27.5.32.
Ich
1 kann die Regel R
a + (1 + 1) a + (ξ + 1) a + ((ξ + 1) + 1) |
=
|
(a + 1) + 1 (a + ξ) + 1
((a + ξ) + 1) + 1 |
(Ƒ)
auch
so schreiben:
a + (1 + 1) a + (ξ + 1) a + ((ξ + 1) + 1) |
=
|
(a + 1) + 1 (a + ξ) + 1 ‒ ‒ ‒ S
(a + (ξ + 1)) + 1 |
(Ƒ)
oder auch
so:
a + (b +
1) = (a + b) + 1, wenn ich
R oder S als Erklärung oder Ersatz für
diese Form nehme.
Wenn ich nun sage, in
α β γ |
|
a + (b + 1) a + (b + (c + 1)) (a + b) + (c + 1) |
= = =
|
(a + b) + 1 a + ((b + c) + 1) = (a + (b + c)) + 1 ‒ ‒ ‒ B
((a + b) + c) + 1 |
(Ƒ)
seien die Übergänge durch die Regel R gerechtfertigt, – so kann man mir
drauf antworten: „
Wenn Du das eine Rechtfertigung nennst, so hast Du die
Übergänge gerechtfertigt. Du hättest
uns aber ebensoviel gesagt, wenn Du uns nur auf die Regel R & ihre formale
Beziehung zu α (oder zu
α, β & γ) aufmerksam gemacht
hättest.”
Ich hätte also auch sagen können:
Ich nehme die Regel R
in der & der Weise als Paradigma meiner
Übergänge.
Wenn nun Skolem etwa nach seinem Beweis für das asso
ziative Gesetz übergeht zu:
a + 1 a + (b + 1) (b + 1) + a |
= = =
|
1 + a (a + b) + 1) ‒ ‒ ‒ C
b + (1 + a) = b + (a + 1) = (b + a) + 1
|
(Ƒ)
& sagt der erste & dritte
Übergang in der dritten Zeile seien nach dem bewiesenen asso
ziativen Gesetz gerechtfertigt, – so
sagt er uns damit nicht mehr als || erfahren wir damit nicht mehr, als wenn er sagte, die Übergänge seien nach dem Paradigma a + (b + c) =
a + (b + c) || (a + b) + c gemacht (d.h. sie entsprechen dem Paradigma) &
außerdem || es sei ein Schema α, β, γ mit Übergängen nach dem Paradigma
α abgeleitet.
– „Aber rechtfertigt B nun diese Übergänge oder
nicht?”
–
„Was meinst Du mit dem Wort „rechtfertigen”?
”
– „Nun, der Übergang ist
gerechtfertigt, wenn wirklich ein Satz, der für alle Zahlen gilt, bewiesen
ist.”
– Aber in welchem Falle
wäre das geschehen?
Was nennst Du einen Beweis davon, daß ein Satz für alle
Zahlen || Kardinalzahlen gültig ist?
Wie weißt Du ob der Satz (
wirklich) für alle Kardinalzahlen g
ültig ist, da Du es nicht ausprobieren kannst.
Dein
einziges Kriterium ist ja der Beweis.
Du
bestimmst also wohl
die || eine Form & nennst sie die, des Beweises, daß ein Satz
für alle Kardinalzahlen gilt.
Dann haben wir eigentlich gar nichts davon, daß uns zuerst die allgemeine Form dieser Beweise
gezeigt wird; da ja dadurch nicht gezeigt wird, daß nun der besondere
Beweis wirklich das leistet, was wir von ihm verlangen; ich
meine: da hiedurch der besondere Beweis nicht als einer gerechtfertigt, erwiesen
, ist, der einen Satz für alle Kardinalzahlen beweist.
Der re
kursive Beweis muß vielmehr seine eigene Rechtfertigung sein.
Wenn wir unsern Beweisvorgang wirklich als den Beweis einer
solchen
Allgemeinheit rechtfertigen wollen
tun wir vielmehr etwas anderes
, || : wir gehen Beispiele einer Reihe durch & diese Beispiele
& das Gesetz was wir in ihnen erkennen befriedigt uns nun
& wir sagen: ja, unser Beweis leistet wirklich
was wir wollten.
Aber wir müssen nun bedenken, daß
wir mit der Angabe dieser Beispielreihe die Schreibweise
B & C nur in eine andere
(
Schreibweise) übersetzt haben.
(Denn die Beispielreihe ist nicht die
Anwendung || unvollständige Anwendung der allgemeinen Form, sondern ein anderer Ausdruck
dieser Form || des Gesetzes.)
Und weil die Wortsprache wenn sie den Beweis erklärt,
erklärt was er beweist, den Beweis nur in eine
andere Ausdrucksform übersetzt, so können wir diese Erklärung
auch ganz weglassen.
Und wenn wir das tun so werden die mathematischen
Verhältnisse viel klarer, nicht verwischt durch die
vieldeutigen || mehrdeutigen || vieles
bedeutenden Ausdrücke der Wortsprache.
Wenn ich z.B.
B unmittelbar neben A setze,
ohne Dazwischenkunft des Wortes „alle” || ohne Vermittlung durch den Ausdruck der Wortsprache „für alle Zahlen || Kardinalzahlen
etc.”, so kann kein falscher Schein eines Beweises von A durch B entstehen.
Wir sehen dann ganz nüchtern wie weit die Beziehungen von
B zu A
& zu a + b = b +
a reichen & wo sie
aufhören. || Wir sehen dann die nüchternen,
(nackten) Beziehungen zwischen A & B, & wie weit sie reichen.
Man lernt so erst, unbeirrt von
der alles gleichmachenden
Gewalt || Form der Wortsprache die
Struktur || eigentliche Struktur dieser Beziehung kennen & was es mit ihr auf sich
hat.
Man sieht hier vor allem, daß wir
in ||
an
dem Baum der Strukturen B,
C,
etc. interessiert sind, &
daß an ihm zwar allenthalben die Form
φ 1 = ψ 1
φ (n + 1) = F (φ
n)
ψ (n + 1) = F
(φ n)
zu sehen ist, gleichsam
ein bestimmtes Asttripel || eine bestimmte Astgabelung, daß aber
dieses || diese Gebilde in verschiedenen Anordnungen & Verbindungen
untereinander auftreten
, || & daß sie nicht in dem Sinne Konstruktionselemente
bilden ||
sind
, wie die Paradigmen im Beweis,
daß (a +
b)² = a² + 2ab + b² ist. || von a + (b +
(c + 1)) = (a + (b
+ c)) + 1
oder
(a +
b)² = a² + 2ab + b².
Der Zweck
, & die Rechtfertigung, der „rekursiven Beweise” ist ja, den
algebraischen Kalkül mit dem der Zahlen in Verbindung zu
bringen || setzen.
Und der Baum der rekursiven Beweise „rechtfertigt” den algebraischen Kalkül nur,
wenn das heißen soll, daß er ihn mit dem
arithmetischen in Verbindung bringt.
Nicht aber in dem Sinn
e in welchem
die Liste der Paradigmen den algebraischen Kalkül, d.h. die Übergänge in ihm,
rechtfertigt.
Wenn man also die Paradigmen der Übergänge tabuliert so hat
das dort Sinn wo das Interesse darin liegt zu zeigen daß die &
die Transformationen alle bloß mit Hilfe jener – im
übrigen willkürlich gewählten –
Übergangsformen zu Stande gebracht
sind.
Nicht aber dort, wo sich die Rechnung in einem andern Sinne rechtfertigen
soll wo also das Anschauen der
Rechnung – ganz
abgesehen von dem
Vergleich mit einer Tabelle vorher festgelegter Normen – uns lehren
muß ob wir sie zulassen sollen oder nicht.
Skolem hätte uns also keinen Beweis des assoziativen
& kommutativen Gesetzes versprechen
brauchen || sollen sondern einfach sagen können, er werde uns einen Zusammenhang der
Paradigmen der Algebra mit den Rechnungsregeln der Arithmetik zeigen.
Aber ist das nicht Wortklauberei? hat er denn nicht die Zahl
der Paradigmen reduziert & uns z.B. statt jener beiden Gesetze eines, nämlich a + (b +
1) = (a + b) + 1 gegeben?
Nein.
Wenn wir z.B.
(a + b)⁴ =
… ||
etc.
(k
beweisen so könnten wir dabei von dem vorher bewiesenen Satz
(a + b)²
=
… ||
etc. (𝓁
Gebrauch machen.
Aber in diesem Fall lassen sich die Übergänge in
k die durch 𝓁 gerechtfertigt wurden auch durch jene Regeln
rechtfertigen mit denen 𝓁
bewiesen wurde.
Und es
verhält sich dann 𝓁 zu jenen ersten Regeln wie ein durch Definition eingeführtes
Zeichen zu den primären Zeichen mit deren Hilfe es definiert wurde.
Man kann die Definition immer auch eliminieren
& auf die primären Zeichen übergehen.
Wenn wir aber in C einen
Übergang machen der durch B gerechtfertigt ist so können wir diesen Übergang
nun nicht auch mit a + (b +
1) = (a + b) + 1 allein machen.
Wir haben eben mit dem was hier Beweis genannt wird nicht einen
Schritt || Übergang in Stufen zerlegt, sondern etwas ganz andres getan.