Fügt
man nun
n zusammen zu 1n,
2n,
3n
etc
. so sieht man daß gegenüber
einem Vielfachen von m solange ein Rest bleibt bis man
zu m ∙ n
kommt, wo immer der eu
klidische
Algorit
hmus endet (d.h
.
welche der Formeln immer für m anwendbar ist).
Im ersten Fall z.B. wenn
m =
a1a2 + 1:
1n =
a
0m + a
2
2n =
2a
0m + 2a
2
‒ ‒ ‒
νn =
νa
0m + νa
2
der Rest νa
2
bleibt jedenfalls solange k
leiner als m bis
ν =
a
1 wird; dann ist
a
1n =
a
1a
0m +
a
1a
2. Noch
immer ist der Rest ˂ m; aber
nun wird
(a1 + 1)n = (a1 + 1)a0m + (a1 + 1)
. a2 = ‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒ + a1a2 + a2 = ‒ ‒ ‒ +
|
a1a2 + 1
︸
m |
+ a2 ‒ 1
|
.
a
2 ‒ 1
ist jedenfalls kleiner als m & der Rest verschwindet nur
wenn a
2 =
1 ist. Dann aber ist
m =
a
1 + 1 also der
Fa
ktor a
1 + 1 =
m
. Ist aber
a
2 ˃ 1
so geht die Sache weiter & es folgen nun
(a
1 + 2)n =
‒ ‒ ‒ +
2a
2 ‒ 1
‒ ‒ ‒
(a
1 + ν)n =
‒ ‒ ‒ +
νa
2 ‒ 1
.
Dieser Rest ist gewiß kleiner als m bis
(2a
1)n = ‒ ‒ ‒
+ a
1a
2 ‒ 1
& auch hier noch. Aber
(2a1 + 1)n = ‒ ‒ ‒ + (a1 + 1)a2 ‒ 1 = a1a2 + a2 ‒ 1 =
|
a1a2 + 1
︸
m |
+ (a2 ‒ 2)
|
& hier geht
der
Proze
ß wieder nur dann auf wenn
a
2 =
2, dann aber ist
m =
2a
1 + 1 also wieder gleich
dem Fa
ktor von n. – Ebenso
geht es weiter bis
(3a
1)n =
‒ ‒ ‒ +
a
1a
2 ‒ 2 und
(3a
1 + 1)n =
‒ ‒ ‒ +
m + (a
2 ‒ 3) solang
bis
(a
2a
1 + 1)n
= ‒ ‒ ‒ + (a
2 ‒ a
2) =
m ∙ n
.
Ähnlich geht es,
wenn m =
a
1a
2a
3 + a
1 +
a
3, etc.
etc.