Man kann definieren
(∃x) φx
(∃x,y) φx ∙ φ y ∙ ~
(∃ x,y,z) φx ∙ φ y ∙ φ
z
≝ (∃
n x,y)
φx ∙ φ y = ∃
n ❘ ❘x)
φx
ebenso
(∃ x,y,z) φx
∙ φ y ∙ φ z ∙ ~ ‒ ‒ ‒
= (∃
n ❘ ❘ ❘ x) φx
etc.
Man kann dann zeigen daß
(∃
n❘ ❘ ❘ ❘ ❘ x) φx
∙ (∃
n ❘ ❘ ❘ x) ψ x ∙
~ ∃ x) φx ∙ ψ x
. ⊃ .
(∃
n❘ ❘ ❘ ❘ ❘ x) φx ⌵ ψ
x eine Tautologie ist.
Hat man damit den Arithmetischen Satz ❘ ❘ & ❘ ❘ ❘ =
❘ ❘ ❘ ❘ ❘ gezeigt?
Nein || Natürlich nicht.
Man hat auch nicht
gezeigt
daß
(∃
n ❘ ❘ x)
φx ∙ (∃
n ❘ ❘ ❘ x)
φx ∙
Induktion
. ⊃ .
(∃
n ❘ ❘ +
❘ ❘ ❘ x) φx ⌵ ψx
eine
Tautologie ist, denn von der
Addition || Summe
❘ ❘ + ❘ ❘ ❘
war vorläufig gar keine Rede.
˃❘ Nun kann man aber
zeigen || sehen daß man den
Ausdruck „rechts von . ⊃ .” der das
ganze zu einer
Taut.
macht immer dadurch erhält daß man in der
Klammer die Buchstaben setzt die durch den Kalkül
x y z u
v w r s t
x' y' x' y' z'
gefunden werden
oder eine Gruppe von Strichen die durch
Aneinanderreihung der beiden linken Gruppen entsteht.
Daß also allgemeiner für
(∃n n x) φ
x ‒ ‒ ‒ (∃n m x) –
⊃
(∃n n + m
x) φx ⌵ φ
y
Hier hat es
Sinn die rechte Zahl m + n zu
Schreiben denn dies drückt ein Gesetz aus.
Dagegen hatte es keinen statt ❘ ❘ ❘ ❘ ❘
❘ ❘ + ❘ ❘ ❘ zu
schreiben da man ebensogut ❘ + ❘ ❘ ❘ ❘
oder ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ schreiben könnte.
Es hat dagegen Sinn nach dieser allgemeinen
Regel zu schreiben
(∃ 2x ‒ ‒ ‒ (∃
3x)
(∃ 2 +
3x)
Wenn man (
sozusagen) noch nicht weiß was
2 + 3 ergeben wird
denn 2 + 3 hat nur
sofern einen Sinn
als es noch auszurechnen ist || als es noch
ausgerechnet werden kann || muß.
Daher hat die Gleichung
❘ ❘ + ❘ ❘ ❘ = ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ nur
dann einen Sinn wenn das Zeichen ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ so
wiedererkannt
werden kann || wird wie das Zeichen 5.