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Fügt man nun n zusammen zu
1n,
2n,
3n
etc. so sieht man, dass gegenüber
einem Vielfachen von m solange ein Rest bleibt, [v|b]is man
zu m ∙ n kommt, wo immer der
[e|E]uklidische
Algorithmus endet (d.h.
welche der Formeln immer für m anwendbar ist).
Im ersten Fall z.B. wenn m = a1a2 + 1 : 1n = a0m + a2 2n = 2a0m + 2a2 … vn = va0m + va2 der Rest va2 bleibt jedenfalls solange kleiner als m, bis v = a1 wird; dann ist 77 a1n = a1a0m
+ a1a2.
Noch immer ist der Rest kleiner als m; aber nun wird
(a1 + 1).n =
(a1 + 1)a0m +
(a1 + 1).a2 =
… + a1a2 + a2
=
… + a1a2 + 1 + a2 ‒ 1
a2 ‒ 1 ist jedenfalls
kleiner als m und der Rest verschwindet nur, wenn
a2 =
1 ist.
Dann aber ist m
= a1 + 1, also der Faktor
a1 + 1
= m.
Ist aber a2 grösser als
1, so geht die Sache weiter und es folgen nun(a1 + 2).n = … + 2a2 ‒ 1 … (a1 + v).n = … + va2 ‒ 1. Dieser Rest ist gewiss kleiner als m, bis (2a1).n = … + a1a2 ‒ 1 und auch hier noch. Aber (2a1 + 1).n = … + (a1 + 1)a2 ‒ 1 = a1a2 + a2 ‒ 1 = a1ma21 + 1 + (a2 ‒ 2) und hier [h|g]eht (3a1).n = … + a1a2 ‒ 2 und (3a1 + 1).n = … + m + (a2 ‒ 3) so lang bis (a2a1 + 1).n = … + (a2 ‒ a2) = m.n. Aehnlich geht es, wenn m = a1a2a3 + a3 ist, etc. etc.. |