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Ich kann die Regel R auch so schreiben:
a + (b + 1) = (a + b) + 1, wenn ich R oder S als Erklärung oder Ersatz für diese Form nehme. Wenn ich nun sage, in
736 693 uns nur auf
die Regel R und ihre formale Beziehung zu
u
(oder zu u, v und w) aufmerksam
gemacht hättest.”
Ich hätte also auch sagen können: Ich nehme die Regel R in der und der Weise als Paradigma meiner Uebergänge. Wenn nun Skolem etwa nach seinem Beweis für das assoziative Gesetz übergeht zu:
737 694 wirklich als
den Beweis einer solchen Allgemeinheit rechtfertigen wollen, tun wir
vielmehr etwas anderes: wir gehen Beispiele einer Reihe durch, und
diese Beispiele und das Gesetz, was wir in ihnen erkennen, befriedigt uns
nun, und wir sagen: ﹖– ja, unser Beweis
leistet wirklich, was wir
wollten –﹖.
Aber wir müssen nun bedenken, dass wir mit der
Angabe dieser Beispielreihe die Schreibweise B und C nur in
eine andere (Schreibweise) übersetzt
haben.
(Denn die Beispielreihe ist nicht die unvollständige Anwendung der
allgemeinen Form, sondern ein anderer Ausdruck dieser Form // des Gesetzes // .)
Und weil die Wortsprache, wenn sie den Beweis erklärt, erklärt was er
beweist, den Beweis nur in eine andere Ausdrucksform übersetzt, so können
wir diese Erklärung auch ganz weglassen.
Und wenn wir das tun, so werden die mathematischen Verhältnisse
viel klarer, nicht verwischt, durch die mehrdeutigen // [v|V]ieles bedeutenden //
Ausdrücke der Wortsprache.
Wenn ich
z.B. B unmittelbar neben
A setze, ohne Dazwischenkunft des Wortes
“alle” // ohne Vermittlung durch den
Ausdruck der Wortsprache “für alle Kardinalzahlen
etc.” // , so kann kein falscher
Schein eines Beweises von A durch B entstehen.
Wir sehen dann ganz nüchtern, wie weit die Beziehungen von
B zu A und zu a + b = b + a reichen
und wo sie aufhören. // Wir sehen dann
die nüchternen, (nackten) Beziehungen
zwischen A und B, und wie weit sie
reichen. //
Man lernt so erst, unbeirrt von der alles gleichmachenden Form der
Wortsprache, die eigentliche Struktur dieser Beziehung kennen, und was es
mit ihr auf sich hat.
Man sieht hier vor allem, dass wir
f(1) = g(1) zu sehen ist, gleichsam eine bestimmte
Astgabelung, – dass aber diese Gebilde in
verschiedenen Anordnungen, und Verbindungen untereinander, auftreten, und
dass sie nicht in dem Sinne Konstruktionselemente
bilden // sind // ,
wie die Paradigmen im Beweis von a + (b + (c + 1)) =
(a + (b + c)) + 1 oder
(a + b)² =
f(n + 1) = F(fn) g(n + 1) = F(gn) 738 695
a² + 2ab + b².
Der Zweck der “rekursiven Beweise” ist ja, den
algebraischen Kalkül mit dem der Zahlen in Verbindung zu
setzen.
Und der Baum der rekursiven Beweise “rechtfertigt”
den algebraischen Kalkül nur, wenn das heissen soll,
dass er ihn mit dem arithmetischen in
Verbindung bringt.
Nicht aber in dem Sinn, in welchem die Liste der Paradigmen den
algebraischen Kalkül,
d.h. die
Uebergänge in ihm, rechtfertigt.
Wenn man also die Paradigmen der Uebergänge tabuliert, so hat das dort Sinn, wo das Interesse darin liegt, zu zeigen, dass die und die Transformationen alle bloss mit Hilfe jener – im übrigen willkürlich gewählten – Uebergangsformen zustande gebracht sind. Nicht aber dort, wo sich die Rechnung in einem andern Sinne rechtfertigen soll, wo also das Anschauen der Rechnung – ganz abgesehen von dem Vergleich mit einer Tabelle vorher festgelegter Normen – uns lehren muss, ob wir sie zulassen sollen oder nicht. Skolem hätte uns also keinen Beweis des assoziativen und kommutativen Gesetzes versprechen brauchen // sollen // , sondern einfach sagen können, er werde uns einen Zusammenhang der Paradigmen der Algebra mit den Rechnungsregeln der Arithmetik zeigen. Aber ist das nicht Wortklauberei? hat er denn nicht die Zahl der Paradigmen reduziert und uns z.B. statt jener beiden Gesetze eines, nämlich a + (b + 1) = (a + b) + 1 gegeben? Nein. Wenn wir z.B. (a + b)⁴ = etc. (r) beweisen, som könnten wir dabei von dem vorher bewiesenen Satz (a + b)² = etc. (s) [g|G]ebrauch machen. Aber in diesem Fall lassen sich die Uebergänge in r, die durch s gerechtfertigt wurden, auch durch jene Regeln rechtfertigen, mit denen s bewiesen wurde. Und es verhält sich dann s zu jenen ersten Regeln, wie ein durch Definition eingeführtes Zeichen zu dem primären Zeichen, mit deren Hilfe es definiert wurde. Man kann die Definition immer auch elliminieren und auf die primären Zeichen übergehen. Wenn wir aber in C einen Uebergang machen, der durch B gerechtfertigt ist, so können wir diesen Uebergang nun nicht auch mit u allein machen. Wir haben eben mit dem, was hier Beweis genannt wird, nicht einen Schritt // Uebergang // in Stufen zerlegt, sondern etwas ganz andres getan. 696 |
1) See facsimile; exclamation marks in left and right margins of table, indicating lines.
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