Wenn in den Diskussionen über die Beweisbarkeit der mathematischen
Sätze gesagt wird, es gäbe wesentlich Sätze der Mathematik, deren
Wahrheit oder Falschheit unentschieden bleiben müsse, so
bedenken || wissen, die es
sagen, nicht, daß solche Sätze,
wenn wir
sie gebrauchen können und “Sätze” nennen wollen,
ganz andere Gebilde sind, als was sonst
“Satz” genannt wird: denn der Beweis ändert die
Grammatik des Satzes.
Man kann wohl ein und dasselbe Brett einmal als Windfahne,
ein andermal als Wegweiser verwenden; aber das feststehende nicht als
Windfahne und das bewegliche nicht als Wegweiser.
Wollte jemand sagen “es gibt auch bewegliche
Wegweiser”, so würde ich ihm antworten: “Du
willst wohl sagen, ‘es gibt auch bewegliche
Bretter’; und ich sage nicht,
daß das bewegliche Brett unmöglich irgendwie verwendet
werden kann, – nur nicht als Wegweiser”.
Das Wort “Satz”, wenn es hier überhaupt Bedeutung haben
soll, ist äquivalent einem Kalkül und zwar jedenfalls den, in welchem
p.
⌵ .
non-p =
Taut. ist
(das “Gesetz des ausgeschlossenen Dritten”
gilt).
Soll es nicht gelten, so haben wir den Begriff des Satzes
geändert.
Aber wir
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haben damit keine Entdeckung gemacht
(etwas gefunden, das ein Satz ist, und dem und dem Gesetz nicht
gehorcht); sondern eine neue Festsetzung getroffen, ein neues
Spiel angegeben.
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