Wenn Du die reellen Zahlen in eine höhere & eine niedere Klasse teilen willst, so tu's erst einmal roh durch

zwei rationale Punkte P & Q. Dann halbiere P – Q & entscheide, in welcher Hälfte (wenn nicht im Teilungspunkt) der Schnitt liegen soll; wenn z.B. in der unteren, halbiere
diese & mache eine genauere Entscheidung; u.s.f..
     Hast Du ein Prinzip der unbegrenzten Fortsetzung, so kannst Du von diesem Prinzip sagen, es führe einen Schnitt aus, da es von jeder Zahl entscheidet, ob sie rechts oder links liegt. – Nun ist die Frage, ob ich durch ein solches Prinzip der Teilung überall hin gelangen kann oder ob noch eine andere Art der Entscheidung nötig ist; & man könnte fragen, ob nach der vollendeten Entscheidung durch das Prinzip oder vor der Vollendung. Nun, jedenfalls nicht
vor der Vollendung; denn solange noch die Frage ist in welchem endlichen Stück der Geraden der Punkt liegen soll, kann die weitere Teilung entscheiden. – Aber nach der Entscheidung durch ein Prinzip ist noch Raum für eine weitere Entscheidung?