5.8
Die Bedingung unter der ein Teil der Reihe 1 +
1
2
+
1
3
+ …, etwa
1
n
+
1
n + 1
+
1
n + 2
+ … +
1
n + ν
, gleich oder größer als 1 wird ist folgende:
Es soll also werden:


     
1
n
+
1
n + 1
+
1
n + 2
+ … +
1
n + ν
≧ 1

Formen wir die linke Seite um in:

1 +
n
n + 1
+
n
n + 2
+ … +
n
n + ν

n
=
1 + (1 ‒
1
n + 1
) + (1 ‒
2
n + 2
) + … (1 ‒
n ‒ 1
n + (n ‒ 1)
) +
n
2n
+
n
2n + 1
+
n
2n + 2
+ … +
n
n + ν

n



n ‒
1
2
n ∙ (n ‒ 1) ∙
1
n + 1
+ (ν ‒ n + 1)
n
n + ν

n
= 1 ‒
n ‒ 1
2n + 2
+
ν ‒ n + 1
n + ν
≧ 1

∴ 2nν + 2ν ‒ 2n² ‒ 2n + 2n + 2 ‒ n² ‒ nν + n + ν ≧ 0

nν + 3ν ‒ 3n² + 2 + n ≧ 0

ν ≧
3n² ‒ (n + 2)
n + 3

                      
˂ 3n ‒ 1

(Ƒ)         Also ist eine hinreichende Bedingung daß
1
n
+
1
n + 1
+ … +
1
n + ν
≧ 1, die, daß
         ν ≧ 3n ‒ 1. Denke ich mir nun vom Anfang der Reihe 1 +
1
2
+
1
3
+ … solche Abschnitte aneinandergereiht die ≧ 1 sind so
reicht
geht
der erste ˇdieser Abschnitte von

der zweite von
der dritte von
der m-te von
1
4
16

bis
bis
״
bis
3,
15,
63
4m ‒ 1

   Die Reihe Summe 1 +
1
2
+
1
3
+ … bis zum 4mten Gliede ausgedehnt überschreitet also gewiß m.
Also ist

1 +
1
2
+
1
3
+ …
1
4m
˃ (1 +
1
2
+
1
+ …) ∙ (1 +
1
3
+
1
+ …) ∙ … (1 +
1
m
+
1
+ …)

Also muß unter den ersten 4m ganzen Zahlen mindestens eine sein, die durch keine der ersten m ˇganzen Zahlen teilbar ist.