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Hat die Anzahl wesentlich etwas mit einem Begriff zu tun?
Ich glaube, das kommt darauf hinaus, zu fragen, ob es einen Sinn hat, von
einer Anzahl von Gegenständen zu reden, die nicht unter einen Begriff
gebracht sind.
Hat es z.B. Sinn zu sagen “a, b und
c sind drei Gegenstände”? –
Es ist allerdings ein Gefühl vorhanden, das uns sagt: Wozu von
Begriffen reden, die Zahl hängt ja nur vom
Umfang des
Begriffes ab, und wenn der einmal bestimmt ist, so kann der Begriff
sozusagen abtreten.
Der Begriff ist
nur eine Methode ||
ein || nur ein Hilfsmittel, um einen
Umfang zu bestimmen, der Umfang aber ist selbständig und in seinem Wesen
unabhängig vom Begriff; denn es kommt ja auch nicht
dar
auf an, durch welchen Begriff wir den Umfang
bestimmt haben.
Das ist das Argument für die extensive Auffassung.
Dagegen kann man zuerst sagen: Wenn der Begriff wirklich nur
ein Hilfsmittel ist, um zum Umfang zu gelangen, dann hat der Begriff in der
Arithmetik nichts zu suchen; dann muß man eben die
Klasse gänzlich von dem zufällig mit ihr verknüpften Begriff
scheiden.
Im entgegengesetzten Fall aber ist der vom Begriff unabhängige Umfang nur
eine
Chimaire und dann ist es besser, von
ihm überhaupt nicht zu reden, sondern nur vom Begriff.
Das Zeichen für den Umfang eines Begriffes ist eine Liste.
Man könnte – beiläufig – sagen: die
Zahl || Anzahl ist die externe Eigenschaft
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eines Begriffs und die
interne seines Umfangs (der Liste der Gegenstände, die unter ihn
fallen).
Die Anzahl ist das Schema eines Begriffsumfangs.
D.h.: die Zahlangabe ist, wie
Frege sagte, die Aussage über einen
Begriff (ein Prädikat).
Sie bezieht sich nicht auf einen Begriffsumfang,
d.i. auf eine Liste, die etwa der Umfang eines
Begriffes sein kann.
Aber die Zahlangabe über einen Begriff ist ähnlich dem Satz, welcher
aussagt, daß eine bestimmte Liste der Umfang dieses
Begriffs sei.
Von so einer Liste wird Gebrauch gemacht, wenn ich sage:
“a, b, c, d fallen unter den Begriff
F(x)”.
“a, b, c, d” ist die Liste.
Natürlich sagt der Satz nichts anderes, als
Fa & Fb
& Fc & Fd; aber er zeigt, mit Hilfe der Liste
geschrieben, seine Verwandtschaft mit
“(
∃x,y,z,u). Fx & Fy
& Fz & Fu”, welches wir kurz
“(
∃❘ ❘ ❘ ❘x)F(x)”
schreiben können.
Die Arithmetik hat es mit dem Schema
❘ ❘ ❘ ❘ zu tun. –
Aber redet denn die Arithmetik von Strichen, die ich mit Bleistift auf
Papier mache? –
Die Arithmetik redet nicht von den Strichen, sie
operiert
mit ihnen.