652
“Welches Kriterium gibt es dafür, dass die
irrationalen Zahlen komplett sind?
Sehen wir uns eine irrationale Zahl an: Sie läuft entlang
einer Reihe rationaler Näherungswerte.
Wann verlässt sie diese Reihe?
Niemals.
Aber sie kommt allerdings auch niemals zu einem Ende.
Angenommen, wir hätten die Gesamtheit aller irrationalen Zahlen mit
Ausnahme einer einzigen.
Wie würde uns diese abgehen?
Und wie würde sie nun – wenn sie dazukäme, die Lücke füllen? –
Angenommen, es wäre II.
Wenn die irrationale Zahl durch die Gesamtheit ihrer Näherungswerte
gegeben ist, so gäbe es bis zu
jedem beliebigen Punkt eine
Reihe, die mit der von II
übereinstimmt.
Allerdings kommt für jede solche Reihe ein Punkt der
Trennung.
Aber dieser Punkt kann beliebig weit
“draussen” liegen, so
dass ich zu jeder Reihe, die II begleitet, eine
finden kann, die es weiter begleitet.
Wenn ich also die Gesamtheit der irrationalen Zahlen habe,
ausser II, und nun
II einsetze, so kann
ich keinen Punkt angeben, an dem II nun
wirklich nötig wird, es hat an
jedem Punkt einen Begleiter,
der es vom Anfang an begleitet.
Auf die Frage “wie würde uns II
abgehen”, müsste man antworten:
II, wenn es eine
Extension wäre, würde uns niemals abgehen.
D.h., wir könnten niemals eine Lücke
bemerken, die es füllt.
Wenn man uns fragte: “aber hast Du auch einen unendlichen
Dezimalbruch, der die Ziffer m an der r-ten Stelle hat und
n an der s-ten, etc.?”
– wir könnten ihm immer dienen.)