Denken
wir es stritten sich Leute darüber ob in der Division
1 : 3 lauter Dreier im
Quotienten herauskommen mü
ßten; sie
hätten aber keine Methode wie dies zu entscheiden sei.
Nun bemerkt Einer von ihnen die induktive Eigenschaft von
& sagt: jetzt weiß
ich's, es müssen lauter Dreien im Quotienten
stehen. Die
Andern hatten an
diese
Art der Entscheidung nicht gedacht. Ich nehme an es habe
ihnen unklar etwas von einer Entscheidung durch Stufenweise Kontrolle
vorgeschwebt & daß sie diese Entscheidung freilich nicht
herbeiführen könnten. Halten sie nun an ihrer
extensiven Auffassung fest so ist allerdings durch die Induktion
eine Entscheidung herbeigeführt, denn die Induktion zeigt
allerdings für jede Extension des Quotienten daß sie aus
lauter Dreien besteht. Lassen sie aber die extensive
Auffassung fallen so entscheidet die Induktion nichts.
Oder nur das was die Ausrechnung von
entscheidet: natürlich, daß
ein Rest bleibt der gleich dem
Dividenden ist
.
Aber mehr nicht. Und nun
kann es allerdings eine richtige Frage geben
nämlich: ist der Rest der bei dieser Division bleibt gleich
dem Dividenden & diese Frage
ist jetzt an der Stelle der alten extensionalen getreten & ich
kann natürlich den alten Wortlaut beibehalten, aber er ist
jetzt außerordentlich irreleitend denn sie
läßt es immer so erscheinen als wäre die Erkenntnis
der Induktion nur ein Vehikel das uns in die
Unendlichkeit tragen kann. (Das
hängt auch damit zusammen daß das Zeichen
„u.s.w.” sich auf eine interne
Eigenschaft des Reihenstückes das ihm vorhergeht bezieht & nicht auf
seine Extension.)
Die Frage „gibt
es eine rationale Zahl die die Wurzel von
x² + 3x + 1 = 0
ist” ist freilich durch eine Induktion
entschieden: – aber hier habe ich eben eine Methode
konstruiert um Induktionen zu
bilden; & die
Frage hat ihren Wortlaut nur, weil es sich um eine
Konstruktion von Induktionen handelt.
D.h. die Frage wird durch eine Induktion
entschieden, wenn ich nach dieser Induktion fragen
konnte.
Wenn mir also ihr Zeichen von
vornherein
so beschrieben war || auf ja & nein
bestimmt war so daß ich rechnerisch zwischen
ihnen entscheiden konnte wie z.B. ob der
Rest in 5 : 7 gleich oder
ungleich dem Dividenden sein wird. (Die
Verwendung der Ausdrücke „alle …” &
„es gibt …” für diese
Fälle hat eine gewisse Ähnlichkeit
wie die || mit
der Verwendung des Wortes „unendlich”
im
Satz „heute habe ich ein Lineal mit
unendlichem Krümmungsradius gekauft”.)