Das, was
Skolem || man den rekursiven Beweis von A nennt, kann man so
schreiben:
a + (b + 1) =
(a + b) + 1
a + (b + (c + 1)) =
a + ((b + c) + 1) =
(a + (b + c)) + 1 B
(a + b) + (c + 1) =
((a + b) + c) + 1
In diesem Beweis kommt offenbar der bewiesene Satz gar nicht vor. –
Man müßte nur eine allgemeine Bestimmung
machen || treffen, die den
Übergang zu ihm erlaubt.
Diese Bestimmung könnte man so ausdrücken:
u f(1) =
g(1) D
v f(c + 1) =
F(f(c))
f(c) =
g(c)
w g(c + 1) =
F(g(c))
Wenn 3 Gleichungen von der Form u, v, w bewiesen sind, so sagen wir,
es sei “die Gleichung D für alle Kardinalzahlen
bewiesen”.
Das ist eine Erklärung dieser Ausdrucksform durch die
erste.
Sie zeigt, daß wir das Wort
“beweisen” im zweiten Fall anders gebrauchen als im
ersten.
Es ist jedenfalls irreführend zu sagen, wir hätten die Gleichung
D oder A bewiesen, und vielleicht besser zu sagen, wir
hätten ihre
Allgemeingültigkeit bewiesen, obwohl das
wieder in anderer Hinsicht irreführend ist.
Hat nun der Beweis B eine Frage beantwortet, eine Behauptung als
wahr erwiesen?
Ja, welches ist denn der Beweis B:
Ist || ist es die Gruppe der 3
Gleichungen von der Form u, v, w, oder die
Klasse der
Beweise dieser Gleichungen?
Diese Gleichungen
behaupten ja etwas (und beweisen
nichts in dem Sinne, in dem
sie bewiesen
werden).
Die Beweise von u, v, w aber beantworten
die
Frage, ob diese 3 Gleichungen stimmen, und erweisen die Behauptung als
wahr, daß sie stimmen.
Ich kann nun erklären: die Frage, ob A für alle
Kardinalzahlen gilt, solle bedeuten: “gelten für die
Funktionen
f(x) =
a + (b + x), g(x) =
(a + b) + x
Gleichungen u, v und
w?”
Und dann ist diese Frage durch den rekursiven Beweis von A
beantwortet, wenn
hierunter die Beweise von u, v, w
verstan
den
665
werden (bezw. die Festsetzung
von u und die Beweise von v und w mittels
u).
Ich kann also sagen, daß der rekursive Beweis
ausrechnet, daß die Gleichung A einer
gewissen Bedingung genügt; aber es ist nicht eine Bedingung der Art,
wie sie etwa die Gleichung (a + b)² = a² + 2ab
+ b² erfüllen muß, um
“richtig” genannt zu
werden.
Nenne ich A “richtig”, weil sich Gleichungen
von der Form u, v, w dafür beweisen lassen, so verwende ich jetzt
das Wort “richtig” anders, als im Falle der Gleichungen
u, v, w, oder (a + b)² = a² + 2ab
+ b².