29.
Wenn man sagt es wäre möglich mit Hilfe
der Tautologie
(Е2x) φx ∙ (Е3x) ψx ∙ Ind
. ⊃ .
(Е
2 + 3 || 5x)
φx ⌵ ψx …
¤A)
zu addieren, so wäre
das folgendermaßen zu verstehen: Zuerst ist es
möglich nach gewissen Regeln herauszufinden, daß
(Еx) φx ∙ (Еx) ψx ∙ Ind
. ⊃ . (Еx,y)
φx ⌵ ψx ∙ φy ⌵ ψy
tautologisch ist. (Еx) φx
ist eine Abkürzung für (Еx) φx ∙ ~(Еx,y)
φx ∙ φy. Ich werde ferner
Tautologien der Art A zur Abkürzung so
schreiben: (Е ) ∙ (Е )
⊃ (Е )
.
So geht also aus den Regeln hervor daß
(Еx)(Еx) ⊃
(Еx,y), (Еx,y)(Еx)
⊃ (Еxyz) und andere
Tautologien. Ich schreibe „und
andere” & nicht
„u.s.w.
ad
¤ inf.” weil
man mit diesem Begriff noch nicht operieren muß.
Unser Kalkül braucht überhaupt noch
nichts von der Bildung einer Reihe
‚(Еx)’,
‚(Еxy)’,
‚(Еxyz)’,
etc. zu wissen sondern kann einfach einige,
etwa drei, dieser Zeichen einführen ohne das
„u.s.w.”. Wir
können nun einen Kalkül mit einer endlichen Reihe von
Zeichen einführen indem wir
die || eine
Reihenfolge gewisser Zeichen
festsetzen, etwa die der Buchstaben des Alphabets, & schreiben
(Еa)(Еa)
⊃ (Еab)
(Еab)(Еa)
⊃ (Еabc)
(Еab)(Еab)
⊃ (Еabcd)
u.s.w. bis zum
z
. Die rechte Seite
(rechts von „ ⊃ ”) kann
man dann aus der linken durch einen Kalkül der Art finden:
a b c d e f . . . . . z
a b - - -
- - a b e
a b c d e |
B)
Dieser Kalkül
ergäbe sich aus den Regeln zur
Bildung der Tautologien als eine Vereinfachung.
– Dieses Gesetz der Bildung eines Reihenstückes aus zwei
andern vorausgesetzt, kann ich für das erste nun die
Bezeichnung „Summe der beiden
andern” einführen & also definieren:
a + a ≝ ab
a + ab ≝ abc
u.s.w. bis z
.
Hätte man an einigen Beispielen die Regel des Kalküls
B erklärt, so könnte man auch diese Definitionen als
Spezialfälle einer allgemeinen Regel betrachten & nun
Aufgaben stellen von der Art:
„abc + ab =
?”
Es liegt nun nahe die
Tautologie
α)
(Е ab)(Е ab) ⊃
(Е abcd) mit der Gleichung
β) ab + ab
= abcd zu verwechseln. – Aber diese
ist eine Ersetzungsregel jene ist k
eine
Regel, sondern eben eine Tautologie. Das Zeichen
„ ⊃ ” in
α entspricht in
keiner Weise dem „ = ” in
β.
Man vergißt daß das Zeichen
„ ⊃ ” in
α ja nicht sagt daß die
beiden Zeichen rechts & links von ihm eine Tautologie
ergeben.
Dagegen könnte man einen
Kalkül konstruieren in welchem die Gleichung
ξ + η =
ζ als eine Transformation erhalten wird
aus der Gleichung:
γ)
(Еξ(Еη) ⊃
(Еζ) =
Taut.