Unser Kalkül braucht überhaupt noch nichts von der Bildun
g
einer Reihe ‘(
Еx)’,
‘(
Еx,y)’,
‘(
Еx,y,z)’,
etc. zu wissen, sondern kann einfach
einige, etwa 3, dieser Zeichen einführen, ohne das
“u.s.w.”.
Wir können nun einen Kalkül mit einer endlichen Reihe von Zeichen
einführen, indem wir eine Reihenfolge gewisser Zeichen festsetzen,
etwa die der Buchstaben des Alphabets, und
schreiben:
(
Еa) & (
Еa)
⊃
(
Еa,b)
(
Еa,b) &
(
Еa)
⊃ (
Еa,b,c)
(
Еa,b) &
(
Еa,b)
⊃ (
Еa,b,c,d)
u.s.w. bis zum z.
Die rechte Seite (rechts vom “
⊃ ”) kann man dann aus der
linken durch einen Kalkül der Art finden:
a b c d e f . . . . . z
a b - - -
- - a b c B)
a b c d e |
Dieser Kalkül ergäbe sich aus den Regeln zur Bildung der Tautologien
als eine Vereinfachung. –
Dieses Gesetz der Bildung eines Reihenstückes aus zwei andern
vorausgesetzt, kann ich für das erste nun die Bezeichnung
“Summe der beiden andern” einführen und also
definieren: a + a≝ab
a
+ ab≝abc
u.s.w. bis z.
Hätte man an einigen Beispielen die Regel des Kalküls B erklärt, so
könnte man auch diese Definitionen als Spezialfälle einer allgemeinen
Regel betrachten und nun Aufgaben stellen von der Art:
“abc + ab = ?”.
Es liegt nun nahe, die Tautologie
s)
(
Еa,b) & (
Еa,b)
⊃
(
Еa,b,c,d) mit der Gleichung
t) ab + ab =
abcd zu verwechseln. –
Aber diese ist eine Ersetzungsregel, jene ist keine Regel,
sondern eben eine Tautologie.
Das Zeichen “
⊃ ” in s entspricht
in keiner Weise dem “ = ” in t.
Man vergißt, daß das Zeichen
“
⊃ ” in s ja nicht
sagt, daß die
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beiden
Zeichen rechts und links von ihm eine Tautologie ergeben.
Dagegen könnte man einen Kalkül konstruieren, in welchem die
Gleichung x + y = z als eine
Transformation erhalten wird (aus
﹖) der
Gleichung:
u) (
Еx)
& (
Еy)
⊃ (
Еz) =
Taut..
So, daß ich also sozusagen
z = x + y erhalte, wenn ich
z aus der Gleichung u herausrechne.