Die Bedingung, unter der ein Teil der Reihe 1 +

1 2

+

1 3

+ …, etwa

1 n

+

1 n + 1

+

1 n + 2

+ … +

1 n + r

, gleich oder grösser als 1 wird, ist folgende:
Es soll werden:

1 n

+

1 n + 1

+

1 n + 2

+ … +

1 n + r

gleich oder grösser als 1.
Formen wir die linke Seite um in:

1 + n (n + 1) + n (n + 2) + … n (n + r) n

=

1 + (1 ‒ 1 (n + 1) ) + (1 ‒ 2 (n + 2) ) + … (1 ‒ (n ‒ 1) (n + (n ‒ 1) ) + n 2n + n 2n + 1 + n 2n + 2 + … + n n + r n

=

n ‒ 1 2 n (n ‒ 1). 1 (n + 1) + (r ‒ n + 1). n (n + r) n

=
1 ‒

(n ‒ 1) (2n + 2)

+

(r ‒ n + 1) (n + r)

gleich oder grösser 1
Daher: 2nr + 2r ‒ 2n² ‒ 2n + 2n + 2 ‒ n² ‒ nr + n + r = oder grösser 0
nr + 3r ‒ 3n² + 2 + n = oder grösser 0
r = oder grösser

(3n² ‒ (n + 2)) (n + 3)

kleiner als 3n ‒ 1.