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“Angenommen, ich schneide eine Strecke dort, wo kein rationaler
Punkt (keine rationale Zahl) ist”.
Aber kann man denn das? von was für Strecken sprichst Du? –
“Aber, wenn meine Messinstrumente fein genug
wären, so könnte ich mich doch durch fortgesetzte Bisektionen einem gewissen
Punkt unbegrenzt nähern.” –
Nein, denn ich könnte ja eben niemals
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erfahren, ob mein Punkt ein solcher
ist.
Meine Erfahrung wird immer nur sein, dass ich ihn bis
jetzt nicht erreicht habe.
“Aber wenn ich nun mit einem absolut genauen
Reisszeug die Konstruktion der √2 durchgeführt
hätte und mich nun dem erhaltenen Punkt durch Bisektion nähere, dann
weiss ich doch, dass
dieser Prozess den konstruierten Punkt niemals
erreichen wird.” –
Aber das wäre doch sonderbar, wenn so die eine Konstruktion der andern
sozusagen etwas vorschreiben könnte!
Und so ist es ja auch nicht.
Es ist sehr leicht möglich, dass ich bei der
‘genauen’ Konstruktion der √2 zu einem Punkt komme,
den die Bisektion, sagen wir nach 100 Stufen, erreicht; – aber dann
werden wir sagen: unser Raum ist nicht
euklidisch. –