(Welches Kriterium gibt es dafür, daß die irrationalen
Zahlen komplett sind? Sehen wir uns eine irrationale Zahl
an: Sie läuft entlang einer Reihe
rationaler Näherungswerte. Wann verläßt sie
diese Reihe? Niemals. Aber sie kommt
allerdings auch niemals zu einem Ende.
Angenommen wir hätten die Gesamtheit aller
irrationalen Zahlen mit Ausnahme einer einzigen.
Wie w
ürde uns diese
abgehen? Und wie würde sie nun –
wenn sie dazukäme, die Lücke füllen?
– Angenommen es wäre π. Wenn die irrationale
Zahl durch die Gesamtheit ihrer Näherungswerte gegeben ist,
so gäbe es bis zu
jedem beliebigen Punkt eine Reihe,
die mit der von π
übereinstimmt. Allerdings kommt für jede
solche Reihe ein Punkt der Trennung. Aber dieser
Punkt kann beliebig weit
„draußen” liegen, so daß ich zu
jeder Reihe, die π
begleitet, eine finden kann, die es weiterbegleitet.
Wenn ich also die Gesamtheit der irrationalen Zahlen habe,
außer π, & nun
π einsetze so kann ich keinen
Punkt angeben, an dem π nun
wirklich n
ötig wird, es hat an
jedem Punkt einen Begleiter, der es vom Anfang an
begleitet.
Auf die Frage „wie
würde uns π
abgehen”, müßte man antworten:
π, wenn es eine Extension wäre,
würde uns niemals abgehen. D.h.,
wir könnten niemals eine Lücke bemerken, die es
füllt. Wenn man uns fragte: „aber hast
Du auch einen unendlichen Dezimalbruch, der die Ziffer
m an der r-ten Stelle hat & n an der
s-ten etc.?” wir
könnten ihm immer dienen.)