| | | | | Was ist nun der
Gegensatz eines allgemeinen Satzes wie a + (b + (1 + 1)) =
a + ((b + 1) + 1)?
Welches ist das System von Sätzen innerhalb dessen verneint wird? Oder
auch,: wie, in welcher Form, kann
diese⌊r⌋ Regel Satz mit andern in Widerspruch
geraten? Oder: welche Frage kann er
beantworten[?|,] Jedenfalls keine die
eine zwischen welchen Alternativen entscheiden?
Jedenfalls [n|N]icht zwischen einer
„(n) ∙ fn” &
einer „(∃n) ∙ ~fn”,
denn die Allgemeinheit ist dem Satz von der Regel R
zugebracht. Sie kann ebensowenig in Fragen
werden, wie das System der
Kardinalzahlen. [Oder: Welche Frage
beantwortet er? die, ob (n) ∙ fn oder
(∃n)~fn der Fall
ist, etc] Die Allgemeinheit
einer Regel kann eo ipso nicht in Frage gestellt werden.
Denken wir uns nun den allgemeinen Satz als Reihe
geschrieben p11, p12, p13,
… p21, p22,
p23, …
p31, p32, p33,
… ‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒ & verneint. Wenn wir ihn als
(x)f(x) auffassen, so
betrachten wir ihn als ist er ein | logisches Produkt
& sein Gegenteil ist
Disjunktion logische Summe | .
der Verneinungen von p11, p12,
etc.. Diese Disjunktion
(nun) ist mit jedem beliebigen Produkt
p11 ∙ p21 ∙ p22 ∙ p12 …pmn
vereinbar.
(Freilich Gewiß, wenn man den
Satz mit einem logischen Produkt vergleicht, so wird er unendlich
vielsagend & sein Gegenteil nichtssagend.)
(Bedenke aber: das
„u.s.w.” steht in der Regel
im Satz nach einem Beistrich nicht nach einem
„und”
(„ ∙ ”)).
Das „u.s.w.” ist kein Zeichen
ihrer Unvollständigkeit.)
Ist denn die Regel R unendlich
vielsagend? Wie ein ungeheuer langes logisches
Produkt? Daß man die Zahlenreihe durch
die Regel laufen läßt, ist eine gegebene Form; darüber
wird nichts behauptet & kann nichts verneint werden.
Ich möchte sagen:
[d|D]as Durchleiten des Zahlenstromes ist ja nichts
wovon ich sagen kann, ich könne es beweisen.
Beweisen kann ich nur etwas über die Form,
(den Model), durch den ich den
Zahlenstrom leite. Kann man nun nicht sagen,
daß die ˇallgemeine Zahlen[R|r]egel
a + (b + c) =
(a + b) + c (A) eben die
Allgemeinheit hat wie a + (1 + 1) =
(a + 1) + 1 (indem diese für jede
Kardinalzahl, jene für jedes Kardinalzahlentrippel
gilt); & daß der Induktionsbeweis rekursive Beweis | von von A die Regel
A rechtfertigt? Daß wir also die Regel
A geben dürfen, weil der Beweis zeigt, daß sie immer
stimmt?
Rechtfertigt die Regel
„13 = 0˙3,
13 = 0˙33,
13 = 0˙333, u.s.w.”? ‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒ P
A ist eine vollständig
vollkommen verständliche Regel; so wie die
ErsetzungsRegel P.
„schreibe eine Dezimalzahl die aus 3 Eine solche Regel kann ich aber darum nicht geben weil
ich die einzelnen Fälle von A schon durch eine
andere Regel berechnen kann, wie ich P nicht als Regel geben
kann wenn ich eine Regel gegeben habe mit der ich
13 = 0˙3, etc.
berechnen kann. Die Arithmetik ist, wie gesagt, auch ohne eine
Regel Wie wäre es, wenn man außer den
Multiplicationsregeln noch
„25 × 25
= 625” als Regel festsetzen wollte?
(Ich sage nicht „25 × 25 = 624”!)
– 25 × 25
= 625 hat nur Sinn, wenn die Art der bekannt ist, die zu dieser Gleichung gehört,
& hat nur Sinn in Bezug auf diese Rechnung.
A hat nur Sinn mit Bezug auf die Art der Ausrechnung
von A. Denn die erste Frage wäre
ˇhier eben: ist das eine
Bestimmung [ Festsetzung ] , oder ein
errechneter Satz? Denn ist
25 × 25 =
625 eine Festsetzung (Grundregel), dann bedeutet das
Multiplikationszeichen jetzt etwas anders, als es
z.B. in Wirklichkeit bedeutet.
Und ist (D.h. wir haben
es mit einer anderen Rechnungsart zu tun.) Und ist
A eine Festsetzung dann definiert das die Addition anders,
als wenn es ein errechneter Satz ist. Denn die
Festsetzung ist ja dann eine Erklärung des
Additionszeichens & die Rechenregeln, die A
auszurechnen erlauben, eine andere Erklärung desselben
Zeichens. Ich darf hier nicht vergessen daß
α, β, γ nicht der Beweis von A
ist sondern nur die Form des Beweises, oder des Bewiesenen, ist;
α, β, γ definiert also
A. | | |