“Aber¹ sind die Übergänge also durch die algebraische Formel nicht bestimmt?” – In der Frage liegt ein Fehler.
     Wir verwenden den Ausdruck: “die Übergänge sind durch die Formel ..... bestimmt”. Wie wird er verwendet?
     Wir können etwa davon reden, daß Menschen durch Erziehung (Abrichtung) dahingebracht werden, die Formel y = x² so zu verwenden, daß Alle, wenn sie die gleiche Zahl für x einsetzen, immer die gleiche Zahl für y herausrechnen. Oder wir können sagen: “Diese Menschen sind so abgerichtet, daß sie alle auf den Befehl ‘+3’ auf der gleichen Stufe den gleichen Übergang machen.” Wir könnten dies so ausdrücken: “Der Befehl ‘+3’ bestimmt für diese Menschen jeden Übergang von einer Zahl zur nächsten völlig.” (Im Gegensatz zu andern Menschen, die auf diesen Befehl nicht wissen, was sie zu tun haben, oder deren jeder zwar mit Sicherheit, aber in anderer Weise auf ihn reagieren.), oder deren jeder zwar mit Sicherheit, aber in anderer Weise auf ihn reagieren.) || , oder die zwar mit Sicherheit, aber ein jeder in anderer Weise auf ihn reagieren.)
     Wir können anderseits verschiedene Arten von Formeln und zu ihnen gehörige verschiedene Arten der Verwendung (verschiedene Arten der Abrichtung) einander entgegensetzen. Wir nennen dann Formeln einer bestimmten Art (und der dazugehörigen Verwendungsweise) “Formeln, welche eine Zahl y für ein gegebenes x bestimmen”, und Formeln anderer Art, solche, “die die Zahl y für ein gegebenes x nicht bestimmen”. (y = x² + 1 wäre etwa von der ersten Art, y ˃ x² + 1, y = x² ± 1, y = x² + Z von der zweiten.) Der Satz “die Formel ..... bestimmt eine Zahl y” ist dann eine Aussage über die Form der Formeln und es ist nun zu unterscheiden ein Satz wie: “die Formel, die ich hingeschrieben habe, bestimmt y” oder “hier steht eine Formel, die y bestimmt”, von einem Satz wie: “die Formel y = x² bestimmt die Zahl y für ein gegebenes x”. Die Frage: “Steht dort eine Formel, die y bestimmt?” heißt dann dasselbe wie: “Steht dort eine Formel dieser Art, oder jener Art?”, was wir aber mit der Frage anfangen sollen: “Ist y = x² eine Formel, die y für ein gegebenes x bestimmt?” ist nicht ohne weiteres klar. Diese Frage könnte man etwa an einen Schüler stellen, um zu prüfen, ob er die Verwendung des Ausdrucks “bestimmen” versteht; oder es könnte eine mathematische Aufgabe sein, zu berechnen, ob auf der rechten Seite der Formel nur eine Variable steht, wie z.B. im Fall

y = (x² + Z)² ‒ Z(2x² + Z).

     Man kann nun sagen: “Wie die Formel gemeint wird, das bestimmt, welche Übergänge zu machen sind.” Was ist das Kriterium dafür, wie die Formel gemeint ist? Doch wohl die Art und Weise, wie wir sie ständig gebrauchen, wie uns gelehrt wurde, sie zu gebrauchen.
     Wir sagen z.B. Einem, der ein uns unbekanntes Zeichen gebraucht: “Wenn Du mit ‘

x ~ 2

’ meinst x², so erhältst Du diesen Wert für y, wenn Du damit √x meinst, jenen.” – Frage Dich nun: Wie macht man es, mit ‘

x ~ 2

’ das eine, oder das andere meinen?
     So kann also das Meinen die Übergänge zum voraus bestimmen.