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Philosophische
Bemerkungen
XVIII.
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1
16.10.39
Das Paradox “Heterologisch”: Es ist
gut sich vorzustellen, daß die Wörter
“heterologisch” &
“homologisch” irgendwo wirklich Wörter der
lebendigen Sprache sind. Stellen wir uns vor,
daß in der Schr Schrift des Stammes der
… ˇwird das Wort für “rot“ immer
ˇmit rot⌊er⌋, ˇTinte das Wort für
“blau“ immer ˇmit blau⌊er⌋ Tinte
geschrieben⌊,⌋ wird ein Wort das lang
bedeutet wird ˇimmer ˇimmer ˇin der
Schrift langezogen, eines das kurz
bedeutet zusammengepresst.
Dagegen wird muß ist ˇbei ihnen
eidas Wort für heiß nicht heiß sein
& das Wort für kalt nicht kalt sein
etc. Ihre
Grammatiker
reden demgemäß von unterscheiden so zwischen |
homo-log⌊ischen⌋
& heterologischen Wörtern.
Jemand von ihnen fragt nun: “ist
das Wort
“h⌊ …⌋”,
h …, oder nicht?”
& leitet das Paradox ab. Oder, er leitet das
Paradox nicht ab & fragt ˇdie Frage im vollen
Ernst. Ich (der ) denke mir: “Was fragt er
eigentlich Er fragt, ob
“[d|h]” die
Eigenschaft hat, die Eigenschaft nicht zu haben, die es
, als welche
die ist: die Eigenschaft nicht zu haben, die es
, welche aber
⌊(⌋die⌊)⌋
ist, ⌊:⌋ welche die
ist die Eigenschaft nicht
zu haben, die es –
”
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| | | | | Das ist ja als sagte man
gabe man Einem den Befehl:
“Schreib etwas anderes”, ohne aber zu
sagen wovon es verschieden sein soll.
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17.
Auf die Frage “Ist
“h”
h?” sagen wir uns
sofort: “Nun, wir 3 wollen sehen – – was heißt denn
‘h’?”
D.h. wir sind nicht gleich klar, zu welchem
Resultat hier die von
“h”
führt. Und gleich darauf sehen wir, daß sie zu
keinem Resultat führt. Denn das
Resultat ist zwar:
h (‘h’) =
~h (‘h’), aber,
abgesehen davon, daß das ein Widerspruch ist, so ist es keine
Erklärungc von
“h
(‘h’)”.
Und ebenso erhalte ich auch keine
Erklärung, wenn ich mir überlege, was “hom
(‘hom’)” bedeutet oder
hetero “het
(‘hom’)” bedeutet.
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| | | | | Es wird hier mittels eines
Satzes & einer Definition ein Kreis geschlossen,
& so, daß die Definition ohne den Satz & der Satz
ohne die Definition nicht 4 vollständig , – wodurch man auf der Suche
nach der Bedeutung im Kreis herum geführt wird.
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| | | | | Ebenso, wie man durch die
Def ~f(f) = S(f) zum Widerspruch
~S(S) = S(S) geführt wird, aber
[w|d]as Zeichen “S(S)
aus der Definition auch nicht erklären
kann.
Ich könnte es etwa so
versuchen: Wenn man statt
‘f’ ‘S’
⌊ein⌋setzt so
muß man wissen ⌊für⌋ welchern
Ausdruck nach der Definition für das S . Am ehesten noch für
“~ ξ(ξ)” oder
“~ ( )”. Also heißt
“S(S)” soviel
wie “S(~ ( ))”,
“~ ( )(~ ( ))”:
denn zur [e|E]rsetzung des S vor d
seinem Argument soll ja nach der Definition so verfahren
4 5
werden:
~[~ ( )][~ (])
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| | | | | Schreiben
wir eine funktion als ein Verbum & sagen
z.B. statt
“F(a)”:
“a
F-iert”
Also: ~ (f
f-iert) = f
[s|S]-iert Def.
Ersehen wir daraus, was wir statt
für einen Ausdruck ˇvon der Art
“S φ-iert”
schreiben sollen?
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| | | | | Denken wir uns einen Kalkül mit einem Widerspruch
drin aber wir merken den Widerspruch nicht.
Wir leiten allerlei Sä⌊t⌋ze ab, die, wie wir
später sehen, mit einander im Widerspruch stehen. Wenn
uns ein Teufel narrt so daß wir es nie merken, – was werden
wir sagen? Daß es kein Kalkül
ist?
6
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| | | | | Was hindert mich zu sagen:
[i|I]ch nenne etwas nicht
“Calcul”,
wenn ihm nicht ein Inductionsbeweis
dafür beigefügt gegeben ist, der zeigt, daß
man in ihm Gebilde ˇvon
Form
erzeugen kann? | | |
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18.10.
Ich will der Formulierung entgehen: “ich
weiß jetzt mehr über den Kalkül”, &
statt ihrer die setzen: “ich habe jetzt einen andern
Kalkül”. Der Sinn hiervon ist, die Kluft
zwischen einem mathematischen Wissen &
nicht-mathematischem Wissen immer in ihrer vollen
Größe vor Augen zu behalten.
7 6
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| | | | | Angenommen, in einem Stamm führen sie
Rechnungen der vier [s|S]pecies aus
& hie & da verwenden sie einen Übergang von der
Art
(3 ‒ 3) ∙ 4 = (3 ‒ 3) ∙ 5.
Sie erhalten daher ma⌊n⌋chmal widersprechende
Resultate – wie wir sagen würden. Das
[S|s]tört sie aber durchaus nicht.
Man könnte sich auch den Fall denken, daß
Menschen jenen Übergang nur in gewissen Notfällen
gebrauchen; wenn eine Rechnung in irgend einem Sinn nicht stimmen will, & stimmen
muß. Ein solches Rechnen wäre
ähnlich gewissen gebräuchlichen
Schlußweisen, du⌊r⌋ch die
irgend 8 eine Annahme (manchmal religiöser Art)
gestützt wird, mögen die Facten auf die
sie gestützt wird nun so, oder umgekehrt ausschauen.
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19.10.
4 × (2 × 2 = 4) = (8 × 2 = 16)
4 × (4 × ξ) = 16 × ξ
Vierfach ist ein Vierfaches.
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| | | | | Jede mathematische Erfindung
(z.B.) jeden Beweis) muß
man sich wegdenken können & sehen was dann von der
Mathematik noch bleibt.
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// Man muß sich immer wieder eine
mathematische Entdeckung wegdenken – & sehen, was
dann von der Mathematik bleibt – – oder, was
für 8 9
eine Mathematik dann
(zurück)cbleibt.
– Denn es bleibt
(dann) ein Spiel zurück, mit
anderer Pointe vielleicht,
(&)
manchmal gleichsam das
Embryo einer Mathematik // ja manchmal nur das Embryo
einer Mathematik // , – aber wir können
es doch als einen Kalkül, als eine Art des Rechnens, auffassen,
& entgehen so der
Gefahr dies entzieht uns der Gefahr | uns von den ‘Denkgesetzen’ eine viel zu
enge Vorstellung zu machen. // | | |
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25.10.
‘Ein Mathematischer Beweis muß übersichtlich
sein.’ “Beweis” nennen wir
(wir) nur eine Struktur, deren Reproduktion eine leicht lösbare Aufgabe
ist. Es muß sich mit Sicherheit
entscheiden lassen, ob wir hier wirklich zweimal den gleichen Beweis
vor uns haben, oder 10 nicht. Der Beweis muß ein Bild sein, eine Zeichnung welche , welches | sich mit
Sicherheit genau reproduzieren läßt. Oder
auch: was dem Beweise wesentlich ist muß sich mit Sicherheit
genau reproduzieren lassen. Er kann
z.B. in zwei verschiedenen Handschriften
oder Farben niedergeschrieben sein. Wir wären dann
vielleicht zweifelhaft ob die eine Handschr
Zur Reproduktion eines Beweises soll nichts gehören was
ahnlich von der Art einer
genauen Reproduktion eines Farbtones oder einer Handschrift
ist.
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| | | | | Es muß leicht
sein genau diesen Beweis wieder anzuschreiben.
Hierin liegt der Vorteil des Geschriebenen 10 11 im
Vergleich zum gezeichneten Beweis. Dieser ist oft seinem Wesen nach
mißverstanden worden. Die
Zeichnung eines Euklidischen Beweises
kann ungenau sein, in dem Sinne, daß die Geraden nicht gerade sind
die Kreisbögen nicht genau kreisförmig
etc. etc.; & dabei ist
die Zeichnung doch ein exacter Beweis
& daraus sieht man dies zeigt |
& daß diese Zeichnung nicht –
z.B. – demonstriert daß eine
solche Konstruktion ein Vieleck mit 5 gleichlangen Seiten
ergibt, daß sie einen Satz der Geometrie, nicht einen
über die Eigenschaften des Papiers von Papier,
Zirkel, Lineal & Bleistift beweist
[Hängt zusammen mit: Beweis ein
Bild eines Experiments]
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| | | | | Wäre dies ein
Beweis: Man schreibt
❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ +
❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ =
❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘
&
(dann) die Tinte auf
ˇ(den) beiden Seiten des Gleichheitszeichens der Gleichung | ; ist
das Gewicht das Gleiche wiegt sie gleichviel | , so ist die
Gleichung richtig. Nun, diese Wägung könnte
uns sehr wohl z als Beweis
d.h. als Kriterium //
Erkennungszeichen // dafür dienen, daß auf den
beiden Seiten dieser individuellen (token)
Gleichung insgesamt gleichviel Striche stehen, aber
sie wäre kein Beweis ˇder Additionsformel im Sinne der
Mathematik, sondern ein experimenteller Beweis, Experiment. | eines
nicht-mathematischen Satzes. | | |
| | ∫ | | |
27.10.
Ich will
sagen:⌊:⌋ Wenn man eine nicht
übersichtlichesehbare Beweisfigur durch Veränderung der
Notation übersehbar macht, dann schafft man erst einen Beweis, wo
früher 12 13 keiner
war.
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| | | | | Denken wir uns nun
einen Beweis Russells Russellschen für einen Additionssatz der Art
a + b = c der aus ein paar
tausend Zeichen bestünde. Du wirst sagen:
Zu sehen, ob dieser Beweis stimmt, oder nicht, ist eine rein
äußerliche Schwierigkeit, die von keinem mathematischen
Interesse ist. (“Ein Mensch
übersieht leicht, was ein
Aanderer schwer ˇoder garnicht übersieht”; –
etc. etc.)
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| | | | | Wir stellen fest
daß in der Stadt A 5 Millionen Menschen sind
& in der Stadt B 3 Millionen. Wir rechnen
daß wir für beide 5 Millionen Br
Gasmasken brauchen & richten unsre Fabrik so ein daß sie
diese Zahl herstellt. Wir finden 13 14 daß die
entsprechende Menge erzeugt worden ist. So war
also die in diesem Fall sehr
nützlich. Und es ist merkwürdig, daß die
Russellsche Logik in
dieser Weise nützlich sein kann. Oder ist es bloßer
Zufall, daß dies sie es in solchen Fällen so oft
ist?
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| | | | | Die Annahme ist,
daß die Definitionen nur zur Abkürzung des Ausdrucks
dienen, zur Bequemlichkeit des Rechnenden;
während sie doch ein Teil der Rechnung sind. Mit ihrer
Hilfe werden Ausdrücke erzeugt, die ohne ihre Hilfe nicht erzeugt
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28.
Vielleicht sagt man, daß mit ihrer Hilfe nur Aspekte von
14 15
Ausdrücken her[f|v]orgehoben
werden[,|.] die Aber was
heißt ‘einen Aspekt hervorheben’
anderes, als als einen neuen Ausdruck
erzeugen. [ˇnur
mittelmäßig]
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Wie ist es aber damit: “Man kann zwar im
R'schen Kalkül nicht 234 mit 537 multiplizieren
⌊–⌋ im gewöhnlichen Sinn – aber man
es gibt eine R'sche Rechnung die dieser
Multiplication entspricht”?
– Welcher Art ist diese Entsprechung? Es
könnte so sein: Man kann auch im
R'schen Kalkül diese
Multiplication ausführen nur in einem andern
Symbolismus – wie wir ja auch sagen würden wir könnten
sie auch i[m|n] einem andern Zahlensystem
ausführen. Wir könnten dann also
z.B. die praktischen Aufgaben, zu deren
16
Losung man jene
Multiplication benützt auch durch die
Rechnung [e|i]m R'schen Kalkül
lösen, nur umstandlicher.
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| | | | | Denken wir uns nun die Kardinalzahlen
erklärt als 1, 1 + 1, (1 + 1) + 1,
((1 + 1) + 1) + 1,
u.s.f.. Du sagst, die
Definitionen welche die Ziffern des
Dezimassystems einführen dienen
bloß zur Bequemlichkeit; man könnte die Rechnung 703000
× 40000101 auch in jener langwierigen Schreibweise
ausführen. Aber stimmt das? –
“Freilich stimmt es! Ich kann doch eine
Rechnung in
Notation anschreibenˇ, konstruieren,, die der
Rechnung in der Dezimalnotation entspricht.”
– Aber wie weiß ich, daß sie ihr entspricht?
– Nun, weil ich so sie nach einer
gewissen Methode 16 17 aus der
andern abgeleitet habe. – Aber wenn ich sie nun nach
einer halben Stunde wieder anschaue, kann sie sich da nicht
verände⌊r⌋t haben? Sie ist ja nicht
übersehbar[!|.]
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| | | | | Ich frage nun: könnten wir uns von
der Wahrheit des Satzes 7034174 + 6594321 = 13628495 auch
durch einen Beweis überzeugen, der in der ersten
Notation geführt wäre? – Gibt es
so einen Beweis ◇ dieses Satzes? – Die
Antwort ist: nein.
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Aber zeigt nicht Russells [e|E]rklärung den Zusammenhang
de zwischen der Addition &
Disjunktion. Zeigt sie nicht, daß was das
Wesen der Addition ist, indem sie sozusagen das allge-18 meine Schema der Anwendung der
Addition zeigt; gleichsam die allgemeine Art, wie sich die
Addition auf die Dinge bezieht, die Art ihres Zusammenhangs mit dem
worauf sie angewendet wird? So
könnte man sich z.B. –
vom Ausdruck “addieren” verführt –
vorstellen daß man die Einwohner von London &
Manchester in irgend einer Weise
zusammenlegtegen muß, wenn man berechnet wie viele Einwohner
beide Städte zusammen haben; & nun sagt uns die
R'sche Erklärung, daß es sich um keinerlei
Zusammenlegen von der Gegenständen handelt.
(Damit in Zusammenhang was
Frege den
‘PfefferußSstandpunkt’ nannte:
die 18 19
Idee, eine Zahl sei ein
Haufe⌊(⌋n⌊)⌋
von Dingen.) – Ich habe also die beiden
Begriffe zusammengenommen, nicht die Städte oder ihre
Einwohner – – aber habe ich nicht doch in einem
Sinne die Einwohner zusammengenommen? –
nämlich, indem ich sie zählte & mit den
Zeichen, die ich erhielt,
operierte.
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“Die Zahl der Londoner & die Zahl der Dubliner
zusammengenommen” ist allerdings gleichbedeutend
mit: “die Zahl der Leute, die entweder Londoner oder
Dubliner sind” oder mit: “die Zahl der
Gegenstände die unter den Begriff
‘Londoner oder Dubliner’
fallen ” (von der Idee
‘Gegenstände’ ˇdie das
Pradikat Mensch haben wird noch
die Rede sein gesprochen werden | ) – aber ist
20 der Ausdruck, der sich
ders Disj oOder bedient
fundamentaler als der andere? Oder auch:
muß ich
den ⌊(⌋die⌊)⌋ Begriffssumme der
Disjunktion der beiden Begriffe bilden wenn ich von der Summe
der beiden Anzahlen reden will? In den
meisten Fällen werde ich es nicht tun sondern die
beiden Zahlen addieren & von der Summe der
beiden Zahlen reden. Es gibt freilich auch
den andern Fall: man sagt z.B.:
die Zahl der gebürtigen Londoner faulen oder doch
angefaulten Apfel in dieser Kiste ist … “die Zahl der Leute,
die in London, oder ˇdoch in der Umgebung
von London wohnen ist …“.
Freilich könnte ich 20 21 auch im
ersten Fall, ⌊–⌋ auf die Frage wenn ich
gefragt würde | : “welcher
Begriff gehört nun zu der Summe dieser Zahlen die Du gebildet
hast | ”– : der Begriff: Mensch
we ˇMensch, welcher ein Londoner oder ein
Dubliner ist – aber könnte ich nicht ebensowohl
antworten: ‘der Begriff⌊:⌋
, das ich zu
erzeugen habe ( (wenn ich
nämlich für jeden Londoner & Dubliner ein Faß
Bier erzeugen wollte).
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| | | | | Aber lehrt uns Russell nicht doch eine Art des
Addierens? | | |
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30.
Angenommen wir bewiesen mauf
R's Methode daß (∃[x|a].....g) .... (∃a.....i)
⊃ (∃a.....s) eine Tautologie ist;
könnten wir nun unser Resultat dahin ausdrücken,
g + i sei s? Das setzt doch voraus, daß
ich 22 die drei Stücke des
Alphabets als Repräsentanten des Beweises nehmen kann.
Aber zeigt denn das R's Beweis?
Den R'schen Beweis hätte ich doch offenbar auch mit
solchen von Zeichen in den Klammern führen
können, deren Reihenfolgen für mich nichts
Characteristisches gehabt hätten, so daß
⌊(⌋ich⌊)⌋ es nicht möglich gewesen
wäre die Zeichenfolgegruppe in einer Klammer durch
ihr letztes Glied zu repräsentieren.
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| | | | | Angenommen sogar, der
R'sche Beweis werde mit einer Notation der Art
x1 x2 …
x10 x11 … x100 …
als in der Dezimalnotation geführt, & es seien 100
Glieder in der ersten 300 Glieder in der zweiten & 400
Glieder in der dritten Klammer, zeigt 22 23 der Beweis
selbst dann, daß 100 + 300 = 400 ist? – Wie
wenn dieser Beweis einmal zu diesem einmal zu einem andern
Resultat führte z.B.
100 + 300 = 420? Was bedarf es, um zu sehen daß
ˇdas Resultat ders Beweis⌊es⌋, wenn
ˇer richtig geführt ˇist, immer zum gleichen
Re nur von den zwei letzten Ziffern der ersten
Zwei Klammern
abhängt?
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| | | | | Aber
für kleine Zahlen lehrt uns doch Russell addieren; denn dann
übersehen wir eben die Zeichenˇgruppen in den Klammern &
können sie als Zahlzeichen nehmen;
z.B. ‘xy’,
‘xyz’,
‘xyzuv’.
Russell lehrt uns
also einen anderen Kalkül, um von 2 und 3 zu 5 zu gelangen;
& das stimmt auch dann, wenn wir 24 sagen der logische Kalkül seien nur –
‘’, die dem
arithmetischen ˇKalkül angehängt seien.
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| | | | | Die Anwendung der
Rechnung muß für sich selber sorgen. Und das ist,
was am ‘Formalismus’ richtig ist.
Die Zurückführung der Arithmetik auf
ˇsymbolische Logik soll die M
Application der Arithmetik zeigen;
[G|g]leichsam das
Ansatzstück den Ansatz | ,
welchem sie ihrer Anwendung
. So als zeigte man
Einem erst eine Trompete ohne das Mundstück – & nun
das Mundstück, welches ˇuns
, wie Trompete mit
dem menschlichen Körper in
Contact gebracht
wird verwendet, geblasen, wird | . Das Ansatzstück aber, das
uns Russell
zeigt gibt, ist
⌊(⌋einerseitsc⌊)⌋ zu
eng anderseits 24 25 zu
weit zu allgemein und zu speziell. zu eng & zu weit. Die Rechnung sorgt
für ihre eigene Anwendung. | | |
| | | | | Wir dehnen unsre Ideen von den Rechnungen mit
kleinen Zahlen auf die mit großen Zahlen aus, ähnlich
wie wir uns vorstellen, daß wenn die Distanz von hier zur Sonne mit
dem Zollstock gemessen werden könnte dann eben das
herauskäme was wir heute auf ganz andere Art
herausbringen. Das heißt, wir sind geneigt die
Längenmessung mit dem Zollstab zum Modell zu nehmen auch für
die Messung des Abstand zweier Sterne.
Und man sagt, etwa in der Schule:
“Wenn wir ˇuns Zollstäbe 2[5|6] von hier bis zur Sonne
gelegt denken, …” & scheint damit zu
erklären, was wir unter dem Abstand zwischen Sonne und Erde
verstehen. Und die Verwendung der Gebrauch |
eines solchen Bildes ist ganz in Ordnung, so lange es uns klar ist
daß wir den Abstand von uns zur Sonne messen
könnnen & daß wir ihn
nicht mit Zollstäben messen können.
| | |
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31.10.
Wie, wenn jemand sagen würde:
“der eigentliche Beweis von
1000 + 1000 = 2000
ist doch erst der Russellsche, zeigt,
daß der Ausdruck … eine Tautologie ist”?
Kann ich denn nicht beweisen, daß eine Tautologie herauskommt,
wenn ich in den beiden ersten Klammern 2[6|7] je 1000 Glieder &
in der dritten 2000 habe? Und wenn ich beweisen kann, so kann ich das als Beweis des
arithmetischen Satzes ansehen.
| | |
| | | | | In der Philosophie ist es immer gut,
statt einer Antwort auf ein Problem, eine Frage
zu setzen. // statt einer Beantwortung
einer Frage eine Frage / zu
setzen. // Denn eine
Beantwortung der philosophischen Frage kann leicht ungerecht könnte ungerecht | sein; die ihre Erledigung
der Frage mittels einer andern Frage ist es nicht.
| | |
| | | | | Soll ich also
z.B. hier eine Frage setzen statt der
Antwort, man könne jenen arithm. Satz mit R's Methode nicht
beweisen?
2[7|8]
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1.11.39.
Der Beweis, daß (1)
(2) ⊃ (3) eine
Tautologie ist, besteht dar⌊i⌋n, daß man die
immer ein Glieder in 3 der 3ten Klammer
für eines ˇGlied invon 1 oder 2 abstreicht. Und es gibt ja viele
dieses
Kollationierens. // daß man die Glieder in 3
& die in 1 & 2 gegen einander abstreicht.
Und es gibt natürlich viele Weisen eines solchen
Kollationierens. // Oder man
könnte auch sagen: es gibt viele Arten & Weisen,
das Gelingen der 1 → 1 Zuordnung
festzustellen. Eine Art wäre
z.B. [S|s]ternförmige Muster
ˇeins für [je|di]e [e|l]inke eins für
die rechte Seite der Implication
zu konstruieren & diese wieder dadurch zu
vergleichen daß man ein Ornament 2[8|9] aus beiden
bildet. Man könnte also die Regel geben:
“[w|W]enn Du wissen willst, ob die Zahlen
A &
B zusammen wirklich
C , [S|s]chreib den einen Ausdruck der Form … an & ordne die
Variablen in den Klammern einander zu indem Du den Beweis
dafür anschreibst (oder anzuschreiben trachtest)
daß der Ausdruck eine Tautologie ist.”
Mein Einwand dagegen ist nun nicht, daß
es willkürlich ist, gerade diese Art des Kollationierens
vorzuschreiben, sondern, daß man auf diese [A|W]eise
nicht feststellen kann, daß 1000 + 1000 = 2000 ist.
| | |
| | | | |
2.11.
Die Der R'sche Methode
Vorgang
erzeugt nicht den Aspekt dieser
Addition. ⌊⌊ Schlecht ausgedrückt ⌋⌋ Aber kann dieser 29 30
Aspect nicht doch mittels ihrer erzeugt werden
durch eine entsprechende Folge von Definitionen?
Warum will ich sagen, daß der
R'sche Beweis nichts Interessantes der Transformation
⌊hin⌋zufügt, die durch die Definitionen allein
bewerkstelligt wird? Ich Es kommt mir
vor, daß der Beweis ˇdavon, daß für die
1000, 1000 & 2000
eine Tautologie
gänzlich außerhalb des Beweises des
uns interessierenden
Satzes arithmetischen Satzes | ist.
| | |
| | | | |
Und doch erscheint mir auch in dem, was ich sage, etwas
falsches.
| | |
| | | | | ‘Die
Menge in der 3ten Klammer, die mit den
beiden andern eine Tautologie erzeugt, den Ausdruck zu
einer Tautologie macht, | ist die 30 31 Summe
jener beiden. der beiden ersten Mengen. | ’
Wie komme ich aber überhaupt zum Begriff einer
bestimmten Menge?
| | |
| | | | | Man
hat oft gesagt, daß die
einer Definition oft darin liege, daß sie die Wichtigkeit
des Definiens hervorhebe. Aber in
anderem Sinne sie ja das
Definiens Kalkül
verschwinden. Die Wichtigkeit einer Definition liegt
zumeist darin, daß
sie Ausdrücke⌊n⌋n eine andre Struktur
erhalten neue Strukturen gibt.
| | |
| | | | | Führt
der, welcher neue Definitionen einführt, nicht
einen neuen Kalkül ein? | | |
| | | | |
3.11.
Denke, Du hättest eine meilenlange 31 32
‘Formel’ angeschrieben, & zeigtest durch
Transformation, daß sie tautologisch ist (‘wenn sie
sich inzwischen nicht verändert hat’,
müßte könnte man
sagen). Nun zählen wir die Glieder in den
Klammern oder [T|t]eilen sie ab & machen den Ausdruck
übersichtlich & es zeigt sich, daß in der ersten
Klammer 7566 in der zweiten 2434 in der dritten 10000 Glieder
stehen. Habe ich nun ,
daß 2434 + 7566 = = 10000
ist? – Das kommt drauf an, – könnte man sagen – ob Du sicher bist, daß
bei das Zählen wirklich die Zahlen der Glieder
ergeben hat, die während des Beweises in den Klammern
standen.
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| | | | |
Könnte man so sagen:
“R. leht 32 33 uns in die
3te Klammer so viele schreiben als in den beiden
ersten zusammen stehen”? Aber eigentlich:
er leh⌊r⌋t uns für je eine Variable in
⌊(⌋1⌊)⌋ & in ⌊(⌋2⌊)⌋ eine
Variable in (3) schreiben. Aber
lernen wir dadurch welche Zahl die Summe zweier
ˇgegebener Zahlen ist? Vielleicht sagt
man: “Freilich, denn in der 3ten
Klammer steht nun das Paradigma, Urbild, der neuen
Zahl.” Aber inwiefern ist
❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘
das Paradigma einer Zahl? Bedenke, wie man es als
solches verwenden
kann[?|.]
| | |
| | | | |
[4|5].11.
Muß denn ein Begriff eine bestimmte // eine
// von Gliedern haben?
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| | | | | Es ist falsch zu sagen:
“Unter 33 34 der Summe
der Anzahlen zweier Begriffe verstehe ich die Anzahl der
Begriffsdisjunktionsumme” – sondern ich verstehe
darunter dasselbe wie die Anzahl der
Begriffs[s|u]mme, wenn sich diese Anzahl in
bestimmter [w|W]eise aus den beiden
ersten Zahlen berechnen läßt.
D.h., wenn das was man unter ‘Anzahl
der Begriffsumme’ versteht eben so aus
den Zahlen der ersten Begriffe zu erhalten
ist. | | |
| | | | |
6.11.
Wir haben einerseits eine Definition der Zahlensumme, die
keine Andeutung darüber macht, wie eine Addition
anzuwenden . Diese Erklärung scheint
vielleicht
unbefriedigend. Anderseits ist da eine Erklärung der
Summe 3[4|5] aus ihrer Anwendung
heraus. (Und diese scheint ˇim Vergleich zur
ers⌊t⌋en unbefriedigend, weil sie sich in Dinge
mischt, ˇum diec sie sich nicht zu bekümmern
hat.) Wenn ich nun sage: die Summe
der Anzahlen zweier Begriffe ist die Anzahl der Begriffssumme –
so muß ich dazu sagen: & diese ˇZahl ist aus
den beiden ersten ˇso & so zu berechnen.
– Wenn das aber der Fall ist, – warum
definiere ich nicht die Zahlensumme durch diese ihre
Berechnung? – Ich verstehe eben unter der Zahl der
Begriffssumme etwas, was durch ˇeine bestimmte Rechnung
aus den Zahlen der Summandenbegriffe zu erhalten ist.
| | |
| | | | | Einmal scheine ich zuerst nur
mit ⌊(⌋den⌊)⌋ Begriffen zu
ope-3[5|6] rieren & was dann
die Zahl des R resultierenden Begriffes ist,
nenne ich Summe der Zahlen der Teilbegriffe. – Im
andern Fall habe ich mit Begriffen, deren Zahlen die Zahlen sind,
⌊(⌋gar⌊)⌋ nichts zu tun. | | |
| | | | |
7.
Warum soll ich nicht sagen: “Wenn 5 die Zahl
von φ ist & 7 die Zahl von ψ, so nenne
ich 12 ‘die Zahl von φ ⌵
ψ’”? Statt zu sagen:
“dann ist die Zahl von
φ ⌵ ψ
12”.
| | |
| | | | |
Die Fregesche
Erklärung der Summe zweier Anzahlen scheint uns den Inhalt
der Addition zu erklären, während die bloßen Rechenregeln
dies nicht zu tun scheinen.
// Freges
Erklärung scheint 3[6|7] uns zu zeigen was die
Addition eigentlich ist, wozu sie dient, & daraus
scheinen ergeben sich ˇbei ihr // dann // die
Additionsregeln ˇvon selbst. Während
das bloße Erklären,
⌊(⌋Beschreiben⌊)⌋, der Rechentechnik
die inhaltliche Grundlage nicht zu geben
scheint. // // Die bloße
Erklärung – Beschreibung der Rechentechnik
scheint uns die inhaltliche Grundlage nicht zu
geben. // Aber muß hier
nicht ein falscher Schein vorliegen? –
Beide Erklärungen müssen uns die Rechnungsregeln geben. Und gibt die
erste Erklärung wirklich mehr, – muß sie dann
nicht Überflüssiges geben?
| | |
| | | | | Woher aber der Schein,
daß die erste Erklärung 3[7|8] inhaltlich ist? denn
beide zeigen uns ja eine Rechentechnik mit Zeichen.
– der ersten Erklärung
ist schon alles vorbereitet, um z.B.
“φ” “Londoner” &
statt ⌊für⌋
“ψ” “Dubliner”
⌊ein⌋zusetzen. Und nun scheint die
Erklärung zu sagen: Wenn der Begriff
‘Londoner’ n hat & der Begriff
‘Dubliner’ m Gegenstände, so
brauchst // so bilde // den
// Du nur den Begriff ’Londoner oder
Dubliner’ zu bilden , &
so viele Glieder dieser Begriff hat soviel beträgt
n + m. // Oder: Bilde den Begriff
‘L. oder D.’, sieh nach, welche Zahl ihm zukommt, so hast Du die
Summe n +
m. // Du brauchst nur den
Begriff ‘Londoner oder Dubliner’ zu bilden, so
hast Du die Summe der beiden Zahlen. // // Bilde den Begriff ‘L oder D’;
seine Zahl ist die Summe von n und
m. // Bilde die Disjunktion der Begriffe … &
… ; die den Begriff
… ; der | hat doch auch eine Zahl ist die Summe von n und
m. // 3[8|9] Aber wie sehe ich
nach, welche Zahl ihm zukommt?! – Indem ich
den Begriff ‘L. oder
D.’ untersuche?
// Bilde den Begriff ‘L oder D’; ; – der hat doch auch eine
Zahl & die ist die Summe der beiden
ersten. // Also braucht man nur den
Begriff ‘L oder D’ zu bilden
seine Zahl ist, ist die Summe von n und
m. // Aber was ist seine
Zahl? Soll ich sie durch eine Zählung der
Londoner-und-Dubliner feststellen?
So als sagte man: Die
Disj. der Begriffe kannst Du doch
3940
gewiß leicht bilden – nun, die Anzahl dieses Begriffs ist
Die Summe
n + m. – Als wäre jetzt ja alles
⌊(⌋schon⌊)⌋ getan, da man ja nur mehr
nachschauen braucht, welches die Anzahl der Begriffssumme ist.
| | |
| | | | | Man könnte natürlich
definieren: Wenn Der
Ausdruck “die Summe der Anzahlen Zahlensumme // numerische
Summe // ‘φ’ und
‘ψ’” soll solle
bedeuten: heißt soviel
wie: | “die Anzahl des Begriffes
‘φ ⌵ ψ’”.
| | |
| | | | | Kann man denn aber nicht
erklären: “Addition ist diejenige
Operation, die , um aus den Anzahlen zweier Begriffe die Anzahl der
Begriffssumme [f|z]u finden”?
| | |
| | | | | Aber ist das richtig?
Braucht 40 41 man dazu
addieren? kann man
nicht z.B. sagen, die Anzahl von
φ ⌵ ψ
sei: 1000 + 2000? | | |
| | | | |
8.11.
∣ Man könnte, was ich wir hier
betreiben, ‘infantile Mathematik’
nennen. ∣ [Zu
gewissen Überlegungen im ersten
Bd.]
| | |
| | | | | “Der Begriff
‘φ ⌵ ψ’ hat doch
eine Zahl”. Wie soll
festgestellt werden? Unabhängig von den Zahlen von
‘φ’ und ‘ψ’?
Und wie wenn sich durch Zählung der Gegenstände die
φ ge[ü|n]ügen &, der
Gegenstände die ψ genügen & der
Gegenstände die φ ⌵ ψ genügen ergibt
daß die erste Zahl 100 die zweite 200 & die dritte 302
ist? Es soll also heißen:
4[1|2] die Summe der
Anzahlen von φ und ψ ist die Anzahl der
Begriffssumme wie sich diese aus der
Berechnung ergibt.
| | |
| | | | | Wer
also sagt, die Summe zweier Anzahlen sei die Anzahl der
Begriffsdijunktionsumme,
sagt eigentlich: “Berechne die Anzahl der
Begriffssumme, dann hast Du die Summe der ˇbeiden
Anzahlen”. | | |
| | | | |
9.11.
Die R'sche Tautologie, die dem Satz
a + b = c
entspricht, zeigt uns vor allem nicht in welcher Notation die Zahl
c zu schreiben ist
& es ist kein Grund warum sie nicht in der Form
a + b
geschrieben werden soll. –Denn
R. lehrt uns ja Technik des 4[2|3] Addierens, etwa, im
Dezimalsystem. – Aber könnten wir sie
vielleicht aus seiner Technik ableiten?
Fragen wir einmal so: Kann man die Technik des
Dezimals[t|y]stems aus der des Systems
1, 1 + 1, (1 + 1) + 1,
etc. ableiten? Könnte
man diese Frage nicht auch so stellen: Wenn man eine
Rechentechnik dem einen
System & eine im andern System hat, – wie zeigt man,
daß die beiden aquivalent sind?
| | |
| | | | |
13.11.
Ein Volksstamm habe eine Technik des Zählens, etwa
die unsere im Dezimalsystem. Statt des Addierens,
Subtrahierens, etc. aber verwenden sie folgenden
Vorgang: Sie stellen Eisen Würfel von genau
4[3|4] gleicher
Größe her, zählen etwa 3470 in eine
Wageschale, 250 in die andere &
nun zählen sie, wieder mit 1 anfangend soviele Würfel
in die zweite Wagschale bis die Wage das Zünglein einspielt. Das
Resultat dieses Prozesses drucken sie dann
Formel aus, etwa
“250 + 3220 = = 3470”.
Sie haben also durch ein Experiment er[t|h]alten, was wir
durch ˇeine Rechnung? – Wie verwenden sie
die Formel? – Wenn 250 Soldaten in einer Reihe
stehen & sie stellen weitere 3220 dazu, so erwarten sie
daß eine Zählung Aller 3470 ergeben
werde. – Warum? – Es hat sich
gezeigt daß dies für gewöhnlich so herauskam. – Aber wie, wenn 4[4|5] sie einmal die oben
beschriebene Wägung ausführen & sie erhalten
nun die Formel 250 + 3000 = 3470 – sagen sie dann:
“diesmal
ergiebten diese Zahlen
3470” oder sagen sie: “es muß ein Fehler in
der Wägung vorliegen”? –
Habe ich im zweiten Fall den ursprünglichen Vorgang des Wägens ˇerste |
nicht mehr als Experiment, sondern als Beweis aufgefaßt?
‒ ‒ Nun, wenn ich
⌊(⌋die⌊)⌋ Erfahrung mich mir
oft genug das gleichec gelehrt wiederholt hat, so werde ich endlich unbedingt an Annahme festhalten & alles andere muß sich
nach ihr richten. Man sagen: die versteinert
Regel. – Wenn nun die Hypothese, daß
n + m
Würfel 𝓁 Würfeln das Gleichgewicht halten zur
Regel versteinert, wird die⌊(⌋se⌊)⌋ Hypothese 4[5|6] dann zum
zum einem
arithmetischen Satz?
| | |
| | | | |
“250 Würfel
[&| + ] 3220 Würfel sind
wie 3470
Würfel.”
| | |
| | | | |
“250 + 32[0|2]0 Würfel sind die
gleiche Anzahl von Würfeln wie 3470.”
| | |
| | | | |
14.11.
‘Aber warum vertraust Du dieser Rechnung, daß sie Dir
wirklich die gleiche Anzahl liefert?’ –
Ich vertraue ihr ⌊(⌋gar⌊)⌋ nicht.
Das ist, was ich jetzt ‘gleiche Anzahl’
nenne.
| | |
| | | | | Ich will sagen:
Mit ‘ebensoviel’ verbinde ich eine
gewisse Vorstellung etwa
; & nun
führe ich für ebensoviel ein neues Kriterium
ein. “Nun nenne ich das
‘ebensoviel’.” Natürlich
wegen einer Verwandschaft des 4[6|7] neuen
ˇCriteriums mit dem alten. Criterium.
| | |
| | | | |
⇒1 Diese
Sätze sind Dieser Satz ist | in gewissem Sinne analog dem
gebildet:
diese wiegen soviel wie jene. Er sieht es so
an: ˇin d[ie|en] Wir sehen es
so: in den … Ziffern allein liegt es noch nicht,
daß die einen gleichviele sind wie die andern.
Gleichviele zu sein ist ein Drittes. // daß die eine Klasse gleichviel Glieder hat wie die
andre. //
| | |
| | | | |
Wie vergleicht sich:
a)
“250 und 3220 Erbsen sind soviele, wie 3470
Erbsen” b) “2[0|5]0 und 3220
Erbsen wiegen gleichviel, wie 3470 Erbsen” c)
“250 und 3220 Erbsen haben das gleiche Volumen, wie 3470
Erbsen” ?
4[7|8]
| | |
| | | | |
15.11.
Man möchte ⌊(⌋vielleicht⌊)⌋
sagen: a ist ein Satz der Mathematik, b aber
ein Erfahrungssatz. – Aber kann nicht a
auch als Erfahrungssatz verstanden
werden?? wenn man – Und
kann c nicht leicht als mathematischer &
als Erfahrungssatz gedeutet
werden? Warum dann nicht b als mathematischer
Satz?
| | |
| | | | | Warum
soll man sich nicht die Arithmetik gewisser Menschen eines Volkes | als mit den Vorgängen
des Wägens untrennbar verbunden denken // als untrennbar verbunden mit den Vorgängen
des Wägens denken // // als
untrennbar von den Vorgängen des Wägens den
4[8|9] ken // Wie es eine
Mathematik des Zeichnens & Messens mit Zirkel &
Lineal gibt – warum nicht ⌊(⌋so⌊)⌋
eine Mathematik des Wägens?
| | |
| | | | | Und wenn die Mathematik a priori
ist warum soll es nicht der Satz b
sein? wenn wir nur nicht die Erfahrung als
Zeugin für oder ihn anrufen. –
| | |
| | | | |
Im
[a|A]rchimedischen Beweis
des Hebelgesetzes wird der Satz, daß der genau
symmetrisch belastete gleicharmige Hebel
ˇsich im Gleichgewicht ist befindet ˇnicht als ein
ˇErfahrungsSsatz sondern als Satz a priori
behandelt angenommen;
⌊(⌋so⌊)⌋wie im
Beweis des Satzes von den communizierenden
Gefäßen der Satz, daß das Wasser in einem
Gefäß im 49 50 ˇbleibe
offenbar im Gleichgewicht bleibt, auch
wenn ein Teil des selben ˇplötzlich erstarrte.
Vergleiche: ⌊auch⌋ ˇden Beweis mit der
Stevinsche⌊n⌋ Kette Wenn man diesen Satz den Satz
von dem Erstarren der Flüssigkeit |
als Satz der Erfahrung auffaßt, so appelliert er an eine Beobachtung, die ein
Experiment, das |
niemand
ausgeführt gemacht hat.
| | |
| | | | | Betrachte diesen
Satz: “Müssen sich die
n + m
& die 𝓁 das
Gleichgewicht halten
nun, es sind vor
allem gleich viele.”
(Wenn,
z.B., ˇ◇◇◇ die // Seitenzahl // ˇZahl
der Seiten |
eines [G|g]ezeichneten
regelmäßigen Vielecks ˇn + m
&
ein anderes hätte die Zahl
𝓁, so
… // und eines andern
𝓁,
// die Zahl 𝓁 die Zahl der Seiten eines solchen
Vielecks, so |
beide ⌊(⌋die⌊)⌋ gleiche
Gestalt.) (Wenn,
z.B., die
n + m Kugeln
ˇin einem Kreis in gleichen Abständen in
einem 50 51 Kreis
liegen & ˇauch die 𝓁 Kugeln liegen in gleichen
Abständen in einem Kreis, so haben wir beidemale die gleiche ) Und sie halten sich
auch das Gleichgewicht, in einer idealen Welt. | | |
| | | | |
16.11.
Wir hätten (dann) eine Statik a priori in der
nicht gesagt wird wie die Kanten der Würfel zu messen sind, noch,
wie festzustellen ist, daß sie aus dem gleichen Material
bestehen – ; so wie in der
Euklidischen Geometrie nicht
gesagt wird wie wir die Längengleichheit zweier Strecken
feststellen. Was ist aber der Beweise
eines Satzes dieser rein mathematischen Statik?
Natürlich nicht das Experiment des Wägens.
5[1|2]
| | |
| | | | | Ist es nun mit dem
Zählen wie mit dem Wägen?
| | |
| | | | | “Ein Beweis soll nicht nur zeigen,
daß es so ist, sondern daß es so sein
muß.”
| | |
| | | | |
Unter welchen Umständen zeigt dies das Zählen?
| | |
| | ⌇ | | |
17.11.
{ Man möchte sagen:
“wenn die Ziffern & das Gezählte ein
einprägsames Bild ergeben.” Wenn dieses
Bild nun statt jedes neuen Zählens dieser Menge gebraucht
wird. – Aber hier scheinen wir nur von
räumlichen Bilden zu reden: wenn wir aber eine
Reihe von Wörtern auswendig wissen, & nun zwei
solche Reihen einander eins zu eins zuordnen 5[2|3] indem wir
z.B. sagen
“, ⌊–⌋ Montag; der zweite,
⌊–⌋ Dienstag; der dritte, ⌊–⌋ Mittwoch; etc.” –
können wir so nicht beweisen daß vom Montag zum
Donnerstag vier Tage sind? Es fragt sich
eben: Was nennen wir ein
“einprägsames Bild”. Was ist das
Kriterium davon, daß es ein wir es
uns eingeprägt haben? Oder ist die Antwort
hierauf: [“d|“D]aß wir es als
Paradigma der Identität
benützen!”?
(In dieser ganzen Untersuchung fühle ich mich nicht
wohl: mir scheint, ich bin dogmatisch.) }
| | |
| | | | | Wir machen nicht
, an einem Satz, oder
Beweis, um seine Eigenschaften festzustellen.
| | |
| | | | | Wie reproduzieren wir, kopieren
5[3|4] wir einen
Beweis? – Nicht, z.B.,
indem wir Messungen an ihm anstellen.
| | |
| | | | | Wie wenn ein Beweis so
ungeheuer lang wäre, daß man ihn unmöglich
übersehen könnte – –
oder sehen wir einen anderen Fall an: Man habe als
Paradigma der Zahl die wir 1000 nennen eine lange Reihe von
Strichen in einen harten Fels gegraben. Diese Reihe nennen
wir die Ur-[t|T]ausend & um zu erfahren, ob
tausend Menschen auf einem Platz sind ziehen wir Stiche,
oder spannen Schnüre (1 → 1
Zuordnung) Hier hat nun
dieas
T Zahlzeichen für 1000 nicht die
Identität einer Gestalt sondern eines
Physikalischen Gegenstandes. Wir
können uns ähnlich 5[4|5] eine Ur-Hundert
ˇetc denken & einen Beweis
daß 10 × 100 = 1000 ist, den wir nicht
übersehen könnten.
| | |
| | | | | Die Ziffer für 1000 im
1 + 1 + 1 + 1 … System kann nicht
durch, ihre Gestalt erkannt werden. | | |
| | | | |
18.11.
Es wird mir schwer, hier gerecht zu sein. Es ist schwer in der Philosophie, nicht ungerecht zu sein, wenn man den
gerechten Ausweg nicht sieht.
| | |
| | | | |
❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘|❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘
Ist diese Figur ein Beweis für 27 + 16 = 43 – : weil man zu
“27” kommt, wenn man die linken Striche
ˇder linken Seite zählt, zu “16” zum Wort “16” auf der 5[5|6] rechten Seite, &
zu “43” wenn man die ganze Reihe
zählt? Worin liegt ˇhier das Seltsame
wenn man wir
die Figur den Beweis dieses Satzes nennt nennen? Doch
, wie dieser Beweis zu reproduzieren
ist, oder wiederzuerkennen ist darin,
daß er keine charakteristische visuelle Gestalt hat. –
| | |
| | | | |
∣ Die meisten
Leute verstehen nichts, & wundern sich daher über
nichts. // & können sich daher
ˇauch über nichts wundern. //
[
Cantor,
Gödel⌊,
etc.⌋] ∣
| | |
| | | | | Wenn nun jener Beweis auch keine visuelle Gestalt
hat, so kann ich ihn dennoch genau kopieren⌊(⌋,
reproduzieren⌊)⌋ – ist die Figur also nicht
doch Beweis? Ich 5[6|7] könnte
d ihn etwa in ein Stahlstück
einritzen & von Hand zu Hand gehen lassen. Ich
würde also Einem sagen: “Hier hast Du den
Beweis, daß 27 + 16 = 43 ist.” – – Nun, kann man nicht doch sagen: er beweise den
Satz mit Hilfe der Figur? Doch; aber die Figur ist nicht
der Beweis.
| | |
| | | | | Das aber
würde man doch einen Beweis von 250 + 3220 = 3470
nennen: man zählt von über 250 hinaus & fängt zugleich
⌊auch⌋ bei 1 zu zählen an & ordnet die beiden
Zählungen einander zu:
251 …
1
252 … 2
253 …
3
etc
3470
…3[4|2]20 57 Man könnte das einen Beweis nennen, der durch 3220
Stufen fortschreitet. Das ist doch ein Beweis –
& kann man ihn übersichtlich nennen??
| | |
| | | | | Die Zeichenbildung nach einem
gewissen System.
(∃x) φx
(∃n, m) φn.φm
(∃a, r, v) φa.φr.φv
– – – – – – – – – –
Worin besteht es, das System zu sehen? Etwa darin auf
den Befehl die Reihe fortzusetzen so & so zu
reagieren. Und durch eine bestimmte Definition kann
ich wohl ein System andeuten, indem ich geradie
diese Zeichen zusammenfasse, aber ich kann schaffe
nicht das System durch bloße ’Abkürzung’ der
58 Schreibweise schaffen; ich hebe
es nur hervor. Wie ich ein System durch die
Schreibweise
x y z u v w r s t(Ƒ)
zum Ausdruck
bringe, so auch durch eine
Definitionen. Aber die
bloße Abkürzung des Zeichens zeigt mir nicht wie nun in
jedem Fall diese [T|D]efinition anzuwenden
ist.
| | |
| | | | |
“Wie kannst Du sagen, daß
Russell den Satz
“250 + 3220 = = 3470”
nicht beweisen kann?!” Denk
Dir einfach, daß man die Definitionen 1 + 1 = 2,
2 + 1 = 3, etc. nicht darum
auswendig, weiß, weil sie einem System folgen; –
man weiß sie eben auswendig. 59 Was ist die Erfindung des
Dezimalsystems eigentlich? Die Erfindung eines Systems
von Kürzungen Abkürzungen– –aber was
ist das System der Kürzungen Abkürzungen ? ist es
da bloß das System der neuen Zeichen, oder
auch ein System ihrer Anwendungen
Abkürzung? Und ist es das ,
daß
ist es ja eine neue Anschauungsart
des alten Zeichensystems.
| | |
| | | | |
Können wir vom 1 + 1 + 1 … System kommend, durch
bloße Abkürzungen der Schreibweise im Dezimalsystem rechnen
lernen? | | |
| | | | |
19.11.
“Wiederhole diesen Vorgang, diese Operation, die wir
… nennen wollen!” – Weiß er, was
er zu 60 wiederholen hat? | | |
| | | | |
20.11.
Eine Definition führt den Ausdruck eines neuen
Systems ein.
| | |
| | | | |
Man
könnte freilich nach jedem mathematischen Satz sagen
“per definitionem”. Und so
wäre, wenn man z.B. Skolems Art
vorgeht, 250 + 3220 = 3470 einfach eine abgeleitete
Definition.
| | |
| | | | | Und
es ist natürlich auch wahr – “es sind
25[ + |0] + 3220 Leute in diesem Raum” heißt
genau dasselbe wie: “es sind 3470 Leute in
diesem Raum”. In dem mathematischen
Satz liegt kein Naturgesetz. Ist der eine Satz wahr, so ist
es damit auch schon der zweite, 61 & umgekehrt!
Sodaß, wer durch Versuch den einen festgestellt hat eben damit
auch schon den zweiten festgestellt hat, &
umgekehrt. Und doch deutet der eine auf eine andere
Art der Verifikation, als der andere. Es ist ganz richtig zu
sagen: “In dieser Kiste sind
2[5|3] + 2[5|7] Äpfel”, wenn
man einfach sagen will es sind , es seien in ihr 50
Äpfel ◇◇◇ darin in ihr – & doch wird es niemand sagen, der
nicht einen bestimmten Zweck mit dieser Teilung
verbindet.
| | |
| | | | |
Angenommen ich habe nach Russell einen Satz der Form
(∃xyz …)
(∃uvw …) ⊃
(∃abc …) bewiesen – & nun
‘mache ich ihn übersichtlich’, indem
62 ich über die
Variablen Zeichen x1, x2,
x3 … schreibe – soll ich nun sagen, ich habe
nach Russell einen
arithmetischen Satz im Dezimalsystem bewiesen? | | |
| | | | |
22.11.
Aber zu jedem Beweis in Dezimalsystem entspricht
doch einer im Russellschen
System! – Woher wissen wir, daß es Lassen wir
die Intuition beiseite. – Aber man kann es
beweisen. –
| | |
| | | | |
Wenn man eine Zahl im Dez.Syst. aus 1, 2, 3 ... 9, 0 definiert & die
Z⌊e⌋ichen 0,1 …9 aus 1, 1 + 1, (1 + 1) + 1, ...,
kann man dann durch die Rekursive
Erklärung des Dezimalssystems hindurch von
irgendeiner Zahl zu einem Zeichen der Form
1 + 1 + 1 … gelangen?63
| | |
| | | | | Wie, wenn
Einer sagte: Die R.sche Arithmetik stimmt
mit der gewöhnlichen bis zu Zahlen unter 1010
überein; dann aber weicht sie von ihr ab. Wie
w Und nun führt er uns einen
R-Beweis dafür vor daß
1010 + 1 = 1010 ist. Warum soll
ich nun einem solchen Beweis nicht trauen? Wie wird man
mich davon überzeugen, daß ich mich im
R-Beweis verrechnet haben muß?
Brauche ich denn aber eines
Beweis ˇaus eine[s|m] anderen System, um
mich zu überzeugen, ob ich mich in dem ersten Beweis
verrechnet habe? Genügt es nicht, daß ich
diesen Beweis übersehbar anschreibe? | | |
| | | | |
2[4|3].11.
Liegt denn nicht meine 64 ganze Schwierigkeit darin, einzusehen, wie man, ohne aus
R's herauszutreten zum Begriff der Menge
Variablen
Ausdruck “(∃ x,y,z [ …| etc])” kommen kann,
ˇdort wo diesesr Zeichen Ausdruck unubersehbar nicht
übersehbar |
ist? – Nun kann man ihn aber doch
übersehbar machen indem man schreibt:
(∃x1,x2,x3,
etc). Und dennoch verstehe ich etwas
nicht: man hat doch nun das Kriterium für die
Identität so eines Ausdrucks geändert! Ich sehe
jetzt auf andere Weise, daß die Menge der Zeichen in zwei solchen
Ausdrücken die selbe ist.
| | |
| | | | | Ich bin eben versucht zu
sagen: R's [b|B]eweis kann wohl Stufe für
Stufe weitergehen, aber am Schluß wisse man nicht
recht was man bewiesen –
wenigstens nicht nach den alten Kriterien; i.
Indem ich den
ˇR-schen Beweis übersichtlich mache,
beweiiese ich etwas
über Beweis.
| | |
| | | | | Ich will sagen: man bra⌊u⌋che die
R'sche Rechen-66 technik gar nicht
anzuerkennen & könne mit
einer andern (Rechentechnik) beweisen, daß es einen
R'schen Beweis des Satzes geben
müßsse. Dann aber
ruht der Satz freilich nicht mehr auf dem R-Beweis. Oder: Daß man
sich zu jedem ˇbewiesenen Satz der Form
m + n = l
einen Rschen Beweis vorstellen kann, zeigt nicht daß der Satz
auf dieser Rechnung diesem Beweis | ruht.
Denn der Fall ist denkbar, daß man den R-Beweis
eines Satzes vom R-Beweis
eines andern Satzes gar nicht unterscheiden kann & nur darum
sagt sie seien verschieden, weil sie die Übersetzungen
zweier erkennbar verschiedener 67 Beweise sind.
| | |
| | | | |
Oder: Etwas hört auf Beweis zu sein, wenn es
aufhört Paradigma zu sein, z.B.
R.'s logischer Kalkül; & anderseits
ist jeder andere Kalkül annehmbar,
der uns als Paradigma dient. | | |
| | | | |
24.11.
Man könnte doch fragen: Was ist das
Eigentümliche eines mathematischen Problems
überhaupt? Wenn ich z.B.
frage: “gibt es einen Weg diese
Figur nachzufahren ohne
zweimal die gleichen Strecke zu passieren?” so
würde jeder sagen: das ist ein mathe-68 matisches Problem, das
ist mathematisch zu
entscheiden. muß sich mathematisch entscheiden
lassen. | Ebenso, wenn man
die Frage stellt: “Kann man diese
Rechtecke ˇdieser Figur mit srot⌊er⌋ &
grün⌊er⌋ ˇFarbe so anstreichen, so daß jedes Rechteck ˇentweder ganz rot
oder ganz grün ist & ˇdaß ein jedes sich von
jedem angrenzenden abhebt?” Was
ist charakteristisch mathematisch an diesen Problemen?
Nun, man könnte sagen daß wir
⌊(⌋für sie⌊)⌋ eine bestimmte Art der
Beantwortung ˇfür sie
.
Z.B.: Wenn ich ˇes
mir gelungen ist in ein jedes der Rechtecke
de solchermaßen entweder
das Wort “[S|s]chwa den
Buchstaben ‘x’ oder
‘y’ zu schreiben, daß zwei angrenzende
Rechtecke nie den gleichen Buchstaben enthalten, so nehme ich das als positive
Beantwor-69 tung der zweiten Frage an. Nun nehmen wir an die Figur von der wir
sprachen sei nicht als diese bestimmte Gestalt definiert gewesen
sondern als die Figur in einem gewissen Zeitraum
auf dieser zu sehen ist &
nehmen wir an diese Figur flimmerte & wir frag⌊t⌋en
nun: “läßt sie sich so & so
nachziehen?” – Dann würden
wir dies keine mathematische Frage
mehr nennen? Wie weiß
ich, noch ehe' ich einen Begriff von der Art der
Lösung habe davon habe wie die Frage sie zu
lösen ist, schon daß dies eine
mathematische Frage ist? // Wie weiß ich
noch eh' ich einen Begriff von der
Methode vom Vorgang | Lösung habe schon,
daß … // // Wie weiß ich,
ˇnoch ehe ich einen Begriff von der 70 Methode, zu lösen, habe, schon: daß
dies … //
| | |
| | | | |
“Das ist eine mathematische
Frage”, – heißt:
Ddas ist ein für
allemal ˇdurch ein Bild zu entscheiden.
| | |
| | | | | Daß der
R'sche Beweis von
n + m = l
alles mögliche Überflüssige enthält ist wohl klar,
aber das zu zeigen genügt mir noch nicht.
Nun, wenn er auch
⌊(⌋logisch⌊)⌋ einigermaßen ausgeschmückt ist,
ist er macht ihn das noch nicht falsch.
Man braucht dies um &
auf nicht, aber es schadet
aucht nichts. // Man
braucht diese Deutung nicht, aber sie … // Wenn wir
sie aber weglassen, so haben wir vorerst eine
Konstruktion, aus zwei
Klammeraus-71 drücken Reihen von Variablen eine
[D|d]ritte Reihe zu bilden, die so viele Variable
enthält, als beide ersten zusammen. Analog etwa dieser
Konstruktion:
( a b c d ) ( r s t ) ( α β γ δ ε ξ η )(Ƒ)
Genügt nun dies, die Addition der Kardinalzahlen zu
erklären? Ist es richtig, daß unser ganzer
Additionskalkül ˇmit Kardinalzahlen wirklich auf so
einem eins-zu-eins Kollationieren Abstreichen |
beruht, – sodaß dieses im
Hintergrund jeder solchen Rechnung
Additionsr solchen // jeder
Addition //
?
| | |
| | | | |
25.11.
Es ist eine Tatsache, daß verschiedene Methoden
der Zählung sogut wie immer
übereinstimmen.
| | |
| | | | |
Wenn ich die Felder eines Schachbretts zähle, komme
72 ich so gut wie immer zu
‘64’.
| | |
| | | | |
Wenn ich zwei Reihen von Wörtern auswendig
weiß, z.B., Zahlwörter & das
Alphabet & ich ordne ˇsie nun einander 1 → 1
zu a 1
b 2
c
3
etc so komme ich
bei ‘z’
s.g.w.i. zu
‘26’.
| | |
| | | | |
Es gibt ⌊(⌋so⌊)⌋ etwas wie:
eEine Reihe von
Wörtern auswendig können. Wann sagt man ich wisse
das Gedicht … auswendig? Die Kriterien sind
ziemlich kompliziert.
Übereinstimmung mit dem einem
gedruckten Texte ist eines. Was müßte
geschehen, das mich zweifeln machte, daß ich wirklich das
ABC auswen-73 dig weiß? Es ist schwer
vorzustellen.
Aber ich verwende nun das2
¤
[(|[]I'm much too slick
& all I produce is pritty
slick. Es hatt nicht genug
Falten im Gesicht sondern ist oberflächlich & von glatter
Stirn. Zugleich oacht es
fälschlich den Eindruck der Tiefe, denn es ist von Einem
t geschrieben der sich so gern tief
wüßte. Das Gesicht ist zu
Faltenlos; aber Falten kommen vom
Kummer, nicht von der Bequemlichkeit. Wer
[ä|a]uf dem Kummer schwimmen will, um ja nie
unterzutauchen, wie sollte der Tiefe kennen. Mein
ganzes Leben (innereh &
äußeres) ist darauf angelegt, Boot auf dem Meere, ˇauf der
Oberfläche⌊,⌋ zu schwimmen. Ich
will doch gar nicht zahlen; wie sollte ich
erhalten?[)|]]
¤
Aufsagen, oder
[a|A]nschreiben, einer Wortfolge Zeichenfolge aus dem Gedächtnis
als Kriterium der Zahlengleichheit,
74
(Mengengleichheit).
| | |
| | | | | Soll ich nun sagen: Das
macht ja alles nichts – die Logik bleibt doch der
Grundkalkül nur wird freilich, ob ich zweimal dieselbe Formel vor
mir habe, von Fall zu Fall
aufgefunden festgestellt // herausgebracht // | . | | |
| | | | |
26.11.
Stellen wir uns vor, daß wir nie andere Zeichenfolgen als die
von der Form x1, x2, x3 …
x10 x11 … gesehen hätten.
Unsere ˇlogischen Beweise bezögen sich dann ganz
natürlich eben auf diese Folgen.
Nehmen wir an, ich bilde nun den Begriff der ‘Addition von
10’ mittels des Begriffs der ‘Addition von
1’. Und dann, mittels der Addition 75 von 10 erst den der 100. –
| | |
| | | | | Ist es die Logik,
die mich zwingt, – – –
| | |
| | | | | Es ist nicht die Logik, die mich zwingt –
möchte ich sagen – einen Satz von der Form (∃ ) (∃ ) ⊃ (∃ )
anzuerkennen, wenn in den ersten beiden Klammern je eine Million
Variable ist & in der dritten zwei
Millionen. Ich will sagen: die Logik
zwänge mich in diesem Falle gar nicht irgend einen Satz
anzuerkennen. Etwas anderes zwingt mich so einen
Satz als der Logik gemäß anzuerkennen.
| | |
| | | | |
27.11.
Die Logik zwingt mich nur, sofern mich der logische Kalkül
76 zwingt.
| | |
| | | | | Aber es ist doch dem Kalkül mit 1000000
wesentlich, daß sich diese Zahl muß in eine Summe
1 + 1 + 1 … auflösen lassen! Und um sicher
zu sein, daß wir die richtige Summe vor uns haben, Anzahl von Einsern vor uns
haben, | können wir ja die
Einser numerieren.
+
+
+
+ …
Diese Notation wäre ähnlich der:
‘100,000.000,000’,
die ja auch das Zahlzeichen übersehbar macht. Und ich
kann mir doch denken, jemand hätte große [s|S]ummen
Geldes in Pfennigen in ein Buch eingetragen wo sie etwa
ˇals 1[2|0]0stellige Zahlen
, mit denen ich
nun zu rechnen hätte. Ich finge nun damit
an, sie mir in eine Übersehbare
Notation zu übersetzen, würde sie aber doch
‘Zahlzeichen’ nennen, sie als Dokumente von
77 Zahlen behandeln.
Ja ich würde es sogar als Dokument einer Zahl
ansehen, wenn mir einer sagte N hat soviele ⌊Sc⌋hill⌊inge,⌋ als ◇◇◇
Erbsen in dieses Faß gehen.
Anders wieder:
“Er hat soviele Schillinge
als das Hohe Lied Buchstaben hat”. | | |
| | | | |
28.11.
Versuche nicht, recht zu behalten! Es ist
fruchtbarer, zu trachten, das eigne Unrecht zu beweisen.
Ich bin jetzt eigentlich sicher, ich habe mich geirrt.
Aber der Platz meines Irrtums & seine Reichweite weiß
ich nicht. | | |
| | | | |
29.11.
Die Notation ‘x1, x2,
x3 …’ macht den Ausdruck
‘(∃ …) zur Gestalt
& damit die R-bewiesene
Tautologie.
| | |
| | | | | Laß
mich so fragen: Ist 78 es nicht , daß die
1 → 1 Zuordnung im
R.schen Beweis nicht verlässlich
vollzogen werden kann, daß, z.B.,
wenn wir sie zum Addieren benützen wollen,
recgelmäßig ˇsich ein
derm gewöhnlichen Addition Resultat
widersprechendes Resultat heraukommt
ergibt, &
daß wir dieas
auf auf mit der einer ˇeine
Ermüdung erklären schieben, die uns, ohne daß
wir's ˇuns gewisse
Schritte überspringen läßt? Und könnten
wir [ni|da]nn nicht sagen: – wenn wir nur nicht
ermüdeten, würde ˇsich das &
das Resultat ergeben –?
Un Darum, weil es die Logik
fordert? Fordert sie es denn?
Berichtigen wir hier Kontrollieren wir ⌊(⌋hier⌊)⌋ | nicht die Logik den logischen
Kalkül | durch mit
einenm
anderen Kalkül?
79 | | |
| | | | | [n|N]ehmen
wir an wir nähmen immer 100 Schritte des ˇlogischen
Kalküls Zusammen &
erhie⌊l⌋ten nun verläßliche Resultate,
während wir sie nicht erhalten, wenn wir alle Schritte
auszuführen einzelnen ausführen , – – man
möchte sagen: die Rechnung basiert ja doch auf
Einerschritten, da ein Hu⌊n⌋derterschritt durch
Einerschritte defin⌊i⌋ert
ist. – Die Definition sagt doch: einen
Hunderterschritt machen sei dasselbe wie
… [;| ,] ⌊–⌋
– & doch machen wir den Hunderterschritt &
nicht die hundert Einerschritte
Beim abgekürzten Rechnen folge ich
doch einer Regel – – & wie wurde diese
Regel ? – Wie, wenn der
gekürzte & der ungekürzte Beweis verschiedene
Resultate ? 80 | | |
| | | | |
30.11.
Was ich sage kommt doch darauf
hinaus, : daß ich,
z.B., ‘10’ als
‘1 + 1 + 1 + 1 …’ definieren kann
& ‘100 × 2’ als
‘2 + 2 + 2 …’, aber darum nicht notwendig
‘100 × 10’ als
‘10 + 10 + 10 …’ oder gar als
‘1 + 1 + 1 + 1 …’.
| | |
| | | | | Ich kann mich davon, daß
100 × 100 = 10000 ist durch ein
‘abgekürztes’ Verfahren
überzeugen. Warum soll ich dann nicht dieses
als das ursprüngliche eigentliche
Beweisverfahren betrachten?
| | |
| | | | | Ein abgekürztes Verfahren lehrt mich, was bei
dem unabgekürzten herauskommen soll.
(Statt daß es umgekehrt wäre.)
81 | | |
| | | | |
1.12.
“Die Rechnung basiert ja doch auf den
Einerschritten …” Ja; aber auf andre
Weise. Der Beweisvorgang ist eben ein anderer.
| | |
| | | | | Ich könnte
z.B. sagen:
10 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1;
und 100 gleichermaßen ˇist
100 = =
10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10
Habe ich nicht die Erklärung von 100 auf die
ˇsuccessive Addition von 1 zu
1 ⌊1 ⌋ basiert? Aber in der selben
[w|W]eise, als hätte ich 100 Einser addiert?
Braucht es in meiner Notation überhaupt ein
der Form –
‘1 + 1 + 1 …’ mit 100
geben?
| | |
| | | | | Die Gefahr scheint hier zu sein,
das (ab)gekürzte Verfahren als einen
blassen Schatten des 82 ungekürzten anzusehen. Die Regel des
Zählens ist nicht das Zählen.
| | |
| | | | |
2.12.
Worin besteht es 100 Schritte des Kaküls
‘zusammenzunehmen’? Doch darin, daß
man ein nicht die Einerschritte sondern
einen andern Schritt als maßgebend .
| | |
| | | | | Wie
weiß ich, daß beim Abdrucken einer Buchseite
immer einer Seite eines
mathischen Buches immer | wieder die gleiche Anzahl von Strichen auf dem
Papier erzeugt wird? Hier scheinen
z.B. gewisse Fehler möglich, andere ganz
undenkbar. (Man kann es sich
⌊zB⌋ leicht
erklären, beim Abdrucken
von
‘(x + y)² =
‘x² + 2xy + y²’
statt des
‘y2’
nur ‘y’ erscheint; aber nicht, daß
83 statt dessen
‘(y + 1)3’
erscheint. ) Und wäre das
unmöglich?) Wenn also beim
Abdrucken dieselben Fehler vorkämen wie
etwa ein dummer Schüler machen
würde.)
| | |
| | | | | Beim
gewöhnlichen Addieren von
KardinalzZahlen Anzahlen ganzen
Zahlen im Dezimal[z|s]ystem
machen wir Einerschritte, Z[a|e]hnerschritte,
etc.. Kann man sagen,
daß [v|V]erfahren basiere auf dem, nur
Einerschritte zu machen? Und man könnte es so
begründen: Das Resultat der Addition schaut
allerdings so aus: ⌊ –⌋
‘7583’, aber die Erklärung
dieses Zeichens, seine Bedeutung, die endlich auch in seiner
Anwendung zum Ausdruck kommen muß ist doch von der Art:
1 + 1 + 1 + 1 + 1
u.s.f.. Aber 84 ist dem so? Muß
dieses ˇdas Zahl Zzeichen so erklärt
werden oder diese Erklärung implicite in
seiner Anwendung zum Ausdruck kommen? Ich glaube, wenn
wir nachdenken zeigt sich's, es ist nicht der Fall.
| | |
| | | | | Das Rechnen mit Kurven oder
mit dem Rechenschieber. Freilich wenn wir die eine
Art des Rechnens mit der anderen kontrollieren, kommt
normalerweise dasselbe heraus. Wenn es nun aber
mehrere Arten gibt: – wer sagt, wenn
sie nicht ubereinstimmen, welches die
eigentliche, d.h. aus dem Wesen der
Zahl stammende, Rechnungsweise ist? // die
eigentliche, and der Quelle der Mathematik sitzende,
… //
84
| | |
| | | | |
3.12.
Sich seiner Handlungen schämen ist ein Teil des
menschlichen Lebens – & ich will dem entgehen, ich
will es vermeiden. Das heißt: ich will das Los
der andern Menschen nicht teilen. Das ist, wie wenn ich
mich für zu gut hielte mit anderen Hunger oder
Mühe zu teilen; als wollte ich in einem Palast leben
(& fu fände dies mir ganz
angemessen) während die Anderen in gewöhnlichen
Häusern & Hütten leben.
| | |
| | | | | ‘ Beweis muß sein’ – heißt
das nicht einfach: das Bild eines Beweises muß
als Beweis können? // das
Bild des Beweises ist﹖ der
Beweis? // // das Bild eines
Beweises ist abermals der Beweis? //
85 | | |
| | | | | Wie, wenn man sagte: man
muß sich den Beweis merken können? | | |
| | | | |
4.12.
Wo ein [z|Z]weifel darüber auftauchen
kannc, ob dies wirklich das Bild
dieses Beweises ist, wo wir bereit sind die Identität
eines Beweises anzuzweifeln, dort hat der Beweis seine // unser Vorgehen
seine // die Ableitung
ihre | Beweiskraft verloren. Denn
der Beweis dient uns ja als Maß.
| | |
| | | | | Könnte man sagen: Zu einem Beweise
gehört ein von uns Kriterium der Richtigkeit der Reproduktion richtigen
Reproduktion | des
Beweises?
| | |
| | ⌇ | | |
Das heißt
z.B., D.h.,
z.B. | (auf den gewöhnlichen
Fall angewandt): daß wir
müssen sicher sein (können), ˇ, es
muß uns als sicher feststehen,
daß wir beim
Beweisen ˇ(z.B.) kein
Zeichen
haben. Daß uns kein Teufelchen betrogen haben kann,
indem es Zeichen ohne 86 unserm Wissen ˇverschwinden ließ, hinzusetzte,
etc.
| | |
| | | | |
[Bemerkung über 12 × 12 = 144]
| | |
| | ⌇ | | | Man könnte
:
man sagen kann:
“auch wenn uns ein Dämon betrogen hätte, so
wäre doch alles in Ordnung”, dort hat der Schabernack,
den er uns antun wollte, (ebenc)
seinen Zweck verfehlt.
| | |
| | ⌇ | | | “Der
Beweis muß übersehbar überblickbar sein” –
heißt: wir müssen bereit sein ihn
Richtschnur
zu
,
dafür, – – –
4.12.
– – – , was
als gleich & ungleich zu gelten hat,
etc..
| | |
| | | | |
Ein ˇmathematischer Beweisˇ, könnte man sagen,
hilft immer, einen Begriff zu
87 | | |
| | | | | Der Beweis
muß unser Vorbildˇ, unser Bild, davon sein, ⌇ wie
dieser Ausdruck richtig anzuwenden ist⌇. | | |
| | | | |
5.12.
Der Beweis, könnte man sagen, zeigt nicht
, daß es so ist,
sondern wie es so
ist. Er zeigt, wie 13 + 14 27 ergeben.
| | |
| | | | | “Der Beweis muß
übersehbar sein” –
heißt, : wir müssen bereit sein,
ihn als Richtschnur unseres
[(nicht-mathematischen)]
Urteilens zu .
¤
| | |
| | | | |
Wenn ich sage:
“der Beweis ist ein Bild” – so kann man sich
ihn auch als kinematographisches Bild denken.
| | |
| | | | |
¤
// ... ihn als Richtschnur zu dafür, wie wir eine Lage
beurteilen. //
88
| | |
| | | | |
Den Beweis ein für
alle . // allemal. // | | |
| | | | |
6.12.
Kann ich sagen: “Der Beweis ist ein
Bild davon, wie es aussieht wenn 200 & 200 400
geben”? Man könnte etwa sagen: es
gibt auch ein Bild davon wie 200 & 200 399 ergeben
– man sieht namlich dabei eine Einheit
verschwinden es verschwindet nämlich dabei eine Einheit | . Oder:
“Wenn 200 & 200 400 , so geht das so zu.
–”
| | |
| | | | |
“Dies Bild macht uns sagen, daß
200 + 200 = 400 sind.” Es ist
unser Vorbild für die Addition von 200 &
200.
| | |
| | | | | Dieses Bild zeigt
uns nicht, daß 200 & 200 400 ergeben
sondern 89 wie sie es
‘ergeben’.
| | |
| | | | |
Kann man sagen: “So schaut es aus, wenn
200 & 200 400 ergeben”?
“Ergeben” muß doch hier zeitlich
gemeint sein! ¥•
| | |
| | | | |
Schau den geschriebenen Beweis als eine Zeichnung
an. [mit dem vorherg. Satz nur in loser Verbindg.[)|]]
| | |
| | | | | ⍈
Wenn ich aber 200 Äpfel zu 200 Äpfeln lege, so sieht es
(für) gewöhnlich nicht so
aus.
| | |
| | | | |
Wenn ich aber 200 Äpfel zu 200 Äpfeln lege, so sieht es
(für) gewöhnlich nicht so
aus.
| | |
| | | | |
Wie, wenn ich sagte: “So kann es ausschauen,
wenn man & 200 Äpfel & 200
Äpfel zusammengibt.”
| | |
| | | | | Oder: “So kann es
ausschauen, wenn man 200 & 200 Äpfel so
zusammengibt, daß sie 400 ergeben.”
90 | | |
| | | | |
7.12.
// … wir müssen
bereit sein ihn als Richtschnur zu nehmen Beurteilung einer ; wir
mü[ß|ss]en, z.B., auf
grund dieses Bildes bereit sein, zu sagen, daß
nach diesen & diesen Teilungen & Abhebungen soviel
zurückbleiben
müssen wenn keine, auf uns unbekannte
Weise, oder abhanden gekommen
sind. //
| | |
| | | | |
Der Beweis muß natürlich vorbildlich
sein. | | |
| | | | |
8.12.
Der Beweis(, (das Beweisbild))
zeigt uns das Resultat eines Vorgangs
ˇ(der Konstruktion); & wir
sind überzeugt – wir
nehmen an – // wir sind
bedingungslos bereit anzunehmen // , daß
ein so geregeltes Vorgehen
(immer) zu diesem Bild
führet.
91
| | |
| | | | | (Der Beweis führt uns ein
S synthetischesc
Factum vor.) | | |
| | | | | ‘Ja, – wenn ich nach diesen
Vorschriften vorgehe, muß ich immer so gehen (wie dies
Bild es zeigt), muß immer das
herauskommen.’ | | |
| | | | |
9.12.
Mit dem Satz, der Beweis sei ein Vorbild, –
dürfen wir natürlich nichts
nNeues sagen.
| | |
| | | | | Der Beweis muß ein Vorgang
sein, von dem ich sage: Ja, so muß es sein; das muß
herauskommen, wenn ich nach dieser Regel vorgehe. mich nach dieser Regel
richte. |
| | |
| | | | | Der Beweis, könnte man sagen, muß
ursprünglich eine Art sein
– wird aber 92 dann einfach als Bild genommen.
| | |
| | | | | Wenn ich 200 Äpfel
Kartoffel & 200 Äpfel Kartoffel
zusammenschütte & zähle, & es kommt 400
heraus, ergibt sich daß ˇdann 400 Kartoffel da
sind, so ist das kein
Beweis, daß für 200 + 200 = 400
ist. D.h., wir würden dieses
Factum nicht als Paradigma zur Beurteilung aller ahnlichen
Situationen verwenden wollen.
| | |
| | | | | Zu sagen: “diese 200 Äpfel
& diese 200 Äpfel geben 400”– sagt:
Wenn man sie zusammenschüttet, kommt keiner weg,
noch dazu, sie verhalten sich normal.
| | |
| | | | | ‘Das ist nicht nur
ein|mal geschehen, sondern
(es) muß sich notwendig
wiederholen.
93 | | |
| | | | | Wir nehmen
dies Bild Vorbild
1 → 1 Zuordnung von 200 + 200 ˇGegenständen
und 400 Gegenständen.
| | |
| | | | |
Diese Transformationen werden von
einem einmaligen Ereignis zur
Begriffsbestimmung Vorgang zum
Begriff // zur Bestimmung
eines Begriffs // | . | | |
| | | | |
11.12.
‘Das ist das Vorbild der Addition von 200 &
200’– nicht: ‘ Das ist das Vorbild
davon, daß 200 & 200 addiert 400
ergeben’ Der Vorgang des Addierens
ergab allerdings 400, aber dies Resultat nehmen
wir nun zum Kriterium der richtigen Addition – oder
einfach: der Addition – dieser Zahlen.
| | |
| | | | | Der
‘Bewiesene Satz’
drückt aus, was aus dem Beweisbild abzulesen ist.
96 | | |
| | | | |
Der Beweis ist unser
Vorbild uns ein Paradigma | des richtigen Zusammenzählens von 200
Äpfeln & 200 Äpfeln:
D.h., er bestimmt einen ˇneuen
Begriff: ‘das Zusammenzählen von 200
& 200 Gegenständen’. Oder man
könnte auch sagen: “ein neues Kriterium
dafür, daß nichts weggekommen, oder dazugekommen
ist”.
| | |
| | | | | ←
// Der Beweis muß unser
Vorbild, unser Bild, davon sein, wie diese Operationen ein
Ergebnis haben. //
| | |
| | | | | Der Beweis definiert das
‘richtige Zusammenzählen’.
| | |
| | | | | Der Beweis ist unser Vorbild eines
bestimmten Ergebens– welches als
Vergleichsobject
◇ 97 (Maßstabc) für
wirkliche Veränderungen Standard zur
Beschreibung von (wirklichen)
Vorgängen dient. | | |
| | | | |
12.12.
Das ist ein Bild, welches zustande kommt, wenn wir diesen Regeln
folgen nun
sagen wir:
muß zustande kommen.
| | |
| | | | | Der Beweis ist das Vorbild eines neuen
Begriffes.
| | |
| | | | | Wie aber,
wenn ein logischer Beweis von Satz zu Satz von einem Satz zum andern
Satz |
fortschreitet? Nun, der Beweis des Satzes beweist
natürlich immer seine Beweisbarkeit
ˇ(Konstruierbarkeit) – aber wird er nicht auch
anders benützt? Liegt hier nicht das Interesse, das
diese Transformationen für uns haben, wo anders, als im
früher betrachteten Fall. 98
| | |
| | | | | Wenn
ich z.B. aus (x)fx f(a)
folgere
–– –– –– ––
| | |
| | | | | – – – – : [W|w]ir
müssen bereit sein, ihn als Richtschnur zu nehmen dafür, wie
ein zu verifizieren ist. | | |
| | | | |
13.12.
Beweis verglichen einem
Zigsaw puzzle. –
Müssen die Stücke, wenn sie sich nicht
ändern, immer wieder zu dem der gleichen Bild
Figur // Rechteck //
zusammengelegtgesetzt werden können? | | |
| | | | |
15.12.
Gestern nicht gearbeitet. Scheine müde zu
sein, abgestumpft! | | |
| | | | |
17.12.
Ich erkenne doch aber auch ein
Beweisverfahren als äquivalent einem andern an! Ich
sage: “man kann die Teilbarkeit 99 auch so
beweisen”.
| | |
| | | | |
Der Beweis überzeugt uns von etwas – – aber
nicht der Gemutszustand der Überzeugung die
Gemütsbewegung(en) des Uberzeugtseins
interessierten uns jetzt, sondern die
die diese
Überzeugtheitgung
belegen. // aber nicht der Gemütszustand des
Überzeugtseins interessiert uns – sondern die
Anwendungen die
Uberzeugung
belegen. //
| | |
| | | | |
Daher läßt uns die Aussage, der Beweis
überzeuge uns von der Wahrheit dieses Satzes,
kalt;, da dieser Satz sehr ˇAusdruck der
verschiedenersten Auslegungen fähig ist.
kalt: der Beweis … Satzes, – da …
| | |
| | | | |
Wenn ich sage: “der Beweis 100 überzeugt mich von
etwas”, so muß aber Satz, der dieser Überzeugung
ausdruck gibt nicht das im
Beweise konstruiert werden. Wie wir
z.B. multiplizieren, aber nicht
notwendigerweise das Ergebnis in Form des Satzes
… × … = … hinschreiben. Man wird also wohl
sagen die Multipli[c|k]ation
gebe uns diese Überzeugung, ohne daß der
Satz der sie ausdrückt je ausgesprochen
wird.
| | |
| | | | | Der Beweis kann
mit einem Satz endigen, braucht nicht mit einem
Satz zu endigen.
Ein Der Satz, ein der
sogenanntere Satz, zeigt uns beiläufig an,
wie der Beweis zu 101 verwenden ist, da der Satz sich ja Zeichen
enthalten muß, die [w|W]orten der
[u|U]mgangssprache entsprechen [.| (]& so die Brücke zur Anwendung durch eine uns
Praxis
schlägt).
| | |
| | | | |
Ein psychologischer Nachteil der Beweise, die
Sätze konstruieren, ist, daß sie uns leichter
vergessen daß der Sinn
des Resultats nicht aus diesem allein abzulesen abgelesen werden
| ,
sondern aus dem Beweis. In dieser
hat das Eindringen des
Russellschen Symbolismus
in die Beweise viel Schaden angerichtet gemacht.
// getan. // |
| | |
| | | | | Die Russellschen Zeichen hüllen die wichtigen Formen des
Beweises, 102 gleichsam, bis zur Unkenntlichkeit ein, wie wenn
man eine die M menschliche
Gestalt in ⌊(⌋viele⌊)⌋ Tücher
ˇgewickelt. ist.
| | |
| | | | | (Ich sagte schrieb
einmal: “Wenn Du wissen willst, was bewiesen ist,
schau auf den Beweis”. Also nicht:
“schau auf das Ende des Beweises”.)
| | |
| | | | | Das menschliche Vorgehen nach
der einer Regel ist ein Vorgang dessen
Ergebnis die Erfahrung lehrt.
| | |
| | | | |
Der Beweis aber sagt: Wenn Du nicht zu
diesem Ergebnis gelangst, bist Du nicht nach dieser
Regel vorgegangen.
| | |
| | | | |
“Der Beweis überzeugt uns von der Wahrheit dieses
Satzes”: Wie äußert sich diese
Überzeu-103 gung
z.B.
welchen Schluß rechtfertigt dieser Satz? Der
durch den Beweis erzeugte ˇmathematische Satz ist ein
Instrument – und wir wollen wissen: Wie
wird dieses Instrument angewandt?
| | |
| | | | | (, Wenn ich sage;
Mit dem: “er sei ist ein
’Instrument[’|“] , so will ich sagen
seine Funktion sei nicht, Glauben, oder Unglauben –
zu erzeugen, Kopfschütteln, oder
Kopfnicken.)
| | |
| | | | |
Was fangen wir mit der Überzeugung an:
– 25 × 25 sei ˇgleich 625? | | |
| | | | |
18.12.
Bedenken wir, wir werden in der Mathematik von
grammatischen Sätzen überzeugt; der
Ausdruckˇ, das Ergebnis, dieser
Überzeugtheit 104 ist also, daß wir eine Regel
annehmen.
| | |
| | | | |
Nichts ist wahrscheinlicher, als daß der Wortausdruck des
Resultats eine
mathem. Beweises dazu angetan
ist, uns einen Mythus vorzumachen vorzuspiegeln. Wie sollte
es nicht so sein, da jeder Ausdruck in
diesen Sätzen in einer sehr
speziellen, & dabei, gewissermaßen, übertragenen
Bedeutung gebraucht wird.
| | |
| | | | |
19.12.
Könnte man sagen: Der bewiesene Satz hat
zwar nicht die Form einer Regel, aber er läßt sich in
auf eine Regel übersetzen bringen, also erzeugt
der Beweis Vorbild Symbolismus.
105
| | |
| | | | | Ich will
etwa sagen: Wenn auch der bewiesene mathematische
Satz hinaus auf eine Realität außerhalb
(seiner ˇselbst) zu deuten scheint,
(so) ist er doch nur
⌊(⌋der⌊)⌋ Ausdruck der Anerkennung eines neuen
Maßes (der Realität).
| | |
| | | | | Wir nehmen also (aus
diesen Grundlagen, auf diese Weise) die Konstruierbarkeit
ˇ(Beweisbarkeit) dieses Symbols (ˇnämlich
des math. Satzes) zum Zeichen
dafür, daß wir Symbole so & so
transformieren sollen – – –
| | |
| | | | | Wir haben uns im Beweis durch den Beweis hindurch vordringend“, durch den
Beweis“, zu einer
Erkenntnis durchgerungen? // Wir haben uns, von Stufe zu
Stufe des Beweises fortschreitend, zu einer … // Und der letzte Satz spricht
diese Erkenntnis aus? Ist diese Erkenntnis nun frei vom
Beweise (ist die Nabelschnur ab-106 geschnitten durchschnitten)? – Nun, der Satz wird
jetzt allein & ohne das An[g|h]ängsel des
Beweises verwendet.
| | |
| | | | |
Warum soll ich nicht sagen: ich habe mich, im
Beweis, zu einer Entscheidung durchgerungen?
| | |
| | | | | Der Beweis stellt diese
Entscheidung in ein System von Entscheidungen.
| | |
| | | | | (Ich könnte
natürlich auch sagen: “der Beweis
überzeugt mich von der Zweckmäßigkeit dieser
Regel”. Aber das ˇzu sagen könnte
leicht irreführen.) | | |
| | | | |
20.12.
Der durch den Beweis bewiesene Satz dient als
Regel, – also als Paradigma. Denn nach der
Regel richten wir uns.
107
| | |
| | | | | Aber bringt
uns der Beweis nur dazu, daß wir uns nach dieser Regel richten
(sie anerkennen), oder zeigt er uns auch, wie wir uns
nach ihr richten sollen?
| | |
| | | | |
Der math. Satz soll uns
ja zeigen, was zu sagen Sinn hat.
| | |
| | f | | | Der Beweis
konstruiert einen Satz; aber es kommt eben drauf an wie er
ihn konstruiert. Manchmal z.B.
konstruiert er zuerst eine Zahl & dann folgt der
Satz, daß es eine ˇsolche Zahl gibt. Wenn wir
sagen[;|,] die Konstruktion müsse
uns von dem Satz überzeugen, so heißt das, daß
sie uns dazu
muß, diesen Satz so & so
anzuwenden. Daß sie uns
be-108 stimmen muß, das als Sinn, das nicht als Sinn
anzuerkennen. | | |
| | | | |
21.12.
Was hat der Zweck einer
Euklidischen Konstruktion, etwa
der Halbierung der Strecke, mit dem Zweck der Ableitung einer Regel
aus Regeln mittels logischer Schlüsse gemein?
| | |
| | | | | Das Gemeinsame scheint zu
sein, daß ich durch die Konstruktion eines Zeichens die Anerkennung
eines Zeichens
erzwinge.
| | |
| | | | | Könnte man sagen:
“Die Mathematik schafft neue
Ausdrücke, nicht neue
Sätze”??
Insofern nämlich, als die [M|m]athematischen
Sätze 109 ein für allemal in die Sprache aufgenommene
Instrumente sind – ( & ihr
Beweis die Stelle zeigt, an der sie stehen.
| | |
| | | | | Inwiefern sind aber z.B.
Russells Tautologien
‘Instrumente der Sprache’?
Russell
hätte sie jedenfalls nicht für solche gehalten.
Sein Irrtum, wenn ein solcher vorlag, konnte aber nur darin
bestehen, daß er auf ihre Anwendung nicht acht
hatte.
| | |
| | | | | Der Beweis
läßt ein Gebilde aus einem anderen anderen entstehen. Er
führt uns die [e|E]ntstehung von einem aus anderen
vor. Das ist alles recht gut – aber er
Das ist leistet
doch damit 110 in verschiedenen Fällen ganz Verschiedenes!
Was ist das Interesse dieser
Überleitung?!
| | |
| | | | |
Wenn ich auch den Beweis in einem Archiv der Sprache
niedergelegt denke wer sagt, wie
dies Instrument zu verwenden ist, wozu es dient! | | |
| | | | |
22.12.
Der Beweis bringt mich dazu zu sagen das
müsse sich so verhalten. ‒ ‒ Nun,
das versteh ich im Fall eines Euklidischen Beweises oder eines Beweises von
“25 × 25 = 625”, aber ist es auch so im Fall
eines R.schen Beweises etwa von “⊢ p ⊃ q ∙
p. ⊃ .q”? Was heißt
hier ‘es müsse sich so
verhalten, im Gegensatz zu ‘es
verhält sich so’? Soll ich sagen:
ˇ“nun ich 111 nehme diesen Ausdruck als Paradigma für alle
nichtssagenden Sätze dieser Form an”?
| | |
| | | | | Ich gehe den Beweis durch
& sage: “[j|J]a, so
muß es sein; ich muß den Gebrauch Sprache so festlegen”.
Ich schlage gleichsam einen Pflock Nagel // Dübel // ein
⌇ der die möglichen Bewegungen der Sprache näher
bestimmt. hemmt & bestimmt. | // der gewisse
Bewegungen der
Sprache ausschließt. // // der
den Freiheitsgrad der Sprache
einschränkt. // // &
schließe damit gewisse Bewegungen
aus. //
| | |
| | | | |
Ich will sagen[;|,] daß das
Muß einem Gleise entspricht, das welches﹖ ich in der
Sprachec﹖ lege. // Ich will
sagen: das Muß entspricht einem Gleise, das ich
...... //
112
| | |
| | | | | Wenn wir
diese Regel annehmen, so müssen wir
diese Regel annehmen, wenn wir nicht in
Schwierigkeiten geraten wollen. Wenn wir
z.B. nicht sagen wollen, “wir
müssen uns verrechnet haben”, wenn gar kein Grund zu dieser Anschauungsweise
vorliegt. | | |
| | | | |
23.12.
Es ist ein Bild, was bildlicher
Vorgang, der , was Dich
überzeugt, oder bestimmt. | | |
| | | | |
24.12.
Wenn ich sagte, ein Beweis führe einen neuen Begriff ein so
meinet⌊e⌋ ich so etwas wie:
setze ein neues Paradigma zu der
Paradigmensamlung den
Paradigmen | der Sprache;
(ein neues Modell) wie wenn man ein besonderes
rötlich-113 blau mischte die besondere Farbmischung irgendwie
festlegte, & ihr einen Namen gäbe.
Aber wenn wir auch geneigt sind, einen Beweis ein
solches neues Par[d|a]digma zu nennen – was ist die
(genaueen) eines Beweises
zu so
eine[n|m] ? Man möchte sagen: der
Beweis ändert die Grammatik unserer Sprache⌊,⌋
ˇändert unsere Begriffe. Er macht neue
zusammenhänge & er schafft den
Begriff dieser Zusammenhänge. (Er stellt nicht
fest, daß sie ,
sondern sie sind nicht da, bestehen nicht, |
ehe er sie nichtc .)
| | |
| | | | |
Bewege ich mich im Kreise?
| | |
| | | | | Man könnte z.B. sagen ein
B[ …|eweis] schaffe den Begriff des Folgens
dieses Satzes aus diesem Satze.
114 Aber, will ich
fragen wie wird das Begriffswort dieses
Begriffes in der gewöhnlichen Sprache
ˇd.h. außerhalb der Mathematik
angewandt? // wie wird dieser Begriff
verwendet? //
| | |
| | | | |
Welchenr Begriff schafft
entspricht legt ’p ⊃ p’
fest? Und doch ist es mir als könnte man
sagen “p ⊃ p” diene uns als
Begriffszeichen.
“p ⊃ p” ist eine
Formel. Legt eine Formel einen
Begriff fest? Man kann
sagen: “daraus folgt nach der Formel … das
& das”. Oder auch: “daraus
folgt auf die Art ⌊(⌋&
Weise⌊)⌋ … das & das”.
Aber ist das ein Satz, wie ich ihn wünsche? Wie
ˇist es aber damit “Zieh⌊'⌋e
die
Consequenz auf die Art
…”? | | |
| | | | |
25.12.
Aber man kann natürlich auch sagen: “Und
daraus folgt, nach 115 der Regel ◇◇◇ “⌊‘⌋p ⊃ p ⌵ q”⌊’⌋,
….” Und sagen kann, daß die Einschaltung “nach der
Regel ‘p ⊃ p ⌵ q’”
in ˇeinem gewissen Sinne überflüssig ist, so ist
sie doch nützlich (&) spielt ihre Rolle im
Sprachspiel.
| | |
| | | | | Wenn ich
vom Beweis sage, er sei ein Vorbild⌊(⌋, ein
Bild,⌊)⌋ so muß ich es auch von einer
R.schen p.p. sagen ˇsagen können
(als der Eizelle eines Beweises).
| | |
| | | | | Man
fragen: Wie ist man darauf gekommen den Satz
“p ⊃ p” als eine
Behauptung
auszusprechen? Nun, man hat ihn nicht im
praktischen Sprachverkehr
gebraucht – aber dennoch
hat war man ˇgeneigt // gedrungen // // gedrängt // ihn unter
besondern Umständen (wenn man z.B. Logik
116
) mit
Überzeugung auszusprechen. | | |
| | | | |
26.12.
Wenn ich sagte “[d|D]er Beweis muß
übersehbar sein” – gilt dies denn nicht
ebenso von jedem Satz: z.B.,
“In England gibt es 20000
Kühe”⌊?⌋ ˇMan kann
auch ˇMan denke sich in diesem Satz kann
man “20000“ ersetzt denken
durch eine ˇlange Reihe von Strichen.
| | |
| | | | | Wir entscheiden uns
stufenweise zur dieser Regel.
| | |
| | | | | Wenn der Beweis eine Straße
ist, die zum Satz
führt, // ist zu diesem
Satz, // zum ⌊(⌋bewiesenen⌊)⌋
Satz ist, | welche Rolle spielt diese Straße
noch wenn wir sie einmal gegangen
sind? Sie gibt dem Satz seinen Ort System.
117
| | |
| | | | | Was ist es,
was mir unklar ist: ist es die Rolle eines
Beweises in Sprachspielen?
| | |
| | | | | Der mathematische Beweis, weist der
Regel ihren Platz an. (Die Regel
“16 × 4 = 64” könnte ja auch eine
ursprüngliche Definition sein.)
| | |
| | | | | Der Beweis überredet mich – mich aber nicht, ⌇ daß
das & das sich so & so verhält ⌇,
sondern, daß ich meine Begriffe so
dahin erweitern, so dahin .
| | |
| | | | |
Ich nehme diese Transformationen an. – Ich
lasse sie meine Darstellungsweise Ausdrucksweise bestimmen. ⌊(Soll
ich sagen: “aus den verschiedensten
Gründen”?)⌋
| | |
| | | | |
Wie ist es aber mit
‘p ⊃ p’?
Ich 118 sehe in ihm einen
degenerierten ◇◇◇ Satz, der auf der Seite
der Wahrheit ist. Ich lege ihn als
wichtigen Schnittpunkt von
sinnvollen Sätzen von Sätzen | fest. Ein Angelpunkt der
Darstellung. // Darstellungsweise. //
| | |
| | | | | Wovon soll der Beweis ein Vorbild
sein? – Soll ich sagen: ‘von
einer bestimmten Sprachbewegung’?
| | |
| | | | | Wenn der Beweis auch nach
Regeln fortschreitet, so ist er doch das Paradigma für
diese Fortschreitung.
| | |
| | | | |
Ich wollte sagen: Der mathematische Beweis
wird außerhalb der Mathematik
& ist da das Paradigma eines 119 unserer Begriffe. ⌊–⌋ Aber
in wiefern ist das wahr?
| | |
| | | | |
Nimm einen
R.schen Beweis des ersten Teils der
Pric. Math.: inwiefern kann man ihn
Vorbild eines Begriffs nennen? Nun, er ist Vorbild des
Begriffs eines bestimmten Übergangs. | | |
| | | | |
27.12.
Aber das scheint zu wenig zu sagen. – Wie
würde der Begriff so einer Transformation
gebraucht? Indem man ˇetwa sagen
würde: “N. führt mit den Zeichen die
Transformation T aus”. Und
die Transformation T ist eine, die ich
durch eine Vorlage erkläret ˇwird. Es könnte
z.B. eine Umgruppierung der Figuren auf dem
Schachbrett sein. 120
| | |
| | | | | Ich bin
willens, diese Konstruktion “Konstruktion des
regelm.
5-[E|e]cks mittels Zirkel
& Lineals” zu nennen.
| | |
| | | | | Ich will sagen: Durch die
Konstruktion des Fünfecks schaffe ich den Begriff
dieser Konstruktion, & durch den
Aufbau des Beweises von … den Begriff dieses
Beweises.
| | |
| | | | | (Immer
das Gefühl, als drehte ich mich im Kreise.)
| | |
| | | | | Aber könnte ich nicht
auch sagen: der Beweis schaffe den Begriff dieses Satzes an
diesem Platz?
| | |
| | | | | Der
Beweis ist unser Vorbild dieses Weges. 121
| | |
| | | | |
Was aber die Wichtigkeit dieses Weges ist, ist damit noch nicht
gesagt. –
| | |
| | | | | Es
genügt nicht zu sagen: “ich bin willens, diese
Konstruktion als //als//
ˇden Beweis dieses Satzes zu nennen
//anzuerkennen//”, sondern ich muß sagen: –
“dieses Satzes, den ich so & so
gebrauche”. | | |
| | | | |
28.12.
Die Konstruktion des Beweises beginnt mit irgend welchen
Zeichen, & unter diesen müssen die
‘ einige, die
‘Constanten’ in der Sprache
schon Bedeutung haben.
So ist es wesentlich daß
“ ⌵ ” &
“~” schon eine uns geläufige
Anwendung besitzen & die Konstruktion eines 122 Beweises in den
Princ. Math. nimmt ihre Wichtigkeit, ihren Sinn,
daher. Die Zeichen aber des Beweises lassen Bedeutung nicht erkennen.
| | |
| | | | | Die ‘Verwendung’
des Beweises hat natürlich mit jener Verwendung
seiner Zeichen zu tun.
| | |
| | | | |
[Die Biegung des Weges, die Du , erscheint Dir als Biegung, während
ˇfür Deinen Blick die Biegungen vor &
hinter Dir sich für Deinen Blick
au in Gerade
ausstrecken.]
| | |
| | | | | Wie gesagt, ich bin ja auch schon von den
p.p.
Russell's in gewissem Sinne überzeugt.
Die Überzeugung also, die der Beweis
hervorbringt 123 kann nicht nur von der Beweiskonstruktion
herrühren.
| | |
| | | | |
(Was ich jetzt schreibe muß außerordentlich schlecht
sein.)
| | |
| | | | | Wenn
ich mir denke, daß der Beweis Regeln aus Regeln ableitet,
so bestimmt er mich also gewisse Regeln anzuwenden, nachdem ich mich
schon vorher entschieden habe gewisse Regeln anzuwenden.
| | |
| | | | | Wie kann Die
Beweisfigur zeigt ein gewisses Passen – etwas was ich
–– ‒ ‒ aus komplizierten Gründen –– ‒ ‒
als Passen
anerkenne.
| | |
| | | | | Wenn
ich : “der Beweis
124 schafft einen
Begriff” – ist dieser Begriff, sozusagen,
ˇeinfach ein Geometrischer
Begriff, (entsprechend der geometrischen Figur des
Beweises), oder ist es ein Begriff, dessen
Inhalt mit der
ˇ(außerlogischen) Anwendung des
Beweises zu tun hat? (Diese
Frage beruht natürlich auf einer
Verwirrung.)
| | |
| | | | | Die
‘geometrische’ Anwendung des Beweises ist offenbar
nur eine unter vielen Und sie ist ja eine Anwendung
auf ein praktisches Problem.
| | |
| | | | |
‘Das regelm. 5-Eck mit
Zirkel & Lineal konstruieren’ heißt
das tun. Die Wichtigkeit der Konstruktion,
des Begriffes, mag darin liegen, 125 daß diese Konstruktion unter gewissen
[u|U]mständen ein regelmäßiges
5-Eck im metrischen Sinn
ergibt.
| | |
| | | | |
29.12.
Warum bildet man diesen Begriff? Weil er
nützlich ist.
| | |
| | | | |
Warum bildet man den Begriff des Übergangs von diesen Zeichen
zu diesem Zeichen?
| | |
| | | | |
Aber wovon kann mich ein Begriff überzeugen? – Soll ich sagen: davon, daß ich ihn so
werde gebrauchen können? | | |
| | | | |
Ich habe vor mir eine Reihe von Zeichen – – daß
⌊(⌋aber⌊)⌋ die Übergänge nach
diesen Regeln gemacht sind, ist eine Frage 126 der Anerkennung.
| | |
| | | | | Wozu kann so eine
Re Folge von Zeichen, wie sie der Beweis ist,
sein?
| | |
| | | | | Aber könnte man die Konstruktion des metrischen
regelm.
5-Ecks kein
Experiment nennen?
Das Konstruieren ist ein Experiment
(oder kann eins sein). Die Konstruktion ist
– wenn Du willst – eine
Anweisungc﹖.
| | |
| | | | | Die Kons⌊t⌋ruktion des
Kräfteparallelogrammes.
| | |
| | | | | Der Beweis, könnte man sagen, ist
der einc
Ausschnit eines aus
einemc Systems von Zeichen. Wir nehmen – aus
verschiedenerlei verschiedenen | Gründen –
den Ausschnitt die Darstellungs
127 form,
– die der Ausschnit
representiert, an.
| | |
| | | | | Ich habe früher eine Rechnung
dargestellt als Teil einer Technik,
z.B. des Hausbaues. Es könnte
aber auch ein Experiment mit Zeichen ein Teil so einer
Technik sein: – Man übergieße diese Zeichen
mit Schwefelsäure & richte sich dann in der & der
Weise nach dem was sich dann auf dem Papier zeigt. –
Das aber ist keine Rechnung. Die Rechnung muß
‘’ sein. –
| | |
| | | | | Der Begriff Beweiskonstruktion kann auf
verschiedenen Umwegen nützlich sein.
128
| | |
| | | | |
Was ist der Unterschied zwischen einem Beweis in der reinen
Mathematik & einem in der angewandten
Mathematik?
| | |
| | | | |
Wenn ich das Urmeter in Paris sähe, aber die
Institution des Messen & ihren Zusammenhang
mit ‘’ nicht kennte , –
könnte ich sagen, ich // besäße // kenneverstehe | den Begriff des
Urmeters?
| | |
| | | | | Ist nicht
auch so der Beweis die Beweiskonstruktion | ein Teil
einer Institution?
| | |
| | | | |
Der Beweis ist ein Instrument – aber warum, sage
ich: “ein Instrument der Sprache“?
Ist denn die Rechnung notwendigerweise ein Instrument
129 der Sprache?
| | |
| | | | |
Man könnte
sich, z.B., denken, daß ˇdie
Ableitungen in Princ. Math. von
⌊von⌋ jemandem zum Zeitvertreib, ˇals ˇein
Schreibspiel,
⌊hin⌋geschrieben worden wären, der
mit “ ⌵ ” nicht den Begriff
‘oder’ mit ‘~’
nicht den Begriff ‘nicht’ verbunden hätte,
Später hätte jemand “ ⌵ ” als
Zeichen ,
~ als Zeichen der Verneinung
aufgefaßt⌊(⌋,
etc⌊)⌋, & die
ˇˇ(gewissen)
zusammenhängenden Zeichengruppenc ˇdes
Buches als Ableitungen von
Schlußregeln. Hätte nun dieser
Letztere schon angewandte Mathemathik
betrieben?
| | |
| | | | |
30.12.
∣
Sich psychoanalysieren lassen kann
ähnlich sein einem dem Essen vom Baum
der Erkenntnis sein. ist irgendwie
ähnlich vom Baum der Erkenntnis essen. | Die Erkenntnis, die man
erhält,
130 uns
⌊(⌋neue⌊)⌋ ethische
; trägt aber nichts
zu ihrer Lö[g|s]ung bei. ∣
| | |
| | | | | Was ist es
ˇdenn, was Dich quält?
Dieaßas mangelnde
Dir die Fehlen ˇder Übersicht
fehlt über den Gebrauch des Beweises.
¥ •
| | |
| | | | | Das ‘Einleuchten’ der Axiome
besteht darin //ist ein das//
dem einem
Entschlossensein sie
& unbedingt sie als // sie
unbedingt als … // sie als |
⌊(diec)⌋
Richtschnurren der Darstellung zu nehmen.
⍈↺ Ich suche
vergebens eine Übersicht über die Verwendung der
Konstruktionen.
| | |
| | | | | Die Konstruktion der 5-Ecks Seite ist bei Euklid ein Teil des Beweises, daß die die
Konstruktion der 5-Ecks Seite
ist. Aber könnten wir uns nicht denken, daß Leute
131 festsetzen,
dies ˇdieser Konstruktionsvorgang soll
als Meßmethode für die Regelmäßigkeit
de[s|r] Fünfecke ? Gestützt wäre diese
Festsetzung durch gewisse (wohlbekannte) Erfahrungen.
| | |
| | | | | Was ich immer tue,
scheint zu sein zwischen
Sinnbestimmung & Sinnverwendung einen Unterschied
hervorzuheben.
| | |
| | | | | Die An Rolle, die die
sogenannten Axiome in der eigentlichen Anwendung spielen
ist eine mannigfache: Wie kommt es
dann, daß mit ihnen immer eine Überzeugung
Hand in Hand geht verbunden ist | ?
Was ist das Gemeinsame der
Überzeugungen davon daß p ⊃ p wahr ist
& das daß man 132 zwischen je 2 Punkten eine Gerade ziehen kann,
( oder daß alle Körper einander
anziehen? – Was ist das Gemeinsame in der
Verwendung dieser
Behauptungssätze?
| | |
| | | | | Angenommen, wir sagten:
Mit dem Beweis geht immer ein Entschluß
zusammen.
| | |
| | | | |
Ich möchte sagen: Der Beweis ist eine
Konstruktion, & eine Konstruktion, die wir nicht als
Experiment betrachten. Sie ist eine Bilderreihe, deren Ende
wir ‘das Ergebnis’ nennen. (Und
zwar we⌊i⌋l so wirklich
ˇnormalerweise das Ergebnis ausschaut, wenn wir nach
der & der Regel fortschreiten.)
Im Satz: “die Konstruktion ergibt
das⌊“⌋ & das ist “ergeben”
133 zeitlos
gebraucht.
| | |
| | | | | Das
Ergebnis der Eucl. Konstr der 5-EcksSeite
ist also nicht die metrische 5-Ecksseite. Diese wird sich
manchmal ergeben, manchmal nicht.
| | |
| | | | | Die Konstruktion ist also in diesem Sinne
nicht ein Bau das eines Baus, das Erzeugen eines
Ergebnisses[.|,] ⌊das Ergebnis kein
Erzeugnis.⌋
| | |
| | | | |
(Ich mache Bemerkungen über die Grammatik ‘Konstruktion’,
‘Ergebnis’, etc.)
| | |
| | | | | Das
⌊(⌋geometrische⌊)⌋ Ergebnis
der Eucl. Konstr. der 5-Ecksseite mit Zirkel & Lineal könnte man
daher überhaupt nicht die
Fünfeckseite nennen, sondern
nur die ganze Konstruktionsfigur – zu der das
regelm.
5-Eck gar nicht gehört.
| | |
| | | | | Wir erkennen aber die
Konstruktion in gewissem Sinne an. Was heißt es
denn: sie anerkennen? Als was kann ich
diese Verbindung von Linien
anerkennen? Nun es kommt drauf
an: – Im ‘Beweise’ spricht man
davon
einem Anerkennen der Axiome & der einzelnen
Schritte. In der Konstruktion der
5-EckSseite gibt
es so ein Anerkennen nicht.
| | |
| | | | |
Aber – wie gesagt – ‘die Axiomeˇ, oder
Premissen,
etc anerkennen’ kann
doch verschiedenerlei heißen.
| | |
| | ∫ | | | Im
rein-mathematischen Beweis, – könn 135 te man sagen – das Anerkennen der
Premissen etwas
Ähnliches wie das Anerkennen der
Schritte.
| | |
| | | | | (Ich
fürchte, ich bin vielleicht zu nicht mehr jung genug,
den Purzelbaum zu machen, der vielleicht hier nötig
ist.) | | |
| | | | |
31.12.
Denn alles liegt daran, das Wohlbekannte von einer neuen Seite
anzusehen.
| | |
| | | | | Den Beweis
anerkennen: kann ihn
anerkennen als Paradigma Figur, die
entsteht, wenn diese Regeln richtig auf
Figuren angewandt . Man kann ihn anerkennen als die
richtige Ableitung einer Schlußregel. Oder als
eine richtige Ablei- tung aus
einem richtigen Erfahrungssatz; oder als die richtige Ableitung aus
einem falschen Erfahrungssatz; oder einfach als die richtige
Ableitung aus einem Erfahrungssatz, von dem wir nicht wissen ob er
wahr od⌊e⌋r falsch ist.
| | |
| | | | |
Man könnte fragen: “
‘Was tun wir, auf den Beweis
hin?’
| | |
| | | | | Es
ist ein seltsamer Gebrauch ˇin unsrer Sprache,
wenn wir von Zahlen ◇◇◇ wenn sie von Zahlen in
Erfahrungssätzen & auch in mMathematischen
Sätzen redendet. // Es ist eine Seltsamkeit (in)
unsrer Sprache,
wir von Zahlen .... wir in Erfahrungssätzen
& auch in mathematischen Sätzen von Zahlen
reden. // | // 137 // Es ist eine Seltsamkeit unserer
Sprache, wenn sie von Zahlen in
Erfahrungssatzen – & auch in
mathematische Sätzen redet. //
| | |
| | | | | Kann ich nun aber sagen,
daß die Auffassung des Beweises als ‘Beweises
der Konstruierbarkeit’ des bewiesenen Satzes
in irgend einem Sinn(e) eine einfachere,
primärere, ist als jede
andere?
Kann ich
also sagen: “
Beweis beweist vor allem, daß diese Zeichenform
herauskommen muß wenn ich diese Regeln auf diese
Zeichenformen anwende”? Oder:
“Der Beweis beweist vor allem, daß diese Zeichenform
entstehen kann, wenn man nach die-138 sen Transformationsregeln mit diesen
Zeichen [O|o]periert. – Das
Das würde ˇauf eine geometrische
Anwendung deuten. Denn der Satz dessen Wahrheit, wie ich
sage, hier bewiesen ist, ist ein Geometrischer
Satz ein Satz Grammatik die
das Transformieren Transformierungen | von Zeichen
betreffend. Man könnte z.B.
sagen es sei bewiesen, daß es
Sinn habe zu sagen, jemand habe das Zeichen … nach
diesen Regeln aus … & …
erhalten[;|,] aber keinen Sinn etc.
etc..
| | |
| | | | |
Und doch könnte ich sagen, daß im Beweis vor
allem anerkannt werden müsse, daß Stufen wirklich den Regeln der
Übergänge gemäß seien. – Ist es aber wirklich we-139 sentlich,
daß im Beweis die Regeln
angegeben werden, nach denen die
Übergange geschehen?
| | |
| | | | | Der Beweis müsse also vor allem
als Konstruktion den Regeln gemäß anerkannt werden. –
| | |
| | | | | Oder:
„Wenn man die Mathematik
jeddesn
[i|I]nhalts entkleide, so bleibe, daß gewisse Zeichen
aus andern nach gewissen Regeln sich konstruieren
lassen. –
| | |
| | | | | Das
Mindeste, was wir anerkennen (müssen)
sei: daß dies Zeichen etc.
etc. – & diesee
Anerkennung dies Anerkennen lege jeder anderen jedem
andern zu
Grunde. –
140
| | |
| | | | | Ich möchte nun sagen:
Die Zeichenfolge des Beweises zieht
nicht ˇnotwendigerweise irgeneine
Anerkennen nach sich. – Wenn wir aber einmal mit dem Anerkennen anfangen, dann
braucht es nicht das
‘geometrische’ zu
sein.’
| | |
| | | | | Ein Beweis könnte doch aus
bloß zwei Stufen bestehen: etwa
einem Satz ‘⌊(x).⌋f(x’
& einem ‘f(a)’ – spielt
hier das richtige Übergehen nach einer Regel eine wichtige
Rolle?
| | |
| | | | | Man
könnte fragen, :
“Warum verwendet die Mathematik überhaupt
satzförmige Axiome?”
| | |
| | | | | Die Frage ist: Ist es wahr,
daß, wie ich behauptet habe, die 141 Mathematik wesentlich die Rolle der Grammatik ihrer
Zeichen spielt? – Kann man denn das in dem Beispiel
sagen ˇ(das ich gab)c, worin
Leute eine Rechnung als Teil einer Technik des Hausbaus
verwenden??
| | |
| | | | |
Ich sagte: bei dieser Rechnung gäbe es ein
(sozusagen arithmetisches)
[‘r|R]ichtig’c oder
Falsch, – nämlich: der Regel
gemäß, oder der Regel zuwider.
| | |
| | | | | Hab⌊en⌋ wir hier nicht,
sozusagen, angewandte Mathematik, ohne
reine﹖
Mathematik?
| | |
| | | | |
Ich wollte doch sagen:
Wo die reine Mathematik von Satz zu
Satz fortschreitet, da wird von einer Ausdrucksform zur
andern fortgeschritten.
142
| | |
| | | | |
Immer bin ich hier zum Dogmatismus geneigt!
| | |
| | | | | Ist denn das
Charakteristische am Beweis nicht, daß das Bewiesene am Ende
ohne den Beweis feststeht? (Obwohl der
Beweis immer zur Grammatik des Bewiesenen
gehört.)
| | |
| | | | |
Muß also Beweis nicht vor
allem beweisen, daß das Beweisen immer zu diesem Resultat
führt? // führen
muß? //
| | |
| | | | |
Wenn ich aber : muß er
das nicht beweisen, so meine ich doch nicht daß dieser Satz
beim heraus kommt.
| | |
| | | | | Wenn ich also frage:
Muß 143 man am Beweis nicht vor allem anerkennen, daß
dies Gebilde bei der Anwendung dieser Regeln
heraus kommt – – nun, ich brauche ja den Beweis gar
nicht so zu formulieren, daß Regeln ausdrücklich
werden.
| | |
| | | | | Aber
ˇdazu daß der Beweis im Archiv der Sprache niedergelegt
werden kann – gehört dazu nicht etwas wie diese geometrische
Anerkennung? | | |
| | | | |
1.1.40.
Was ist unerschütterlich
gewiss am Bewiesenen?
| | |
| | | | | Einen Satz als
unerschütterlich gewiss
– will ich
sagen – heißt ihn als
grammatische Regel 144 dadurch entzieht man
ihn der Ungewissheit.
| | |
| | | | | “Der Beweis muß
übersehbar sein” heißt eigentlich nichts
andres als: der Beweis ist kein Experiment. Was
sich ergibt nehmen wir nicht deshalb
an weil es sich einmal ergibt, oder weil es sich oft ergibt.
Sondern wir sehen im Beweis ⌊den⌋ Grund
ˇdafür, zu sagen, daß es sich ergeben
muß.
| | |
| | | | |
Nicht, daß Zuordnen zu
diesem Resultat führt beweist, ⌊–⌋ sondern daß wir überredet werden,
diese Erscheinungen (Bilder) als zu nehmen
dafür﹖, wie es
aus-145 schaut, wenn ….
| | |
| | | | | Der Beweis ist unser neues Vorbild
wie es ausschaut, wenn
nichts weg- & nichts dazukommt, wenn wir
richtig Zählen,
etc.. Aber diese Worte zeigen,
daß ich nicht recht weiß, wovon der Beweis ein Vorbild
ist.
| | |
| | | | |
Ich will
sagen: mit der Logik der
Prin[z|c]. Math. könnte man eine Arithmetik
begründen in der 1000 + 1 = 1000 ist; & alles
was dazu nötig ist, wäre die sinnliche
Richtigkeit der Rechnungen anzuzweifeln. Wenn
wir sie aber nicht , so
ist hat daran nicht unsre
Überzeugtheit
//Überzeugung// von der Wahrheit der Logik
Sschuld die Schuld. // so ist nicht das Werk 146 unsrer Überzeugunggtheit von
… //
| | |
| | | | |
Wenn wir beim Beweis sagen:
“Ddas
muß herauskommen” – so nicht aus
Gründen, die wir nicht sehen. // – so nur aus Gründen, die wir
sehen. //
| | |
| | | | | Nicht, daß wir dieses Resultat
erhalten, sondern, daß es das Ende dieses Weges ist, läßt
es uns annehmen.
| | |
| | | | |
[In
Zusammenhg.
mit.: “D. Bew. muß
übersehb.
sein”]
ist der Beweis, was
uns überzeugt: Das Bild,
das uns nichtc
überzeugt, ist der Beweis auch dann nicht, wenn von ihm gezeigt
werden kann, daß es einen Satz exemplifiziert // , was uns
nicht überzeugt, ist der Beweis nicht,
auch dann nicht, wenn sich zeigen läßt von
ihm gezeigt werden 147 kann, daß es den
bewiesenen Satz exemplifiziert. // | | |
| | | | |
2.1.
Das heißt: es darf keine physikalische Untersuchung des
Beweisbildes nötig sein um uns zu zeigen, was bewiesen
ist.
| | |
| | | | | Ich hätte
auch etwas sagen können wie:
“Der muß anschaulich sein.3
(Bemerkung über die
Grammatik des Wortes “Beweis”.)
| | |
| | | | | Der Beweis ist unser
Vorbild (–unser Bild)–
davon, [wie der neue
Begriff zu gebrauchen ist].
| | |
| | | | | Der neue Begriff: Diese Regel als
Resultat dieser Umwandlungen.
| | |
| | | | | Ich bin irgendwie
zu sagen:
die eine neue Regel sei ein
neuer Begriff, ◇◇◇ ˇein in
unsre Sprache neu eingeführter Begriff. // : die Einführung einer neuen Regel ist die
Einführung eines neuen Begriffs. //
| | |
| | | | | Aber führt sie
nicht dann nur nicht nur dann | einen neuen
Begriff ein, wenn sie ein neues Bild ei als
Mittel der Darstellung einführt?
| | |
| | | | | Ist es nicht merkwürdig, zu sagen:
die Formel “25 × 25 = 625”
S sei das Zeichen eines Begriffs für einen Begriff | ? Und doch versucht
mich etwas, das zu sagen. Ist das nur Unsinn, oder
Übereilung? Ist es eine Krankheit meiner
Anschauungsweise? Es muß teilweise
eine Krankheit
sein.
| | |
| | | | | Ein System muß
gefunden werden finden wir
nicht
offenbar vorliegt, // gelingt es (aber) nicht das zu finden, welches
offenbar vorliegt, // so
werdene wir ich gedrängt, zu dogmatisieren. (Wenn die
richtige [z|Z]usammensetzung des Puzzles nicht
gelingt, versuchen wir die Stücke
mit Gewalt zusammen|zu .)
| | |
| | | | |
∣ Wir sagen von zwei Menschen auf einem Bild nicht vor
allem: der eine erscheine kleiner als der andre,
& erst dann﹖ er
erscheine weiter zu sein.
Es ist, kann man sagen, wohl möglich daß uns das
[K|k]leiner kürzer sein gar
nicht auffällt sondern bloß nur das Hintenliegen. (Dies scheint
150 mir etwas mit
ˇder Frage der ‘geometrischen’ Auffassung des
Beweises zu tun zu tun zu
haben. zusammen zu
hängen. | ) ∣
| | |
| | | | |
3.1.40.
‘Er ist das Vorbild für das, was man so & so
nennt.’
| | |
| | | | | Von
was soll aber der Übergang von
“(x) ∙ φx” auf
“φa” ein Vorbild
sein? Höchstens davon, wie von Zeichen der
“(x) ∙ φx”
geschlossen werden kann. Das Vorbild dachte
ich mir als eine Rechtfertigung, hier aber ist es keine
Rechtfertigung. Das Bild (x) ∙ φx
:. φa rechtfertigt
Schluß nicht. Wenn
wir von einer Rechtfertigung des Schlusses reden wollen, so liegt sie
außerhalb dieses Zeichenschemas.
151
| | |
| | | | |
Und doch ist etwas daran, daß der
[M|m]ath.
Beweis einen neuen Begriff schafft. – Beweis ist gleichsam ein Bekenntnis // besonderes Bekenntnis // zu einer
bestimmten Zeichenverwendung.
| | |
| | | | | Aber ist er ein
Bekenntnis? Nur zur dieser
Verwendung der Übergangsregeln von Zeichen
Formel zu Zeichen Formel? Oder (ist
er) auch ein Bekenntnis
zu[m|r] Verwendung der
p.p. in
der & der Weise? zu den p.p.? // Oder ist auch ein Bekenntnis zu den ‘Axiomen’ ˇin
irgend einem
Sinn? //
| | |
| | | | |
Könnte ich sagen ich bekenne
mich zu p ⊃ p als einer
Tautologie? Ich
152
| | |
| | | | | Ich nehme
p ⊃ p als Maxime an,
etwa des Schließens.
| | |
| | | | |
Die Idee, der Beweis schaffe einen neuen Begriff
konnte man
⌊(⌋auch⌊)⌋ ˇungefähr so
ausdrücken: Der Beweis ist nicht seine Grundlagene plus den
Schlußregeln und
Schlußregeln, sondern ein neues Haus
–c ein Beispiel
dieses & dieses Stils. Der Beweis ist ein
neues Paradigma.
| | |
| | | | |
Der rein math. Beweis
ist das Bekenntnis zu einer neuen Maxime. Ist
dieas
richtig?
| | |
| | | | | Der Begriff, den
der Beweis schafft, kann z.B. ein neuer
ˇSchlußBbegriff sein, ein neuer Begriff vom
des richtigen Schließen⌊s⌋s. // kann z.B. ein neuer Begriff
des richtigen Schließens sein. // 153 Warum ich aber
das als richtiges Schließen anerkenne, hat außerhalb des Beweises.
| | |
| | | | | Der Beweis schafft einen neuen
Begriff – indem er ein neues Zeichen darstellt. schafft, oder
ist. | Oder: –
indem er dem
Satz, der sein Ergebnis ist, seinem ‘Ergebnis’ | einen neuen Platz gibt.
(Denn der Beweis ist nicht eine Bewegung, sondern ein
Weg.)
| | |
| | | | | Aber ist ein
neuer Begriff eines vom richtigen Schlusses
Schließen ein Begriff ˇin dem Sinne, wie ich mir ihn
dachte? Der neue Begriff erlaubt,
einen diesen Satz als die
Consequenz aus diesen Sätzen // dem &
dem Satz // diesem | darzustellen. // einen
Satz als … aus dem &
dem ⌊Satz⌋ … //
| | |
| | | | | “Ein neuer Begriff” heißt doch
wohl nur ein neuer Behelf der
Darstellung. (﹖) | | |
| | | | |
4.1.40.
Der Beweis ist das, was uns überzeugt – also nicht das,
wovon wir meinen, es würde uns überzeugen, wenn wir es
überblicken könnten.
| | |
| | | | |
Oder: Es gibt nichts, was
﹖theoretisch﹖, der
Beweis sein müßte.
| | |
| | | | | Denn nichts hat – sozusagen – die
Pflicht﹖, der Beweis zu sein.
| | |
| | | | | “Das wäre ein Beweis,
wenn ich es überblicken könnte”–
– was macht Dich dessen so
sicher? – Ein Beweis?
| | |
| | | | | Könnte man sich nicht denken, daß reine
Mathematik nie 155 betrieben würde, sondern nur angewandte?
| | |
| | | | | Gibt es Sätze
– der angewandten Mathematik? Nun, das wären
Sätze der Naturwissenschaft in ‘mathematischer
Sprache’ geschrieben. Der Satz
“2 + 2 = 4” ist einer der reinen
Math. & so ist es
auch der Satz “2 Äpfel + 2 Äpfel =
4” Äpfel”; dagegen der Satz
“Die Preise zweier Anzahlen von Äpfeln
verhalten sich wie diese Anzahlen”, also
“ =
”, ein Satz der angewandten
Math.,
d.i, ein
Erfahrungssatz.
| | |
| | | | | Man
könnte also sagen: Wenn Mathematik in irgend
einem Sinne Logik ist (wenn auch nicht ganz
so wie Frege &
Russell sich es
dachten), so ist ein Satz der angewandten Math. 156 ein
nicht-mathematischer nicht ein mathematischer | Satz. Dagegen
ist aber ein Beweis de der angewandten
Mathematik ein mathematischer
Beweis
eine Rechnung.
›––––––––––‹
| | |
| | | | | Der Beweis ist ja eben das
Vorbild der gerechtfertigten
| | |
| | | | |
Der Beweis muß unser Vorbild, unser Bild,
davon sein welches die
gerechtfertigte Umwandlung | | |
| | | | |
5.1.
“Der Beweis muß übersehbar sein” –
soll doch ⌊(⌋etwa⌊)⌋
heißen: die Identität der einer
Transformationen ion eines Beweises
sinstd nicht durch ˇein Experiment
festzustellen, sondern (unmittelbar)
durch die Anschau-157 ung.
| | |
| | | | | Denn,
angenommen, ich habe zwei Zeilen eines Beweises; die zweite ist aus
der ersten durch Einsetzung von … für …
entstanden – wie stelle ich fest, daß sie wirklich so
entstanden ist, d.h., ich sie mit Recht das Resultat dieser
Syubstitution nenne? Man könnte sich denken,
daß so etwas durch eine Wägung festgestellt
würde.
| | |
| | | | | Der Beweis
muß anschaulich sein. ist ˇ(also) ein anschaulicher
Vorgang. |
| | |
| | | | | So kann ich mich im Beweis nicht
darauf verlassen // stützen // , daß das Papier die
Striche behält, sondern nur darauf, daß 158 mein Gedächtnis sie
behält? Unterstütze ich denn nicht zum
mindesten mein Gedächtnis durch [a|A]nschauen des
Geschriebenen & verlasse mich drauf daß das
sich nicht geändert hat? – Ich bin auf
f[ä|a]lscher Fährte. –
| | |
| | | | | Es darf nicht
vorstellbar sein, daß diese
Substitution in diesem Ausdruck etwas
anderes ergibt. Oder: ich muß es für nicht
vorstellbar erklären. (Das Ergebnis eines
Experiments aber kann man sich so so
& so anders vorstellen.
so &
ausfallen.) // kann so & anders
ausfallen. //
| | |
| | | | | Man könnte sich doch aber 159 den Fall vorstellen, daß der
Beweis sich dem Ansehen nach ändert – er ist in einen Fels
gegraben & man sagt es sei der, gleiche, was
immer der Anschein sagt.
| | |
| | | | |
Sagst Du eigentlich etwas anderes als: der Beweis wird als
Beweis genommen?
| | |
| | | | |
Der Beweis muß ein anschaulicher Vorgang
sein. Oder auch: der Beweis ist der
anschauliche Vorgang. (Der Beweis ist, was
an diesem Vorgang anschaulich ist.)
| | |
| | | | | Nicht etwas hinter dem
Beweise, sondern der Beweis beweist.
| | |
| | | | | Es Mir scheint ˇes:
ich will zu viel beweisen; ,
& darum stocke ich. 160
| | |
| | | | | Der
Bew. muß anschaulich sein:
überzeugt uns nicht mehr, was wir sehen, so hat der
Beweis seine Kraft verloren. Ob er ˇnun nach dem
‘logischen’ Schema
Russell's oder anderswie gebaut ist.
| | |
| | | | | Von R's Beweis kann
sozusagen, gezeigt werden, daß er ein Beweis
. – Daß aber
das ein R'scher Beweis
ist, wäre nun nicht auf die ursprüngliche
Weise festzustellen. Es wäre
ähnlich wie wenn jemand ein Portrait des N. malte, aber
in solcher Art, daß es nicht durch das bloße Ansehen
festzustellen wäre, daß es ein Bild des N.
ist.
161
| | |
| | | | | ⌊⌊Du wirst von etwas anderem
überzeugt, daß das der Beweis ist.⌋⌋
| | |
| | | | | Ich bin entschlossen
anzuerkennen, daß es so einen Bewes
gibt. Ich bin entschlossen
anzuerkennen, daß es möglich , Satz
so zu beweisen.
| | |
| | | | |
Nun, kann ich nicht beweisen, daß so ein Beweis
möglich ist? Das heißt doch:
beweisen, daß so eine Konstruktion möglich ist, daß es Sinn
hat von so einer Konstruktion zu reden. Aber hat es
deswegen auch Sinn von dieser Konstruktion als einem
Beweis zu reden? | | |
| | | | |
6.1.
Wenn bewiesen wurde, daß eine solche Konstruktion möglich
(logisch möglich) ist, so haben wir also auf Grund eines
Beweises angenom-162 men, daß, selbst wenn auch im Falle,
wennc | der Anschein dagegen
spräche, // sprechen
sollte, //
diese ˇeine so
beschriebene Konstruktion als unmöglich &
nunr diese eine solche als möglicherweise bestehend
anzusehen ist. // eine so
beschriebene Konstruktion nicht, & nur eine
solche möglicherweise
besteht. // // eine Konstruktion
dieser solcher
Beschreibung als & nur eine solche
als möglicherweise bestehend anzusehen
ist. //
Aber der Beweis
überzeugt ja durch den
Anschein. // ja eben durch den
Anschein. // // überredet
ja ˇeben durch den Anschein. //
| | |
| | | | | Der Beweis
läßt etwas offenbar genug erscheinen, daß wir ihn als
Paradigma gelten lassen.
| | |
| | | | | Was muß er denn
⌊(⌋als⌊)⌋ offenbar erscheinen
lassen?
| | |
| | | | | Was
läßt z.B. der Beweis:
als offenbar erkennen? Daß
0˙333 + der dritte ⌊3te⌋ Teil von 1 ist – oder, daß
⌊sich⌋ bei der voll ausgeführten Division nach drei
Stellen dieser Quotient & dieser Rest ergeben
muß? In andern Worten: Ist das Ergebnis
des Beweises ein arithmetisches oder ein geometrisches?
Es ist offenbar beides. Aber ist
eines das primäre? // Aber ist das
eine primär? //
| | |
| | | | | Aber kann ich nicht sagen: Es
muß do[f|c]h vor allem offenbar sein, daß diese
Substitution (i.e.,
die Substitution nach dieser Regel) wirklich
diesen Ausdruck ergibt? Muß es
nicht vor allem klar sein, daß kein Rechenfehler im Beweis
vorliegt??
| | |
| | | | |
Arithmetik, in der es heißt:
“2000 + 2000 = 4000 ± 2”.
| | |
| | | | |
7.1.
Wenn ich sage: “es muß vor allem offenbar sein, daß diese
Substitution wirklich diesen Ausdruck
ergibt” – so könnte ich auch sagen:
“ich muß es als unzweifelhaft annehmen” – aber dann müssen
dafür gute Gründe vorliegen:
Z.B., daß die gleiche Substitution so gut wie
immer das gleiche Resultat ergibt etc. Und
besteht darin nicht eben die Übersehbarkeit?
| | |
| | | | | Ich
möchte sagen, “daß, wo die Übersehbarkeit
nicht vorhanden ist, wo ˇalso ein Zweifel sich
einschleichen kann // , wo also für
einen Zweifel // , ob
(hier) wirklich das Resultat dieser Substitution
vorliegt, der Beweis zerstört ist. –
Und nicht – in einer dummen & unwichtigen Weise, die
mit dem Wesen des Beweises nichts zu tun hat.
| | |
| | | | | Oder: Die Logik als
Grundlage aller Mathematik tut's schon darum nicht, weil die
Beweiskraft der logischen
Beweise mit ihrer geometrischen
Beweiskraftkräftigkeit steht &
fällt. // Beweiskräftigkeit
fällt. //
| | |
| | | | |
D.h.: logische Beweis, etwa von der
Russellschen Art, ist
beweis- kräftig
nur solange, als er auch geometrische
Überzeugungskraft besitzt. Und eine
‘Abkürzung’ eines solchen logischen Beweises
kann diese Überzeugungskraft haben
& durch sie ein Beweis sein, wenn die
(voll) entwickelte logische
Beweiskonstruktion es nicht ist. ausgeführte
Konstruktion nach R-scher Art es nicht ist. | // ,
die ungekürzte logische
Konstruktion es nicht . //
| | |
| | | | | Wir neigen
dazu, zu glauben denken, zu dem
Glauben // , es anzunehmen,
daß // daß
der logische Beweis eine eigene,
absolute, Beweiskraft , welche von der
unbedingten Sicherheit der logischen Grund- & Schlusgesetze herrührt.
Während doch die so bewiesenen Sätze nicht
sicherer sein können, als es die Richtigkeit
der Anwendung jener Schlußgesetzeregeln ist. // , als die
Richtigkeit der Anwendung jener Schlußregeln
(es) ist. //
| | |
| | | | |
8.1.
Die logische Gewissheit der Beweise –
will ich sagen – reicht nicht weiter, als ihre geometrische
Gewißheit.
| | |
| | | | |
(Ich habe das bestimmte Gefühl, daß ich sehr
unvorsichtig bin. Also irgendwie im seichten
Wasser des Dogmatismus herumschwimme.)
| | |
| | | | | Wenn nun aber der Beweis ein Vorbild ist, so muß es
darauf ankommen, was als ˇeine richtige Reproduktion des
Beweises zu gelten hat.
| | |
| | | | |
Käme z.B. im Beweis das Zeichen
“❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘”
vor, so ist es nicht klar, ob als Repro
duktion da⌊v⌋on nur eine
‘gleichzahlige’ Gruppe nur ‘die
gleiche Anzahl’ | von Strichen (oder
etwa Kreuzchen) gelten soll, oder ebensowohl auch eine andere,
wenn nicht gar zu kleine Anzahl // eine ung
nicht gleichzahlige, wenn ˇnur nicht zu kleine
Gruppe // . Etc.
| | |
| | | | | Es ist doch die
Frage was als Kriterium der Reproduktion des
Beweises zu gelten hat der Gleichheit
zweier von Beweisfigurenen. Wie
sind sie zu vergleichen, um die Gleichheit festzustellen?
Sind sie gleich, wenn sie gleich ausschaun?
| | |
| | | | | Ich möchte, sozusagen,
zeigen, daß wir den logischen Beweisen in der Mathematik
können.
| | |
| | | | | “Durch Mittels
entsprechendeder Definitionen können wir
“25 × 25 = 625” in der
R.schen Logik beweisen.”.
– kann ich die
gewöhnliche Beweistechnik durch die
R.sche erklären? Aber wie kann man eine
Beweistechnik durch eine andere erklären﹖?
Wie kann eine das Wesen einer andern
erklären? Denn ist die eine eine
‘Abkürzung’ der
ander⌊(⌋e⌊)⌋n, so muß sie doch eine systematische
Abkürzung sein. Es bedarf doch eines Beweises, daß
ich die langen Beweise systematisch [A|a]bkürzen kann & also wieder ein System
von Beweisen erhalte.
Die langen Beweise gehen nun (zuerst)
immer mit den kurzen einher & geben ihnen
ˇgleichsam ihre ⌊ihre⌋ Sanktion // & bevormunden sie
ˇgleichsam // . Aber endlich können sie den
kurzen nicht mehr folgen & diese zeigen
ihre selbständigkeit.
| | |
| | | | | Das Betrachten von der
langen unübersehbaren logischen Beweise ist
nur ein Mittel um zu zeigen, wie diese Technik
zusammenbricht & neue Techniken notwendig
werden // , wie diese Technik, da
sie, wie jede andre, auf
geometrischen Eigenschaften der
Beweisfiguren des Beweisesˇ // des
Beweisens // | beruht, , die ja auf
… beruht, zusammenbrechen
kann
(wie) neue Techniken notwendig
werden. // // , wie diese
9.1.
Technik, – die auf der Geometrie des
Beweisens ruht – zusammenbrechen kann & neue
Techniken notwendig werden. //
| | |
| | | | | [Was ich sagen will, mag Unsinn
sein; aber möge ich dann eben das in
solcher Weise herausfinden, daß es wertvoll ist.]
| | |
| | | | | Ich sagen: Die Mathematik
ist ein buntes Gemisch﹖ von
Beweistechniken⌊:⌋.; &
‒ ‒ Und darauf beruht
ihre mannigfache Anwendbarkeit & ihre
Wichtigkeit.
| | |
| | | | |
Und das kommt doch auf das Gleiche hinaus, wie zu sagen:
Wer ein System, wie das R.sche,
hätte besäße & aus
[ihm| ] ˇ‘durch
Def entsprechende
ˇDefinitionen’ Systeme, wie den
Differentialkalkül, erzeugte, der ein neues Stück Mathematik. (Wie
ich schon früher gesagt habe.)
| | |
| | | | | Nun, man könnte doch einfach sagen:
Wenn ein Mensch das Rechnen im Dezimalsystem erfunden hätte
– der hätte doch eine mathematische Erfindung
gemacht! –
Auch wenn ihm
Russell's Princ. Math. ˇbereits vorgelegen
wären. –
| | |
| | | | |
Wie ist es, wenn man ein Beweissystem einem anderen
koordiniert? Es gibt dann eine
Übersetzungsregel mittels derer man die in
S1
im einen bewiesenen Sätze in die in
S2
im andern bewiesenen übersetzen
kann. Man kann sich doch aber denken, daß
, –
oder alle, – Beweissysteme der heutigen﹖ Mathematik auf solche
Weise einem System, etwa dem R.schen zugeordnet
wären. So daß alle Beweise, wenn auch
umständlich, in diesem System ausgeführt werden
könnten. – So gäbe es d⌊a⌋nn nur
das eine System – & nicht mehr die
V vielen Systeme? – Aber es
muß sich doch also
von dem zeigen
lassen, daß es sich in die den vielen darstellen
laßt. // , daß es
sich in die vielen auflösen läßt. //
– Ein Teil des Systems wird die
Eigentümlichkeiten der Trigonometrie besitzen, ein anderer
die der Algebra, u.s.w.. Man
kann also sagen, daß in diesen Teilen verschiedene
Techniken
werden.
| | |
| | | | | Ich
sagte: der, welcher das Rechnen in der Dezimalnotation
erfunden hat, habe doch eine [M|m]athematische
Entdeckung gemacht. Aber hätte er diese Entdeckung
nicht in lauter Russellschen Symbolen machen
konnen. Er hätte, sozusagen
(wie ich mich seinerzeit ausdrückte) einen neuen
Aspect entdeckt.
| | |
| | | | | ‘Aber die Wahrheit der wahren
math. Sätze kann
aus jenen allgemeinen
Grundlagen bewiesen werden.’ –
ˇMir scheint, Hhier ist, scheint mir, ein
Haken. Wann sagen wir, ein
math. Satz sei wahr?
–
| | |
| | | | |
Mir scheint, als führten wir, ohne es zu
wissen, neue Begriffe in die R.sche Logik
ein
‒ ‒ z.B., ein. ‒ ‒ Z.B., | indem wir festsetzen,
was für Zeichen der Form (∃x,y,z …) als
einander äquivalent & welche nicht als
äquivalent gelten sollen. Ist
es selbstverständlich, daß
“(∃x,y,z)” nicht
das gleiche Zeichen ist wie
“(∃x,y,z,u)”?
| | |
| | | | | Aber wie ist es – :
– Wenn ich zuerst
‘p ⌵ q’ &
‘~p’ einführe
& einige
Tautologien mit ihnen konstruiere – & dann zeige
ich ⌊(⌋etwa,⌊)⌋ die
Reihe ~p,
~ ~p,
~ ~ ~p,
etc vor & führe eine Notation
ein wie p1, p
~1p,
~2p
..... ~10p ....
etc.
möchte sagen: wir hatten
vielleicht an die Möglichkeit so einer
Reihenordnung ˇursprünglich gar nicht gedacht & wir haben
ˇnun einen neuen Begriff in unsre Rechnung
eingeführt. Hier ist ein ‘neuer
Aspekt’. | | |
| | | | |
10.1.
In aller großen Kunst ist ein
wildes Tier:
gezähmtc. Bei
Mendelsohnˇ, z.B., nicht.
Alle grosse
Kunst hat als ihren Grundbaß die
primitiven Triebe des Menschen. Sie sind nicht
die Melodie (wie, vielleicht, bei
Wagner), aber das
wass der Melodie Tiefe
ˇ& Gewalt giebt. In
diesem Sinne kann man
Mendelsohn einen
“remroduktiven”
Künstler nennen. –
Im
t gleichen Sinn: mein Haus für
Gretl ist das
entschiedener
Feinhörigkeit, guter Manieren,
wer Ausdruck eineh
grohhen
Verstandnisses (für
ˇeine Kultur,
ets.). Aber
das ursprüngliche Leben, das
wrlde Leben, welches sich
austoben möchte – fehlt. Man könnte also
auch sagen es fehlt ihm die
Gesundheit (KKierkegaard).
(Treib[s|h]auspflanze.)
| | |
| | | | | Es ist ja klar,
daß ich den Zahlbegriff, wenn auch in sehr primitiver &
unzureichender Weise hätte so einführen können
– aber dieses Beispiel zeigt mir alles was ich
brauche.
| | |
| | | | | In wiefern kann es richtig sein, zu sagen, man
führe hätte mit der Reihe
~p, ~~p, ~~~p, etc. einen neuen
Begriff in die Logik eingeführt? – Nun, vor allem
könnte man sagen, man habe es mit dem
‘etc.’ getan.
Denn dieses ‘etc.’ steht für
ein mir neues Gesetz der Zeichenbildung. Dafür
charakteristisch⌊,⌋ –
die Tatsache, daß eine rekursive iterative Definition zur Erklärung der
Dezimalnotation // , daß eine
iterative Definition notwendig ist zur Erklärung
der Dezimalnotation. //
| | |
| | | | | Eine neue Technik wird
eingeführt.
| | |
| | | | |
Man kann es auch so sagen: Wer
den Begriff der R.'schen
Beweis⌊-⌋ bildung hat & Satzbildung hat, hat damit nicht // noch nicht // den Begriff jeder
Reihe // Ordnung // R-scher Zeichen.
| | |
| | | | |
Ich möchte sagen:
R.'s Begründung der
Mathematik schiebt die Einführung neuer Techniken
hinaus, – bis man endlich glaubt, sie sei
⌊(⌋gar⌊)⌋ nicht mehr
nötig.
| | |
| | | | |
(Es wäre vielleicht so, als philosophierte ich über
den Begriff der Längenmessung so lange, bis man vergäße,
daß zur Längenmessung die tatsächliche Festsetzung einer
Längeneinheit nötig ist.)
| | |
| | | | | (Übrigens meine ich nicht, daß,
man wenn man zu den
R'ussellschen Prin[c|z]ipien ein
Prin[c|z]ip der Induktion hinzu nimmt, man nun aus dem
Wasser &
die Gesamtheit der Mathematik ableiten kann. Denn ein Prinzip der Induktion ist nur ein
allgemeines Bild – & seine eine neue Anwendung eine neue
Erfindung. (Nicht
‘Intuition’.))
| | |
| | | | | Die Vagheit des Begriffs
‘Aspekt’. Ich kann freilich sagen,
daß, wenn ich in R.s Symbolismus
(eines Tages) z.B.
Multiplizieren lernte die R'schen
Ko⌊n⌋struktionen dadurch ein ganz neues Ansehen
gewönnen. – Ähnlich dem
ˇist der neuen Aspekt, den das Schachspiel gewönne wenn
wir jemand eines Tages
nach dem Schreibspiel das Brettspiel erfände.
| | |
| | | | | Man sagt
gewöhnlich, daß die Anwendung eines Axiomsystems darin
, daß man von der
ˇtatsächlichen Wahrheit der Axiome
überzeugt ist. Aber was heißt es
z.B. von der Wahrheit von
‘p ⊃ p’
überzeugt zu sein? – Man stellt sich also die
Axiome vor, als wären sie von ein⌊e⌋ Art
von Prinzipien der Mechanik: Erkennt man sie an so
erkennt man z.B. an, daß ein Körper im
Zustand der Ruhe, oder – etc
etc. | | |
| | | | |
11.1.
Kann man nun, was ich sagen will so
ausdrücken: “Wenn wir von Anfang an gelernt
hätten alle Mathematik in R's System zu
schreiben betreiben, so wäre natürlich mit dem
R'schen Kalkül die Dif-
ferentialrechnung, z.B., noch nicht
erfunden. Wer also diese Rechnungsart im
R'schen Kalkülc entdeckte – – –.”
| | |
| | | | |
Angenommen, ich hätte
R'sche Beweise der Sätze
‘ p
‘ ~p
‘ p
|
|
≡
≡
≡ |
|
~ ~p ’
~ ~ ~p ’
~ ~ ~ ~p ’
|
vor mir & fände nun einen abgekürzten Weg, den Satz
‘ p ≡ ~10p ’
zu beweisen. Es ist als habe ich eine neue
Rechnungsart innerhalb des alten Kalküls
gefunden. // Innerhalb des alten Kalküls
habe ich …
gefunden. // Worin besteht es, daß sie
gefunden wurde?
| | |
| | | | |
Sage mir: [h|H]abe ich eine
neue Rechnungsart
,
wenn ich multiplizieren gelernt
hatte & mir nun
Multiplicationen mit lauter gleichen Faktoren als
ein besonderer Zweig dieser Rechnungen
◇◇◇ auffallen & ich daher die Notation
einführe
‘an = ⌊ …⌋’ ?
| | |
| | | | | Kann man sagen, daß ich,
ˇzwar nicht durch eine einfache, aber durch eine
iterative Definition (wenn auch nicht durch eine
einfache) einen neuen
Begriff einführe? – Warum aber?
Führt eine iterative Def. nicht nur
einec Reihe von Abkürzungen ein
– statt einer Abkürzung?
(Ist es übrigens eine Abkürzung wenn ich
festsetze:
1 + (1 + 1) = (1 + 1) + 1
Def. ?) | | |
| | | | |
12.1.
Offenbar die bloße ‘abgekürz
te’, ˇoder
andere⌊,⌋ Schreibweise, –
’162“’ statt
’16 × 16’ , – macht's
nicht. Wichtig ist, daß wir jetzt die Faktoren bloß
zählen. Ist
1615 wie
16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16.? // Ist ‘1615’ nur eine andere Schreibweise für das
Zeichen statt |
‘ …‘? …? //
Der Beweis, daß 1615 = .... ist, besteht nicht
einfach darin, daß ich 16 15-mal mit sich selbst
multipliziere & ˇdaß dabei dieses
Resultat heraus kommt – sondern es muß
sich im Beweis gezeigt sein, daß ich
16 die Zahl daß ich 16
15-mal zum Faktor setze. der Beweis
muß dartun, daß … // ; sondern der Beweis muß es zeigen, daß
…
| | |
| | | | |
Wenn ich frage: “Was ist das
neue an der ‘neuen Rechnungsart’ des
Potenzierens” – so
das schwer zu
sagen. Das Wort ‘neuer Aspekt’ ist
vag. – Es heißt, wir sehen die Sache jetzt
anders ⌊an⌋ – aber die Frage ist: was ist die
wesentliche, ˇdie
wichtige ⌊,⌋
Äußerung dieses
‘anders- ⌊-⌋Ansehens’?
Zuerst will ich sagen: “
“Es hätte [E|e]inem mir
nie a⌊u⌋ffallen brauchen, daß in gewissen Produkten
alle Faktoren gleich sind” – oder:
“‘Produkt mit lauter gleicher
Faktoren’ ist ein neuer
Begriff.” – oder:
“[Die| Das]
[n|N]eue R besteht darin, daß wir die
Rechnungen anders zusammenfassen”. Beim Potenzieren ist es
offenbar das
Wesentliche, daß wir auf die Zahl der Faktoren
sehen. Es ist doch nicht gesagt, daß wir auf die Zahl
der Faktoren je geachtet haben. Es
mag uns zum ersten auffallen
daß muß uns nicht aufgefallen sein, daß
es Produkte mit 2, 3, 4 etc. Faktoren gibt, obwohl wir
schon solche Produkte ausgerechnet
haben. Ein neuer Aspekt – aber
wieder: Was ist seine wichtige﹖ Seite?
Wozu benütze ich , was
mir aufgefallen ist? diesen neuen Aspekt? | – Nun vor allem lege ich
vielleicht in einer Notation
nieder. Ich schreibe also,
zB. statt
‘a × a’
‘a2’.
Dadurch beziehe ich mich auf die Zahlenreihe (spiele auf sie
an), was früher nicht geschehen war. Ich stelle
also doch eine neue Verbindung her! – Eine
Verbindung – zwischen welchen ? Zwischen der
Technik des Zählens von Faktoren & der
Technik des Multiplizierens.
| | |
| | | | | [Ich schreibe oft meine
Bemer- kungen, wie
Hausfrauen alten
Kram sammeln, – , –: Schnüre,
Bänder, Lappen, Stecknadeln,, –: Schnüre, Bänder,
Lappen, Stecknadeln, sammeln⌊,⌋
weil man solches
sie manchmal brauchen kann. Aber wenn man
essie je wirklich braucht, ⌊s⌋istnd
essie nicht zur Hand.]
| | |
| | | | | Aber so macht ja jeder Beweis, jede
einzelne Rechnung neue Verbindungen!
| | |
| | | | | Aber der gleiche Beweis, der
, daß
a × a × a × a … = b
ist doch auch, daß
an = b
ist; , nur, daß wir den
Übergang nach der Definition von
‘an’ machen müssen.
Aber dieser Übergang ist gerade das
. Aber wenn er
nur ein Übergang alten Beweis ist,
wie kann er dann wichtig sein?
| | |
| | | | | ‘Es ist nur ein andere
Schreibweise.’ Wo hört es auf – bloß
eine andre Schreibweise zu sein?
| | |
| | | | | Nicht
dort, ⌊:⌋ wo
ˇnur die eine Schreibweise⌊, &⌋ nicht
ˇdie andre⌊,⌋ so & so verwendet werden kann?
| | |
| | | | | Man könnte es “einen
neuen Aspekt finden” nennen wenn man Einer statt f(a) schreibt
a(f); man könnte
sagen: ‘Er sieht die Funktion als
Funk Argument ihres Arguments
an’. Oder wenn Einer statt
‘a × a’
schriebe ‘x(a)’ könnte man
sagen: ‘Was man früher als Spezialfall einer
Funktion mit zwei Argumentstellen ansah, sieht er
als Funktion mit einer Argumentstelle an.’
Wer das tut, hat gewiss
in einem Sinn den Aspekt verändert, er hat
z.B. diesen Ausdruck mit anderen
zusammengestellt, verglichen, mit denen er früher
nicht verglichen wurde. – Aber ist das nun eine
wichtige Aspektänderung? Nicht,
solange sie nicht gewisse [C|K]onsequenzen hat.
| | |
| | | | | Es ist schon wahr, daß ich
Hineinbringen des Begriffs der
Zahl Anzahl der Negationen ˇvon
p den Aspekt der logischen
Rechnung geändert
habe, ⌊–⌋:
‘So hab ich es noch nicht angeschaut’–
könnte man sagen. – Aber wichtig wird diese
Ände- rung erst, wenn sie in die Anwendung des Zeichens
eingreift. erst dadurch,
daß sie die Anwendung des Zeichens ändert. | | | |
| | | | |
13.1.
Ein⌊(⌋en⌊)⌋ Fuß als 12 Zoll
auffassenc, wäre hieße
allerdings eine Änderung desn Aspekts des
Fußes ändern, aber wichtig würde
diese Änderung erst, wenn man nun auch
ei Längen in Zoll
mäße. // Längen auf andere
Weise, nämlich in Zoll,
mäße. //
| | |
| | | | |
Jeder Mensch trachtet sich
selbst zu betrügen: und wer jemand betrügen
will, macht's natürlich geschickt & nicht
ungeschickt; er ˇwird sagt dem Andern
nicht ˇsagen, [d|w]as der Andere
ˇschon durchschauen kann, sondern was er noch nicht durchschaut. er nicht
durchschauen kann. |
| | |
| | | | | Wer das Zählen der
Negations- zeichen
einführt, führt eine neue Art der Reproduktion der Zeichen
ein.
| | |
| | | | | Es ist zwar
für die Arithmetik, die
ˇ(doch) // ja // von der Gleichheit spricht,
ganz gleichgültig, wie (die)
Gleichheit Anzahlen zweier // , wie die
⌊An⌋Zahlengleichheit zweier
… // Klassen ˇvon
Dingen festgestellt wird – [z|a]ber es ist
für ihre Schlüsse nicht gleichgültig, wie ihre
Zeichen mit einander verglichen werden, nach welcher Methode
also, z.B., festgestellt wird, ob die
Anzahl der Ziffern zweier Zahlzeichen die gleiche
ist.
| | |
| | | | |
Ein Lehrer, der dährend des
Unterrichts gute, oder
erstaunp[r|i]che Resultate
afuweisen kann, ist darum kein guter
Lehrer, denn es ist mö- glich,
daß er seine Schüler, wärend sie unter
seinem unmittelbaren Einfpuß stehen, zu
einer ˇihnen unnatürlichen Höhe
emporzieht, von ohne sie doch zu
dieser höhe zu
entwicheln, so daß sie sofort
zusammensinken, wenn der Lehrer sdie Schulstube
verlaßt. Dies gilt vielleicht
von mir; ich habe daran gedacht.
(Mahlers
Leerfaffürunden4 waren austeze[r|i]chnet,
er sie leitete; das
Orchester schien sofort zusammenzusinken, er es nicht selbst leitete.)
| | |
| | | | | Nicht [w|d]ie
Einführung der Zahlzeichen als Abkürzungen
ist wichtig, sondern der Methode des Zählens.
| | |
| | | | | Ich will die Buntheit der Mathematik
erklären.
| | |
| | | | | ‘Ich kann auch in
Russell's System den Beweis führen, daß
127 : 18 = 7⌊˙⌋055 ist.’
Warum nicht. – Aber muß beim
R.schen Beweis dasselbe herauskommen, wie bei der
gewöhnlichen Division? Die beiden sind
freilich durch eine Rechnung (durch
Übersetzungsregeln etwa) mit einander verbunden;
aber ist es nicht doch gewagt die in der
‘sekundären’ der durch diese
Regeln eingeführten begründeten
Technik // die Division in der neuen Technik
auszuführen // ? // aber ist es
nicht doch gewagt, die Division der
neuen Technik auszuführen
da doch
die Richtigkeit des Resultats
abhangig wird von der Geometrie der
Übertragung? // // – da doch
die Wahrheit des Resultats nun
abhängig wird von der Geometrie der
Übertragung. //
| | |
| | | | | Aber wenn nun Einer sagte:
“Unsinn solche Bedenken
spielen gar keine Rolle!” // spielen in der Mathematik gar keine
Rolle.” // – | | |
| | | | |
14.1.
– Aber nicht um Unsicherheit handelt sich's, denn wir
sind ⌊(ja)⌋ unsrer
Schlüsse sicher, sondern darum, ob wir noch
(Russellsche) Logik betreiben, wenn wir
z.B. wie oben
dividieren. Wie weiß ich, ich einen
R.schen Beweis als Division anwenden kann? Ich
sehe z.B. nach, wie oft eine Länge in einer
andern enthalten ist: wie zeigt mir führt mich
ein R.scher Beweis diese zu dieser Anwendung? – Z.B., in
R.schen [|B]eweisen
braucht kein
Zählen vorkommen. Aber kann ich nicht
doch dennoch einen Satz wie
‘127 : 18 = 7˙05’ in
R.sche Notation übertragen? – Ja,
wenn ich eine gewisse diese
Übertragung annehme. Aber ist es denn
nicht einfach eine Übertragung nach mittels einer Definition? ‒ ‒
| | |
| | | | | Oder soll ich sagen: Die
reine Mathematik hat nichts mit zu
tun, sowenig wie mit Längen, Kreisen, Winkeln,
etc? Oder vielleicht
besser: ‘sowenig mit dem Zählen, als mit
dem Messen von Längen oder ⌊von⌋ Wink[l|e]ln,
etc..
etc..’ Aber sie
bereitet doch diese
Anwendung⌊(⌋en⌊)⌋ jedenfalls vor. ––
Kann man jeden Satz der
Mathem. logisch
begründen? D.h. muß
man wirklich auf
diese Sätze & d⌊i⌋ese Techniken kommen,
wenn man die R.schen Beweise abkürzt? | | |
| | | | |
15.1.
∣ ˇIn Zusammenhang mit Dedekinds Theorem: ich kann nach der dritten die
vierte Dezimalstelle rechnen, & nicht etwa ˇnach der
dritten erst die fünfte, während die
vierte auf unbestimmte Dauer
bleibt. ∣ Oder: wenn sich nach der
nten die n & mte ergibt,
so muß sich nach einer angebbaren Zahl von Rechnungsstufen die
n + 1te
ergeben. Oder: [W|w]enn ich
ˇauch mit jeder Rechnungsstufe eine Dezimalstelle
berechne es aber unentschieden bleibt, wieviele Stufen ich
rechnen muß um die n-te Stelle zu
erhalten, so berechne ich keine reelle Zahl. ∣
| | |
| | | | | Die Trigonometrie hat ihre
Wichtigkeit [ü|u]rsprünglich in ihrer
Verbindung mit Längen- &
Winkelmessungen: sie ist ein Stück Mathematik, das zur
Anwendung auf Längen- &
Winkelmessungen eingerichtet ist. Man
könnte die Anwendbarkeit auf dieses Gebiet auch einen
‘Aspekt’ der Trigonometrie nennen.
| | |
| | | | | Wenn ich einen Kreis in 7
ˇgleiche Teile teile & den
[K|C]osinus eines dieser Teile
durch Messung bestimme – ist das eine Rechnung oder ein
Experiment? Wenn eine Rechnung – ist
sie denn übersehbar?
| | |
| | | | | Ist das Rechnen mit dem
Rechenschieber übersehbar?
| | |
| | | | | ∣ Was heißt es:
glauben, daß ein Körper so & so viel
wiegt // das &
das Gewicht ein bestimmtes Gewicht | hat // ? ∣
| | |
| | | | | Wenn man den Cosinus
eines Winkels durch Messung bestimmen muß
ist dann ein Satz der Form
cos α = n
ein mathematischer Satz? Was ist das Kriterium
der ˇzur
// dieser //
Entscheidung ˇdieser Frage? Sagt der Satz etwas Äußeres über
den unsre Lineale,
, aus; oder etwas
Internes über unsre Begriffe? – Wie
ist das zu entscheiden?
| | |
| | | | |
Gehören die Figuren
(Zeichnungen) (Illustrationen) | in der Trigonometrie
zu[m|r] reinen Mathematik, oder sind sie nur Beispiele
Anwendung?
| | |
| | | | | Übersetzung des
Schreibspiels in das Brettspiel: –– –– ––
| | |
| | | | |
Ich bin nicht
gescheit, sondern ˇsehr dumm; weil ich nicht
sehe, was unter meiner Nase liegt. | | |
| | | | |
16.1.
Wenn an dem, was ich sagen will, irgend etwas Wahres ist,
so muß, , d[ie|as]
Rechnen der Kalkül
der mit
Dezimalen in der Dezimalnotation | sein eigenes Leben
haben. – Man kann natürlich jede Dezimalzahl
darstellen in
der Form: durch ein Zeichen der Form: | &
daher die vier in dieser
Notation ausführen. Aber das Leben der
Dezimalnotation müßte unabhängig sein von dem Rechnen mit
Einerstrichen. von dem
der Strichnotation. |
| | |
| | | | | In diesem Zusammenhang
fällt mir immer wieder ˇfolgendes dies ein,⌊:⌋
dDaß man in
R.'s Logik zwar einen Satz
a : b = c
beweisen kann, daß sie uns aber einen richtigen Satz
dieser Form nicht konstruieren lehrt, d.h.
daß sie uns nicht Dividieren lehrt. Der
Vorgang des Dividierens entspräche z.B.
ˇdem eine⌊s⌋,
[S|s]ystematischen Probierens
R'scher Beweise zu dem Zwecke etwa
[ein|den] Beweis eines Satzes von der
Form
37 × 15 = x
zu erhalten. ‘Aber die Technik eines solchen
systematischen Probierens gründet sich doch wieder auf
Logik.’ – Man kann doch wieder logisch
beweisen, daß diese Technik zum Ziel führen
muß.’ Es ist also ähnlich, wie wenn
wir im Euklid beweisen, daß
sich das & das so & so konstruieren
läßt. 200
| | |
| | | | | Unsere Vorstellung
von den Mengen sind die Zahlen dargestellt in unserm
Zahlensystem. in der Darstellung unseres
Zahlensystems. // dargestellt im
Zahlensystem. // | // Uns⌊e⌋re Vorstellung von den
Mengen sind unsere Zahlzeichen. //
| | |
| | | | | Im Experiment
Für das Resultat des eines Experiments machen
wir oft für das Resultat das Wirken
unsichtbarer Einf Vorgänge // Mechanismen // eines unsichtbaren
Mechanismus verantwortlich; der Beweis liegt vor unsern Augen. | | |
| | | | |
17.1.
Was will Einer zeigen, der zeigen will, daß Mathematik nicht
Logik ist? Er will doch etwas sagen
wie,⌊: –⌋ daß,
wWenn man Tische, Stühle,
Kästen Schränke 201 ⌊etc.⌋ in
Papier wickelt,
ˇwerden sie endlich gewiß alle kugelförmig
gewiß endlich kugelförmig ausschauen.
werden.
| | |
| | | | |
Er will nicht zeigen, daß es unmöglich ist, zu jedem
math. Beweis einen
R'schen zu konstruieren, der ihm
(irgendwie)
‘entspricht’; sondern,
daß das so
einer dieser // dieser // Entsprechung
sich nicht auf Logik stützt. | | |
| | | | |
18.1.
“Aber wir können doch immer auf die primitive
logische Methode
zurückgehen!” Nun, angenommen, daß
wir es können wie
kommt es, daß wir es nicht tun
müssen? Oder ist es eine
sind wir vorschnell,
Uunvorsichtigkeit, wenn
wir es nicht tun? Aber wie wir denn zurück zum [P|p]rimitiven
Aus- druck? ,
ˇz.B. wir,⌊,⌋ den Weg durch den
sekundären Beweis & von seinem Ende aus zurück in's primäre System;
etc. & sehen zu, wo wir hingelangen; oder gehen wir in beiden
Systemen vor & machen dann
Verbindung der Endpunkte? Und wie wissen wir,
daß ˇwir inm ˇersten
primären System in beiden Fällen das zum
gleichen Resultat das Ggleiche ist?
gelangen?
Führt das Vorgehen im Sekundären
System nicht Überzeugungskraft mit sich?
| | |
| | | | | “Aber wir
können uns doch bei jedem Schritt im sekundären System
denken, daß er auch im primären gemacht werden
könnte!” – Das ist es
eben: wir können uns
denken, daß er gemacht werden könnte
– ohne, daß er gemacht
wird. wir ihn machen. |
| | |
| | | | | Und warum
nehmen wir den einen an Stelle des andern an?
Aus logischen Gründen? // Aus Gründen der
Logik? //
| | |
| | | | | “Aber kann man nicht logisch
beweisen, daß beide Umwandlungen zum gleichen Resultat gelangen
mussen?”
– Aber es handelt sich doch hier um Umwandlungen
von Zeichen – wie will soll denn die Logik hier ein Urteil
? hier entscheiden? // [,|;] –; wie kann die Logik da entscheiden? // // – Aber es handelt sich doch hier um das
Ergebnis von Umwandlungen von Zeichen! Wie kann die Logik
dies entscheiden? //
| | |
| | | | | Man sagt
häufig: “Es ist leicht zu sehen, daß
dieser Prozess zu diesem Resultat
führen muß.” – Wie kann es leicht zu sehen sein? Wie kommt
es, daß es (leichtc﹖) zu sehen ist? | Oder
bilden wir uns nur ein, es zu sehen – aus einer Art
Gedankenlosigkeit?
| | |
| | | | |
Betrachte statt des Beispiels
‘1 : 3’ ein Beispiel der rekursiven
Abkürzung eines R.schen
Beweises! | | |
| | | | |
19.1.
Frege's Bemerkung, daß, wenn man näher zusieht, doch
alle diese Stufen durchlaufen werden
mußten, um zu diesem
Schluß zu gelangen. (Ja in seinem System
des Schließens freilich.)
| | |
| | | | |
20.1.
In gewissem Sinn ist ja
Ähnlichkeit aller Zweige der Mathematik
offenbar ◇ Immer wieder
die|selben Zeichen:
[d|D]as Gleichheitszeichen, “ + ”,
“ ‒ ” etc., Funktion &
Argument. – Das ist doch
etwas. ⌇ Aber
anderseits – ist es nicht auch irreführend?
der Gebrauch von Subjekt
& Prädikat als Ramen für tausenderlei
Bilder. –
| | |
| | | | |
‘Du siehst also so geht es
weiter –.” Dies
Argument wird immer wieder gebraucht. Aber es wird in den
verschiedensten
gebraucht.
| | |
| | | | |
⌊Z.B.:⌋
Teilbarkeit, – wir beweisen
daß eine Zahl durch 3 teilbar ist, wenn ihre Ziffernsumme
es ist. Der Beweis muß mit
den einzelnen Fällen,
in denen wir eine solche Zahl ˇim
Dezimalsystem durch 3 dividieren stimmen. Kann man,
daß dies der Fall ist, im Strichsystem durch Induktion
beweisen?
| | |
| | | | | Ich
scheine doch etwas durch meinen Beweis prophezeien vorhersagen zu können – –
aber meine ist eine andere,
wenn sie sich auf's Strichsystem , ⌊– &⌋ eine andere, wenn sie sich
auf's Dezimalsystem bezieht. Und doch Doch aber ist es für den Beweis
(der Teilbarkeit, z.B.)
wesentlich, eine solche Vorhersage sein zu können.
| | |
| | | | | Es entsteht die Frage, Es ist nun die Frage, | wie ich in
einem System beweisen kann,
daß die Rechnung in einem andern eine gültige Vorhersage
ist?
| | |
| | | | | Unser Beweis
muß, um eine richtige Vorhersage
zu können, in Übereinstimmung sein,c
mit der ˇbesondern Geometrie
Zeichenraumes.c // mit der
besoncdern Geometrie eines
Zeichenraumes. // | | |
| | | | |
21.1.
Beweis
der Teilbarkeit, z.B.,
muß uns überzeugen, daß die Rechnung, so
ausgeführtc, zu diesem Resultat
führen muß: d.h., daß,
wir, die Regeln gewissenhaft befolgend, zu diesem Resultat
gelangen werden.
| | |
| | | | | Kann man die Frage so stellen:
“Wenn man
(z.B.) die Zeichen des
Dezimalsystems 208 als Abkürzungen der von Zeichen des Strichsystems
betrachtet kann
den
Induktionsbeweis im Dezimalsystem als Abkürzung eines
Beweises im Strichsystem betrachten?”
| | |
| | | | | Wie kann beweist
der Beweis im Strichsystem beweisen,
daß der Beweis im Dezimalsystem ein Beweis ist?
| | |
| | | | | Nun, – ist es ˇhier mit dem
Beweis im Dezimalsystem nicht so, wie mit einer Konstruktion
bei Euclid, von
der bewiesen wird, daß sie wirklich eine
Konstruktion dieses & dieses Gebildes ist?
| | |
| | | | | [K|D]arf ich es so
sagen: “Die Übertragung des Strichsystems
ins Decimalsystem setzt eine
209
Definition
voraus. Diese // Eine
solche // Definition führt aber nicht die
Abkürzung eines Ausdrucks durch einen andern
ein. Der Induktive Beweis im Dezimalsystem aber
enthält natürlich nicht die Menge jener die durch die
ind
Definition in Strichzeichen zu übertragen wären.
Dieses
Beweiszeichen Dieser allgemeine Beweis | , kann daher durch die rekursive Definition
nicht in ein Beweiszeichen einen Beweis | des
Strichsystems übertragen werden.”?
| | |
| | | | | Der rekursive Beweis
führt eine neue Zeichentechnik ein. – Er muß
also den Übergang in neue
‘Geometrie’ machen.
⌊(⌋Können wir
sagen⌊)⌋: wir erhalten eine neue Methode ein
Zeichen wiederzuerkennen? 210 // Es wird uns ein neuer Weg eine neue
Methode | gelehrt, ein Zeichen
wiederzuerkennen. // Es wird ein neues
Kriterium für die gleichheit von
Zeichen eingeführt.
| | |
| | | | |
“Der Beweis muß übersehbar
sein” – heißt das nicht: daß es ein Beweis
ist, muß zu sehen sein[?|.] | | |
| | | | |
22.1.
Der Beweis uns, was herauskommen
soll. – Und da jede Reproduktion des Beweises das
nämliche demonstrieren muß, so muß sie
ˇeinerseits // also // das
Resultat automatisch [R|r]eproduzieren, anderseits
aber auch den Zwang es zu erhalten. // . – Daher muß jede Reproduktion des
Beweises das sein
Resultat automatisch enthalten, &
dennoch 211 auch zu ihm führen. // // muß, so muß sie
ˇeinerseits
Resultat, automatisch, reproduzieren, anderseits aber auch
den Zwang, es anzuerkennen. // // soll. – Daher gehört
einerseits das Resultat zum Beweis
–c &
Reproduktion des Beweises muß es dies // das // Resultat automatisch
enthalten anderseits
aber uns immer wieder zwingen, es anzuerkennen. // // – Daher gehört einerseits das Resultat
zum Beweis – & jede Reproduktion des Beweises
muß es automatisch enthalten – anderseits aber auch uns
immer wieder zwingen, es anzuerkennen. //
D.h.: wir
reproduzieren nicht nur die Bedingungen, unter
welchen sich dies Resultat einmal ergab (wie beim Experiment),
sondern das Resultat
selbst. Und doch ist der Beweis kein abgekartetes
Spiel, er uns immer wieder muß führen können.
| | |
| | | | |
Wir mü[ß|ss]en einerseits den Beweis automatisch
ganz reproduzieren können, &
anderseits muß diese Reproduktion wieder
Beweis des Resultats sein.
| | |
| | | | | “Der Beweis
muß übersehbar sein” will unsre
Aufmerksamkeit eigentlich auf den Unterschied
ˇrichten der Begriffe (richten):
‘einen Beweis wiederholen’ ‘ein Experiment
wiederholen’. Einen Beweis wiederholen heißt
nicht: die Bedingungen reproduzieren unter denen einmal
ein﹖
bestimmtes﹖ Resultat erhalten
wurde, – sondern es heißt, jede Stufe
& das Resultat wiederholen. Und obwohl so
also der Beweis etwas ist, was sich ganz
– automatisch muß reproduzieren lassen, so muß
doch jede solche Reproduktion den Beweiszwang enthalten das
Resultat anzuerkennen. // jede solche Reproduktion,
sozusagen, von neuem, ein Beweis sein, uns zwingen, das Resultat
anzuerkennen. //
| | |
| | | | |
Es ist also, als ob ich sagte: Der
Beweis ist nichts als ein Bild, & doch muß er uns
überzeugen.
| | |
| | | | |
Ist
Sind die
Kalküle der Mathematik nur
darum﹖ nicht durch einen
Kalkül wie den Russelschen ˇLogik ersetzbar, weil
dieser Kalkül zu
weitschweifig wäre?
| | |
| | | | | Oder man könnte fragen:
“Die Mathematik die mannigfaltigsten Konstruktionen
für ihre Sätze: kann man alle diese
Konstruktionen auf R.sche Weise
rechtfertigen?”
| | |
| | | | | Könnte man fragen:
‘Muß die √2, im Dezimalsystem auf Grund
der ⌊(⌋R.schen⌊)⌋ Logik, im Dezimalsystem
gleich 1˙4142 .... sein?’ | | |
| | | | |
24.1.
Eine Zahl nach dem Rhythmus von Schlägen erkennen. – Wie weiß ich, daß, was auf diese Weise
gleich- zahlig
ist, es auch nach der Vergleichsmethode des Zählens
ist?
| | |
| | | | | Man hätte
auf die √2 so kommen können:
Wenn
man eine ganze Zahl im Dezimalsystem mit sich selbst multipliziert, so entsteht manchmal ein
Produkt mit einer ungeraden Anzahl von Stellen, dessen höchste
Stelle 1 ist, der 1 folgt welcher unmittelbar
eine (ununterbroche)ne) nicht
unterbrochene Reihe von 9ern ˇfolgt & endlich
noch einiege ˇZahl andere⌊r⌋
Stellen folgetn; ˇvergrößert man aber die
Einerstelle der Factoren um 1, so wird das
Produkt ˇbereits ˃ 2. Liegt uns ein solches
Produkt
a × a = b
vor, so kann man ein weiteres
ders|eglelbenichenc
dieser Art konstruieren ˇmit einer längeren
Reihe von 9ern, indem man an die
a rechts eine bestimmtec
Folge weiterer Stellen Einerstelle |
anhängt. Auf diese Weise erhielt man etwa die
Folge:
1 × 1 = 1 14 × 14 = 196
141 × 141 = 19881 1414 × 1414 = 1999396
Nun ist es klar, daß man diese Multiplikationen im
Strichsystem ausführen kann. Und auch, daß man in
diesem System eine Eigenschaft der Produkte nachweisen kann, die
darauf hinauskommt, daß die Produkte sich immer mehr einer Zahl
2 × 102n
nähern. – Was aber kann mich sicher machen,
daß die Beweise in den beiden Systemen wirklich parallel laufen
werden? – Dies kann können nicht
der die Beweise im Strichsystem sein, da
ich ja im Dezimalsystem unabhängig von vorgehe. Es ist also
denkbar, daß es sich am Ende der Wege zeigt, daß
sie nicht parallel liefen. es denkbar ist,
⌇daß verschiedene Zählarten zu verschiedenen Resultaten
führen. // daß
die
Zahlbestimmung mittels eines Rhythmus & ˇdie
Zahlbestimmung durch mittels des Zählens zu verschiedenen Resultaten
führt. // c | | |
| | | | |
25.1.
Aber, wenn man das auch zugibt,, –; ist es nicht eine
Spitzfindigkeit? Kann man nicht sagen:
“Der Mathematiker kümmert sich um solche
mögliche Unstimmigkeiten nicht – er .
Er setzt voraus – & mit Recht – daß
alles auf dem Papier in Ordnung .”
D.h.:– Was etwa den
Strichkalkül anbelangt, so können wir ja die
Stiche numerieren & ihre Menge dadurch
übersehbar machen &, verlaß Dich
nur
drauf, es wird dann schon alles mit dem gewöhnlichen
Kalkül übereinstimmen!
| | |
| | | | | Wann sagen wir: ein Kalkül
‘entspräche’ einem andern, sei nur
abgekürzte Form des ersten? – ‘Nun, wenn man die Resultate dieses, durch
ˇentsprechende Definitionen in die Resultate jenes
überführen kann.’ Aber ist
schon gesagt, wie man, mit diesen Definitionen zu rechnen
hat? Was uns diese
Übertragung anerkennen? Ist sie am Ende ein abgekartetes Spiel? Das ist sie, wenn wir
entschlossen sind nur die Übertragung
anzuerkennen, die zu dem uns gewohnten Resultat
führt.
| | |
| | | | |
Wenn wir von ‘einander ent-
sprechenden’
Kalkülen reden, so denken wir
oft an die ˇmögliche Anwendung
d[er|ie]ser
Kalküle & nennen
‘entsprechende’
Kalküle solche, die der
gleichen Anwendung fähig sind. // ,
die die gleiche Anwendung haben
könnten. // // , die gleich
angewandt werden
könnten. // (Man denkt etwa an
irgend eine charakteristische Anwendung des
Multiplizierens.) Aber auch dies hilft uns
nicht. (Könnte Einer nicht den Beweis
‘3 × 3
= 9’ als Beweis ˇdafür verwenden,
daß
‘9 × 9
= 81’ ist[?| ,] ich
meine: könnte er aus dem Gang
Beweises nicht unmittelbar
auf ‘9 × 9
= 81’ schließen?)
Er :
“3 × 3
= 9, ⌊ –⌋ also muß
ich für 9 Nüsse zu à 9 Groschen
81 Groschen zahlen.”)
| | |
| | | | | Warum nennen wir einen
Teil des
Rschen Kalküls den der Differentialrechnung
entsprechenden? –
Weil in ihm
Sätze der Differentialrechnung bewiesen
werden. – Aber doch nicht am Ende post
hoc. – Aber ist das nicht
gleichgültig? Genug, daß man Beweise dieser
Sätze im
R.schen System finden kann! Aber sind es Beweise
dieser Sätze nicht nur dann, wenn sie ihre Resultate
sich nur in diese Sätze
lassen?
Aber stimmt das, sogar im Fall des Multiplizierens im
Strichsystem mit numerierten Strichen? | | |
| | | | |
26.1.
Nun muß klar
gesagt werden, muß es klar gemacht werden, | daß die Rechnungen im Strichsystem in der
Strichnotation |
(SN)
normalerweise immer mit denen in der
Dezimalnotation übereinstimmen werden. Vielleicht
werden wir, um
ˇsichere Übereinstimmung zu erzielen, an einem
Punkt greifen
müssen, die Rechnung mit von mehreren Leuten
zu lassen.
Und das gleiche werden wir bei
Rechnungen mit noch höheren Zahlen im Dezimalsystem
(müssen). ⌊.⌋
Aber das zeigt
schon daß nicht die
Beweise im Strichsystem die Beweise im Dezimalsystem
zwingend machen. // daß
nicht die Beweise im Strichsystem – die Beweise
im Dezimalsystem zu zwingenden Beweisen
machen. //
| | |
| | | | |
“Hätte man aber nun diese nicht, so
könnte man jene gebrauchen, um das Gleiche zu
beweisen.” – Das Gleiche ist das Gleiche? –
Also, der Strichbeweis wird mich vom Gleichen, wenn
auch nicht auf die gleiche Weise, überzeugen. – Wie, wenn ich sagte: “Der
Platz an den uns ein Beweis führt, kann nicht unabhängig von
diesem Beweis
werden”. ?
– Bin ich durch einen Beweis im Strichsystem davon
überzeugt worden, daß der bewiesene Satz der
Anwendung fähig ist die diejenige
Anwendbarkeit besitzt, die der Beweis im Dezimalsystem ihm
ist, z.B., im Strichsystem gezeigt worden,
daß der Satz auch im Dezimalsystem beweisbar
ist? | | |
| | | | |
27.1.
Ich schlage mich auf diesen Seiten mit
einem bestimmten Teufel herum; & der Kampf ist noch
unentschieden. | | |
| | | | |
28.1.
Es wäre natürlich Unsinn zu sagen, daß ein
Satz nicht
Beweise haben kann – denn so sagen
wir eben. Aber kann man nicht sagen:
Dieser Beweis zeigt daß … herauskommt,
wenn man das t[ü|u]t; der andre Beweis zeigt,
daß dieser Ausdruck herauskommt, wenn man etwas andres
tut. Ist denn z.B. das
mathematische Factum, daß 129 durch 3
teilbar ist, unabhängig ⌊da⌋von dem Re, daß
dies Resultat bei dieser Rechnung
herauskommt? Ich meine: ist besteht
daßs Factum dieser Teilbarkeit unabhängig von
dem Kalkül, in dem … vorhanden, in dem es sich
ergibt; oder ist es ein Factum dieses
Kalküls?
| | |
| | | | | Denke man sagte:
“Durch das lernen wir ˇdie Eigenschaften der
Zahlen kennen.” Aber
bestehen die Eigenschaften der Zahlen außerhalb des
Rechnens?
| | |
| | | | |
‘Zwei Beweise, beweisen dasselbe, wenn sie mich von
dem gleichen übe⌊r⌋zeugen.’ – Und
wann überzeugen sie mich von dem Gleichen? Wie
weiß ich, daß sie mich vom Gleichen überzeugen?
Natürlich nicht durch Introspektion.
| | |
| | | | | Man kann mich auf verschiedenen Wegen
diese Regel
anzunehmen.
| | |
| | | | | Kann
man in R Logik beweisen, daß
~100p ≡ p ist? – Nun warum nicht?
“~100p”
steht
doch nur
als Abkürzung statt “~ ~ ~ ~ – – – –p”
& man rechnet einfach von 100 bis 1 herunter. Auch,
wenn man daran Anstoß nimmt daß sich hundert
‘~’ nicht als erkennen lassen, so kann man ja die
Stellen der ‘~’ numerieren & sie
dadurch übersehbar machen. – | | |
| | | | |
29.1.
Numerieren wir die ‘~’ vor
p mit
den Buchstaben ‘a’ bis
‘r’: Ist
~rp ≡ p Ist ‘~rp’
ein R-scher Begriff? (Wie, wenn
‘~rp’
hieße: viele [v|V]erneinungen von
‘p’?)
| | |
| | | | | Ich bin versucht hier eine Deutung zu
, nach welcher man sagen kann,
daß der Sinn der Sätze, die durch die Rechnungen
und
bewiesen sind, ein verschiedener ist.
D.h.: ich will
dasie
Worte “Sinn eines mathematischen Satzes” so
deuten, daß Sinn
wie der Satz
erhalten wird. So eine
kann natürlich nicht zeigen, daß es falsch ist zu
sagen, zwei Beweise bewiesen das Gleiche!
(Analog kann man sagen, daß verschiedene Kriterien
beweisen, daß der Tod vor zwei
Stunden eingetreten sei, & doch kann es
nützlich sein von ver- schiedenen
Bedeutungen des Ausdrucks “Eintritt des Todes”, je
nach dem verwendeten Kriterium, zu reden.) Es ist
vielmehr ein besonders wichtiges Mittel ⌇unserer
Sprache⌇ zu bestimmen, daß verschiedene Kriterien als
Kriterien des Gleichen gelten sollen. –
| | |
| | | | | Aber kann man gegen mich nicht
einwenden: daß nur eine kleine Zahl Anzahl Zeichen-geometrischer Prinzipe in der
Mathematik angewandt werden, so daß der Unterschied der
Berechnungen des gleichen Satzes uninteressant wird.
[Dies ist sehr unklar
ausgedrückt.] Ich meine:
Kommt, was ich sagen will, nicht darauf hinaus, daß jeder
neue Beweis
des gleichen Satzes schon darum interessant sein
muß, weil er eine neue Zeichen-geometrische Methode
zeigt. Oder: er überzeugt uns von von
einer neuen Möglichkeit der Konstruktion
| | |
| | | | | Wohl aber kann nicht
so eine neue Methode trivial werden, indem man sie auf
trivialem Wege einführt? Könnte
z.B. das Multiplizieren mit Dezimalen
nicht als eine triviale Abweichung vom Multiplizieren im
Strichsystem dargestellt werden? Ja; aber
hörte die Trivialität nicht dann auf, wenn
gezeigt wird, daß wir uns in gewissen Fällen auf die
zweite & nicht auf die erste Methode
verlassen?
| | |
| | | | | (Man könnte mein P[h|r]oblem
auch so ausdrücken: Ist es richtig die
Mathematik als eine Klasse von ˇwahren
Sätzen aufzufassen?) | | |
| | | | |
30.1.
Kann die Strichrechnung mich davon überzeugen, daß die
Dezimalrechnung dies ergeben wird? In gewissem
Sinne doch offenbar!
| | |
| | | | |
Ist nicht folgendes ein starker Einwand gegen mich:
Niemand wird sich die Mühe nehmen, das Kommutative Gesetz
für das Rechnen im Dezimalsystem zu beweisen, wenn es
für das Strichsystem bewiesen ist. Man wird vielmehr
auf diesen Beweis hin sagen es
müsse nun auf
fürs Dezimal-
system gelten – & käme dort etwas anderes
heraus, so müsse man sich verrechnet haben. Daraus
folgt: Man wird in diesem F[ä|a]lle dem
Resultat einer Multipli[c|k]ation im Dez.
System weniger trauen als einem
Induktionsbeweis im Strichsystem.
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| | | | | Und damit hängt
diesec Frage zusammen: Sind es nur
so uninteressante Fälle, wie
⌊z.B.⌋ lange Sätze im Dezimalsystem,
in denen die ‘kürzere’ Rechnungsweise
mehr als eine ganz triviale Transformation der
‘langen’ ist.
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| | | | | Kann man nicht sagen, daß alle
interessanten Sätze über die Kardinalzahlen
(& daher alle Sätze über die Zahlen) im
Strich- system
überzeugend bewiesen werden können & daher
jedes and⌊e⌋re
System nur denas V Interesse der
Kürze hat?!
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| | | | | Aber, wenn wir nun
z.B. das Kommut. Gesetz im Strichsystem
bewiesen haben, ist es dann nicht von höchstem Interesse, daß
die Rechnungen im Dez. System – so gut wie immer – diesen
Beweis // dieses Gesetz //
befolgen? Und nicht nur darum weil man also so
kürzer rechnen kann, sondern weil man also
auch anders rechnen kann.
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Man könnte fragen: Wie ist es
denn möglich, daß der
Skolemsche
Induktionsbeweis des Distributi-
von Gesetzes allgemein von diesem
Gesetze überzeugt? Wäre – könnte man
sagen – diese Überzeugung, was sie ist, wenn nicht beim
Rechnen (etwa im Strichsystem) tatsächlich
normalerweise dies Gesetz, bestätigt
würde? – Nun, man kann sagen: der
Induktionsbeweis überzeugt uns ˇdavon, daß wir zu
sagen haben
a + (b + c) = (a + b) + c
& ob nun im besondern Fall kommt das im
besonder Fall nicht heraus, so haben wir einen
F[alsh|ehle]r anzunehmen. Wohl, aber das wäre
dann also unter Umständen eine sehr unpraktische Regel
& eine, die anzunehmen kein Grund vorhanden wäre.
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| | | | | Es gibt aber nun doch mehr oder
weniger triviale Ersetzungen &
Abkürzungen!
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∣ Der Bescheidene, der sich selbst mitzuzählen
vergaß. ∣ | | |
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31.1.
Es sei π100 die
ˇ100-stellige ganze
Zahl 314159 …. Ist dann
der Beweis, das ~π100p ≡ p
ist (oder das Gegenteil) ein
R'scher Beweis, da doch dieser Satz der Logik nur
eine Abkürzung eines
R'schen Satzes ist?
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| | | | | Nun, der Beweis involviert
eine neue Technik der Zahlbestimmung – wie man sagen
könnte. Aber statt des allgemeinen
Ausdrucks “Zahlbestimmung”, ◇
wäre es besser ˇeinen ganz speziell⌊en⌋ von
einer zu verwenden für die Bestimmung der Menge der
“~“ zu reden. Negationen.
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| | | | | Lenkt nicht das Wort
“aAbgekürzung” unsre Aufmerksamkeit – , wie ein Taschenspielertrick
kunststück –,
auf unwichtigen Gegenstand?
Freilich ist der “~π100 p”
kürzer als ( entsprechende Reihe) von
p
“~ ~ ~ .....p”;
aber doch nur (darum), weil,
z.B., der Buchstabe π kurzes Zeichen ist. Wie, wenn wir statt seiner
einen Linienzug verwendeten, (der) komplizierter
(wäre), als die ganze Reihe der
Negationszeichen?
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– Aber man könnte doch auch : “Die Rechnung die
“~π100 p”
in die Form der Reihe umwandelt, zeigt bloß, was
“~π100 p”
bedeutet –, sie ist bloß die Übersetzung
von einer Ausdrucksweise in eine andere –
& auf sie folgt der … & auf diese Übersetzung folgt nun
der Russellsche
Beweis | .”
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| | | | | (Wenn man [so|di]esen Weg geht,
könnte man noch einen Schritt weiter gehen & sagen,
daß der R'sche Beweis dann einen
Satz beweist, der nichts sagt.)
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| | | | | Aber warum soll ich das
‘Übersetzen’ von einer Ausdrucksweise in
eine andre nicht auch einen Beweis nennen?
, daß diesem Ausdruck in der einen
Ausdrucksweise dieser in der andern entspricht. (So kann man Einem mittels Hilfe des Wörterbuchs
& der Grammatik beweisen, daß dieser deutsche Satz
auf Englisch so . // lauten
muß. // | | |
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1.2.
∣ ‘Zweck der Musik: Gefühle zu
vermitteln.’ ∣
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| | | | | Verb[r|i]rg dir
nie daß du in Schwierigkeiten
bist.
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Damit
verbunden: Wir mögen mit Recht sagen
Einer ⌊“⌋er jetzt das gleiche Gesicht
◇ den gleichen
Gesichtsausdruck | wie ” – obwohl die Messung in
(den) beiden Fällen
[v|V]erschiedenes ergab. Wie werden
die Worte “der gleiche Gesichtsausdruck”
gebraucht? – Wie weiß man, daß Einer
diese Worte richtig gebraucht? Aber wie
weiß ich, daß ich sie richtig gebrauche?
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| | | | | ‘Ich
fühle, daß ich das Wort “rot”
richtig gebrauche.’ Nun, das kann man schon
sagen. Nur ist es ˇjetzt interessant zu
untersuchen, was mit die- sem Satz
nicht gemeint ist.
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| | | | | Die unerfüllte Sehnsucht in der
Philosophie: ‘Ich will [r|R]ot
beschreiben, kann es aber nicht’. Sehn'
ich mich nach dem, wonach man sich nicht sehnen
kann? Wenn ich in einem Kreis herum liefe,
immer schneller & sagte,
ich mich fangen – soll man
ˇdann sagen ich
versuche mich selbst einzuholen oder soll man es nicht sagen?
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3.2.
Es heiße ‘’ die
nte Stelle der Zahl
e; dann hat – so sa⌊sa⌋g⌊t⌋e ich einmal – der Satz:
“ich habe 2 Hüte” den selben Sinn, wie:
“ich habe
Hüte”. Aber hat auch
◇“~ ~p ≡ p”
den selben Sinn wie “~
p ≡ p”?
⇒ Fortgesetzt in Band
XIII.
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1) See facsimile; arrows pointing to remarks '“250 Würfel ...' and '“250 + 3220 Würfel ...' on page 23v.
2) It seems that the remark 'I'm much too slick ...' was written at an earlier point, and the sentence 'Aber ich verwende ...' had as a consequence to be written around it.
3) See facsimile; line connecting this remark with the following one.
4) See facsimile; Wittgenstein writes 'Leeraufführungen'.