188 || 9.
“Aber sind die Übergänge also durch die
algebraische Formel
nicht
bestimmt?” – In der Frage liegt
– 135 –
ein
Fehler.
Wir verwenden den Ausdruck:
“die Übergänge sind durch die Formel …
bestimmt”.
Wie wird er
verwendet? – Wir können etwa davon reden,
daß Menschen durch Erziehung (Abrichtung) dahin
gebracht werden, die Formel y = x² so zu verwenden,
daß Alle, wenn sie die gleiche Zahl für
x
einsetzen, immer die gleiche Zahl
durch || für y herausrechnen.
Oder wir können sagen: “Diese Menschen
sind so abgerichtet, daß sie alle auf den Befehl
“+3” || ‘+3’ auf
der gleichen Stufe den gleichen Übergang machen.
Wir könnten dies so ausdrücken: Der Befehl
“+3” bestimmt
für diese Menschen jeden Übergang von einer Zahl zur
nächsten völlig.
”
(Im Gegensatz zu andern Menschen, die auf diesen Befehl nicht
wissen, was sie zu tun haben; oder die zwar mit
völliger Sicherheit, aber ein jeder in anderer Weise,
auf ihn reagieren.)
Wir können anderseits
verschiedene Arten von Formeln, und zu ihnen gehörige
verschiedene Arten der Verwendung (verschiedene Arten der
Abrichtung) einander entgegensetzen.
Wir
nennen dann Formeln einer bestimmten Art
(und der dazugehörigen Verwendungsweise)
“Formeln,
welche || die
eine Zahl y für ein gegebenes
x
bestimmen”, und Formeln anderer Art solche, “die
die Zahl y für ein gegebenes
x
nicht bestimmen”.
(y =
x² wäre von der ersten Art,
y ≠
x² von der zweiten.) Der Satz
“Die Formel …
–
136. –
bestimmt eine
Zahl y” ist dann eine
Aussage über die Form der Formel
; || – und es ist nun
ein Satz zu unterscheiden wie
der: || zu unterscheiden ein Satz wie dieser:
“
Die Formel, die ich
hingeschrieben habe, bestimmt y” oder
“Hier steht eine Formel, die
y
bestimmt
” – von einem Satz
wie: || der Art:
“Die Formel y = x² bestimmt
die Zahl y
für ein gegebenes x”. Die
Frage “Steht dort eine Formel, die
y
bestimmt?” heißt dann dasselbe
wie: “Steht dort eine Formel dieser Art, oder
jener Art?” – was wir aber mit der Frage
anfangen sollen “Ist
y = x²
eine Formel, die y für ein gegebenes
x
bestimmt?” ist nicht ohne Weiteres klar.
Diese Frage könnte man etwa an eine
n
Schüler richten, um zu prüfen, ob er die Verwendung
des Wortes “bestimmen” versteht; oder es
könnte eine mathematische Aufgabe sein, in einem bestimmten
System zu beweisen, daß x nur ein Quadrat
besitzt.