Das Gewebe der Irrtümer auf diesem Gebiet ist
natürlich ein sehr kompliziertes. Es tritt
z.B. noch die Verwechslung zweier
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verschiedener
Bedeutungen des Wortes “Art” hinzu. Man
gibt nämlich zu, daß die unendlichen
Zahlen eine andre
Art Zahlen sind, als die endlichen,
aber man mißversteht nun, worin hier der
Unterschied verschiedener Arten besteht.
Daß es sich nämlich hier nicht um die
Unterscheidung von Gegenständen nach ihren Eigenschaften
handelt, wie wenn man rote Äpfel von gelben
unterschei
det, sondern um verschiedene logische Formen. –
So versucht Dedekind
eine unendliche Klasse zu
beschreiben; indem er
sagt, es sei eine, die einer echten Teilklasse ihrer selbst
ähnlich ist.
Hierdurch hat er scheinbar eine
Eigenschaft angegeben, die die Klasse haben
muß, um unter den Begriff
‘unendliche Klasse’ zu fallen.
(Frege.)
Denken wir uns nun die Anwendung
dieser || der Definition. Ich soll
also in einem bestimmten Fall untersuchen, ob eine Klasse endlich
ist oder nicht, etwa ob eine bestimmte Baumreihe endlich oder
endlos ist. Ich nehme also, der Definition folgend, eine
Teilklasse dieser Baumreihe und untersuche, ob sie der ganzen
Klasse ähnlich (d.h.
1–1 koordinierbar) ist!
(Hier fängt gleichsam schon Alles an zu
lachen.) Das heißt ja gar
nichts: denn, nehme ich eine “endliche
Klasse” als Teilklasse, so muß ja
der Versuch, sie der ganzen Klasse 1 zu 1 zuzuordnen eo
ipso mißlingen; und mache ich den Versuch
an einer unendlichen Teilklasse, ‒ ‒ ‒ aber das
heißt ja schon erst recht nichts, denn, wenn
sie unendlich ist, kann ich den Versuch dieser Zuordnung gar nicht
machen. – Das, was man im Fall
eine
r endlichen Klasse ‘Zuordnung
aller ihrer Glieder mit andern’ nennt, ist etwas ganz
anderes, als das, was man z.B. eine
Zuordnung aller Kardinalzahlen mit allen Rationalzahlen
nennt. Die beiden Zuordnungen, oder, was man in den
zwei Fällen mit diesem Wort bezeichnet, gehören
verschiedenen logischen
Kategorien || Typen an. Und es ist nicht
die “unendliche Klasse” eine Klasse, die mehr
Glieder im gewöhnlichen Sinn des Wortes
“mehr” enthält, als die endlichen.
Und wenn man sagt, daß eine
unendliche Zahl größer ist, als
eine endliche, so macht das die beiden nicht vergleichbar, weil in
dieser Aussage das Wort
“größer”
eine
andere Bedeutung hat, als etwa im Satz “5
größer als 4”.
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