Der Fehler beginnt damit daß man
sagt die Kardinalzahlen ließen sich in eine Reihe
ordnen.
Welchen Begriff hat man denn von diesem
Ordnen?
Ja man hat natürlich einen von einer
endlichen Reihe, aber das gibt uns ja hier höchstens eine vage
Idee einen Leitstern für die Bildung eines
Begriffs
.)
Der Begriff selbst ist ja von
dieser & einigen andern Reihen
abstrahiert;
oder: der Ausdruck bezeichnet eine gewisse Analogie von
Fällen & man kann ihn etwa dazu benützen um ein
Gebiet, von dem man reden will
beiläufig || vorläufig || ungefähr
abzugrenzen.
106
Damit ist aber
nicht gesagt, daß die Frage einen klaren Sinn hat:
“Ist die Menge
R. in eine Reihe zu ordnen?”
Denn
diese Frage bedeutet nun etwa: Kann man mit diesen
Gebilden etwas tun was dem Ordnen der Kardinalzahlen in eine
Reihe entspricht.
Wenn man also fragt:
“Kann man die Reellen Zahlen in eine Reihe
ordnen?”
So könnte die gewissenhafte
Antwort sein: “Ich kann mir
vorläufig gar nichts
Genaues darunter
vorstellen”. –
“Aber Du kannst
doch z.B. die Wurzeln
, & die
algebraischen Zahlen in eine Reihe ordnen; also verstehst Du doch den
Ausdruck!” –
Richtiger gesagt ich
habe hier gewisse analoge Gebilde, die ich mit dem
gemeinsamen Namen “Reihen” benenne.
Aber ich habe noch keine sichere Brücke von diesen
Fällen zu dem ‘aller reellen
Zahlen’.
Ich habe auch keine allgemeine Methode
um zu versuchen ob sich die
oder die
Menge ‘in eine Reihe ordnen
läßt’.
Nun
zeigt man mir das Diagonalverfahren & sagt:
“hier hast Du nun den Beweis, daß dieses Ordnen hier
nicht geht”.
Aber ich kann antworten:
“Ich weiß – wie gesagt – nicht, was es
ist, was
107
hier
nicht
geht.
”
Wohl aber sehe
ich
, || : Du willst einen
Unterschied zeigen in der Verwendung von
“Wurzel”,
“algebraische Zahl”,
etc. einerseits & “reelle
Zahl” anderseits.
Und zwar etwa so:
Die Wurzeln nennen wir “reelle Zahlen”
& die Diagonalzahl, die aus den Wurzeln
gebildet ist
auch.
Und ähnlich mit allen
Reihen reeller Zahlen.
Daher hat es keinen Sinn von einer
“Reihe
aller reellen
Zahlen” zu reden, weil man ja auch die
Diagonalzahl
der || jeder Reihe eine “reelle
Zahl” nennt. –
Wäre das
nicht etwas ähnlich, wie wenn man gewöhnlich
jede Reihe von Büchern selbst ein Buch nennte & nun
sagte: “Es hat keinen Sinn von
‘der Reihe aller Bücher’ zu reden, da
jede || diese Reihe selbst ein Buch
ist || wäre.”