Ich entfalte doch die geometrischen Eigenschaften dieser Kette auch indem ich die Umformungen einer andern gleich gebauten Kette vorführe. Aber dadurch zeige ich doch nicht was ich tatsächlich mit der ersten tun kann, wenn diese sich nämlich tatsächlich als unbiegbar oder sonst wie physikalisch ungeeignet erweist.
Also kann ich doch nicht

sagen: ich entfalte die Eigenschaften jener dieser Kette.

Wie kann man den Eigenschaften der Kette entfalten, die sie gar nicht hat?

‘Wir entfalten die Eigenheiten des hier

gezogenen
gezeichneten

Vielecks.’
Nehmen wir an das Vieleck wäre aus Draht gebogen, statt gezeichnet; wären wir noch (ebenso) geneigt zu sagen: wir entfalteten

die [e|E]igensch. des gebogenen Drahtes?
Wir entfalten sie soll hier ˇdoch heißen, wir führen sie vor Augen, machen sie

deutlich
sichtbar

, was früher nicht

zu sehen
deutlich

war.

Ich messe einen Tisch eine Tischplatte & er sie ist 1 m lang. – Nun lege ich meinen Meterstab an einen andern Meterstab. Messe ich ihn dadurch? Finde ich daß er jener zweite Meterstab 1 m lang

ist? Mache ich das gleiche Experiment der Messung nur mit dem Unterschied daß ich des Ausgangs sicher bin?

Ja wenn ich den Maßstab an den Tisch anlege, messe ich immer den Tisch, kontrolliere ich nicht manchmal den Maßstab? Und worin liegt der Unterschied des Vorgehens? // des einen & des andern Vorgehens? // zwischen

dem einen Vorgehen & dem andern? //

Ich entfalte die Eigenschaften dieses Vielecks, heißt hier, ich zeige, z.B., daß es ein 15 Ecken hat. Ahnlich als sagte ich, : ich entfalte die Länge & Breite dieses Papiers indem ich das Papier auseinanderfalte.

Das Entfalten ist hier eine Art Zählen.

Das Experiment des Entfaltens einer Reihe kann uns, unter anderem, zeigen aus wieviele⌊n⌋ Kugeln die Reihe ent besteht, oderˇ aber, daß wir diese (sagen wir) 100 Kugeln so & so bewegen können.
Die Rechnung aber des Entfaltens zeigt uns was wir eine Umformung durch bloßes Entfalten nennen.

“[E|I]ch entfalte die Eigenschaften dieser Kette, ich zeige,

was man alles aus ihr machen kann.” – Was man alles durch bloßes Biegen in

ihren
den

Gelenken aus ihr machen kann.
Nun ich

möchte vielleicht sagen,
könnte sagen:

ich zeige nicht nur physikalische, sondern auch geometrische Eigenschaften der Kette.
Könnte man sagen: Die Glieder dieser Kette sind zwar so zusammengeschweißt nietet,

daß man die Kette
daß man sie

nicht

in diese Stellung bringen kann
biegen kann

, aber es ist

doch eine geometrische Eigenschaft dieser Kette daß man sie in diese Stellung bringen kann.

∫

Höchstens

:
,

daß man sie … bringen könnte, wenn die Glieder nicht ….

∫

Die Eigenschaft ist etwa ˇdie, daß die Kette aus 10 Gliedern besteht.

“Ich zeige Dir was man alles aus dieser Kette machen kann.” Dabei

nehme ich als selbst. an, daß die Glieder sich nicht biegen, sich bewegen lassen nicht brechen, sich nicht vermehren etc. etc. – Zeige ich Dir nun nicht eine Eigensch.n der Kette? Aber welche von den vielen Eigenschaften d. Kette zeige ich?
Ist es denn noch eine Kette, wenn sie – aus irgend einem Grunde – steif ist, wie ein

Stock
Stab

Stimmt die Logik mit 2 × 2 = 4 überein? Man kann 2 × 2 = 4 mit ihr in Übereinstimmung bringen, aber auch 2 × 2 = 5.

Stimmt 2 × 2 = 4 mit der Logik dem log. Kalkül überein? Mann kann 2 × 2 = 4, aber auch 2 × 2 = 5, mit ihr ihm in Übereinstimmung bringen. (Und ˇich meine: d 2 × 2 = 5 kann unter Umständen eine brauchbares artithmetisches Sätzchen sein.

Aber es kann doch

nicht 2 × 2 = 4 & 2 × 2 = 5 wahr sein, es sei denn, daß die Zeichen in “2” oder ‘ × ’ oder ‘ = ’ in den beiden Systemen verschiedenes bedeuten! Soll das heißen: daß in einem

System
Fall

2 × 2 = 4 im andern 2 × 2 = 5 ist sei

der Grund warum wir sagen
das Kriterium dafür

, daß in den beiden ‘2’ oder ‘ × ’ jene Zeichen verschiedene Bedeutung hätten. Oder ist es lehrt die Erfahrung, daß unter solchen Umständen die Zeichen ˇimmer verschiedene Bedeutung haben? Davon später mehr.

Was nennen wir Eigenschaften einer Zahl, Eigenschaften eines Satzes?

Damit daß wir ein Begriffswort bilden z.B. “mathematischer Satz” & für das Wort auch eine Verwendung haben, die uns geläufig ist, sind wir noch nicht im Stande zu sagen, wie wir, gegeben die

beliebigen
rechten

Umstände, geneigt sein werden es anzuwenden.
D.h. wenn ich eine

neue Situation an Dich heranbringe wirst Du eine neue Entscheidung über seinen Gebrauch treffen müssen, oder auch erkennen, daß Du ‘nicht umhin kannst’ es hier diesen so zu gebrauchen, hier diesen Weg einzuschlagen. (Etwa zu sagen “es gibt keine Konstruktion der Dreiteilg des ∢ mit Lineal & Zirkel”.)

Und so bringt auch Cantors Beweis eine neue Situation an uns hervor & die

Frage ist: “[w|W]as sollen wir nun sagen?”

[Auch Contradictionen könnten unter Umständen richtig, oder wahr, genannt werden.]

[Zu zeigen, daß die internen Beziehungen von Sätzen, die ‘Operationen’ die einen Satz aus einem andern erzeugen, nicht ‘abzählbar’ sind. Dadurch fällt ein Licht auf den Begriff ‘Operation’.]

[Freiheit]

[“Bist Du Dir auch des Unterschiedes bewußt … ]

Ist ein Kalkül allgemeiner als ein andrer?
Worin besteht die ‘Allgemeinheit’ des Mengenkalküls? Nicht darin, daß er ein einfaches Bild einer Klasse andrer (‘spezieller’) Kalküle ist? Ist er ohne [b|B]eziehung auf diese ⌊auch⌋ allgemein?

Worin besteht die ‘enlightened simple-mindedness’ von der Littlewood spricht? Besteht sie nicht darin zu glauben, daß die sogenannte allgemeine mathematische Untersuchung Wahrheiten ans Licht bringt, die von den beson spezielleren Untersuchungen nur noch ins Kleine ausgeführt werden. Während der allgemeine Kalkül nur dadurch ‘allgemein’

ist daß er sich auf spezielle Kalküle bezieht. Weil in der Mathematik nichts im Wort liegt sondern alles im Kalkül. D.h. weil das Zeichen in die reine Mathematik keine andre Bedeutung mitbringt, als der Kalkül selbst sie ihm gibt.

Die Mathematik besteht nicht aus Betrachtungen. Und ‘abstrakt’ kann man einen Teil der Mathe-

matik nur nennen, insofern seine Anwendung zwar angedeutet aber

vag
im unklaren

gelassen ist.

[Was fehlt der Mendelsohnschen Musik? Eine ‘mutige’ Melodie?]

Wenn Du sagst: “aber Mathematik muß doch eine Art der Physik sein!”, so

sagen wir
sage ichc

: dann ist sie eine Physik ihrer Symbole, d.h., sie hat ihre physika-

lische Bedeutung ⌊⌊(Pascal)⌋⌋ für die Symboleˇ die Bilder, die sie empfielt.

‘Diese Überlegung zeigt, …’ Wie kann eine Überlegung etwas zeigen?

D.h. ich wünsche, daß Du Dir die Mathematik in jedem Stadium als komplett (Referrent), & jeden neuen Kalkül nicht als eine Entdeckung sondern als neue Erfindung denkst.

‘Ich will Dir in dieser Menge von Operationen ein Loch zeigen.’

6.1.39.

Zu welchem alltäglichen Zwecke ließe sich die Cantorsche Rechnungsartweise gebrauchen?
Die Diagonalzahl einer Zahl D' einer endlichen Menge von Zahlen bilden Es ist leicht verständlich im Fall einer endlichen Anzahl von Zahlen.

Wir wollen uns die Cantorsche Bildungsweise von D' eingeführt denken zu einem praktischen Zweck. (Dies natürlich aus Gründen der Klärung unsrer G⌊r⌋ammatik,

darf
// & die praktische Anwendung darf daher so phantastisch sein, wie sie will.) //

Als erstes fällt mir ein d[ie|as] Cantor-

sche Verfahren als Lösung eines Scherzrätsels. Ich sage: “ich habe alle Kombinationen von Stellen in unendlichen Reihen angeschrieben – zeige mir eine Kombination die ich nicht angeschrieben habe.”

Eins ist klar: Wenn jemand sagte[,| :] “Wer weiß[,| –] vielleicht kann man gar keine reellen Zahlen außer diesen mehr bilden, weil

einfach
schon

alle [C|K]ombinationen

von Stellen erschöpft sind” – so kann man ihm, nach Cantor, antworten: Nein, denn wenn Du ein Gesetz angibst, das D' erzeugt so wirst, Du

sagen
zugeben

, daß es eine von allen diesen Gesetzen verschiedene Zahl erzeugt.

Das heißt: die Cantorsche Demonstration ist eine richtige Antwort auf jenen

falschen
unsinnigen

Einwand. Aber nicht, weil sie eine neue Combination

zeigt, die man früher nicht gesehen hatte, sondern weil sie zeigt, was man in so einem Fall, eine von allen diesen verschiedene Zahl nennt & was hier also ‘[b|B]ildung einer neuen Combination’ zu nennen wäre.

Es kann z.B. einen Beweis geben, daß π von den algebraischen Zahlen ‘diagonal verschieden’ ist.

Unser Ausdruck ist muß nur dort von ˇeiner besonderenr Exactheit sein, wo sie den psychologischen Punkt genau treffen muß. // strebtc muß nur dort von ausnehmende[n|r] einer besonderen Exactheit sein an[;| ,] nur dort kommt es (uns) auf eine haargenaue Einstellung des Ausdrucks an, wo … // // strebt nur dort

eine peinliche
besondere

Exactheit an, nur dort kommt es (uns) auf die kleinste Abweichung ˇnach rechts oder links an, wo wir

es sich drum handelt, den … zu treffen.
der psychologische Punkt zu treffen ist.

// Unser Ausdruck muß nur dort von

ganz besonderer
einer ganz besonderen

// von einer ungewöhnlichen // Exactheit sein, nur

da
dort

kommt es uns auf die Schattierung des Ausdrucks an, wo es gilt, den psychologischen Punkt zu treffen. (Gegensatz hiezu Moore.) // Wir verfassen

nicht ein
kein

juridisches
gerichtliches

Dokument,

mit
in

dem wir der Gegenpartei jeden Einwand verstopfen wollen das jeden Einwand voraussehen & verstopfen soll // muß // . Denn wer sich nicht gutwillig überzeugen läßt, den wollen wir gar nicht überzeugen // Wir verfassen kein

juridischen Dokument, das der Gegenpartei jeden Einwand verstopfen soll. … // // , das jeden Einwand des Gegners verstopfen soll. … //

[Hierher gehört auch der Satz von den ‘Fahrgeleisen’]

Nun geht aber Cantor ja noch weiter: er sagt nicht nur, man könnec keinen Grund haben zu sagen: dies seien nun alle reelle Zahlen; sondern, er zeigt

uns auch eine reelle Zahl die von allen diesen verschieden sei

:
;

nämlich die Zahl “[D|d]iagonal verschieden von …”.

Warum verwendet z.B. Hardy nicht die l.sche Demonstration, wenn er zeigen will, daß es noch gäbe außer den rationalen Zahlen noch andere Zahlen geben muß? – Etwa weil das Argument auf dieser Stufe ein zu schwierig vers ist? Nicht, darum, weil, das Geschöpf, wa⌊s⌋ dabei herausk[ä|o]m[e|mt], nicht eigentlich wie eine

weitere
neue

Zahl aussieht? (Er hätte auch z.B. die Zahl 0˙0˙1001000100001 … anführen können

die offenbar
von der es klar ist daß sie

kein periodischer Dezimalbruch ist.) Er wollte etwas

vorzeigen
haben

, womit man

mißt.
offenbar messen kann.

Der allgemeine Satz mag sagen, was alle speziellen sagen, aber die allgemeine Technik

lehrt
tut

nicht was alle besonderen Techniken

lehren
tun

Indem ich Dich lehre einen Ziegelstein auf einen andern zu legen, lehre ich Dich nicht ein Haus bauen, – da ich Dich

doch die allgemeine Form des Häuserbauens gelehrt habe.

Wir sagen: Wenn man von einer Technik des Entwickelns zeigen kann, daß ihre Resultate mit denen eines Systems von Entwicklungen diagonal nicht übereinstimm[t|en], so sagen wir:

diese
die

Technik habe ein von

allen
denc

Entwicklungen des Systems verschiedenes Resultat.

Kann man also zeigen, daß die Entwicklung von √2 mit den Entwicklungen der Brüche diagonal nicht übereinstimmt, so sagt man: √2 hab erzeuge eine von von jenen andern verschiedene Entwicklung.

Wie ist es nun mit der

Regel
Technik

des Entwickelns: ‘Verändere ‘Addiere 1 zu jeder Stufe der Diagonale des Systems.’ Das ist doch eine Technik des Entwickelns. Und ist sie es nicht diagonal verschieden

wahr, daß ihre Resultate diagonal mit denen Entwicklungen des Systems nicht übereinstimmen? – Die Umstände sind hier ganz

andere
anders

, ˇ([I|i]ch habe eine ganz neue Art der Regel eingeführt) also

müßte
muß

ich hier nicht dasselbe sagen. Aber ich kann dasselbe sagen & also D'S als eine von allen Zahlen des Systems verschiedene Zahl nennen.

Woher aber das eigentümliche Gefühl, daß zwar √2 eine Zahl

sei
ist

, weil sie – wie ich zu sagen versucht bin – ihre

ganze ˇunendliche Entwicklung schon voraussieht,, dagegen D'S eigentlich

nicht eine
keine

Zahl sei, weil hier immer nur das Stück vorhanden ist, was ich gerade bilde? – // weil es hier immer nur die Stücke gebe, die ich gerade bilde? //
Aber worin liegt es denn, daß die √2 (z.B.) ‘ihre ganze Entwicklung voraussieht’? // ˇihre Entwicklung schon in sich hat? // Oder

:
,

daß die √2 – sozusagen – schon fertig ist, schon fertig da ist, wenn

schon
auch

ihre Entwicklung nur

im Gang ist?

Oder: Wie kommt es, daß wir nicht ˇversucht sind zu sagen: , die Zahl π kennen wir

nicht genau
nur beiläufig

, da wir ihr Zahlzeichen

nicht
nie

ganz anschreiben können. Warum erscheint uns hier die Entwicklung nur gleichsam als ein Nebenprodukt

der
des Kalküls mit dieser

Zahl; während es im

sie
die Entwicklungc

im Fall D'S das ein & alles der Zahl zu sein scheint?
Doch offenbar, weil im Fall von π die Entwicklung das bilden der

Entwicklung wirklich nur ein kleiner Teil des Kalküls mit π ist, während weil also das Zeichen π in einem ausgedehnten Kalkül eingebettet ist (der ihm seine Bedeutung gibt), während D'S nichts weiter ist als eine Technik zur fortgesetzten Bildung eines Dezimalbruchs von Dezimalstellen.

“Der Kalkül gibt dem Zeichen seine Bedeutung”, heißt: der Zweck des Zeichens liegt Der Kalkül zeigt, wozu ein Zeichen

dient – nicht ⌊⌊wozu das Zeichen … nütze ist – nicht … // ⌋⌋

seine Schreibweise bloß
sein Aussehen

, nicht ein Bild das sich mit ihm verbindet, nicht

irgend ein Ausschnitt
ein Teil bloß

des Kalküls.
// : Der Kalkül zeigt Dir, wozu das Zeichen dient

;
–

wozu man es überhaupt braucht – nicht // // Der Kalkül offenbart Dir den Zweck des Zeichens; wozu

es denn überhaupt dient
man es denn überhaupt gebraucht

– nicht seine Schreibweise

allein
bloß

, nicht ein Bild, das sich mit ihm verbindet, nicht

irgend ein
ein

Ausschnitt bloß des Kalküls. // (So wie man sagen

kann: wenn Du

den inneren Bau
die Konstruktion

eines Hauses verstehen willst schau nicht nur auf die Fassade – obwohl diese manchmal über den Bau [a|A]ufschluß geben kann.

Angenommen, wir hätten nur mit periodischen Dez.brüchen gerechnet; & nun wäre auf diese Grundlage die Cantorsche Erfindung

gesetzt worden
gefolgt

– ist es klar, daß wir uns entschlossen hätten, die neuen Regeln zur Bildung von Ziffernreihen ‘Zahlen’

zu nennen? Hätte man sie etwa ˇneue ‘Brüche’ genannt?

Es ist die große Diversität dessen, was wir reelle Zahlen nennen, was uns die Cantorsche Zahlen D'S schlukken läßt.

“… also müßte ich hier nicht dasselbe sagen” – d.h.: hier ist der Weg durchaus nicht klar vorgezeichnet.

Wenn ich nun aber erkläre auch die

Regel D'S habe als Zahl zu gelten – – aber eh ich mich darauf einlasse eingehe: Muß nicht die Regel D'S jedenfalls als neue Regel gelten? Ja, aber das is DS auch. Es muß heißen: [i|I]st nicht das Resultat der neuen Regel jedenfalls ein neues Resultat? D.h.: ich brauche es nicht Zahl zu nennen, muß aber doch zugeben, daß ich eine neue Extension vor mir habe.
Aber eine Extension

ist die Extension nur von einer Regel; & ich machte die Übereinkunft, etwas eine von den Extensionen von S verschiedene Extension ˇeiner Regel zu nennen, wenn es sich zeigen

läßt
ließe

, daß die [e|E]xtension ein D'S sei (D'S ist Prädikat). Und da kommt es drauf an wie was ich ˇ“Regel” & “zeigen lassen” nennen will. Ich könnte ohne weiteres sagen: ich wolle nicht sagen es [“|‘]ließe sich zeigen’, daß D_{+ 1} ein D' sei.
Aber ich kann wieder D_{+ 1} ein D' nennen &

also sagen, ich habe vermittels der C'schen [m|M]ethode eine neue Extension Regel mit neuer Extension abgeleitet. Und dann habe ich also einen Begriff der Regel gebildet, den man nicht in ein System ordnen kann. ¤

Und das ist nun nichts so besonderes

(Sandhaufen, nächst größere Länge etc.)

8.1.

126

→

,

233

→

,

Wie zeigt man, daß … alle Kombina Permutationen von a b c d sind?
Wie zeigt man daß man … ˇso in eine Reihe ordnen kann?

Es müßte heißen: Nun führen wir

einen Begriff ein, von dem es keinen Sinn hat zu sagen, er werde in ein System gebracht. (Nicht eine Entdeckung – eine Erfindung.) ¤ // , der das System ˇdurch seine Bestimmung

aufhebt
ausschließtnicht zuläßt

. //

Jede ‘Eigenschaft einer Zahl’ entspricht einer endlosen Technik. ⌊des Erzeugens einer Zahl aus andern.⌋
Wenn¹ man nun solche Techniken in eine Reihe ordnet, so zeigt uns die Reihe neue Techniken an.

⌊⌊ Eine Eigenschaft einer Zahl, (das) ist – möchte ich sagen – ihre Beziehung zu einer andern Zahl oder andern Zahlen. ⌋⌋

9.1.39.

Wir behandeln die Grammatik des Wortes “Technik”.

Wenn

man sagt
wir sagen

: “Ddie Differentialrechnung

spricht
handelt

gar nicht von unendlich Kleinem”, so müßte es vor allem heißen, daß eine Rechnung ˇnoch nicht von etwas

spricht
handelt

; dann aber da[s|ß] die charakteristische Anwendung der Rechnung ˇsich allerdings nicht, – wie der Ausdruck “unendlich klein”

erwarten läßt, – von ◇◇◇ auf winzig kleine[m|s] gemacht wird sich auf winzig [k|K]leines richtet.
Aber ebenso richtet sich die Anwendung der unendlichen Mengenlehre nicht auf ungeheure Mengen!

Kann ich sagen: “Wenn ich die horizontale Techniken gelernt habe & die ˇTechnik der Bildung neuer in vertikaler Richtung, so habe ich damit die Technik der

Bildung von ˇDS oder D'S gelernt? – Nun, habe ich sie denn damit schon gelernt? Nein. – Aber Cantor lehrt sie mich durch sein Schema, (das ja neu ist.) D.h.: dieses Schema ¤

“Eine “Technik”, die ein von den S verschiedenes Resultat liefert” nenne ich eine, die ein D'S hervorbringt. Nach dieser Definition nun kann ich nicht sagen D'S stehe für eine Technik die ein von

den S verschiedenes Resultat hervorbringt.

¤↺

bringt mich auf
zeigt mir

⟵ neue ⋎ [m|M]öglichkeiten von Operationenˇ z.B. auf die von DS, & auch auf eine neue Moglichkeit der Begriffsbildung ‘Operation’. ⇒•

Es ist

ganz ähnlich
etwa

, wie wenn Einer geneigt ist zu glaub[en|t], jede unendliche Dezimalzahl mü[ß|ss]e sich einmal wiederholen (& dies ist man als Anfänger manchman geneigt zu glauben) & wir zeigen ihm

nun die Reihe
0˙1011011101111 … & er verläßt seine frühere Auffassung.

Aber es scheint C. lehrte mich keine neue Technik; er braucht mir nur das Bild zu zeigen, & ich kann sie schon; er nenn[t|e] ˇmir nur eine die ich schon kannte. Aber das

Bild
Schema

ist neu & es schlägt bringt etwas neues in Vorschlag wenn wir den Vorschlag ˇallerdings auch gleich verstehen.

Wie man umgekehrt

eine Technik D'S kennen könnte ohne die S zu kennen.

Wie, wenn man von allen existierenden hergebrachten reellen Zahlen

absähe
absieht

Sehen wir doch einmal … ab., & mit

beginnend, Reihen D'S erzeugt (wobei immer 0 in 1 & 1 in 0

verändert
⌊l⌋

wird). Ich sage nun:

wenn ich das D'S immer wieder dem System hinzufüge & ein neues D'S bilde, so lassen sich die so entstehenden D'S nicht in eine Reihe ordnen. Aber die so entstehenden D'S lassen sich doch in eine Reihe ordnen.

Man kann ‘sie’ nicht in eine Reihe ordnen, – wer sind dies sie, die man nicht ordnen kann? Ich habe eine Begriffsbestimmung gemacht, in der ich die Ordnung ausgeschlossen haben, indem ich

bestimme, jede Ordnung sei immer nur als Teilordnung anzusehen; nun darin ‘kann’ man diesen Begriff nicht ordnen. Der Schein der Unmöglichkeit (des Nicht-Könnens) entsteht hier durch die Art wie wir den Begriff einführen. Indem

eine Bestimmung
die Bestimmung

, die das Ordnen ausschließt, nachträglich wie eine Entdeckung über den schon fertigen Begriff eingeführt wird.

Wenn ich also jemand die Technik lehre Brüche

zu bilden
anzuschreiben

so habe ich ihn gelehrt so viele Zeichen ˇzu bilden anzuschreiben wie wenn ich ihn lehre, Kardinalzahlen ˇim Dezimalsystem zu bilden!
Lehre ich ihn aber

jene
die

Technik, die D'S zu bilden, so lehre ich ihn mehr Zeichen bilden, als im ersten Fall! Kardinalzahlen!

Wenn die C'sche

Demonstration
Schema

etwas sonder-

bares seltsames zum Vorschein bringt, dann eine seltsame Begriffsbestimmung.
Wenn hier eine Entdeckung vorliegt, so eine psychologische.

Es ist klar, welchen Zweck es haben kann,

eine Zahl z.B. π als von den … verschieden zu erweisen
zu beweisen daß (z.B.) π ein D'S der algebraischen Zahlen ist

: aber welche[m|n] Zweck kann es dienen haben eine neue Regel der A von den S verschiedene Regel wegen ihrer ⌊D'-⌋Verschie-

denheit wegen einzuführen? // : aber welchem Zweck kann es dienen, ein D'S bilden bloß seiner Verschiedenheit wegen? // D.h.: wie kann man in den Fall kommen, eine von den Re[l|g]eln

eines Systems
S

verschiedene Regel, bloß ihrer [v|V]erschiedenheit wegen, zu

brauchen
// bedürfen //
benötigen

Nun, ich könnte mir den Fall denken: jeder einer Klasse von Leuten schreibt zu irgend einem Zweck successive die

Stellen von π, π², π³ etc. hin; [I|i]ch will nun jede der hingeschriebenen Reihe verfälschen so

aber
zwar

daß ich dadurch nicht zwar daß ich sicher sein kann nicht einmal durch Verfälschung einer Reihe π^ν eine andere Reihe dieser Form zu erzeugen. Ich gehe daher nach dem Prinzip vor sie diagonal zu verfälschen. D.h. ich verfälsche jedes spätere πⁿ an einer weiter rechts liegenden

Stelle Ic ich soll nun eine Reihe hinschreiben die einerseits auf eine andre Art als die Reihen πⁿ gewonnen wird, anderseits soll ich mit [s|S]icherheit versprechen können daß binnen so & so viel Stellen meine Reihe mit irgendeiner beliebig gewählten Reihe πⁿ nicht übereinstimmen wird.
Könnte man die Reihe D'S hier ein neues System der Numerierung nennen. Und zwar nicht allein ihrer Extension wegen, denn das geht nicht,

aber zusammen mit ihrem Titel ‘D'S’? Man würde dann sagen: zu einer

verschiedenen
neuen

Numerierung gehört erstens eine andere Technik des Erzeugens & zweitens die diago Nichtübereinstimmung mit den Entwicklungen des Systems in binnen einer angebbaren Zahl von Stellen.

D'S kann man nicht ein anderes ‘Muster’ nennen als die Entwicklungen von S.
in Z.B. in

ist D'S = 0˙0000 … aber 0˙0000 … ist nicht ein and[e|r]es Muster als 0˙0000 … wenn einmal lauter 0 folgen einmal irgendwo eine 1.

Wozu dient mir eine Technik der Entwicklung, die mit allen den S diagonal

nicht übereinstimmt

In der Mathematik werden Gerüste konstruiert. ‒ ‒ ‒ // Sprachgerüste konstruiert // // Begriffs-, d.h., Sprachgerüste konstruiert. // ˇOb & Wozu sie dann zu gebrauchen sind, ist

nun eine weitere
eine andere

Frage.

So untersucht die Mathematik auch nicht ein Continuum (nämlich etwa das ‘mathematische Continuum’) sondern konstruiert einen Begriff des

Continuums: d.h.: sie stellt gewisse Regeln für den Gebrauch de[s|r] Wortes ‘Continuum’ ‘continuierlich’,

u.a.
etc.

, auf; & es fragt sich nun, ob die ˇ& inwiefern, das so gebildete Spiel mit Worten nützlich ist bei der Beschreibung eines kontinuierlichen Tatbestandes.

Wieviele ˇKardinalZahlen hast [Du|der] anschreiben gelernt der (wie wir alle) gelernt hat das Dezimalsystem zu beherrschen, oder wieviele Multiplikationen

hat er auszuführen gelernt? Das könnte man in zwei Weisen beantworten. Entweder indem man die Zahl der Multiplikationen nennt, die er beim Unterricht ausgeführt hat. Oder die Antwort ist: “Er kann beliebig viele Multiplicationen ausführen”. (Und nun entschließt man sich etwa dazu “beliebig viele” ein Zahlwort zu nennen.) Kann der nun mehr Rechnungen oder gleichviele Rechnungen als

ich, der nicht, wie ich nur beliebige Multiplicationen, sondern auch beliebige Divisionen ausführen kann? Es scheint, er kann mehr, aber anderseits kann er doch auch nur beliebig viele Rechnungen ausführen[;| ,] also ebensoviele wie ich. Was zeigt dies nun? Zeigt es irgend etwas anderes, als daß es dumm ist hier nach der Analogie mit den Zahlwörtern zu

fragen
suchen

, wo es offenbar // ist, hier zu fragen, welches der, den natür-

lichen

Zahlwörtern
Zahlen

analoge Gebrauch des Wortes “beliebig- viele” ist; da es hier offenbar verschiedene Wege gibt, die man ‘die Fortsetzung des alten Weges’ nennen kann. Und sagt man nunc: man wir habe⌊n⌋ gleichviele ebensoviele die wir [b|B]eid[en|e] hätten gleichviele Rechnungen ausführen gelernt, so ist das nicht der Ausdruck einer Entdeckung über das Wesen der Unbegrenztheit, sondern eine Bestimmung über den Gebrauch

des

Ausdrucks
Wortes

“gleich viel” in der Verbindung mit dem Wo Ausdruck “beliebig viele”. Eine Bestimmung die, wahrscheinlich, zw[a|e]ckmäßiger hätte anders getroffen w[e|o]rden sollen wäre.

Aber was soll man auf die Frage antworten: “[w|W]ieviele Kardinalzahlen gibt es?” – Warum sollte man nicht die Antwort vorschreiben: “Diese Frage heißt nichts”? – Aber hat denn die Frage keinen Sinn? Nicht, wenn

Du ihr keinen Sinn gibst Un[g|d] angenommen, Du setztest

als
die

Antwort fest: “[Z|z]ahllose”, “Unbegrenzt viele”, so ist damit noch nicht bestimmt wie Du diesen Ausdruck nun noch weiter gebrauchst. // gibst. Und wenn Du ihr einen gibst, so kannst Du ihr nun den einen oder den andern geben.

In der Mathematik werden Begriffsbestimmungen gemacht, nicht ˇdie Eigenschaften von

Begriffen
Gegenständen

gefunden. ⇒•

Es sei denn, Eigenschaften, wie die Zweckmäßigkeit

Eine Technik ‘handelt’ von nichts. Man mag sie aber mit [h|H]inblick auf die & die Anwendung lehren. Es wäre seltsam,

eine
die

Technik des

Schleuderns
Springens

, z.B., eine allgemeine Technik zu nennen, weil sie allerlei verschiedene Verwendungen hat.

“Viele Äpfel + 2 Äpfel = Viele Äpfel”. – Angenommen Einer

sagte: “Viele Äpfel + 2 Äpfel ˃ Viele Äpfel”! – “Aber es ist doch offenbar daß [v|V]iele & 2 wieder viele sind & daß es mehr als viele nicht gibt.” – Mache eine andere Begriffsbestimmung.

‘Eigensch. einer Zahl’

0'a = b

Man zeigt, daß die Operationen mit Kardinalzahlen nicht [A|a]bzahbar sind, indem man zeigt daß jedem System S solcher Ope-

rationen eine neue Operation D'S entspricht. Dann sind aber auch die Sätze der der Arithmetik nicht abzählbar. Dagegen sind aber ˇdie in Russells Sätze System beweisbaren Sätze abzählbar.

Wenn wir die Zeichen Russells als Ziffern auffassen, so wird jeder seiner Sätze ein Zahlzeichen & jeder seiner Beweise eine bestimmte Konstruktionsart einer Zahl (aus den Zahlen der p.p.). Wir könnten jeden solchen Satz schreiben:

“die Zahl

n
N

ist ˇaus

r, s, t, u,
M,O,P,Q

beweisbar” wo [b|B]eweisbarkeit eben eine Eigenschaft von Zahlen ist.

12.1.

Die M Multiplikation & Division. Division hat größere Mannigfaltigkeit; sie zeigt auch,

daß
wenn

a × b nicht c ist.

Beweise in meinem W-F System, daß etwas keine Taut. & keine Cont. ist.

Was heißt es einen R'schen Beweis einmal als Beweis des R'schen

Satzes, einmal als Beweis seiner Beweisbarkeit aufzufassen?

  Wie operiert man mit dem R-Satz, wie mit dem Satz, er sei beweisbar?
  Oder analog: Wie operiert man mit der Taut ⌊(p)⌋ & anderseits mit einem Satz p = taut.?
  Sagen

diese
sie

nicht verschiedenes? Nun ja; es sagt ja jeder sich selbst, d.h., was man liest, wenn man ihn liest. Aber nun fragt es sich, welchen Gebrauch man von den beiden macht.

Aber jedenfalls ist doch die Verneinung des einen nicht die Verneinung des andern!
Denn wenn ⊢p ⊃ p . = . p ⊃ p = taut, dann kann man fragen: was ist nun das Negativ des Satzes “⊢p ⊃ p”? Besagt es, daß der Satz nicht beweisbar ist, oder das sein Gegenteil beweisbar ist?

Endlose Melodie

Unendliche Erlaubnis
Unendlicher Wunsch

Welcher Teil der Mathematik wäre insbesondere auf eine unendliche Baumreihe anzuwenden? Hat der Satz Sinn: “Diese Baumreihe

läuft ohne Ende weiter
hat kein Ende

”? (Warum sollte man nicht, ˇz.B., eine kreisförmige Baumreihe so nennen?) Kann man etwas mit ihm anfangen, so hat er [s|S]inn.

Kann man sich unend-

lich viel Geld wünschen? Wie weiß man es, wenn der Wunsch erfüllt ist?

Wie, wenn jemand sagte: “Russell behauptet durchaus nicht daß der Satz die Sätze … beweisbar ist sind; sondern er behauptet einfach die Sätze, ihre Wahrheit.”?

“Russell behauptet nur

, daß es regnet oder nicht regnet
: ‘Es regnet, oder es regnet nicht’

”

‘Es ist wohl wahr

:
,

Russell behauptet nur Tautologien; aber er behauptet nicht daß es Tautologien

sind. Angenommen R. macht einen Rechenfehler, so behauptet er

dann also
am Ende

etwas, was keine Tautologie ist.’
‘Russell behauptet nur^﹖ am Ende eines Beweises; aber er behauptet nicht daß dies bewiesen wurde.’

Wie aber wenn ich sagte: ‘Russell interessieren nur Tautologien; er gibt uns also eine Liste von Tautologien, oder auch die Behauptung, daß dies alles Tautologien seien’?

Wenn Du R. wider-

sprechen wolltest, wie würdest Du es tun: indem Du behauptest, daß einer seiner S[ä|a]tze ein Satz der P.M. nicht beweisbar sei, oder, daß sein Gegenteil beweisbar sei. Oder: Hätte R. unrecht nur wenn das Gegenteil seines Satzes zu bew[ie|ei]s[en|ba]r wäre, oder auch, wenn sich der Satz als nicht beweisbar herausstellte.

Welches ist also das Gegenteil einer R'schen [b|B]ehauptung?

Wie wäre es nun mit einem Satz, als dessen Beweis nicht der Beweis seiner Beweisbarkeit, sondern der Beweis seiner Unbeweisbarkeit in einem gewissen System

gälte?
wäre?

Nun wir hätten hier eine etwas seltsame Ausdrucksweiseform vor uns.
Ein solcher Satz wäre z.B. “⊢p ⊃ q”. Warum soll ich nicht festsetzen, daß als Beweis von des Satzes ⊢p ⊃ q derc (schr

einfache) Beweis Beweis der dafür gelten solle, ˇ // der // welcher zeigt, ⌊⌊die Demonstration sein solle,⌋⌋ daß “⊢p ⊃ q” kein R'schen Satz (weil keine Taut[.)|ol]⌊ogie⌋ ist?) Wir haben dann der [M|m]athem. Logik einen Satz hinzugefügt, der a) sich a) beweisen läßt, b) mit keiner Tautologie äquivalent sein kann

Tautologien
keiner Taut

entsprechen kann; denn sagten wir von irgend einer, sie wäre eigentlich der gleiche mathematische Satz // ⊢p ⊃ q so aufgefaßt, sei eine entspreche einer Tautologie // so ließe er sich also dadurch beweisen, daß man zeigt, er sei eine Taut, & ˇauch er sei keine

Taut.²

⌊Frage:⌋ Ist der Satz “⊢p ⊃ q”,

der
welcher

aussagt, daß der selbst keine Taut ist, ein neuer Satz der Mathematik, oder ist er derselbe, wie der: “Der Satz p ⊃ q ist keine Tautologie”?
Man kann den Satz “⊢p ⊃ q” als einen

neuen Satz der Math. auffassen,
ahnlich ˇvielleicht wie einen Kreis

& einen Punkt als neue Kurve.

Was wir lehren, ist die

Vielart
Verschiedenartigkeit

der Begriffe, wie sie weder in der Gramm [o|O]berflächengrammatik unserer Sprache, noch in den Bildern, zum Ausdruck kommt, die wir mit unser Ausdrücken verbinden, sondern in der Struktur des Gebrauchs, den wir von ihnen machen. Diese Struktur zeigt uns, gleichsam, neue Dimensionen des Begriffs. Während von oben angesehen, alles in einer Fläche zu liegen scheint. Die

Conne[k|c]tivität des Begriffs ist eine andere als sie, vom gewöhnlichen Standpunkt

angeschaut
aus gesehen

, scheint.
Was von einem Punkt da hier gesehen wie Fransen ausgefranst

aussieht erscheint sieht erkennt man von einem andern dort als diec Meridiane einer Kugel. // Was von hier wie Fransen

aussieht,

sieht
erkennt

man von dort als Meridiane einer Kugel. //

Denn vom Satz “⊢p ⊃ q ≠ taut” möchte man etwa sagen: Gib uns nur Zeit & wir werden auch ihn als Tautologie erweisen. Wir werden ihn etwa arithmetisieren & dann in R'sche Logik

umsetzen.
umwandeln.

Mache ich aber den Schrittc, ihn

so zu schreiben: ⊢p ⊃ q, so
⊢p ⊃ q zu schreiben, so

erkenne ich damit eine neue Beweisart für ⌊einen⌋ S[ä|a]tze dieser Form diese Satzform an // diesen Satz an^﹖ // . Ich fasse dies nun eben als Schritt auf; obwohl es ein degenerierter Schritt ist. Es ist doch dieser Satz (könnte man sagen) ein neues

ˇmathem. Instrument // , so erkenne ich damit eine neue

Art von Beweis
Beweisart

für

den Satz ⊢p ⊃ q
diesen Satz

an; mache ihn damit zu einem neuen math. Instrument. // Denn ⊢p ⊃ q ist (nun) ein Satz, der wahr ist, wenn er R-unbeweisbar ist, & das war “⊢p ⊃ q ≠ taut” nicht.
Ich will diesen Satz als ein neues Instrument aufgefaßt wissen. Und er ist doch offenbar keine Tautologie; & er ist doch offenbar ein Satz ((ˇ& einer nach den Konstruktionsregeln R's.)).

Ehe man die 5-Ecks[C|K]onstruktion kannte, & wußte, daß es keine 7-Ecks Konstruktion gibt;

standen
war

nicht

die Ausdrücke
das Wort

“5 Eckskonstr.” & “7-Ecks Konstr.” auf gleicher Stufe? Aber vom letzteren kann man sagen, daß e[s|r] [S|s]innlos ist – wenn man aber das nicht wußte so

kannte
wußte

man ebensowenig den Sinn des

Ausdrucks
Wortes

5 Eckskonstruktion.

‘Die letzten Bestandteile der Materie sind Kugeln von ungefähr dieser

Größe.’ So einem Satz könnte man ganz leicht Sinn geben. Aber stelle Dir die Wirkungen

dieses Satzes
so eines Satzes

auf einen Jeans ˇ& Edington & auf die Leser populär-wissenschaftlicher Schriften vor.

Nur von einem gewissen Punkt, vom Zuschauerraum, sieht man das Zauberstück

; von
. Von

ˇden andern Seiten sieht es ganz anders &

absolut
durchaus

nicht wie ein Zauberstück aus.

Verschiedene
Verschiedenerlei

Pointen eines Beweises: zu zeigen daß man das sagen muß, oder mit praktischen Bedürfnissen in Konflikt kommt –

aber, daß
oder, zu zeigen, daß

man das sagen kann, versucht sein kann es zu sagen. Ich

meine: Der Beweis legt eine Ausdrucksweise nahe & kann dies tun weil uns diese Ausdrucksweise am besten den Tatsachen angepaßt ist, oder aber, weil sie eine besonders paradoxe ist & es schön ist, zu finden, daß ein

Paradox wahr ist.
paradoxer Satz wahr ist.

Da die Tautologien, z.B. ⊢p ⌵ ~p, ja doch nicht die Funktion gewöhnlicher Sätze haben so ist nicht einzusehen, warum wir nicht ◇◇◇ Sätze mit noch ˇganz andern Funktionen verwenden sollen. // mit noch weit verschiedenen Funktionen verwenden sollen. //

Worauf läuft es denn im Ernst hinaus? Daß, wenn ich den Beweis der S-Unbeweisbarkeit von p als Beweis des Satzes p anerkenne, ich damit ein math. System anerkenne,

in welchem p wahr ist & nicht zu S gehört; daß es also leicht ist, die Dinge so zu drehen, daß

Man könnte auf zwei Arten zur ‘Kurve’

kommen. Ent Einmal durch eine Gleichung … ten [g|G]rades & indem man zeigt daß ein Kreis & ein Punkt ein besonderer Fall solcher Kurven ist – aber auch auf einem ganz andern Weg, : indem man einfach sagt

sei auch eine Kurve da durch sie auch [a|A]bszissen Ordinaten zugeordnet werden. Dies wäre auch ein Schritt der Math., aber ganz anderer Art, als der frühere.

Ich könnte mir einen

Zauberkünstler
Zauberer

denken, der seine Kunststücke vor einem Spiegel ausführt, der ihm sich sie zeigt, wie das Publikum sie sieht, & der nun selbst darüber staunt, daß er dies hat ausführen können.
(So betrügt der Satz den Mathematiker)
Übrigens – nur ein sehr gewandter Zauberkünstler

könnte
würde

durch so einen Spiegel betrogen werden,

einer dem die Griffe seiner Kunststücke so geläufig geworden wären, daß er sich ihrer gar nicht mehr bewußt ist.

‘Du kannst eine[m|n] Menschen im Finstern nicht sehen; ich werde Dir zeigen, wie ein Mensch, im Finstern ausschaut.’ (Ich mache dann etwa eine Photographie von ihm mit infraroten Strahlen.)
Was heißt es nun zu sagen: ‘Ehe ich den Prozess nicht verstehe – verstehe ich

auch das Resultat nicht.’?

Er zeigt mir ein Bild & sagt: “[s|S]o schaust Du im Dunkeln aus.” Versteh ich ihn nun

;
,

weil er mir doch ein Bild zeigt?

Gab es immer

das Problem
die Probleme

der Grundlagen der Mathematik? –

Das Problem

erwächst
entsteht

dort am leichtesten, wo starke Tendenzen der Assimilation

von
der

Ausdrucksweisen mit

ˇganz verschiedener

Anwendung
Grammatik

◇ sind. // vorhanden sind. //

⌊⌊⌇ ⌋⌋Kommen diese Tendenzen ⌊⌊⌇ ⌋⌋ plötzlich einem Wunsch entgegen &

die Ähnlichkeit des Ausdr. wird
werden nun

aufgegriffen um zu zeigen, daß

im Wesentlichen
eigentlich

kein Unterschied bestehe, dann entstehen philosophische

Beunruhigungen
Probleme

durch den

Widerstreit
Zwiespalt

der Ausdrucksweisen, der sich in

der alten
dieser

Sphäre nicht austragen läßt.

“Er hat den Ostpol der

Erde entdeckt.” – Hat er vielleicht einen Grund entdeckt, irgend etwas ganz [t|T]riviales (⌊“⌋die) “Entdeckung des Ostpols” zu nennen?

“Er hat ein Mittel gegen die Arbeitslosigkeit gefunden.” “Er macht Vorschläge zur Beseitigung der Arbeitslosigkeit.” Verstehen wir diese Sätze?

“Er hat gefunden, wieviel Uhr es auf der Sonne ist.”

Ich vergleiche diesen Satz nicht mit etwas Rätselhaftem, sondern mit etwas Unverstandenem.

Ich zeige Dir eine

andere
neue

Art diesen Satz zu betrachten: nicht im Lichte des Rätselhaften sondern im Lichte des Unverstandenen.

Du siehst diese Figur noch immer als [m|M]odifikation // Variation // [d|e]iner Figur A

an (so weit sie sich auch schon von ihr entfernt hat); ich sage: sieh doch auf vergleich sie doch mit B⌊!⌋ hin! ist sie denn nicht eine Variation von B? Und so hattest Du sie bisher noch nicht angeschaut,

‒ ‒ ‒ & das
& das

ändert Deine Einstellung zur Figur. (Vielleicht aber ändert sie es Deine Einstellung nicht!⌊!⌋)

Aber “p ⊃ q ≠ taut” ist doch ein Satz der Geometrie der Sätze einer gewissen Art. Und es ist nun

entweder ein geometrisches Factum, daß dieser Satz selbst eine Tautologie ist, oder, daß er keine ist. Angenommenˇ das Factum, er sei eine so kann doch, daß ich ih[m|n] nun einfach ⊢p ⊃ q schreiben will,

hieran
daran

kei nichts ändern[!| .] Denn ⊢p ⊃ q sagt doch nun genau dasselbe aus, wie

der längere
jener

Satz. Aber wenn ich annehme, er sei eine Tautologie, so nehme ich doch ˇalso an, daß gewisse Transformationen, die ich zulasse, ihn zu einer Tautologie

100

machen. Und die Frage ist ob ich solche Transformationen ˇdes Satzes zulassen soll, wenn ich die Schreibweise ⊢p ⊃ q zulasse & den Beweis daß p ⊃ q keine Tautologie ist.

Aber kommt das also nicht darauf hinaus, daß ich sehr wohl für einen Satz einen andern als nicht R.schen Beweis anerkennen kann & einen Rschen nicht?

101

Wieviele Multiplicationen habe ich auszuführen gelernt? –
Wieviele Multiplikationen kann ich ausführen? –

‘Du kannst nicht alle Kisten der Welt, in eine Kiste legen.’ Warum? Weil ihrer zu viele sind? – Ich werde Dir beweisen, daß es eine unendliche An[z|Z]ahl von Kisten gibt; denn keine Kiste, wie groß Du sie auch machst kann alle Kisten

beherbergen
enthalten

102

Man kann nicht alle Systeme auf die Kardinalzahlen aufteilen, weil, sie aufteilen, ein System bilden heißt.

Numeriere die Systeme

eben
einfach

mit

den
allen

Brüchen zwischen 1 & 2 & bechalte die Brüche zwischen 2 & 3, 3 & 4, u.s.w. für weitere Fälle, in Vorrat. Dann kannst Du die Systeme der Systeme nach Herzenslust numerieren, wenn auch nicht in eine Reihe ordnen

103

“Du kannst nicht alle Systeme in ein System bringen; daher kannst Du nicht allen Systemen Namen geben; denn Du kannst alle [n|N]amen in ein System bringen.” – Du kannst allen Systemen Namen geben,

wenn
solange

Du nur die Namen nicht (dadurch) verschwendest,

indem
daß

Du mit dem das System aller Namen anfängst verwendest.

Wenn Die Brüche die Namen sind so kann man sie

allen
den

Systemen zuordnen, indem man ³

Editorial notes

1) See facsimile; arrow pointing right, probably indicating that the indentation shall be decreased.

2) See facsimile; arrow pointing to the graphic.

3) Continuation in Ms-162b,1r.

Editorial notes

(2015–) Wittgenstein Source Bergen Nachlass Edition (WS-BNE). Edited by the Wittgenstein Archives at the University of Bergen under the direction of Alois Pichler. In: Wittgenstein Source, curated by Alois Pichler (2009–) and Joseph Wang-Kathrein (2020–). (N) Bergen: WAB.