„Alle Zahlen können nicht
zufällig
eine Eigenschaft
ε besitzen;
sondern nur ihrem Wesen (als Zahlen)
nach.” – Der Satz
„
alle || die Menschen, welche
rote Nasen haben sind gutmütig”
hat auch dann nicht denselben Sinn wie der Satz
„die Menschen welche Wein trinken sind
gutmütig” wenn die Menschen welche rote Nasen haben eben
die sind die Wein trinken
.
Dagegen: wenn die Zahlen
m, n,
o der Umfang eines mathematischen Begriffs
f sind, so daß also
fm ∙ fn ∙ fo der
Fall ist, dann hat der Satz
welcher sagt, daß die
Zahlen die f befriedigen die
Eigenschaft
ε haben
¤ den
gleichen Sinn wie „
ε(m) ∙
ε(n) ∙
ε(o)”.
Denn die beiden Sätze
„f(m) ∙ f(n) ∙ f(o)”
& „
ε(m) ∙
ε(n) ∙
ε(o)”
lassen sich, ohne daß wir dabei den Bereich der Grammatik
verlassen, in einander umformen.
Sehen wir uns nun den Satz an: „alle
n Zahlen welche der Bedingung
F(
ξ)
genügen, haben zufälligerweise die Eigenschaft
ε.” Da
kommt es drauf an ob die Bedingung F(ξ) eine mathematische
ist. Ist sie das, nun dann kann ich ja aus
F(x)
ε(x) ableiten,
wenn auch
nur über die Disjunktion der n Werte von
F(ξ).
(Denn
hier gibt es eben eine
Disjunktion). Hier werde ich also nicht von einem Zufall
reden. – Ist die Bedingung eine
nicht-mathematische, so wird man dagegen
von einem || vom
Zuf
all reden können.
Z.B. wenn ich sage: alle Zahlen die ich
heute auf den Omnibus
sen gelesen habe waren zufällig
Primzahlen. (Dagegen kann man natürlich
nicht sagen: „die Zahlen 17, 3, 5, 31, sind
zufällig
Primzahlen”,
ebensowenig wie: „die Zahl 3 ist
zufällig eine Primzahl”.)
„Zufällig” ist wohl der Gegensatz von
„allgemein ableitbar”; aber man kann
sagen: der Satz „17, 3, 5, 31 sind
Primzahlen” ist allgemein ableitbar so sonderbar das
klingt, wie auch der Satz
2 + 3 =
5.
Sehen wir nun zu unserm ersten
Satz zurück, so fragen wir wieder: wie soll denn der
Satz „alle Zahlen haben die
Eigen
schaft
ε” gemeint
sein? wie soll man ihn denn wissen können? denn
diese Festsetzung gehört ja zur Festsetzung seines
Sinnes! Das Wort „zufällig” deutet
doch auf eine Verifi
kation durch
su
kzessive Versuche & dem
widerspricht daß wir nicht von einer endlichen Zahlenreihe
reden.