Nehmen wir an, wir würfen mit einer Münze “Kopf und
Adler” und teilen nun eine Strecke AB nach folgender
Regel: “Kopf” sagt:
nimm die linke Hälfte und teile sie, wie der
nächste Wurf vorschreibt.
“Adler” sagt: nimm die rechte Hälfte
etc.
Durch fortgesetztes Würfeln erzeuge ich dann Schnittpunkte, die sich in
einem immer kleineren Interval
l bewegen.
Beschreibt es nun die Lage eines Punktes, wenn ich sage, es solle der
sein, dem sich bei fortgesetztem Würfeln die Schnitte unendlich
nähern?
Hier glaubt man etwa einen Punkt bestimmt zu haben, der einer
regellosen unendlichen Dezimalzahl entspricht.
Aber die
643
Beschreibung bestimmt doch
ausdrücklich: keinen Punkt; es sei denn,
daß man sagt, daß die Worte
“Punkt auf dieser Strecke” auch “einen Punkt
bestimmen”.
Wir verwechseln hier die Vorschrift des Würfelns mit der mathematischen
Vorschrift, etwa Dezimalstellen der √2 zu erzeugen.
Diese mathematischen Vorschriften
sind die Punkte.
D.h., es lassen sich zwischen diesen Vorschriften
Beziehungen
finden, die in ihrer Grammatik den Beziehungen
“größer” und
“kleiner” zwischen zwei Strecken analog sind und daher mit
diesen Worten bezeichnet werden.
Die Vorschrift, Stellen der √2 auszurechnen, ist das Zahlzeichen
der irrationalen Zahl selbst; und ich rede hier von einer
“Zahl”, weil ich mit diesen Zeichen (gewissen
Vorschriften zur Bildung von Rationalzahlen) ähnlich rechnen kann, wie
mit den Rationalzahlen selbst.
Will ich also analog sagen, die Vorschrift des endlosen Halbierens
nach Kopf und Adler bestimme einen Punkt, eine Zahl, so
müßte das heißen,
daß diese Vorschrift als Zahlzeichen,
d.h. analog andern Zahlzeichen, gebraucht werden
kann.
Das ist aber natürlich nicht der Fall.
Sollte diese Vorschrift einem Zahlzeichen entsprechen, so höchstens
(sehr entfernt) dem unbestimmten Zahlwort “einige”,
denn sie tut nichts, als eine Zahl offen zu lassen.
Mit einem Wort, ihr entspricht nichts anderes, als das ursprüngliche
Interval
l AB.