Die Bedingung unter der ein Teil
der Reihe 1 +
+
+ …, etwa
+
+
+ … +
,
gleich oder größer als 1 wird, ist
folgende:
Es soll werden:
+
+
+ … +
≧ 1.
Formen wir die linke Seite um in:
Daher:
2nr + 2r ‒ 2n² ‒ 2n + 2n + 2 ‒ n² ‒ nr + n + r
= oder grösser 0
nr + 3r ‒ 3n² + 2 + n
= oder grösser 0
r = oder
grösser
kleiner
als 3n ‒ 1
. 47
Also ist eine hinreichende
Bedingung dafür, daß
+
+ … +
≧ 1, die,
daß r
≧ 3n ‒ 1. Denke
ich mir nun vom Anfang der Reihe 1 +
+
+ … solche
Abschnitte aneinandergereiht, die gleich oder
größer als 1 sind, so reicht der erste
dieser Absch
nitte von
1 bis 3, der zweite von
4 bis 15, der dritte
von
16 bis 63, der m-te bis
4
m ‒ 1.
Die Summe 1 +
+
+ … bis zum 4
mten
Gliede ausgedehnt, überschreitet also
gewiß m. Also ist
1 +
+
+ …
˃ (1 +
+
+ …) ∙ (1 +
+
+ …) …
(1 +
+
+ …)
Also muß unter den ersten
4
m ganzen Zahlen mindestens
eine sein, die durch keine der ersten m Zahlen teilbar
ist.