier sagen: die Anwendung der Variablen ist ihr Sinn.

 
   
Oder: Die Beschreibung der Anwendung des Zeichens ist eine Ergänzung des Zeichens & ergibt eben in beiden = den zwei Fällen etwas Verschiedenes.

 
   
Die Beschreibung der Anwendung des Zeichens ist ja ein Zeichen & statt des ersten zu verwenden. Die Hervorhebungen könnte man ja sehr wohl als Beschreibung [ als Symbol zur Beschreibung ] der ˇinduktiven Anwendung von B
ansehen.
auffassen.


 
  /  
∣ Wenn auf die Lösung – etwa – des Fermatschen Problems Preise angesetzt sind so könnte man mir
vorwerfen
vorhalten
sagen
: wie kannst Du
sagen
behaupten
, daß es dieses Problem nicht gebe, wenn Preise ˇauf die Lösung ausgesetzt sind so muß es das Problem wohl geben. Ich müßte sagen: Gewiß, nur mißverstehen die, die darüber reden die Grammatik des Wortes „mathematisches Problem” & des Wortes „Lösung”. Der Preis ist eigentlich auf die Lösung einer Naturwissenschaftlichen Aufgabe gesetzt, (gleichsam) auf das Äußere der Lösung (darum spricht man z.B. auch von einer Riemannschen Hypothese). Die Bedingungen der Aufgabe sind äußerliche, und
wenn die Aufgabe gelöst ist so entspricht, was geschehen ist der gestellten Aufgabe [ der Stellung der Aufgabe ] wie die Lösung einer physikalischen Aufgabe dieser Aufgabe.

 
    
Wäre die Aufgabe eine Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks zu finden, so ist die Konstruktion in dieser Aufgabestellung durch das physikalische Merkmal charakterisiert, daß sie tatsächlich ein durch Messung definiertes regelmäßiges 5-Eck liefern soll. Denn den Begriff der konstruktiven 5Teilung (oder des konstruktiven 5-Ecks) haben wir ja noch gar nicht [erhalten wir ja erst durch die Konstruktion.]

\
    
Ebenso im Fermatschen Satz haben wir ein empirisches Gebilde das wir als Hypothese deuten also ˇ– natürlich – nicht als Ende einer Konstruktion. Die Aufgabe fragt also ˇim gewissen Sinn nach etwas anderem als was die Lösung gibt. ∣

\
    
Das Zeichen B im Beweis wird also induktiv aufgefaßt das bewiesene ˇA aber nicht (sondern das ist wieder ein Zeichen wie α in der Anwendung Ableitung von β & γ). Und darin, daß man auf diesen logischen Unterschied nicht aufmerksam wird liegt die Täuschung als sei A im alten Sinn des Wortes – also
wie β & γ – ‚bewiesen’.

\ ✓
  /  
∣ Natürlich steht auch der Beweis des Gegenteils, des Fermatschen Satzes z.B, im gleichen Verhältnis zur Aufgabe wie der Beweis des Satzes. (Beweis der Unmöglichkeit einer Konstruktion.) ∣

 
   
Wieweit hat sich der Philosoph in die Mathematik zu mischen?

 
   
26.
Der [P|p]hilosophische Witz.

 
  ? ✓ ∫  
Ich könnte algebraische Rechnungen (Anwendungen) machen & mich dabei immer nur auf die ‚Beweise I, II, III, etc. beziehen, nie auf die ‚bewiesenen Satze’.
      Wenn man aber so ◇◇◇ aus (a + b)² = etc ausgerechnet & nun wieder eine Anwendung auf (s ∙ t + i ∙ k)² gemacht hätte, so käme man darauf, daß, so wie man hier (a + b)² = etc verwendet hat, früher implizite von
einem Vorbild
einer Gleichung
a + (b + c) = (a + b) + c Gebrauch gemacht wurde. D.h., daß ◇◇◇ man, statt sich auf B zu z beziehen, man sich auf eine solche Gleichung hätte beziehen können.
        Man könnte aber jetzt nicht sagen, daß diese Gleichung
von
aus
B abgeleitet war, so wenig wie früher die Gleichung i + (k + l) = (i + k) + l. Und so wenig wie die Gleichung (i + k)² = etc aus (a + b)² = etc..

 
   
Was heißt es denn, daß alle Übergänge
in meinen Rechnungen (z.B. in (i + k)² = etc) nach diesen (bestimmten) Regeln vor sich gehen. Doch wohl nur, daß sie alle von der Art der Übergänge (in) I, II, III, etc sind. Das associative Gesetz legt eine Art von Übergang fest, gibt ein Beispiel von ihm, & ebenso die andern Gesetze.
        Wenn ich z.B. die Kette von Gleichungen des Beweises (a + b)² = … anschreibe, so ist jede dieser Gleichungen nach dem Modell eines der Grundgesetze geformt; und wir sagen dann, der Übergang geschieht nach diesem Grundgesetz.

 
    
(Das associative Gesetz ist das Vorbild des associativen Übergangs.)

X
   
Der Beweis B zeigt etwas um A.

    
A ist die allgemeine Form der Zahlengleichungen die B beweist. ((Und dieser Satz selbst bringt uns der Anwendung von A nicht näher als A selbst & ist nur eine Übersetzung von A selbst)) Und die algebraische Notation wird verwendet um mir zu sagen, wie ich z.B. im Falle (17 + 18)² rechnen soll, indem
es heißt
mir gesagt wird
„(a + b)² = etc”. D.h., ich soll dieser Gleichung gemäß rechnen. Und insofern könnte man unsere Induktion einen Beweis der algebraischen Rechnung Gleichung nennen. Denn ich könnte sagen: Rechne nach [ Rechne ruhig nach ] dieser Gleichung, sie
ist bewiesen worden.

  / \\  
∣ („So soll er sich kränken”, daß ist oft das letzte Wort in einem philosophischen Hin & her; der Verstand wird so lange von der Scheinfrage zurückgeworfen
wurde
nicht sie gelöst wurde
sondern seine Einstellung durch ihre
Stöße
Rückstöße
zurecht gerichtet hat.) ∣

 
   
Die kritische Stelle [ der Haken ] im vorigen Satz liegt
in in der Bemerkung
im Ausdruck
„wie ich z.B. im Falle (17 + 18)² …”. Wenn ich jemandem im Falle (17 + 18)² die Rechnungsregel (a + b)² = etc gebe, so kann
diese (hier)
das
nicht mehr leisten als unmittelbar die Regel (17 + 18)² = 17² + 2 ∙ 17 ∙ 18 + 18². Ich könnte freilich der Bequemlichkeit halber, wenn „(a + b)² = etc” schon irgendwo aufgeschrieben ist darauf deuten aber was hier an dieser Regel wirkt, [ wirksam ist, ] ist nur, was in der besonderen
Zahlenregel
Ziffernregel
auch steht. Und das Gleiche gilt, natürlich, wenn ich die Beispiele häufe. Nie k[ö|o]mme ich über die besonderen Zahlenregeln hinaus. Der Haken liegt in dem Wort „z.B.” der angeführten Stelle. Dieses Wort macht die Rechnung (17 + 18)² zu einem Beispiel also bereits zum Ausdruck der algebraischen Regel.
Wir rennen uns hier immer …
Der Verstand rennt ˇsich hier immer
wieder den Kopf an beim Versuch die Allgemeinheit in eine
Anzahl
[ Zahl ]
Liste
von
Beispielen aufzulösen. D.h. er will den allgemeinen Satz wiederholen ihn aber doch nicht allgemein wiederholen. Will zwischen dem Allgemeinen & besondern Fällen vermitteln.

 
    
(Der Philosoph übertreibt, schreit gleichsam, in seiner Ohnmacht, solange er den Kern der Confusion noch nicht entdeckt hat.)

X ✓
    
…Rechne nach dieser Gleichung, sie ist bewiesen worden.
     Und anderseitserer, sie ist nur insofern bewiesen worden, als sie die Form der Zahlengleichungen ist, die in der Induktion ihre Rechtfertigung haben. (Wieder irreführend! weil es klingt als hätten wir eine Gesamtheit von Zahlengleichungen die mit
deren
ihrer
Form äquivalent wäre.
Zahlengleichungen sind
[ Denn Zahlengleichungen sind nichts als Zahlengleichungen …. Und hier darf es nicht heißen „die Zahlengleichungen”, denn das könnte nur heißen,: die Zahlengleichungen die wir jetzt ich jetzt aufgeschrieben habe, oder dergleich. ]
)

  ? ∫  
Wie verhalten sich: das Zahlenspiel 17 + (18 + 20) = …, der Satz A & der Beweis B?



   
(Man muß sich zu einer Ausdrucksweise
durchringen
hindurchringen
.)

 
  ? ∫ ✓  
Drückt B weniger klar aus, wie im besonderen Fall gerechnet werden soll als A?

 
   
BI, BII sind Beweise von 17 + (28 + 14) = …, 17 + 1 = 1 + 17 etc.. Wenn das wahr ist, so sind sie insofern auch Beweise von AI AII etc., aber eben nur insofern (als) A die Form des Zahlenbeispiels ist, also nicht allgemein. Außer ihrer Beweiskraft für das besondere Zahlenbeispiel besitzen sie dann noch eine formelle Eigenschaft, die eben darin besteht, daß B so & so gebaut ist (wie man es beschreiben kann. Und mehr ist nicht da.

 
   
R ist die allgemeine Beschreibung von B von der man immer fühlt deren Notwendigkeit man immer fühlt.

 
  /  
Ich sage (a + b)² = etc ist mit Hilfe von AI AII etc bewiesen, weil die Übergänge von (a + b)² zu a² + 2ab + b² alle von der Form AI, oder AII, etc sind. In diesem Sinne ist in III auch der Übergang von (b + 1) + a auf (b + a) + 1 nach AI gemacht, aber nicht der Übergang von a + n auf n + a!


 
  ? ∫  
Wir können einerseits sagen, daß BI 17 + (25 + 18) = … beweist, anderseits BI beschreiben oder BI, BII und andere. Wir können auch
sagen
hervorheben
was diesen allen gemeinsam ist. Aber das muß jedenfalls genügen.

    
Wenn wir I, II & III ansehen so sehen wir, daß die Gleichungen A
in allen Fällen
immer
an einer bestimmten Stelle von B zu finden sind; d.h., daß sie von einer bestimmten Stelle von B herunter gelesen werden kann, & ferner, daß auch im Übrigen zwischen den B eine gewisse Analogie besteht; die man leicht völlig beschreiben könnte. ((Und die durch die Hervorhebungen völlig beschrieben ist.)) Es handelt sich eben nur um diese (bestimmten) Fälle. Eine Allgemeinheit in dieser Beziehung die über die behandelten Fälle hinausgeht kommt in unsern Kalkül nicht hinein. ((Dies ist ein Widerspruch; : denn wenn ich beschreibe was allen diesen Fällen gemeinsam ist so gehe ich eben dadurch über diese Fälle hinaus. Im Fall der primären Farben, z.B., kann ich nicht beschreiben was diesen gemeinsam ist & ihre Klasse ist (zugleich) ihr Begriff. Kann ich aber beschreiben was gewissen Zeichen gemeinsam ist, so habe
ich damit eine allgemeine Beschreibung gegeben, denn käme was ich beschreibe wesentlich nur diesen drei Zeichen zu so könnte es nur durch die Beschreibung dieser drei Zeichen gegeben werden und nicht durch
eine
die
Beschreibung die insofern über den Beschreibungen der einzelnen Zeichen steht als in ihr diese Beschreibungen nicht enthalten sind (sondern etwa nur ein Teil von ihnen). Das Hervorheben des Gemeinsamen ist
eine neue
die
Konstruktion die also über die alten Zeichen hinausgeht.))

? ∣ ?
   
Man kann nicht zugleich allgemein & besonders
sein
beschreiben
.

 
   
Es ist wohl ein Unterschied zwischen den Fällen in denen einerseits BI, BII, BIII für AI, AII, AIII konstruiert werden ohne daß dabei hervorge gesehen (oder hervorgehoben) wird, daß eine Analogie zwischen den B besteht, und anderseits die Analogie der B hervorzuheben. Aber das ist wahr, daß das Hervorheben
der
dieser
Analogien die B nicht zu Beweisen macht.

 
   
Ist es richtig zu sagen: Kein weiterer Schritt kann B zu einem Beweis machen, wenn es nach dem
ersten noch keiner ist.

 
    
Es zeigt mir jemand die Komplexe B & ich sage „das sind keine Beweise der Gleichungen A”. Nun sagt er: „Du siehst aber noch nicht das System, nach dem diese Komplexe gebildet sind”, und zeigt es mir [ & macht mich darauf aufmerksam ] . Wie konnte das die B zu [b|B]eweisen machen? –

/
    
Durch diese Einsicht steige ich in einer andere, sozusagen höhere, Ebene, während der Beweis auf der tieferen hätte geführt werden müssen [ geführt werden müsste ] .

/
   
Ich schaue B
an
zu
& sage: das ist kein Beweis von A. Nun heißt es: ich werde Dir zeigen, daß es doch ein Beweis ist. Aber wie kann man das zeigen? wenn es nun einmal kein Beweis ˇvon A ist. Nun macht er mir die rekursive
Anwendung
Verwendung
von B vor. Aber was hat das damit zu tun?

    
Was ich richtig gefühlt habe, ist die Unabhängigkeit der Auffassung von B von der Frage ob B A beweisen kann.

    
Nur ein Bestimmter Übergang von Gleichungen zu einer Gleichung ist ein Beweis dieser letzteren. Dieser
findet hier nicht statt
ist hier nicht gemacht
& alles Andere kann auf die Sache keinen
Einfluß (mehr) haben. [ … und alles Andere kann B nicht mehr zum Beweis von A machen. ]

/
  /  
‒ ‒ ‒ Eine Allgemeinheit in dieser Beziehung die über die behandelten Fälle hinausgeht kommt in unsern Kalkül nicht hinein.
     Daher beweisen wir auch nicht A durch B, sondern es ist ganz richtig, daß wir etwas über A beweisen. Natürlich, daß die linke Seite von A in β & die rechte in γ mit Hilfe von α so & so erhalten werden kann, während α selbst der Wert von A für n = 1 ist.

 
  /  
Aber kann ich eben nicht sagen, daß, wenn ich dies über A bewiesen habe, ich damit A bewiesen habe? Und woher kam dann überhaupt die Täuschung, daß ich es dadurch bewiesen hätte? denn diese muß doch einen tieferen Grund haben.

 
  /  
Nun, wenn es eine Täuschung ist, so kam sie jedenfalls von unserer Ausdrucksweise in der Wortsprache her „dieser Satz gilt für alle Zahlen”; denn der algebraische Satz war ja nach dieser Auffassung nur eine andere Schreibweise dieses Satzes (der Wortsprache). Und diese Ausdrucksweise ließ den Fall
aller Zahlen mit dem Fall aller Menschen in diesem Zimmer verwechseln. (Während wir, ◇◇◇um die Fälle zu unterscheiden, fragen: wie verifiziert man den einen & wie den andern.)

 
    
27.
Wenn „den algebraischen Satz mittels der Sätze p, q, r beweisen” heißt, die Übergänge der Gleichungskette den Satzen p, q, r entsprechend machen, dann ist B kein Beweis von A mittels α, noch
der
ein
Beweis eines Satzes der mittels A bewiesen ist. Denn den Übergang in A habe ich nicht durch α vermittelt.

\
    
Wenn ich mir die Funktionen φ, ψ, F exact
bestimmt
definiert
denke & nun das Schema des Induktionsbeweises


B {


α
β
γ
     R
φ(1) = ψ(1)
φ(c + 1) = F (φ(c)) }
ψ(c + 1) = F (ψ(c))
    
A

… φn = ψn

(Ƒ) schreibe, – auch dann kann ich nicht sagen, der Übergang von φr auf ψr sei auf Grund von ρ gemacht worden (wenn der Übergang in α, β, γ nach ρ gemacht wurde (i[m|n] speziellen F[a|ä]llen ρ = α)). Er bleibt, der Gleichung A entsprechend, gemacht, & ich könnte nur sagen, er entspreche dem Komplex B, wenn ich nämlich diesen als ein anderes Zeichen statt der Gleichung A auffasse.

✓ ?
    
Denn das Schema des Übergangs
mußte ja α, β & γ enthalten.

✓ ?
  ∫ ✓ ?  
Tatsächlich ist R nicht das Schema des Induktionsbeweises BIII; dieses ist viel complizierter da es das Schema BI enthalten muß

 
  /  
Es ist nur dann nicht ratsam etwas Beweis zu nennen, wenn die übliche Grammatik des Wortes „Beweis” mit der Grammatik des betrachteten Gegenstandes nicht übereinstimmt.

 
  ∫ ✓  
Was soll es denn heißen, der Übergang sei durch R gerechtfertigt? Der Übergang wird gemacht, oder nicht gemacht, & ein Komplex von der Form R läßt sich konstruieren oder nicht konstruieren Das ist aber alles. ((Auch das ist nur ein Ausdruck dafür, daß ich in B nicht finde was ich eine Rechtfertigung des Übergangs in A nenne, nämlich, keine Vermittlung dieses Übergangs.))

 
  /  
Die tiefgehende Beunruhigung rührt am Schluß von einem kleinen aber offen zu Tage liegenden Zug des überkommenen Ausdrucks her.

 
   
Ich habe eine Klammer } zwischen α, β, γ & A gemacht, als ob es sich
von selbst verstünde was diese Klammer bedeute.

 
    
Man könnte vermuten, die Klammer bedeute so viel, wie ein Gleichheitszeichen.

    
Diese Klammer könnte man übrigens auch zwischen „1˙
0
1
: 3 = 0˙3” und „1 : 3 = 0.” setzen.
     (Zwischen den ‚allgemeinen Satz’ & seine ‚Verification’.) Und wäre „}” hier nicht ein Gleichheitszeichen?

  ? ∫  
Ich will zeigen: Du hast geglaubt, Du gebrauchst einen Kalkül, in dem das Wort „alle” in seiner gewöhnlichen Bedeutung vorkommt (oder stehen könnte), aber das ist nicht so: die Figur, die Du „alle”
nennst
nanntest
, bewegst Du in diesem Spiel tatsächlich gar nicht nach den Regeln, die von diesem Wort in der Wortsprache gelten. (Sondern nach viel einfacheren.)

    
[Ich denke tatsächlich mit der Feder, denn mein Kopf weiß oft nichts von dem, was meine Hand schreibt.]

    
(Die Philosophen sind oft wie kleine Kinder die zuerst mit ihrem Bleistift beliebige Striche auf ein Papier
kritzeln &
dann
nun
den Erwachsenen fragen „was ist das?” – Das ging so zu: Der Erwachsene hatte dasem Kind zu öfters etwas vorgezeichnet & gesagt: „das ist ein Mann”, „das ist ein Haus” u.s.w.. Und nun macht das Kind auch Striche & fragt: was ist nun das?)

\
  ? /  
Es wäre – nach den angenommenen Regeln – falsch das Gleichheitszeichen so zu gebrauchen:
∆ … [(a + b)² = a ∙ (a + b) + b ∙ (a + b) = … = a² + 2ab + b²] = [(a + b)² = a² + 2ab + b²]
wenn damit gemeint sein soll, daß die linke Seite der Beweis der rechten ist.
    Könnte man sich aber nicht diese Gleichung als Definition aufgefaßt denken? Wenn es z.B. immer Gebrauch gewesen wäre statt der rechten Seite die ganze Kette
hinzuschreiben
anzuschreiben
, und man nun die Abkürzung einführte.
     Freilich kann ∆ als Definition aufgefaßt werden! Denn das linke Zeichen wird tatsächlich gebraucht, & warum sollte man es nicht nach dieser Übereinkunft
abkürzen
durch das rechte ersetzen.
Nur gebraucht man dann dieses oder jenes anders als es jetzt üblich ist. [ … & warum sollte man es dann nicht nach dieser Übereinkunft abkürzen. Nur gebraucht man dann das rechte oder linke Zeichen anders
als wir es jetzt gebrauchen.
als wir es jetzt es jetzt üblich ist.
]



 
    
   Hier scheint mir eine Unklarheit zu entstehen (obwohl ich sie jetzt nicht klar
beschreiben kann
vor mir sehe
) durch die Verwechslung
zwischen
von
besonderer & allgemeiner Definition . (diese Bezeichnung selbst ist natürlich irreführend).
Es
Und es
ist nie genügend hervorgehoben worden, daß ganz verschiedene Arten von Zeichenregeln in der Form der Gleichung geschrieben werden.

\
    
   Die ‚Definition’ x ∙ x = x²
könnte
kann
so aufgefa[ss|ß]t werden, daß sie nur erlaubt statt des Zeichens „x ∙ x” das Zeichen „x²” zu setzen ˇalso analog der Definition 1 + 1 = 2; aber auch so (& so wird sie tatsächlich aufgefasst) daß sie erlaubt a² statt a ∙ a, & (a + b)² statt (a + b) ∙ (a + b) zu setzen; auch so
daß für das jede beliebige Zahl eintreten kann.
daß das x ‚jeden beliebigen Zahlenwert’ annehmen kann.


\
  /  
Was heißt es
also
daß R den Übergang A [ von der Form A ] rechtfertigt? Es heißt wohl, daß ich mich entschieden habe, nur solche Übergänge in meinem Kalkül zuzulassen, denen ein Schema B entspricht, dessen Sätze α, β, γ wieder
nach
aus
ρ ableitbar sein sollen. (Und das hieße natürlich nichts anderes, als daß ich nur die Übergänge AI, AII, etc. zuließe & diesen Schemata der Form R B entsprächen.) ((Richtiger wäre es zu schreiben „& diesen Schemata der Form R ent-
sprechen”. Ich wollte mit dem Nachsatz in der Klammer sagen, der Schein der Allgemeinheit – ich meine, der Allgemeinheit des Begriffs der Induktionsmethode – ist unnötig, denn es kommt am Schluß doch nur darauf hinaus daß die speziellen Konstruktionen BI, BII, etc um die Seiten der Gleichungen AI, AII, etc konstruiert wurden. Oder: es ist ein Luxus dann noch das Gemeinsame dieser Konstruktionen zu erkennen, alles was maßgebend ist, sind diese Konstruktionen
selber.
(selbst).
Denn alles was da steht sind diese Beweise. Und der Begriff unter den die Beweise fallen ist überflüssig, denn wir haben nie etwas mit ihm gemacht. Wie der Begriff Sessel überflüssig ist, wenn ich nur – auf die Gegenstände weisend – sagen will „stelle dies & dies & dies in mein Zimmer” (obwohl die drei Gegenstände Sessel sind). (Und
eignet sich eines dieser
eignen sich diese
Geräte nicht ˇum darauf zu sitzen, so wird das dadurch nicht anders, daß man auf eine Ähnlichkeit zwischen ihnen aufmerksam macht.) Das heißt aber nichts anderes, als daß der einzelne Beweis unsere Anerkennung als
einen solchen
solchen
braucht (wenn ‚Beweis’ bedeuten soll, was es bedeutet); hat er die nicht, so kann keine Entdeckung einer Analogie mit
anderen solchen Gebilden sie ihm geben [ verschaffen ] . Und der Schein des Beweises entsteht dadurch, daß α, β, γ & A Gleichungen sind, & daß eine allgemeine Regel gegeben werden kann nach der man aus B A bilden (& es in diesem Sinn ableiten) kann.
    Auf diese allgemeine Regel kann man nachträglich aufmerksam werden. (Wird man nun dadurch aber (darauf) aufmerksam, daß die B in doch Wirklichkeit doch Beweise der A sind?) Man wird da auf eine Regel aufmerksam, mit der man hätte beginnen können & mittels der & α man AI, AII etc hätte konstruieren bauen können. Niemand aber würde sie in diesem Spiel einen Beweis genannt haben.

X
    
Woher dieser Konflikt: „Das ist doch kein Beweis!” – „das ist doch ein Beweis!”?

X
    
Man könnte sagen: Es ist wohl wahr, ich zeichne im Beweis von B, mittels α die Konturen der Gleichung A nach, [ die Konturen der Gleichung A mittels α nach, ] aber nicht auf die Weise, die ich nenne ‚A mittels α beweisen’.

\
    
Die Schwierigkeit, die in diese[m|r] durch diese Betrachtung zu überwinden ist [ überwunden werden soll ] ist, den Induktionsbeweis als etwas Neues, sozusagen, naiv zu betrachten.


\
   
Ich scheine Argumente zu benützen: 1.) Der allgemeine Begriff der Induktion ist überflüssig, weil er nicht gebraucht wird; 2.) wenn er auch gebraucht wird, ist er kein Beweis. (Aber)
das ist zu viel
zwei Argumente sind zu viel
. In Wirklichkeit ist es so: Ich kann wohl R
gebrauchen
brauchen
, um die A zu konstruieren, sind sie aber konstruiert, so entsteht der falsche Anschein, als wären sie auf eine andere – beweisende Art konstruiert worden; & das soll verneint werden.

 
   
28.
Das Zahlenbeispiel an dem wir die Wirkungsweise des Induktionsschemas zeigen, interessiert uns nur, so weit es eine interne Eigenschaft des Schemas B darstellt. Wie wir etwa eine gefärbte Flussigkeit durch ein System von Glasrohren leiten um das System verstehen zu lernen. [ Wie wir uns etwa die Wirkungsweise eines Röhrensystems durch einen Strom darstellen der es durchfließt. ] [ Wie wir uns etwa ein Röhrensystem klarmachen durch einen Strom, der es durchfließt. ]

 
  ✓ ? ∫  
Denn die allgemeine Form R wird wirklich nicht dazu benutzt B zu
konstruieren. Dazu dient α. Es wird ein Satz von der Form R durch α konstruiert. Ist das gelungen, so kann ich allerdings nun eine Konstruktionsregel gebrauchen, die lautet: nimm diese Glieder von B & setze ein Gleichheitszeichen dazwischen”, & so A konstruieren.

 
    
Wir mussen auch bedenken, daß die ˇes eine ˇmathematische Aufgabe, ‚mittels ρ einen Komplex von der Form R zu konstruieren’ nicht gibt, da wir keine Methode haben sie zu lösen.

    
Wenn wir also oben sagten, wir können mit R beginnen, so ist dieses Beginnen mit R in gewisser Weise ein Humbug. Es ist nicht so, wie wenn ich eine Rechnung mit der Ausrechnung von 526 × 718 beginne. Denn hier ist diese Problemstellung der Anfangspunkt eines Weges. Während ich dort das R sofort wieder verlasse & woanders beginnen muß. Und wenn es geschehen ist, daß ich einen Komplex von der Form R konstruiert habe, dann ist es wieder gleichgültig, ob ich mir das früher (äußerlich) vorgesetzt habe, weil mir dieser Vorsatz mathematisch (gesprochen), d.h. im Kalkül, doch nichts geholfen hat. Es bleibt also bei der Tatsache, daß ich jetzt einen Komplex von der Form R vor mir habe.

\
    
Ja, kann ich nun nicht sagen, die
Definition V sei ˇist
Schein
Humbug
denn sie ist
eine leere Versprechung, solange ich nicht Komplexe dieser Form konstruiert habe, & dann wieder überflüssig? Nein, denn solche Komplexe kann ich ja aus jeder Gleichung der Algebra konstruieren, vom andern Ende anfangend.

   
Und so könnten wir wirklich anfangen & ein für allemal, ganz abgesehen von der Möglichkeit eines Beweises, jedes algebraische Vorbild in der Form R – konstruiert aus A – schreiben.

 
   
Wäre das nun geschehen, so würde sich der induktive Beweis einfach darstellen, als algebraischer Beweis von α, β & γ.

 
  X  
Wir könnten uns denken, wir kennten nur den Beweis BI & würden nun sagen: Alles was wir haben, ist diese Konstruktion. Von einer Analogie dieser mit anderen Konstruktionen, von einem allgemeinen Prinzip bei der Ausführung dieser Konstruktionen, ist gar keine Rede. – Wenn ich nun so B & A sehe, muß ich fragen: warum nennst Du das aber einen Beweis gerade von AI? (ich frage noch nicht: warum nennst Du es einen Beweis von A). Was hat dieser
Komplex mit AI zu tun? Als Antwort muß er mich auf die Beziehung zwischen A & B aufmerksam machen, die in V ausgedrückt ist.

 
    
„Die allgemeine Form R braucht man gar nicht im Beweis von A”,
dazu
darauf
ist zu sagen: sie geht mich nichts an, wenn ich nach dem Beweis von A in in der Konstruktion von B suche. Oder: ich sollte sie nicht brauchen. Wenn ich die Form R in B (oder die Beziehung V in A & B) erkenne, so nützt sie mich nichts. Wird sie mir gezeigt (in der Absicht mich auf die Beweisfähigkeit von B für A aufmerksam zu machen), so möchte ich sagen: „nun, & was weiter?”

    
Wenn ich sage, das allgemeine Prinzip ist gleichgültig, denn es kommt nur auf diesen einen Fall an (& hicc Rhodus, hic salta), so ist das richtig, wenn mit der Allgemeinheit des Prinzips seine Anwendbarkeit auf andere Fälle als diesen gemeint ist. Dagegen kommt es darauf an, den Komplex B mit diesen Hervorhebungen zu sehen. Ich werde mich also um keine analogen Fälle bekümmern, aber in B}A auf Bestimmtes aufmerksam machen.

    
Wenn ich sage „R wird ja nie zur Konstruktion verwendet, so ist die
Antwort: es konnte, auch in dem einen Fall zur Konstruktion verwendet werden. Anderseits aber hilft es zum Beweis nichts.

  ∫ ✓  
Wir haben nur diesen einen Fall, & die Aufzeigung eines allgemeinen Prinzips, dem er angehört macht ihn nicht zum Beweis.

 
   
„Ich habe nur diesen einen Fall, ich weiß nicht, ob ich je einen andern kennen werde, was soll da ein allgemeines Prinzip?”. Hier wäre wirklich der Fall der primären Farben.

 
   
Aber der Fall ist hier der, des Beweises von B mittels α (oder ρ). Für den andern Fall, nämlich die Konstruktion von B aus A gilt das nicht! Vielmehr sehe ich hier ein allgemeines Prinzip in dem Augenblick, wo ich es überhaupt in B & A entdecke.

 
  /  
Es zeigt uns jemand BI und erklärt uns den Zusammenhang mit AI, d.i., daß die rechte Seite von A so & so erhalten wurde etc. etc.. Wir verstehen ihn; & er fragt uns (nun): ist nun das ein Beweis von A? Wir Wir
werden
würden
antworten: gewiß nicht!
       [keine Zeile auslassen]
Hatten wir nun alles verstanden, was über diesen Beweis zu verstehen war? Ja! Haätten wir auch die allgemeine Form des Zusammenhangs von B & A gesehen? Ja!
      Und wir könnten auch daraus schließen, daß man so aus jedem A ein B konstruieren kann & also auch umgekehrt A aus B.

\
    
Dieser Beweis ist nach einem bestimmten Plan gebaut (nach dem noch andre Beweise gebaut sind). Aber dieser Plan kann den Beweis nicht zum Beweis machen. Denn wir haben jetzt hier nur die eine Verkörperung dieses Planes, & können von dem Plan als allgemeinem Begriff (ganz) absehen. Der Beweis muß für und sich sprechen & der Plan ist nur in ihm verkörpert aber selbst kein Bestandteil [ kein Instrument ] des Beweises. (Das wollte ich immer sagen.) Daher nützt es mich nichts, wenn man mich auf die Ähnlichkeiten zwischen Beweisen aufmerksam macht, um mich davon zu überzeugen daß sie Beweise sind.

\
   
29.
Gewiß hilft es nichts zu dieser Überzeugung, zu sehen, daß diese Beweise nach dem selben Plan gebaut sind &, wie gesagt, ich könnte ja nur einen einzigen Beweis vor mir haben. Anders ist es aber wenn dieser Plan das Wesen des Beweisens selb
selbst ist. Denn ich könnte ja sagen: alle algebraischen Beweise sind nach einem Plan gebaut & damit das Wesen des Beweisens von Gleichungen meinen. Und wir widersprechen nur der Behauptung, daß die Verwandtschaft von A mit B auf die man uns durch R[V] aufmerksam macht, die des Bewiesenen zum Beweis ist.

 
   
Ich muß sagen: Wenn A aus B folgt, so folgt es, ob die Regel des Folgens [ die Schlußregel ] allgemein formuliert [ (d.h. aufgeschrieben) wurde oder nicht. Alles, was die interne Relation von B zu A betrifft sieht man aus diesen beiden allein.

 
   
Eine Regel des Folgens entspricht
nur
ganz
einem Plan des Beweises. Sie kann die besondere Art des Folgens registrieren, aber nicht die Folgerung rechtfertigen; sondern das können nur die Glieder
der Folgerung
des Schlusses
.

 
   
Ich muß also auf B & A allein zeigen können & fragen: ist dies ein Beweis von dem?

 
   
Nun könnte man aber sagen: dieses Argument … [ Nun könnte m. aber dieses ] Aber dieses Argument könnte man auch auf den Beweis (a + b)² = etc anwenden & sagen: ob der Übergang (a + b) ∙ (a + b) = a ∙ (a + b) + b ∙ (a + b) richtig ist oder nicht, kann man nur an ihm (seinen Gliedern) selbst
sehen, dazu braucht man keine Regel. Das ist auch wahr & die Regeln tabulieren nur die erlaubten Übergänge. Aber dann kann ich doch in's Regelverzeichnis schaun um mich zu überzeugen, ob ein Übergang erlaubt ist, oder nicht. Und warum soll ich das nicht auch im Fall des Übergangs von B nach A machen & nach V hinsehen?

 
    
Die Schlußgesetze sind Paradigmen.

    
Wenn ich sagte: ‚ob p aus q folgt, muß aus p & q allein zu ersehen sein [ hervorgehen ] ’; so müßte es heißen: daß p aus q folgt ist eine Bestimmung die den Sinn von p & q bestimmt; nicht etwas, das, von dem Sinn dieser beiden ausgesagt, wahr ist. Daher kann man (sehr) wohl die Schlußregeln angeben, gibt damit aber Regeln für die Benützung der Schriftzeichen an die deren Sinn erst bestimmen was nichts andres heißt als daß diese Regeln willkürlich festzusetzen sind ˇd.h. nicht von der Wirklichkeit abzulesen wie eine Beschreibung. – Denn wenn ich sage die Regeln sind willkürlich so meine ich sie sind nicht von der Wirklichkeit
festgelegt
[ determiniert ]
bestimmt
, wie die Beschreibung dieser Wirklichkeit. Und das heißt: [e|E]s ist Unsinn von ihnen zu sagen, sie stimmen mit der Wirklichkeit überein,
die Regeln über die Wörter ‚blau’, ‚rot’, ˇetwa, stimmˇten mit den Tatsachen die diese Farben betreffen überein. etc..

\
   
Wenn [e|E]iner also auf B & A zeigt & fragt „ist dies ein Beweis von dem”, so könnte ich antworten: „ich habe (gerade) die Regeln vergessen, ich muß erst nachschauen”.

 
   
Also kann ich nicht wissen ob ˇdie Konstruktion von B ein Beweis von A ist, auch wenn ich die Beziehung V in ihnen erkenne; solange ich mich nicht ˇdavon überzeugt habe, daß R im Regelverzeichnis steht? (Das scheint die grundlegende Frage zu sein.)

 
   
Wenn nun das Regelverzeichnis nicht bei der Hand wäre & ich sagte: „ich weiß nicht ob B ein Beweis von A ist”! –

 
   
Denn so müßte ich dann sprechen. „Das kann man so ohne/weiteres nicht sagen, ob es ein Beweis von A ist.”

 
  /  
Wenn ich nun früher sagte „das ist doch kein Beweis”, so meinte ich ‚Beweis’ in einem bereits festgelegten Sinne, in welchem es aus A & B allein zu ersehen ist. Denn in diesem Sinne kann ich sagen: Ich verstehe doch ganz genau, was B tut, & in welchem Verhältnis es zu A steht. Jede weitere Belehrung ist überflüssig & das ist kein Beweis. [ & das was da ist, ist kein Beweis. ]
Imn diesem Sinne habe ich es nur mit B & A allein zu tun; ich sehe außer d ihnen nichts & nichts anderes geht mich an.
     Dabei sehe ich das Verhältnis nach der Regel V sehr
wohl
gut
, aber es kommt für mich als Konstruktionsbehelf gar nicht in Frage. Sagte mir jemand, während meiner Betrachtung von B & A, daß man auch ˇhätte B aus A (oder umgekehrt) nach einer Regel konstruieren können, so könnte ich ihm nur sagen „komm mir nicht mit unwesentlichen Sachen”. Denn das ist ja selbstverständlich & ich sehe sofort daß es B nicht zu einem Beweis von A macht.
Denn diese allgemeine Regel könnte nur zeigen …
Denn daß es so eine allgemeine Regel gibt, könnte nur zeigen
, daß B der Beweis von A & keinem andern Satz [ der Beweis gerade von A ] ist, wenn es überhaupt ein Beweis wäre. D.h., daß der Zusammenhang zwischen B & A einer Regel gemäß ist, kann nicht zeigen daß B ein Beweis von A ist. Und jeder solche Zusammenhang könnte zur Konstruktion von B aus A (und umgekehrt) benützt werden.

 
    
Nun könnte ich
allerdings
freilich
sagen: ob dieser Zusammenhang der des Beweisens ist, hängt davon ab ob seine allgemeine Beschreibung (sein Vorbild) auf meiner Liste der Beweisregeln steht oder nicht. Aber dann
nennen wir hier ‚Beweis’ etwas anders als oben[:|;] denn wir können kommen mit unserer gewöhnlichen Redeweise dadurch in Konflikt. Denn das Verhältnis zwischen B & A wird durch die gewöhnliche [ unsere bereits angenommene ] Redeweise bereits beschrieben & in dem System dieser Ausdrucksweise [ Redeweise ] sprechen wir auch von Beweisen, beschreiben aber auch das Verhältnis von A & B nicht als das des Beweises.

  /  
Wenn ich also sagte „
R
V
wird ja gar nicht zur Konstruktion benützt, also haben wir mit ihm nichts zu tun”, so hätte es heißen müssen: Ich habe es doch nur mit A & B allein zu tun. Es genügt doch, wenn ich A & B mit einander konfrontiere & nun frage „ist B ein Beweis von A” & also brauche ich A nicht aus B nach einer vorher festgelegten Regel zu konstruieren, sondern es genügt, daß ich die einzelnen A – wieviele es sind – den einzelnen B gegenüberstelle (& frage „ist dies ein Beweis von dem”). Und das ist wahr: ich Ich brauche eine Konstruktionsregel nicht; & das ist wahr. Ich brauche eine vorher aufgestellte Konstruktionsregel nicht (aus der ich dann erst die A gewonnen hätte).

 
   
Dagegen muß ich wohl, wenn A & B
mit einander konfrontiert sind (wenn auch nur ein B mit einem A) die beiden ansehen & ihr internes Verhältnis zu einander verstehen. „V wird nicht als Konstruktionsregel benützt” heißt, ich habe damit tatsächlich ˇnicht konstruiert & brauche es auch nicht, & das ist wahr. Es ist aber auch wahr, daß ich mit dieser Regel konstruieren könnte & auch, daß das natürlich B nicht zum Beweis von A macht.

 
    
[Einige Sätze die ich vor diesen9 geschrieben habe]:

Was ich sagen will ist also: Skolem nimmt nur die alten Grundgesetze der klassischen Algebra & ordnet ihnen gewisse Gleichungskomplexe zu, & zwar so, daß diese Zuordnungen eine gewisse Analogie aufweisen, die dem losen Gebrauch Allgemeinheitsbezeichnung in der Wortsprache entspricht. Er gebraucht aber diesen allgemeinen Begriff der Allgemeinheit selber nicht konstruktiv, d.h., gebraucht ihn nicht als allgemeinen Begriff. Seine Beweise verhalten sich zu seinem Begriff des Rekursionsbeweises, wie die einzelnen primären Farben zum Begriff der primären Farbe. D.h.: es liegt hier kein Begriff vor, sondern eine Liste. ((Daran ist nun wahr daß tatsächlich kein Begriff ˇ(d.h. kein System) des
Rekursionsbeweises vorliegt, da dieser Beweis nur gelingt. Wohl aber liegt ein Begriff des Rekursionsschemas vor, das wir aus jeder Gleichung konstruieren können. (Die Verwechslung dieser beiden hat mich so lange aufgehalten)))

   
Und daß diese Liste lauter Dinge [ Gegenstände ] umfaßt, die mit einander eine gewisse Ähnlichkeit haben, hilft uns nichts; oder: daß die Dinge auf der Liste unter einen gewissen Begriff fallen hilft uns nichts, wenn wir diesen Begriff nicht konstruktiv verwenden können.

 
  /  
Ich meine: Im Skolemschen Kalkül brauchen wir diesen Begriff nicht [ brauchen wir keinen solchen Begriff ] , es genügt die Liste.
       Es geht uns nichts verloren, wenn wir nicht sagen „wir haben die Grundgesetze A bewiesen” wir haben die Grundgesetze A auf diese Wiese bewiesen” ] , sondern bloß zeigen, daß sich ihnen – in gewisser Beziehung analoge – Konstruktionen zuordnen lassen.

 
   
Wenn ich nämlich sage „dieser Übergang ist nach BI gemach, dieser nach BII”, so ist das Einzige, was daran ganz
eindeutig ist, daß die Übergänge nach dem Zug
von
in
BI & BII gemacht sind, die der den Gleichungen AI & AII entspricht. ((Und das ich eben die Entsprechung die durch V ausgedruckt ist.)) Dagegen ist die übrige Analogie nicht scharf genug gefaßt, als daß ich aus dem bloßen Satz, der Übergang sei mittels einer Induktion gemacht, diese Induktion aus dem Übergang ableiten könnte. ((Das Schema B läßt sich, der Beweis des Schemas (d.h. der Sätze des Schemas) nicht, aus AI, AII, etc. herleiten [ abnehmen ] .))

 
    
Der Begriff der Allgemeinheit (& der Rekursion) der in diesen Beweisen gebraucht wird, ist nicht allgemeiner, als er aus diesen Beweisen unmittelbar herauszulesen ist.

\
  ? ✓  
Die Klammer } in R kann weiter nichts bedeuten, als daß wir den Übergang in A (oder einen von der Form A) als berechtigt ansehen, wenn die Glieder (Seiten) des Übergangs in einer durch das Schema B charakterisierten Beziehung zu einander stehen. Es nimmt dann B den Platz von A. Und wie es früher hieß: der Übergang ist in meinem Kalkül erlaubt, wenn er einem der A entspricht, so kann es jetzt heißen [ so heißt es jetzt ] : er ist erlaubt, wenn er einem der B entspricht.

        Damit aber hätten wir noch keine Vereinfachung, keine Reduktion gewonnen.

? ✓
  X ✓  
Der induktive Beweis zerlegt den Übergang in A nicht. Ist es nicht das, was macht, daß ich mich dagegen sträube ihn Beweis zu nennen? Warum ich versucht bin zu sagen, er kann auf keinen Fall ((ˇnämlich auch wenn man A durch R & α konstruiert)) mehr tun, als etwas über den Übergang zu zeigen.

 
   
Es handelt sich darum, ob es gelingt, die
Form
Gestalt
des Übergangs aus der Gleichung ρ auf gewisse Weise zu formen. – Aber hat man sie auf diese Weise geformt, so muß man jetzt die ganze Form anwenden. ((Und ich wollte sagen, daß mich darum das Formen von B mittels ρ nichts nützt, den Übergang in A nicht vermittelt. (Dazu die weiteren Vergleiche.)))

 
  /  
Wenn man sich einen Mechanismus aus Zahnrädern & diese aus lauter gleichen keilförmigen Stücken & je einem Ring der sie zu einem Rad zusammen hält, zusammengesetzt denkt, so blieben in einem gewissen Sinne die Einheiten des Mechanismus doch die Zahnräder.



 
    
Die Schritte des Beweises von A sind nicht Schritte im Beweis mit Hilfe von A.

    
Es ist so: Wenn ein Faß aus Dauben & Böden besteht, so halten doch nur alle diese in dieser (bestimmten) Verbindung (als Komplex) die Flüssigkeit und bilden als Behälter neue Einheiten.

\
    
¥ Ich würde ˇdannc sagen: die Regeln des Überganges in meinem Kalkül sind alle auf eine bestimmte Art & Weise (etwa alle mittels ρ) geformt. Als wollte ich sagen: diese Sessel sind alle aus Hölzern von dieser Form aufgebaut. Aber die ˇganzen Möbel sind die Einheiten der Einrichtung. ((Das würde noch einen Nachsatz erfordern.))

    
     Wie wäre es denn, wenn die B nach einer durch ihre Form bestimmten Methode aus ρ abgeleitet (oder ausgeschlossen) werden könnten? So daß man also für A jedes gegebene A die entsprechende Rechnung ohne weiteres
ausführen
machen
könnte (wie für jede beliebige Multiplikationsaufgabe ihre Kontrolle).


    
Ich will hier zwei Arten des Vorgehens von einander unterscheiden; & das ist alles.
    Und ich unterscheide sie dadurch, daß ich jede Form zerstöre, die eine Ähnlichkeit [ ˇdie Gleichheit ] der beiden vortäuscht. [ die eine Ähnlichkeit der beiden herstellen soll. ]


   
Dadurch ziehe ich dem einen den falschen Schein aus der es umgibt. (Darum nämlich, weil [ Weil nämlich ] die Wortsprache diesen Schein um den
Vorgang
Gegenstand
webt.)

 
  X  
Der Gleichungskalkül ist gegeben. In diesem Kalkül bedeutet hat ‚Beweis’ eine
fixe
festgelegte
Bedeutung. Nenne ich nun auch die induktive Rechnung einen Beweis, so erspart mir dieser Beweis doch nicht, die Kontrolle, ob die Übergänge der Gleichungskette, nach diesen bestimmten Regeln (oder Paradigmen) gemacht sind. Ist das der Fall, so sage ich die letzte Gleichung der Kette sei bewiesen; oder auch, die Gleichungskette stimme.

 
  X  
Denken wir uns eine Kette[;|,] sie besteht aus Gliedern & es ist möglich ˇje ein solches [g|G]lied durch zwei kleinere zu ersetzen. Die Verbindung die die Kette macht, kann dann, ˇstatt durch die kleinen großen, ganz durch die kleinernen Glieder gemacht werden. Man könnte sich aber auch denken, daß jedes Glied der Kette aus – etwa – zwei halbringförmigen Teilen bestünde, die zusammen das Glied bildeten, einzeln aber nicht als Glieder verwendet werden könnten.
     Es hätte nun ganz verschiedenen
Sinn, einerseits, zu sagen: die Verbindung die die großen Glieder machen, kann auch durch lauter kleine Glieder gemacht werden; & anderseits: diese Verbindung kann durch lauter halbe [G|g]roße Glieder gemacht werden. Was ist der Unterschied?

 
    
Der eine Beweis ersetzt eine großgliedrige Kette durch eine kleingliedrige, der Andere zeigt, wie man die (alten) großen Glieder aus mehreren Bestandteilen zusammensetzten kann.

X
    
Ähnlichkeit
sowie
&
Verschiedenheit der
zwei
beiden
Fälle sind
augenfällig
offenbar [ klar zu Tage liegend ]
.

X
    
Der Vergleich des Beweises mit der Kette ist natürlich ein logischer Vergleich & also ein vollkommen exacter Ausdruck dessen was er
illustriert
zeigt
.

\
    
Ich sage z.B. „der Satz (a + b)³ = … ist bewiesen” & gebe nun die Gleichungskette durch &c
er sagt
sage
„ja es stimmt” Nun aber sage ich (weiter): „& die Gleichungen AI, AII, etc. sind auch bewiesen”– und zeige ihm die Komplexe BI, BII, etc.. Im ersten Falle hieß „der Satz ist bewiesen”: es wurde richtig gerechnet; & er kontrollierte die Rechnung mit mir. – Im zweiten Fall nun kontrolliereen ichwir auch Rechnungen, aber sie führen nicht zu den Gleichungen A.
bleiben vielmehr
an
bei
einem Punkt stehen. Und wenn
ich nun von diesem Punkt
ich ◇◇◇ von diesem
zu A übergehe, dann so, daß ich dadurch jeden angenommenen Begriff des Übergangs ˇ& Beweises zerstöre.

  /  
Denken wir uns, wir kontrollieren die Rechnung (a + b)³ = …
in der ersten
auf die erste
Weise & beim ersten Übergang sagt er: „ja, dieser Übergang geschieht (
zwar
wohl
) nach a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c, aber stimmt das auch?” Und nun zeigten wir ihm die Ableitung dieser Gleichung im induktiven Sinne. –

 
   
Die Frage „stimmt das auch” hat, auf diese Gleichung bezogen, im ersten Kalkül gar keinen Sinn. Und im andern hat sie einen dem ersten Kalkül ganz fremden Sinn.

 
  / ? ∫  
((Besser gesagt: Imn einenr Fall Bedeutung heißt die Frage „stimmt
die Gleichung
das auch
”: läßt sie sich nach den
Paradigmen
Grundgleichungen
◇◇◇ herleiten? Im andern Fall heißt es: lassen sich die Gleichungen α, β, γ nach dem Paradigma (oder ◇◇◇ den Paradigmen) herleiten? – Und hier haben wir die ◇◇◇ beiden Bedeutungen der Frage (oder des Wortes ‚Beweis’) auf eine Ebene gestellt (in einem System ausgedrückt) & können sie nun vergleichen & sehen daß sie nicht eines sind).))
A wird eben in einem ganz andern Kalkül ausgerechnet, als eine algebraische Gleichung der Algebra mittels A, & in einem ganz anderen Sinne „ausgerechnet”.

    
Und zwar leistet dieser neue Beweis nicht, was man annehmen könnte, daß er nämlich den Kalkül auf eine
engere
kleinere
Grundlage setzte – wie ˇes etwa geschieht, wenn wir durch p ∣ q p ⌵ q & ~p ersetzen, oder ˇsonst die Zahl der Axiome vermindern. Denn wenn man nun sagt, man habe alle die Grundgleichungen A aus ρ allein abgeleitet, so heißt hier das Wort „abgeleitet” etwas (ganz) andres. (Was man sich bei dieser Versprechung erwartet ist die Ersetzung der großen Kettenglieder durch kleinere, nicht durch zwei halbe Kettenglieder.) Und in einem Sinne hat man durch diese Ableitungen alles beim alten gelassen. Denn es bleibt im neuen Kalkül ein Kettenglied des alten wesentlich als ein solches bestehen. Die alte Struktur wird nicht aufgelöst. So daß man sagen muß, der alte Gang des Beweises bleibt bestehen. Und es bleibt im alten Sinne auch die Unreduzierbarkeit.

\
    
Man kann daher auch nicht sagen
Skolem habe das algebraische System auf eine kleinere Grundlage gesetzt, denn er hat es in einem andern Sinne als dem algebraischen ‚begründet’. [ denn er hat es in einem andern Sinne als dem der Algebra ‚begründet’. ]

\
  /  
„Ich weiß daß es für diese Aufgabe eine Lösung gibt, obwohl ich die Lösung [ Art der Lösung ] noch nicht habe”. – In welchem Symbolismus weiß ich es? [ weißt Du es? ]

 
  /  
„Ich weiß daß es da ein Gesetz geben muß”. Ist dieses Wissen ein amorphes das Aussprechen des Satzes begleitendes Gefühl? Dann interessiert es uns nicht. Und ist es ein Symbolischer Prozess – nun, dann ist die Aufgabe ihn in einem
offenbaren
klaren
Symbolismus
darzustellen
auszudrücken
.

 
  /  
Lichtenberg: „Unsere ganze Philosophie ist Berichtigung des Sprachgebrauchs, also, die Berichtigung einer Philosophie, & zwar der allgemeinsten.”
 
  ø  
1.11.31.
(Ramsey war ein bürgerlicher Denker. D.h. seine Gedanken hatten den Zweck die Dinge in einer gegebenen Gemeinde zu ordnen. Er dachte nicht über das Wesen des Staates nach – oder doch nicht gerne – sondern darüber
wie man diesen Staat vernünftig einrichten könne. Der Gedanke daß dieser Staat nicht der einzig mögliche sei beunruhigte ihn teils, teils langweilte er ihn. Er wollte so geschwind als möglich dahin kommen über die Grundlagen – dieses Staates nachzudenken. Hier lag seine Fähigkeit & sein eigentliches Interesse; während die eigentliche philosophische Überlegung ihn beunruhigte bis er ihr Resultat (wenn sie eins hatte) als trivial zur Seite schob.)

 
    
Der Gebrauch des Wortes „dieses↗”.

    
Onus probandi (auf Seiten des Mathematikers etc.)

    
Wird ein Zusammenhang der A durch die Induktionsbeweise mittels α gezeigt & ist dies nicht das Zeichen dafür daß wir es hier doch mit Beweisen zu tun haben? – Es wird nicht der Zusammenhang gezeigt, den ein Zerlegen der Übergange in den A in Übergange ρ
herstellen
machen
würden. Und ein Zusammenhang ˇder A ist ja schon vor jedem Beweis zu sehen.

\
    
Was, wenn die Wörter das Hören der Wörter „rot”, „blau” die Wirkung hätten hätte uns farbige Kreise vor das innere Auge treten zu lassen (wie etwa ein Druck auf
unsern Augapfel). So daß wir auf die Idee
hatten kommen können
gekommen wären
dem Kind zu sagen „hole das blaue” ohne dabei auf etwas blaues zu zeigen
wobei
sondern daß
das Wort ˇ„blau” wie ein onomatopoetisches wirken würde.

   
Aber so wirkt es ja zum Teil wirklich, wenn auch nur dadurch daß wir das Wort anfänglich immer mit dem Hinweisen auf einen blauen Gegenstand verbanden (wie die spätere Wirkung des Wortes ‚blau’ entstanden ist, ist uns ja aber gleichgültig).

 
  /  
Die Unruhe in der Philosophie
kommt daher
entsteht dadurch
, daß die Philosophen die Philosophie falsch ansehen, oder falsch sehen, nämlich gleichsam in ˇ(unendliche) Längsstreifen zerlegt statt in (endliche) Querstreifen. Diese Umstellung der Auffassung macht die größte Schwierigkeit. Sie wollen also gleichsam den unendlichen Streifen erfassen & klagen daß
dies
es
nicht Stück für Stück möglich ist. Freilich nicht wenn man unter einem Stück einen endlosen Längsstreifen versteht. Wohl aber wenn man einen Querstreifen als
ganzes definitives Stück
Stück
sieht. – Aber dann kommen wir ja mit unserer
Arbeit
Aufgabe
nie zu Ende!
Freilich
Gewiß
nicht, denn sie hat
ja auch keins.

 
    
(Der Philosoph ist nicht Bürger einer Denkgemeinde. Das ist, was ihn zum Philosophen macht.)

\
    
2.
Ist das ‚dieses’ worauf ich zeige die Farbe, oder, was die Farbe hat? Und könnte meine Worterklärung nicht lauten „in diesem Falle sage ich, daß ‚der Gegenstand rot ist’” [ „in diesem Falle sage ich ‚der Gegenstand ist rot’” ] ? Oder muß es heißen „diese Farbe nenne ich ‚rot’”?

    
Aber wie wird es denn entschieden, worauf gezeigt wird? ob auf die Farbe oder den Ort? Doch wohl auf den Ort an dem die Farbe ist. Aber weiter ist doch da nichts zu unterscheiden.

    
Die Worterklärung könnte auch lauten: die Farbe
dieses Orts
die dieser Ort hat
nenne ich ‚rot’.

\
    
Aber das hätte doch nur Sinn, wenn Farbe im Gegensatz zu etwas Anderm stünde, also etwa zu Form. Ich könnte
so
also
erklären: die Farbe dieses Flecks
heißt
ist
‚rot’ die Form ‚Kreis’.
      Und hier stehen die Wörter ‚Farbe’ & ‚Form’ für Anwendungsarten (grammatische Regeln) & sind bezeichnen in Wirklichkeit (Bezeichnungen von) Wortarten wie „Eigenschaftswort”, „Hauptwort”.
Man könnte sehr wohl in der ˇgewöhnlichen Grammatik neben diesen Wörtern die Wörter „Farbwort”, „Formwort”, „Klangwort” einführen. (Daß aber nicht jemand einwendet: „warum dann nicht auch [|]Baumwort[|], [|]Buchwort[|]”!)

\
  /  
Wenn ich sage: „die Farbe dieses Ding's nenne ich ‚blau’” so müssen die Worte „die Farbe dieses Dings” bereits eine Bezeichnung der Farbe sein & als solche dienen können. Diese Worte präsentieren das Kind zur Taufe.

 
   
Auch angenommen wir wollten – – in einem übertragenen Sinn – einen blauen Kreis den „Träger des Namens ‚blau’ nennen” & führten diesen als Zeichen statt des Wortes „blau” ein, so hätte nun
dieser Fleck
dieses Zeichen
ebenso seine Bedeutung, durch die Regeln seines Gebrauchs bestimmt, wie das Wort.

 
  /  
3.
Welches ist die ‚wirkliche Lage’ des Körpers, den ich unter Wasser sehe, was die ‚wirkliche Farbe’ des Tisches. Hier macht eben die Frage nach der Verification den Sinn
dieser
der Worte
klar.

 
  /  
Der falsche Ton in der Frage, ob es nicht primäre Zeichen (hinweisende Gesten) geben müsse, während
unsre Sprache auch ohne die andern (Worte) auskommen könnte, liegt darin, daß man eine Erklärung der bestehenden Sprache zu erhalten erwartet statt der bloßen Beschreibung.

 
    
(Statt der turbulenten Mutmaßungen & Erklärungen wollen wir ruhige
Constatierungen
Darlegungen
sprachlicher Tatsachen [ von sprachlichen Tatsachen ] geben.) [ die ruhige Feststellung sprachlicher Tatsachen. ]

\
    
Nicht die Farbe [r|R]ot tritt an Stelle des Wortes [|]rot[|], sondern die Gebärde die auf einen roten Gegenstand hinweist, oder das rote Täfelchen.
\
   
9.
Nun sage ich aber: „Es gilt mit Recht als ein Kriterium des Verstehens [ Verständnisses ] des Wortes „rot”, daß Einer einen roten Gegenstand auf Befehl aus
anderen
anders
gefärbten herausgreifen [engl: pick] kann; dagegen ist das richtige Übersetzen des Wortes ‚rot’ in's Englische oder Französische kein [b|B]eweis des seines Verständnisses [ kein Beweis des Verstehens ] . Also ist das rote Täfelchen ein primäres Zeichen für ‚rot’, dagegen jedes Wort ein sekundäres [ abgeleitetes ] Zeichen.” ((Aber das zeigt nur, was ich
mit
unter
dem „Verstehen des Wortes ‚rot’”
meine
verstehe
. Und was heißt „es gilt mit
Recht
…”? Heißt es: Wenn ein Mensch einen roten Gegenstand auf Befehl etc. etc., dann hat er erfahrungsgemäß auch das Wort ‚rot’ verstanden. Wie man sagen kann, gewisse Schmerzen gälten mit Recht als Symptom dieser & dieser Krankheit? So ist es natürlich nicht gemeint. Also soll es wohl heißen daß die Fähigkeit rote Gegenstände herauszugreifen der spezifische Test dessen ist was wir [v|V]erständnis des Wortes ‚rot’ nennen. Dann bestimmt diese Angabe also was wir unter diesem Verständnis meinen. Aber dann fr[ä|a]gt es sich noch: wenn wir das Übersetzen in's Englische etc. als Kriterium ansähen, wäre es nicht auch das Kriterium von dem was wir ein Versndnis des Wortes nennen? Es gibt nun den Fall in welchem wir sagen: ich weiß nicht, was das Wort
‚rouge’
‚rot’
bedeutet, ich weiß nur daß es das gleiche bedeutet, wie das englische ‚red’.
So ist es
Das ist der Fall
, wenn ich die beiden Wörter in einem Wörterbuch auf der gleichen Zeile gesehen habe, & dies ist die Verification des Satzes & sein Sinn. Wenn ich dann sage „ich weiß nicht, was das Wort
‚rouge’
‚rot’
bedeutet”, so bezieht sich dieser Satz auf eine Möglichkeit der Erklärung dieser Bedeutung & ich könnte ˇwenn gefragt „wie stellst Du es Dir denn vor daß Du erfahren könntest, was
das Wort bedeutet”, Beispiele solcher Erklärungen geben (die die Bedeutung des Wortes „Bedeutung” beleuchten würden). Diese Beispiele wären dann entweder
der
solcher
Art daß ◇◇◇ statt des zu unverstandenen Worts ein Wort einer verstandenes ˇetwa das deutsche gesetzt würde oder daß die Erklärung von der Art wäre „diese↗ Farbe heißt violett”. Im ersten Falle wäre es für mich ein Kriterium dafür daß er das Wort ‚rouge’ versteht daß er sagt es entspreche dem deutschen ‚rot’. Ja, wird man sagen, aber nur, weil Du schon weißt was das deutsche ‚rot’ bedeutet. – Aber das bezieht sich ja ebenso auf die hinweisende Definition. Das ˇHinweisen auf das rote Täfelchen ist auch nur
dann
darum
ein Zeichen des Verständnisses
wenn
weil
vorausgesetzt wird daß er die Bedeutung dieses Zeichens
kennt
versteht
, was so viel heißt als daß er das Zeichen auf bestimmte Weise verwendet. – Es gibt also
allerdings
wohl
den Fall wo [e|E]iner sagt „ich weiß daß dieses Wort dasselbe bedeutet wie jenes, weiß aber nicht was es bedeutet (sie bedeuten)”. Willst Du
diesen Satz verstehen
wissen was dieser Satz sagt
, so frage Dich „wie konnte er es wissen”
Willst Du de[r|n] ersten Teil dieses Satzes verstehen, so frage Dich: „wie konnte er es wissen?”, willst Du den zweiten Teil verstehen, so frage: „wie kann er erfahren, was das Wort bedeutet?” – Ferner aber ist d[er|as] Ersetzen
eines Worts durch ein andres oder durch eine hinweisende Geste nur
sofern
dann
eine Erklärung der Bedeutung als wir sagen können daß wir die Bedeutung des definierens kennen. Endlich könnte die Bedeutung eines Worts auch dadurch bestimmt sein daß es das Zeichen für die & die Wörter ist (deren Bedeutung wir nicht kennen brauchen). Es wäre dann
etwa
die
eine Bezeichnung für die Klänge der Wörter ‚rouge’ & ‚red’ oder auch ein Begriffswort unter dessen Begriff alle Wörter fielen die nach den Lexiken gewisser Sprachen dem Worte ‚rouge’ entsprächen.))
 
   
10.
Welches ist denn das Kriterium unseres Verständnisses: das Aufzeigen des roten Täfelchens, wenn gefragt wurde „welches von diesen Täfelchen ist rot”, oder das Wiederholen der hinweisenden Definition „das↗ ist ‚rot’”? ((Ist denn das Zweite nicht eine (Art) Probe zum Ersten. Wie, wenn die erste Aufgabe gelautet hätte: zeige auf das rote Täfelchen mit den Worten „diese Farbe nenne ich ‚rot’”? – Vergleiche die beiden Aufgaben: „welche Farbe nennen wir ‚rot’?” & „welches ist das rote Täfelchen”. Die erste dieser Aufgaben
heißt
lautet
nicht „welche dieser Farben nennst Du ‚rot’?” denn sonst könnte er nun auf irgend eine Farbe zeigen & was von ihm verlangt war, war nicht die
Lösung einer Aufgabe im ersten Sinne, sondern daß er eine willkürliche Bestimmung [ Festsetzung ] mache. So wie die Aufgabe gestellt ist, verlange ich, daß der Andre einer Festsetzung gemäß handelt. Nun ist aber ein Unterschied zwischen der Probe (Generalprobe) der gewünschten Handlung & dieser Handlung selber. Wir können uns denken daß Einer auf die Frage „welche Farbe nennen wir ‚rot’?” auf ein grünes Täfelchen zeigt & wir damit ganz zufrieden sind (& etwa sagen „ich weiß, er meint das Richtige”). Wenn wir dagegen die Ausführung des Befehls „zeige auf das rote Täfelchen” verlangen & er zeigt auf das grüne, so sagen wir nun nicht „es ist in Ordnung denn er meint das Richtige”, sondern wir weisen diese Ausführung als falsch zurück. Und ähnlich ist es immer wenn wir einerseits Proben des Verständnisses (Generalproben der Ausführung) eines Befehls verlangen & anderseits die Ausführung selbst. Aber auch was ich jetzt gesagt habe ist etwas irreführend. Denn was ist das Kriterium dafür daß der welcher
sein
das
Verständnis in einer ungewöhnlichen Art (wie oben) zeigen will „das [r|R]ichtige meint”?
Doch wohl nur eine Handlung, von der man dann nicht wieder – quasi entschuldigt – sagt „er meint das Richtige”. Also z.B. die richtige Ausführung des Befehls. (The proof of the pudding is in the eating.) In der Logik können wir immer behaviouristisch reden, da uns der Unterschied zwischen Äußerem & Innerem nichts angeht. Was ich aber ˇoben sagte ist auch deshalb irreführend weil ich, wenn mich [die|das] Aufgabe Hinweisen auf ein grünes Täfelchen (als
Antwort auf die
Ausführung des Befehls
Frage „welche Farbe nennen wir ‚rot’?”) befriedigt, ◇◇◇ zu dieser Befriedigung einen Grund haben muß d.h.: weil mich doch dann nicht jede Farbe beliebige Antwort hätte befriedigen können & ich also in dem Sinne befriedigt bin wie von der richtigen Ausführung eines Befehls. Denn ich mußte eben meine Gründe haben, zu sagen „er meint schon das Richtige”. Wieder zu den zwei Aufgaben: Die Lösung beider betrachten wir als Zeichen des Verständnisses. Hören wir jemand das Wort ‚rot’ gebrauchen & zweifeln daran daß er es versteht so können wir ihn zur Prüfung fragen „welche Farbe nennen wir ‚rot’”. Anderseits: wenn wir jemandem die hinweisende Erklärung gegeben hätten „diese↗ Farbe heißt
‚rot” & nun sehen wollten ob er diese Erklärung richtig verstanden hat, so würden wir nicht von ihm verlangen, daß er sie wiederholt, sondern wir gäben ihm etwa die Aufgabe aus einer Anzahl von Dingen die roten herauszusuchen. In jedem Fall ist das was wir ‚Verständnis’ nennen, eben
durch das
dadurch
bestimmt, was wir als Probe des Verständnisses ansehen (durch die Aufgaben bestimmt die wir zur Prüfung des [v|V]erständnisses stellen).))

 
   
Das Verstehen eines Satzes der Wortsprache ist dem Verstehen eines musikalischen Themas (oder Musikstückes) viel verwandter als man glaubt. Und zwar so, daß das Verstehen des sprachlichen Satzes näher ˇals man glaubt dem Ort liegt, an welchem was man richtig gewöhnlich das das Verständnis des musikaischen Ausdrucks sieht nennt. – Warum pfeife ich das gerade so,? warum bringe ich den Rythmus der Stärke & des Zeitmaßes gerade auf dieses ganz bestimmte Ideal? Ich möchte sagen: „weil ich weiß, was das alles heißt” – aber was heißt es denn? Ich wüßte es nicht zu sagen, außer durch eine Übersetzung in einen Vorgang von gleichem Rythmus. Ich könnte nur sagen: so wohnt
dieses Thema Musikstück diese Melodie in mir, diesen Platz nimmt dieses Schema in meiner Seele ein. So als gäbe mir jemand ein Kleidungsstück & ich legte es an meinen Körper an & es nähme also dort eine ganz bestimmte Gestalt an, indem es sich da ausdehnte, dort zusammenzöge & nur dadurch & so für mich Bedeutung gewönne. Diese Gestalt nimmt dieses Thema als Kleid meiner Seele an. – Ja man sagt manchmal: „man könnte das auch in diesem Tempo spielen – dann heißt es aber etwas ganz Anderes”. Und gefragt: „was heißt es denn?” wäre man wieder in der alten Verlegenheit. Aber man könnte sagen: nun dient es als Kopftuch, nun als Halstuch (nun setze ich es so auf, nun so). ((Aber freilich ist der Teil der Seele dem ich die Melodie anziehe ˇnur eine Fiktion, eine Ergänzung die die Beschreibung des Kleides erleichtert & wohl auch die Beschreibung seiner Anwendung. Aber das Tuch von dem & dem Schnitt in dieser Lage & Ausdehnung im Raume & mit diesen Wirkungen ist & alles bleibt alles was da ist.))

 
   
Auch wenn wir verstehen, daß der Ausdruck „das ist rot” zwei ganz verschiedene Funktionen haben kann: als hinweisende Definition
einerseits („die Farbe dieses Flecks nenne ich ‚rot’”), & als Aussage, daß dieser Fleck rot ist, so bleibt doch die formale Verwandtschaft der beiden Zeichen merkwürdig (die eben ihre häufige Verwechslung hervorruft). ((Die Verwandtschaft
besteht darin
kommt daher
, daß die Definition das Paradigma des Übergangs ist der im Erfahrungssatz gemacht wird (
1 = o
– = x
,
1 – 11
o x o o
)))

 
   
Ich kann nicht auf die Bedeutung eines Wortes zeigen. (Höchstens auf den Träger eines Namens.)

 
   
Das was in der hinweisenden Definition auf der linken Seite des Gleichheitszeichens steht (wenn auf der rechten das Wort steht), ist nicht die Bedeutung des Worts (das hieße nichts).

 
   
„Dieses Buch hat die Farbe die ‚rot’ heißt” „Die Farbe die dieses Buch hat heißt ‚rot’” So klingen die beiden Sätze am ahnlichsten; aber wir könnten offenbar auch einem dieser Sätze den Sinn des andern geben. Aber in einem Fall setzen wir den Gebrauch eines Wortes fest,
[ enunciate ]
verkünden
also eine grammatische Regel, im andern Fall machen wir eine Behauptung, die durch die Erfah-
rung bestätigt oder widerlegt werden kann.

 
   
Im einen Fall machen wir den Zug eines bestehenden Spiels, im andern setzen wir eine Spielregel fest. Man könnte auch das Ziehen mit einer Spielfigur auf diese beiden Arten [A|a]uffassen: als Paradigma für künftige Züge & als Zug des Spiels. [ & als Zug einer Partie (des Spiels). ]

 
   
Es hat aber natürlich etwas zu bedeuten, daß wir ˇden Zug (dieselbe Handlung) auf beide Arten meinen können. (((Es hat) nicht mehr (zu bedeuten), als was der Fall ❘ = 0 – = x etc. zeigt. Was soll es denn andres & mehr bedeuten ˇkönnen, als was sich in den besonderen Fällen zeigt. Denn wir müssen uns hier wieder an die besonderen Fälle halten. Unklarheit entsteht hier durch den Ausdruck „auf beide Arten meinen können”.)) [ Denn an die besonderen Fälle müssen wir uns hier ˇwieder halten & nicht
nach einer nebelhaften Allgemeinheit trachten
trachten in eine nebelhafte Allgemeinheit zu gelangen
. Entsteht die Unklarheit hier nicht durch die Worte „meinen können”? ]

 
   
11.
∣ (Es ergäbe könnte sich eine seltsame Analogie daraus ergeben, daß das Okular
auch des riesigsten Fernrohrs nicht größer sein darf [ nicht größer ist ] , als unser Auge.) ∣ )

 
   
In dem einen Sinn des Satzes könnte ich sehr wohl auf ein grünes Täfelchen zeigen & sagen „das heißt ‚rot’”, womit ich meine, daß das grüne Täfelchen (oder die Geste die auf dasselbe hinweist) als Zeichen für das Wort ‚rot’ gebraucht (eingesetzt) werden darf.

    
Nun wird man einwenden: „Aber so eine Erklärung könnte doch nicht als Erklärung der Bedeutung des Wortes ‚rot’ gebraucht werden”. Darauf kann ich nur antworten: das weiß ich nicht; man müßte es versuchen & sehen, ob nach dieser Zeichenerklärung der Andere verständnisvoll reagiert.

   
Wie ist es aber, wenn ich für mich selbst eine Bezeichnungsweise festsetze; wenn ich
z.B.
etwa
für den eigenen Gebrauch gewissen Farbtönen Namen geben will: Ich werde das etwac mittels einer Tabelle tun (es kommt immer auf
derlei
das
hinaus). Und nun werde ich doch nicht den Namen zur falschen Farbe schreiben (zu der Farbe der ich ihn nicht geben will). Aber warum nicht? Warum soll nicht ‚rot’ gegenüber dem grünen
Täfelchen stehen & ‚grün’ gegenüber dem roten?, etc? – Ja, aber dann müssen wir doch wenigstens wissen, daß ‚rot’ nicht das gegenüberliegende Täfelchen meint. – Aber was heißt es „das wissen”, außer daß wir uns etwa
neben
außer
der geschriebenen Tabelle noch eine andere vorstellen in der die Ordnung
richtig gestellt
eine andere
ist. – Ja aber dieses Täfelchen ist doch rot, & nicht dieses! – Gewiß; & das ändert sich ja auch nicht, wie immer ich die Täfelchen & Wörter setze; & es wäre natürlich falsch auf das grüne Täfelchen zu zeigen & zu sagen „dieses ist rot”. Aber das ist auch keine Definition sondern eine Aussage. – Gut, dann nimmt aber doch unter allen möglichen Anordnungen die gewöhnliche (in der das rote Täfelchen dem Wort ‚rot’ gegenübersteht) einen ganz besonderen Platz ein. – ((Da gibt es jedenfalls zwei verschiedene Fälle: Es kann die Tabelle mit grün gegenüber ‚rot’ etc so gebraucht werden wie wir die Tabelle in der gewöhnlichen Anordnung gewöhnlich gebrauchen. Wir würden also etwa den der sie gebraucht von dem Wort ‚rot’ nicht auf das gegen[u|ü]berliegende Täfelchen
blicken
schauen
sehen sondern auf das rote das schräg darunter steht (aber wir müßten auch diesen Blick nicht sehen) & finden daß er dann statt des Wortes ‚rot’
in einem Ausdruck
(irgendwo)
das rote Täfelchen einsetzt. Wir würden
dann sagen die Tabelle sei nur anders angeordnet (nach einem andern räumlichen Schema) aber sie verbinde die Zeichen wie die Gewohnte. – Es könnte aber auch sein daß der welcher die Tabelle benützt von der einen Seite horizontal zur andern blickt (oder mit dem Finger fährt – wie wir es oft tun[)|.] Aber wieder ist es nicht nötig daß ich diesen Blick auffange) & nun in irgendwelchen Sätzen das Wort ‚rot’ durch ein grünes Täfelchen ersetzt; [A|a]ber nun nicht etwa auf den Befehl „gib mir das rote Buch” ein grünes bringt; sondern ganz richtig das rote ˇ(d.h. das welches auch wir rot nennen). Dieser hat nun die Tabelle anders benützt als der Erste aber doch so daß ‚rot’ die gleiche Bedeutung für ihn hatte wie für uns. (Zu
einer
der
Tabelle gehört übrigens wesentlich die Tätigkeit des
Aufsuchens
Nachschauens
in der Tabelle.) Es ist nun offenbar der zweite Fall
der
welcher
uns interessiert und die Frage ist: kann ein grünes Täfelchen als Muster ◇◇◇ von Rot [ eines Tones von rot ] dienen? Und da ist es klar daß dies (in einem Sinn) nicht möglich ist. Ich kann mir eine Abmachung denken wonach Einer dem ich eine grüne Tafel zeige & sage male mir diese Farbe mir ein Rot malt, wenn ich ˇdasselbe sage & zeige ihm blau so hat er gelb zu malen
u.u.
u.s.w.
; & daher kann ich mir auch
denken daß Einer meinen Befehl auch ohne ˇeine vorhergehende Abmachung so deutet. Ich kann mir ferners denken daß die Abmachung gelautet hätte „auf den Befehl ‚male mir diese Farbe’, male immer eine gelblichere als ich Dir zeige” & wieder kann ich mir die Deutung auch ohne Verabredung denken. Aber kann man sagen daß Einer ein rotes Täfelchen genau kopiert ◇◇◇ indem er einen bestimmten Ton von Grün (oder eines andere[n|s] Rot als das des Täfelchens) malt & zwar so wie er eine Zei gezeichnete Figur nach verschiedenen Projectionsmethoden verschieden & genau kopieren kann? In Ist also hier der Vergleich zwischen Farben & Gestalten richtig & kann ein grünes Täfelchen einerseits als d[as|er] Name einer bestimmten Schattierung von rot stehen & anderseits als ein Muster dieses Tones, wie ein Kreis als der Name einer bestimmten Elipse verwendet werden kann, aber auch als ihr Muster. Kann man also dort wie hier von verschiedenen Projectionsmethoden sprechen oder gibt es für das Kopieren einer Farbe nur eine solche: das Malen der gleichen Farbe? Wir meinen diese Frage so, daß sie nicht dadurch verneint wird daß es möglich uns die Möglichkeit gezeigt wird mittels eines bestimmten Farbenkreises & der Festsetzung
eines Winkels von irgend einem Farbton auf irgend einen andern überzugeben. Das, glaube ich, zeigt nur in wiefern das rote Täfelchen gegenüber dem Wort ‚rot’ in einem andern Fall ist als das grüne. Übrigens bezieht sich, was wir hier für die Farben gesagt haben auch auf die Formen von Figuren wenn das Kopieren ˇein Kopieren nach dem Augenmaß & nicht ein Kopieren mittels Meßinstrumenten ist. – Denken wir uns nun aber doch einen Menschen der vorgäbe „er könne die Schattierungen von Rot in Grün kopieren” & auch wirklich beim Anblick des roten Täfelchens, mit allen (äußeren) Zeichen des genauen Kopierens (nebeneinanderhalten, genaues [h|H]inschauen, etc) einen Farb grünen Ton mischte & so fort bei allen ihm gezeigten roten Tönen. Der wäre für uns auf derselben Stufe wie [e|E]iner, der auf die gleiche Weise (durch genaues hinhorchen) Farben nach Violintönen mischte. Wir würden in dem Fall sagen: „Ich weiß nicht wie er es macht”, aber nicht in dem Sinne daß wir ˇverstünden nicht die verborgenen Vorgänge in seinem Gehirn oder seinen Muskeln nicht verstehen, sondern wir verstehen nicht was es heißt „dieser Farbton sei eine Kopie dieses Violintones”. Es sei denn daß damit nur gemeint ist daß ein bestimmter Mensch erfahrungsgemäß eine be-
stimmten Farbton mit einem bestimmten musikalischen Klang assoziiert (ihn zu sehen behauptet, malt, etc.). Der Unterschied zwischen dieser Assoziation & dem Kopieren, auch wenn ich selbst beide Verfahren kenne, besteht darin [ zeigt sich darin ] daß es für die assoziierte Gestalt keinen Sinn hat von Projectionsmethoden zu reden & daß ich von dem assoziierten Farbton sagen kann „jetzt fällt mir bei dieser Farbe (oder diesem Klang) diese Farbe ein vor fünf Minuten war es eine andere”, etc. Wir könnten auch niemandem sagen „Du hast nicht richtig associiert” wohl aber „Du hast nicht richtig kopiert”. Und die Kopie einer Farbe – wie ich das Wort gebrauche – ist nur eine; & es hat keinen Sinn ˇhier von verschiedenen Projectionsmethoden zu reden.))

 
   
Was ich hier tue ist weiter nichts, als streng die Aussage „das ist rot” von der Definition zu trennen.
     Diese Trennung bereitet uns dieselbe Schwierigkeit, die immer zur Folge h[ä|a]tte, daß man der Definition eine andere Funktion vindizieren wollte als die, ein Zeichen für ein anderes zu setzen. [ die Ersetzung eines Zeichens durch ein anderes zu erlauben. ]

 
   
Man könnte ˇsich denken, daß das Hindeuten
auf ein grünes Täfelchen wenn ich will daß der [A|a]ndere ein rotes Ding holt ursprünglich als eine Art Gaunersprache festgesetzt worden
sei
wäre
, sich dann aber bei mir (so) eingebürgert habe. Ich hätte dann etwa in der ersten Zeit nach dieser Abmachung [ in der ersten Zeit dieser Übereinkunft ] mir auf das grüne Zeichen hin ein rotes Täfelchen vorgestellt (ein rotes Bild wäre mir vor die Seele getreten – was dasselbe heißt), später aber wäre das so wenig erfolgt wie (etwa) beim Hören des Wortes ‚rot’ & ich würde jetzt den Befehl unmittelbar nach dem auf den nach dem Hinweis auf das ◇◇◇ grüne Täfelchen auf das grüne Zeichen hin ausführen. [ & ich führte jetzt den Befehl … aus. ] Wenn das aber geschieht, ändert es dann etwas, an der Verwendung des grünen Zeichens, daß ich mir einmal damit etwas rotes vorgestellt habe, ehe ich
den roten Gegenstand
etwas rotes
brachte? Das alles ist nur Geschichte. ((Soll das soviel heißen, als daß eine Erklärung, eine Tabelle zuerst so gebraucht ◇◇◇ werden kann daß man sie ‚nachschlägt’; daß man sie dann gleichsam im Kopf nachschlägt d.h. sie sich vor das innere Auge ruft (oder dergleichen); & daß man endlich ohne diese Tabelle arbeitet, also so, als wäre diese Tabelle nie dagewesen. In diesem letzten
ˇFall spielt man also ein anderes Spiel. Denn es ist nun nicht so daß diese [ jene ] Tabelle ja doch auch im Hintergrund steht & man immer auf sie zurückgreifen kann; sie ist aus unserm Spiel ausgeschieden & wenn ich auf sie ‚zurückgreife’ so tue ich was der Blinde tut erblindete tut der etwa auf den Tastsinn zurückgreift. Eine Erklärung ist eine das Anlegen einer Tabelle & eine Fo sie wird Geschichte wenn ich die Tabelle nicht mehr benütze. [ Eine Erklärung legt eine Tabelle an & sie wird Geschichte wenn …. ] Ich muß unterscheiden zwischen den Fällen[,|:] wenn ich mich einmal nach einer Tabelle richte, & dem ein andermal in Übereinstimmung mit der Tabelle (der Regel welche die Tabelle ausdrückt]) handle ohne die Tabelle zu benützen. – Die Regel deren Erlernung uns veranlaßte jetzt so & so zu handeln ist als Ursache unserer Handlungsweise Geschichte & (für uns) ohne Interesse. Sofern sie aber eine allgemeine Beschreibung unserer Handlungsweise ist, ist sie eine Hypothese. Es ist die Hypothese daß diese zwei Leute die über
am
dem
Schachbrett sitzen so & so handeln werden (wobei auch ein Verstoß gegen die Spielregeln unter die Hypothese fällt denn diese sagt dann etwas darüber aus, wie sich
die beiden benehmen werden wenn sie auf diesen Verstoß aufmerksam werden).
Die Spieler können aber die Regel auch benützen
Dann aber können die Spieler die Regeln auch benützen
, indem sie in jedem ˇbesonderen Fall nachschlagen was zu tun ist; hier tritt die Regel in die Spielhandlung selbst ein & verhält sich zu zu ihr nicht wie eine Hypothese zu ihrer Bestätigung (in einem bestimmten Fall). „Hier gibt es aber eine Schwierigkeit. Denn der Spieler welcher ohne [b|B]enützung des Regelverzeichnisses spielt ja der nie eins gesehen hätte könnte dennoch wenn es verlangt würde ein Regelverzeichnis anlegen & zwar nicht – behaviouristisch [,|] indem er durch wiederholte Beobachtung feststellte was wie er in diesem & in jenem Fall gemacht hat, gehandelt, hat, sondern indem er vor einem Zug stehend sagt „in diesem Fall zieht man so”.” – Aber wenn das so ist, so zeigt es doch nur daß er unter gewissen Umständen eine Regel aussprechen wird, nicht, daß er von ihr ˇbeim Zug expliziten Gebrauch gemacht hat. als er den Zug machte. Daß er ein Regelverzeichnis anlegen
wird
würde
wenn man es
verlangt
verlangte
ist eine Hypothese & wenn man eine Disposition, ein Vermögen, ein Regelverzeichnis anzulegen annimmt,
so ist es eine
psychologische
psychische
Disposition auf gleicher Stufe mit einer physiologischen. Wenn gesagt wird, diese Disposition charakterisiert den Vorgang des Spiels, so charakterisiert sie ihn als einen psychischen oder physiologischen was er tatsächlich ist. (Im Studium des Symbols Symbolismus gibt es keinen Vordergrund & Hintergrund, nicht ein
greifbares
sichtbares
Zeichen & eine es begleitendes
ungreifbares
unsichtbares
Vermögen, oder Verständnis.)
 
   
     Kann nun aber nicht das grüne Zeichen auf mehrere Arten statt des Wortes ‚rot’ treten? Einmal als Wort, ein andermal als Complementär gefärbtes Zeichen? In dem letzteren Fall liegt natürlich eine Ähnlichkeit mit dem des Kopierens der Farbe nach einer andern Projektionsmethode vor (das [F|f]arbige Zeichen ist ˇjetzt eine Art Muster). [Was jetzt kommt ist sehr verworren; nicht im Sinn aber in der Ordnung. Aber es ging nicht besser.]
     Es ist die Frage: Wenn sich diese Regel ihrem Wesen nach nur auf die Farben (oder Wörter) blau, rot, grün, gelb bezieht, ist sie dann nicht identisch mit der, welche das grüne Zeichen als Wort für ‚rot’ und umgekehrt etc festsetzt? Denn eine
Allgemeinheit
Regel
die ihrem logischen Wesen nach einem logischen B Produkt aquivalent ist, ist nichts anderes als
dieses logische Produkt. (Denn man kann nicht sagen: hier ist das grüne Zeichen; nun hole mir ein Ding von der complementären Farbe, welche immer das sein mag: D.h. „die complementäre Farbe von rot” ist keine Beschreibung von grün.) Die Bestimmung, die [c|C]omplementärfarbe als Bedeutung des Täfelchens zu nehmen, ist dann wie ein Querstrich in einer Tabelle ; ein Querstrich in der Grammatik der Farben gezogen. Hier ist also das grüne Täfelchen Anders wäre es, wenn die Regel (ρ) hieße: das Täfelchen bedeutet immer einen etwas dunkleren Farbe Farbton als
der seine
sein eigener
Ton ist. Man muß nur wieder auf den verschiedenen Sinn der Farb- & der Gestaltprojection achten (& bei der letzteren wieder ˇauf den Unterschied der Abbildung nach visuellen Kriterien [ im visuellen Raum ]
&
von
der Übertragung mit Meßinstrumenten.). Das kopieren nach der Regel ρ ist ‚kopieren’ in einem andern Sinne dieses Wortes als dem in welchem das Hervorbringen des gleichen Farbtons so genannt wird. Es handelt sich also nicht um zwei Projectionsmethoden vergleichbar ˇetwa der Parallel- & der Centralprojection durch die ich eine geometrische Figur mit Zirkel & Lineal in eine andere projicieren kann. Vergleiche ([d|D]ie Metrik der Farbtöne). Wenn ich das berücksichtige, so kann ich also in dem veränderten Sinn
des Wortes „Muster” (der dem veränderten Sinn des Worts „Kopieren” entspricht) das hellere Täfelchen zum [m|M]uster des dunkleren Gegenstandes nehmen.
  Die ursprüngliche Frage war: Könnten wir ˇnicht zur hinweisenden Erklärung von ‚rot’ ebensowohl auf ein grünes, wie auf ein rotes Täfelchen zeigen? denn, wenn diese Definition nur ein Zeichen statt des andern setzt so sollte dies doch gleichgültig sein
auf's gleiche hinauslaufen
[ keinen Unterschied machen ]
. –
Wenn
Soweit
die Erklärung nur ein Wort für ein andres setzt
so macht es auch keinen.
ist es auch gleichgültig.
Bringt aber die Erklärung das Wort mit einem Muster in Zusammenhang, so ist es nun nicht unwesentlich mit welchem Täfelchen das Zeichen verbunden wird. ([D|d]enke auch wieder daran daß eine Farbe der andern nicht im gleichen Sinn zum Muster dienen kann, wie ihr selbst.). „Aber dann gibt es also willkürliche Zeichen & solche die nicht willkürlich sind!” – Aber denken wir nur an die Verständigung durch Landkarten, Zeichnungen, & Sätze anderseits: die Sätze sind so wenig willkürlich wie die Zeichnungen. Aber die Worte sind willkürlichˇ (vergl. ❘ = 0, – = x, ❘–❘ ❘–). Wird denn aber ein Wort eigentlich als Wort gebraucht, wenn ich es nur in Verbindung mit einer Tabelle gebrauche, die den Übergang zu Mustern macht? Ist es also nicht falsch, zu sagen ein Satz sei ein Bild, wenn ich doch nur ein Bild nach ihm
& der Tabelle zusammenstelle? Aber so ist also doch der Satz & die Tabelle zusammen ein Bild. Also zwar nicht a d b c b aber allein, aber dieses Zeichen zusammen mit
a
b
c
d




. Aber es ist offenbar, daß auch a d b c b ein Bild von ↑←↓→↓ genannt werden kann. Ja, aber, ist nicht doch das Zeichen a d b c b ein willkürlicheres Bild von ↑←↓→↓ als dieses Zeichen von der Ausführung der Bewegung? Etwas ist auch an dieser Übertragung willkürlich (die Projectionsmethode) & wie sollte ich bestimmen was willkürlicher ist? Ich vergleiche also die Festsetzung der Wortbedeutung durch die [H|h]inweisende Definition der Festsetzung einer Projectionsmethode zur Abbildung räumlicher Gebilde. Dies ist freilich nicht mehr
wie
als
ein Vergleich. Ein ganz guter Vergleich, aber er enthebt uns nicht der Untersuchung des Funktionierens der Worte getrennt von dem Fall der ge räumlichen Projection. Wir können allerdings sagen – d.h. es entspricht ganz dem Sprachgebrauch – daß wir uns durch Zeichen verständigen, ob wir Wörter oder Muster gebrauchen; aber das Muster ist kein Wort, & das Spiel sich nach Worten zu richten ein anderes als das, sich nach Mustern (zu) richten. (Wörter sind
der Sprache nicht wesentlich.) Kann man aber vielleicht sagen, daß Muster ihr wesentlich wären? (Muster sind
dem Gebrauch
der Benutzung
von Mustern wesentlich Worte
dem Gebrauch
der Benutzung
von Worten.) Was Worte leisten können Muster nicht leisten oder doch nur scheinbar, nämlich als Wörter gebraucht. Ich könnte natürlich – (übrigens) gegen den allgemeinen Gebrauch – festsetzen, Sprache sei nur, was mit dem Gebrauch von Mustern anfängt & aufhört aber dann müßte dennoch in dieser Sprache mit Worten (oder Mustern als Worten gebraucht) operiert werden.
       Die Frage war ursprünglich: muß ein rotes Täfelchen ‚rot’ vertreten oder macht dies nur den Übergang für uns leicht (natürlicher), wie es leichter ist, sich in einer Tabelle zurechtzufinden die nach dem gewöhnlichen Schema als in einer die nach einem verwickelteren Schema angeordnet ist. Und es ist klar daß ein grünes Täfelchen das Wort ‚rot’ so gut vertreten kann
als
wie
ein blaues. Auch, daß ein grünes nicht in dem Sinn als Muster eines roten Farbtons dienen kann, wie ein Täfelchen von diesem Farbton. (Ist übrigens das Täfelchen ein Muster des Farbtons, oder des Gegenstandes der etwa zu färben ist. Nun, das Täfelchen ersetzt jedenfalls das Farbwort & kein anderes.
Und ein Muster zu einer grauen Hose, auf diese Art verwendet, ist ein Muster der Farbe allein.) – Es frägt sich nun: Wenn es sich nur um die Bezeichnung der Farben rot, grün, blau, gelb handelt, ist dann das rote Täfelchen in einem andern Verhältnis zu ‚rot’ als zu ‚grün’, etc.? D.h., kommt in diesem Fall das Täfelchen als Muster überhaupt in Betracht, oder nur als Wort[,|?] so daß es dann gleichgültig ist, welches Täfelchen rot bezeichnet? – Ja, aber wir müssen doch einen Weg haben, die Bedeutung, die ‚rot’ wirklich hat, im Gegensatz zu einer andern festzulegen. – Eins ist klar: Wenn die Täfelchen nicht als Muster fungieren, so ist kein Grund, warum ich das Wort ‚rot’ eher durch einem farbige[s|n] Täfelchen als durch einer bestimmten Zeichnung oder eine[n|m] Klang zuordnen soll; & das heißt: Wenn die Täfelchen nicht als Muster irgendwelcher Art fungieren so fungieren sie einfach als Worte. Kann ich also sagen: Wenn ein grünes Täfelchen rot bezeichnen kann, dann nicht anders als das a auf der Violine? Aber man hat ein Gefühl als wäre das nicht so; als gäbe es hier eine Projectionsmethode (nur nicht eine (uns) so bequeme wie die welche rot in
rot projiziert) die rot in grün projiziert. Wenn das so ist, so müssen wir wissen, was diese Projectionsmethode auf ein anderes Argument angewandt ergibt (denn eine Projectionsmethode ist wesentlich eine Variable). Nun, da denken wir natürlich an die Regel eine Farbe durch ihr Complement zu ersetzen. – Kommt aber das Kopieren überhaupt in Betracht, wenn Worte definiert werden? D.h., muß nicht alles, wodurch ein Wort definiert ist eo ipso ein Wort sein, als Wort wirken, auch wenn es ein farbiges Täfelchen ist (& daher auch anders funktionieren könnte)? Ist es also nicht so, daß die Farbmuster, sobald sie Wörter definieren Wörter sind? – Aber es ist doch klar, daß wir im Musterkatalog sehr wohl von den Nummern auf das Muster übergehen, & dieses ˇdann auch als Muster gebrauchen können[,|.] Wenn es auch wahr ist, daß wir es nicht als Muster benützen müssenc, sondern auch als Wort benützen können (zwei verschiedene Spiele). – Wenn aber die Anzahl der Muster von vornherein
bestimmt
beschränkt
ist, – ist dann Platz [ Raum ] für das Kopieren? Nun ich kann doch auch dann die Farbe des Zeichens kopieren. (Es kommt mir aber z.B. gar nicht auf den genauen Ton an, sondern nur darauf an, ob es ein Ton in der Nachbarschaft
von rot [ ein Ton von rot ] , blau etc ist. Ich kann aber auch so kopieren daß nur die Nachbarschaft der gegebenen Farbe gewahrt bleibt.) Wenn also mein Zeichensystem nur aus den Wörtern „rot”, „blau”, „grün”; „gelb” & vier entsprechenden Farbtäfelchen besteht, – ist eine Erklärung (Tabelle), die das rote Täfelchen dem Wort ‚blau’ zuordnet auf gleicher Stufe wie eine, die es ◇◇◇mit ‚rot’ ◇◇◇ verbindet? Wenn ich festsetze, das blaue Täfelchen solle rot bedeuten u.s.w. im Kreis der primären Farben, so folgt, daß das rote Täfelchen gelb, das gelbe grün, das grüne blau bedeutet & dieser Fall ist ähnlich wie der, der der Bezeichnung durch die Komplementärfarbe. Es ist klar, daß ich mit Hilfe einer solchen Regel eine Tabelle konstruieren kann (ohne noch aus der Grammatik herauszutreten, also vor jeder Anwendung der Sprache) indem ich erst ‚rot’ mit dem blauen Täfelchen & darauf dieses mit dem roten verbände, etc.. Und das heißt doch, daß die eine Bezeichnung genau so gut ist, wie die andere & in diesem grammatischen System die gleiche Bezeichnung ist. Ich habe durch die Bestimmung, das rote Täfelchen solle blau bezeichnen & so weiter im Kreise, tatsächlich eine Projectionsmethode bestimmt, die sich auf die internen Beziehungen der Farben stützt
(wie die Darstellung durch Complementärfarben). Durch diese Angabe dieser Projectionsmethode wird die Bezeichnung von rot mittels des blauen Täfelchens gleichwertig der mittels des roten. Das grüne Täfelchen kann also zum Muster für rot werden, im System der Complementärfarben (vergl auch photographisches Negativ & Positiv.) Das Charakteristische an diesen Projectionsmethoden ist, daß sie in eine Tabelle münden (im Gegensatz zu den räumlichen). Daher sind alle Regeln dieser Tabelle gleichwertig. In diesem System ist also die Bezeichnung von rot durch das rote Täfelchen nur eine Bequemlichkeit. Nicht aber wenn es sich um das Hervorbringen des ‚genauen’ Farbtons handelt. Soweit die Faben mit einander in internen Beziehungen stehen, soweit kann man auch von der einen natürlich auf die andere übergehn, ich meine, einen Übergang in der Grammatik der Farben selber machen im Gegensatz ˇetwa zu einem ˇgeometrischen Übergang mit benützung eines besond auf einem bestimmten gemalten Farbenkreis. (Die Möglichkeiten zeigen sich deutlich im Farben Okoeder)))



 
   
Das Wort in Anführungszeichen ist ein Muster.



 
   
∣ Die Schwierigkeit, die uns das Sprechen über den Gesichtsraum ohne Subjekt macht & über meine & seine Zahnschmerzen, ist die, die Sprache einzurenken, daß sie richtig in den Tatsachen sitzt. ∣

 
    
Vergiß nicht: die Abmachung ist vergangen.

   
Es besteht ja die einfache Tatsache daß wir das Wort ‚rot’ anwenden, wie wir es anwenden & uns dabei nicht immer einen roten Gegenstand vorstellen; & selbst wenn das geschähe, so wäre damit die Möglichkeit der Ausführung des Befehls „stelle Dir etwas Rotes vor” nicht erklärt.

   
»Aber wenn ich, auf einen roten Gegenstand zeigend, sage „diese Farbe nennt man ‚rot’”, gebe ich doch gewiß nicht nur ein Zeichen statt des anderen! Und was wäre der Nutzen dieser Ersetzung?![|«]– Ich gebe ihm ein Zeichen dessen Gebrauch er kennt, für eines dessen [g|G]ebrauch er nicht kannte & lehre ihn damit den Gebrauch des letzteren. ((Die Erklärung daß ich die die den Gebrauch eines Zeichens lehre indem ich es durch eins definiere dessen Gebrauch ich kenne – oder durch eine bestimmte Verbindung solcher
Zeichen – beschreibt [ charakterisiert ] auch den Fall der Erklärung
eines
des
mir bisher unverständlichen Wortes spanischen Wortes durch das Wort ‚rot’. Hier gebe ich statt eines Wortes ein anders im früheren Fall ein Muster statt eines Worts.))

 
  ? ∫  
Wenn ich sage „diese Farbe nennt man ‚sepia’”, so habe ich in diesem Satz das Wort ‚sepia’ noch nicht gebraucht. (Auch nicht – wie jemand
meinen
glauben
könnte – zu sagen, daß die Farbe des gezeigten Ortes sepia ist.) Gebrauche ich nun in Hinkunft das Wort, so könnte ich immer statt seiner die Geste [ den Hinweis ] gebrauchen, durch die den ich es damals erklärt habe.

 
   
Wäre diese Geste nun
jedenfalls
auf jeden fall
unmittelbarer (oder leichter) zu verstehen, als das Wort? So daß man sich nun in der Bedeutung des gebrauchten Zeichens nicht irren könnte (kein Zweifel über die Bedeutung möglich wäre) während das Wort erst einer Erklärung bed[ar|ur]fte? So daß zwar „bring mir eine gelbe Blume” auf eine Erklärung des Worts „gelb” zurückgreifen müsse, aber der Befehl „bring mir eine solche Blume” (wobei man auf ein gelbes Täfelchen
deutet
zeigt
) eine weitere Erklärung nicht zul[assen|ieße]. Denken wir hier an die Befehle „bring mir 2 Äpfel” & „bring mir II
Äpfel” denn ähnlich verhält sich das Wort „rot” zum roten Täfelchen. ((Was mir nicht klar war, war der Unterschied zwischen Muster & Wort & ihrem verschiedenen Gebrauch. Dasselbe Muster & dasselbe Wort sind verschiedener Verwendung fähig; dieses Muster kann in verschiedener Weise als Muster, dieses Wort in verschiedener Weise als Wort gebraucht werden. Sofern sind Muster & Wort einander ähnlich, aber sie sind dennoch verschieden [ aber ihr Gebrauch ist dennoch verschieden ] .

 
   
„Aber es hat doch gewiß etwas zu bedeuten, daß ich bei der Erklärung eines Namens gerade auf dessen Träger zeige”. Zeigen ist doch wohl etwas, was geometrisch bestimmt ist [ was durch räumliche Verhältnisse definiert ist ] .
P


A

B
Der Pfeil P zeigt auf A & nicht auf B. Aber ich könnte sehr wohl auf A zeigen & sagen „dieser Punkt heißt ‚B’” & der Andere könnte mich doch richtig verstehen, & wenn ich etwa sage „wische B weg”, B wegwischen & nicht A. – Freilich, aber dann mußte er eben meine Erklärung anders verstehen, als sie normalerweise verstanden wird. – Aber was ist das Verstehen für ein [S|s]ymbolischer Vorgang? Mußte er sich also bei meinen Worten die Hand
unbedingt auf A B hinzeigend vorstellen? oder doch auf B hinblinzeln? Aber, wenn er das auch während der Erklärung getan hat: was hilft es ihm, wenn er nun das Zeichen B gebrauchen soll. – Aber eines ist doch klar: wenn ich Dir Herrn N vorstellen will (damit Du den Namen „N” künftig verstehst), so kann ich wohl auf Herrn M zeigen (wenn etwa
schon
früher
eine Abmachung betreffs des Zeigens besteht) aber Herr N muß doch jedenfalls anwesend sein. – Aber die Abmachung ist ja jetzt nur Geschichte meines Verständnisses, also gleichgültig, & zweitens braucht Herr N nicht gegenwartig zu sein & die Vorstellung könnte doch so verstanden werden, als wäre er hier. – Aber das brauchst Du ja gerade das Wort „so verstanden werden”! das heißt also, Du gibst zu, daß bei der Vorstellung des [A|a]bwesenden Herrn N durch zeigen auf M etwas anderes (ein anderer Komplementärvorgang in mir) vo
stattfinden
vorgehen
muß, als bei [ (während) ] der Vorstellung des Anwesenden. Ja ein anderer Komplementärvorgang (etwa ein ergänzender Phantasiepfeil) sei nötig wenn wir nicht auf N selbst zeigen. – Nein, das gebe ich nicht zu: Dieses Verstehen muß sich nicht in so so einem Vorgang äußern, sondern in der Anwendung des Wortes ‚N’.
Wenn ich also den Andern frage „hast Du mich verstanden” so kann sich das in seinen weiteren Erklärungen & Handlungen äußern. Eben, wie ich das Wort ‚rot’ in einem Satz verstehen kann ohne rotes dabei zu halluzinieren. ((Auch hier wieder Muster & Wort. Gewiß könnte die hinweisende Geste auf M statt des Namens N treten; dann ist diese Geste ein anderes Wort. So wird sie aber tatsächlich nicht gebraucht denn sonst ist sie so gut wie etwa ein Pfiff. Von der Vorstellung des Herrn N machen wir ganz andern Gebrauch es sie ist wesentlich ein Z zeigen im Raum & wir machen von der zeigenden Hand den Gebrauch daß wir ihr räumlich folgen. (Daher ist es freilich auch richtig daß wir einem Pfeil nicht unbedingt in der Richtung vom Schwanz zur Spitze & auch nicht unbedingt in dieser oder der entgegengesetzten Richtung folgen müssen.) Die zeigende Hand oder der Pfeil werden nicht als Worte sondern als Muster gebraucht & sind als solche natürlich auch vieldeutig). Wenn ich sagte „was nützt mich das Hinblinzeln auf B bei der Erklärung des Wortes Namens ‚B’”, so hätte ich gleich sagen können: was nützt mich diese Erklärung. Denn
die Erklärung ˇ(der Vorgang der Erklärung) wird jedenfalls eine anderer dadurch daß ich wenn sie in der ˇfrüher beschriebenen Art gegeben wird dabei auf B schaue. Und diese Erklärung ist ja doch nur eine Tabelle, & wenn ich sie in Zukunft benütze so muß ich den Proze[ss|ß] (auf B zu schauen) wiederholen. So benützt man ja eine
Tabelle
Erklärung
. Es ist freilich möglich daß ich nach dem Code einer Gaunersprache bei den Worten „das ist Herr N” nicht auf diesen sondern etwa seinen Nebenmann, oder den Mann am andern Ende des Zimmers (oder etc etc) zeige aber hier ist auch die Art & Weise der Benützung dieser Erklärung klar. Und ich kann freilich auch auf M zeigend ˇzur Erklärung sagen „das ist Herr N” der ◇◇◇ gar nicht anwesend ist. Aber da wird doch jeder fragen: Warum tust Du das überhaupt[,|?] und die Antwort wird dann eine Erklärung etwa der Art sein: Wir haben ausgemacht ich werde auf einen Herrn zeigen der ebensolche Anzüge trägt wie Herr N. oder ich werde ◇◇◇ auf einen Herrn zeigen der in der gleichen Richtung ge von uns steht, wie der Ort wo Herr N ist oder dergleichen. Kurz es wird dann eben die Vorstellung ˇdes Herrn anders funktionieren als im g normalen Fall & wird also eine Vorstellung in anderem Sinne sein. Und zwar sowohl dann, wenn
ich mit dieser Vorstellung im Gedächtnis wie mit einer Tabelle arbeite, die ich nachsehe als auch, wenn die Erklärung für später nur noch als Beschreibung der Benützung des Wortes ‚N’ dient & nicht nachgeschlagen wird. Denken wir uns den Vorgang ich sage auf M zeigend (in dem oben beschriebenen Sinne) „das ist N, nun geh & erschlag ihn.” Worauf der Andre richtig nicht M erschlägt sondern
nach dem
in das
Haus in der bezeichneten Richtung geht & N erschlägt. Er konnte sich dabei den Wortlaut der Abmachung ins Gedächtnis rufen (nachschlagen). Es mußte aber nicht geschehen, sondern er führte den Befehl aus als sei das die gewöhnliche Art wie man diesen Befehl gibt zu geben dann fiel allerdings die Erklärung als Hilfsmittel, als Teil des Kalküls,
weg
fort
. Dennoch gibt sie nun die Grammatik seiner Sprache wieder indem sie sie mit unserer Sprache verbindet. – Als ich lesen lernte zeigte man mir die Buchstaben & sprach sie dabei aus. Diese Erklärung rufe ich mir nicht ins Gedächtnis, wenn ich heute lese; aber sie ist sie (ihr Wortlaut) ist jetzt eine Beschreibung dessen was tatsächlich geschieht wenn ich jetzt lese. Freilich nur ein im Verhältnis einer Hypothese zur Wirklichkeit. Und weiter wird man finden, daß
ich auf die Frage „warum sprichst Du dieses Wort so aus” mit einer Erklärung jener Form antworte, wobei es dennoch so bleibt daß, als ich das Wort las dieser Grund nicht etwa als symbolischer
Ausdruck
Akt
nicht vorhanden war. Dies trifft übrigens alles was ich seinerzeit über das Motiv einer Handlung gesagt habe.
Wenn ich dem Andern den Befehl gegeben hätte & ihm dabei zugenickt hätte mit den Worten „Du weißt schon was ich meine”, so hatten diese Worte offenbar nur als Erinnerung an die in der Abmachung gegebene Übersetzung des Befehls in die normale Sprache Sinn. Wenn ich jemand der deutsch versteht unter ganz gewöhnlichen Umständen den Befehl gebe „Geh zu Bett” so werde ich ihm nicht zunicken „Du weißt schon was ich meine” & täte ich's er würde nur – vielleicht in erstauntem Ton – me den Wortlaut meines Befehls widerholen & zwar um zwar wird die meine Bemerkung „Du weißt schon etc” ad absurdum zu führen. Denn die richtige Antwort auf diese Bemerkung ist immer die Übersetzung des gegebenen Befehls in eine andere Sprache. Wenn nun eine Replik früher lautete: „dann mußte er eben meine Erklärung anders verstehen” so war das richtig auch wenn der Vorgang ˇbei der Erklärung – auch
im aufnehmenden Teil – genau der gleiche war ob die Erklärung so oder so gemeint war. Denn wie immer ich das Wort ‚verstehen’ auffasse, d.h. was immer ich als Kriterium
seines
des
Verständnisses ansehe so wird die Übersetzung aus seiner Sprache in die meine ergeben müssen daß der Befehl ◇◇◇ die ◇◇◇ hinweisende Erklärung „dieser Punkt heißt ‚B”” mit der hinweisenden Geste auf A in seiner Gebärdensprache dasselbe heißt [ gleichbedeutend ist ] wie der die gleichen Worte mit der hinweisenden Geste auf B in meiner Sprache. Die Erklärung ist ja die Übersetzung von einer Sprache in die andere & warum soll er diese Übersetzung bedürfen (selbst wenn er sie einst bedurft hat), warum soll die (ursprünglich) erklärte Sprache nicht seine Sprache sein. Aber die Erklärung als Regel der Übersetzung von der einen Sprache in die andere bleibt bestehen.))

 
   
Es liegt in der menschlichen Natur das zeigen mit dem Finger so zu verstehen [ so aufzufassen ] .

 
   
15.11.
Nun gebe ich aber natürlich zu daß ich, ohne vorhergehende Abmachung einer Chiffre, ein Mißverständnis hervorrufen würde wenn ich, auf den Punkt A zeigend,
sagte dieser Punkt heißt ‚B’. Wie ich ja auch, wenn ich jemandem den Weg weisen will mit dem Finger in der Richtung weise in der er gehen soll, & nicht in der entgegengesetzten. Aber auch diese Art des Zeigens könnte richtig verstanden werden & zwar ohne daß dieses Verständnis das gegebene Zeichen durch ein weiteres ergänzte. Es liegt in der menschlichen Natur das Zeigen mit dem Finger so zu verstehen. Und so ist die menschliche Gebärdensprache primär in einem psychologischen Sinne. ((Die Schwierigkeit ist die Grammatik des Wortes „meinen” klar zu sehen. Aber der Weg dazu ist nur ˇder über die Antwort auf die Frage „welches ist das Kriterium ˇdafür, daß wir etwas so meinen” & welcher Art ist der Ausdruck den dieses ‚so’ vertritt. Die Antwort auf die Frage „wie ist das gemeint” stellt die Verbindung zwischen zwei sprachlichen Ausdrucken [(| [ ]zwischen zwei Sprachen ] her. Also fragt auch die Frage nach dieser Verbindung. Der Gebrauch der Hauptwörter „Sinn”, „Bedeutung”, „Auffassung” und anderer Wörter verleitet uns zu glauben daß dieser Sinn etc. dem Zeichen so gegenübersteht wie das Wort, der Name seinem dem Ding das sein Träger ist. So daß man sagen könnte.: „der Pfeil hat eine ganz bestimmmte Bedeutung, ist in einer ganz
bestimmten Weise gemeint, die ich nur faute de mieux wieder durch ein Zeichen ausdrücken muß”. Die Meinung, die Intention wäre quasi seine Seele die ich am liebsten direkt zeigen möchte aber ˇauf die ich leider nur indirekt durch ihren Körper hinweisen kann. – Wenn ich sage: „ich meine diesen Pfeil so, daß man ihm durch eine Bewegung in der Richtung vom Schwanz zur Spitze folgt” [was sage ich dadurch nicht & was sage ich dadurch?] so gebe ich eine Definition[,|(,]ich setze ein Zeichen für ein andres), während es scheint als hätte ich, sozusagen, die
Aussage
Angabe
des Pfeils ergänzt. Ich habe den Pfeil durch ein neues Zeichen ersetzt, das wir statt des Pfeiles gebrauchen können. – Gebrauchen können–. Während es scheint, als wäre der Pfeil selbst wesentlich unvollständig [ unvollkommen ] , ergänzungsbedürftig & als hätte ich ihm nun die nötige Ergänzung gegeben. Wie man eine Beschreibung eines Gegenstandes als unvollkommen erkennt & vervollständigt [ vervollständigen kann ] . Als hätte der Pfeil die Beschreibung angefangen & wir sie durch den Satz vollendet. – Auch so: Wenn ich sage wie oben sage „ich meine diesen Pfeil so, daß …” so scheint es macht es den Eindruck als hätte ich jetzt erst
das das Eigentliche beschrieben, die Meinung; als wäre g der Pfeil gleichsam nur das Musikinstrument, die Meinung aber die Musik oder besser: der Pfeil das Zeichen – das heißt in diesem Falle – die Ursache des inneren, seelischen, Vorgangs, & die Worte der Erklärung erst die Beschreibung dieses Vorgangs. Hier spukt die Auffassung des Satzes als des Zeichens des Gedankens; & des Gedankens als eines Vorgangs in der Seele oder im Kopf.))

 
  /  
Die Worte sind diskontinuierlich; die Wortsprache eine Abbildung durch diskontinuierliche Zeichen. Das ist einer der wichtigsten Gesichtspunkte von dem man sie betrachten muß. Aber Ziffern sind ja auch Worte & wir haben das Dezimalsystem.

 
  /  
Wenn wir einen geometrischen Beweis mit Zirkel & Lineal führen so bedienen wir uns Sprache eines Symbolismus mit kontinuierlichen Symbolen.

 
   
N Buchstaben als Namen von Punkten in einer geometrischen Zeichnung.

 
  /  
Vergiß nicht hier auch nicht, daß die Wortsprache nur eine unter vielen möglichen Sprachen ist & es
Übergänge von ihr in die andern gibt. Untersuche die Landkarte
auf das
darauf
hin was in ihr dem Ausdruck der Wortsprache entspricht.

 
    
[d|D]aß der Träger eines Namens tot ist, ist eine Tatsache die ˇwir mittels dieses Namens (der also hier Bedeutung hat) beschreiben. Wie aber, wenn wir sagen, daß der Träger niemals gelebt hat?10

    
Die Bedeutung des Namens liegt darin, was wir von ihm mit Sinn (wahr oder falsch) aussagen können.11

    
Ist die hypothetische Existenz ˇdes Trägers involviert, wenn wir zur Definition des Namens auf den Träger zeigen & sagen „das ist N”?12

    
Es liegt [a|A]lles darin, daß ich sagen kann „Moses existiert nicht” („hat nicht existiert”), aber nicht „dieser Mensch (auf den ich zeige) existiert nicht”.13

   
Und das führt wieder dahin[,|:] daß wir sagen können „ich sehe hier keinen roten Fleck” auch wenn überhaupt keiner irgendwo zu finden ist (was immer das heißen mag). Und warum soll dann jemals einer zu finden gewesen sein?
         D.h. ich spiele vorläufig mein Spiel mit dem Namen allein, ohne
den Träger. Und der Träger geht mir dabei nicht ab.
((Wenn man sagt „N existiert nicht”, so kann das vi verschiedenerlei bedeuten. Es kann heißen daß ein Mann der als er lebte diesen Namen trug nicht oder nicht zu einer gewissen Zeit in einem gewissen Land existiert hat; aber auch daß spätere Geschichteschreiber den Charakter den wir so (Moses) nennen erfunden haben, daß die & die Ereignisse nie stattgefunden haben &
ihr
ein
Held der also nie gelebt hat. [d|D].h. also: kein Mensch hat
damals
je
Moses geheißen & diese Taten vollbracht; oder: das Ding das Dir als ˇHerr ‚N’ vorgestellt wurde war eine Puppe; etc. Denken wir uns jemand es sagte uns einer er habe Moses auf der Straße gesehen. Wir würden ihn dann fragen: „wie meinst Du das, Du hast ihn gesehen? Wie wußtest Du denn daß es Moses war?” und nun könnte der Andre sagen: „er hat es mir gesagt” oder „er sah so aus wie ich mir Moses vorstelle”, oder „er hatte diese & diese Merkmale”, etc.. Ich will doch wohl das sagen was Russell dadurch ausdrückt daß der Name Moses durch verschiedene Beschreibungen definiert sein kann („der Mann welcher ‚Moses’ hieß & zu dieser Zeit an diesem Ort lebte”, oder „der Mann – wie immer er damals genannt wurde – welcher die Israeliten durch die Wüste führte”, oder „der
Mann der als kleines Kind von der Königstochter aus dem Nil gefischt wurde” etc. etc); & daß je nachdem wir die eine oder andere Definition annehmen der Satz „Moses hat existiert” einen andern Sinn bekommt & ebenso jeder andere Satz der von Moses handelt. Man würde auch immer wenn uns jemand sagte „N existiert nicht” fragen: „was meinst Du? willst Du sagen, daß …, oder, daß … etc?– Wenn ich nun von sage: „N ist gestorben” so verhält es sich hat es mit N gewöhnlich etwa folgende Bewandnis: Ich glaube daß ein Mensch N gelebt hat: den ich 1.) dort & dort gesehen habe, der 2.) so & so ausschaut, 3.) das & das getan hat & 4.) in der Bürgerlichen Welt ◇◇◇ den Namen ‚N’ führt. Gefragt, was ich unter ‚N’ verstehe würde ich etwa alle diese Dinge oder einige von ihnen, &
bei
zu
verschiedenen Gelegenheiten verschiedene, aufzählen. Meine Definition von ‚N’ wäre also: der Mann von dem alles das stimmt. Wenn aber nun einiges davon sich als falsch erwiese?– wäre der Satz „N ist gestorben” nun als falsch anzusehen? auch wenn nun etwas vielleicht ganz [n|N]ebensächliches was ich ◇◇◇ von dem Menschen glaubte nicht stimmen würde; & wo fängt das Hauptsächliche an? Das kommt nun darauf
hinaus, daß wir den Namen N in gewissem N Sinne ohne feste Bedeutung gebrauchen, oder: daß wir bereit sind die Spielregeln nach bedarf zu verändern (make the rules as we go along). Das erinnert an das was ich früher einmal über die Benützung der Begriffswörter z.B. des Worts „Blatt”, oder „Pflanze” geschrieben habe. – Und hier erinnere ich mich daran daß was Ramses einmal über betont hat die Logik ˇsei eine als ‚normative science’. gesagt (oder auch geschrieben) hat. Wenn man damit daß die Logik eine normative Wissenschaft ist, meint, sie stelle nur ein Ideal auf, dem sich die Wirklichkeit nur nähere, so muß gesagt werden, daß dann dieses ‚Ideal’ uns nur als eine Methode Instrument der annähernden Beschreibung der Wirklichkeit interessiert. Es ist allerdings möglich einen Kalkül genau zu beschreiben & zwar zu dem Zweck um dadurch eine Gruppe anderer Kalküle beiläufig zu charakterisieren. Wollte z.B. jemand wissen was ein Brettspiel ist, so könnte ich ihm zur Erklärung das Damespiel genau beschreiben & ˇdann sagen: siehst Du, so ungefähr funktioniert jedes
Brettspiel. – War es nun nicht ein Fehler von mir (denn so scheint es mir jetzt) anzunehmen daß der, der die Sprache gebraucht immer ein bestimmtes Spiel spiele? Denn, war das nicht der Sinn meiner Bemerkung, daß alles an einem Satz – wie beiläufig (ausgedrückt) er immer sein mag – ‚in [o|O]rdnung ist’? Aber wollte ich nicht sagen: alles müsse in Ordnung sein wenn Einer etwas einen Satz sage & es ihn anwende (oder, was dasselbe ist, ihn von einer Tatsache ablese)? Aber dar[in|an] ist doch weder etwas in Ordnung noch in Unordnung, – in Ordnung wäre es, wenn man sagen könnte: auch dieser Mann spielt ein Spiel nach einem bestimmten festen – angebbaren – Regelverzeichnis. Und setzt das nicht wieder voraus daß dieses ˇganze Regelverzeichnis irgendwie schon in jedem einzelnen Zug des Spiels gegenwärtig ist? Ist es nicht viel mehr so daß sich zwar zu jeder Handlung [ Spielhandlung ] ein Regelverzeichnis aufstellen ließe dem sie entspricht, daß wir aber dann in gewissen Fällen den [g|G]ebrauch der Sprache als ein fortwährendes Wechseln des Spiels (des Regelverzeichnisses) beschreiben
müssen
müßten
(als ob [e|E]iner eine Partie Dame anfinge & mitten im Spiel anfinge Schlagdame zu spielen). Und daß wir also sagen müssen wir betrachten die Sprache unter der Form des Spiels,
des Handelns nach einem Regelverzeichnis.
    Denn ich habe zur fe Feststellung de[s|r] Regelverzei nach der er handelt zwei Wege angegeben. Der eine, der hypothetische bestand in der Beobachtung seiner Handlungen & die Regel war dann von der [a|A]rt eines Naturwissenschaftlichen Satzes. Der andere war, den Andern zu fragen, nach welcher Regel er vorgehe. Wie aber, wenn der erste Weg kein klares Resultat
ergibt
liefert
& er auf die Frage die Antwort erfolgt keine Regel zu Tage fördert wie es im Fall „N ist gestorben” geschieht. Denn, wenn wir den der das sagte fragen „was ist N?” so wird er zwar ‚N’ durch eine Beschreibung erklären, wird aber bereit sein diese Beschreibung zu widerrufen & abzuändern wenn wir ihm den einen oder andern Satz
widerlegen
entziehen
. Wie soll ich also die Regel fes
auffassen
bestimmen
nach der er spielt? er weiß sie selbst nicht. Ich könnte die eine Regel für einen Fall nur
nach dem
danach
bestimmen, was er auf die Frage „wer ist N” in diesem Fall gerade antwortet.
     Steckt uns da nicht die [a|A]nalogie der Sprache mit dem Spiel ein Licht auf? Wir können uns doch sehr wohl denken daß sich Menschen auf einer Wiese damit unterhielten mit einem Ball zu spielen & zwar so daß sie verschiedene bestehende Spiele ˇder Reihe nach anfingen nicht
zu Ende spielten & etwa dazwischen pla sogar planlos den Ball würfen, auffingen, fallen ließen etc. Nun sagte [e|E]iner: die ganze Zeit hindurch spielen die Leute ein Ballspiel & richten sich daher bei jedem Wurf nach
bestimmten
gewissen
Regeln. – Aber – wird man einwenden – der den Satz „N ist gestorben” gesagt hat, hat doch nicht planlos Worte aneinandergereiht (& darin besteht es ja daß er ‚etwas mit seinen Worten gemeint hat’). – Aber man kann wohl sagen: er sagt den Satz planlos, was sich eben in der beschriebenen Unsicherheit zeigt. Freilich ist der Satz von irgendwo hergenommen & wenn man will so spielt er nun auch ein Spiel mit einem sehr primitiven Regeln; denn es bleibt ja wahr, daß ich auf die Frage „wer ist N” eine Antwort ˇbekam, oder ˇeine Reihe von Antworten, bekam, die nicht gänzlich regellos waren. – Wir können sagen: [u|U]ntersuchen wir die Sprache auf ihre Regeln hin. Hat sie dort & da keine Regeln, so ist das das Resultat unsrer Untersuchung.))

   
16.
Wenn aber der Träger dem Namen abhanden kommen, oder nie existiert haben, kann, so mußte man beim Gebrauch des Namens von vornherein damit rechnen. Das mußte in seiner Bedeutung liegen. ((Es sei denn, daß wir diese Bedeutung
geändert haben, oder, aber daß wir die das Wort keine bestimmte Bedeutung hatte; denn welches ist die Bedeutung wenn wir er sie nicht angeben können kann? Nun, wir werden die Tatsache das tatsächliche Verhalten [ sein tatsächliches Verhalten ] durch ein ‚Schwanken zwischen verschiedenen mehreren Bedeutungen’ beschreiben können. Es ist wohl wesentlich, daß ich ihn fragen kann: was hast Du eigentlich gemeint. Und
zur
als
Antwort wird er mir eine Menge erzählen, & sich etwa an mich wenden daß ich ihm das Regelverzeichnis einrichte, das seinem Zweck entspricht. Es wird sich dann in unserm Gespräch oft die Redeweise finden „Du wolltest also eigentlich sagen ….” (& diese kann wieder ganz mißverstanden werden – sie ist keine Beschreibung des damaligen Geisteszustands des Sprechenden; als ob das „was er sagen wollte” irgendwo in seinem Geist ausgedruckt gewesen wäre). Aber hier ist eine Gefahr: Es scheint nämlich dann (leicht) als landeten wir am Schluß
in
bei
etwas, was wir mit unserer gewöhnlichen Sprache gar nicht mehr ausdrücken können. Das ist aber das sicherste Zeichen, daß wir fehl gegangen sind; aus unserm Spiel herausgetreten sind. – Was versteht man unter „allen Regeln des Tennisspiels”? Alle Regeln die in einem bestimmten, Buche stehen, oder alle die der Spieler im Kopf hat, oder alle die je ausgesprochen wurden, oder gar: alle die sich ˇangeben lassen!? Daher wollen
wir lieber nicht so vag von ‚allen Regeln’ reden, sondern nur von bestimmten Regeln oder allen Regeln eines Verzeichnisses, etc.. Und das Gleiche gilt von den Regeln über die Verwendung eines Wortes. Wenn Einer mich, z.B., etwas fragt so will ich, wenn ich ihm antworte, wissen ob diese Antwort in seinem Spiel als Antwort auf seine Frage gilt; ob in seinem Spiel dieser Satz
aus dem was er gesagt hat
aus jenem
folgt.
   Für uns ist es genügend daß es eine Frage gibt: „wie meinst Du das?” & daß als Antwort auf diese Frage das
zuerst gegebene
alte
Zeichen durch ein neues ersetzt wird. – Der Einwand dagegen ist, daß mir eine Erklärung ja nichts hilft wenn sie nicht die letzte ist, & daß sie nie die letzte ist: Ich kann zwar erklären: unter ‚Moses’ verstehe ich den Mann, wenn es einen solchen gegeben hat, der die Israeliten aus Ägypten geführt hat, wie immer er damals genannt worden sein mag & was immer er sonst getan oder nicht getan haben mag– – aber ähnliche Fragen ergeben sich nun bezüglich in Bezug auf die Wörter dieses Satzes [ dieser Erklärung ] : was nennst Du ‚Ägypten’? wen, die Israeliten? etc. Ja, diese Fragen kommen auch nicht zu einem Ende wenn wir etwa bei Worten wie ‚rot’, ‚dunkel’, ‚süß’ angelangt wären. Unrichtig war es nur zu sagen, daß mir deshalb eine dieser Erklärungen
nichts hilft. Im Gegenteil sie ist es gerade was ich brauche, ja alles was ich brauchen, & auch geben, kann. Und wenn ich, auf eine solche Erklärung hin, sage „jetzt
verstehe
weiß
ich was Du meinst”, so kann man nicht einwenden, das könne ich ja doch nie verstehen, sondern seine Erklärung hat mir eben das gegeben was ich Verständnis nenne; sie hat die Schwierigkeit beseitigt die ich hatte. Was uns quälte ist glaube ich ganz in dem Pseudoproblem ausgedruckt: Das Schachspiel ist doch durch die Gesamtheit der Schachregeln konstituiert, – was macht dann das Rücken einer Figur im Spiel zu einem Schachzug da doch der Spieler dabei ˇin keiner Weise nicht alle Regeln des Schachspiels beteiligt sind.))

 
  /  
Wenn man fragt „in welchem Verhältnis stehen Namen & Sachen”, so ist die Antwort: in dem Verhältnis der Hausnummer zum Haus.

 
   
Man könnte das Zeichen „dieses↗” „einen Namen’ nennen. Wenn man dann von einem Träger dieses Namens spricht (dem Gegenstand, auf den der Pfeil zeigt), so hat hier
der Name
das Wort
ohne Träger keine Bedeutung.

 
  /  
Ich erzähle jemandem von einem Herrn N; er habe mit mir studiert,
sei dann in das & das Geschäft gekommen etc. Und nun zeige ich ihm eine Gruppe von Leuten & sage: schau ob einer von diesen Herr N ist. – Das ist doch so sinnlos wie die Aufgabe das Alter des Kapitäns zu bestimmen wenn die Dimensionen des Schiffs gegeben wurden. Nicht mehr & nicht weniger sinnlos. – Hätte ich das [a|Ä]ußere des N beschrieben, so wäre die Aufforderung nicht absurd. ((Es ist doch so, daß die Aufforderung im einen Fall hätte lauten können: schau Dir diese Leute an & sage
ob einer
welcher
mit mir studiert hat & dann nach Amerika gegangen ist; im andern: schau Dir diese Leute an & sage welc ob einer klein & dick ist & eine rote Nase hat. Es kommt also darauf hinaus daß der Name N in beiden ˇzwei Fällen (wenn die Aufforderung gelautet hätte „schau ob einer von ihnen Herr N ist”) verschiedene Bedeutung gehabt hätte. – Nun ist aber doch auch die erste Aufforderung nicht absurd, denn warum soll es einem nicht irgendwie anzusehen sein, daß er mit mir studiert hat (etwa durch sein Alter) etc.. Aber, sage ich, ‚anzusehen’ in einem andern Sinn. – Aber was heißt das? Es kann nur dasjenige heißen was durch die Antwort auf die Frage Der Dieser Sinn kann nur ausgedruckt sein durch das was auf die Frage „wie ist es ihm anzusehen?“ ausgedruckt ist zu antworten ist; also
z.B.
etwa
z.B. also durch die Bemerkung
in der Klammer
durch sein Alter
, die ich ja oben gemacht habe um zu erklären
wie der Ausdruck „es ist ihm [A|a]nzusehen” gedeutet werden kann.))

 
  /  
Sage ich jemandem „bringe eine rote Blume” & er bringt eine, & nun frage ich „warum hast Du mir eine von dieser Farbe gebracht”– & er: „das ist doch rot” [ „diese Farbe nenne ich ‚rot’” ] ,: so ist dies letzte ein Satz der Grammatik. Er rechtfertigt eine Anwendung des Worts

 
   
Fehlt
diese Regel
dieser Satz
so ist die Grammatik des Worts (seine Bedeutung) eine andere.


 
   
Er hätte zweierlei sagen können: 1) „ich bringe sie, weil sie rot ist (& Du hast doch eine rote verlangt)”, 2) „ich bringe sie, denn diese Farbe nenne ich [ nennst Du doch ] ‚rot’”. – Sind diese beiden Verteidigungen gleichwertig? ((Ich hätte einfach fragen können: heißt es dasselbe: „dieses Ding ist rot” & „die Farbe dieses Dings heißt rot”? Zuerst könnte ich da fragen: auf welche Sprache heißt sie so? Aber es ist doch gewiß eine eindeutige Beschreibung wenn ich sage: bring mir eine Blume von der Farbe die auf Deutsch ‚rot’ heißt. Die Verteidigung hätte auch
heißen
lauten
können: „ich bringe sie, weil sie rot ist, denn diese Farbe nennst ˇDu doch ‚rot’”. „die Farbe dieser Blume heißt auf Deutsch ‚rot’” ist derselbe Satz wie „was der ˇdeutsche Satz ‚diese Blume ist rot’ auf Deutsch
sagt, ist wahr”))

 
    
Die Wilden haben Spiele (oder wir nennen es doch so), für die sie keine geschriebenen Regeln, kein Regelverzeichnis, besitzen. Denken wir uns nun die Tätigkeit eines Forschers die Länder dieser Völker zu bereisen & Regelverzeichnisse für ihre Spiele anzulegen. Das ist das genaue Analogon zu dem, was der Philosoph tut.

\
  ? ∫  
Die primären Definitionen (oder Definitionen mittels primärer Zeichen) sind sollen wohl die Regeln der Anwendung der Zeichen auf die Dinge außerhalb der Welt der geschriebenen oder gesprochenen Zeichen sein. Denn es gibt, praktisch gesprochen, offenbar die Welt der Bücher oder Rede, & anderseits die Welt außerhalb dieser.
Die primäre Regel soll quasi die „Verbindung der Zeichen mit dem Leben” herstellen. ((Dies bezieht sich offenbar nur auf die Welt der Wortsprache nicht auf die ˇder Zeichnungen in ˇden Büchern. Die
Auffassung
Idee
ist die: Wenn ich die Zeichnung kopiere kann ich dies unmittelbar tun, wenn ich aber ❘–❘ ❘–❘ auf die seinerzeit beschriebene Art kopieren will so geht das nur durch die [i|I]ntervention einer Tabelle. Aber ist es selbstverständlicher daß ich die Zeichnung gerade in dieser (von
mir angenommenen) Weise kopiert wird, als daß ❘–❘ ❘–❘ nach der Regel ❘ = 0, – = x? Ja ist es selbstverständlicher sicher daß ich beim [k|K]opieren während des Kopierens der Zeichnung die Regel des Kopierens nicht wechsle, sicherer, als daß ich beim Kopieren von ❘–❘ ❘–❘ die Regel nicht wechsle? Die beiden sind, was das betrifft auf genau der gleichen Stufe.)) Spielt Ist hier nicht Kontinuität & Diskontinuität der
in die Augen springende
eigentliche
Unterschied?))

\
  /  
17.
∣ Man kann in gewissem Sinn mit philosophischen Irrtümern nicht vorsichtig genug umgehn, sie enthalten so viel Wahrheit. ∣

 
   
∣ Es geht nie einfach an zu sagen: Nein, das ist falsch, heißt das muß aufgegeben werden. ∣

 
  /  
Wenn ich sage: „die Farbe dieses Gegenstands
heißt
ist
violett”, so muß ich die Farbe mit den ersten Worten „die Farbe dieses Gegenstands” schon benannt haben, sie schon zur Taufe gehalten haben, damit der Akt der Namengebung das sein kann, was er ist. Denn ich könnte auch sagen „der Name dieser Farbe (der Farbe dieses Dings) ist von Dir zu bestimmen”, & der den Namen gibt, müßte nun schon wissen, wem er ihn gibt (an welchen Platz der Sprache er ihn stellt).



 
    
„Wenn ichwir nun auch sagesagen, der Träger des Namens ist nicht seine Bedeutung, so bestimmt doch der Träger die Bedeutung, & wenn ich, auf ihn zeigend, sage [|]das ist N[|] so ist die Bedeutung von ‚N’ bestimmt.”
      Aber es bestimmt hier schon das richtige Verstehen des Wortes ‚Träger’ in dem besondern Fall (Farbe, Gestalt, Ton, etc.) die Bedeutung bis auf eine letzte Bestimmung.

\
    
„Aber ich habe ihn gemeint”. Sonderbarer Vorgang dieses Meinen! Kann man jemanden meinen auch wenn er in Amerika & man in Europa ist?
Oder
Und
gar, wenn er schon tot ist?

\
    
Die Bedeutung des Namens ist eine Stellung im Spiel (ich meine, seine Funktion) im Spiel.

\
    
„Ich will nicht verlangen, daß in der erklärenden Tabelle das rote Täfelchen horizontal gegenüber dem Wort ‚rot’ stehen soll, aber irgend ein Gesetz des Lesens des der Tabelle muß es doch geben. Denn sonst verliert ja die Tabelle ihren Sinn”. Ist es aber gesetzlos, wenn die Tabelle so aufgefaßt wird wie die Pfeile andeuten. „Aber muß dann nicht eben das Schema vorher gegeben werden?” Nu[n|r] sofern auch das Schema früher
gegeben wird.

\
  /  
Wird das aber dann nicht wenigstens eine gewisse Regelmäßigkeit im Gebrauch gefordert! Würde es angehen, wenn wir einmal eine Tabelle nach diesem, einmal nach jenem Schema zu gebrauchen hätten? Wie soll man denn wissen, wie man diese Tabelle zu gebrauchen hat?!– Ja, wie weiß man es denn heute? Die Zeichenerklärungen haben doch irgend einmal [ irgendwo ] ein Ende.

 
  /  
Es gibt eine Betrachtungsweise der elektrischen Apparate & Maschinen (Dynamos, Radiostationen, etc., etc.), die sozusagen ohne vorgefaßtes Verständnis diese Gegenstände als eine Verteilung von Kupfer, Eisen, Gummi, Seide etc im Raum ansieht. Und diese Betrachtungsweise könnte zu manchem interessanten Resultat führen. Sie ist ganz
ähnlich
analog
der eines mathematischen Satzes als Ornament. – Es ist natürlich eine durchaus strenge & correkte Auffassung; & das Charakteristische & Schwierige an ihr ist, daß sie den Gegenstand ohne jede vorgefaßte Idee betrachtet ˇ(sozusagen von einem Marsstandpunkt), oder ˇvielleicht richtiger: die normale vorgefaßte Idee zerstört (durchkreuzt).

 
   
Ist es denn wahr, daß ich außer dem Satz „dieses Ding ist rot” auf jedenfall eine Regel von der Form „diese Farbe heißt „rot’” habe? – Aber hat nicht die
Frage immer einen Sinn: „welche Farbe heißt ‚rot’” (& also auch jene Antwort)? – Aber mit dieser Frage hat es seine Schwierigkeit: Sie ist allem Anschein nach von der Art der Frage „welcher Mann heißt ‚N’”. Und die Frage kann sich offenbar nur an ein ganz bestimmtes Regelverzeichnis wenden, worin eine entsprechende Regel gegeben ist.

 
    
Das was mir auffällt ist, daß die Regel für das Wort ‚rot’, unbedingt mit einem roten Täfelchen sollte gegeben werden müssen. ((Siehe was früher über die verschiedenen Arten gesagt wurde, wie ein färbiges Täfelchen Farbmuster sein kann.))

    
Ist es ein Widerspruch: dieses Ding ist grün & seine Farbe heißt ‚rot’? – Nicht unbedingt, – man kann ja auch sagen „dieses Ding ist grün & seine Farbe heißt ‚Meerfarbe’” oder „dieses Ding ist grün & seine Farbe heißt ‚vert’”.

    
Der Satz „seine Farbe heißt ‚rot’” bezieht sich aber auf eine Tabelle. In dieser Tabelle steht also das Täfelchen von dieser Farbe gegenüber dem Wort ‚rot’.

    
Warum soll aber ein Zeichen für rot rot sein? – Oder ist das Täfelchen in der Tabelle dem Wort ‚rot’ gegenüber kein Zeichen? ((Muster & Wort))


  ?  
„Es ist kein Zeichen, es ist der Gegenstand selbst, – der den Namen erhält. Man
     Man ernennt ‚rot’ zum Namen der Farbe, wie man einen Menschen zum Stellvertreter eines andern ernennt.”
     Aber ist diese Namengebung nicht wieder der Deutung – der Anwendung – unterworfen? Ist die Namengebung etwas anderes als das Anhängen eines Namenschildes. Und der Zweck ist doch der, einen Übergang von (den) Operationen mit dem Namen zu Operationen mit dem Träger des Namens (Schildchens) zu machen.
     Aber die Träger der Namen, wenn auch nicht (selbst) Schrift- oder Lautzeichen sind doch, für unsern Standpunkt, von ihnen nicht wesentlich verschieden. Denn der Zweck & Nutzen der Operationen geht uns nichts an & auch nicht, ob wir mit Körpern oder Buchstaben operieren.

 
  ?  
Denn nun könnte ich ja sagen: In jeder Definition wird einem Ding ein Name gegeben & zwar wird eben einem Zeichen ein Name umgehangen. Und wenn ich schreibe 1 + 1 ≝ 2 oder in der Tabelle ‚2’ dem ‚1 + 1’ gegenüberstelle, wie oben ‚rot’ dem färbigen Tafelchen, so könnte ich alle Fragen die ich über diese Gegenüberstellung aufwarf auch über bezüglich jener stellen.

 
  /  
Durch Russell, aber besonders durch Whitehead, ist in die Philosophie
eine Pseudoexaktheit gekommen, die die schlimmste Feindin wirklicher Exaktheit ist. Am Grunde liegt hier der Irrtum, ein Kalkül könne die metamathematische Grundlage der Mathematik sein.

 
    
Ist das Zeigen mit dem Finger unserer Sprache wesentlich? Es ist gewiß ein merkwürdiger Zug unserer Sprache, daß wir (ihre) Wörter hinweisend erklären: das ist ein Baum, das ist ein Pferd, das ist grün, etc.. ((Überall
bei den Menschen
auf der Erde
finden sich Brettspiele die mit kleinen Klötzchen auf Feldern gespielt werden. Überall auf der Erde findet sich
eine Zeichensprache
eine Schrift
die aus geschriebenen Zeichen auf einer Fläche besteht.))

\
    
Verhält es sich hier nicht wieder, wie mit Papiergeld & Waaren? Ich kann Geld kaufen und verkaufen, & Waaren kaufen & verkaufen, etc.. Und solange nur von kaufen & verkaufen die Rede ist, unterscheide[t|n] sich Geld und Waaren nicht. N[ü|u]r in ihrer Nützlichkeit unterscheiden sie sich. Und so könnte ich gesprochene & geschriebene Zeichen ‚Geld’ nennen, & die Träger der Namen ‚Waaren’. (Auch dieses Gleichnis ist wieder mehr als ein Gleichnis.)

\
    
Ich möchte sagen: Daß das Hinweisen
auf das rote Täfelchen auch ein Zeichen ist, sieht man daraus, daß es auch verstanden werden muß. Und mißverstanden, d.h. auf verschiedene Weise gedeutet, werden kann.

  /  
„Das Stück Kuchen war für Dich gemeint”, wie äußert sich das, was ist die Verification dieses Satzes? So werden wir erfahren, was sein Sinn ist.

 
   
Denken wir an die Tafel der Farbmuster einer Farbenhandlung. Hier haben wir unsre Tabelle der
Farbmuster
Täfelchen
& Nam Farbnamen (oder Nummern). Oder an den Katalog der Stoffmuster oder Tapetenmuster. Der Hier ist der Musterkatalog ist hier ein notwendiges Requisit der
Sprache
Verständigung
.

 
   
Eine Sprache ist, was sie ist, & eine andere Sprache ist nicht diese Sprache. Ich gebrauche also die Nummern des Musterkatalogs anders, als die Wörter „rot” „blau” etc..

 
   
„Kommt das aber nicht nur daher, daß ich die Erklärungen der einen im Kopfe habe, die anderen nicht? Denn ein Angestellter der Weberei könnte auch den ganzen Musterkatalog im Kopf haben & wurde dann dessen Nummern so gebrauchen, wie wir die Namen der einfachen Farben”. ((Das kommt darauf an, was man mit den Worten „die Tabelle
den Musterkatalog
„die Tabelle im Kopf haben” meint. Handelt es sich wieder um ein Nachschlagen irgendwelcher Art, so hat sich nichts [w|W]esentliches geändert, – anders wenn jeder Akt des Nachsehens wegfällt.))

 
    
Was es also mit den primären & sekundären Zeichen auf sich hat, mußen wir ganz an dem Musterkatalog & seiner Verwendung sehen können, denn offenbar sind die Muster, was man primäre Zeichen nennt [ nennen möchte ] & die Nummern die sekundären.

\
    
Denken wir an das laute Lesen nach der Schrift (oder das Schreiben nach dem Gehör). Wir könnten uns natürlich eine Art Tabelle denken (etwa Grammophonplatten mit den Buchstaben als Aufschriften), nach der wir uns dabei richten könnten. Aber wir richten uns nach keiner. Kein Akt des Gedächtnisses, nichts vermittelt zwischen dem geschriebenen Zeichen & dem Laut.

\
    
18.
Es handelt sich doch darum, daß der Schritt des Kalküls durch keine Vorbereitung ersetzt werden kann, sondern immer
von neuem
frisch
gemacht werden muß. Oder: die Tabelle ist die Tabelle, aber nicht die Anwendung der Tabelle.
    Das heißt ich muß den ˇSchritt vom Buchstaben
zum Laut
gehen
machen
. Er ist in der Tabelle nicht gemacht. Ich mache ihn (wenn ich die Tabelle benütze) in der Tabelle. (Ich könnte sagen: der Sprung bleibt mir nicht erspart, wenn auch alles für ihn hergerichtet ist.)

\
  /  
Ich mache nach den Zeilen der Tabelle (oder nach den Strichen des Gleichheitszeichens) den Sprung, den ich auch ohne die Hilfen hätte machen können. ((Die Tabelle ist daher allerdings sinnlos, wenn sie mir nicht hilft; wenn sie also so angeordnet ist daß ich sie nicht verstehen kann (mich in ihr nicht auskenne). Ob ich mich sie aber in ihr auskennen kann, verstehen kann, d.h. verstehe, ist etwas … oder ◇◇◇ d.h. auskenne, ist etwas, was sich kann nur die Erfahrung entscheiden nur durch die Erfahrung entscheiden läßt. D.h.: welches Schema uns den Sprung ˇtatsächlich erleichtert, ist Sache der Erfahrung.))

 
   
Das definiendum ist der Name des definiens. ((Das ist nicht wahr. Denn das definiendum vertritt das definiens d.h. es wird an dessen Stelle eingesetzt. Kann man aber sagen daß Namen an der Stelle ihrer Träger stehen & die Träger dann wieder für sie eingesetzt werden? Nun, ein Name kann so gebraucht werden; [W|w]enn etwa die Sitzordnung ˇeines Diners durch Tischkarten angegeben ist. Und anderseits kann ich d[en|as] definierten Zeichen als Name des
definierenden gebrauchen,
indem
wenn
ich z.B. sage, ich will statt „α ∙ β ∙ γ” „B” schreiben, was ich ja auch durch eine Definition α ∙ β ∙ γ = B hätte ausdrücken können. Ich sage also „schreibe ‚B’ dorthin”, „‚B’ ist ein langer Ausdruck”, etc. & gebrauche es so als Name des Zeichens „α ∙ β ∙ γ”.
Aber dieser Gbrauch ist
vor allem
schon
zweideutig, denn auf den ersten Befehl, hätte e der Andre sehr wohl den Buchstaben ‚B’ schreiben können. (Man sagt dann meistens „den Ausdruck B”.) Wir kennen den Fall, ◇◇◇ wo im strengsten Sinn ein Ding verwendet wird um in einer Darstellung ein anderes zu vertreten; wenn wir etwa ˇeinen Vorfall beschreibend sagen sieh doch, „wo ich diesen Sessel hinstelle, stand er & wo ich das Buch hinlege lag der R