Man fasst die Periodizität eines Bruches,
z.B.
, so auf, als
bestünde // bestehe // sie
darin, dass etwas, was man die Extension des
unendlichen Dezimalbruchs nennt, nur aus // aus lauter
// Dreien besteht, und dass die
Gleichheit des Restes dieser Division mit dem Dividenden nur das
Anzeichen für diese Eigenschaft der unendlichen Extension
sei.
Oder aber man korrigiert diese Meinung dahin, dass
nicht eine unendliche Extension diese Eigenschaft habe, sondern eine
unendliche Reihe endlicher Extensionen; und hierfür sei wieder die
Eigenschaft der Division ein Anzeigen.
Man kann nun sagen: die Extension mit
einem Glied sei
0,3, die mit 2 Gliedern
0,33, die mit dreien
0,333,
u.s.w..
Das ist eine
Regel und das
“u.s.w.” bezieht sich auf die
Regelmässigkeit, und die Regel könnte auch geschrieben
werden “/0,3, 0,x,
0,x3/”.
Das, was aber durch die Division
bewiesen ist, ist
diese
Re-
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gelmässigkeit im
Gegensatz zu einer andern, nicht die Regelmässigkeit im
Gegensatz zur Unregelmässigkeit.
Die periodische Division, also
(im Gegensatz
zu
beweist
eine Periodizität der Quotienten, d.h.
sie
bestimmt die Regel (die Periode), legt sie fest,
aber ist nicht ein Anzeichen dafür, dass eine
Regelmässigkeit “vorhanden
ist”.
Wo ist sie denn vorhanden?
Etwa in den bestimmten Entwicklungen, die ich auf diesem Papier gebildet
habe.
Aber das sind doch nicht “die Entwicklungen”.
(Hier werden wir irregeführt von der Idee der nicht aufgeschriebenen,
idealen Extensionen, die ein ähnliches Unding sind, wie die idealen, nicht
gezogenen geometrischen Geraden, die/wir
gleichsam nur in der Wirklichkeit nachziehen, wenn wir sie
zeichnen.)
Wenn ich sagte “das
‘u.s.w.’ bezieht sich auf die
Regelmässigkeit”, so unterschied ich es von
dem ‘u.s.w.’ in “er
las alle Buchstaben: a, b, c,
u.s.w.”.
Wenn ich sage: “die Extensionen von
1:3 sind
0,3,
0,33,
0,333,
u.s.w.”, so gebe ich
drei
Extensionen und – eine Regel.
Unendlich ist nur diese, und zwar in keiner andern Weise, als die Division
.