Wie, soll ich nun annehmen, ist P bewiesen?
Durch einen Unbeweisbarkeitsbeweis? oder auf eine andere
Weise?
Nimm an, durch einen Unbeweisbarkeitsbeweis.
Nun, um zu sehen,
was bewiesen ist, schau auf den
Beweis!
Vielleicht ist hier bewiesen, daß die und die Form
des Beweises nicht zu P führt. –
Oder, es sei P auf eine direkte Art
bewiesen – wie ich einmal sagen will –, dann folgt
also der Satz “P ist unbeweisbar”, und
es muß sich nun zeigen, wie diese Deutung der
Symbole von P mit der Tatsache des
Beweises kollidiert und warum sie hier aufzugeben sei.
Angenommen aber,
~
P sei bewiesen. –
Wie bewiesen? Etwa
dadurch, daß
P direkt bewiesen ist
– denn daraus folgt, daß es
beweisbar ist, also
~
P. Was soll
ich nun aussagen: “P”, oder
“
~
P”?
Warum nicht beides? Wenn mich
jemand fragt: “Was ist
der Fall – P, oder
nicht-P?”, so antworte ich:
“
⊢
P” steht am
Ende eines Russell'schen Beweises, Du schreibst also im
Russell'schen System:
“
⊢
P”;
anderseits ist es aber eben beweisbar und dies
drückt man durch
“
⊢ ~
P”
– 254 –
aus, dieser Satz aber steht
nicht am Ende eines
Russel
l'schen Beweises, gehört also nicht zum
Russell'schen
System. –
Als die Deutung “P ist unbeweisbar” für
P gegeben wurde, da kannte man
ja
diesen || den Beweis für P nicht und man
kann || muß also nicht
sagen
: “P” sage:
dieser Beweis existierte nicht. –
Ist der Beweis
hergestellt || konstruiert, so ist damit
eine
neue Lage geschaffen: Und wir haben
nun zu entscheiden, ob wir
dies einen Beweis
(
noch einen Beweis), oder ob wir
dies
noch die Aussage der Unbeweisbarkeit nennen wollen.
Angenommen P sei direkt bewiesen; es ist
also bewiesen, daß sich
P direkt beweisen
läßt!
Das ist also wieder eine Frage der Deutung – es sei denn,
daß wir nun auch einen direkten Beweis von
P haben.
Wäre es nun so, nun, so wäre es so. –
(Die abergläubische Angst und Verehrung der Mathematiker vor dem
Widerspruch.)