Hat der rekursive Beweis von
a + (b + c) =
(a + b) + c ‒ ‒ ‒
A
eine Frage beantwortet? &
welche? Hat er eine Behauptung als wahr erwiesen
& also ihr Gegenteil als falsch?
Das, was
man || Skolem den rekursiven Beweis von A nennt kann man
so schreiben:
a + (b + 1) = (a + b) + 1
a + (b + (c + 1) = a + ((b + c) + 1) = (a + (b + c)) + 1
}(Ƒ) B
(a + b) + (c + 1) = ((a + b) + c) + 1
In diesem Beweis kommt offenbar der bewiesene Satz
gar nicht vor. – Man müßte nur eine allgemeine
Bestimmung machen die den Übergang in ihm erlaubt.
Diese Bestimmung könnte man so ausdrücken:
α φ(1) =
ψ(1)
∆
β φ(c + 1) =
F(φ(c))
}(Ƒ) φ(c) =
ψ(c)
γ ψ(c + 1) =
F(ψ(c))
Wenn drei
Gleichungen von der Form α, β, γ bewiesen
werden || sind, so sagen wir es sei „die
Gleichung ∆ für alle
Kardinalzahlen bewiesen”. Das ist eine
Erklärung dieser Ausdrucksform durch die
erste. Sie zeigt daß wir das Wort
„beweisen” im zweiten Fall anders gebrauchen als im
ersten. Es ist jedenfalls irreführend zu sagen wir
hätten die Gleichung ∆ oder A bewiesen
& vielleicht besser
zu sagen wir hätten ihre
Allgemeingültigkeit bewiesen, obwohl das wieder in anderer
Hinsicht irreführend ist.
Hat nun der
Beweis B eine Frage beantwortet
, eine
Behauptung als wahr erwiesen? Ja, welches ist denn der
Beweis B
: ist es die Gruppe der drei
Gleichungen von der Form α,
β, γ, oder die
Klasse der
Beweise dieser Gleichungen? Diese
Gleichungen
behaupten ja etwas (& beweisen nichts
in dem Sinne in dem
sie bewiesen werden).
Die Beweise von α,
β, γ aber beantworten die Frage, ob
diese drei Gleichungen stimmen, & erweisen die Behauptung als
wahr, daß sie stimmen. Ich kann nun
erklären: die Frage, ob A für alle
Kardinalzahlen gilt, solle
heißen || bedeuten:
„gelten für die Funktionen
φ(ξ)
= a + (b + ξ),
ψ(ξ) =
(a + b) + ξ
Gleichungen
α, β &
γ?” Und
dann ist diese Frage durch den rekursiven Beweis von A
beantwortet, wenn
hierunter die Beweise von
α, β, γ verstanden werden
(bezw. die Festsetzung von
α & die Beweise
von β
& γ
mittels α).
Ich kann also sagen, daß der rekursive Beweis
ausrechnet, daß die Gleichung A einer gewissen Bedingung
genügt; aber es ist nicht
die || eine
Bedingung der Art wie sie etwa die Gleichung
(a + b)² =
a² + 2ab + b² erfüllen muß um
richtig genannt zu werden. Nenne ich A
„richtig” weil sich Gleichungen von
der Form α,
β, γ dafür beweisen lassen, so
verwende ich
jetzt das
Wort „richtig” anders als im Falle der Gleichungen
α, β, γ, oder
(a + b)² =
a² + 2ab + b².