Die Bedingung unter der ein Teil der Reihe 1 +

1
2

1
3

+ …, etwa

1
n

1
(n + 1)

1
(n + 2)

+ … +

1
(n + r)

, gleich oder größer als 1 wird, ist folgende:
Es soll werden:

1
n

1
(n + 1)

1
(n + 2)

+ … +

1
(n + r)

≧ 1.
Formen wir die linke Seite um in:

Daher: 2nr + 2r ‒ 2n² ‒ 2n + 2n + 2 ‒ n² ‒ nr + n + r = oder grösser 0
nr + 3r ‒ 3n² + 2 + n = oder grösser 0
r = oder grösser

(3n² ‒ (n + 2))
(n + 3)

kleiner als 3n ‒ 1.

Also ist eine hinreichende Bedingung dafür, daß

1
n

1
(n + 1)

+ … +

1
(n + r)

≧ 1, die, daß r ≧ 3n ‒ 1. Denke ich mir nun vom Anfang der Reihe 1 +

1
2

1
3

+ … solche Abschnitte aneinandergereiht, die gleich oder größer als 1 sind, so reicht der erste dieser Abschnitte von
1 bis 3, der zweite von
4 bis 15, der dritte von
16 bis 63, der m-te bis 4^m ‒ 1.
Die Summe 1 +

1
2

1
3

+ … bis zum 4^mten Gliede ausgedehnt, überschreitet also gewiß m. Also ist
1 +

1
2

1
3

+ …

1
4^m

˃ (1 +

1
2

1
2²

+ …) ∙ (1 +

1
3

1
3²

+ …) … (1 +

1
m

1
m²

+ …)
Also muß unter den ersten 4^m ganzen Zahlen mindestens eine sein, die durch keine der ersten m Zahlen teilbar ist.

(2015–) Wittgenstein Source Bergen Nachlass Edition (WS-BNE). Edited by the Wittgenstein Archives at the University of Bergen under the direction of Alois Pichler. In: Wittgenstein Source, curated by Alois Pichler (2009–) and Joseph Wang-Kathrein (2020–). (N) Bergen: WAB.