Es besteht eine Versuchung, die Form der Gleichung für die Form von
Tautologien und Kontradiktionen zu halten, und zwar darum, weil es
scheint, als könne man sagen
: || ,
x =
x ist selbstverständlich wahr (und)
x = y selbstverständlich
falsch.
Eher noch
kann man natürlich ﹖– sagen,
daß x = x die Rolle einer Tautologie
spielt, als x = y die der
Kontradiktion –﹖ || kann man
natürlich x = x mit einer Tautologie
vergleichen, als x = y mit einer
Kontradiktion, da ja alle richtigen (und
“sinnvollen”
Gleichungen der Mathematik von der Form
x = y sind.
Man könnte x = x eine degenerierte Gleichung
nennen (Ramsey nannte sehr richtig Tautologien und Kontradiktionen
degenerierte Sätze) und zwar eine richtige degenerierte Gleichung
(den Grenzfall einer Gleichung).
Denn wir gebrauchen Ausdrücke der Form
x = x wie richtige
Gleichungen, wobei wir uns vollkommen bewußt
sind, daß es sich um degenerierte Gleichungen
handelt.
Im gleichen Fall sind Sätze in geometrischen Beweisen, wie
etwa: “der Winkel
ist gleich dem Winkel
, der Winkel ist
sich selbst gleich …”.
Man könnte nun einwenden, daß richtige Gleichungen
der Form x = y auch Tautologien, dagegen
falsche, Kontradiktionen sein müßten, weil man ja
die richtige Gleichung muß beweisen können und das,
indem man die beiden Seiten der Gleichung transformiert, bis eine
Identität x = x herauskäme.
Aber obwohl durch diesen Prozeß die erste
Gleichung als richtig erwiesen ist und insofern die Identität
x = x das Endziel der
Transformationen war, so ist sie nicht das Endziel in dem Sinne,
als hätte man durch die Transformationen der Gleichung ihre richtige
Form geben wollen, wie man einen krummen Gegenstand zurechtbiegt, und als
habe sie nun in der Identität diese vollkommene Form
(
endlich) erreicht.
Man kann also nicht sagen: die richtige Gleichung ist ja
eigentlich eine Identität.
Sie ist eben
keine Identität.
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