Russells Erklärung der Gleichzahligkeit ist aus verschiedenen Gründen ungenügend. Aber die Wahrheit ist daß man in der Mathematik keine solche Erklärung der
Gleichzahligkeit braucht. Hier ist überhaupt alles falsch aufgezäumt.
  Was uns verführt, die Russellsche, oder Fregesche, [e|E]rklärung von anzunehmen, ist der Gedanke, zwei Klassen von Gegenständen (Äpfeln in zwei Kisten) seien gleichzahlig, wenn man sie einander 1–1 zuordnen könne. Man denkt sich die Zuordnung als eine Kontrolle der Gleichzahligkeit. Und hier macht man in Gedanken wohl noch eine Unterscheidung zwischen Zuordnung & Verbindung durch eine Relation; & zwar wird die Zuordnung zur Verbindung was die „geometrische Gerade zu einer wirklichen ist, eine Art I idealer Verbindung; einer Verbindung die quasi von der Logik vorgezeichnet ist & durch die Wirklichkeit nun nachgezogen werden kann. Es ist die Möglichkeit aufgefaßt als eine schattenhafte Wirklichkeit. Dies hängt dann wieder mit der Auffassung von „(∃x) ∙ φx” als Ausdruck der Möglichkeit von φx zusammen.
   „φ & ψ sind gleichzahlig” (ich werde dies schreiben „S(φ ∙ ψ)” oder
auch einfach „S”) soll ja aus „φ5 ∙ ψ5” folgen; aber aus φ5 ∙ ψ5 folgt nicht daß φ & ψ durch eine 1–1 Relation R verbunden sind (dies werde ich „π(φ,ψ)” oder „π” schreiben.). Man hilft sich indem man sagt es bestehe dann eine Relation der Art
    „x = a ∙ y = b . ⌵ . x = c ∙ y = d . ⌵ . u.s.w.”