Man faßt die Periodizität eines Bruches,
z.B.
, so auf, als
bestünde || bestehe
sie darin, daß etwas, was
man die Ex
tension des unendlichen
Dezimalbruchs nennt,
nur aus || aus lauter
Dreien besteht, und daß die
Gleichheit des Restes dieser Division mit dem Dividenden nur das
Anzeichen für diese Eigenschaft der unendlichen
Extension sei.
Oder aber man korrigiert diese Meinung dahin, daß
nicht eine unendliche Extension diese Eigenschaft habe, sondern
eine unendliche Reihe endlicher Extensionen; und hierfür sei wieder
die Eigenschaft der Division ein Anzei
chen.
Man kann nun sagen: die Extension mit
einem Glied
sei 0
˙3, die mit 2
Gliedern 0
˙33, die mit
dreien 0
˙333,
u.s.w..
Das ist eine
Regel und das
“u.s.w.” bezieht sich auf die
Regelmäßigkeit, und die Regel könnte auch
geschrieben werden “
[0
˙3, 0
˙x,
0
˙x3
]”.
Das, was aber durch die Division
11 : 3 = 0
˙3 bewiesen ist, ist
diese Regelmäßigkeit im Gegensatz zu
einer andern, nicht die Regelmäßigkeit im
700
Gegensatz zur
Unregelmäßigkeit.
Die periodische Division, also
11 : 3 = 0
˙3 (im Gegensatz
zu
beweist
eine Periodizität der Quotienten,
d.h. sie
bestimmt die Regel (die
Periode), legt sie fest, aber ist nicht ein Anzeichen dafür,
daß eine Regelmäßigkeit
“vorhanden ist”.
Wo ist sie denn vorhanden?
Etwa in den bestimmten Entwicklungen, die ich auf diesem Papier
gebildet habe.
Aber das sind doch nicht “die Entwicklungen”.
(Hier werden wir irregeführt von der Idee der nicht
aufgeschriebenen, idealen Extensionen, die ein ähnliches Unding sind, wie
die idealen, nicht gezogenen geometrischen Geraden,
die
wir gleichsam nur in der
Wirklichkeit nachziehen, wenn wir sie zeichnen.)
Wenn ich sagte “das
‘u.s.w.’ bezieht sich auf die
Regelmäßigkeit”, so unterschied ich es
von dem ‘u.s.w.’ in
“er las alle Buchstaben: a, b, c,
u.s.w.”.
Wenn ich sage: “die Extensionen von
1:3 sind
0
˙3,
0
˙33,
0
˙333,
u.s.w.”, so gebe ich
drei Extensionen und – eine Regel.
Unendlich ist nur diese, und zwar in keiner andern Weise, als die
Division
11 : 3 = 0
˙3.