Denken wir es stritten sich Leute darüber ob in der Division 1 : 3 lauter Dreier im Quotienten herauskommen müßten; sie hätten aber keine Methode wie dies zu entscheiden sei. Nun bemerkt Einer von ihnen die induktive Eigenschaft von
1 : 3 = 0˙3
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& sagt: jetzt weiß ich's, es müssen lauter Dreien im Quotienten stehen. Die Andern hatten an diese Art der Entscheidung nicht gedacht. Ich nehme an es habe ihnen unklar etwas von einer Entscheidung durch Stufenweise Kontrolle vorgeschwebt & daß sie diese Entscheidung freilich nicht herbeiführen könnten. Halten sie nun an ihrer extensiven Auffassung fest so ist allerdings durch die Induktion eine Entscheidung herbeigeführt, denn die Induktion zeigt allerdings für jede Extension des Quotienten daß sie aus lauter Dreien besteht. Lassen sie aber die extensive Auffassung fallen so entscheidet die Induktion nichts. Oder nur das was die Ausrechnung von
1 : 3 = 0˙3
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entscheidet: natürlich, daß ein Rest bleibt der gleich dem
Dividenden ist. Aber mehr nicht. Und nun kann es allerdings eine richtige Frage geben nämlich: ist der Rest der bei dieser Division bleibt gleich dem Dividenden & diese Frage ist jetzt an der Stelle der alten extensionalen getreten & ich kann natürlich den alten Wortlaut beibehalten, aber er ist jetzt außerordentlich irreleitend denn sie läßt es immer so erscheinen als wäre die Erkenntnis der Induktion nur ein Vehikel das uns in die Unendlichkeit tragen kann. (Das hängt auch damit zusammen daß das Zeichen „u.s.w.” sich auf eine interne Eigenschaft des Reihenstückes das ihm vorhergeht bezieht & nicht auf seine Extension.)
     Die Frage „gibt es eine rationale Zahl die die Wurzel von x² + 3x + 1 = 0 ist” ist freilich durch eine Induktion entschieden: – aber hier habe ich eben eine Methode konstruiert um Induktionen zu bilden; & die Frage hat ihren Wortlaut nur, weil es sich um eine Konstruktion von Induktionen handelt. D.h. die Frage wird durch eine Induktion entschieden, wenn ich nach dieser Induktion fragen konnte. Wenn mir also ihr Zeichen von vornherein so beschrieben war || auf ja & nein bestimmt war so daß ich rechnerisch zwischen ihnen entscheiden konnte wie z.B. ob der Rest in 5 : 7 gleich oder ungleich dem Dividenden sein wird. (Die Verwendung der Ausdrücke „alle …” & „es gibt …” für diese Fälle hat eine gewisse Ähnlichkeit wie die || mit der Verwendung des Wortes „unendlich” im
Satz „heute habe ich ein Lineal mit unendlichem Krümmungsradius gekauft”.)