27.5.32.

Ich kann die Regel R

auch so schreiben:

oder auch so:
a + (b + 1) = (a + b) + 1<,> wenn ich
R oder S als Erklärung oder Ersatz
für diese Form nehme.
  Wenn ich nun sage, in


 seien die Übergänge durch die Regel R
gerechtfertigt, — so kann man mir drauf
antworten: „[w|W]enn Du das eine Rechtfer-
tigung nennst, so hast Du die Übergänge
gerechtfertigt. Du hättest uns aber ebenso-
viel gesagt, wenn Du uns nur auf
die Regel R & ihre formale Beziehung
zu ˇα (ˇoder zu α, β & γ) aufmerksam gemacht hättest.”
    Ich hätte also auch sagen können:
Ich nehme die Regel R in der & der
Weise als Paradigma meiner Übergänge.
    Wenn nun Skolem etwa nach
seinem Beweis für das associative Gesetz
übergeht zu:



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& sagt der erste & dritte Übergang in
der dritten Zeile seien nach dem
bewiesenen associativen Gesetz gerecht-
fertigt, — so sagt er uns damit
nicht mehr als erfahren wir damit nicht mehr, als … wenn er sagte, die
Übergänge seien nach dem Paradig-
ma a + (b + c) = (a + (b) + c) gemacht (ˇ d.h. sie
entsprechen dem Paradigma) & außer-
dem
es sei ein Schema α, β, γ ab mit
Übergängen nach dem Paradigma α
abgeleitet. — „Aber rechtfertigt B nun
diese Übergänge oder nicht?” — Was meinst
Du mit dem Wort „rechtfertigen”? — „Nun,
der Übergang ist gerechtfertigt, wenn
wirklich ein Satz, der für alle Zahlen
gilt, bewiesen ist.” — Aber in welchem Falle
wäre das geschehen? Was nennst Du einen
Beweis davon, daß ein Satz für alle KardinalZahlen
gültig ist? Wie weißt Du ob der Satz <(>wirklich<)>
für alle Kardinalzahlen giltig ist, da
Du es nicht ausprobieren kannst. Dein
einziges Kriterium ist ja der Beweis. Du be-
stimmst
also wohl die eine Form & nennst
sie die, des Beweises, daß ein Satz für alle
Kardinalzahlen gilt. Dann haben wir eigentlich
gar nichts davon, daß uns ˇzuerst
die allgemeine Form dieser Beweise zuerst
gezeigt wird; da ja dadurch nicht gezeigt
wird, daß nun der besondere Beweis
wirklich das leistet, was wir von ihm ver-
langen; ich meine: da hiedurch der besondere
Beweis nicht als einer gerechtfertigt, er-
wiesen, ist, der einen Satz für alle Kardinal-
zahlen beweist. ˇ Der recursive Beweis muß vielmehr seine eigene Rechtfertigung sein. Wenn wir unsern Be-
weisvorgang wirklich als den Beweis einer solchen

Allgemeinheit rechtfertigen wollen
tun wir vielmehr etwas anderes, <:> wir
gehen Beispiele einer Reihe durch &
diese Beispiele & das Gesetz was wir in
ihnen erkennen befriedigt uns nun
& wir sagen: ja, unser Beweis leistet
wirklich was wir wollten.
Aber wir müssen
nun bedenken, daß wir mit der An-
gabe dieser Beispielreihe die Schreibweise
B & C nur in eine andere <(>Schreibweise<)>
übersetzt haben. (Denn die Beispielrei-
he ist nicht die Anwendung unvollständige
Anwendung der allgemeinen Form, son-
dern ein anderer Ausdruck dieser Form
[des Gesetzes].) Und weil die Wortsprache
wenn sie den Beweis erklärt, erklärt
was er beweist, nur den Beweis nur in eine
andere Ausdrucksform übersetzt, so
können wir diese Erklärung auch ganz
weglassen. Und wenn wir das tun
so werden die mathematischen Verhält-
nisse viel<…> klarer, nicht verwischt
durch die vieldeutigen mehrdeutigen [vieles bedeutenden]
Ausdrücke der Wortsprache. Wenn
ich z.B. B unmittelbar neben A
setze, ohne [d|D]azwischenkunft des Wortes „alle”
[ohne Vermittlung durch d[as|en] Ausdruck
der Wortsprache „für alle Zahlen ˇKardinalzahlen < etc.>”], so
kann kein falscher Schein eines Beweises
von A durch B entstehen. Wir sehen dann
ganz nüchtern wie weit die Beziehungen
von B zu A ˇ& zu a + b = b + a reichen & wo sie aufhören.
[Wir sehen dann die nüchternen, <(>nackten<)> Be-
ziehungen zwischen A & B, & wie weit sie re<i>chen.]
Man lernt so erst, unbeirrt von

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der alles gleichmachenden Gewalt Form der
Wortsprache die St eigentliche Struktur
dieser Beziehung kennen & was es mit
ihr auf sich hat.
  Man sieht hier vor allem, daß
wir in an dem Baum der Strukturen B, C,
etc. interessiert sind, ˇ& daß aber an
ihm zwar allenthalben die Form
ϕ 1 = ψ 1
ϕ (n + 1) = F (ϕ n)
ψ (n + 1) = F (ϕ n)
zu sehen ist, gleichsam ein bestimmtes
Asttrippel
eine bestimmte Astgabelung, daß aber dieses diese Gebilde in
verschiedenen Anordnungen & Verbindungen
untereinander auftreten,[o] & daß sie nicht
in dem Sinne Konstruktionselemente
bilden sind, wie die Paradigmen im Beweis, daß
<oder> (a + b)² = a² + 2ab + b²<.> ist. von a + (b + (c + 1)) = (a + (b + c)) + 1 <oder> (a + b)² = a² + 2ab + b²<.> Der Zweck, & die
Rechtfertigung,
der „rekursiven Be
weise” ist ja, den algebraischen Kal-
kül mit dem der Zahlen in Verbin-
dung zu bringen setzen. Und der Baum
der rekursiven Beweise „rechtfertigt”
den algebraischen Kalkül nur, wenn
das heißen soll, daß er ihn mit dem
Ar arithmetischen in Verbindung bringt.
Nicht aber in dem Sinne in welchem die
Liste der Paradigmen den ˇalgebraischen Kalkül, d.h.
die Übergänge in ihm, rechtfertigt.
Wenn man also die Paradigmen der
Übergänge tabuliert so hat das
dort Sinn wo das Interesse darin
liegt zu zeigen daß die & die Trans-
formationen alle bloß mit Hilfe jener
— im übrigen willkürlich gewählten —

Übergangsformen zu Stande gebracht sind.
Nicht aber dort, wo sich die Rechnung
in einem andern Sinne rechtfertigen soll
wo also das Anschauen der
Rechnung — ganz abgesehen von
dem Vergleich mit einer Tabelle vorher
festgelegter Normen — uns lehren muß
ob wir sie zulassen sollen oder nicht.
Skolem hätte uns also keinen Beweis
des assoziativen & kommutativen Gesetzes
versprechen brauchen sollen sondern einfach
sagen können, er werde uns einen
Zusammenhang der Paradigmen der
Algebra mit den Rechnungsregeln
der Arithmetik zeigen. Aber ist das
nicht Wortklauberei? hat er denn nicht
die Zahl der Paradigmen reduziert &
uns z.B. statt jener beiden Gesetze eines,
nämlich a + (b + 1) = (a + b) + 1 gegeben? Nein.
Wenn wir z.B. (a + b)4 = [o] etc. <(k> ˇbeweisen so könnten wir
dabei von dem vorher bewiesenen Satz
(a + b)² = [o] etc. (l gebrauch machen. Aber in diesem
Fall lassen sich die Übergänge in
k die durch l gerechtfertigt wurden auch
durch jene Regeln Rechtfertigen mit
denen l bewiesen wurde. Und es Verhält
sich dann l zu jenen ersten Regeln
wie ein durch Definition eingeführtes
Zeichen zu den primären Zeichen mit deren
Hilfe es definiert wurde. Man kann
die Definition immer auch elliminieren
& auf die primären Zeichen übergehen.
Wenn wir aber in C einen Übergang
machen der durch B gerechtfertigt
ist so können wir diesen Übergang

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nun nicht auch mit a + (b + 1) = (a + b) + 1 allein
machen. Wir haben eben mit dem was
hier Beweis genannt wird nicht einen
Schritt Übergang in Stufen zerlegt, sondern etwas
ganz andres getan.