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“Die Lage aller Primzahlen muss doch
irgendwie vorausbestimmt sein.
Wir rechnen sie nur successive aus, aber sie sind
alle schon bestimmt.
Gott kennt sie sozusagen alle.
Und dabei scheint es doch möglich, dass sie nicht
durch ein Gesetz bestimmt sind. –”
Immer wieder das Bild von der Bedeutung eines Wortes, als einer vollen
Kiste, deren Inhalt uns mit ihr und in ihr verpackt gebracht wird, und den
wir nur zu untersuchen haben. –
Was wissen wir denn von den Primzahlen?
Wie ist uns denn dieser Begriff überhaupt gegeben?
Treffen wir nicht selbst die Bestimmungen über ihn?
Und wie seltsam, dass wir dann annehmen, es müssen
Bestimmungen über ihn getroffen sein, die wir nicht getroffen haben.
Aber der Fehler ist begreiflich.
Denn wir gebrauchen das Wort “Primzahlen” und es lautet
ähnlich wie “Kardinalzahlen’,
“Quadratzahlen”, “gerade Zahlen”,
etc..
So denken wir, es wird sich ähnlich gebrauchen lassen, vergessen aber,
dass wir ganz andere – andersartige
– Regeln für das Wort “Primzahl” gegeben haben, und
kommen nun mit uns selbst in einen seltsamen Konflikt. –
Aber wie ist das möglich? die Primzahlen sind doch die uns
wohlbekannten Kardinalzahlen, – wie kann man dann sagen, der Begriff
der Primzahl sei in anderem Sinne ein Zahlbegriff, als der der
Kardinalzahl?
Aber hier spielt uns wieder die Vorstellung einer “unendlichen
Extension” als einems Analogons zu den uns bekannten
“endlichen” Extensionen einen Streich.
Der Begriff ‘Primzahl’ ist freilich mit Hilfe des
Begriffes
645 ‘Kardinalzahl’
erklärt, aber nicht “die Primzahlen” mit Hilfe der
“Kardinalzahlen”; und den Begriff
‘Primzahl’ haben wir in wesentlich anderer
Weise aus dem Begriff ‘Kardinalzahl’ abgeleitet, als,
etwa, den Begriff ‘Quadratzahl’.
(Wir können uns also nicht wundern, wenn er sich anders
benimmt.)
Man könnte sich sehr wohl eine Arithmetik denken, die –
sozusagen – beim Begriff ‘Kardinalzahl’ sich
nicht aufhält, sondern gleich zu dem der Quadratzahl übergeht (diese
Arithmetik wäre natürlich nicht so anzuwenden, wie die unsere).
Aber der Begriff ‘Quadratzahl’ hätte dann nicht den
Charakter, den er in unserer Arithmetik hat;
dass er nämlich wesentlich ein Teilbegriff sei,
dass die Quadratzahlen wesentlich ein Teil der
Kardinalzahlen seien; sondern sie wären eine komplette Reihe mit
einer kompletten Arithmetik.
Und nun denken wir uns dasselbe für die Primzahlen
gemacht!
Da würde es klar, dass diese nun in einem andern
Sinne “Zahlen” seien, als z.B. die
Quadratzahlen; und als die Kardinalzahlen. |
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