| VIII.
Bemerkungen zur
philosophischen
Grammatik. |
✓ | ⌊⌊5.10.31.⌋⌋
1 (Das Unaussprech[p|b]are (das, was mir
geheimnisvoll erscheint & ich nicht auszusprechen
vermag) gibt vielleicht den Hintergrund, auf dem das, was ich
aussprechen konnte, Bedeutung
bekommt.) |
✓ |
Die Arithmetik ist kein
Spiel. Man kann doch in der Arithmetik nicht gewinnen
|
✓ |
Wohl aber
ist ein arithmetisches Spiel denkbar.
ˇZ.B. Zzwei
Leute operieren abwechselnd nach bestimmten Regeln (welche
ˇdie Wahl dieer Operationen beschränken) mit Zahlen
welche etwa aus einer angenommenen Grundzahl
(Anfangsposition) durch diese Operationen
successive
|
/ | Was spricht man der
Mathematik ab, wenn man sagt, sie sei nur ein Spiel (oder:
sie sei ein Spiel)? |
/ |
Ein Spiel im Gegensatz wozu? – Was spricht man ihr zu, wenn man sagt, ihre
Sätze hätten Sinn. [ Was spricht man
ihr zu wenn man sagt (sie sei kein Spiel) ihre Sätze
hätten Sinn. ] |
/ | Der Sinn
außerhalb des Satzes. |
/ |
Und was geht uns der an? Wo
zeigt er sich & was können wir mit ihm
anfangen? (Auf die Frage „was ist der Sinn
dieses Satzes?” antwortet ein Satz. [ kommt ein Satz zur Antwort. ] ) |
? / |
“Aber der mathem.
Satz drück⌊t⌋ (doch) einen
Gedanken aus.” – Welchen Gedanken? – |
/ |
Kann ich er durch einen anderen Satz
ausgedruckt werden? oder nur durch
diesen Satz? – Oder überhaupt
nicht? In diesem Falle geht er uns nichts
an. |
/ |
Will man bloß die mathem.
Sätze von andern Gebilden, den Hypothesen
|
/ | Will man sagen,
die [m|M]athematik werde gespielt wie das Schach oder eine
Patience & es gebe dabei ein Gewinnen oder
Ausgehen ⌊ [ ⌋& es laufe dabei auf ein
Gewinnen oder Ausgehen hinaus, ] |
/ |
Sagt man, daß die seelischen
Vorgänge die den Gebrauch der mathematischen Symbole
begleiten, andere sind, als die, die das
|
/ |
Es gibt auch beim Schach einige
Configurationen die die
unmöglich sind, obwohl jeder Stein in einer ihm erlaubten
Stellung steht. (
|
/? |
Die Handlungen im Spiel
müssen den Handlungen im Rechnen entsprechen. (Ich
meine: darin muß die Entsprechung bestehen, oder, so
müssen die beiden einander zugeordnet sein.) |
/? |
Welche Gleichung, etwa,
von der Form abc… ×
cde… = ghi… ist richtig, welche
falsch? |
/ |
Ja, kann man von dem Schriftzeichen
(überhaupt) sagen, es sei richtig
(oder falsch)? Das namlich hängt mit dem Sinn der Antwort zusammen: „richtig ist die Gleichung, die man nach den Regeln erzeugen kann” im Gegensatz zu der: „richtig ist die Gleichung, die man nach den Regeln erzeugt hat”. |
/ |
Das ist klar, daß die Position
(Gleichung) nur im System,
|
/ | „Man darf
ein System von Axiomen nicht benützen, ehe seine
Widerspruchsfreiheit nachgewiesen
ist.” „In den Spielregeln dürfen keine Widersprüche vorkommen”. Warum nicht? „Weil man dann nicht wüßte, wie man zu spielen hat”? |
/ | Aber wie kommt es,
daß man auf den Widerspruch mit dem Zweifel reagiert?
|
/ |
Auf den Widerspruch reagiert man überhaupt nicht.
Man könnte nur sagen: Wenn das wirklich so gemeint
ist (wenn der Widerspruch hier stehen soll), so
versteh' ich es nicht. Oder: ich
hab' es nicht gelernt. Ich verstehe die Zeichen
nicht. Ich habe nicht gelernt, was ich darauf hin tun soll,
ob es überhaupt ein Befehl ist; etc..
|
/ | Wie
wäre es etwa, wenn man in der Arithmetik zu den
üblichen Axiomen die Gleichung
2 × 2 =
5 hinzunehmen wollte? Das hieße
natürlich, daß das Gleichheitszeichen nun seine
Bedeutung geändert [ gewechselt ]
hätte. ⌊,⌋ d.h.,
daß nun andere Regeln für das Gleichheitszeichen
gälten |
/ |
∣ Hilbert stellt Regeln eines bestimmten
Kalküls als Regeln
|
/ |
Wenn ich nun sagte: „also
kann ich es nicht als Ersetzungszeichen gebrauchen; so hieße das,
daß seine Grammatik nun nicht mehr mit der des Wortes
„ersetzen”
(„Ersetzungszeichen”,
etc.)
überein- |
/ |
„Die Regeln dürfen einander
nicht widersprechen”, das ist wie: „die
Negation darf nicht verdoppelt eine Negation
ergeben”. Es liegt nämlich in der
Grammatik des Wortes „Regel” daß
„p ∙ ~p”
(wenn „p” eine Regel ist)
keine Regel ist. [ … daß
„p ⌵ ~p”
keine Regel ist (wenn „p” eine Regel
ist). ] |
/ |
Das heißt, man könnte also
auch sagen: die Regeln ˇkönnen [ dürfen ] einander
wiedersprechen, wenn andre Regeln für das Wort [ für den Gebrauch des Wortes ]
„Regel” gelten – wenn das Wort
„Regel” eine andere Bedeutung hat. |
/ | Wir können
eben auch hier nicht begründen (außer
(etwa) biologisch oder historisch)
|
✓ |
Daß man die Gleichung A dem
Komplex B zuordnet, heißt,
|
✓ | Zwischen B &
A könnte man das Gleichheitszeichen setzen. |
✓ | Ist es so:
Der Satz A enthält nichts andres als
B; ja, ist eine Ab- |
Und
α,
β &
γ wurden eben
zusammengestellt. Sie wurden herausgegriffen
& etwas Neues aus ihnen konstruiert. | ✓ |
Es
läßt sich nicht zeigen, beweisen, daß man
Außer, indem man zeigt, daß die Grammatik der Bezeichnung [ Beschreibung ] der Handlung mit der jener Regeln übereinstimmt. | \ |
Zu dem Problem vom
‚ˇSandHaufen’: Man
könnte sich hier, wie in allen ähnlichen Fällen,
einen offiziellen [ offiziell
festgesetzten ] Begriff denken [ …
denken, daß es einen offiziellen Begriff ˇwie den einer
Schrittlänge gäbe, ] etwa: Haufe ist
alles was über
| \ |
✓ |
(a + b) ∙ (a + b)
=
a ∙ (a + b) + b ∙ (a + b)
Dieser Übergang ist vermittels des Satzes .... gemacht worden &, wenn der Induktionsbeweis eine Rechtfertigung dieses Satzes ist, so ist er auch eine Rechtfertigung
|
/ |
(Punkt am Ende des
Satzes. Gefühl des Unabgeschlossenen, wenn er
fehlt.) |
✓ |
Wie beweist man:
1 + (1 + (1 + 1))
= (1 + (1 + 1 + )) + 1?
Kann man es aus
1 + (1 + 1)
= (1 + 1) + 1 ˇallein
beweisen? |
✓ | 6.
Der Beweis B zeigt uns quasi gleichsam
eine Eigenschaft der beiden Seiten der Gleichung A.
|
? ✓ |
Ich möchte sagen, wenn ich
betrachte: es liegt alles in ihnen; kein weiterer Schritt gibt uns mehr, als schon da steht. Anderseits sieht man sie doch auf gewisse Weise an, wenn man sie als Induktionsbeweis auffaßt, aber das sagt nur, daß wir sie das in ihnen sehen, was wir
|
Man sagt
ˇfür gewöhnlich die
[R|r]ekursiven Beweise beweisen [ zeigen ] , daß die algebraischen Gleichungen
für alle Kardinalzahlen gelten; aber es kommt hier momentan nicht
darauf an ob dieser Ausdruck glücklich oder schlecht
| \ |
/ |
∣ Die Ausdehnung eines Begriffes, der
Zahl, des Begriffs ‚alle’, etc.
erscheint uns (ganz) harmlos; aber sie
ist es nicht
|
/ |
Und ist es da nicht klar daß die
rekursiven Beweise tatsächlich dasselbe für
alle ‚bewiesenen’ Gleichungen
zeigen? |
/ |
Und das heißt doch, daß zwischen dem
rekursiven Beweis & dem von ihm bewiesenen Satz immer die
gleiche (interne) Beziehung besteht? |
? ✓ |
Woher nun das
Widerstreben, dieses Verhältnis das eines Beweises zum
|
/? |
[(| []D.h. es scheint mir klar, & |
D.h.: Ich möchte Einem
zeigen daß das distributive Gesetz wirklich im Wesen der Anzahl
liegt; werde ich da nicht durch einen Prozess
der Iteration zu zeigen versuchen daß das Gesetz gilt &
immer weiter gelten muß? | ? \ |
Und in wiefern kann man
diesen Vorgang nicht
| ✓ |
[|| [ ] ¤Bin ich da nur davon von der Tatsache impressioniert, daß man durch die … ] | ✓ |
7.
Könnte ich nicht also in derselben Weise wie ich ihm
16 × 25 =
400 etwa durch
| ✓ |
/? |
Und dieser
Begriff des
‚begreiflichmachens’
kann uns hier wirklich helfen. [ …
Denn man könnte sagen: das Kriterium ˇdafür, ob etwas ein Beweis eines Satzes ist, ist ob man ihn dadurch begreiflich machen kann. (
|
✓ |
/ |
∣ „Dieser Satz ist
fur alle Zahlen durch das rekursive
verfahren bewiesen”. Das ist
der Ausdruck, der so
‚ganz’
irreführend ist. Es klingt so [ Er
laßt es so erscheinen, ] als
würde hier ein Satz, der konstatiert daß das & das
für alle Kardinalzahlen gilt, auf einem
Während die Rekursion in Wahrheit nur sich selber zeigt, wie auch die Periodizität. [ … wie auch die Periodizität nur sich selbst zeigt. ] ∣ |
Ich will jemandem zeigen, daß das
(a + (b + c) =
(a + b) + c) stimmt. Was ich als
| ✓ |
/ |
Ist die Frage
ˇalso nicht also: [k|K]ann man
4 + (2 + 3)
= (4 + 2) + 3 ausrechnen? Wenn
ja, so konnte [nicht: könnte] man
also von diesem speziellen Zahlensatz einen Beweis geben & es
ist klar, daß sich dann, eine ‚Möglichkeit der
Weiterführung’ einer Reihe solcher Beweise zeigen
wird. | \ |
Die Art der Ausrechnung nach dem Schema des
Rekursionsbeweises bestünde offenbar darin, daß
man zuerst von
4 + (2 + 1)
= (4 + 2) + 1 auf
4 + (2 + 2)
= (4 + 2) + 2 & dann auf
4 + (2 + 3)
= (4 + 2) + 3 übergeht.
| ✓ |
Es muß die
Stellung des alge-
| ✓ |
✓ |
(Und die größere Klarheit kommt
|
✓ |
(Der Übergang auf
4 + (2 + 2)
= (4 + 2) + 2 ginge nach dem
Skolemschen Schema so
(vor sich):
4 + (2 + 2)
=
4 + ((2 + 1) + 1)
4 + ((2 + 1) + 1) =
(4 + (2 + 1)) + 1 =
((4 + 2) + 1) + 1 =
(4 + 2) + 2.) |
✓ | Kann ich nicht sagen, der
Induktionsbeweis ist das Schema einer Rechnung [ Zahlenrechnung ] [?| .]
– |
/ |
Das Problem der Unterscheidung von
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
und
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
ist viel wichtiger [ fundamentaler ] , als es
zuerst [ auf den ersten Blick ]
scheint. Es handelt sich um den Unterschied zwischen physikalischer & visueller Zahl. |
✓ |
Es ist auch etwas Sonderbares
|
Wir haben es
a (hier)
natürlich auch wieder damit zu tun, daß der Rekursionsbeweis
als eine Art von Beweisen aufgefaßt wird & man
nicht sieht, daß jetzt das Wort „Beweis” seine
Bedeutung (weil seine Grammatik) geändert
hat. | ✓ |
| ✓ |
✓ | Und könnte ich
nicht sagen, daß sich die Unreduzierbarkeit
der Grundgesetzeregeln (Commutatives,
distributives, etc) sich auch in den
Induktionen die ihnen entsprechen zeigen [ wiederspiegeln ] muß?! |
✓ | Das
Verhältnis, was zwischen den algebraischen
Satzen besteht, muß auch zwischen ihren
Induktionsbeweisen bestehen. [ bestehen
bleiben ] |
/ | Wir haben also hier nicht
den Fall, in welchem eine Gruppe von Grundgesetzen
durch eine mit weniger Gliedern bewiesen wird, aber nun weiter in den
Beweisen alles im Gleichen bleibt. (Wie auch in einem
System von Grundbegriffen
|
/ | 8.
(Übrigens, welche verdächtige Analogie zwischen
‚Grundgesetzen’ &
|
Es ist
| \ |
Ich sprach
früher von ˇVerbindungsSstrichen
[u|U]nterstreichungen etc. um die
correspondierenden, homologen, Teile der
Gleichungen eines Rekursionsbeweises zu zeigen. ⌊Im
Beweis:⌋ Im Beweis
a + (b + 1) =
(a + b) + 1
entspricht
z.B. die Eins α nicht der
β sondern dem c der
nächsten Gleichung. β
aber entspricht nicht δ
sondern ε, &
γ nicht
δ sondern
c + δ.
etc. a + (b + (c + 1)) = a + ((b + c) + 1) = (a + (b + c)) + 1 (a + b) + (c + 1) = ((a + b) + c) + 1(Ƒ) Oder in:
(a + 1) + 1 = (a + 1) + 1
entspricht
1 + (a + 1) = (1 + a) + 1(Ƒ) | \ |
✓ / ✓ |
Das ist eine seltsame Bemerkung, daß in den Induktionsbeweisen
der Grundregeln nach wie vor ihre Unreduzierbarkeit (Unabhängigkeit) sich zeigen muß [ zu Tage treten muß ] .
Was, wenn man das von für
den Fall von ¤ von
gewöhnlichen Beweisen (oder Definitionen) sagte ¤ also für
den Fall wo die Grundregeln eben weiter reduziert werden, eine neue
Verwandschaft zwischen ihnen gefunden (oder
konstruiert) wird. [ ¤Was, wenn man das
in dem Fall von … ]
[ ¤Was, wenn man das
|
/ | (Alles was die Philosoph⌊i⌋e tun
kann ist Götzen ˇ(zu)
zerstören. Und heit von
Götzen das heißt keinen neuen (
|
/? |
Wenn ich darin recht habe daß durch die
Rekursionsbeweise die Unreduzierbarkeit [ Unabhä⌊n⌋gigkeit ] in takt bleibt dann ist damit (wohl)
alles gesagt was ich gegen den Begriff vom
Rekursions-„Beweis” sagen [ vorbringen ]
|
Ich möchte
sagen, ⌊:⌋ wir haben
β &
γ
| ✓ |
Dann hieße also
das distributive Gesetz – nur etwas ungeschickt angeschrieben
–: „a + (b + 1) =
(a + b) + 1 . & .
a + (b + (c + 1)) =
(a + (b + c + ))1 . & .
(a + b) + (c + 1) =
((a + b) + c) + 1”?
Aber warum dann nicht nur „a + (b + 1) = (a + b) + 1”, da doch die beiden andern Faktoren aus dieser Gleichung folgen? | ✓ |
|
(Die Mathematiker wenn sie die
Grundlagen ihrer Wissenschaft sammeln [
|
(Der
Stil meiner Sätze ist außerordentlich stark von
Frege
beeinflußt. Und wenn ich wollte so
könnte ich wohl
| \ |
Der Grund warum alle
Philosophien der Mathematik fehlgehen ist der, daß man
in der Logik nicht allgemeine Dicta durch
Beispiele begrunden kann,
| \ |
/ | Wozu brauchen wir
denn das [C|c]ommutative
Gesetz? Doch nicht um die Gleichung
4 + 6 =
6 + 4 anschreiben zu können, denn diese
Gleichung wird durch ihren besonderen Beweis
gerechtfertigt Und es kann freilich auch der
Beweis des commutativen Gesetzes als ihr Beweis
verwendet werden, aber dann ist er eben
(
|
✓ | Habe ich mich aber
nicht doch geirrt? Ich dachte für den Satz
(a + b)² =
a² + 2ab + b² müsse es den
algebraischen & einen rekursiven Beweis geben.
Aber der Gang des algebraischen Beweises von
(a + b)² =
a² + 2ab + b² ist
entspricht ganz dem Beweis [ Übergang ] von
(1 + b) + a =
( (b + 1) + a =
(b + a) + 1 im Induktionsbeweis
III. [ entspricht ganz der Art
des Übergangs (b + 1) + a
=
(b + a) + 1 in III. ] |
Dieser
Übergang wird mit dem fertigen (bewiesenen) Satz
a + (b + c) =
(a + b) + c [ mit dem fertigen
distributiven associativen
Gesetz ] [ mit dem fertig bewiesenen
associativen Gesetz ] gemacht.
| ✓ |
Der rekursive
Beweis für (a + b)² =
a² + 2ab + b² besteht eben in der
gewöhnlichen Ableitung der Gleichung plus den
rekursiven Beweisen der Grundgesetze.
D.h., der Beweis dieser Gleichung mittels der Reihe arithmetischer Beispiele entspricht eben die algebraische Ableitung der Gleichung zusammen mit den Induktionsbeweisen der ˇalgebraischen Grundregeln. | ✓ |
(‚…
wir richten uns nach ihren Taten’ (bezieht
sich auf die Mathematiker).) | ✓ |
∫ |
| ✓ |
⍈↻
Und diese Berechtigung [wollte ich sagen] kann mir der
Induktions- | \ |
✓ | Was soll es heißen daß
der Gleichungskomplex in I
|
✓ | 9.
Wie der Beweis I in III
|
/? | Aber eines
ist klar: Wenn uns der Rekursionsbeweis das Recht gibt
alle algebraisch zu rechnen, dann auch der
arithmetische Beweis [ dann gibt
uns auch der arithmetische Beweis dieses
Recht. ] |
✓ |
Die Frage ist aber, rechne ich
(horizontal) anders ˇalgebraisch in III mit
I & II als in I mit der Definition
a + (b + 1) =
(a + b) + 1? Bediene ich mich des
Komplexes I nicht in derselben Weise in III wie der
ˇRekursiven Definition in
I? |
✓ |
[Es ist unglaublich, daß man
sich mit
|
✓ | (Das Ganze ist
eine Auseinandersetzung zwischen dem
rekursiven & dem algebraischen Element
in
|
| Die rekursive
Definition scheint nämlich eine Doppelrolle zu
spielen. Und zwar als die einer
rekursiven Definition & als die einer
algebraischen
Rechnungsregel (von der [a|A]rt des
associativen Gesetzes.) |
∣
Kann man versuchen zu einer Melodie den falschen Takt zu
schlagen? Oder: Wie verhält sich
dieses Versuchen [ dieser Versuch ] zu dem, ein
Gewicht zu heben das uns zu schwer ist? ∣ | \ |
∣ Ich habe noch nie
eine Bemerkung darüber gelesen, daß, wenn man ein Auge
zumacht & „nur mit einem Aug sieht”, man die
Finsternis mit de (Schwärze) nicht zugleich mit dem andern
geschlossenen sieht! ∣ Das ist sehr
merkwürdig! | \ ? |
Wie verhält sich
die Schachaufgabe (das Schachproblem) zur
Schachpartie? Denn daß die Schachaufgabe der Rechenaufgabe entspricht, ist eine Rechenaufgabe ist, ist klar. | \ |
Ein [A|a]rithmetisches Spiel
wäre z.B. folgendes: Wir schreiben
| \ |
/ |
Angenommen einem Menschen wäre
Arithmetik nur zum Gebrauch in einem arithmetischen Spiel gelehrt
worden. Hätte er etwas anders gelernt als der
welcher [ der
Arithmetik zum
|
/ |
Man wird sagen: Der Eine wollte doch eine Wahrheit
finden, während der Andre nichts dergleichen
wollte. |
/ |
Nun könnte man diesen Fall
|
Dieser Vergleich würde aber nicht
stimmen denn wir sehen im Schachzug kein Experiment (was wir
übrigens auch könnten), sondern eine
Handlung einer Rechnung. | \ |
Es könnte [e|E]iner
vielleicht sagen: In dem arithm. Spiel werden wir zwar multiplizieren
| \ |
Also kann man
nur einwenden daß in dem Spiel die Gleichung kein Satz ist.
Aber was heißt das? Wodurch wird sie dann zu einem
| \ |
/ | Man
könnte aber sagen daß der eigentliche Unterschied darin
bestehe, daß fur [b|B]ejahung
& Verneinung im Spiel kein Platz sei. Es wird da
z.B. multipliziert &
21 × 8 =
148 wäre ein falscher Zug, aber
21 × 8 ≠
148, welches ein richtiger arithmetischer Satz ist,
hätte in unserm Spiel nichts zu suchen. |
/ | Da
|
/ | Wenn ich im
Sp in unserm Spiel
Die Frage ist nun: kann man von dem Menschen der im Spiel ˇdie Stellung „21 × 8 = 168” erhalten hat sagen, er habe herausgefunden, daß 21 × 8 = 168 sei? Und was fehlt ihm dazu? Ich glaube es fehlt ihm nichts, es sei denn eine Anwendung der Rechnung. |
Die Arithmetik ein Spiel zu nennen ist
ebenso falsch, wie, das Schieben von Schachfiguren (den
Schachregeln gemäß) ein Spiel zu nennen, denn es kann auch
eine Rechnung sein. | \ |
Man müßte also sagen:
Nein, d[ie|a]s Wort „Arithmetik” ist
nicht der Name eines Spiels. (
Dabei aber ist es wesentlich zu erkennen, daß dieses Verhältnis nicht das ist einer „TennisBillardaufgabe” zum TennisBillardspiel. Mit „TennisBillardaufgabe” meine ich etwa die Aufgabe einen Ball unter gegebenen Umständen in bestimmter Richtung zurückzuwerfen. (Klarer wäre der Fall, vielleicht, einer Billiardaufgabe.) Die Billiardaufgabe ist keine mathematische Aufgabe (obwohl zu ihrer Lösung [m|M]athematik nötig sein [ angewendet werden ] kann). Die Billardaufgabe ist eine physikalische Aufgabe & daher „‚Aufgabe”’ im Sinne der Physik; die Schachaufgabe ist eine mathematische Aufgabe & daher ‚Aufgabe’ in einem andern (im mathematischen) Sinn. | \ |
/ |
In dem Kampf zwischen dem
‚Formalismus’ & der
‚inhaltlichen Mathematik’, was behauptet denn
jeder Teil? Dieser Streit ist so ähnlich dem
zwischen Realismus & Idealismus!
|
10.
| \ |
Worin besteht denn
g das Gewinnen & Verlieren in einem
Spiel? (oder das Ausgehen in
der Patience)? Natürlich
nicht in der Konfiguration [ Situation des
Spiels ] [ Spielsituation ] die das Gewinnen
– z.B. – hervorbringt.
Wer gewinnt, muß durch eine
| \ |
Konstatiert nun die Regel etwas, die sagt, „wer zuerst
seine Steine im Feld des Andern hat, hat
gewonnen”? Wie ließe sich das
verifizieren? Wie weiß ich ob [e|E]iner
gewonnen hat? Etwa daraus daß er sich freut?
| \ ✓ ? |
Diese
Regel sagt doch wohl: Du mußt versuchen, Deine Steine
so rasch als möglich etc.. | ✓ ? \ |
Die Regel in dieser Form bringt das Spiel schon mit dem Leben in
Zusammenhang. Und man könnte sich denken daß
in einer Volksschule in der das Schachspielen ein
obligater Gegenstand [ ein
Lehrgegenstand ] wäre die Reaktion des Lehrers
| \ ? |
/ | Ich möchte
beinahe sagen: Im Spiel gibt es
(zwar) kein ‚wahr’
& ‚falsch’, dafür gibt es aber in der
Arithmetik kein ‚gewinnen’ &
‚[V|v]erlieren’. |
/? | Ich sagte
einmal es wäre denkbar daß Kriege
zwischen Völkern auf einer Art großem Schachbrett nach den
Regeln des Schachspiels ausgefochten würden.
Aber: Wenn es wirklich bloß nach den Regeln des
Schachspiels ginge, dann brauchte man eben
kein Feld Schlachtfeld für diesen Krieg
sondern er könnte auf einem gewöhnlichen Brett gespielt
werden. Und dann wäre
|
✓ | Beispiele in
der Logik müssen immer ganz ausgeführt werden. |
(Es
könnte (Es könnte dann so geregelt werden, daß etwa der Kampf zwischen Läufer & Dame ◇◇◇ nur in diesem Fall nur so geführt werden darf, daß der Läufer angreift & die Dame nur pariert. Tötet er sie so entspricht das dem „Nehmen” im Schach, gelingt ihm das nicht, so muß er einen andern Zug machen. etc..) | ✓ |
Ich wollte eigentlich
sagen: Das was das Spiel zum Spiel macht ist seine
Stellung im Leben [ im menschlichen
Leben ] . Aber ist das wahr? | ✓ ? |
D.h.: könnte man sich eine
Schachpartie gespielt denken, d.h.,
sämtliche Spielhandlungen ausgeführt denken, aber in
einer andern Umgebung, so daß dieser Vorgang nun nicht die
Partie eines Spiels genannt würde? | \ |
Gewiß, es
könnte sich ja um eine Aufgabe handeln die die
[b|B]eiden mit einander lösen. (Und einen
Fall für die Nützlichkeit einer solchen Aufgabe kann man
sich ja nach dem Oberen leicht konstruieren.) | \ |
Die Regel
über das Gewinnen & Ver- | \ |
|
(Und ähnlich kommt es uns ja vor,
verhalt es sich
(ja) mit dem ‚richtig’
& ‚falsch’ im Rechnen.) |
✓ | Könnte einer
nicht statt Patience zu legen am Abend ein paar Integrale
auszurechnen versuchen. Man könnte es sich so denken,
daß er sich die Aufgabe irgendwie vom Zufall stellen läßt
& nun versucht sie nach bestimmten Methoden zu
lösen. [g|G]elingt es, so ist die
Patience ausgegangen. |
✓ |
∣ Der Wirrwarr in
Betreff des über das „wirklich
Unendlichen“ kommt von dem unklaren Begriff der
irrationalen Zahl her. D.h. davon
daß die logisch verschiedensten Gebilde, ohne klare
Begrenzung des Begriffs, „irrationale Zahlen”
genannt werden. Die Täuschung als hätte man einen
festenc Begriff
|
Aus
III: (b + 1) + a
d.h., hier gibt es einen arithmetischen periodischen Beweis.
| ✓ |
Wenn wir den
| ✓ |
✓ | 11.
In der Logik geschieht immer wieder, was in dem Streit über
das Wesen der Definition geschehen ist,
Wenn man sagt, die Definition habe es nur mit Zeichen zu tun
& ersetze bloß ein kompliziertes Zeichen durch ein
einfacheres, so wehren sich die Menschen dagegen & sagen die
Definition leiste nicht nur das, oder es gebe eben
verschiedene Arten von Definitionen [ der
Definition ] & die interessante &
wichtige Sie glauben nämlich man nehme der Definition ihre Bedeutung, Wichtigkeit, wenn man sie als bloße Ersetzungsregel die von Zeichen handelt hinstellt. Während die Bedeutung der Definition in ihrer Anwendung liegt quasi in ihrer Lebenswichtigkeit. Und eben das geht ˇheute in dem Streit zwischen Formalismus, Intuitionismus etc. vor sich. Es ist den Leuten unmöglich die Wichtigkeit einer
| ✓ \ |
/ | Immer wieder
hören wir ˇso daß der Mathematiker mit dem
Instinkt arbeitet (ˇoder etwa daß er nicht mechanisch
nach der Art eines Schachspielers
vorgehe) aber wir
erfahren nicht was das mit dem Wesen der Mathematik zu tun haben
soll. Und wenn ein solches psychisches Phänomen in der
Mathematik eine Rolle spielt, wie weit wir überhaupt
exakt über die Mathematik reden können, &
wieweit nur mit der Art von Unbestimmtheit, mit der wir
über Instinkte etc. reden
müssen. |
/ |
Immer wieder möchte ich sagen:
|
Die Menschen
sind im Netz der Sprache
| \ |
/ |
Auch so: Der Rekursionsbeweis hat es –
| \ ? |
/ |
Man könnte nun aber fragen: Also brauchen wir
ˇbeide: sowohl den Induktionsbeweis
als auch das associative Gesetz, da ja
dieses Übergänge der Zahlenrechnung nicht begründen
kann & jener nicht Transformationen in der Algebra?
| \ ? |
/ |
Ja hat man
(denn) vor den
| ✓ |
/ | Die Mathematiker verirren
sich nur dann wenn sie über Kalküle im
aAllgemeinen
reden wollen, & zwar darum weil sie dann die
besonderen
|
✓ |
Ich sollte sagen: Der
‚Beweis’ B steht für eine
Beweisreihe. Ist der Ausdruck (oder ein Teil des
Ausdrucks) eines Gesetzes
|
✓ | Kann man sagen, daß diese
Beweisreihe ‚ein Beweis’ ist?
Kann man sie so nennen? |
Könnte man sagen a + (b + c) =
(a + b) + c stehe auch für eine
Gleichungsreihe? | ✓ |
Man könnte sich natürlich ein
Stück so einer Gleichungsreihe (mit Pünktchen)
angeschrieben denken & als korrelat
d eines
(entsprechenden) Stücks der
Beweisreihe ansehen. Und dann in einem übertragenen Sinne sagen die eine Reihe sei der Beweis der andern. | ? |
[Ich erscheine mir jetzt
außerordentlich ungeschickt]
Ist denn nicht der Beweis B in
(eben) demselben Sinn ein Beweis
von A wie eine Reihe
(a + b)² =
‒ ‒ ‒
als [b|B]eweis
(a + b)³ = ‒ ‒ ‒ (a + b)⁴ = ‒ ‒ ‒ einer Formel (a + b)n = ‒ ‒ ‒
| ✓ |
Oder ist der für mich entscheidende
Unterschied daß wir hier keine [r|R]ekursion
| ✓ |
✓ |
Ich bringe die oben angedeutete Rechnung
nur into shape wenn ich sie[–|,] klarer, so
anschreibe (a + b)² = f(2) nach den Regeln der Multiplication aber ist f(n) ∙ (a + b) also = f(n + 1) also ist: a f(n) = (a + b)n. [&|Und] hier haben wir den rekursiven Beweis. |
✓ |
Denken wir der Fall wäre der: wir könnten
sagen: „nach den Regeln der Addition ist
a + (b + (c + 1)) =
(a + b) + (c + 1) außerdem aber
ist a + (b + 1) =
(a + b) + 1 also ......”.
|
✓ | Aber ist
denn das nicht wesentlich dasselbe wie: Nach den Regeln
der Addition ([(|n]ämlich:
a + (b + 1) =
(a + b) + 1) ist
a + (b + (c + 1)) = (a + (b + c)) + 1 und (a + b) + (c + 1) = ((a + b) + c) + 1 also ...... |
✓ |
Also scheine ich auf der ganzen Linie
geschlagen zu sein. Wenn ich nun den Rückzug antreten muß so fragt es sich: was ist der richtige Rückzugsweg? (Denn es gehört zur Methode der Philosoph⌊i⌋e daß ich nie die Flucht ergreifen darf. D.h. es darf keinen ungeordneten |
| Zum
indirekten Beweis dessen daß eine Gerade
über einen Punkt hinaus nur eine Fortsetzung hat:
Wir nahmen an es könne eine Gerade zwei Fortsetzungen
haben. – Wenn wir das annehmen so muß diese Annahme
einen Sinn haben –. Was heißt es aber: das
annehmen? Es heißt nicht eine
Naturgeschichtlich falsche Annahme machen
ˇwie etwa die, daß ein Löwe zwei
Schwänze hätte. – Es heißt nicht etwas
annehmen was gegen die [c|K]onstatierung einer Tatsache
Wenn4 im Beweis nun gezeichnet wird –– eine Gerade gezeichnet wird die sich gabelt, so darf das an & für sich nicht absurd sein & ich kann nur sagen
|
/ |
Wenn nachträglich ein Widerspruch
gefunden wird so waren vorher die Regeln noch nicht klar &
eindeutig. Der Widerspruch macht also nichts denn er ist
dann durch das Aussprechen einer Regel zu entfernen. |
/ | In einem
völlig geklären System [mit klarer
Grammatik] [ In einem grammatisch geklärten
System ] gibt es keinen versteckten Widerspruch denn da
muß die Regel gegeben sein, nach welcher ein Widerspruch zu
finden ist. Versteckt kann der Widerspruch nur in dem
Sinne sein, daß er
gleichsam in
|
/ |
Warum dürfen sich Regeln
einander
nicht widersprechen? Weil es sonst keine Regeln
wären. |
/ |
Zum mindesten muß ich sagen daß
welcher Einwand gegen den Beweis B
gilt auch z.B. gegen den der Formel
(a + b)n
= etc. gilt. |
| Auch hier
müßte ich dann sagen nehme ich nur eine
[A|a]lgebraische Regel in Übereinstimmung mit den
Induktionen der Arithmetik an.
also: f(1) ∙ (a + b) = (a + b)² = f(2) also: f(2) ∙ (a + b) = (a + b)³ = f(3) u.s.w. [s|S]oweit ist es klar. Aber nun: also (a + b)n = f(n)!? ε
•
Ist denn hier ein weiterer Schluß gezogen? Ist denn hier noch etwas zu konstatieren? |
| 12.
Ich würde aber doch fragen, wenn mir [e|E]iner
⇒↺die Formel
.) (a + b)n =
f(n) zeigt : wie ist man denn
dazu gekommen? Und als Antwort käme doch
C. Ist es ⌊C⌋ also
nicht ein Beweis von ε? |
|
Oder antwortet C eher auf die Frage „was
heißt ε”? |
| Wehre ich mich nicht gegen eine Analogie mit
einem Fall, in Ich meine einen (analogen) Fall, in dem das was der Induktion i[m|n] unserem Fall entspricht wirklich weiter, zu der konstatierung einer Tatsache, führt. Nämlich, daß nun sicher alle Gegenstände (um die es sich handelt) diese Eigenschaft haben. |
| Das ist(, glaube ich, einfach der Fall, wo in dem [ welchem ]
es sich um eine bestimmte Gruppe von Gegenständen handelt
& uns der Prozess der Induktion von
einem zum andern & bis zum letzten führt,
& wir am Schluß sagen können:
alleso haben alle also gilt dies von
allen diesen Gegenständen. Wenn ich sage der
Induktionsprozess führt hier noch
weiter zur Konstatierung einer Tatsache, so heiß ⌊das⌋ daß
die bloße Möglichkeit der Induktion hier noch nicht
alles ist, sondern ich mit ihrer Hilfe auf etwas schließe
das nicht allein in ihr gegeben ist. |
| Ich will
sagen⌊:⌋ , hier ist doch mit der
Induktion alles erledigt. |
✓ |
Ich sagte ich bestimmte eine
algebraische Zeichenregel „in
Übereinstim- |
14.
Wie ich Philosophie betreibe, ist es ihre ganze Aufgabe, den
Ausdruck so zu gestalten, daß gewisse
| \ |
In dem Beweis des Satzes
muß (am Ende) der Satz vorkommen | ✓ |
Aber wo steht im
Induktionsbeweis der Satz A. Es sei denn, daß wir
ihn in den Beweis mit einbegreifen: Aber nach welchem Satz
wurde dann dieser letzte Übergang gemacht? | ✓ |
Wenn ich sage, die periodische Zahlenrechnung
beweist den Satz der mich zu jene[m|n] Übergängen
berechtigt, wie hätte dieser Satz gelautet, wenn man ihn als
Axiom angenommen & nicht bewiesen hätte?5 | \ ✓ |
Wie hätte der Satz
gelautet nach welchem ich
5 + (7 + 9)
= (5 + 7) + 9 gesetzt hätte, ohne es
beweisen zu können? | \ ✓ |
✓ | Aber wenn der
Komplex kein Beweis ist, welche Rolle spielt er denn dann
überhaupt? Wie wird er verwendet? |
✓ |
Ja, er ist ein Beweis, ein allgemeiner
Beweis – oder das
(allgemeine) Schema
|
✓ |
Ja, als Rekursionsbeweis
aufgefaßt, ist der Komplex das allgemeine Schema von
Beweisen. |
✓ |
Ich kann
(also) nur
dieses
nehmen & es als f(n) = (a + b)n auffassen. |
✓ | Wie wird
denn aber die Gleichung f(n) =
(a + b)n gebraucht?
Offenbar als Transformationsregel. (Wie,
wenn ich einmal f(x!) antreffe
& nun vermöge der Gleichung ε schreiben kann
f(x!)
= (a + b)x!.)
|
✓ | Könnte
mir denn aber da die Induktion allein den gleichen Dienst
tun? Müßte ich dann überhaupt einen
andern Symbolismus
|
Die Arbeit an der Philosophie ist
– wie vielfach die Arbeit in der Architektur
– eigentlich mehr
| \ |
So blödsinnig es
klingt: ich möchte C eine Begründung von ε
nennen, nicht einen Beweis. | ✓ |
Ein philosophisches
Problem ist immer von der Form: „Ich kenne mich
einfach nicht aus.” | \ |
Gewiß, wenn ε als
Ersetzungsregel fungieren kann & ε aus C allein
hervorgeht, so muß C auch als Ersetzungsregel
i.e. Begründung der Ersetzung fungieren
können. | ✓ |
C als
ε sehen. Das muß – meiner Meinung nach – möglich sein. | ✓ |
Meine ich nicht
folgendes: Man könnte statt der ganzen
Algebra
| ✓ |
✓ | Wenn ich,
übrigens, sage „das Sehen von Induktionen”
warum dann nicht lieber „das Bezeichnen von
Induktionen”? ist
denn die Induktion etwas wesentlich
[v|V]erstecktes? Und ist nicht
das Hervorheben der Induktion (dessen was ich in dem
Gleichungskomplex sehe) einfach das Bilden eines Zeichens [ Symbols ] wie jedes andere? |
✓ | Ich sage,
z.B., ich muß die Periodizität in
1˙
|
✓ |
Denn wenn jemand
(etwa) sagt
|
Wie verhält es sich aber mit
eine[m|r] Rechnung wie
(5 + 3)² = (5 + 3) ∙ (5 + 3) = 5 ∙ (5 + 3) + 3 ∙ (5 + 3) = 5 ∙ 5 + 5 ∙ 3 + 3 ∙ 5 + 3 ∙ 3 = 5² + 2 ∙ 5 ∙ 3 + 3² ‒ ‒ ‒ R)
| ✓ ? |
Wir können
diese Rechnung sozusagen arithmetisch & algebraisch
| ✓ ? |
Und dieser
Unterschied in der Auffassung träte
z.B. zu Tage, wenn das Beispiel (5 + 2)² = + 5²
| ✓ ? |
/ | Nach der einen Auffassung
wäre z.B. die
|
✓ |
Übrigens ist die Rechnung R nur
insofern ein allgemeiner Beweis, als sie sich auf allgemeine
Regeln stützt, also auf die induktiven Beweise. [ … also auf doch auf
Induktionen. ] |
✓ |
Kann ich sagen: Der induktive
Beweis besteht eben nicht bloß im Beweis von
α &
β &
γ sondern im Zusammenstellen
& richtigen Zusammensehen eben dieser
Gleichungen. |
✓ |
Wenn man namlich
sagt, B sei
Ich muß, um ‚A zu beweisen’, erst – wie man sagen würde – die Aufmerksamkeit auf etwas ganz bestimmtes [ auf ganz bestimmte Züge
| \ |
(Und von dem, was
ich dann sehe, hatte das α sozusagen noch gar keine
Ahnung.) | \ |
Das ist freilich
| ✓ ? |
(Ich
sollte mich übrigens vielleicht | ✓ |
✓ | Meinen
Standpunkt könnte man so
ausdrucken: Wenn ich
frage, ist B ein Beweis von diesem Satz, so könnte
ich auch fragen: ist B ein Beweis davon, daß es sich so
verhält, wie A es sagt [ wie A
sagt ] ? ⌊,⌋ &
„ist es gewiß so, wie A sagt?”
Aber wie denn? Was behauptet denn
A? Man würde sagen: „daß
diese Gleichung für alle Zahlen gilt”,
& der Beweis dafür soll die Induktion sein; das setzt
voraus, daß wir
|
/ | Es verhält sich
hier zwischen Allgemeinheit & Beweis der Allgemeinheit,
wie zwischen Existenz & Existenzbeweis. |
✓ | Können wir
aber nicht die falsche Analogie beiseite lassen &
sagen: A ist auf derselben Stufe wie
4 × 5 =
20 & sein Beweis auf der Stufe des Beweises von
4 × 5 =
20? |
✓ |
Das heißt etwa: Wenn ich
frage „ist
4 × 5
wirklich 20”, so hat diese Frage Sinn, weil [ ,
wenn & weil ] sie sich auf eine Methode der
Entscheidung bezieht. Die Antwort wäre:
„rechnen wir's aus! –”
Könnte nun nicht die Antwort im Falle
Oder:6 Auf die Frage „ist 5 × 4 = 20?” könnte man antworten: „sehen wir nach, ob es mit den Grundregeln der Arithmetik übereinstimmt”; und entsprechend könnte ich sagen: sehen wir nach ob A mit den Grundregeln übereinstimmt. Aber mit welchen? Nun, wohl mit α. | \ |
Aber
zwischen α & A liegt eben die Notwendigkeit einer
Festsetzung darüber, was wir hier Übereinstimmung
nennen wollen. | \ ✓ |
∣ „Hat die Prozession ein
Ende” könnte auch heißen: ist sie
ˇeine in sich geschlossene Prozession.
Und nun könnte man sagen [ Und nun
höre ich die Mathematiker sagen ] „da
siehst Du ja, daß Du Dir sehr wohl einen solchen Fall
vorstellen kannst, daß etwas kein Ende hat; warum soll es dann
nicht auch andere solche Fälle [ einen andern
solchen Fall ] geben
können.”. Aber die Antwort
ist: Die ‚Fälle’ in diesem Sinn des
Worts sind grammatische Fälle, & sie bestimmen erst den
Sinn der Frage. Die Frage „warum soll
| \ |
✓ / |
D.h.
zwischen α & A liegt die Kluft von
Arithmetik & Algebra [ von Arithmetik zur
Algebra ] , & wenn B als Beweis von A
gelten soll, so muß diese (Kluft)
durch eine Bestimmung überbrückt werden. |
/ | Nun ist ganz
klar, daß wir Gebrauch von so einer Idee der
Übereinstimmung machen, wenn wir uns nur
z.B. rasch ein Zahlenbeispiel ausrechnen,
um dadurch die Richtigkeit eines algebraischen Satzes zu
kontrollieren. Und in diesem Sinne könnte ich z.B. rechnen
& sagen: „ja, ja, es stimmt, a ∙ b ist gleich b ∙ a” – wenn ich mir vorstelle daß ich das vergessen hätte. |
/ | Man
müßte dann sagen: man kann allerdings von einer
Übereinstimmung zwischen α & A reden,
bezw., zwischen
α, β, γ & A, aber nicht
insofern als A
| ✓ |
Mit dem Satz
α sind eben zwar
β &
γ, aber nicht die
Allgemeinheit, d.h. die Induktion
abgeleitet, die wir in B sehen. | ✓ |
/ |
Wir könnten ein Beispiel rechnen um uns zu vergewissern daß
(a + b)²
gleich a² + b² + 2ab
& nicht a² + b² + 3ab
ist – wenn wir es etwa vergessen hätten; aber wir
könnten nicht in diesem Sinn kontrollieren, ob die Formel
allgemein gilt. Auch diese
Kontrolle gibt es natürlich & ich könnte in der
Rechnung
(5 + 3)²
= ‒ ‒ ‒ =
5² + 2 ∙ 5 ∙ 3 + 3²
nachsehen, ob die 2 im zweiten Glied ein allgemeiner Zug der Gleichung
ist, oder einer der von den speziellen Zahlen des Beispiels
abhängt. | \ |
\ |
✓ |
Da die Gebrauchsanweisung für α
in einer Reihe arithmetischer
|
✓ | Man könnte statt des
Satzes A auch sagen: ‚die Form der
Gleichungen, die die Induktion B
liefert’. |
✓ |
Ist es nicht genug zu sagen, daß die
Algebra ganz mit arithmetischen Induktionsreihen &
Gleichungen
|
✓ |
Unter die Induktionsreihen muß das
„und so weiter” geschrieben werden &
das ‚so’ konnte nur aus
α, β &
γ ersehen werden, wenn man sie alle
drei zusammen betrachtet & nicht aus
α allein, obwohl
β &
γ aus α hervorgeht; & das ist
|
In dem arithmetisch
geschriebenen Kalkül wird ein algebraisches Resultat kein
arithmetisches sein, sondern eine bestimmte Zusammenstellung
arithmetischer Gleichungen. | ✓ |
(Die Philosophie
beruhigt sich in meiner Arbeit immer mehr
(& mehr.)) | ✓ |
Und ich
möchte sagen, man wird nicht sagen können, daß ein
algebraisches Resultat durch durch die arithmetischen
Schritte bewiesen wird sei, sondern mit ihrer
Hilfe konstruiert
Bewiesen sind eben die arithmetischen Resultate & auch etwa ihr logisches Produkt aber nicht die Konstruktion die ich mit den arithmetischen Gleichungen als Bausteinen
| ✓ |
Was tue ich aber
mit diesen Konstruktionen? Sind sie mir wieder
Bausteine für andre Konstruktionen? | ✓ |
Daß diese
Konstruktionen (die Induktionsbeweise) nicht
bloß die arith-
| ✓ |
✓ | Der
Prozess durch den wir gehen
müssen um
|
✓ | Ich will
immer sagen daß B eine neue Einheit ist & nicht als
Induktionsbeweis aus α aufgebaut ist.
|
✓ | Wenn
[e|E]iner fragt, „ist das ein Beweis des
al⌊l⌋gemeinen Satzes A, so könnte
man ihm drauf
|
| Aber das heißt natürlich nur:
Etwas hat die Induktion mit diesem allgemeinen Satz zu
tun. Die Frage ist nur, ob man die Induktion den
Beweis nennen kann. |
Das heißt, ich mache
(5 + 2)² = 5² + 2 ∙ 2 ∙ 5 + 2² zu einem andern Zeichen, indem ich schreibe: (
| \ ? |
(Ich erkenne
(jetzt) die Wichtigkeit dieses Prozesses
der Zuordnung. Er ist der Ausdruck einer neuen
Betrachtung der Rechnung & daher
| \ |
„Du sagst:
‚wo eine Frage ist, da ist auch ein Weg zu ihrer
Beantwortung’, aber in der Mathematik gibt es doch
Fragen, zu deren Beantwortung wir keinen Weg
sehen”. – ‚Ganz richtig,
& daraus folgt nur, daß wir in diesem Fall das Wort
‚Frage’ in anderem Sinn Gebrauchen, als im oberen
Fall. Und ich hätte vielleicht sagen sollen
„es sind hier zwei verschiedene Formen
& nur für die erste möchte ich das
| \ |
✓ | Alles was den
Charakter einer Behauptung trägt, schwindet mehr & mehr
in
|
✓ | D.h.,
einerseits wird, was ich sage, immer leichter verständlich,
anderseits seine Bedeutung immer schwerer
verständlich [ immer
schwerer zu verstehen. ] |
/ |
Könnte man auch so sagen:
In der Arithmetik wird das associative
Gesetz überhaupt nicht gebraucht, sondern da arbeiten wir
(nur) mit besonderen
Zahlenrechnungen. Und die Algebra, auch wenn sie sich der arithmetischen Notation bedient, ist ein ganz anderer Kalkül & nicht aus dem arithmetischen abzuleiten. |
Ist es
das nicht, was ich über die Skolemschen Beweise immer sagen will? | ✓ |
/ | Kann
ein algebraischer Satz nicht durch die arithmetischen Schritte
(im arithmetisch geschriebenen
Kalkül) bewiesen werden, dann auch nicht durch
Skolems Schritte, denn das
sind in Wirklichkeit arithmetische Schritte. | ✓ |
15.
Der Philosoph notiert eigentlich
nur das was der Mathematiker so gelegentlich über seine
Tätigkeit hinwirft. | \ |
Der Philosoph
kommt leicht in die Lage eines ungeschickten Direktors, der,
statt seine Arbeit zu tun & nur indem er
darauf zu schaun schaut daß seine Angestellten
ihrec Arbeit richtig machen ihnen ihre Arbeit
abnimmt & sich so eines Tages mit fremder Arbeit
überladen sieht, während die Angestellten zuschauen und ihn
kritisieren.7 | \ |
Besonders ist er geneigt sich die
Arbeit des Mathematikers aufzuhalsen. | \ |
Eine logische
Fiktion gibt es nicht & darum kann man nicht mit
| \ |
/ | In der Mathematik kann es
nur mathematische Schwierigkeiten [troubles] geben,
nicht philosophische. |
/ | 20.
Wenn α, β, γ bewiesen sind, muß der
allgemeine Kalkül erst erfunden werden. |
✓ | Das
„u.s.w.” hat in der
reinen Arithmetik [ in der reinen
|
✓ |
AI,
AII, AIII etc.
begründen ein neues System; ein System zu dessen Grundlage man
freilich nicht gerade die A nehmen muß (dann
aber eben andere Gleichungen). |
/ | Es kommt uns ganz
selbstverständlich vor, auf die Induktionsreihe hin
a + (b + c) =
(a + b) + c zu schreiben; weil wir nicht
sehen, daß wir damit einen ganz neuen Kalkül beginnen.
(Ein Kind das gerade rechnen lernt würde in dieser
Beziehung klarer sehen als wie wir.) |
✓ | Ich möchte
aber einwenden: ist nicht das allgemeine Prinzip dieses
|
∫ |
Dann muß dieses
Prinzip in einem Satz des Kalküls ausgesprochen
sein. Und das ist es nicht. | ✓ |
Muß ich sagen:
Der Fehler Skolems war,
nicht zu sehen daß A durch α, β, γ erst bewiesen wäre, wenn zu
α, β, γ noch ein anderes Prinzip
träte. Und ferner ist eben im Kalkül
Skolems ein solches
Prinzip nicht ausgesprochen & daher ist er nicht der,
welcher mit diesem Prinzip zustande käme, sondern ein
anderer. Und zwar wird in ihm ohne jede allgemeine
Betrachtung mit den „Beweisen” I,
II, III etc. wie mit Sätzen
operiert.
Ist es nicht wahr, daß ich aus B, A auf eine bestimmte Weise ableite? Ja, ich leite es auf eine bestimmte Weise ab. Es ist ˇso, als hätte ich in B Röhren auf bestimmte Weise zusammengestellt [ zusammengebaut ] & nun ließe ich einen bestimmten Strohm (den Zahlenstrohm) durchfahrenclaufen [ durchfließen ] & den der Vorgang der nun resultiert, die Bewegung der Lauf des
| ✓ |
∫ | 23.
Ich will nur
sagen: diese Weise, wie ich die Komplexe BI,
BII, etc ansehe,
behandle, indem ich die algebraischen Sätze
| ✓ |
✓ / |
Hier habe ich BI,
BII, BIII aufgerichtet; nun laß den
Zahlenstrom durch dieses laufen, & nun so
etc.. |
✓ |
Aber ich sehe doch dann etwas ganz
bestimmtes, namlich die
Allgemeinheit! |
| [Solange mein
|
✓ |
Ich
will sagen: was Skolem
tut ist vollkommen damit beschrieben,
|
✓ | Wir sehen wohl die
Periodizität in der |
Es bleibt quasi uns
überlassen, daß wir die Analogie [ Ähnlichkeit ] bemerken.
(Denn die
Worte die Skolem zur
Erläuterung sagt, gehen mich
| ✓ |
(Ich
parodiere eine Auffassung, um einen Fehler in ihr zu zeigen.
Diese Methode läßt sich allgemein anwenden.
∣ Frege gegen
Kantor ∣ ) | ✓ |
D.h. es ist nirgends,
klar, die Verbindung zwischen der Form von B &
A gemacht. | ✓ |
Nirgends die Bedingung formuliert, unter
welcher wir A durch α, β, γ für bewiesen
ansehen. | ✓ |
Es ist meine Privatangelegenheit,
| ✓ |
∣ „Die
rationalen Punkte liegen auf der Zahlengeraden nahe
| ✓ |
✓ |
Das strenge Criterium
der Allgemeinheit ist nirgends ausgesprochen.
([W|w]odurch nämlich definiert wäre, was
hier unter ‚Allgemeinheit’ zu verstehen
ist). |
✓ |
Nehmen wir nun an, es wäre
ausgesprochen, so wären damit nicht so sehr die A
bewiesen, als
|
✓ |
Das Criterium der
Allgemeinheit würde das Wesen der algebraischen Rechnung
bestimmen [ festlegen ] . |
✓ | Es wird dann
a + (b + n) =
(a + b) + n zu einer Rechnung eine
Rechnung wie jede andre wie jedere
anderne
(
|
✓ | Wenn
nun die Paradigmen meines neuen Kalküls auch alle
die bestimmte Form R haben, so wäre es doch ein
verwirrender Ausdruck zu sagen, die Richtigkeit der Gleichung
AI, z.B., sei durch
α bewiesen. Sie
ist höchstens durch BI bewiesen, aber auch
nur so, wie etwa früher i + (k + l) =
(i + k) + l durch
a + (b + c) =
(a + b) + c. |
✓ | Als rechtmäßig
bewiesen ist er durch α nur dann, wenn ich
|
Dann kann ich sagen
„seine Rechtmäßigkeit ist durch
α bewiesen”.
Aber hier hat eben das Wort „Rechtmäßigkeit” eine andre Bedeutung, als wenn ich sage: die Rechtmäßigkeit des Übergangs von (a + b)² auf a² + 2ab + b² ist bewiesen & damit meine dieser Übergang lasse sich in lauter Stufen von zuvor bestimmten Formen zerlegen. | ✓ |
Denn von
B nach A findet ja in diesem Sinn kein Übergang
statt, sondern B erlaubt den Übergang der in A
gemacht wird, wie in jeder andern Rechnung. | ✓ |
Die
Ahnlichkeit der beiden Arten von Beweisen,
oder Rechtfertigungen, könnte man so darstellen:
„Ich habe die Gleichung (a + b)² =
a² + 2ab + b² auf bestimmte Weise mit
Hilfe der Grundgleichungen konstruiert (aufgebaut) & die Gleichungen A habe ich
auch mit Hilfe von Regeln konstruiert”.
| ✓ |
Man hat den
Satz „daß für alle | ✓ |
✓ | Ja, kann ich nicht für
beide
|
/ |
Der Satz, daß A für alle
Kardinalzahlen gilt ist eigentlich der Komplex B.
Und sein Beweis, der Beweis von β &
γ. Aber das zeigt auch,
daß dieser Satz in einem andern Sinne Satz ist, als eine Gleichung,
&
nicht Vergiß hier nicht, daß wir nicht erst den Begriff des Satzes haben, dann wissen, daß die Gleichungen mathematische Sätze sind, & dann erkennen, daß es noch andere Arten von mathematischen Sätzen gibt! |
(Halte alle diese Dinge zusammen, dann wirst Du
| ✓ |
Wenn man sagt, A sei
mit ρ & dem Prinzip
R bewiesen, welches ist die Art
der Allgemeinheit dieses allgemeinen Prinzips? | ✓ |
? ∫ |
Der
Übergang ist gerechtfertigt heißt im einen Falle, daß er
nach bestimmten gegebenen Formen vollzogen werden
kann. Im andern Fall wäre die Rechtfertigung, daß
der Übergang nach Paradigmen geschieht, dies selbst
einer bestimmten Bedingung befriedigen.
| \ |
Man
denke sich, daß für ein Brettspiel solche Regeln gegeben
würden, die aus lauter Wörtern ohne
‚r’ bestünden & daß ich eine
Regel gerechtfertigt nennte, wenn sie kein
‚r’ enthält. Wenn nun jemand
sagte, er ◇◇◇ habe für das & das Spiel nur
eine Regel aufgestellt, nämlich, daß die Züge
Regeln entsprechen müßten, die kein
‚r’ enthalten. – Ist denn das
eine Spielregel (im ersten Sinn)? Geht das Spiel
nicht doch nach den Regeln [ nach den mehreren
Regeln ] vor sich, die | \ |
Eine Regel zur Konstruktion
von Spielregeln ist keine Spielregel. | ✓ |
/ ∫ | Es macht mir
jemand die Konstruktion von B vor & sagt nun,
A ist bewiesen. Ich frage
„Wieso?” – Ich
sehe nur daß Du um A eine Konstruktion mit Hilfe von
|
| ∫ In einem Sinn heißt
es, daß Du das Paradigma mittels ρ so & so konstruiert
hast, in dem andern, nach wie vor, daß eine Gleichung dem Paradigma
entspricht. |
✓ |
[Ich suche nach der richtigen
Replik.] |
✓ |
[„Ich habe nie daran
gedacht ihn das zu antworten”.]
|
? ✓ ∫ |
In dem Sinne
V in welchem (a + b)² =
a² + b² + 2ab durch AI,
AII etc beweisbar ist,
ist AI unbeweisbar [ unbewiesen ] . |
Man
sagt ja daher auch wirklich die
Allgemeinheit [ Allgemeingültigkeit ]
| ✓ |
? ∫ |
Man erwartet sich ◇◇◇ unter einem
Beweis das eine & bekommt etwas anderes.
Und nun tröstet man sich damit, daß man nur eine
andere Art von Beweis erhalten habe. | ✓ |
‚Gleichung’ & ‚Beweis
einer Gleichung’ haben eine bestimmte Grammatik.
Zu sagen
| / ✓ |
Er sagt, er habe A bewiesen &
zeigt mir den Komplex B. Ich frage „in
wiefern ist das ein Beweis von A?” Er
muß antworten: „Das ist die Form des
Paradigmas der erlaubten Übergänge. (Ist um die Enden des Übergangs diese Konstruktion
mittels ρ möglich, so ist der Übergang
erlaubt. | ✓ |
Wenn wir fragen „ist das ein
Beweis oder nicht?” so bewegen wir uns in den
Formen der Wortsprache. [ … in der
Wortsprache. ] | \ |
| Nun ist natürlich gar nichts dagegen
|
∫ / ✓ | Was
wehrt sich in mir gegen die Auffassung von B als einen Beweis
von A? Zuerst entdecke ich, daß ich den Satz von
„allen Kardinalzahlen” in meiner Rechnung
nirgends brauche. Ich habe den Komplex B mit Hilfe
von ρ konstruiert und bin dann auf die
Gleichung A übergegangen; von „allen
Kardinalzahlen” war dabei keine Rede!
(Dieser Satz ist eine Begleitung der Rechnung in der
Wortsprache, die mich hier nur verwirren
kann.) Aber nicht nur fällt dieser Satz
allgemeine Satz überhaupt fort, sondern kein anderer tritt an
seine Stelle.
(Außer etwa das logische
Produkt α ∙ β ∙ γ[;|.]
[a|A]ber auch das stimmt nicht, denn in diesem
Produkt müßte ich erst gewisse Züge
‚hervorheben’. Denn wenn man fragt,
was der Satz α ∙ β ∙ γ
sagt, so kann ich eigentlich nur den Satz
wieder-
Der Satz der die Allgemeinheit behauptet fällt also weg, „es ist nichts bewiesen”, „es folgt nichts”. „Ja aber die Gleichung A folgt, sie steht nun an der Stelle des allgemeinen Satzes”. – Ja, in wiefern folgt sie denn? Offenbar versende ich hier ‚folgt’ in einem ganz andern Sinn, als dem normalen, da das, woraus A folgt kein Satz ist.
| \ |
Wenn man sagt „aus dem
Komplex B folgt, daß a + (b + c) =
(a + b) + c”, schwindelt
[e|E]inem. Man fühlt, daß man da auf irgend
eine Weise einen Unsinn geredet hat, obwohl es äußerlich
richtig klingt. | \ |
Daß eine Gleichung folgt, heißt
eben schon etwas (hat seine bestimmte Grammatik.) | \ |
/ |
Aber wenn
|
✓ / |
Wir können unsern
Begriff des Folgens mit A & B nicht zur Deckung
bringen. [ Wir können unsern
[b|B]egriff des Folgens dem A & B
nicht aufpassen. ] [ … nicht aufsetzen,
er paßt hier nicht. ] |
? ∫ ✓ |
Man
kann allerdings sagen, man rechtfertigt eine algebraische
Rechnung durch die Möglichkeit der Konstruktion der
Paradigmen durch ρ. Und das tut man auch
wirklich. Aber das sagt nicht, daß man
(a + b)² =
a² + 2ab + b² durch
α beweist. Im Gegenteil,
man beweist β &
γ mit α, kann aber A nicht damit
beweisen. Man zeigt jemand z.B. den Übergang von (x + y)² zu x² + 2xy + y² & er sagt: Ja, – aber warum machst Du diesen Übergang von (x + y) ∙ (x + y) zu x ∙ (x + y) + y ∙ (x + y)? Und ich zeige ihm nun den entsprechenden Komplex B, um ihn zu überzeugen. Aber heißt das, ich habe die Richtigkeit des Über- |
Ich werde Dir beweisen, daß
a + (b + n)
=
(a + b) + n”. Niemand
erwartet sich nun den Komplex B zu sehen. Man
erwartet eine ˇandere Regel über a, b
& n zu hören, die den Übergang von der einen
auf die andere Seite vermittelt. Wenn mir statt
dessen B & das Schema R gegeben wird, so kann ich
das keinen Beweis nennen, eben weil ich unter
‚Beweis’ etwas anderes
verstehe.8 | \ |
Ja, ich werde dann etwa sagen:
„Ach so, das nennst Du ‚Beweis’, ich
habe mir vorgestellt …”. | \ |
Der Beweis von
17 + (18 + 5)
= (17 + 18) + 5 wird allerdings nach dem
Schema B geführt & dieser Zahlensatz
ist von der Form A. Oder auch: B ist der
Beweis des Zahlensatzes; aber eben deshalb nicht von
A. | \ |
„Ich werde Dir
AI, AII
etc AIII
aus dem einen [ aus einem ]
Satz ableiten”. – Man denkt dabei
natürlich an eine Und da haben wir doch ein bestimmtes Bild; und es wird uns etwas ganz anderes geboten. Die Gleichung wird durch den induktiven Beweis quasi der Quere, statt der Länge nach zusammengesetzt. | \ |
? / | 24.
Wenn wir nun die Ableitung
ausführen[rechnen], so kommen wir
endlich zu dem Punkt wo die Konstruktion von B vollendet
ist. Aber hier heißt es nun „also gilt
diese Gleichung”. Aber diese Worte
heißen ja nun etwas anders als, wo wir sonst
eine Gleichung aus Gleichungen folgern. Die Worte
„die Gleichung folgt daraus” haben ja schon
eine Bedeutung. Und hier wird eine Gleichung allerdings
konstruiert, aber nach einem andern Prinzip.
|
✓ |
[(|[]Der Satz kommt mit lauter verrenkten
Gliedern zur Welt & ich muß sie ihm
sie ihm erst alle, so gut es geht,
einrenken. Kein Wunder wenn er dann keine
|
Wenn ich sage
„aus dem Komplex folgt die Gleichung”, so
‚folgt’ hier eine Gleichung aus etwas, was gar keine
Gleichung ist. | \ ✓ |
In dem Sinne, daß ich auf dem
Papier das eine aus dem andern ◇◇◇ erhalte, das eine
nach dem andern hinschreibe, kann allerdings die Gleichung
A aus B folgen. In diesem Sinne könnte ich
sie aus B ableiten. | ✓ |
Aber dadurch daß ich sie so
ableite, bleibt sie immer, was sie war, die Grundgleichung eines
Symbolismus. D.h. durch diese Ableitung wurde zwar, natürlich, ihr logischer Status ein anderer als er vor der Konstruktion
Ich mache eben wieder nur auf einen Unterschied aufmerksam. | ✓ |
[Der Gedanke ist
schon vermudelt, & läßt sich
nicht mehr gebrauchen. (Eine ähnliche
Bemerkung hörte ich einmal von Labor, über
musika- | ✓ |
/ |
Man kann nicht sagen:
die Gleichung wenn sie aus B folgt, folge doch aus einem Satz,
nämlich ˇaus α ∙ β ∙ γ; denn
es kommt eben darauf an, wie ich aus diesem
Satz A erhalte; ob nach einer Regel des Folgens.
Welches die interne
|
/ |
Wenn uns die Ableitung von A aus
α versprochen war & wir sehen nun den Übergang von
B auf A, so möchten wir sagen: „ach,
so war es nicht gemeint”. So, als hätte
jemand mir versprochen,
(Eine Enttäuschung.) |
✓ |
(Ich hätte natürlich nicht das
logische Produkt aus α, β & γ
bilden müssen, denn A konnte ja aus den drei
Sätzen folgen (wie z.B.
α ∙ β ∙ γ aus
seinen drei Faktoren). Aber das
|
Darin, daß
der Übergang von B auf A kein Folgen ist, liegt
auch, was ich damit meinte, [ liegt auch was ich
ˇdamit meinte wenn ich sagte, daß ]
daß nicht das logische Produkt α ∙ β ∙ γ
die Allgemeinheit ausdruckt.
| \ |
Das Einschiebsel von diesem
* zum nächsten gehört nach ⋎ Was heißt es, α ∙ β ∙ γ nicht als Satz ansehen? Dies sollte ja darauf ein Licht werfen, was es heißt, etwas als Satz ansehen. Und dabei Und dabei denke ich wieder an ein Durchlaufen der Länge nach statt der Quere. | ✓ |
✓ |
∣
Denken wir uns wir läsen die Sätze eines Buches verkehrt,
die Worte in umgekehrter Reihenfolge; könnten wir nicht dennoch
den Satz verstehen? Und klänge er jetzt nicht ganz
unsatzmäßig? ∣ | \ |
Das Bild vom längs &
quer Durchlaufen ist natürlich wieder ein logisches
Bild & darum ein ganz
| \ |
✓ | Wenn ich sage, der Satz wird
hier nicht als Satz aufgefaßt, denke ich da nicht an einen Fall wie
den, wenn etwa eine Flasche nicht als Behälter, sondern als
Kerzenleuchter verwendet wird? Es ist dann so, daß nur
Aber ist denn die Flasche, die als Kerzenleuchter dient (dadurch) eine andere (geworden) als die, die zum Aufbewahren einer Flüssigkeit dient? |
✓ | Die Ableitung
zweier Satze aus einem
|
✓ | Kann man
sagen: α, β, γ sind Gleichungen der Algebra,
aber weder fungiert die rekursive Definition
α |
✓ | Die
Hervorhebungen geschehen durch das Schema R &
könnten so ausschauen: a + (b + 1) = (a + b) + 1 a + (b + (c + 1)) = |a + ((b + c)| + 1 (a + b) + (c + 1) = |((a + b) + c)| + 1(Ƒ) |
Solche Hervorhebungen
könnte man ja aber an jedem Satz machen, aus dem man etwas nach
einer Regel schließt. Wenn ich nach der Regel
a + b = b + a schreibe:
r ∙ s + s ∙ r =
s ∙ r + r ∙ s, so könnte ich die
Benützung der Regel durch
| ✓ |
Es hätte aber
natürlich auch genügt (d.h.
wäre ein Symbol der selben Multiplizität gewesen) B
anzuschreiben & dazu: f1ξ =
a + (b + ξ), f2ξ =
(a + b) + ξ. (Und dabei ist
wieder zu bedenken [ anzumerken ] , daß jedes
Symbol – wie explizit auch immer – mißdeutet werden
kann. –)
Und natürlich, um „f1ξ = … ” & „f2ξ = … ”
| X ✓ |
X | Wer etwa zuerst
darauf aufmerksam macht daß B so gesehen werden
kann, der führt ein neues Zeichen ein; ob er nun die
Hervorhebungen mit B verbindet oder auch das Schema
R daneben schreibt. Denn dann ist eben
R das neue Zeichen. Oder ˇwenn man will auch
B zusammen mit R. |
/ |
Wer entdeckt daß ˇein Satz
p aus einem von der Form
q ⊃ p ∙ q
folgt der konstruiert ein neues Zeichen, das Zeichen dieser
Regel. (Ich nehme dabei an,
|
X | Man könnte
etwa sagen: Hier wurde die untere Gleichung als
a + b =
b + a gebraucht; und analog: hier wurde B
als A gebraucht, wobei B aber gleichsam der Quere nach
gelesen wurde. Oder: B wurde als A
gebraucht, aber die neue Gleichung [ das
ˇder neue Zeichen Satz ] wird aus α ∙ β ∙ γ
so zusammengestellt, daß man, indem man
(nun) A aus B herausliest
ˇman nicht α ∙ β ∙ γ
in jener verkürzten Form Art von Verkürzung liest
in der man die Pr[e|ä]misse im Folgesatz vor sich
hat. [ … im Folgesatz liest. ]
|
Wenn ich sage: α, ∙ β ∙ γ
entspricht noch nicht dem allgemeinen Satz der Wortsprache, so
will ich etwa sagen, daß man
„α ∙ β ∙ γ”
lesen kann, ohne daß einem das auffällt, was uns als Ausdruck
des allgemeinen Satzes gilt. Nur daß die Wortsprache
sagen möchte: Dieser Satz
α ∙ β ∙ γ
entspricht dem Schema R, also gilt …; während
wir sagen: ⌊:⌋
„dieser Satz entspricht dem Schema
R”; & kein „also”
hinzufügen. Wie ist nun aber dieser Satz im Symbolismus ausgedrückt? | ✓ |
Ist denn das nicht der Fall
von „‚fa’ &
‚Fa’ haben den gleichen
Bestandteil”? Und ich sagte doch, das
müsse sich zeigen. Und wäre es denn
dadurch gesagt, daß ich schriebe
„f(a) &
F(a)?
Dann brauchte ich ja einen weiteren Satz der sagte, daß
unter jedem der beiden ‚a’ ein Strich
ist. | ✓ |
Was heißt es nun:
„Ich mache Dich darauf aufmerksam, daß hier in
beiden Funktionszei[g|c]hen das gleiche
⋎ * ‒ ‒ ‒ *
¥ | \ |
/ ✓ |
Wenn ich sage, „man sieht
α ∙ β ∙ γ
nicht als Satz an, so meine ich, ich benütze seine Zeichen nicht
in der Reihenfolge, in der in der ich sie beim Durchlesen
des Satzes berühre. Und das zeigt sich
darin, wenn ich die induktive Auffassung des
Satzes erkläre & dazu die Anwendung des Schemas B
zum Fortschreiben von einer Stufe zur andern in der Induktion
vorführe. Dann benütze ich
den Komplex eben der Quere nach. Und diese
Benützung zeigt mir eigentlich, wie ich
|
/ ✓ |
Ist der
[C|K]omplex B als logisches Produkt &
anderseits als |
Ich
sage, B gehört nun, als Zeichen der Induktion aufgefaßt,
einem neuen System an. (
| \ ✓ |
Wenn ich sagte, das neue Zeichen mit den Hervorhebungen müsse
ja doch aus dem alten ohne die Hervorhebungen
Daß diese Figur ganz analog der der drei Gleichungen ohne den Unterstreichungen ist, ist allerdings bedeutsam, wie es ja auch bedeutsam ist, daß die Kardinalzahl 1 & die Rationalzahl 1 gleiche analogen Regeln befolgen, unterworfen sind, aber es hindert nicht daß wir hier ein
| ? \ ✓ |
✓ | Aber
ist es denn ˇauch bei der [I|i]nduktiven Benützung
von B den Gleichungen β &
γ nicht wesentlich, daß sie
„der Länge nach” abgeleitet
wurden? – Ich kann ja auch statt
β &
γ die ganze Ableitungskette
hinsetzen. |
/ |
Ich treibe jetzt etwas ganz Neues mit
diesen Zeichen. |
/ |
Verhält es sich hier nicht so, wie in
dem Fall, den ich einmal annahm, daß der Kalkül der
Wahrheitsfunktionen von Frege & Russell mit der Kombination ~p ∙ ~q
der Zeichen „~” &
„ ∙ ”
betrieben worden wäre, ohne daß man das gemerkt
hätte, & daß nun
Scheffer, statt eine
neue Definition zu geben, nur auf eine Eigentümlichkeit der
bereits benutzten Zeichen aufmerksam gemacht hätte. |
✓ |
Übrigens sind ja alle mathematischen Entdeckungen von
dieser Art & das ˇist nur ein extremer Fall in dem
wir der Entdeckung (in gewissem Sinn)
im Symbolismus ganz nahe gebracht sind. |
/ | Man hätte immer
dividieren können ohne je auf die Periodizität
aufmerksam zu werden. Hat man sie gesehen, so hat man
etwas Neues gesehen. |
Könnte man das
aber dann nicht ausdehnen & sagen: „ich
hätte Zahlen miteinander multiplizieren können, ohne
je auf den Spezialfall aufmerksam zu werden, daß ich eine Zahl mit
sich selbst multipliziere & also ist
x² nicht einfach
„x ∙ x.”
Die Schaffung des Zeichens „x²” könnte man den
Ausdruck dafür nennen, daß man auf diesen Spezialfall
aufmerksam geworden ist. Oder, man hätte
(immer) a mit b
multiplizieren und durch c dividieren können,
ohne darauf aufmerksam zu werden, daß man
„
| \ |
∣ Die
Frage „können viele einige unter viele
einige
verteilt werden” [ „können einige
Äpfel unter einige Menschen verteilt werden” ]
hat keinen Sinn. (Zum System 1, 2, 3, 4, 5, viele)
∣ | \ ✓ |
∣
Ein Satz der auf einer falschen Rechnung beruht (wie etwa
„er teilte das 3 m lange Brett in 4 Teile zu je
1 m”) hat keinen Sinn [ ist
unsinnig ] & das wirft ein Licht auf den Sinn
der Ausdrücke „Sinn haben” &
„etwas mit dem Satz meinen”. [ … & das beleuchtet was es heißt
„Sinn zu haben“ & „etwas mit dem Satz
meinen”. ] | \ |
/ |
Es hat Sinn zu sagen: Ich
verteilte viele
|
/ |
In der
Notation „x²” verschwindet
ja wirklich die Möglichkeit das eine der x [ den einen der Faktoren x ] durch eine andere
Zahl zu ersetzen. Ja, es wären zwei Stadien der
Entdeckung (oder
Konstruktion) von x² denkbar.
Daß man etwa zuerst statt
„x²”
„x⁼”
setzt, ehe es Einem nämlich auffällt, daß es das
System x ∙ x,
x ∙ x ∙ x,
etc. gibt & daß man dann erst hierauf
kommt. Ähnliches ist in der Mathematik unzählige
Male vorgekommen. (Liebig bezeichnete ein Oxyd noch nicht so, daß der
Sauerstoff darin als
gleichwärtiges Element mit dem
Oxydierten [ … als Element wie das Oxydierte ]
auftrat. Und, so seltsam das klingt, so könnte
|
∣ ﹖ Die 2 in
„x²” könnte
man wirklich noch durch ein beliebiges anderes Zeichen ersetzen,
solange man sie noch nicht mit den andern Potenzen in Verbindung
gebracht hat. | ✓ |
Da muß man nun sagen, daß man die
Definition des ξ𝒥η
gar nicht
| ✓ |
✓ |
Wer aber z.B. so den
Potenzexponenten mißverstanden hätte, würde doch mit dem
Zeichen „x²” richtig
rechnen, solange er es nur als Abkürzung für
„x ∙ x”
gebrauchte. Daß wir aber hier über das
alte System hinausgehen zeigt die allgemeine Erklärung
des Exponenten, etwa x ∙ x ∙ x…n-mal
= xn[x¹ = x,
xⁿ⁺¹ = xn ∙ x]
weil diese Zeichen enthält
(„xn”) die in der
Algebra, die die Potenzen nicht kennt wenn auch die
Ausdrücke „x ∙ x”,
„x ∙ x ∙ x”
nicht vorhanden sind. Ich habe in dem Ausdruck des letzten Satzes „wenn auch die Ausdrücke ‚x ∙ x’, ‚x ∙ x ∙ x’” natürlich mit Absicht das ‚u.s.w.’ weggelassen, denn eben dieses ist es ja, welches die neue Konstruktion hinzufügt. (Das ‚u.s.w.’ wäre hier, wie schon so oft bemerkt, keine Abkürzung. Wenn ich sage „in dem Konzert waren alle meine Geschwister Paul, Gretl u.s.w.” so ist hier das
|
Was ich
sagen will ist eigentlich nur: Mit den Definitionen
x ∙ x
= x², x ∙ x ∙ x =
x³, x ∙ x ∙ x ∙ x
= x⁴ kommen nur die Zeichen
x²,
x³, x⁴ zur Welt (und so weit war es noch
nicht nötig Ziffern als Exponenten zu
schreiben). ∣ Die rekursive Definition von
xn drückt nicht etwa
aus was im Kalkül mit x², x³, x⁴
schon war [ schon vorhanden war ]
& nur hat gefunden werden müssen, sondern bedeutet eine
neue Konstruktion ∣ . ([d|D]ie
keine frühere Lücke ausfüllt.) | X ✓ ✓ |
Es wäre eine
Frage, wie eine Algebra aussähe die ganz ohne Induktion
| ✓ |
Wenn ich
früher sagte, die Definition von ξ.𝒥.η kann
man nicht verstehen, Und dasselbe gilt, wenn es heißt „Fa, und a ≝ f(b) ist” oder „Fa, wo a ≝ f(b) ist”. Auch hier bilden Fa & die Definition wirklich ein Zeichen, – oder, richtiger & ohne Mythus: sie gehören zusammen & ich hätte ja auch schreiben können: F(a) ≝ F(f(b)). | ✓ |
✓ | Aber auch das stellt die
Sache nicht richtig dar.
Die Definition U
hätte man sehr wohl als eine – gleichsam, willkürliche
– Abkürzung des Ausdrucks α ∙ β ∙ γ
auffassen können, also ohne das System zu sehen dem sie nach
unserer Auffassung angehört. Die Definition so
betrachtet ist ist eine andere als die von uns
gemeinte, die man durch Hervorhebungen von der ersten unterscheiden
könnte. Aber hier dadurch geben
wir dann in Wirklichkeit die
allgemeine Definition V. Und das
heißt: die erste Definition verstehen, wie ich sie gemeint
habe heißt sie als Gleichung verstehen die der Definition
V (der allgemeinen Definition) gemäß ist.
|
Ich
könnte es so ausdrücken:
man könnte die Definition U sehen ohne zu wissen
warum ich so definiere. [ so abkürze. ]
Man könnte die Definition ◇◇◇ sehen ohne ihren Witz zu verstehen. – Aber dieser Witz ist eben etwas Neues, daß in ihr als spezieller Ersetzungsregel noch nicht liegt. | \ |
Auch ist „I” natürlich kein
Gleichheitszeichen, in dem Sinn, wie sie in
α, β &
γ stehen. | X |
Aber man kann leicht zeigen,
daß „I” gewisse formale
I Eigenschaften mit
= gemein hat. | ✓ |
Nun habe
ich aber doch gesagt,: wenn man aus
α ∙ β ∙ γ
A ableitet so betrachtet man α ∙ β ∙ γ
gar nicht als Satz! Heißt das nicht: in der Definition U ist die rechte Seite nicht in demselben Sinne ein Satz wie die linke, denn im System der Sätze der linken Seite kann die Funktion I nicht vorkommen? | ✓ |
Das erste System
ist, gleichsam, in Bezug auf I unschuldig. Es
treibt seine Spiele mit a, b, c, +, = , und kann es selbst
nicht merken daß I entsteht. | ✓ |
✓ | Was natürlich wieder
nichts anderes heißt, als daß U keine Definition von
I ist, sondern V.
|
/ | ∣ Der
Prozess der
|
/ |
Daß man sagt „die
Richtigkeit der Gleichung ist bewiesen”, zeigt schon,
daß Beweis nicht jede
|
/ |
Die eigentliche Entdeckung ist die, die
mich fähig macht mit dem Philosophieren aufzuhören, wann ich
will. Die die Philosophie zur Ruhe bringt so daß sie nicht mehr von Fragen gepeitscht
Sondern es wird jetzt an Beispielen eine Methode gezeigt, & die Reihe dieser Beispiele kann man abbrechen. |
/ | Richtiger
hieße es aber: Es werden Probleme gelöst (
|
X | Es ist
eine sehr wichtige Bemerkung daß das c in
A nicht dieselbe Variable ist wie das
c in β &
γ. Ich habe also den
Beweis nicht ganz richtig hingeschrieben, und
Es ist aber auch noch das zu fragen: kann ich nun aus A ableiten, daß i + (k + c) = (i + k) + c? und wenn ja, warum dann nicht gleich aus B? Also ist auch a & b in A nicht identisch mit a & b in α, β & γ? |
B tritt jetzt einfach
an Stelle von A. | ✓ |
Diese Bemerkung ist so wichtig wie jede
über eine Verschiedenheit im Knochenbau zweier
Tiere. [ Tierarten. ] | ✓ |
Auf den ersten
Blick scheint es zwei Stadien der Allgemeinheit des Beweises zu
geben: Wir könnten zuerst in B statt a
& b zwei bestimmte Zahlen setzen 4 & 5 &
dann wäre also das Resultat
4 + (5 + n)
= (4 + 5) + n. Und nun
könnten wir einen weitern Schritt in der Allgemeinheit
machen & „allgemeine Zahlen” statt 4
& 5 setzen. | ✓ |
Daß die Variable c in B
nicht identisch mit c in A ist sieht man klar wenn
man statt ihrer eine Zahl einsetzt. Dann lautet B
etwa:
| ✓ |
✓ | Als Induktionsbeweis
betrachtet rechtfertigt W nicht gerade den Übergang
in AW. Nicht mehr als der Übergang
4 + (5 + 2)
= (4 + 5) + 2. |
✓ ✓ | Soll nun auf der
rechten Seite der Definition U ein ‚c’
stehen oder ein ‚n’? Ein c,
da ja die rechte Seite nichts weiter ist als eine Abkürzung
der rechten. (Auf den vorigen Fall angewendet wäre
also statt W zu schreiben
4 + (5 + 6)
.J.
(4 + 5) + 6 Aber das
wäre nicht die Gleichung
AW. |
/ | ∣ Was die irrationalen
Zahlen betrifft so sagt meine Untersuchung nur, daß es falsch
(oder irreführend) ist), von
Irrationalzahlen zu sprechen indem man die sie als Zahlenart den Kardinal- &
Rationalzahlen gegenüberstellt, weil
das was man die man „Irrationalzahlen“
nennt in Wirklichkeit mehrere verschiedene
Zahlenarten umfassen nennt, – die von einander
so verschieden, sind wie Kardinal die
Rationalzahlen von jeder von ihnen. ∣ |
✓ | [Zum vorletzten
Satz] Noch wäre es ihre besondere
Rechtfertigung. Will man also die Form der durch W gerechtfertigten Zahlenglei-
|
Wenn ich ˇso aber
◇◇◇ in B statt a & b
bestimmte Zahlen einsetze so ändert der Beweis insofern
seinen Charakter, als nun β & γ nicht mehr aus
α hervorgehen sondern nur aus
dem früheren allgemeinen α. Und das gewährt
uns wieder einen Einblick in den Beweis. Denn
auch in seiner allgemeinen Form wird β &
γ nicht eigentlich mit Hilfe von
α konstruiert sondern mit Hilfe
eines algebraischen Paradigmas von der Form
α (daß
übrigens ganz andere Variable enthalten
kann). | ✓ |
Vergessen wir nicht daß U
& W (wie alle Definitionen) nur Abkürzungen
einführen, die ebensogut wegbleiben könnten.
Durch diese Definitionen ist also kein entscheidender logischer
Schritt geschehen. Wohl aber durch die neue Auffassung
ihrer linken se Seiten. Oder
richtiger durch deren Konstruktion die also fälschlicher Weise so
geschrieben wurde wie das alte Zeichen
α ∙ β ∙ γ.
Der richtige Ausdruck unseres
| ✓ |
[Ich bin außerordentlich
ungeschickt, aber gerade darum geh
sehe ich die Schwierigkeiten, an denen ein
| ✓ |
✓ | Ich fragte oben: ist
meine Behauptung, daß im induktiven Verfahren
α ∙ β ∙ γ
nicht als Satz aufgefaßt wird, nicht dadurch ausgedrückt
daß in U die rechte Seite nicht in demselben in
einem andern Sinne ein Satz ist wie als die linke[?|.] Aber der Ausdruck
dieser Behauptung ist, daß α ∙ β ∙ γ
mit den Hervorhebungen in anderem Sinne ein Satz ist als
α ∙ β ∙ γ
ohne den Hervorhebungen. |
✓ | Man könnte
sagen: was ich von B &
i + (k + l) =
(i + k) + l sage, bezieht sich auch auf den
Fall des Beweises (a + b)² =
a² + 2ab + b². Auch hier
könnte man vor der letzten Transformation stehen bleiben
& sie erst in einer Anwendung auf
(i + k)²
machen. |
✓ |
[Meine Methode ist, mich immer wieder von
denselben Dingen
puzzlen zu lassen.] |
/ | ∣ Die Frage
nach der Verifikation ist nur eine andere Form der Frage „wie
meinst Du das?”. ∣ |
✓ | Darin daß das c in
B nicht identisch ist mit dem c in A oder:
darin daß man die beiden Stellen mit verschiedenen
|
∣ Das Wesentliche ist hier daß
dieser Versuch den Charakter des Versuchs hat, ein Gewicht mit der
Hand zu heben; nicht den Charakter des Versuchs in
welchem man verschiedenes tut verschiedene Mittel
ausprobiert um z.B. ein Gewicht zu
heben. In den zwei Fällen hat das
| \ |
✓ | [Ich greife oft im
Schreiben meinem Denken vor!] |
✓ | Der Fluß der
Zahlen [ der
Zahlenstrom ] durch B zeigt das
associative Gesetz. |
✓ ? / | Heißt
was ich oben geschrieben habe etwas anderes als das der Schein des
algebraischen Beweises von A dadurch entsteht, daß wir in den
Gleichungen Aα,β,γ die
gleichen Variablen a, b, c wiederzufinden meinen wie in
α, β, γ & daher A für
|
✓ | Was ich von dem Wechsel in der Auffassung
von α β γ gesagt habe
könnte ich jetzt so sagen: α,
β &
γ entstehen mit
|
Man könnte das
auch (einfach) so sagen: die
rekursive [ induktive ] Anwendung der
Buchstabengleichung ist eine andere als die nicht
induktive. Die Definition
a + (b + 1) =
(a + b) + 1 nicht induktiv auf 4 & 5
angewandt gibt für a = 4 &
b = 5
4 + (5 + 1)
= (4 + 5) + 1 & diese Gleichung ist
das Resultat der Anwendung von α. Die rekursive
Anwendung von αaber best
auf 4 & 5 (a = 4 &⌊,⌋ b = 5) besteht in der Erzeugung
einer Reihe von Gleichungen
4 + (5 + 1)
= (4 + 5) + 1 =
(4 + (4 + 1)) + 1 =
((4 + 4) + 1 ( + 1) =
((4 + (3 + 1)) + 1) + 1)
= etc. (hier ist
„etc” eine
Abkürzung). Ebenso besteht die nicht induktive
Anwendung von B auf 4, 5, 7, in der Einsetzung von
dieser Zahlen statt der Variablen. Dagegen die induktive
Anwendung im Erzeugen einer Reihe von Gleichungen die mit
4 + (5 + 1)
= (4 + 5) + 1 anfängt & mit
4 + (5 + 7)
= (4 + 5) + 7) endet. | \ ✓ |
✓ | Man kann hier sagen:
die Anwendung der Variablen ist ihr Sinn. |
✓ | Oder: Die
Beschreibung der Anwendung des Zeichens ist eine Ergänzung
des Zeichens & ergibt eben in beiden = den
zwei Fällen etwas Verschiedenes. |
✓ | Die Beschreibung der
Anwendung des Zeichens ist ja ein Zeichen & statt des ersten
zu verwenden. Die Hervorhebungen könnte man ja sehr
wohl als Beschreibung [ als Symbol zur
Beschreibung ] der ˇinduktiven Anwendung von B
|
/ | ∣
Wenn auf die
Lösung – etwa – des
Fermatschen Problems Preise
⌊an⌋gesetzt sind
so könnte man mir
|
Wäre die Aufgabe eine
Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks zu finden, so ist
die Konstruktion in dieser Aufgabestellung durch das
physikalische Merkmal charakterisiert, daß sie
tatsächlich ein durch Messung definiertes
regelmäßiges 5-Eck liefern
soll. Denn den Begriff der konstruktiven 5Teilung (oder des konstruktiven
5-Ecks) haben wir ja noch gar
nicht [erhalten wir ja erst durch die Konstruktion.]
| \ |
Ebenso
im Fermatschen Satz haben
wir ein empirisches Gebilde das wir als
Hypothese deuten also ˇ– natürlich –
nicht als Ende einer Konstruktion. Die
Aufgabe fragt also ˇim gewissen Sinn nach etwas anderem als was
die Lösung gibt. ∣ | \ |
Das Zeichen
B im Beweis wird also induktiv aufgefaßt das bewiesene
ˇA aber nicht (sondern das ist wieder ein Zeichen wie
α in der
Anwendung Ableitung von
β &
γ). Und darin, daß
man auf diesen logischen Unterschied nicht aufmerksam wird liegt die
Täuschung als sei A im alten Sinn des Wortes – also
| \ ✓ |
/ |
∣
Natürlich steht auch der Beweis
des Gegenteils, des Fermatschen Satzes z.B,
im gleichen Verhältnis zur Aufgabe wie der Beweis
des Satzes. (Beweis der Unmöglichkeit einer
Konstruktion.) ∣ |
✓ |
Wieweit hat sich der Philosoph in die
Mathematik zu mischen? |
✓ | 26.
Der [P|p]hilosophische Witz. |
? ✓ ∫ |
Ich
könnte algebraische Rechnungen (Anwendungen) machen & mich dabei immer nur
auf die ‚Beweise I, II, III,
etc. beziehen, nie auf die ‚bewiesenen
Satze’.
Wenn man aber so ◇◇◇ aus (a + b)² = etc ausgerechnet & nun wieder eine Anwendung auf (s ∙ t + i ∙ k)² gemacht hätte, so käme man darauf, daß, so wie man hier (a + b)² = etc verwendet hat, früher implizite von
Man könnte aber jetzt nicht sagen, daß diese Gleichung
|
✓ | Was heißt es denn, daß
alle Übergänge Wenn ich z.B. die Kette von Gleichungen des Beweises (a + b)² = … anschreibe, so ist jede dieser Gleichungen nach dem Modell eines der Grundgesetze geformt; und wir sagen dann, der Übergang geschieht nach diesem Grundgesetz. |
(Das
associative Gesetz ist das Vorbild des
associativen Übergangs.) | X ✓ |
∫ |
Der Beweis B zeigt etwas um A. | ✓ |
A ist die allgemeine
Form der Zahlengleichungen die B beweist.
((Und dieser Satz selbst bringt uns der Anwendung
von A nicht näher als A selbst &
ist nur eine Übersetzung von A
selbst)) Und die algebraische
Notation wird verwendet um mir zu sagen, wie ich
z.B. im Falle (17 + 18)²
rechnen soll, indem
| ✓ |
/ \\ |
∣ („So
soll er sich kränken”, daß ist oft das
letzte Wort in einem philosophischen
Hin & her; der Verstand wird so
lange von der Scheinfrage zurückgeworfen
|
✓ | Die kritische Stelle [ der Haken ] im vorigen
Satz liegt
|
(Der Philosoph übertreibt, schreit gleichsam,
in seiner Ohnmacht, solange er den Kern der
Confusion noch nicht entdeckt
hat.) | X ✓ |
…Rechne nach dieser Gleichung,
sie ist bewiesen worden. Und anderseitserer, sie ist nur insofern bewiesen worden, als sie die Form der Zahlengleichung⌊en⌋ ist, die in der Induktion ihre Rechtfertigung haben. (Wieder irreführend! weil es klingt als hätten wir eine Gesamtheit von Zahlengleichungen die mit
| ✓ |
? ∫ |
Wie
verhalten sich: das Zahlenspiel
17 + (18 + 20)
= …, der Satz A & der Beweis
B? | ✓ |
✓ | (Man muß sich zu einer
Ausdrucksweise
|
? ∫ ✓ |
Drückt B weniger klar aus, wie im besonderen Fall
gerechnet werden soll als A? |
✓ | BI,
BII sind Beweise von
17 + (28 + 14)
= …,
17 + 1 =
1 + 17 etc.. Wenn das wahr ist,
so sind sie insofern auch Beweise von AI
AII etc., aber eben nur insofern
(als) A die Form des
Zahlenbeispiels ist, also nicht allgemein. Außer ihrer
Beweiskraft für das besondere Zahlenbeispiel besitzen sie
dann noch eine formelle Eigenschaft, die eben darin besteht,
daß B so & so gebaut ist (wie man es beschreiben
kann. Und mehr ist nicht da. |
✓ | R ist die allgemeine
Beschreibung von B von der man immer fühlt
deren Notwendigkeit man immer fühlt. |
/ | Ich sage
(a + b)²
= etc ist mit Hilfe von
AI AII
etc bewiesen, weil die
Übergänge von (a + b)² zu
a² + 2ab + b²
alle von der Form AI, oder AII,
etc sind. In diesem Sinne ist
in III auch der Übergang von (b + 1) + a auf
(b + a) + 1 nach
AI gemacht, aber nicht der Übergang von
a + n
auf n + a! |
? ∫ |
Wir
können einerseits sagen, daß BI
17 + (25 + 18)
= … beweist, anderseits BI
beschreiben oder BI, BII und
andere. Wir können auch
| ✓ |
Wenn wir I, II & III ansehen so sehen
wir, daß die Gleichungen A
| ? ∣ ? ✓ |
✓ | Man kann nicht
zugleich allgemein & besonders
|
✓ | Es ist wohl ein
Unterschied zwischen den Fällen in denen einerseits
BI, BII, BIII für
AI, AII, AIII
konstruiert werden ohne daß dabei hervorge
gesehen (oder hervorgehoben) wird, daß eine Analogie zwischen
den B besteht, und anderseits die Analogie der B
hervorzuheben. Aber das ist wahr, daß das Hervorheben
|
✓ |
Ist es richtig zu sagen: Kein weiterer Schritt
kann B zu einem Beweis machen, wenn es nach dem
|
Es zeigt mir jemand die
Komplexe B & ich sage „das sind keine Beweise
der Gleichungen A”. Nun sagt
er: „Du siehst aber noch nicht das System, nach
dem diese Komplexe gebildet sind”, und zeigt es mir [ & macht mich darauf aufmerksam ] .
Wie konnte das die B zu [b|B]eweisen
machen? – | / |
Durch diese Einsicht steige
ich in einer andere, sozusagen höhere, Ebene,
während der Beweis auf der tieferen hätte
geführt werden müssen [ geführt werden
müsste ] . | / ✓ |
∫ |
Ich schaue B
| ✓ |
Was ich richtig
gefühlt habe, ist die Unabhängigkeit der
Auffassung von B von der Frage ob B A beweisen
kann. | ✓ |
Nur ein Bestimmter Übergang von
Gleichungen zu einer Gleichung ist ein Beweis dieser
letzteren. Dieser
| / |
/ ✓ | ‒ ‒ ‒ Eine
Allgemeinheit in dieser Beziehung die über die
behandelten Fälle hinausgeht kommt in unsern Kalkül
nicht hinein. Daher beweisen wir auch nicht A durch B, sondern es ist ganz richtig, daß wir etwas über A beweisen. Natürlich, daß die linke Seite von A in β & die rechte in γ mit Hilfe von α so & so erhalten werden kann, während α selbst der Wert von A für n = 1 ist. |
/ | Aber kann ich
eben nicht sagen, daß, wenn ich dies über A bewiesen
habe, ich damit A bewiesen habe? Und woher kam dann
überhaupt die Täuschung, daß ich es dadurch bewiesen
hätte? denn diese muß doch einen tieferen Grund
haben. |
/ |
Nun, wenn es eine Täuschung ist, so kam sie
jedenfalls von unserer Ausdrucksweise in der Wortsprache her
„dieser Satz gilt für alle
Zahlen”; denn der algebraische Satz war ja nach
dieser Auffassung nur eine andere Schreibweise dieses
Satzes (der Wortsprache).
Und diese Ausdrucksweise ließ den Fall
|
27.
Wenn „den algebraischen Satz mittels der Sätze
p,
q,
r beweisen” heißt,
die Übergänge der Gleichungskette den
Satzen p,
q,
r entsprechend machen,
dann ist B kein Beweis von A mittels α, noch
| \ ✓ |
Wenn ich mir die Funktionen
φ, ψ,
F exact
| ✓ ? |
Denn das Schema
des Übergangs | ✓ ? |
∫ ✓ ? |
Tatsächlich ist R nicht das Schema des
Induktionsbeweises BIII; dieses ist viel
complizierter da es das Schema BI
enthalten muß |
/ |
Es ist nur dann nicht ratsam etwas Beweis
zu nennen, wenn die übliche Grammatik des Wortes
„Beweis” mit der Grammatik des betrachteten
Gegenstandes nicht übereinstimmt. |
∫ ✓ | Was soll
es denn heißen, der Übergang sei durch R
gerechtfertigt? Der Übergang wird gemacht, oder
nicht gemacht, & ein Komplex von der Form R
läßt sich konstruieren oder nicht konstruieren Das ist aber
alles. ((Auch das ist nur ein Ausdruck
dafür, daß ich in B nicht finde was ich eine
Rechtfertigung des Übergangs in A nenne,
nämlich, keine Vermittlung dieses
Übergangs.)) |
/ |
Die tiefgehende Beunruhigung
rührt am Schluß von einem kleinen aber offen zu Tage liegenden
Zug des überkommenen Ausdrucks her. |
✓ | Ich habe eine Klammer }
zwischen α, β, γ & A gemacht, als ob
es sich |
Man könnte
vermuten, die Klammer bedeute so viel, wie ein
Gleichheitszeichen. | ✓ |
Diese Klammer könnte man
übrigens auch zwischen
„1˙
(Zwischen den ‚allgemeinen Satz’ & seine ‚Verification’.) Und wäre „}” hier nicht ein Gleichheitszeichen? | ✓ |
? ∫ |
Ich will
zeigen: Du hast geglaubt, Du gebrauchst einen Kalkül, in
dem das Wort „alle” in seiner gewöhnlichen
Bedeutung vorkommt (oder stehen könnte), aber das ist nicht
so: die Figur, die Du „alle”
| ✓ |
[Ich denke tatsächlich mit
der Feder, denn mein Kopf weiß oft nichts von dem, was meine
Hand schreibt.] | ✓ |
(Die Philosophen sind oft
wie kleine Kinder die zuerst mit ihrem Bleistift beliebige
Striche auf ein Papier
| \ |
? / | Es wäre
– nach den angenommenen Regeln – falsch das
Gleichheitszeichen so zu gebrauchen: ∆ … [(a + b)² = a ∙ (a + b) + b ∙ (a + b) = … = a² + 2ab + b²] = [(a + b)² = a² + 2ab + b²] wenn damit gemeint sein soll, daß die linke Seite der Beweis der rechten ist. Könnte man sich aber nicht diese Gleichung als Definition aufgefaßt denken? Wenn es z.B. immer Gebrauch gewesen wäre statt der rechten Seite die ganze Kette
Freilich kann ∆ als Definition aufgefaßt werden! Denn das linke Zeichen wird tatsächlich gebraucht, & warum sollte man es nicht nach dieser Übereinkunft
|
Hier scheint mir eine
Unklarheit zu entstehen (obwohl ich sie jetzt nicht klar
| ✓ \ |
Die
‚Definition’ x ∙ x = x²
| \ |
/ | Was
heißt es also daß
R den Übergang
A [ von der Form A ]
rechtfertigt? Es heißt wohl, daß ich mich
entschieden habe, nur solche Übergänge in meinem Kalkül
zuzulassen, denen ein Schema B entspricht, dessen Sätze
α, β, γ wieder
Auf diese allgemeine Regel kann man nachträglich aufmerksam werden. (Wird man nun dadurch aber (darauf) aufmerksam, daß die B in doch Wirklichkeit doch Beweise der A sind?) Man wird da auf eine Regel aufmerksam, mit der man hätte beginnen können & mittels der & α man AI, AII etc hätte konstruieren bauen können. Niemand aber würde sie in diesem Spiel einen Beweis genannt haben. | X |
Woher
dieser Konflikt: „Das ist doch kein
Beweis!” – „das ist doch ein
Beweis!”? | X |
Man könnte sagen: Es
ist wohl wahr, ich zeichne im Beweis von B, mittels α
die Konturen der Gleichung A nach, [ die Konturen der
Gleichung A mittels α nach, ] aber nicht auf die
Weise, die ich nenne ‚A mittels α
beweisen’. | \ |
Die Schwierigkeit, die in
diese[m|r] durch diese Betrachtung
zu überwinden ist [ überwunden werden
soll ] ist, den Induktionsbeweis als etwas
Neues, sozusagen, naiv zu betrachten. | \ |
✓ |
Ich scheine Argumente zu
benützen: 1.) Der allgemeine
Begriff der Induktion ist überflüssig, weil er nicht
gebraucht wird; 2.) wenn er auch gebraucht wird, ist
er kein Beweis. (Aber)
|
✓ | 28.
Das Zahlenbeispiel an dem wir die Wirkungsweise des
Induktionsschemas zeigen, interessiert uns nur, so weit es eine
interne Eigenschaft des Schemas B darstellt.
Wie wir etwa eine gefärbte
Flussigkeit durch ein System von Glasrohren
leiten um das System verstehen zu lernen. [ Wie wir uns etwa die Wirkungsweise eines
Röhrensystems durch einen Strom darstellen der es
durchfließt. ] [ Wie wir uns etwa
ein Röhrensystem klarmachen durch einen Strom, der
es durchfließt. ] |
✓ ? ∫ |
Denn die allgemeine Form
R wird wirklich nicht dazu benutzt B zu
|
Wir mussen auch
bedenken, daß die ˇes eine
ˇmathematische Aufgabe, ‚mittels ρ
einen Komplex von der Form R zu konstruieren’ nicht
gibt, da wir keine Methode haben sie zu lösen.
| ✓ |
Wenn
wir also oben sagten, wir können mit R beginnen, so ist
dieses Beginnen mit R in gewisser Weise ein
Humbug. Es ist nicht so, wie wenn ich
eine Rechnung mit der Ausrechnung von
526 × 718
beginne. Denn hier ist diese Problemstellung der
Anfangspunkt eines Weges. Während ich dort das R
sofort wieder verlasse & woanders beginnen muß.
Und wenn es geschehen ist, daß ich einen Komplex von der
Form R konstruiert habe, dann ist es wieder gleichgültig,
ob ich mir das früher
(äußerlich)
vorgesetzt habe, weil mir dieser Vorsatz mathematisch
(gesprochen), d.h.
im Kalkül, doch nichts geholfen hat. Es bleibt
also bei der Tatsache, daß ich jetzt einen Komplex von der Form
R vor mir habe. | \ |
Ja, kann ich nun nicht sagen, die
| ✓ |
✓ |
Und so könnten wir wirklich
anfangen & ein für allemal, ganz abgesehen
von der Möglichkeit eines Beweises, jedes algebraische
Vorbild in der Form R – konstruiert aus
A – schreiben. |
✓ |
Wäre das nun geschehen, so würde
sich der induktive Beweis einfach darstellen, als algebraischer Beweis
von α, β &
γ. |
X | Wir könnten
uns denken, wir kennten nur den Beweis BI &
würden nun sagen: Alles was wir haben, ist diese
Konstruktion.
Von einer Analogie dieser mit anderen
Konstruktionen, von einem allgemeinen Prinzip bei
der Ausführung dieser Konstruktionen, ist gar keine
Rede. – Wenn ich nun so B & A sehe,
muß ich fragen: warum nennst Du das aber einen Beweis gerade
von AI? (ich frage noch nicht: warum
nennst Du es einen Beweis von A). Was
hat dieser |
„Die allgemeine Form R braucht man gar nicht im
Beweis von A”,
| ✓ |
Wenn ich
sage, das allgemeine Prinzip ist gleichgültig, denn es
kommt nur auf diesen einen Fall an (&
hicc Rhodus, hic salta), so ist
das richtig, wenn mit der Allgemeinheit des Prinzips seine
Anwendbarkeit auf andere Fälle als diesen gemeint
ist. Dagegen kommt es darauf an, den Komplex B
mit diesen Hervorhebungen zu sehen. Ich
werde mich also um keine analogen Fälle bekümmern,
aber in B}A auf Bestimmtes aufmerksam machen.
| ✓ |
Wenn ich
sage „R wird ja nie zur Konstruktion verwendet,
so ist die | ✓ |
∫ ✓ |
Wir haben nur diesen
einen Fall, & die Aufzeigung eines allgemeinen
Prinzips, dem er angehört macht ihn nicht zum
Beweis. |
✓ |
„Ich habe nur diesen einen Fall, ich weiß
nicht, ob ich je einen andern kennen werde, was soll da ein
allgemeines Prinzip?”. Hier wäre wirklich
der Fall der primären Farben. |
✓ | Aber der Fall ist hier der,
des Beweises von B mittels α (oder
ρ). Für den
andern Fall, nämlich die Konstruktion von B aus
A gilt das nicht! Vielmehr sehe ich hier ein
allgemeines Prinzip in dem Augenblick, wo ich es
überhaupt in B & A entdecke. |
/ | Es zeigt uns
jemand BI und erklärt uns den Zusammenhang mit
AI, d.i., daß die rechte
Seite von A so & so erhalten wurde etc.
etc.. Wir verstehen ihn; & er fragt
uns (nun): ist nun das ein Beweis
von A? Wir Wir
[keine Zeile auslassen] Und wir könnten auch daraus schließen, daß man so aus jedem A ein B konstruieren kann & also auch umgekehrt A aus B. | \ |
Dieser Beweis ist nach einem
bestimmten Plan gebaut (nach dem noch andre Beweise gebaut
sind). Aber dieser Plan kann den Beweis nicht zum
Beweis machen. Denn wir haben jetzt hier nur die eine
Verkörperung dieses Planes, & können von dem
Plan als allgemeinem Begriff
(ganz) absehen. Der Beweis
muß für und sich sprechen & der Plan ist
nur in ihm verkörpert aber selbst kein Bestandteil [ kein Instrument ] des Beweises.
(Das wollte ich immer sagen.) Daher nützt es
mich nichts, wenn man mich auf die Ähnlichkeiten zwischen
Beweisen aufmerksam macht, um mich davon zu überzeugen
daß sie Beweise sind. | \ |
∫ | 29.
Gewiß hilft es nichts zu dieser
Überzeugung, zu sehen, daß diese Beweise nach dem
selben Plan gebaut sind &, wie gesagt, ich könnte ja nur
einen einzigen Beweis vor mir haben. Anders ist es
aber wenn dieser Plan das Wesen des Beweisens
selb |
✓ |
Ich muß sagen: Wenn A
aus B folgt, so folgt es, ob die Regel des Folgens [ die Schlußregel ] allgemein formuliert
[ (d.h. aufgeschrieben)
wurde oder nicht. Alles, was die interne Relation von
B zu A betrifft sieht man aus diesen beiden
allein. |
✓ |
Eine Regel des Folgens entspricht
|
✓ | Ich muß also auf B
& A allein zeigen können & fragen:
ist dies ein Beweis von dem? |
| Nun könnte man aber
sagen: dieses Argument … [ Nun könnte
m. aber dieses ] Aber dieses
Argument könnte man auch auf den Beweis
(a + b)²
= etc anwenden
& sagen: ob der Übergang
(a + b) ∙ (a + b)
=
a ∙ (a + b) + b ∙ (a + b)
richtig ist oder nicht, kann man nur an ihm (seinen Gliedern)
selbst |
Die Schlußgesetze sind
Paradigmen. | ✓ |
Wenn ich sagte: ‚ob
p aus
q folgt, muß aus
p &
q allein zu ersehen sein [ hervorgehen ] ’; so müßte es
heißen: daß p aus
q folgt ist eine Bestimmung die
den Sinn von p &
q bestimmt; nicht etwas, das,
von dem Sinn dieser beiden ausgesagt, wahr ist. Daher kann
man (sehr) wohl die
Schlußregeln
angeben, gibt damit aber Regeln
für die Benützung der
Schriftzeichen an die deren Sinn erst bestimmen was
nichts andres heißt als daß diese Regeln willkürlich
festzusetzen sind ˇd.h. nicht
von der Wirklichkeit abzulesen wie eine
Beschreibung. – Denn wenn ich sage die
Regeln sind willkürlich so meine ich sie sind
nicht von der Wirklichkeit
| \ |
✓ |
Wenn [e|E]iner also auf B
& A zeigt & fragt „ist dies ein Beweis
von dem”, so könnte ich antworten: „ich
habe (gerade) die Regeln vergessen, ich
muß erst nachschauen”. |
✓ | Also kann ich nicht wissen
ob ˇdie Konstruktion von B ein Beweis von A
ist, auch wenn ich die Beziehung V in ihnen erkenne;
solange ich mich nicht ˇdavon überzeugt habe, daß
R im Regelverzeichnis steht? (Das
scheint die grundlegende Frage zu sein.) |
✓ | Wenn nun das
Regelverzeichn⌊i⌋s nicht bei der Hand wäre & ich
sagte: „ich weiß nicht ob B ein Beweis
von A ist”! – |
✓ | Denn so müßte ich
dann sprechen. „Das kann man so
ohne⌊/⌋weiteres
nicht sagen, ob
es ein Beweis von A ist.” |
/ | Wenn ich nun früher
sagte „das ist doch kein Beweis”, so meinte ich
‚Beweis’ in einem bereits festgelegten Sinne, in
welchem es aus A & B allein zu ersehen
ist. Denn in diesem Sinne kann ich sagen: Ich
verstehe doch ganz genau, was B tut, & in
welchem Verhältnis es zu A steht. Jede
weitere Belehrung ist überflüssig &
das ist kein Beweis. [ & das was da
ist, ist kein
Beweis. ] Dabei sehe ich das Verhältnis nach der Regel V sehr
|
Nun könnte
ich
| ✓ |
/ | Wenn ich
also sagte „
|
✓ |
Dagegen muß ich wohl, wenn A
& B |
[Einige Sätze die ich
vor diesen9 geschrieben habe]:
Was ich sagen will ist also: Skolem nimmt nur die alten Grundgesetze der klassischen Algebra & ordnet ihnen gewisse Gleichungskomplexe zu, & zwar so, daß diese Zuordnungen eine gewisse Analogie aufweisen, die dem losen Gebrauch Allgemeinheitsbezeichnung in der Wortsprache entspricht. Er gebraucht aber diesen allgemeinen Begriff der Allgemeinheit selber nicht konstruktiv, d.h., gebraucht ihn nicht als allgemeinen Begriff. Seine Beweise verhalten sich zu seinem Begriff des Rekursionsbeweises, wie die einzelnen primären Farben zum Begriff der primären Farbe. D.h.: es liegt hier kein Begriff vor, sondern eine Liste. ((Daran ist nun wahr daß tatsächlich kein Begriff ˇ(d.h. kein System) des | ✓ |
✓ | Und daß diese Liste
lauter Dinge [ Gegenstände ]
umfaßt, die mit einander eine gewisse Ähnlichkeit haben,
hilft uns nichts; oder: daß die Dinge auf der Liste unter
einen gewissen Begriff fallen hilft uns nichts, wenn wir diesen
Begriff nicht konstruktiv verwenden
können. |
/ |
Ich meine: Im
Skolemschen Kalkül
brauchen wir diesen Begriff nicht [ brauchen wir keinen solchen Begriff ] ,
es genügt die Liste. Es geht uns nichts verloren, wenn wir nicht sagen „wir haben die Grundgesetze A bewiesen” wir haben die Grundgesetze A auf diese Wiese bewiesen” ] , sondern bloß zeigen, daß sich ihnen – in gewisser Beziehung analoge – Konstruktionen zuordnen lassen. |
✓ | Wenn ich nämlich sage
„dieser Übergang ist nach BI
gemach, dieser nach BII”, so ist
das Einzige, was daran ganz
|
Der Begriff der
Allgemeinheit (& der Rekursion)
der in diesen Beweisen gebraucht wird, ist nicht allgemeiner, als er aus
diesen Beweisen unmittelbar herauszulesen ist. | \ |
∫ ? ✓ |
Die Klammer
} in R kann weiter nichts bedeuten, als daß wir den
Übergang in A (oder einen von der Form A) als
berechtigt ansehen, wenn die Glieder (Seiten) des Übergangs
in einer durch das Schema B charakterisierten Beziehung zu
einander stehen. Es nimmt dann B den Platz von
A. Und wie es früher hieß: der
Übergang ist in meinem Kalkül erlaubt,
wenn er einem der A entspricht, so kann es jetzt
heißen [ so heißt es jetzt ] : er ist
erlaubt, wenn er einem der B entspricht.
Damit aber hätten wir noch keine Vereinfachung, keine Reduktion gewonnen. | ? ✓ |
X ✓ |
Der induktive Beweis
zerlegt den Übergang in A nicht. Ist es nicht
das, was macht, daß ich mich dagegen sträube ihn Beweis zu
nennen? Warum ich versucht bin zu sagen, er kann auf
keinen Fall ((ˇnämlich auch wenn man A durch
R & α konstruiert)) mehr tun, als
etwas über den Übergang zu
zeigen. |
✓ |
Es handelt sich darum, ob es gelingt, die
|
/ | Wenn man sich einen
Mechanismus aus Zahnrädern & diese aus lauter gleichen
keilförmigen Stücken & je einem Ring der sie zu
einem Rad zusammen hält, zusammengesetzt denkt, so blieben in
einem gewissen Sinne die Einheiten des Mechanismus doch die
Zahnräder. |
Die Schritte des Beweises
von A sind nicht Schritte im Beweis mit Hilfe von
A. | ✓ |
Es ist so: Wenn ein Faß
aus Dauben & Böden besteht, so halten doch nur alle diese
in dieser (bestimmten) Verbindung
(als Komplex) die Flüssigkeit und bilden als Behälter
neue Einheiten. | \ |
¥ •
Ich würde ˇdannc sagen: die Regeln
des Überganges in meinem Kalkül sind alle auf eine
bestimmte Art & Weise (etwa alle mittels
ρ) geformt. Als wollte ich
sagen: diese Sessel sind alle aus Hölzern von
dieser Form aufgebaut. Aber die ˇganzen
Möbel sind die Einheiten der Einrichtung.
((Das würde noch einen Nachsatz
erfordern.)) | ✓ |
⍈ ↺
Wie wäre es denn, wenn die B nach einer durch ihre Form
bestimmten Methode aus ρ abgeleitet (oder
ausgeschlossen) werden könnten? So daß man
also für A jedes gegebene A die
entsprechende Rechnung ohne weiteres
| ✓ |
Ich will hier zwei Arten des Vorgehens von
einander unterscheiden; & das ist alles.
Und ich unterscheide sie dadurch, daß ich jede Form zerstöre, die eine Ähnlichkeit [ ˇdie Gleichheit ] der beiden vortäuscht. [ die eine Ähnlichkeit der beiden herstellen soll. ] | ✓ |
✓ | Dadurch
ziehe ich dem einen den falschen Schein aus der es umgibt.
(Darum nämlich, weil [ Weil
nämlich ] die Wortsprache diesen Schein um den
|
X |
Der Gleichungskalkül ist
gegeben. In diesem Kalkül bedeutet
hat ‚Beweis’ eine
|
X | Denken wir uns eine
Kette[;|,] sie besteht aus Gliedern & es ist
möglich ˇje ein solches [g|G]lied durch zwei
kleinere zu ersetzen. Die Verbindung die die Kette macht,
kann dann, ˇstatt durch die kleinen
großen, ganz durch die kleinernen Glieder gemacht
werden. Man könnte sich aber auch denken, daß jedes
Glied der Kette aus – etwa – zwei halbringförmigen
Teilen bestünde, die zusammen das Glied bildeten, einzeln aber
nicht als Glieder verwendet werden könnten.
Es hätte nun ganz verschiedenen |
Der eine Beweis ersetzt eine
großgliedrige Kette durch eine kleingliedrige, der Andere
zeigt, wie man die (alten) großen Glieder aus
mehreren Bestandteilen zusammensetzten kann. | X |
Ähnlichkeit
| X |
Der Vergleich des Beweises mit der
Kette ist natürlich ein logischer Vergleich &
also ein vollkommen exacter Ausdruck dessen was
er
| \ |
Ich sage
z.B. „der Satz
(a + b)³ =
… ist bewiesen” & gebe nun die
Gleichungskette durch &c
| ✓ |
/ |
Denken wir uns, wir kontrollieren die
Rechnung (a + b)³ =
…
|
✓ |
Die Frage „stimmt das
auch” hat, auf diese Gleichung bezogen, im ersten Kalkül
gar keinen Sinn. Und im andern hat sie einen dem ersten
Kalkül ganz fremden Sinn. |
/ ? ∫ |
((Besser gesagt:
Imn einenr Fall
Bedeutung heißt die Frage „stimmt
| ✓ |
Und zwar leistet dieser
neue Beweis nicht, was man annehmen könnte, daß er
nämlich den Kalkül auf eine
| \ |
Man kann
daher auch nicht sagen | \ |
/ |
/ |
„Ich weiß daß es da ein
Gesetz geben muß”. Ist dieses Wissen ein
amorphes das Aussprechen des Satzes begleitendes
Gefühl? Dann interessiert es uns nicht.
Und ist es ein Symbolischer
Prozess – nun, dann ist die Aufgabe ihn in
einem
|
/ |
Lichtenberg: „Unsere ganze
Philosophie ist Berichtigung des Sprachgebrauchs, also, die
Berichtigung einer Philosophie, & zwar der
allgemeinsten.” |
ø | 1.11.31.
(Ramsey
war ein bürgerlicher Denker.
D.h. seine Gedanken hatten den Zweck die
Dinge in einer gegebenen Gemeinde zu ordnen. Er dachte
nicht über das Wesen des Staates nach – oder doch nicht
gerne – sondern darüber |
Der Gebrauch des Wortes
„dieses↗”.
| ✓ |
Onus
probandi (auf Seiten des Mathematikers
etc.) | ✓ |
Wird ein Zusammenhang der
A durch die Induktionsbeweise
mittels α gezeigt & ist dies nicht
das Zeichen dafür daß wir es hier doch mit
Beweisen zu tun haben? – Es wird nicht
der Zusammenhang gezeigt, den ein Zerlegen der
Übergange in den
A in
Übergange ρ
| \ |
Was, wenn die Wörter das
Hören der Wörter „rot”,
„blau” die Wirkung hätten hätte uns farbige Kreise vor
das innere Auge treten zu lassen (wie etwa ein Druck auf
| ✓ |
✓ | Aber so wirkt es ja zum Teil
wirklich, wenn auch nur dadurch daß wir das Wort
anfänglich immer mit dem Hinweisen auf einen blauen
Gegenstand verbanden (wie die spätere Wirkung des Wortes
‚blau’ entstanden ist, ist uns ja aber
gleichgültig). |
(Der Philosoph ist nicht
Bürger einer Denkgemeinde. Das ist, was ihn zum
Philosophen macht.) | \ |
2.
Ist das ‚dieses’ worauf ich zeige die Farbe,
oder, was die Farbe hat? Und könnte meine
Worterklärung nicht lauten „in diesem Falle
sage ich, daß ‚der Gegenstand rot
ist’” [ „in diesem
Falle sage ich ‚der Gegenstand ist
rot’” ] ? Oder
muß es heißen „diese Farbe nenne ich
‚rot’”? | ✓ |
Aber wie wird es denn
entschieden, worauf gezeigt wird? ob auf die Farbe oder den
Ort? Doch wohl auf den Ort an dem die Farbe ist.
Aber weiter ist doch da nichts zu unterscheiden. | ✓ |
Die
Worterklärung könnte auch lauten: die Farbe
| \ |
Aber das hätte doch nur Sinn,
wenn Farbe im Gegensatz zu etwas Anderm stünde, also etwa
zu Form. Ich könnte
Und hier stehen die Wörter ‚Farbe’ & ‚Form’ für Anwendungsarten (grammatische Regeln) & sind bezeichnen in Wirklichkeit (Bezeichnungen von) Wortarten wie „Eigenschaftswort”, „Hauptwort”. | \ |
/ | Wenn ich
sage: „die Farbe dieses Ding's nenne ich
‚blau’” so müssen die Worte
„die Farbe dieses Dings” bereits eine
Bezeichnung der Farbe sein & als solche dienen
können. Diese Worte präsentieren das Kind zur
Taufe. |
✓ |
Auch angenommen wir wollten – – in einem
übertragenen Sinn – einen blauen Kreis den „Träger des Namens ‚blau’ nennen”
& führten diesen als Zeichen statt des
Wortes „blau” ein, so hätte nun
|
/ | 3.
Welches ist die ‚wirkliche
Lage’ des Körpers, den ich unter Wasser sehe,
was die ‚wirkliche Farbe’ des
Tisches. Hier macht eben die Frage nach der
Verification den Sinn
|
/ |
Der falsche Ton in der Frage, ob es nicht primäre Zeichen
(hinweisende Gesten) geben müsse, während
|
(Statt der
turbulenten Mutmaßungen & Erklärungen wollen wir
ruhige
| \ |
Nich⌊t⌋ die Farbe [r|R]ot tritt an Stelle des Wortes
[„|‚]rot[”|’],
sondern die Gebärde die auf einen roten Gegenstand hinweist, oder
das rote Täfelchen. | \ |
| 9.
Nun sage ich aber: „Es gilt mit Recht als ein
Kriterium des Verstehens [ Verständnisses ] des Wortes
„rot”, daß Einer einen roten Gegenstand auf
Befehl aus
|
| 10.
Welches ist denn das Kriterium unseres
Verständnisses: das Aufzeigen des roten Täfelchens,
wenn gefragt wurde „welches von diesen Täfelchen ist
rot”, oder das Wiederholen der hinweisenden Definition
„das↗ ist
‚rot’”? ((Ist denn das
Zweite nicht eine (Art) Probe zum
Ersten. Wie, wenn die erste Aufgabe gelautet
hätte: zeige auf das rote Täfelchen mit den Worten
„diese Farbe nenne ich
‚rot’”? – Vergleiche die
beiden Aufgaben: „welche Farbe nennen wir
‚rot’?” & „welches
ist das rote Täfelchen”. Die erste dieser
Aufgaben
|
| Das
Verstehen eines Satzes der Wortsprache ist dem Verstehen eines
musikalischen Themas (oder Musikstückes) viel verwandter als man glaubt.
Und zwar so, daß das Verstehen des sprachlichen Satzes
näher ˇals man glaubt dem Ort liegt,
an welchem was man richtig
gewöhnlich das das Verständnis des
musikaischen Ausdrucks sieht nennt. – Warum
pfeife ich das gerade so,? warum bringe ich
den Rythmus der Stärke & des Zeitmaßes
gerade auf dieses ganz bestimmte Ideal? Ich
möchte sagen: „weil ich weiß,
was das alles heißt” – aber
was heißt es denn? Ich wüßte es nicht zu
sagen, außer durch eine Übersetzung in einen Vorgang von
gleichem Rythmus. Ich könnte nur
sagen: so wohnt |
| Auch wenn wir verstehen, daß der
Ausdruck „das ist rot” zwei ganz verschiedene
Funktionen haben kann: als hinweisende Definition
|
| Ich kann nicht auf die Bedeutung
eines Wortes zeigen. (Höchstens auf den Träger
eines Namens.) |
| Das was in
der hinweisenden Definition auf der linken Seite des
Gleichheitszeichens steht (wenn auf der rechten das
Wort steht), ist nicht die Bedeutung des Worts (das hieße
nichts). |
| „Dieses
Buch hat die Farbe die ‚rot’
heißt” „Die Farbe die
dieses Buch hat heißt
‚rot’” So klingen die
beiden Sätze am ahnlichsten; aber
wir könnten offenbar auch einem dieser Sätze den Sinn
des andern geben. Aber in einem Fall setzen wir den
Gebra⌊u⌋ch eines Wortes fest,
|
| Im einen Fall machen wir den Zug eines bestehenden
Spiels, im andern setzen wir eine Spielregel fest.
Man könnte auch das Ziehen mit einer Spielfigur auf diese
beiden Arten [A|a]uffassen: als Paradigma
für künftige Züge & als Zug des
Spiels. [ & als Zug einer Partie (des
Spiels). ] |
✓ | Es hat aber natürlich
etwas zu bedeuten, daß wir ˇden Zug (dieselbe
Handlung) auf beide Arten meinen können.
(((Es hat) nicht mehr (zu
bedeuten), als was der Fall
❘ = 0 – = x
etc. zeigt. Was soll es denn
andres & mehr bedeuten
ˇkönnen, als was sich in den besonderen Fällen
zeigt. Denn wir müssen uns hier wieder
an die besonderen Fälle halten. Unklarheit
entsteht hier durch den Ausdruck „auf beide Arten
meinen können”.)) [ Denn an die besonderen Fälle müssen wir uns hier
ˇwieder halten & nicht
|
| 11.
∣ (Es ergäbe könnte sich
eine seltsame Analogie daraus ergeben, daß das Okular
|
∫ | In dem
einen Sinn des Satzes könnte ich sehr wohl auf ein grünes
Täfelchen zeigen & sagen „das heißt
‚rot’”, womit ich meine, daß das
grüne Täfelchen (oder die Geste die auf dasselbe
hinweist) als Zeichen für das Wort ‚rot’
gebraucht (eingesetzt) werden darf. | ✓ |
Nun wird man
einwenden: „Aber so eine Erklärung
könnte doch nicht als Erklärung der Bedeutung des
Wortes ‚rot’ gebraucht werden”.
Darauf kann ich nur antworten: „das weiß
ich nicht; man müßte es versuchen & sehen, ob nach
dieser Zeichenerklärung der Andere verständnisvoll
reagiert”. | ✓ |
|
Wie ist es aber, wenn ich für mich selbst eine
Bezeichnungsweise festsetze; wenn ich
|
✓ | Was ich hier
tue ist weiter nichts, als streng die Aussage „das
ist rot” von der Definition zu trennen.
Diese Trennung bereitet uns dieselbe Schwierigkeit, die immer zur Folge h[ä|a]tte, daß man der Definition eine andere Funktion vindizieren wollte als die, ein Zeichen für ein anderes zu setzen. [ die Ersetzung eines Zeichens durch ein anderes zu erlauben. ] |
| Man könnte ˇsich denken,
daß das Hindeuten
|
|
Kann nun aber nicht das grüne Zeichen auf
mehrere Arten statt des Wortes ‚rot’
treten? Einmal als Wort, ein andermal als
Complementär gefärbtes
Zeichen? In dem letzteren Fall liegt natürlich eine
Ähnlichkeit mit dem des Kopierens der Farbe nach einer andern
Projektionsmethode vor (das [F|f]arbige Zeichen ist
ˇjetzt eine Art Muster). [Was
jetzt kommt ist sehr verworren; nicht im Sinn aber in der
Ordnung. Aber es ging nicht besser.] Es ist die Frage: Wenn sich diese Regel ihrem Wesen nach nur auf die Farben (oder Wörter) blau, rot, grün, gelb bezieht, ist sie dann nicht identisch mit der, welche das grüne Zeichen als Wort für ‚rot’ und umgekehrt etc festsetzt? Denn eine
Die ursprüngliche Frage war: Könnten wir ˇnicht zur hinweisenden Erklärung von ‚rot’ ebensowohl auf ein grünes, wie auf ein rotes Täfelchen zeigen? denn, wenn diese Definition nur ein Zeichen statt des andern setzt so sollte dies doch gleichgültig sein
Die Frage war ursprünglich: muß ein rotes Täfelchen ‚rot’ vertreten oder macht dies nur den Übergang für uns leicht (natürlicher), wie es leichter ist, sich in einer Tabelle zurechtzufinden die nach dem gewöhnlichen Schema als in einer die nach einem verwickelteren Schema angeordnet ist. Und es ist klar daß ein grünes Täfelchen das Wort ‚rot’ so gut vertreten kann
|
| Das Wort in
Anführungszeichen ist ein Muster. |
| ∣ Die Schwierigkeit, die
uns das Sprechen über den Gesichtsraum ohne
Subjekt macht & über meine &
seine Zahnschmerzen, ist die, die Sprache einzurenken,
daß sie richtig in den Tatsachen sitzt. ∣ |
Vergiß
nicht: die Abmachung ist vergangen. | ✓ |
✓ |
Es besteht ja die
einfache Tatsache daß wir das Wort ‚rot’
anwenden, wie wir es anwenden & uns dabei nicht immer einen
roten Gegenstand vorstellen; & selbst wenn das geschähe,
so wäre damit die Möglichkeit der Ausführung des
Befehls „stelle Dir etwas Rotes vor” nicht
erklärt. | ✓ |
| »Aber wenn
ich, auf einen roten Gegenstand zeigend, sage „diese Farbe
nennt man ‚rot’”, gebe ich doch gewiß
nicht nur ein Zeichen statt des anderen! Und was
wäre der Nutzen dieser
Ersetzung?![“|«]– Ich gebe
ihm ein Zeichen dessen Gebrauch er kennt, für eines dessen
[g|G]ebrauch er nicht kannte & lehre ihn damit
den Gebrauch des letzteren. ((Die Erklärung
daß ich die die den Gebrauch eines Zeichens
lehre indem ich es durch eins definiere dessen Gebrauch ich kenne
– oder durch eine bestimmte Verbindung solcher
|
? ∫ |
Wenn ich sage „diese
Farbe nennt man ‚sepia’”, so habe ich in
diesem Satz das Wort ‚sepia’ noch nicht
gebraucht. (Auch nicht – wie jemand
|
| Wäre diese Geste nun
|
| „Aber es hat doch gewiß
etwas zu bedeuten, daß ich bei der Erklärung eines Namens
gerade auf dessen Träger zeige”. Zeigen ist
doch wohl etwas, was geometrisch bestimmt ist [ was
durch räumliche Verhältnisse definiert
ist ] .
Wenn ich dem Andern den Befehl gegeben hätte & ihm dabei zugenickt hätte mit den Worten „Du weißt schon was ich meine”, so hatten diese Worte offenbar nur als Erinnerung an die in der Abmachung gegebene Übersetzung des Befehls in die normale Sprache Sinn. Wenn ich jemand der deutsch versteht unter ganz gewöhnlichen Umständen den Befehl gebe „Geh zu Bett” so werde ich ihm nicht zunicken „Du weißt schon was ich meine” & täte ich's er würde nur – vielleicht in erstauntem Ton – me den Wortlaut meines Befehls widerholen & zwar um zwar wird die meine Bemerkung „Du weißt schon etc” ad absurdum zu führen. Denn die richtige Antwort auf diese Bemerkung ist immer die Übersetzung des gegebenen Befehls in eine andere Sprache. Wenn nun eine Replik früher lautete: „dann mußte er eben meine Erklärung anders verstehen” so war das richtig auch wenn der Vorgang ˇbei der Erklärung – auch
|
| Es liegt
in der menschlichen Natur das zeigen mit dem Finger
so zu verstehen [ so
aufzufassen ] . |
∫ | 15.11.
Nun gebe ich aber natürlich zu daß ich, ohne
vorhergehende Abmachung einer Chiffre, ein
Mißverständnis hervorrufen würde wenn ich, auf den
Punkt A zeigend,
|
/ |
Die Worte sind diskontinuierlich; die
Wortsprache eine Abbildung durch diskontinuierliche Zeichen.
Das ist einer der wichtigsten Gesichtspunkte von dem man sie
betrachten muß. Aber Ziffern sind ja auch Worte
& wir haben das Dezimalsystem. |
/ | Wenn wir einen
geometrischen Beweis mit Zirkel & Lineal führen so
bedienen wir uns Sprache eines Symbolismus mit
kontinuierlichen Symbolen. |
✓ |
N Buchstaben als
Namen von Punkten in einer geometrischen Zeichnung.
|
/ |
Vergiß nicht hier auch nicht, daß die
Wortsprache nur eine unter vielen möglichen Sprachen
ist & es
|
[d|D]aß der Träger eines Namens tot ist, ist
eine Tatsache die ˇwir mittels dieses Namens (der also
hier Bedeutung hat) beschreiben. Wie aber,
wenn wir sagen, daß der Träger niemals gelebt hat?10
| ∫ ✓ |
Die
Bedeutung des Namens liegt darin, was wir von ihm mit Sinn (wahr
oder falsch) aussagen können.11 | ✓ |
Ist die hypothetische
Existenz ˇdes Trägers involviert, wenn wir zur
Definition des Namens auf den Träger zeigen & sagen
„das ist N”?12 | ✓ |
Es liegt
[a|A]lles darin, daß ich sagen kann
„Moses existiert
nicht” („hat nicht existiert”), aber
nicht „dieser Mensch (auf den ich zeige) existiert
nicht”.13 | ✓ |
✓ |
Und das führt wieder
dahin[,|:] daß wir sagen können „ich
sehe hier keinen roten Fleck” auch wenn überhaupt keiner
irgendwo zu finden ist (was immer das heißen mag).
Und warum soll dann jemals einer zu finden gewesen
sein? D.h. ich spiele vorläufig mein Spiel mit dem Namen allein, ohne ((Wenn man sagt „N existiert nicht”, so kann das vi verschiedenerlei bedeuten. Es kann heißen daß ein Mann der als er lebte diesen Namen trug nicht oder nicht zu einer gewissen Zeit in einem gewissen Land existiert hat; aber auch daß spätere Geschichteschreiber den Charakter den wir so (Moses) nennen erfunden haben, daß die & die Ereignisse nie stattgefunden haben &
Denn ich habe zur fe Feststellung de[s|r] Regelverzei nach der er handelt zwei Wege angegeben. Der eine, der hypothetische bestand in der Beobachtung seiner Handlungen & die Regel war dann von der [a|A]rt eines Naturwissenschaftlichen Satzes. Der andere war, den Andern zu fragen, nach welcher Regel er vorgehe. Wie aber, wenn der erste Weg kein klares Resultat
Steckt uns da nicht die [a|A]nalogie der Sprache mit dem Spiel ein Licht auf? Wir können uns doch sehr wohl denken daß sich Menschen auf einer Wiese damit unterhielten mit einem Ball zu spielen & zwar so daß sie verschiedene bestehende Spiele ˇder Reihe nach anfingen nicht
| ✓ ✓ ✓ ✓ |
| 16.
Wenn aber der Träger dem Namen abhanden kommen, oder nie
existiert haben, kann, so mußte man beim
Gebrauch des Namens von vornherein damit rechnen.
Das mußte in seiner Bedeutung liegen. ((Es sei
denn, daß wir diese Bedeutung
Für uns ist es genügend daß es eine Frage gibt: „wie meinst Du das?” & daß als Antwort auf diese Frage das
|
/ | Wenn man fragt „in
welchem Verhältnis stehen Namen & Sachen”,
so ist die Antwort: in dem Verhältnis der Hausnummer zum
Haus. |
✓ |
Man könnte das Zeichen
„dieses↗”
„einen Namen’ nennen. Wenn man dann von
einem Träger dieses Namens spricht (dem Gegenstand,
auf den der Pfeil zeigt), so hat hier
|
/ | Ich erzähle
jemand⌊em⌋ von einem Herrn N; er habe mit mir studiert,
|
/ |
Sage ich jemandem „bringe eine
rote Blume” & er bringt eine⌊,⌋ & nun
frage ich „warum hast Du mir eine von dieser Farbe
gebracht”– & er: „das ist
doch rot” [ „diese Farbe nenne ich
‚rot’” ] ,: so
ist dies letzte ein Satz der Grammatik. Er rechtfertigt
eine Anwendung des Worts |
| Fehlt
|
|
Er hätte zweierlei sagen können: 1)
„ich bringe sie, weil sie rot ist (& Du
hast doch eine rote verlangt)”, 2) „ich bringe
sie, denn diese Farbe nenne ich [ nennst Du
doch ] ‚rot’”. –
Sind diese beiden Verteidigungen
gleichwertig? ((Ich hätte einfach
fragen können: heißt es dasselbe: „dieses
Ding ist rot” & „die Farbe dieses Dings
heißt rot”? Zuerst
könnte ich da fragen: auf welche Sprache heißt sie
so? Aber es ist doch gewiß eine eindeutige
Beschreibung wenn ich sage: bring mir eine Blume von der Farbe
die auf Deutsch ‚rot’ heißt. Die
Verteidigung hätte auch
|
Die Wilden haben Spiele
(oder wir nennen es doch so), für die sie keine
geschriebenen Regeln, kein Regelverzeichnis, besitzen.
Denken wir uns nun die Tätigkeit eines
Forschers die Länder dieser Völker zu bereisen
& Regelverzeichnisse für ihre Spiele anzulegen.
Das ist das genaue Analogon zu dem, was der Philosoph tut.
| \ |
? ∫ |
Die
primären Definitionen (oder Definitionen mittels
primärer Zeichen) sind sollen wohl die Regeln der
Anwendung der Zeichen auf die Dinge außerhalb der Welt der
geschriebenen oder gesprochenen Zeichen sein.
Denn es gibt, praktisch gesprochen, offenbar die Welt der
Bücher oder Rede, & anderseits die Welt außerhalb
dieser. Die primäre Regel soll quasi die „Verbindung der Zeichen mit dem Leben” herstellen. ((Dies bezieht sich offenbar nur auf die Welt der Wortsprache nicht auf die ˇder Zeichnungen in ˇden Büchern. Die
| \ |
/ | 17.
∣ Man kann in gewissem Sinn mit philosophischen
Irrtümern nicht vorsichtig genug umgehn, sie enthalten so viel
Wahrheit. ∣ |
✓ |
∣ Es geht nie einfach an zu sagen: Nein,
das ist falsch, heißt das muß aufgegeben werden. ∣ |
/ | Wenn ich sage:
„die Farbe dieses Gegenstands
|
„Wenn ichwir nun auch sagesagen, der Träger
des Namens ist nicht seine Bedeutung, so bestimmt doch der
Träger die Bedeutung, & wenn ich, auf ihn zeigend, sage
[„|‚]das ist
N[”|’] so ist die Bedeutung von
‚N’ bestimmt.”
Aber es bestimmt hier schon das richtige Verstehen des Wortes ‚Träger’ in dem besondern Fall (Farbe, Gestalt, Ton, etc.) die Bedeutung bis auf eine letzte Bestimmung. | \ |
„Aber ich habe ihn
gemeint”. Sonderbarer Vorgang dieses
Meinen! Kann man jemanden meinen auch wenn er in
Amerika & man in Europa ist?
| \ |
Die Bedeutung des Namens ist eine
Stellung im Spiel (ich meine, seine Funktion) im
Spiel. | \ |
„Ich will nicht verlangen,
daß in der erklärenden Tabelle das rote Täfelchen
horizontal gegenüber dem Wort ‚rot’ stehen
soll, aber irgend ein Gesetz des Lesens des der Tabelle
muß es doch geben. Denn sonst verliert ja die Tabelle
ihren Sinn”. Ist es aber gesetzlos, wenn die
Tabelle so aufgefaßt wird
wie die Pfeile
andeuten. „Aber muß dann nicht eben das Schema
vorher
gegeben werden?”
Nu[n|r] sofern auch das Schema
früher
| \ |
/ | Wird
das aber dann nicht wenigstens eine gewisse
Regelmäßigkeit im Gebrauch gefordert! Würde
es angehen, wenn wir einmal eine Tabelle nach diesem, einmal
nach jenem Schema zu gebrauchen hätten? Wie
soll man denn wissen, wie man diese Tabelle zu gebrauchen
hat?!– Ja, wie weiß man es
denn heute? Die Zeichenerklärungen
haben doch irgend einmal [ irgendwo ] ein
Ende. |
/ |
Es gibt eine Betrachtungsweise der elektrischen
Apparate & Maschinen (Dynamos, Radiostationen, etc.,
etc.), die sozusagen ohne vorgefaßtes
Verständnis diese Gegenstände als eine Verteilung
von Kupfer, Eisen, Gummi, Seide etc im
Raum ansieht. Und diese Betrachtungsweise
könnte zu manchem interessanten Resultat führen.
Sie ist ganz
|
✓ | Ist es denn wahr,
daß ich außer dem Satz „dieses Ding ist rot”
auf jedenfall eine Regel von der
Form „diese Farbe heißt „rot’”
habe? – Aber hat nicht die
|
Das was mir
auffällt ist, daß die Regel für das Wort
‚rot’, unbedingt mit einem roten
Täfelchen sollte gegeben werden müssen.
((Siehe was früher über die verschiedenen
Arten gesagt wurde, wie ein färbiges Täfelchen
Farbmuster sein kann.)) | ✓ |
Ist es ein
Widerspruch: „dieses Ding ist
grün & seine Farbe heißt
‚rot’? – Nicht unbedingt, –
man kann ja auch sagen „dieses Ding ist grün &
seine Farbe heißt ‚Meerfarbe’” oder
„dieses Ding ist grün & seine Farbe heißt
‚vert’”. | ✓ |
Der Satz „seine
Farbe heißt ‚rot’” bezieht sich aber auf
eine Tabelle. In dieser Tabelle steht also das
Täfelchen von dieser Farbe gegenüber dem Wort
‚rot’. | ✓ |
Warum soll aber ein Zeichen für rot
rot sein? – Oder ist das Täfelchen in der
Tabelle dem Wort ‚rot’ gegenüber kein
Zeichen? ((Muster &
Wort)) | ✓ |
? | „Es ist kein
Zeichen, es ist der Gegenstand selbst, – der den Namen
erhält.– Man
Man ernennt ‚rot’ zum Namen der Farbe, wie man einen Menschen zum Stellvertreter eines andern ernennt.” Aber ist diese Namengebung nicht wieder der Deutung – der Anwendung – unterworfen? Ist die Namengebung etwas anderes als das Anhängen eines Namenschildes. Und der Zweck ist doch der, einen Übergang von (den) Operationen mit dem Namen zu Operationen mit dem Träger des Namens (Schildchens) zu machen. Aber die Träger der Namen, wenn auch nicht (selbst) Schrift- oder Lautzeichen sind doch, für unsern Standpunkt, von ihnen nicht wesentlich verschieden. Denn der Zweck & Nutzen der Operationen geht uns nichts an & auch nicht, ob wir mit Körpern oder Buchstaben operieren. |
? |
Denn nun könnte ich ja sagen:
In jeder Definition wird einem Ding ein Name gegeben
& zwar wird eben einem Zeichen ein Name umgehangen.
Und wenn ich schreibe 1 + 1 ≝ 2 oder in der Tabelle
‚2’ dem ‚1 + 1’
gegenüberstelle, wie oben ‚rot’ dem
färbigen Tafelchen, so könnte ich
alle Fragen die ich über diese
Gegenüberstellung aufwarf auch über
bezüglich jener stellen. |
/ |
Durch Russell, aber besonders durch
Whitehead, ist in die
Philosophie |
Ist das Zeigen mit dem Finger unserer
Sprache wesentlich? Es ist gewiß ein merkwürdiger
Zug unserer Sprache, daß wir
(ihre) Wörter hinweisend
erklären: das ist ein Baum, das ist ein Pferd, das
ist grün, etc.. ((Überall
| \ |
Verhält es sich hier nicht
wieder, wie mit Papiergeld &
Waaren? Ich kann
Geld kaufen und verkaufen, &
Waaren kaufen &
verkaufen, etc.. Und solange nur von
kaufen & verkaufen die Rede ist, unterscheide[t|n]
sich Geld und Waaren
nicht. N[ü|u]r in ihrer
Nützlichkeit unterscheiden sie sich. Und so
könnte ich gesprochene & geschriebene Zeichen
‚Geld’ nennen, & die Träger der Namen
‚Waaren’.
(Auch dieses Gleichnis ist wieder mehr als ein
Gleichnis.) | \ |
Ich möchte sagen: Daß
das Hinweisen | ✓ |
/ | „Das Stück
Kuchen war für Dich gemeint”, wie äußert sich
das, was ist die Verification
dieses Satzes? So werden wir erfahren, was sein Sinn
ist. |
✓ |
Denken wir an die Tafel der Farbmuster einer
Farbenhandlung. Hier haben wir unsre Tabelle der
|
✓ |
Eine Sprache ist, was sie ist, &
eine andere Sprache ist nicht diese
Sprache. Ich gebrauche also die Nummern des
Musterkatalogs anders, als die Wörter
„rot” „blau”
etc.. |
✓ |
„Kommt das aber nicht nur daher,
daß ich die Erklärungen der einen im Kopfe habe,
die anderen nicht? Denn ein Angestellter der Weberei
könnte auch den ganzen Musterkatalog im Kopf haben &
wurde dann dessen Nummern so gebrauchen, wie
wir die Namen der einfachen Farben”. ((Das
kommt darauf an, was man mit den Worten „die Tabelle
|
Was es also
mit den primären & sekundären Zeichen auf sich
hat, mußen wir ganz an dem
Musterkatalog & seiner Verwendung sehen
können, denn offenbar sind die Muster, was man primäre
Zeichen nennt [ nennen möchte ] &
die Nummern die sekundären. | \ |
Denken wir an das laute
Lesen nach der Schrift (oder das Schreiben nach dem
Gehör). Wir könnten uns natürlich eine
Art Tabelle denken (etwa Grammophonplatten mit den Buchstaben
als Aufschriften), nach der wir uns dabei richten
könnten. Aber wir richten uns nach keiner.
Kein Akt des Gedächtnisses, nichts vermittelt zwischen dem
geschriebenen Zeichen & dem Laut. | \ |
18.
Es handelt sich doch darum, daß der Schritt des
Kalküls durch keine Vorbereitung ersetzt werden kann,
sondern immer
Das heißt ich muß den ˇSchritt vom Buchstaben
| \ |
/ | Ich mache
nach den Zeilen der Tabelle (oder nach den Strichen des
Gleichheitszeichens) den Sprung, den ich auch ohne die Hilfen
hätte machen können. ((Die Tabelle
ist daher allerdings sinnlos, wenn sie mir nicht hilft; wenn sie also
so angeordnet ist daß ich sie nicht verstehen kann (mich in ihr
nicht auskenne). Ob ich mich sie aber in ihr
auskennen kann, verstehen kann, d.h.
verstehe, ist etwas … oder ◇◇◇
d.h. auskenne, ist etwas, was sich kann nur
die Erfahrung entscheiden nur durch die Erfahrung
entscheiden läßt. D.h.:
welches Schema uns den Sprung
ˇtatsächlich erleichtert, ist Sache der
Erfahrung.)) |
| Das
definiendum ist der Name des
definiens. ((Das ist nicht
wahr. Denn das definiendum
vertritt das definiens
d.h. es wird an dessen Stelle
eingesetzt. Kann man aber sagen daß Namen an der Stelle
ihrer Träger stehen & die Träger dann wieder
für sie eingesetzt werden? Nun, ein Name
kann so gebraucht werden; [W|w]enn etwa die Sitzordnung
ˇeines Diners durch Tischkarten angegeben ist. Und
anderseits kann ich d[en|as]
definierten Zeichen als Name des
In einem Sinn sind also die Namen stellvertretend, & die Definitionen setzen doch Stellvertreter für Zeichen [ einen Stellvertreter für ein Zeichen ] ein. – Wenn es nun heißt: gib dem Weber das Muster 5 um es zu kopieren (& das ist doch der typische Gebrauch der Nummer & der Übergang von der Nummer zum Muster) so kann die Nummer hier gewiß als Name des Musters aufgefaßt werden & sie funktioniert jedenfalls genau so (oder kann so funktionieren) wie die Hausnummer wenn ich jemandem den Befehl gebe auf № 5 zu gehen. – Ist hier nicht die Quelle
|
| Wenn man
in mathematischen Ausdrücken oder Gleichungen
am Rande der Seite eine Nummer gibt um sich auf sie kurz
beziehen zu können, so gibt man damit gewiß dem Ausdruck
einen Namen⌊;⌋ aber ist das wirklich eine
Definition? Wenn ja, müßte man die Definition
dann nicht so schreiben daß das Definierende in
Anführungszeichen steht? Sind die Buchstaben ◇◇◇ im Satz „a a c c c b d d”, der die Beschreibung des Linienzuges
Ich will natürlich sagen daß der Übergang vom [D|d]efinierten zum definierenden Zeichen einfach geschieht indem man das definierende an die Stelle im Satzzusammenhang stellt wo das definierte ges stand, daß aber das nicht der Übergang vom Satz in dem der Name steht zu dem ist was wir auf diesen Satz hin mit dem Träger des Namens tun. – Kann man aber sagen daß die Definition ˇdoch eine sehr spezielle Art der Namengebung ist? Da müßte man zuerst wissen, wem dieser Name gegeben wird. Doch nicht dem physikalischen Objekt des Zeichens. Denn zwei Gleichlautende Tabellen gelten
Wäre nicht ein Fall dieser Stellvertretung auch der, wenn wir eine Schachpartie etwa auf dem Brett begönnen sie denn mit Schriftzeichen fortsetzten & ihre letzten Züge dann wieder auf dem Brett ausführten. – Und ist der Vertreter einer Figur hier was wir den Namen der Figur in der Zeichensprache nennen könnten? Das worauf ich hinaus will ist, klar zu sehen was die Ähnlichkeit Analogie & Verschiedenheit zwischen dem Übergang vom definierten stellvertretenden zum definierenden vertretenen Zeichen & dem Übergang vom Befehl von der Überlegung zur Ausführung ist. [ Worauf ich hinaus will, ist die Analogie & Verschiedenheit zwischen … klar zu sehen Der Linienzug der nach a a b b b c gemacht wurde kann sehr wohl auch nur ein Zeichen sein & die Ausführung des Befehls in einer andern Bewegung bestehn die erst wieder von Die Definition & die Namengebung ordnet einer Sache ein Zeichen bei (im ersten Falle einem Zeichen ein Zeichen). – Aber ein Name wird dem Ding gegeben, daß ich von ihm sprechen kann. – Das klingt, als wäre der Name wie ein Fernglas & der vorige Satz analog dem Satz: ein Fernglas wird mir gegeben, daß ich ihn sehen kann. Aber das „von ihm reden” besteht nur darin, daß zuerst gesagt wurde „er↗ heißt ‚N’” & dann der Name ‚N’ in der Sprache gebraucht wird, & beim Übergang von der Sprache zu Handlungen, etc..– Immerhin ist von N reden verschieden von einer Operation, die ich mit N vornehme. Ja, auch verschieden davon, mit einem Gegenstand zu operieren, den N vertritt, für den aber N auch N gebraucht [ gesetzt ] werden könnte. – Wenn ich nun aber z.B. sehen möchte, an welcher Stelle de[r|s] Wand Zimmers ein Tisch am vorteilhaftesten stehen würde & ich verschiebe zu diesem Zweck eine etwa gleich große Kiste: kann ich nicht sagen:, ich rede hier von dem |
| Ich kann gewiß
auch das sagen, daß ich mich beim Einsetzen
Ist es denn also nicht einfach so: das Gleichheitszeichen zwischen zwei Ausdrücken bedeutet, daß die beiden die gleiche Bedeutung haben, d.h. daß die gleichen grammatischen Regeln von ihnen gelten. Aber dies kann man doch vom Namen & Benannten nicht sagen. Auch nicht, wenn beide Zeichen sind. Es ist ja auch die Relation der Bedeutungsgleichheit Wenn ich einem Ding einen Namen gebe, so gebrauche ich damit das Ding nicht als ein Zeichen. – Es gibt wohl Fälle, wo die Ausführung des Befehls, darin besteht, daß sich die Träger an Stelle der Namen setzen treten (in Fällen ähnlich dem der Sitzordnung); aber in einem Fall wird A für B eingesetzt, weil die beiden Zeichen gleicher Bedeutung sind, in anderen, weil das eine der Name des andern ist, & ˇin diesem bestimmten Fall das der Übergang vom Satz zur Handlung ist. – Der Wesensunterschied zeigt sich in der Intransitivität der Namengebung. Denken wir uns eine Sprache in der eine Raute ◊ das bedeutet, was in der unsern „Quadrat”; & daß in jener Sprache ein Quadrat □ das Zeichen statt unseres Wortes „Rechteck” ist. Es handelt sich hier nicht um eine Projection die von der Raute durch das Quadrat zum Rechteck führt. Sondern der Prozess der Namengebung endet
Wenn ich also einen Namen hinweisend definiere & einen zweiten durch
|
| 22.
Wie wirkt nun die hinweisende Erklärung? Sie
lehrt den Gebrauch eines Zeichens; & das Merkwürdige ist
nur, daß sie ihn auch für die Fälle zu lehren scheint, in
denen ein Zurückgehen auf das hinweisende Zeichen nicht
möglich ist. Aber geschieht das nicht ◇◇◇,
indem wir, quasi, die in der hinweisenden Definition gelernten Regeln
in bestimmter Weise transformieren? (Wenn
z.B. der Mann, der mir vorgestellt wurde,
abwesend
|
/ | Behandle die deutlichen
Fälle in der Philosophie, nicht die undeutlichen.
Diese werden sich lösen, wenn jene gelöst sind.
Die Tendenz mit der Untersuchung eines Satzes da anzufangen, wo seine Anwendung ganz nebelhaft & unsicher ist
|
/ | Es klingt wie
eine lächerliche Selbstverständlichkeit wenn ich sage,
daß der, welcher glaubt, die
|
/ | Du
sagst, das Hinweisen auf einen roten Gegenstand ist das primäre
Zeichen für ‚rot’. Aber das
Hinweisen auf einen roten Gegenstand ist nicht mehr, als die
bestimmte Handbewegung gegen einen roten Gegenstand, &
ist vorläufig gar kein Zeichen. Wenn Du sagst, Du
|
/ | ∣
(Tolstoy: die
Bedeutung (Bedeutsamkeit) eines Gegenstandes, liegt
in seiner allgemeinen Verständlichkeit. Das ist
wahr & falsch. Das, was den Gegenstand
|
‚Primär’ müßte
eigentlich heißen: unmißverstehlich. | \ |
(Es gibt
keine Logik für den luftleeren Raum. Insofern es keine
Hypothese in der Logik gibt.) | \ |
Der Zweck des guten
Ausdrucks & des guten Gleichnisses ist, daß es die
augenblickliche Übersicht erlaubt. | ✓ |
| Das Z Wesentliche
ist nicht, daß das Zeichen für ‚schwarz’
schwarz ist, oder nur dort wo es nicht wie dieses Wort als
Zeichen gebraucht wird. Wird es aber als Vorlage (zum
Nachmalen) gebraucht, dann ist es Unsinn zu sagen, es stehe nur
für ‚schwarz’, wenn es schwarz sei.
Denn in dem |
✓ | (Wer heute Philosophie
lehrt, gibt dem Andern Speisen, [ … lehrt, ist wie
ein Einer, Mensch, der dem Andern nicht Speisen gibt, ]
nicht, weil sie ihm schmecken, sondern, um seinen Geschmack zu
ändern.) |
✓ |
[Über die Einfachheit der
Differentialrechnung.] |
✓ |
Wenn eine rote Blume da war; wozu brauchte
er das rote
Und das heißt: es ist ein anderes Spiel, mit einem Täfelchen herumgehen, es an die Gegenstände anzulegen & so die Farbengleichheit zu prüfen, & anderseits: ohne ein solches Muster nach Wörtern in einer Wortsprache handeln. Man denkt nun: Ja, das erste Spiel verstehe ich; das ist ja ganz einfach: Der erste Schritt ist der von einem geschriebenen Wort auf das gleiche geschriebene Wort des Musters; der zweite ist der Übergang von dem Wort auf dem Mustertäfelchen zu der Farbe auf dem gleichen Täfelchen; & der dritte, das Vergleichen von Farben. Jeden Schritt dieses Kalküls gehen wir also auf einer Brücke. (Wir sind geführt, der Schritt ist vorgezeichnet.) Aber wir sind doch hier nur insofern geführt, als wir uns führen lassen. Auf diese Weise kann ich alles, & muß ich nichts eine Führung nennen. – Und am Schluß tu ich, was ich tue & das ist Alles. Aber ein Unterschied bleibt doch: Wenn ich gefragt werde „warum
|
/ |
(Ein Grund läßt sich nur
innerhalb eines Spiels angeben.) |
/ | Die Kette der Gründe
kommt zu einem Ende & zwar dem Ende in diesem Spiel [ & zwar dem Ende des Spiels ] [ & zwar (an) der Grenze
des Spiels* ] |
✓ | (Ich
soll nur der Spiegel sein, in welchem mein Leser sein
eigenes Denken mit allen seinen Unförmigkeiten sieht
& mit diese[m|r] Hilfe zurechtrichten
kann.) |
✓ |
Die einzig würdevolle Aufgabe der
Philosophie ist: den alten Götzen
(der) Philosophie zu
zerstören. D.h., ihre einzige
Verbindung mit Göttern.) |
✓ | Die Philosophie nimmt ihre
ganze Emphase von den Sätzen her, die sie
zerstört. [ von der Auffassung her, die sie
zerstört. ] |
Man kann
sagen: die Regeln des Spiels sind die, die gelehrt werden, wenn
das Spiel gelehrt|wird. – Nun wird z.B. dem Menschen
der lesen lernt tatsächlich gelehrt:
das ist ein a, das ein e etc.; also,
könnte man sagen, gehören diese Regeln, gehört diese
Tabelle, mit zum Spiel. – Aber
erstens: lehrt man denn auch den Gebrauch dieser Tabelle?
& könnte man ihn, anderseits, nicht
lehren? Und, zweitens kann doch das Spiel
wirklich auf zwei verschiedene Arten gespielt
werden. Man kann nun fragen: ist es denn aber auch noch ein Spiel, wenn einer die Buchstaben a b b c sieht & irgend etwas macht? Und wo hört das Spiel auf, & wo fängt es an? Eine Regel kann ich nicht anders geben als durch ihren Ausdruck; denn auch Beispiele, wenn sie Beispiele sein sollen, sind ein Ausdruck für die Regel, wie jeder andre. Wenn ich also sage: Spiel nenne Wenn ich also sage: Spiel es nur, wenn es einer Regel gemäß geschieht & die Regel ist eine Tabelle, so kann ich nicht die Verwendungsart [ die Art des Gebrauches ]
Ich könnte auch sagen: Was ist das Schachspiel andres (oder was ist vom Schachspiel andres vorhanden) als Regelverzeichnisse (gesprochen, geschrieben, etc.) & die Beschreibung einer Anzahl von Schachpartien? Es steht mir (danach) natürlich frei, ‚Spielregel’ nur ein Ding von bestimmt festgelegter äußeren Erscheinung zu nennen. Und ich kann von primären & sekundären Zeichen sprechen – in einem bestimmten Spiel, einer bestimmten Sprache. – Im Katalog Musterkatalog kann ich diese Muster die primären Zeichen & die Nummern die sekundären nennen. Was soll man aber in einem Fall, wie dem, der gesprochenen & geschriebenen Buchstaben sagen? Welches sind hier die primären, welches sind die sekundären Zeichen? Die Idee ist doch die: Sekundäre ist ein Zeichen dann, wenn, um mich danach zu richten, ich eine Tabelle brauche, die es mit einem anderen (primären) Zeichen verbindet über welches ich mich erst nach dem sekundären | \ |
Aber ich richte mich ja nun doch nach dem sekundären Zeichen, wenn auch über die Tabelle. So braucht es also nur einen kleinen Trick um die sekundären Zeichen bedeutsam zu machen. Den Übergang mit Hilfe der Tabelle kann ich so darstellen: | ✓ |
Da14
aber zeigt sich, daß ich ja den Übergang von 1 auf 0 in der
Tabelle mache wie ich ihn ohne Tabelle gemacht hätte;
& die Tabelle guarantiert mir die Gleichheit aller
Übergänge nicht, denn sie zwingt mich ja nicht sie immer
gleich zu gebrauchen. Sie ist da, wie ein
Feld, durch das Wege führen, aber ich kann ja auch querfeldein
gehen. Ich mache den Übergang in der Tabelle bei jeder Anwendung Und also richte ich mich doch unmittelbar﹖ nach dem sekundären Zeichen, wenn ich in der Tabelle von diesem sekundären Zeichen gerade dorthin gehe. | \ |
∫ ✓ |
Nun
könnte man freilich die Tabelle durch die ersten
Anwendungen der sekundären Zeichen ersetzen
& man hätte sich in Zukunft nach dieser ersten
Anwendung zu richten. Und das geschieht bis zu einem
gewissen Maße, denn wir erinnern uns vielleicht daran den
Buchstaben a so immer so gelesen
zu haben. |
X |
Welcher Art ist denn meine Aussage
über die Tabelle: „daß sie mich
nicht zwingt, sie so & so zu gebrauchen?
Und: daß die Anwendung durch die Regel (oder
Tabelle) nicht antizipiert wird? |
X | Woher nimmt die Betrachtung
ihre Wichtigkeit, da|sie doch nur alles
Interessante, d.h. alles [g|G]roße
& [w|W]ichtige, zu zerstören scheint?
(Gleichsam alle Bauwerke, indem sie nur Steinbrocken &
Schutt übrig läßt.) |
Woher nimmt die Betrachtung ihre
Wichtigkeit
| \ |
Der Irrtum über die
primären Zeichen gehört zu denen, die die Philosophie wie
eine Art Physik behandeln; indem sie einfachen Gesetzen
nachspüren (wollen).
Gesetzen im Sinne der Newtonschen Bewegungsgesetzen. | ✓ |
/ | „Verifying by
inspection” ist ein gänzlich irreführender
Ausdruck. Er sagt nämlich, daß zuerst ein
Vorgang, die Inspektion, geschieht, & die wäre mit
dem Schauen durch ein Mikroskop vergleichbar, oder mit dem Vorgang des
Umwendens des Kopfes um etwas zu sehen. Und
daß dann das Sehen notwendig erfolge [ erfolgen müsse ] . Man
könnte von „sehen durch umwenden” oder
„sehen durch schauen” reden.
|
/ | Die Sprache hat
für Alle die gleichen Fallen bereit; das ungeheure Netz
schon angelegter gut erhaltener [ gangbarer ] Irrwege. Und so sehen
wir also Einen nach dem Andern die gleichen Wege gehn & wissen
schon, wo er jetzt abbiegen wird, wo er geradaus
fortgehen wird, ohne die Abzweigung zu bemerken, etc.,
etc.. Ich sollte also an allen den Stellen
wo falsche Wege abzweigen Tafeln aufstellen, die über die
gefährlichen Punkte hinweghelfen. |
/ |
Was
Edington über
‚die Richtung der Zeit’ & den
Enthropiesatz sagt, läuft darauf hinaus, daß die
Zeit ihre Richtung umkehren würde, wenn die Menschen eines Tages
anfingen rückwärts zu gehen. Wenn man will, kann
man das freilich so nennen; man muß dann nur darüber
klar sein, daß man damit nichts anderes sagt als, daß die
Menschen ihre Gehrichtung geändert haben. |
/ | Untersuchen wir
|
Finden wir irgendwo keine
Regeln, nun so ist das das Resultat [ Ergebnis ] . | \ |
Einer teilt die
Menschen ein in Käufer & Verkäufer, &
vergißt, daß Käufer auch Verkäufer sind.
Wenn ich ihn daran erinnere [ darauf aufmerksam
mache ] , wird seine Grammatik
geändert?? | ✓ |
Wenn ich sagte „ich sah einen
Sessel”, so widerspricht dem (in einem
Sinne) nicht der Satz „es war keiner da”.
Denn den ersten Satz würde ich auch in der Beschreibung eines
Traums ◇◇◇ Traums verwenden &
niemand würde mir dann mit den Worten des zweiten
widersprechen. Aber die Beschreibung des Traums mit
jenen Worten wirft ein Licht auf den Sinn der Worte
„ich sah”.
In dem Satz „es war ja keiner da” kann das „da” übrigens verschiedene Bedeutung haben. | \ |
(Die meisten Menschen, wenn sie
eine philosophische Untersuchung anstellen sollen, machen es wie
Einer, der äußerst nervös einen Gegenstand in einer Lade
sucht. Er wirft Papiere aus der Lade heraus – das
Gesuchte mag darunter sein – | \ |
/ |
Die philosophisch wichtigsten Aspekte
der Dinge [ der Sprache ] sind durch ihre
Einfachheit & Alltäglichkeit verborgen.
(Man kann es nicht bemerken, weil man es immer (offen) vor Augen hat.) |
✓ |
(Das
eigentliche Verdienst eines
Kopernicus oder Darwin
war nicht die Entdeckung einer wahren Theorie, sondern
eines fruchtbaren neuen Aspekts.) |
/ | 23.
Das philosophische Problem ist ein Bewußtsein der Unordnung in
unsern Begriffen, & durch ordnen derselben zu
heben. |
✓ |
Also war es eine philosophische Frage die A.E.
an ihren Bruder stellte:
„Was ist eigentlich ein ‚Drittel’?
– ein Apfel hat doch vier Teile!”
– Sie konnte sich im Augen
|
Es hat Einer gehört, daß der
Anker eines Schiffes durch eine Dampfmaschine aufgezogen
werde. Er denkt
Die andere Beunruhigung & Unklarheit wird durch die Worte „hier stimmt mir etwas nicht” gekennzeichnet & die Lösung du⌊r⌋ch (die Worte) „Ach so, Du meinst nicht Dampfmas nicht die Dampfmaschine” oder – für einen andern Fall – „… Du meinst mit Dampfmaschine nicht nur ◇◇◇ Kolbenmaschinen”. | \ |
/ | ⌊Die⌋ Arbeit des
Philosophen ist ein Zusammentragen von Erinnerungen zu einem
bestimmten Zweck. |
/ |
Eine philosophische Frage ist ähnlich
der, nach der Verfassung einer bestimmten Gesellschaft. –
Und es wäre etwa so, als ob eine Gesellschaft ohne klar
geschriebene Regeln zusammenkäme, aber mit einem Bedürfnis
nach solchen; ja, auch mit einem Instinkt durch welchen sie gewisse
Regeln in ihren Zusammenkünften beobachten [ einhalten ] ; nur, daß dies dadurch erschwert wird,
daß nichts hierüber klar ausgesprochen ist &
keine Einrichtung getroffen, die die Regeln deutlich macht [ klar hervortreten läßt ] . So
betrachten sie tatsächlich [e|E]inen von ihnen als
den Präsidenten, aber er sitzt nicht oben
|
„Etwas habe ich aber doch
gemeint, als ich das sagte!” Gut, – aber
wie können wir, was es ist, herausbringen? doch wohl nur
dadurch daß er es uns sagt. Wenn wir nicht sein
übriges Verhalten zum Kriterium nehmen sollen, dann also das, was
er uns erklärt. | \ |
\ | 24.
Wenn man die Philosophie fragt: „was
ist – z.B –
Substanz?” so wird um eine Regel gebeten.
Eine allgemeine Regel, die für das Wort
„Substanz” gilt,
d.h.: nach welcher ich zu spielen
entschlossen bin. – Ich will sagen: die
Frage „was ist …” bezieht sich nicht auf
einen besonderen – praktischen – Fall, sondern wir fragen
sie von unserm Schreibtisch aus. Erinnere Dich nur an den
Fall des Gesetzes der Identität um zu sehen, daß es sich
bei der Erledigung einer philosophischen Schwierigkeit nicht um
das Aussprechen neuer Wahrheiten über den
Die Schwierigkeit besteht nur darin, zu verstehen, was uns die Festsetzung einer Regel hilft. Warum ◇◇◇ ˇdie uns beruhigt nachdem wir so schwer beunruhigt waren. Was uns beruhigt ist offenbar daß wir ein System sehen, das diejenigen Gebilde ˇsystematisch ausschließt die uns immer beunruhigt haben, mit denen wir nichts anzufangen wußten & die wir doch respektieren zu müssen glaubten. Ist die Festsetzung einer solchen grammatischen Regel in dieser Beziehung nicht wie die Entdeckung einer Erklärung in der Physik? z.B., des Kopernikanischen Systems? Eine Ähnlichkeit ist vorhanden. – Das Seltsame an der philosophischen Beunruhigung & ihrer Lösung möchte scheinen, daß sie ist wie die Qual des Asketen der eine ˇschwere Kugel unter Stöhnen stemmend dastand & den dadurch ein Mann erlöste ◇◇◇ jemand indem er ihm sagte: „laß sie fallen”. Man fragt sich: wenn Dich diese Sätze beunruhigen, Du nichts mit ihnen anzufangen wußtest warum ließest Du sie nicht schon früher fallen, was hat Dich daran gehindert? Nun, ich glaube es war das falsche System dem er sich zu [zu|an]bequemen ˇzu müssen glaubte; etc. |
»Ich sagte einmal, es gäbe keine extensionale
Unendlichkeit. Ramsey sagte darauf: „Kann man sich
nicht vorstellen, daß ein Mensch ewig lebt,
d.h. einfach, nie stirbt, & ist das
nicht extensionale Unendlichkeit?” – Ich
kann mir doch gewiß denken daß ein Rad sich dreht &
nie stehen bleibt.« Welches seltsame
Argument: „ich kann es mir denken”!
Überlegen wir (uns) welche
Erfahrung wir als Bestätigung oder Beweis dafür
betrachten würden daß das Rad nie
| \ |
»Angenommen
wir wanderten auf einer Geraden in den
euklidischen
Raum hinaus & begegneten alle 10 m eine
eisernen Kugel
ad inf.« Wieder:
Welcherlei Erfahrung würde ich als
[b|B]estä-
| \ |
? / |
»Die
bloss negative Beschreibung des
Nicht-aufhörens kann keine
positive Unendlichkeit liefern.« Bei dem Ausdruck
„positive Unendlichkeit” dachte ich
natürlich an eine zählbare ( = endliche)
Menge von Dingen (Stühle in diesem Zimmer) &
wollte sagen, das Vorhandensein |
»Angenommen, mein
Gesichtsbild wären zwei gleichgroße rote Kreise auf blauem
[g|G]rund: was ist hier in zweifacher Zahl vorhanden
& was einmal? (Und was bedeutet diese Frage
überhaupt?) – Man könnte sagen:
wir haben hier eine Farbe aber zwei
Örtlichkeiten. Es wurde aber auch gesagt, rot
& kreisförmig seien Eigenschaften von zwei
Gegenständen die man Flecke nennen könnte & die in
gewissen räumlichen Beziehungen zu einander stehen.« Die
Erklärung „es sind hier zwei Gegenstände
– Flecke – die …” klingt wie eine
Erklärung der Physik. Wie wenn [e|E]iner
fragt „was sind das für rote Kreise die ich dort
sehe” & ich antworte „das sind
zwei rote Laternen”,
etc”. Eine
Erklärung wird aber hier nicht gefordert (unsere
Unbefriedigung durch eine Erklärung lösen zu wollen ist der
Fehler der Metaphysik). Was uns beunruhigt, ist die
Unklarheit über die Grammatik
| \ |
| 25.
Wir können
|
| Der
Gesichtsraum ist ein gerichteter Raum in dem es ein Oben &
Unten, Rechts & Links, gibt. Und diese
Bestimmungen haben nichts mit der Schwerkraft oder der
rechten & linken Hand zu tun. Sie würden auch
dann ihren Sinn beibehalten, wenn wir unser ganzes Leben lang durch
ein Teleskop zu den Sternen sähen. – Dann
wäre unser Gesichtsfeld
Dieser Sachverhalt ist nicht vielleicht dadurch wegerklärt, daß man sagt: die Retina hat eben ein Oben, Unten, etc, & so ist es leicht verständlich daß es das analoge im Gesichtsraumfeld gibt. Vielmehr ist eben das nur eine Darstellung des Sachverhalts auf dem Umweg über die Verhältnisse in der Retina. |
| Man könnte
meinen: es verhält sich im Gesichtsfeld immer so, als
sähen wir mit allem Übrigen ein gerichtetes
Koordinatenkreuz, wonach wir alle Richtungen fixieren
können. – Aber auch das ist keine richtige
Darstellung; denn sähen wir wirklich ein solches Kreuz (etwa
mit Pfeilen) so wären wir im Stande,
nicht nur die relativen Richtungen der Objekte dagegen zu
fixieren, sondern auch die Lage des Kreuzes selbst im
Raum⌊,⌋ anzugeben & zu sagen ob es stille
steht, oder sich dreht gleichsam gegen ein ungesehenes im
Wesen dieses Raumes enthaltenes Koordinatensystem. |
| Ich kann
Die Wörter „oben”, „unten”, „rechts”, „lin[g|k]s” haben andere Bedeutung jenachdem sie im Gesichtsraum, oder, ˇandere im Gefühlsraum⌊.⌋ angewandt werden. Aber auch das Wort Gefühlsraum ist mehrdeutig. (Definitionen der Wörter „oben”, „unten” etc durch die Spitze des Buchstaben „V” des Zeichens „kleiner” & „größer” einerseits, & durch anderseits ˇdurch Kopf- & Fußschmerzen; anderseits oder durch Gleichgewichtsgefühle.) |
| „Ist ein Feld eines Schachbretts
einfacher als das ganze Schachbrett?” Das
kommt darauf an wie Du das Wort „einfacher”
gebrauchst. Meinst Du damit „aus einer
ge kleineren Anzahl von Teilen
bestehend”, so sage ich: „Wenn
diese Teile etwa die Atome des Schachbretts sind so ist also das
Feld einfacher als das Schachbrett, – wenn Du aber
Aber können wir nicht sagen: einfach ist was sich nicht teilen läßt? – Wie teilen läßt? Mit dem Messer? Und mit welchem Messer? Beschreibe mir erst die Methode der Teilung die Du erfolglos anwendest, dann werde ich wissen was Du „unteilbar” nennst. Aber vielleicht willst Du sagen: ‚unteilbar’ nenne ich nicht das, was man erfolglos zu teilen versucht, sondern das wovon es sinnlos (unerlaubt) ist zu sagen es bestehe aus Teilen. – Dann ist ‚unteilbar’ eine grammatische Bestimmung. Eine Bestimmung also die Du selbst machen kannst & durch welche Du die Bedeutung, den Gebrauch andrer Wörter festsetzt. Wenn ich etwa sage: ein einfärbiger Fleck ist unteilbar (einfach), denn, wenn ich ihn ˇ– z.B. – durch einen Strich teile, so ist er nicht mehr einfärbig – so setze ich damit fest in welcher Bedeutung ich das Wort „teilen” gebrauchen will. Wenn nun gefragt wird: „besteht das Gesichtsbild aus minima visibilia”, so fragen wir zurück: Wie verwendest Du das Wort „aus … bestehen”? Wenn in dem Sinn in welchem ein Schachbrett aus schwarzen & weißen Feldern besteht – nein! – Denn Du
|
| Wenn wir in der Geometrie sagen, das
regelmäßige Sechseck bestehe aus 6 gleichseitigen
Dreiecken so heißt das, daß es Sinn hat von einem
regelmäßigen Sechseck zu reden das aus 6 gleichseitigen
Dreiecken besteht. Wenn daraufhin gefragt würde
„ist also das regelm Sechseck
einfach oder zusammengesetzt”, so müßte ich
antworten: Bestimme Du selbst wie Du die Wörter
„einfach” &
„zusammengesetzt” gebrauchen willst.
|
| „Ist Distanz in der
Struktur des Gesichtsraums schon enthalten, oder scheint es uns
nur so, weil wir gewisse Erscheinungen des Gesichtsbildes mit
gewissen Erfahrungen des Tastsinnes assoziieren welche
letztere erst Distanzen betreffen?” Woher nehmen
wir diese Vermutung? Wir scheinen dergleichen
irgendwo angetroffen zu haben. Denken wir nicht an
folgenden Fall: [D|d]iese Melodie mißfiele mir
nicht wenn ich sie nicht unter |
| Zu sagen, der Punkt B ist
nicht zwischen A & C (die Strecke a nicht
kürzer als b)
Wenn Du sagst der Punkt B erscheint Dir nur zwischen A & C zu liegen so antworte ich: das ist es ja was ich sage, nur gebrauche ich dafür den Ausdruck „er liegt zwischen A & C”. Und wenn Du fragst „scheint es nicht nur so”, so antworte ich: Welche Methode würdest Du denn anwenden um die Antwort auf Deine Frage zu finden. Dann nämlich werde ich verstehen was Dein Verdacht eigentlich betrifft. Wenn Du sagst: ist auf diesem Tisch nicht doch vielleicht etwas was ich nicht sehe, so
Beschreibe mir die Erfahrung die Dich davon überzeugen würde daß B doch nicht zwischen A & C liegt & ich werde verstehen was welcher Art
Dem Einwurf liegt (◇◇◇) aber eine falsche Auffassung der logischen Analyse zugrunde. Was wir brauchten Es handelt sich ˇnicht um ein Was wir vermissen ist nicht ein genaueres Hinsehen (etwa auf A, B & C) & die Entdekkung eines Vorgangs hinter dem gewoehnlich oberflächlich beobachteten (dies wäre die Untersuchung eines physikalischen oder psychologischen Phänomens) sondern darum die Klarheit in der Grammatik der Beschreibung des alten Phänomens zu schaffen. Denn sähen wir „genauer hin so sähen wir eben etwas anderes & hätten dadu nichts für unser Problem gewonnen. Diese Erfahrung nicht eine andere sollte beschrieben werden. |
| 26.
Zu sagen daß diese Farbe jetzt an einem Ort ist, heißt, diesen
Ort vollständig beschreiben. – Zwei
Farben,
Wenn also „f(x)” sagt, x sei jetzt an einem bestimmten Ort, so ist also ‚f(a) ∙ f(b)’ ein Widerspruch. Warum nenne ich wirklich aber ‚f(a) ∙ f(b)’ einen Widerspruch, da doch p ∙ ~p die Form des Widerspruchs ist?
Die Entscheidung darüber, ob „fa ∙ fb” Unsinn ist wie „a ∙ f” könnte man so fällen: Ist p ∙ ~(fa ∙ fb) = p, oder ist die linke Seite dieser Gleichung (& also die Gleichung) Unsinn? – Kann ich nicht entscheiden, wie ich will? Kann ich die Regel die dem allen fa = (fa ∙ ~fb)? d.i.: aus fa folgt ~fb. Ich glaubte, als ich die „Abhandlung” schrieb (& auch später noch), daß fa = fa ∙ ~fb nur möglich wäre, wenn fa das logische Produkt aus irgendeinem ˇandern Satz & ~fb – also fa = p ∙ ~fb – wäre, & war der Meinung fa (z.B. eine Farbenangabe) werde sich in ein solches Produkt zerlegen lassen. Dabei hatte ich keine klare Idee Vorstellung davon, wie ich mir die Auffindung einer solchen Zerlegung dachte. Oder vielmehr: ich dachte wohl an die Konstruktion eines Zeichens, daß die richtige grammatische Verwendung in jedem Zusammenhang durch seine Beschaffenheit zum Ausdruck brächte (d.h., seine Regeln ganz einfach gestaltete & in gewissem Sinne schon in sich trüge, wie jede übersichtliche Notation); aber ich übersah, daß, wenn diese [Ü|U]mgestaltung des Satzes f(a) ˇin seiner Ersetzung durch ein logisches Produkt bestehen sollte, dann die Faktoren dieses Produkts einen unabhängigen & uns bereits bekannten Sinn haben mußten. |
| Als ich dann eine
solche Analyse einer Farbangabe durchführen wollte
|
| Der Satz „an einem Ort hat
zu einer Zeit nur eine Farbe Platz” ist
natürlich ein verkappter Satz der Grammatik.
Seine Verneinung ist kein Widerspruch, widerspricht
aber einer Regel unserer angenommenen Grammatik.
|
| Die meisten
Wenn man sagt die Zukunft sei bereits präf[ö|o]rmiert so heißt das offenbar: die Bilder des Filmstreifens welche den zukunftigen Vorgängen auf der Leinwand entsprechen sind bereits vorhanden. Aber für das was ich in einer Stunde tun werde gibt es ja keine |
✓ |
Ich glaube, was
Goethe eigentlich
hat finden wollen, war keine physiologische sondern eine
psychologische Theorie der Farben. |
| Es hat Sinn von einer Färbung zu sagen sie sei
nicht rein rot sondern enthalte einen gelblichen, oder
bläulichen, weißlichen oder schwärzlichen Stich;
|
| Die
Farbenmischung von der hier die Rede ist bringt der Farbenkreisel
hervor aber auch er nicht, wenn ich ihn nur ruhend & dann in
rascher Drehung sehe. Denn es wäre ja denkbar daß
der Kreisel im ruhenden Zustand halb rot & halb gelb
|
| Gibt es einen
kleinst sichtbaren Farbunterschied? – Welche
Farben sind hier gemeint? Nennen wir [f|F]arbe
das Ergebnis der Mischung von Farbstoffen: dann kann ich
das Experiment machen z.B. zu einer Menge eines
|
| Wenn man einen schwarzen
Streifen auf weißem Grund immer dünner & dünner
werden läßt, so kommt man endlich zu dem, was ich einen
visuellen Strich (im Gegensatz zu einer visuellen Linie der
Grenze
|
| Wenn gefragt wird „ist unser Gesichtsfeld
kontinuierlich oder diskontinuierlich”, so müßte man
erst wissen von welcher Kontinuität man redet. Einen
Farbubergang nennen wir
kontinuierlich wenn wir keine Diskontinuität in ihm
sehen. |
| 27.
«Wenn die Erinnerung kein Sehen in die Vergangenheit ist,
wie wissen wir dann überhaupt, daß sie mit Beziehung auf die
Vergangenheit zu deuten ist? Wir könnten uns dann
einer Begebenheit erinnern & zweifeln, ob wir in unserm
Erin-Ich kann natürlich sagen: Ich sehe nicht die Vergangenheit, sondern nur ein Bild der Vergangenheit. Aber woher weiß ich, daß es ein Bild der Vergangenheit ist, wenn dies nicht im Wesen des Erinnerungsbildes liegt. Haben wir etwa durch die Erfahrung gelernt, diese Bilder als Bilder der Vergangenheit zu deuten? Aber was hieße dies überhaupt „vergangenheit”? »Die Daten unseres Gedächtnisses sind geordnet; diese Ordnung nennen wir Gedächtniszeit im Gegensatz zur physikalischen Zeit der Ordnung der Ereignisse in der physikalischen Welt. Gegen den Ausdruck „sehen in die Vergangenheit” sträubt sich unser Gefühl mit Recht; denn er
|
| Die
Erinnerungszeit unterscheidet sich unter anderem dadurch von
|
| (∃x) φx ∙
~(∃x,y) φx ∙ φy
(∃x,y) φx ∙ φy ∙ ~(∃x,y,z) φx ∙ φy ∙ φz (∃x,y,z) φx ∙ φy ∙ φz ∙ ~(∃x,y,z,u) φx ∙ φy ∙ φz ∙ φu »Wie müßte man es nun anfangen, die allgemeine Form solcher Sätze zu schreiben? Die Frage hat offenbar einen guten Sinn. Denn wenn ich nur einige solcher Sätze ˇals Beispiele hinschreibe, so versteht man, was das Wesentliche dieser Sätze sein soll.« Nun dann ist also die Reihe der Beispiele schon eine Notation; denn das Verstehen dieser Reihe besteht doch in der Verwendung dieses Symbols & darin daß wir es von andern in demselben System unterscheiden z.B. von (∃x) φx (∃x,y,z) φx ∙ φy ∙ φz (∃x,y,z,u,v) φx ∙ φy ∙ φz ∙ φu ∙ φv Warum sollen wir aber nicht das allge- (∃ x1 … xn).Π
Ist diese Notation unexact? Sie selbst soll uns ja nichts bildhaft ˇmachen sein, sondern nur auf die Regeln ihres Gebrauchs, das System in dem sie gebraucht wird, kommt es an. Die Skrupel die ihr anhaften schreiben sich ◇◇◇ von einem Gedankengang her, der sich mit der Zahl der Urzeichen in dem Kalkül der ‚Prin[z|c]ipia Mathematica’ beschäftigte. |
| Hat die Anzahl wesentlich etwas mit einem
Begriff zu tun? Ich glaube, das kommt darauf hinaus, zu
fragen, ob es einen Sinn hat von einer Anzahl von Gegenständen zu
reden die nicht unter einen Begriff gebracht sind. Hat es
z.B. Sinn zu sagen:
„a, b, & c sind 3
Gegenstände”? – Es ist allerdings ein
Gefühl vorhanden, das uns sagt: Wozu von Begriffen
reden, die Zahl hängt ja nur vom Umfang des Begriffes
ab & wenn der einmal bestimmt ist, so kann der Begriff
sozusagen abtreten. Der Begriff ist
nur eine Methode [ nur ein
Mittel Hilfsmittel ] um einen
Umfang zu bestimmen, der Umfang aber ist selbständig
& in seinem Wesen unabhängig vom Begriff; denn es kommt
ja auch nicht darauf an, durch welchen Begriff wir den Umfang bestimmt
haben. Das ist das Argument
Das Zeichen für den Umfang eines Begriffes ist eine Liste. Man könnte – beiläufig – sagen: die
Die Arithmetik hat es mit dem Schema ❘ ❘ ❘ ❘ zu tun. – Aber redet denn die Arithmetik von Strichen die ich mit Bleistift auf Papier mache? – Die Arithmetik redet von gar nichts, redet nicht von den Strichen, sie operiert mit den Strichen ihnen. |
|
Ramsey schlug einst
vor, den Satz, daß unendlich viele Gegenstände eine
Funktion fξ befriedigen, durch die
Verneinung sämtlicher Sätze ~(∃x)fx (∃x)fx ∙ ~(∃x,y)fx ∙ fy (∃x,y)fx ∙ fy ∙ ~(∃x,y,z)fx ∙ fy ∙ fz u.s.w. auszudrücken. – Aber diese Verneinung ergäbe die Reihe (∃x)fx, (∃x,y)fx ∙ fy, (∃x,y,z) … etc.. Aber diese Reihe ist wieder ganz überflüssig: denn der zuletzt denn erstens enthält ja der zuletzt … angeschriebene Satz enthält ja alle vorhergehenden & zweitens nützt uns dieser auch nichts da er ja nicht von einer unendlichen Anzahl von Gegenständen handelt. Die Reihe kommt also in Wirklichkeit auf einen Satz „(∃,x,y,z
… ad
inf)fx ∙ fy ∙ fz ∙ …
ad inf”
hinaus. Und mit diesem Zeichen können wir gar nichts
◇anfangen, wenn wir nicht seine Grammatik
kennen. Eines aber ist klar: wir haben es nicht
mit einem Zeichen von der Form
„(∃x,y,z)fx ∙ fy ∙ fz”
zu tun; wohl aber mit einem Zeichen dessen Ähnlichkeit
|
| »Die Zeit erscheint uns essentiell als
unendliche Möglichkeit. Und zwar, offenbar,
nach dem unendlich nach|dem, was wir über ihre Struktur wissen. »
D.h. unendlich nach ihrer Grammatik.
|
| 28.
Wie kann ich wissen, dass
❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ und ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ dasselbe Zeichen sind?
Es genügt doch nicht, dass sie
ähnlich ausschauen. Denn es ist nicht die
ungefähre Gleichheit der Gestalt, was die Identität der
Zeichen ausmachen darf, sondern gerade eben die
Zahlengleichheit. |
| Ob es einen Sinn hat zu sagen
“dieser Teil einer roten Fläche (der durch keine
sichtbare Grenze abgegrenzt ist) ist rot” hängt davon
ab, ob es einen absoluten Ort gibt. Denn wenn im
Gesichtsraum von einem absolu[e|t]en Ort die Rede sein
kann, dann kann ich auch diesem absoluten Ort eine Farbe zuschreiben,
wenn seine Umgebung gleichfärbig ist. |
|
Die Idee,
[e|E]lementarsätze zu konstruieren ˇ(wie
dies z.B. Carnap versucht hat) beruht auf einer falschen
Auffassung der logischen Analyse. Sie betrachtet ˇdas
Problem dieser Analyse als eine die
Konstruktion ˇdas, einer
Theorie der Elementarsätze zu finden. Sie
lehnt sich an das an was ˇin der Mechanik z.B. in der Mechanik
geschieht wenn eine Anzahl von Grundgesetzen gefunden wird aus
denen das ganze System
|
| Meine eigene Auffassung war
falsch: teils, weil ich mir über den Sinn der Worte
„in einem Satz ist ein logisches Produkt
versteckt” (& ähnlicher) nicht
klar war, zweitens weil auch ich dachte die logische Analyse
müsse verborgene Dinge an den Tag bringen
⌊⌊/⌋⌋ |
|
Wenn ich z.B. sage, ein Fleck ist zugleich
hellrot und dunkelrot, so denke ich dabei,
dass der eine Ton den andern deckt.
Hat es dann aber noch einen Sinn zu sagen, der Fleck habe den unsichtbaren, verdeckten Farbton? Hat es gar einen Sinn, zu sagen, eine vollkommen schwarze Fläche sei weiss, man sähe nur das Weiss nicht, weil es vom Schwarz gedeckt sei? Und warum deckt das Schwarz das Weiss und warum nicht Weiss das Schwarz? Wenn ein Fleck eine sichtbare und eine unsichtbare Farbe hat, so hat er diese Farben jedenfalls in ganz verschiedenem Sinne. |
| Man kann den Satz
„dieser Ort ist jetzt rot” (oder „dieser
Kreis ist jetzt” rot”,
etc) einen Elementarsatz nennen,
we damit meinen daß wenn man damit sagen will
daß er weder eine ◇◇◇ Wahrheitsfunktion anderer
Sätze ist noch als solche definiert ist. (Ich sehe
hier von Verbindungen p ∙ (q ⌵ ~q)
& analogen
ab.) In diesem Sinne folgt aber aus Aus „a ist jetzt rot” ˇfolgt aber „a ist jetzt nicht grün” &
|
| „Rot & grün
gehen nicht zugleich an denselben Ort” heißt nicht,
sie sind tatsächlich nie beisammen, sondern, es
|
| Eine Mischfarbe,
oder besser Zwischenfarbe, von blau & rot ist dies durch
eine interne Relation zu den Strukturen von blau &
rot. Richtiger ausgedrückt: was wir
‚eine Zwischenfarbe von blau & rot’ (oder
‚blaurot’) nennen, heißt so, wegen einer
Verwandschaft, die sich in
|
| Worin liegt der Unterschied zwischen der Zahlangabe
Kann ich aber nicht eine Variable dadurch bestimmen, daß ich sage, ihre Werte sollen alle Gegenstände sein, die eine bestimmte Funktion befriedigen? – Dadurch bestimme ich ja die Variable nicht, außer wenn ich weiß welche Gegenstände die Funktion befriedigen, d.h., wenn mir diese Gegenstände auch auf andre Weise (etwa durch eine Liste) gegeben sind; & dann wird die Angabe der Funktion überflüssig. Wissen wir nicht, ob ein Gegenstand die Funktion befriedigt, so wissen wir nicht ob er ein Wert der Variablen sein soll & die Grammatik der Variablen ist dann in dieser Beziehung einfach nicht
|
|
Zahlangaben in der Mathematik sind
(z.B. „die Gleichung
x² = 1 hat 2
Wurzeln”) sind daher von ganz anderer Art als
Zahlangaben außerhalb der Mathematik („auf dem
Tisch liegen 2 Äpfel”). |
| (Nehmen wir an,)
es Es
wäre unsere Aufgabe ◇◇◇ Figuren verschiedener
Gestalt die sich in einer Ebene I befänden in eine Ebene
II zu projizieren. Wir könnten dann eine
Projektionsmethode bestimmen (etwa die der orthogonalen
|
|
„Begriff & Gegenstand”
Freges, das ist nichts anderes
als Subjekt & Prädikat. |
|
Ich sagte: „Eine Schwierigkeit
der Fr⌊e⌋geschen Theorie
ist die Allgemeinheit der Worte
|
| Die Arithmetik
aber kümmert sich ˇaber (wie wir alle sehr wohl
wissen) überhaupt nicht um diese Anwendung. Ihre
Anwendbarkeit sorgt für sich selbst. |
|
Daher ist alles ängstliche Suchen
nach den den Unterschieden
|
|
Wenn die
Dirichlet'sche Auffassung 15
|
1) Continuation from Ms-111,200.
2) See facsimile; line connecting this remark with the following one.
3) See facsimile; line connecting this remark with the following one.
4) See facsimile; arrow pointing right, probably indicating that the indentation shall be increased.
5) See facsimile; line connecting this remark with the following one.
6) See facsimile; arrow pointing right, probably indicating that the indentation shall be increased.
7) See facsimile; line connecting this remark with the following one.
8) See facsimile; line connecting this remark with the following one.
9) See facsimile; "diesen" is followed by an arrow pointing up.
10) See facsimile; line connecting this remark with the following one.
11) See facsimile; line connecting this remark with the following one.
12) See facsimile; line connecting this remark with the following one.
13) See facsimile; line connecting this remark with the following one.
14) See facsimile; arrow pointing down in the right margin, probably to indicate the scope of the section mark.
15) Continuation in Ms-113,1v.
To cite this element you can use the following URL:
BOXVIEW: http://wittgensteinsource.org/BTE/Ms-112_d