Nehmen
wir an wir würfen mit einer Münze „Kopf
& Adler” & teilen nun eine Strecke
AB nach folgender Regel:
„Kopf” sagt:
„nimm die linke Hälfte & teile sie, wie
der nächste Wurf vorschreibt.
„Adler” sagt: nimm die rechte
Hälfte etc.
” Durch
fortgesetztes Würfeln erzeuge ich dann Schnittpunkte die sich in
einem immer kleineren Interval
l bewegen.
Beschreibt es nun die Lage eines Punktes, wenn ich sage, es solle
der sein, dem sich bei fortgesetztem Würfeln die Schnitte
unendlich nähern? Hier glaubt man etwa einen
Punkt bestimmt zu haben, der einer regellosen unendlichen
Dezimalzahl entspricht. Aber die Beschreibung
bestimmt doch
ausdrücklich:
keinen
Punkt; es sei denn daß man sagt, daß die Worte „Punkt
auf dieser Strecke” auch „einen Punkt
bestimmen”. Wir verwechseln hier die Vorschrift
des Würfelns mit der mathematischen Vorschrift, etwa
Dezimalstellen der √2 zu erzeugen.
Diese mathematischen
Vorschriften
sind die Punkte.
D.h. es lassen sich zwischen diesen
Vorschriften Beziehungen
finden, die in ihrer
Grammatik den Beziehungen
von
„größer” &
„kleiner” zwischen zwei Strecken analog sind
& daher mit diesen Worten bezeichnet werden. Die
Vorschrift
die Wurzel || Stellen der
√2 auszurechnen ist
das Zahlzeichen der irrationalen Zahl selbst; und ich rede hier
von einer „Zahl” weil ich mit diesen
Zeichen (
den || gewissen Vorschriften zur Bildung von
Rationalzahlen) ähnlich rechnen
kann wie mit den Rationalzahlen selbst.
Sage ich
also analog || Will ich also analog sagen die
Vorschrift des endlosen Halbierens nach Kopf &
Adler bestimme einen Punkt, eine Zahl, so müßte das heißen,
daß diese Vorschrift als Zahlzeichen d.h.
analog andern Zahlzeichen gebraucht werden kann. Das
ist aber natürlich nicht der Fall.
Entspräche diese
Vorschrift einem Zahlzeichen || Sollte diese Vorschrift einem
Zahlzeichen entsprechen so höchstens
(sehr entfernt) dem unbestimmten Zahlwort
„einige” denn sie tut nichts als eine Zahl offen zu
lassen. Mit einem Wort ihr entspricht nichts anderes als
das
ursprüngliche Intervall AB.